23典型数列专题解答
1等差数列中前三项次求：
解：等差数列中项公式：：
首项：公差：
数列通项： ：
等差数列公式通解
2前100然数（1100）中7余2数S？
解：数构成数列：
100n数m：
数S：
余数常数问题转化等差数列问题
3等差数列中前n项
时
解：等差数列通项：求公式：
：：：
：：时
通项公式求公式熟啊
4数列通项公式前n项求：
解：通项：
：：
相裂项法
5等差数列公差0中次构成等数列求公
解：等差数列通项：：
构成等数列：：
：：
：
例中项直接列式导出关系
6已知等差数列前n项 设
求证：等数列求前n项
证明：通项：求公式：
：：：
：：
：
首项公
等数列通项：
求公式：
7两数列：均等差数列求：
解：设两等差数列公差分：
：
利等差数列等差性质求题
8已知正项数列前n项满足：成等数列求数列通项
解：已知： ①
②
①②：
移项合：：
正项数列：：
公差5等差数列
设：：
成等数列：：
：： ：
题等式条件出公差5等条件确定首项
9已知数列前n项试求数列前n项
解：已知：
： ：
面求公式分成两部分求求
： ：
：
熟悉基求公式裂项求方法
10已知数列前n项首项满足求通项
解：已知： ①
②
①－②：
移项合：：
递推：
递推进行底
11果数列中相邻两项二次方程(n123…)两根时试求
解：韦达定理： ① ②
①式：： ③
③式表明：公差3等差数列
代入①式：等差数列：
：
代入②式：
题韦达定理出等差数列算出首项计算出
12两穷等数列公绝值1项分切然数：求两数列首项公
解：： 数列首项
设两等数列通项公式分：
①
②
①②两式代入采赋值法分令：
： ③
： ④
③④： ⑤
⑤式代入③式：
：式化简：：
代入⑤式： 两数列公
分代入①式②式：
题采赋值法求解
13已知数列前n项时满足：求证：数列等差数列求通项公式
解：：：
：
式表明：首项2公差2等差数列
：：
： ：
注意求化通项方法
14已知等数列首项满足：
（1）求通项（2）求前n项
解：代入面等式：
化简：
：
整理：：
：
注意求化通项方法
第14题第(2)问解答：
(2)A等数列：求公式：
：
1>
2> ①
： ②
②①：
综合1>2>：
(2)B等数列：
求公式：
：
1>
2> ③
： ④
③+④：
：
：
15等差数列第m项等k第k项等m(中)求数列前项
解：等差数列通项：
： ①
②
两式相减：：
首项：
通项：
通项：
前项求：
求公差求首项求通项关键
16果数列中求通项
解：整式递推数列定系数法
令：：
较：
令：：
：首项公等数列
通项：
：通项：
定系数法确定新构建等数列通项
17设数列时满足：求通项
解：整式递推数列定系数法
令：
：
较：
令：：
：首项公3等数列
：
定系数法构造等数列？
18设数列满足：求通项
解：题二阶递推数列解：
定系数法：令：
：
较系数：
成元二次方程两根韦达定理方程：正采特征根法特征方程
述方程解：：两组解推出数列通项结果样 取
令：
：首项1公2等数列通项：：：
定系数法令：
：
较：
令：：
：
：：
现特征根法求解：
特征方程：两根：
代入特征根法二异根解：
代入式确定
：解：
：
二阶递推数列采特征根法较简洁
19已知正项数列满足：求通项
解：：
令：：
代入式：
：
……
：
递推数列递推法 ：取数做
20已知数列中满足：求通项
解：化简： ①
动点法解动点方程：
：方程根二重根：
二重根动点解：
（定常数） ②
通分化简：
：
： ③
③式①式：
令：：
代入②式：
：首项公差1等差数列 ：
代入：：
动点法根二重根时构造等差数列解
21已知数列中满足：求通项
解：化简： ①
动点法解动点方程：
：方程根二异根：
设二异根解式满足： ： ②
化简：
： ③
较①③两式：
令：：
代入②式：
：首项公等数列
： 代入：
动点法根二异根时构造等数列求
22已知数列中满足：求通项
解：化简： ①
动点法解动点方程：
：方程二异根：
设二异根解式满足： ： ②
化简： ③
较①③两式
令：：
代入②式：
：首项公等数列
：
代入：：
动点法二异根时构造等数列求
23已知数列中满足：求通项
解：：
代入：
：
：
……
递推找规律
吧中数列题
吧题1设数列中项0证明等差数列充条件：
证明：等差数列设：
时：
成立
时
充分条件成立
时满足式时公差0等差数列
互相等时设式变：
：
：
成立：
…
：
：等差数列 必条件成立
吧题2：正整数存正整数成等差数列
证明：设：
：成等差数列：： ①
①式：偶数奇数 设：
代入①式：
： ②
②式：奇数 设：
代入②式：：
： ③
③式4种情况：
1> 偶数时
2> 奇数时
3> 奇数偶数时
：：
：
：
4> 偶数奇数时
：：
符合
综合述4条：1>2>满足4>满足3>满足求： 证毕
吧题3：设数列满足中
求证：
证明：设：：
代入：代入：
等式两边： ：
代入： 证毕
吧题4：已知数列意正整数：求该数列通项
解：等号两边时：
： ： ①
令：：
代入①式：
：首项1公1等数列
：：
数列通项：等差数列
吧题5：已知数列意正整数：求该数列通项
解：： ①
①式： ②
①②式：
：
： ④
④式：
：
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1等差数列中前三项次求：
解：等差数列中项公式：：
首项：公差：
数列通项： ：
等差数列公式通解
2前100然数（1100）中7余2数S？
解：数构成数列：
100n数m：
数S：
余数常数问题转化等差数列问题
3等差数列中前n项
时
解：等差数列通项：求公式：
：：：
：：时
通项公式求公式熟啊
4数列通项公式前n项求：
解：通项：
：：
相裂项法
5等差数列公差0中次构成等数列求公
解：等差数列通项：：
构成等数列：：
：：
：
例中项直接列式导出关系
6已知等差数列前n项 设
求证：等数列求前n项
证明：通项：求公式：
：：：
：：
：
首项公
等数列通项：
求公式：
7两数列：均等差数列求：
解：设两等差数列公差分：
：
利等差数列等差性质求题
8已知正项数列前n项满足：成等数列求数列通项
解：已知： ①
②
①②：
移项合：：
正项数列：：
公差5等差数列
设：：
成等数列：：
：： ：
题等式条件出公差5等条件确定首项
9已知数列前n项试求数列前n项
解：已知：
： ：
面求公式分成两部分求求
： ：
：
熟悉基求公式裂项求方法
10已知数列前n项首项满足求通项
解：已知： ①
②
①－②：
移项合：：
递推：
递推进行底
11果数列中相邻两项二次方程(n123…)两根时试求
解：韦达定理： ① ②
①式：： ③
③式表明：公差3等差数列
代入①式：等差数列：
：
代入②式：
题韦达定理出等差数列算出首项计算出
12两穷等数列公绝值1项分切然数：求两数列首项公
解：： 数列首项
设两等数列通项公式分：
①
②
①②两式代入采赋值法分令：
： ③
： ④
③④： ⑤
⑤式代入③式：
：式化简：：
代入⑤式： 两数列公
分代入①式②式：
题采赋值法求解
13已知数列前n项时满足：求证：数列等差数列求通项公式
解：：：
：
式表明：首项2公差2等差数列
：：
： ：
注意求化通项方法
14已知等数列首项满足：
（1）求通项（2）求前n项
解：代入面等式：
化简：
：
整理：：
：
注意求化通项方法
第14题第(2)问解答：
(2)A等数列：求公式：
：
1>
2> ①
： ②
②①：
综合1>2>：
(2)B等数列：
求公式：
：
1>
2> ③
： ④
③+④：
：
：
15等差数列第m项等k第k项等m(中)求数列前项
解：等差数列通项：
： ①
②
两式相减：：
首项：
通项：
通项：
前项求：
求公差求首项求通项关键
16果数列中求通项
解：整式递推数列定系数法
令：：
较：
令：：
：首项公等数列
通项：
：通项：
定系数法确定新构建等数列通项
17设数列时满足：求通项
解：整式递推数列定系数法
令：
：
较：
令：：
：首项公3等数列
：
定系数法构造等数列？
18设数列满足：求通项
解：题二阶递推数列解：
定系数法：令：
：
较系数：
成元二次方程两根韦达定理方程：正采特征根法特征方程
述方程解：：两组解推出数列通项结果样 取
令：
：首项1公2等数列通项：：：
定系数法令：
：
较：
令：：
：
：：
现特征根法求解：
特征方程：两根：
代入特征根法二异根解：
代入式确定
：解：
：
二阶递推数列采特征根法较简洁
19已知正项数列满足：求通项
解：：
令：：
代入式：
：
……
：
递推数列递推法 ：取数做
20已知数列中满足：求通项
解：化简： ①
动点法解动点方程：
：方程根二重根：
二重根动点解：
（定常数） ②
通分化简：
：
： ③
③式①式：
令：：
代入②式：
：首项公差1等差数列 ：
代入：：
动点法根二重根时构造等差数列解
21已知数列中满足：求通项
解：化简： ①
动点法解动点方程：
：方程根二异根：
设二异根解式满足： ： ②
化简：
： ③
较①③两式：
令：：
代入②式：
：首项公等数列
： 代入：
动点法根二异根时构造等数列求
22已知数列中满足：求通项
解：化简： ①
动点法解动点方程：
：方程二异根：
设二异根解式满足： ： ②
化简： ③
较①③两式
令：：
代入②式：
：首项公等数列
：
代入：：
动点法二异根时构造等数列求
23已知数列中满足：求通项
解：：
代入：
：
：
……
递推找规律
吧中数列题
吧题1设数列中项0证明等差数列充条件：
证明：等差数列设：
时：
成立
时
充分条件成立
时满足式时公差0等差数列
互相等时设式变：
：
：
成立：
…
：
：等差数列 必条件成立
吧题2：正整数存正整数成等差数列
证明：设：
：成等差数列：： ①
①式：偶数奇数 设：
代入①式：
： ②
②式：奇数 设：
代入②式：：
： ③
③式4种情况：
1> 偶数时
2> 奇数时
3> 奇数偶数时
：：
：
：
4> 偶数奇数时
：：
符合
综合述4条：1>2>满足4>满足3>满足求： 证毕
吧题3：设数列满足中
求证：
证明：设：：
代入：代入：
等式两边： ：
代入： 证毕
吧题4：已知数列意正整数：求该数列通项
解：等号两边时：
： ： ①
令：：
代入①式：
：首项1公1等数列
：：
数列通项：等差数列
吧题5：已知数列意正整数：求该数列通项
解：： ①
①式： ②
①②式：
：
： ④
④式：
：
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