第二章 数列极限
教学目：
1学生建立起数列极限准确概念熟练收敛数列性质
2学生正确理解数列收敛性判法求收敛数列极限常方法会数列极限定义 证明数列极限等关命题求学生：逐步建立起数列极限 概念深刻理解数列发散单调界穷数列等关概念会应数列极限 定义证明关命题运 语言正确表述数列某定数极限等相应陈述理解证明收敛数列极限唯性单调性保号性等式性质掌握会证明收敛数列四运算定理迫敛性定理单调界定理会定理求某收敛数列极限初步理解柯西准极限理中重意义逐步学会应柯西准判定某数列敛散性
教学重点难点：章重点数列极限概念难点数列极限 定义应
教学时数：16学时
§ 1 数列极限定义
教学目：学生建立起数列极限准确概念会数列极限定义证明数列极限等关命题
教学重点难点：数列极限概念数列极限定义应
教学时数：4学时
引入新课：齐诺悖关数列引入——
二 讲授新课：
（）数列：
1数列定义——整标函数数列出方法 通项递推公式数列意义
2特殊数列 常数列界数列单调数列单调数列
（二） 数列极限 例
定义 ( 定义 )
定义 ( 数列 收敛 定义 )
注：1关 ：正值性 意性确定性贵 2关：存性非唯性求存3意义
（三）定义验证数列极限： 讲清思路方法
例1
例2
例3
例4
证
注意正整数 时
取
例5
证法 令 Bernoulli等式
证法二 （均值等式）
例6
证 时
例7 设 证明
（四）收敛否定
定义 ( 定义 )
定义 ( 数列 发散 定义 )
例8 验证
（五）数列极限记註
1 满足条件 数列
2 改变掉数列限项 影响数列收敛性极限 重排改变数列敛散性
3 数列极限等价定义
理数
正整数
（六）穷数列 定义
Th21 ( 数列极限穷数列关系 )
§ 2 收敛数列性质（6学时）
教学目：熟悉收敛数列性质掌握求数列极限常方法
教学重点难点：：迫敛性定理四运算法应数列极限计算
教学时数：4学时
收敛数列性质
1 极限唯性：（ 证 ）
2 收敛数列界性 —— 收敛必条件：（ 证 ）
3 收敛数列保号性：
Th 1 设 （ 证 ）
系1 设 （注意 注意 情况 ）
系2 设 ( (
系3
绝值收敛性见
4 迫敛性 ( 双逼原理 )
Th 2 ( 双逼原理 ) ( 证 )
5 绝值收敛性
Th 3 ( 注意反正确 )
( 证 )
系 设数列{ }{ }收敛
( 证明6述极限运算性质 )
6 四运算性质
Th 4 ( 四运算性质 中包括常数子提极限号外 ) ( 证 )
7 子列收敛性 子列概念
Th 5(数列收敛充条件) {}收敛{}子列收敛极限
Th 6 (数列收敛充条件) {}收敛子列{}{}收敛极限
Th 7 ( 数列收敛充条件 ) { }收敛 子列{ }{ }{ 收敛
二 利数列极限性质求极限
两基极限：
1．利四运算性质求极限：
例1
註： 关 理分式 时极限情况
例2 填空
⑴
⑵
例3
例4
2 双逼基技法 项双逼法参阅[4]P53
例5 求列极限
⑴
⑵
⑶
例6 (
例7 求证
例8 设 存
三 利子列性质证明数列发散
例9 证明数列 发散
§ 3 收敛条件（4学时）
教学目：学生掌握判断数列极限存常工具
教学求：
1 掌握会证明单调界定理会运求某收敛数列极限
2 初步理解Cauchy准极限理中意义逐步会应Cauchy准判断某数列敛散性
教学重点：单调界定理Cauchy收敛准应
教学难点：相关定理应
教学方法：讲练结合
．数列收敛充分条件 —— 单调界原理：回顾单调界数列
Th 1 ( 单调界定理 ) ( 证 )
例1 设 证明数列{ }收敛
例2 ( 重根号)证明数列{ }单调界 求极限
例3 求 ( 计算 逐次逼法 迭代法 )
解 均值等式 界
注意 ↘
二 收敛充条件——Cauchy收敛准：
1．Cauchy列：
2．Cauchy收敛准：
Th 2 数列{ 收敛
（ 数列{ 收敛}
Th 2 叙述：收敛列Cauchy列 (处理解等价)
( 简证必性 )
例4 证明限十进数 足似值组成数列
收敛 中 中数
证 令
……
例5 设 试证明数列
{ 收敛
三 关极限 证明留节进行
例6
例7
例8
四 数列 单调界证法欣赏
Cauchy (1789—1857 ) 先出极限Riemann（1826—1866）先出证法
证法 （ Riemann先出证法） 设 应二项式展开
+
注意
项 ↗
界
综 数列{ }单调界
评註 该证法朴素稳健 失风度
证法二 ( 利Bernoulli等式 )
注意Bernoulli等式 正整数 )
利Bernoulli等式
↗
证{ }方界 考虑数列 类证 ↘ 事实
(处利Bernoulli等式 )
↘
显然 数列{ }界
评註 该证法特点惊险恰处
证法三 ( 利均值等式 ) 均值等式 中 令
↗
令 仿证 时 ↗ ( 时意义 时诸 均值等式 ) 时
↗ ↘ < 4
证法四 ( 利均值等式 )
< ↗
界性证法参阅述证法
证法五 先证明： 正整数 等式
事实
< 该等式变形
( 正整数 )
等式中 取
↗
取 成立
结题（2学时）
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教学目：
1学生建立起数列极限准确概念熟练收敛数列性质
2学生正确理解数列收敛性判法求收敛数列极限常方法会数列极限定义 证明数列极限等关命题求学生：逐步建立起数列极限 概念深刻理解数列发散单调界穷数列等关概念会应数列极限 定义证明关命题运 语言正确表述数列某定数极限等相应陈述理解证明收敛数列极限唯性单调性保号性等式性质掌握会证明收敛数列四运算定理迫敛性定理单调界定理会定理求某收敛数列极限初步理解柯西准极限理中重意义逐步学会应柯西准判定某数列敛散性
教学重点难点：章重点数列极限概念难点数列极限 定义应
教学时数：16学时
§ 1 数列极限定义
教学目：学生建立起数列极限准确概念会数列极限定义证明数列极限等关命题
教学重点难点：数列极限概念数列极限定义应
教学时数：4学时
引入新课：齐诺悖关数列引入——
二 讲授新课：
（）数列：
1数列定义——整标函数数列出方法 通项递推公式数列意义
2特殊数列 常数列界数列单调数列单调数列
（二） 数列极限 例
定义 ( 定义 )
定义 ( 数列 收敛 定义 )
注：1关 ：正值性 意性确定性贵 2关：存性非唯性求存3意义
（三）定义验证数列极限： 讲清思路方法
例1
例2
例3
例4
证
注意正整数 时
取
例5
证法 令 Bernoulli等式
证法二 （均值等式）
例6
证 时
例7 设 证明
（四）收敛否定
定义 ( 定义 )
定义 ( 数列 发散 定义 )
例8 验证
（五）数列极限记註
1 满足条件 数列
2 改变掉数列限项 影响数列收敛性极限 重排改变数列敛散性
3 数列极限等价定义
理数
正整数
（六）穷数列 定义
Th21 ( 数列极限穷数列关系 )
§ 2 收敛数列性质（6学时）
教学目：熟悉收敛数列性质掌握求数列极限常方法
教学重点难点：：迫敛性定理四运算法应数列极限计算
教学时数：4学时
收敛数列性质
1 极限唯性：（ 证 ）
2 收敛数列界性 —— 收敛必条件：（ 证 ）
3 收敛数列保号性：
Th 1 设 （ 证 ）
系1 设 （注意 注意 情况 ）
系2 设 ( (
系3
绝值收敛性见
4 迫敛性 ( 双逼原理 )
Th 2 ( 双逼原理 ) ( 证 )
5 绝值收敛性
Th 3 ( 注意反正确 )
( 证 )
系 设数列{ }{ }收敛
( 证明6述极限运算性质 )
6 四运算性质
Th 4 ( 四运算性质 中包括常数子提极限号外 ) ( 证 )
7 子列收敛性 子列概念
Th 5(数列收敛充条件) {}收敛{}子列收敛极限
Th 6 (数列收敛充条件) {}收敛子列{}{}收敛极限
Th 7 ( 数列收敛充条件 ) { }收敛 子列{ }{ }{ 收敛
二 利数列极限性质求极限
两基极限：
1．利四运算性质求极限：
例1
註： 关 理分式 时极限情况
例2 填空
⑴
⑵
例3
例4
2 双逼基技法 项双逼法参阅[4]P53
例5 求列极限
⑴
⑵
⑶
例6 (
例7 求证
例8 设 存
三 利子列性质证明数列发散
例9 证明数列 发散
§ 3 收敛条件（4学时）
教学目：学生掌握判断数列极限存常工具
教学求：
1 掌握会证明单调界定理会运求某收敛数列极限
2 初步理解Cauchy准极限理中意义逐步会应Cauchy准判断某数列敛散性
教学重点：单调界定理Cauchy收敛准应
教学难点：相关定理应
教学方法：讲练结合
．数列收敛充分条件 —— 单调界原理：回顾单调界数列
Th 1 ( 单调界定理 ) ( 证 )
例1 设 证明数列{ }收敛
例2 ( 重根号)证明数列{ }单调界 求极限
例3 求 ( 计算 逐次逼法 迭代法 )
解 均值等式 界
注意 ↘
二 收敛充条件——Cauchy收敛准：
1．Cauchy列：
2．Cauchy收敛准：
Th 2 数列{ 收敛
（ 数列{ 收敛}
Th 2 叙述：收敛列Cauchy列 (处理解等价)
( 简证必性 )
例4 证明限十进数 足似值组成数列
收敛 中 中数
证 令
……
例5 设 试证明数列
{ 收敛
三 关极限 证明留节进行
例6
例7
例8
四 数列 单调界证法欣赏
Cauchy (1789—1857 ) 先出极限Riemann（1826—1866）先出证法
证法 （ Riemann先出证法） 设 应二项式展开
+
注意
项 ↗
界
综 数列{ }单调界
评註 该证法朴素稳健 失风度
证法二 ( 利Bernoulli等式 )
注意Bernoulli等式 正整数 )
利Bernoulli等式
↗
证{ }方界 考虑数列 类证 ↘ 事实
(处利Bernoulli等式 )
↘
显然 数列{ }界
评註 该证法特点惊险恰处
证法三 ( 利均值等式 ) 均值等式 中 令
↗
令 仿证 时 ↗ ( 时意义 时诸 均值等式 ) 时
↗ ↘ < 4
证法四 ( 利均值等式 )
< ↗
界性证法参阅述证法
证法五 先证明： 正整数 等式
事实
< 该等式变形
( 正整数 )
等式中 取
↗
取 成立
结题（2学时）
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