第八章 古典线性回样理
迄止讨涉二估计量限样性质根非机回量扰动项正态分布两假设知道二估计量精确分布检验统计量
章中总结前章关二法限样特性然重点讨古典回模型样结果
第节 二法限样特性
古典回模型基假设
ⅠyXβ+ε
ⅡX秩Kn×K非机矩阵
ⅢE[ε]0
ⅣE[εε′]σ2I
未知参数βσ2二估计量
通分析
列精确限样结果：
1 E[b]β（二估计偏）
2 Var[b]σ2(X′X)1
3 意函数r′β方差线性偏估计量r′b（高斯—马尔科夫定理）
4 E[s2]σ2
5 Cov[be]0
构造置信区间检验假设根正态分布假设
推导额外结果
6 be统计相互独立相应bs2关统计相互独立
7 b精确分布赖X
8 分布s2均值σ2方差2σ4（n－K）
9 根68结果统计量服度n－Kt分布
10 检验组J线性约束Rβq检验统计量
服度Jn－KF分布
注意利IIV建立起b种性质根扰动项更进步正态分布假设额外推断结果间区第组中重结果高斯—马尔科夫定理扰动项分布关根正态分布假设重附加结果78910正态性没产生额外限样优性结果（没出额外关统计量坏结）
第二节 古典回模型渐分布理
什样理？
OLS方法中果数wald统计量：
～ 通检验假设满足样话OLS完成相关假设检验问题中心极限定理：n足够情况Y 服正态分布样相应判估计量坏方法标准捉相应调整中重概念致估计量然估计量相关心致性偏性
区分结没正态性假设然成立利条件推断二系数估计量致性
满足IIV假设模型直接推导样二估计量特性
二系数量致性
复：概率分布
定理 具限均值μ限方差总体中抽取机样均值μ致估计量
证明：均方收敛μ
斯拉茨基定理（Slutsky） n函数连续函数g(xn)
假设
正定矩阵 （1）
假设数时候份考虑元情况：
X
(知道p p)
which is positive definite as its principal submatrices all have positive determinants
二估计量写成
（2）
假设Q1存逆矩阵原矩阵连续函数
现需项概率极限令
中列量
X非机矩阵
均值0方差收敛0均方收敛0
（面定理揭示r阶收敛概率收敛关系
定理8 ）
（4）
（5）
表明古典回模型中假设（1）条件bβ致估计量
二二估计量渐正态性
导出二估计量渐分布利前结果
逆矩阵原矩阵连续函数果极限分布存统计量极限分布式相：
（6a）
必须建立式极限分布
中利林德伯格费勒形式中心极限定理极限分布利定理中表达式
n互相关机量均值中
εi均值0方差
方差
总特定项占导位回量表现良种情况中意味着（1）成立
Var()Var()
列结果正式证明根林德伯格费勒形式中心极限定理施密特（1976）怀特（1984）出果
1 扰动项服具零均值限方差样分布
2 X元素受限制限限正定矩阵
（6）
(什假设Q正定正态协方差正定)
利结果 作变换：
根(6a)
b渐分布(加证明)：
三标准检验统计量渐行
果没ε正态性前面出tF统计量会服相应分布
出
渐分布标准正态分布
（节中证明结果）
θk样渐分布认关β元素假设通常统计量服标准正态分布t分布(样情况没t分布相应t分布正态分布)
检验组线性约束F统计量
F分布分子分母求分布 沃尔德统计量JF[Jn－K]渐服分布代扰动项正态分布情况结果相通常假设扰动项否服正态分布处理古典模型样时沃尔德统计量
定理 沃尔德统计量极限分布定理
果
正确
分布收敛度J统计量（求正式严格证明）
特提醒注意：模型整体检验统计量
沃尔德统计量作模型整体检验检验时里RIq0已注意沃尔德统计量W 度J统计量F 分布检验WJF
定理证明：R常数矩阵
（1）
Rβq
（2）
方便起见写成
（3）
令T满足T2P1T记TP逆方根
果 （4）
现机变量函数极限分布利斯拉茨基（Slutsky）定理关（相互独立）标准正态分布变量方服分布面极限分布
（5）
结合前面部分 难证明：
（6）
已证明极限分布度J分布
（节中证明结果）样：
极限分布式（6）极限分布样 约ｎ左边进行整理沃尔德统计量W证明完毕
注意：沃尔德统计量WJ 通常F 统计量F然OLSF统计量
三s2致性Var[b]估计量
节证明节结果plim假设证明s2致性证明展开
前面常数显然收敛1括号中第项概率收敛：
：
：（定理 具限均值μ限方差总体中抽取机样均值μ致估计量P357(Green)）
限情况致估计量
假设限
意味着
单独plims2第二项略微整理
统计量样特性
相注意q等正态分布量二次型该量渐方差矩阵Q利沃尔德统计量极限分布证明结果发现q写成
样
q二阶收敛保证概率收敛q身均方收敛0表明s2致性b渐协方差适估计量：
B函数渐分布——尔塔方法
利泰勒展开f(x)线性化
令f(b)组关二估计量J连续线性非线性函数令
GJ×K矩阵中第j行第j函数关b导数利斯拉茨基（Slutsky）定理
（2）
实际渐协方差矩阵估计量
果某函数非线性b偏性质会传f(b)（2）中f(b)f(β)致估计量渐协方差矩阵容易获
例 P324（Green）
结
限样样结果较
限样 样
条件结果 满足条件结果
1 E[b]β 1
二估计偏 bβ致估计量
2 E[s2]σ2 2 s2方差致估计量
σ2估计偏 s2致估计量
3 Var[b]s2(X′X)1 3
4．b精确分布 4 b渐分布正态分布
5．统计量 5 统计量
服度n－Kt分布 服标准正态分布t分布
6．检验组J线性约束Rβq检验统计量
服度Jn－KF分布
6
分布收敛度J统计量
非线性问题处理：（利泰勒展开转换线性）
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迄止讨涉二估计量限样性质根非机回量扰动项正态分布两假设知道二估计量精确分布检验统计量
章中总结前章关二法限样特性然重点讨古典回模型样结果
第节 二法限样特性
古典回模型基假设
ⅠyXβ+ε
ⅡX秩Kn×K非机矩阵
ⅢE[ε]0
ⅣE[εε′]σ2I
未知参数βσ2二估计量
通分析
列精确限样结果：
1 E[b]β（二估计偏）
2 Var[b]σ2(X′X)1
3 意函数r′β方差线性偏估计量r′b（高斯—马尔科夫定理）
4 E[s2]σ2
5 Cov[be]0
构造置信区间检验假设根正态分布假设
推导额外结果
6 be统计相互独立相应bs2关统计相互独立
7 b精确分布赖X
8 分布s2均值σ2方差2σ4（n－K）
9 根68结果统计量服度n－Kt分布
10 检验组J线性约束Rβq检验统计量
服度Jn－KF分布
注意利IIV建立起b种性质根扰动项更进步正态分布假设额外推断结果间区第组中重结果高斯—马尔科夫定理扰动项分布关根正态分布假设重附加结果78910正态性没产生额外限样优性结果（没出额外关统计量坏结）
第二节 古典回模型渐分布理
什样理？
OLS方法中果数wald统计量：
～ 通检验假设满足样话OLS完成相关假设检验问题中心极限定理：n足够情况Y 服正态分布样相应判估计量坏方法标准捉相应调整中重概念致估计量然估计量相关心致性偏性
区分结没正态性假设然成立利条件推断二系数估计量致性
满足IIV假设模型直接推导样二估计量特性
二系数量致性
复：概率分布
定理 具限均值μ限方差总体中抽取机样均值μ致估计量
证明：均方收敛μ
斯拉茨基定理（Slutsky） n函数连续函数g(xn)
假设
正定矩阵 （1）
假设数时候份考虑元情况：
X
(知道p p)
which is positive definite as its principal submatrices all have positive determinants
二估计量写成
（2）
假设Q1存逆矩阵原矩阵连续函数
现需项概率极限令
中列量
X非机矩阵
均值0方差收敛0均方收敛0
（面定理揭示r阶收敛概率收敛关系
定理8 ）
（4）
（5）
表明古典回模型中假设（1）条件bβ致估计量
二二估计量渐正态性
导出二估计量渐分布利前结果
逆矩阵原矩阵连续函数果极限分布存统计量极限分布式相：
（6a）
必须建立式极限分布
中利林德伯格费勒形式中心极限定理极限分布利定理中表达式
n互相关机量均值中
εi均值0方差
方差
总特定项占导位回量表现良种情况中意味着（1）成立
Var()Var()
列结果正式证明根林德伯格费勒形式中心极限定理施密特（1976）怀特（1984）出果
1 扰动项服具零均值限方差样分布
2 X元素受限制限限正定矩阵
（6）
(什假设Q正定正态协方差正定)
利结果 作变换：
根(6a)
b渐分布(加证明)：
三标准检验统计量渐行
果没ε正态性前面出tF统计量会服相应分布
出
渐分布标准正态分布
（节中证明结果）
θk样渐分布认关β元素假设通常统计量服标准正态分布t分布(样情况没t分布相应t分布正态分布)
检验组线性约束F统计量
F分布分子分母求分布 沃尔德统计量JF[Jn－K]渐服分布代扰动项正态分布情况结果相通常假设扰动项否服正态分布处理古典模型样时沃尔德统计量
定理 沃尔德统计量极限分布定理
果
正确
分布收敛度J统计量（求正式严格证明）
特提醒注意：模型整体检验统计量
沃尔德统计量作模型整体检验检验时里RIq0已注意沃尔德统计量W 度J统计量F 分布检验WJF
定理证明：R常数矩阵
（1）
Rβq
（2）
方便起见写成
（3）
令T满足T2P1T记TP逆方根
果 （4）
现机变量函数极限分布利斯拉茨基（Slutsky）定理关（相互独立）标准正态分布变量方服分布面极限分布
（5）
结合前面部分 难证明：
（6）
已证明极限分布度J分布
（节中证明结果）样：
极限分布式（6）极限分布样 约ｎ左边进行整理沃尔德统计量W证明完毕
注意：沃尔德统计量WJ 通常F 统计量F然OLSF统计量
三s2致性Var[b]估计量
节证明节结果plim假设证明s2致性证明展开
前面常数显然收敛1括号中第项概率收敛：
：
：（定理 具限均值μ限方差总体中抽取机样均值μ致估计量P357(Green)）
限情况致估计量
假设限
意味着
单独plims2第二项略微整理
统计量样特性
相注意q等正态分布量二次型该量渐方差矩阵Q利沃尔德统计量极限分布证明结果发现q写成
样
q二阶收敛保证概率收敛q身均方收敛0表明s2致性b渐协方差适估计量：
B函数渐分布——尔塔方法
利泰勒展开f(x)线性化
令f(b)组关二估计量J连续线性非线性函数令
GJ×K矩阵中第j行第j函数关b导数利斯拉茨基（Slutsky）定理
（2）
实际渐协方差矩阵估计量
果某函数非线性b偏性质会传f(b)（2）中f(b)f(β)致估计量渐协方差矩阵容易获
例 P324（Green）
结
限样样结果较
限样 样
条件结果 满足条件结果
1 E[b]β 1
二估计偏 bβ致估计量
2 E[s2]σ2 2 s2方差致估计量
σ2估计偏 s2致估计量
3 Var[b]s2(X′X)1 3
4．b精确分布 4 b渐分布正态分布
5．统计量 5 统计量
服度n－Kt分布 服标准正态分布t分布
6．检验组J线性约束Rβq检验统计量
服度Jn－KF分布
6
分布收敛度J统计量
非线性问题处理：（利泰勒展开转换线性）
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