1 数列基问题
（）基础题
1 正项等数列中前项 ．
2 等数列{an}中已知a3 4a7 a4 + a6 ．
114 已知等差数列{an}满足：a1 2a2 + a3 13a4 + a5 + a6 ____．
115 正项等数列{an}前n项积Tn 32a4
116 首项a公q等数列中设前项x y _________．
117 等差数列{an}公差1Sn ≥S8 切恒成立首项a1取值范围 ．
119 已知数列{an}等差数列数列{|an|}项第_____项．
1110 等数列{an}前n项S20092S20103S2011成等差数列{an}公______．
1111 已知数列满足值_______
12 设数列首项前n项Sn 满足( n) ．满足n ．
13 记集合P { 02468 }Q { m | m 100a1 +10a2 + a3a1a2a3ÎP }集合Q中元素排成递增数列数列第68项_______．
14 已知集合A { x | x2＋a≤(a＋1)x}存集合A中整数元素28实数a取值范围________．
15 设a1d实数首项a1公差d等差数列{an}前n项Sn满足S5S6 + 15
0d取值范围____________．
16 已知等差数列前n项Sn
列真命题序号 ．
①②③④．
已知等差数列{an}公差d0等数列{bn}公q1正理数．a1 db1 d 2正整数q等________．
17 已知数列通项公式前项_________
已知数列满足 记数列前项值
1（必修五教材32页）已知数列通项公式数列项中
项数列第_______项
2（必修五教材35页）已知公差等差数列
否等差数列？____________
3（必修五教材44页）等差数列前项354前12项中偶数项奇数项公差
（必修五教材61页）等差数列中前项（奇数）77中偶数项33数列通项公式______________
4（必修五教材40页）已知等差数列中第1项第10项310第11项第20项910第21项第30项_______
变式：
5（必修五教材49页）三数成等数列积27方91三数
___________
6（必修五教材51页改编）等数列中已知（1）求数列通项公式 ______________（2）求____________
7（必修五教材56页）求_________________
8 等数列中 q
9 等数列项均正数
10（必修五教材61页） 0常数__
数列概念：
1 已知数列通项公式
（1）2否中项？（方程思想）
（2）该数列中否0项？（等式思想）
2 已知数列首项
斐波契数列通项公式
3 已知数列通项公式数列第_____项
4 已知数列通项公式
（1）求值
（2）求值
5 设等差数列前项正整数
．13
6 已知公差（）等差数列公（）等数列．集合
16
7 钝角三角形三边长均正整数组成公差3等差数列样三角形 5
8 图正方形边长分作边三等分点
正方形分取边三等分点正方
继续正方形……正方形面积
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A2
B2
C2
D2
A3
B3
C3
D3
9 已知等数列公满足等式
正整数值 7
10 已知数列函数切正整数n数列中项函数两零点__________
（二）基础题
1 设等差数列公差d前n项已知．
（1）求数列通项公式
（2）互相等正整数等差数列满足求数列前n项．
解：（1）已知 解 …………………4分
∴． ……………………………………………………………6分
（2）正整数 （1）． …………………8分
进步已知． ………………………………………10分
∵等差数列∴公差． ………………12分
．
∴． …………………………………………14分
2 数列中（零常数）成等数列．（1）求值（2）求通项公式（3）求数列前项．
3 设数列前项满足
（1）求数列通项公式
（2）设数列满足时恒成立求实数取值范围
4 已知等差数列首项公差b等数列首项b公q中b1整数
（1）求b值
（2）2数列前n 项数列前n 项记实常数）
① 数列等差数列求值
② 切恒成立求取值范围
2 数列综合问题
1 （点评：隔项成等差数列项式恒等放缩法证明等式难度略）
已知项均正数两穷数列满足．
（Ⅰ）数列常数列（项相等数列）时求数列通项公式
（Ⅱ） 设公差0等差数列求证：数列穷数列惟确定
（Ⅲ）设求证：．
解：（1）数列常数列
…①
…②
①②……………2分
说明数列序号奇数项序号偶数项均原序构成公差2等差数列 …………………………………4分
（2）设公差分
通项公式代入
n恒等式解……………7分
取穷非零实数数列穷数列惟确定……8分
（3）
………………………10分
．
．…………14分
．．……………………………16分
191．数列{an}满足：a1 5an+1－an 数列{bn}前n项Sn满足：
Sn 2(1－bn)．
（1）证明：数列{an+1－an}等差数列求出数列{an}通项公式
（2）求数列{bn}通项公式求出数列{anbn}项．
192 设数列前项已知（常数）
．
（1）求数列通项公式
（2）求满足等式成立正整数．
193．已知项均正数数列{an}前n项Sn数列{an2}前n项Tn满足a1 1．
（1）求p值数列{an}通项公式
（2）① 问否存正整数nmk（n < m < k）anamak成等差数列？存指出nmk关系存请说明理．
② an2xan+12yan+2成等差数列求正整数xy值．
194 已知数列项均等差数列公差前项满足．数列满足数列前n项．
（1）求
（2）意等式恒成立求实数取值范围
（3）否存正整数成等数列？存求出值存请说明理．
195 设首项公差等差数列前项 记中实数
（1）成等数列证明：
（2）等差数列证明：
196 设穷等差数列{an}前n项Sn
(Ⅰ) 首项公差求满足正整数k
(Ⅱ) 求穷等差数列{an}切正整数k成立
197 已知数列{dm}通项公式dm 2m 1．数列{dm}分组：(d1)(d2d3d4)(d5d6d7d8d9)…(组数数构成等差数列)．设前m组中数(cm)4(cm>0) ．
（1）求数列 { 2Cndn } 前n项Sn
（2）设N超20正整数n > N时（1）中Sn求等式 (Sn－6) > dn 成立N取值数．
198 已知数列{an}{bn}满足bn an＋1 an中n 123…．
（1）a1 1bn n求数列{an}通项公式
（2）bn＋1bn－1 bn (n≥2)b1 1b2 2．记cn a6n－1(n≥1)
求证：数列{cn}等差数列．
199 已知数列{an}通项公式an 2n 1（）设数列{bn}通项公式问：否存正整数tb1b2bm（）成等差数列？存求出tm值存请说明理．
1910 已知数列{an}满足a1 2前n项Sn
（1）数列{bn}满足bn a2n + a2n+1试求数列{bn}前n项Tn
（2）数列{cn}满足cn a2n试判断数列{cn}否等数列说明理
（3）p 问否存存求出n值存请说明理．
1911 数列{an}中a1 1意a2k1a2ka2k+1成等数列公qk
（1）qk 2（）求a1 + a3 + a5 + … + a2k1
（2）意a2ka2k+1a2k+2成等差数列公差dk设
① 求证：{bk}成等差数列指出公差
② d1 2试求数列{dn}前n项Dk
变式：数列中意成等数列公
成等差数列公差设
（1）求值
（2）求证：数列等差数列
（3）设否存成等数列．存求出符合条件值存请说明理．
解：（1）∵∴
解 ………………4分
（2）∵成等差数列 ∴
…… 6分
数列公差1等差数列 ………9分
（3）
∴ ．
假设存成等数列
．
整理 ． …………12分
．
解．
时．
存成等数列． ………16分
1912 2012届苏锡常镇模试题
数列{an}中a1 1a2 2．数列{bn}满足．
（1）数列{an}等差数列求数列{bn}前6项S6
（2）数列{bn}公差2等差数列求数列{an}通项公式
（3）b2n b2n 1 0求数列{an}前2n项T2n．
13 （2009清华学招生）写出3素数组成公差8等差数列
14 设数列前项
（1）求
（2）设判断数列否等数列证明结
（3）时数列前n项求然数n
解：（1）
………………5分
（2）时
时 …………8分
数列等数列
时数列等数列时数列等数列 ……11分
(3)（2）知时数列等数列
∴
∴ ………………13分
∵
∴数列单调递增
∴然数 ……………16分
3 教材题研究
1 等数列中道题研究
1（苏教版必修5 ）
设Sn等数列前n项 S3S9S6成等差数列 求证：a2 a8 a5成等差数列
变式0：设等数列{an}前n项Sn (n∈N*)．S3S9S6成等差数列
值
变式1： 写出命题逆命题判断真假
变式2： 针原命题出般性结出证明
变式3： 设等数列前项公
（1）成等差数列求证：成等差数列
（2）互相等正整数）成等差数列试问数列中否存
三项成等差数列？存写出两组三项存请说明理
（3）1正整数试问中否存项恰表示该
数列中连续两项？请说明理
练：设等数列{an}前n项Sn (n∈N*)．S3S9S6成等差数列
值 ．
专题1：数列中关问题探究
例1（1）已知数列{}前项通项
（2）已知正数数列{}前项通项
例2已知数列前项满足求数列通
项公式
例3 已知数列前项（）满足求数
列通项公式
例4 已知项均正数数列前项数列前项．求数列通项公式
四巩固练
1已知正数数列前项通项
2设数列前项已知通项
3已知数列前n项Sn满足an ¹ 0．
（1）求证：（2）设求数列前n项Tn．
五课练
1填空题
（1）已知数列前项通项
（2）设正数数列前项点均曲线
通项
（3) 已知项均正数数列前项满足 n∈N*通项
(4）设数列前项已知 n∈N*设通
项
2(2011江苏高考20)设部分正整数组成集合数列首项前项
已知意整数时成立．设
求值
3(2010江苏高考19)设项均正数数列前项已知
数列公差等差数列求数列通项公式（表示）
4已知数列中前项
（1）设数列求证：数列等数列
（2）设数列求证：数列等差数列
（3）求数列通项公式前项
专题2：数列方程学案
题型：（建立方程组解数列常规题）
1（必修5第40页例2）等差数列中已知
2（江苏2009）设公差零等差数列前项满足数列通项公式
题型二：（构造新方程解中档题）
3已知数列前n项
变式：设数列前n 项满足．证明数列等差数列
2（苏锡常镇2012届二模）已知数列前三项分数列前项满足中意正整数求数列通项公式．
题型三：（数列定方程）
1．(2009年江苏高考题改编)已知数列通项公式．试求正整数
数列中项．
2 ．(南通市2013届高三期末改编)已知数列通项公式．试问否存正整数(中)成等差数列？存求出满足条件数组存说明理．
链接练：
1已知数列前项数列等数列满足
等差中项求数列通项公式．
2（2014届9月测试卷）设数列前n 项意满足
．求数列通项公式．
3（南通市2013届高三期末）已知数列{an}中a21前n项Sn．
（1）求a1（2）证明数列{an}等差数列写出通项公式．
4（苏锡常镇2013届模）设数列项均正数前项意正整数恒成立求数列通项公式．
5．（2007福建理22改编）已知数列通项公式
求证：数列中意三项成等数列．
6 已知问数列中否存三项构成等差数列存请求出组适合条件项存请说明理．
专题3：等差等数列中恒成立问题
基础训练
1 等数列{}前项已知成等差数列等数列{}公 ______________．
2 等数列中 已知 ______________．
3已知数列时成立______________．
思考：解题程中数学思想方法？
例题精讲
例1 设穷等差数列{an}前n项Sn
（1）首项公差求满足正整数k
（2）求穷等差数列{an}切正整数成立
例2 已知数列项均正数记 @~]
（1）意三数组成等差数列求数列通项公式
（2）证明：数列公等数列充分必条件：意三数组成公等数列
例3 已知数列奇数项公差等差数列偶数项公差等差数列数列前项．
（1）求
（2）已知意恒成立求证：数列等差数列
（3）存正整数．求时数列通项公式．
课外作业
1设数列等差数列____________
2设等数列公前项成等差数列值______________．
3已知数列公差0等差数列等数列中存常数意正整数 ________．
4等差数列中记数列前项恒成立求整数值．
5等差数列中
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）意数列中落入区间项数记求数列前项
6设首项公差等差数列前项记中实数
（1）成等数列证明： （）
（2）等差数列证明：
专题4：数列中等关系
1 正项数列{an}满足a1 1a2 2{}公等数列等
式＞2013成立整数n 6
变式：（2013年江苏高考试题14）
专题5 数列中类存性问题研究
1 设公差零等差数列项均整数Sn前n项．
（1）求数列通项公式
（2）试求正整数m数列中项．
解（1）等差数列．…2分
设公差d
化简解
知满足数列项均整数．5分
．………………………………7分
（2）
数列中项必须3倍数
中取值
3倍数．
． …………………………13分
时时．
求m值34．……………………………16分
解：
数列中项必须3倍数
取1．（略）
变式：（2009年江苏高考题）
题组
1．设等差数列前项．
（1）求数列通项公式前项公式
（2）设数列通项公式问：否存正整数t
成等差数列？存求出tm值存请说明理．
解析（1）
（2）成等差数列
： ：
∵∴取235 时时时．
注存等价方程解例利整性质解决．
2．（09年江苏卷17）设公差零等差数列前项满足．（1）求数列通项公式前项
（2）试求正整数数列中项．wwwks5ucom
解析（1）设公差性质
解通项公式前n项．
(2) 中项
令
： 8约数． 奇数取值
时时（舍）．
满足条件正整数．
注仅利整性质解决利奇偶性分析．
3． （南通市2013届高三期末）已知数列{an}中a21前n项Sn．
（1）求a1 （2）证明数列{an}等差数列写出通项公式
（3）设试问否存正整数pq(中1解析（1）令n1a1S10．
（2） ①
． ②
②－①． ③
． ④
③+④．
a10a21a2－a11
数列{an}0首项1公差等差数列．
ann－1．
（3）解法1：假设存正整数数组(pq)b1bpbq成等数列lgb1lgbplgbq成等差数列．
时<0数列{}( )递减数列
时<0数列{}()递减数列
时
时正整数q成立．
解法2：数列{}( )递减数列
时成立时
时
注利范围控制正整数值时常求值域方法：单调性．例蕴含分类讨思想．
题组二
1已知项均正数等数列公．数列中否存三项成等差数列？说明理．
解析知数列递减数列
假设存成等差数列妨设
矛盾．
数列中存三项成等差数列．
注常反证法说明定方程正整数解存．
2．（2010年湖北理）已知数列满足：数列满足：．
（1）求数列通项公式
（2）证明：数列中意三项成等差数列．
解析（1）题意知 令
数列首项公等数列
．
（2）假设数列存三项某种序成等差数列数列首项公等数列 成立
：
式左边偶数右边奇数式成立导致矛盾．
数列中意三项成等差数列．
注题例补充方法区便利范围寻找矛盾时考虑式子变形呢？首先考虑分数整数化然利奇偶性寻找矛盾．
3．（2007福建理22）等差数列前项．
（1）求数列通项前项
（2）设求证：数列中意三项成等数列．
解析（1）已知
．
（2）（1）．
假设数列中存三项（互相等）成等数列．
．
．
矛盾．
数列中意三项成等数列．
注反证法中利理数性质产生矛盾．
课堂结
数列中类存性问题定方程正整数解问题
存（正整数）解
存（正整数）解
（1）整性
（2）奇偶性
（3）范围
（1）范围
（2）奇偶性
（3）理数性质
课溯源
（选修22教材P84第9题）证明：13等差数列中三项．
选编说明
数列高中数学核心概念高考中占重位历年高考解答题中基居压轴题位置．江苏省0809年高考中数列解答题考查数列中类存性问题类问题般转化求定方程正整数解问题数函数方程等式等知识集体蕴含丰富数学思想年省市模拟卷中常出现．通数列中类存性问题研究学生加深数列概念理解学会类问题常处理策略提升分析转化解决问题力．
课巩固：
1（2011高淳高级中学19）公差d≠0等差数列{an}前n项Sn已知a1＝2＋S3＝12＋．
（1）求数列{an}通项公式an前n项Sn
（2）记bn＝an－然数满足成等数列中求（k表示）
（3）记cn＝试问：数列{cn}中否存三项crcsct(r＜s＜trst∈N*)恰成等数列？存求出三项存请说明理
分析子数列问题研究基着力点算两次
解答（1）
（2）题意首项数列公
（3）易知假设存三项成等数列
整理…12分
解矛盾
综述存满足题意三项
反思反证法中利理数性质产生矛盾数列问题中常见方法．
2（2008江苏19）（1）设项均零（）项等差数列公差数列删某项数列（原序）等数列．
（i）时求数值 （ii）求值．
（2）求证：定正整数()存项公差均零等差数列中意三项（原序）组成等数列．
分析等差数列中抽取项成等数列应该基量方法方程中端倪．
解答（1）①n4时 中删首项末项否等差数列中连续三项成等数列推出d0．
删化简
删化简
综．
②n5时 中样删否出现连续三项．
删化简删
n≥6时存样等差数列．事实数列中删首项末项删必矛盾样删矛盾删中意必矛盾．(者说：n≥6时删项剩余项中必连续三项)
综述．
（2）假设某正整数n存公差dn项等差数列中（）意三项成等数列化简 （*）
知时0时0
时0时题设矛盾．
时0（*）
xyz整数式右边理数理数．意正整数理数相应数列满足题意求数列．例n项数列1……满足求．
反思第3问懂题意找满足条件数列．
3．（2012届苏北四市模）设数列前ｎ项已知常数
）
（1）求值 （2）求数列通项公式
（3）否存正整数成立？存求出符合条件序实数存说明理
解：⑴题意知解
⑵⑴知①
时②
①②
首项公等数列
．
⑶⑵
（常数分离）
．
时
时
时
综知存符合条件序实数：．
4．（12南京二模）数列满足：
（1）求数列通项公式
（2）时否存互相正整数成等数列？存出满足条件存说明理
（3）设数列前n项．意恒成立求实数取值范围．
解析（1）
时 ①
②
① ②（）
（）
（2）时
存成等数列
奇偶性知
矛盾．
存互相正整数成等数列
（3）
5．（连云港市2013届高三期末）已知数列{an}中a2a(a非零常数)前n项Sn满足
Sn(nÎN*)．
（1）求数列{an}通项公式 （2）a2求mn值
（3）否存实数ab意正整数p数列{an}中满足项恰第3p－2项？存分求出ab取值范围存请说明理．
解：（1）已知a1S10＼Sn
Sn+1＼2(Sn+1－Sn)(n+1)an+1－nan
(n－1)an+1nan＼nan+2(n+1)an+1两式相加2an+1an+2+annÎN*
an+1－an+1an+1－annÎN*数列{an}等差数列．
a10a2a＼an(n－1)a．
（2）a2an2(n－1)＼Snn(n1)．
n2n+11(m1)24(m1)2－(2n1)243
＼(2m+2n3)(2m－2n1)43．
∵43质数2m+2n3>2m2n12m+2n3>0
＼解m12n11．
法：n2n+11(m1)2
显然方程组解
时时方数中项解
时时方数中项整数逐项检验整数解
法二：n2n+11(m1)24(m1)2－(2n1)243
＼(2m+2n3)(2m－2n1)43 ∵43质数 2m+2n3>2m－2n1 2m+2n3>0
＼解m12n11
（3）an+b£pa(n－1)+b£p．
a<0n³+1合题意舍
a>0n£+1．
∵等式an+b£p成立正整数解3p－2
＼3p－2£+1<3p－1
2a－b<(3a－1)p£3a－b意正整数p成立．
＼3a－10解a
时－b<0£1－b解存实数ab满足条件ab取值范围a（原型溯源：2009年北京高考文科数学）
6．（徐州市2013届高三期末）已知令意正整数时时
（1）求数列通项公式
（2）意正整数恒成立问否存等数列？存求出满足条件存说明理
解：（1）时
时
数列首项公等数列
．
（2）
假设存等数列
化简题中矛盾
存等数列．
7 （常州市2013届高三期末）已知数列等差数列数列等数列．（1）．求数列通项公式
（2）正整数成等数列求值．
（注：整数型问题定充分利条件中整数进行求解）
解：（1）题等差数列公差
．
（2）设等差数列公差等数列公
成等数列．
设
整理
解（舍负根）
（预设提问：利mn正整数实现题研究题难点）
需d取值
仅时取值
3 应题
1 某化工厂算投入条新生产线需环保部门审批意方投入生产．已知
该生产线连续生产n年累计产量f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨果年产量超150吨
会环境造成危害．保护环境环保部门应该厂条生产线拟定长生产期限
________年．
2 某厂年产值1计划五年年产值年增长10年起第五年五年厂总产值约 ．（保留位数取） 66
5 数列递推关系通项公式问题
1 规定种应关系满足：
①② 果
现已知时
2 已知首项数列前项意正整数
（1）证明：数列等差数列
（2）数列首项第项数列第项求证：数列等数列
（3）（2）中数列意正整数均成立求实数值
3 已知数列项均正整数前项
时 910
4 已知数列满足意
（1）求值
（2）求数列通项公式
（3）设数列前项等式意正整数恒成立求实数取值范围
5 数列{an}满足：a1 5an+1－an 数列{bn}前n项Sn满足：Sn 2(1－bn)．
（1）证明：数列{an+1－an}等差数列求出数列{an}通项公式
（2）求数列{bn}通项公式求出数列{anbn}项．
解 (1)令n 1a2－5 解a2 12已知
(an+1－an)2 2(an+1＋an)＋15 ①
(an+2－an+1)2 2(an+2＋an+1)＋15 ②
②－①(an+2－an)(an+2－2an+1＋an) 2(an+2－an)
数列{an}单调递增an+2－an≠0
an+2－2an+1＋an 2(an+2－an+1)－(an+1－an) 2
{an+1－an}首项7公差2等差数列
an+1－an 7＋2(n－1) 2n＋5
an (an－an1)＋(an1－an2)＋…＋(a2－a1)＋a1
(2n＋3)＋(2n＋1)＋…＋7＋5 n(n＋4)．
(2) Sn 2(1－bn)中令n 1b1 2(1－b1)解b1
Sn 2(1－bn)Sn+1 2(1－bn+1)相减bn+1 －2bn+1＋2bn3bn+1 2bn{bn}首项公均等数列bn ()n．
anbn n(n＋4)()n．设数列{anbn}项akbk
k(k＋4)()k≥(k＋1)(k＋5)()k+1k(k＋4)()k≥(k－1)(k＋3)()k1
k2≥10k2－2k－9≤0k然数解k 4．数列{anbn}项a4b4 ．
7 已知数列{an}满足：a1 a2 1（） ▲ ．99
等式两边an
8 已知数列{an}2k项（）数列{an}前n项Sn满足：a1 2
an+1 (p 1)Sn + 2（n 12… 2k1）中常数p > 1．
（1）求证：数列{an}等数列
（2）数列{bn }满足（n 12… 2k）求数列{bn }通项公式
（3）（2）中数列{bn }求Tn ．
解：（1）∵an+1 (p 1)Sn + 2（n 12… 2k1）
∴an (p 1)Sn 1 + 2（n 2… 2k）．
n 2… 2k1时两式相减
an+1 an (p 1)（Sn Sn 1）an+1 an (p 1) an．
∴an+1 pan（n 2… 2k1）．
原式中令n 1a2 (p 1)a1 + 2 2 (p 1) + 2 2p pa1．
∴an+1 pan（n 12… 2k1）．
数列{an}等数列．
（2）（1）an a1p n 1．
∴
．
（3）∵
∴n≤k时n≥k+1时．
Tn
．
9 设数列前项满足（）．
（1）求证数列等数列求数列通项公式
（2）已知数列等差数列求值．
10 设数列{an}满足an+1 2an + n2 4n + 1．
（1）a1 3求证：存（abc常数）数列{ an + f(n) }等数列求出数列{an}通项公式
（2）an 等差数列{bn}前n项求首项a1值数列{bn}通项公式．
6 分类讨问题
1 已知项均整数数列满足前6项次成等差数列第5项起次成等数列．
(I) 求数列通项公式
(II) 求出正整数m ．
解：(I) 设数列前6项公差(整数)
成等数列
……………………………………………………4 分
时…………………………………………………………6 分
数列第5 项起构成等数列公2
时
…………………………………………………………8分
(II)(I)知数列 ：－3－2－10124816…
时等式成立
时等式成立……………………………10分
时等式成立…………………………………………12分
m≥5 时
…………14分
方程解
求．…………………………………………………16分
7 等数列题
1 19间插入三正数五数成等数列插入三数 ．
变式1 插入三正数改插入三实数三数__________
变式2 插入三正数改插入四数四数___________
变式3 12
2 设等数列前项成等差数列
中值 ．
3 已知等数列中数列前2014项0值 ．
8 等差数列题
1 已知等差数列公差零．
（1）求数列通项公式
（2）设数列前项求满足正整数集合．
2．设分等差数列前项已知
．
变式1：等差数列{an}{bn}前n项分 SnTn
__________________
变式2：已知等差数列{an}{bn}前n项分 SnTn
正整数数________
变式3：两等差数列前项分
整数 29
高考试题解法优化：（2008年高考数学辽宁卷文科20）设数列项均正
数等数列设前项分设数列通项公式 ________
应等差数列等数列互化方法结完成
3 已知二次函数构成等差数列求证：
点拨：设
4 设Sn等差数列{an}前n项已知S5 5S9 27S7 ．
9 奇偶分析法
1 已知等数列首项公前项恒成立值
原型题：（2013年天津理科卷）
已知首项等数列递减数列 前n项 S3 + a3 S5 + a5 S4 + a4成等差数列
（1）求数列通项公式
（2）设 求数列项值项值
2
变量函数描述事物运动变化重数学工具数列变量成离散变化状态时种数学模式正数列变化离散性计算机武计算出数列成千万项观察数列变化情况 教育贷款问题储蓄收益问题放射性物质衰变物种种群数量问题等蕴含数学模式数列 讨简单两类数列等差数列等数列研究更复杂数列奠定必基础
玉兔子孙世代传棋盘麦塔摩天
坛坛罐罐求堆垛步步营算连环
数列寻根属函数成格意盎然
等差等初学步登堂入室年
数 列
第课时：数列概念
教学程：（阅读教材3133页文字例题时间10分钟带着列问题进行学）
问题1：什数列？名词：项首项约定？
问题2：数列数学符号语言表示？
问题3：什数列通项公式？
深度思考：
1 数列质什？
答：离散函数图象簇离散点（散点图）通项公式相函数解析式揭示项数项间质关联
2 关通项公式干思考
（1）数列通项公式唯？
：写出数列通项公式前4项分： 写出通项公式？
（2）数列定通项公式？
（3）通数列通项公式确定数列项数项关系进步值思考问题：没确定数列方法？
案例：已知点列第1项1第2项1项（）出数列第6项_________ 项数项否唯确定？
定义：果数列项前项（项）间关系公式表示公式做数列递推公式成数列初始条件 事实表明种方法更便计算机编程进行计算
例：根递推公式初始条件
写出数列前5项
该式古印度名河塔问题．
（附：传说中开天辟神勃拉玛贝勒斯圣庙里留三根金刚石棒第根面套着
64
金环底余次叠庙里众僧倦根棒搬根棒规定利中间根棒作帮助次搬放面相传神时发咒语金环全部移完时世界末日时候众僧移动少次呢？）
见计算机中递推公式初始条件确定数列反馈程实现输入计算机方面输出方面反馈回输入端．输入计算机动序输出数列项．
3 数列分类标准
（1）项数分类（穷数列穷数列）
（2）项项间关系（单调性）（否利递推关系式出单调性定义？）
例：已知数列通项公式求数列项．
4 摆动数列表述通项公式时控制正负性？
练：
1 分写出面数列：
（1）0~16间奇数序构成数列
（2）0~16间质数序构成数列
2 根数列通项公式写出前5项作出图象写出数列第项计算．
（1）
（2）
（3）
3 写出数列通项公式前4项分列数：
（1）2 4 8 16
（2）9 99 999 9999
（3）
（4）
（5）
（6）
4 写出分满足列条件数列通项公式：
（1）第2项起项前项2
（2）项均0第二项起项前项3倍
5 已知数列
（1）写出数列第8项第20项
（2）323数列中项？果第项？
6 谢尔宾斯基三角形：图中三角形称希尔宾斯基（Sierpinski)三角形
①
②
③
④
黑色三角形数次构成数列数列通项公式___________
（1）（2）
（3）时
1 136101521……数做三角形数数目点子排成正三角形（图）第七三角形数________
2 图中三角形称希尔宾斯基（Sierpinski)三角形
①
②
③
④
黑色三角形数次构成数列数列通项公式________
3 黑白两种颜色正六边形面砖图规律拼成干图案第图案中白色面砖________块．
4 数列中已知时位数_______
5 已知数列{an}意a36＝________
6 某数列前4项分列式：
① ②③ 作数列通项公式___________（填写正确答案序号）
7 已知数列数列中第_______项
8 数列满足（实常数）中数列单调递增数列求实数取值范围_________
9 已知 递增数列取值范围_______
第二课时：数列函数特性
函数常性质单调性周期性奇偶性称性 数列作特殊函数理说样研究数列四性 节课研究课题：数列函数特性
特性1：数列单调性
思考：研究数列单调性？利递推关系表示单调递增数列单调递减数列？
探究1：求数列中项
（1）（2）
总结方法：图象法代数法（恒成立）
探究2：判断列穷数列增减性
（1） （2）
探究3：已知函数设
（1）求证：
（2）数列递增数列递减数列？什？
变式：已知函数构造数列
（1）求证：
（2）数列递增数列递减数列？什？
探究4：否存项5穷递增数列？果存请写出样数列通项公式
变式1：果提出原命题逆命题解决？
（中实常数）数列单调递增数列求实数取值范围
变式2：果二次项系数变成参数解决？
数列满足（实常数）中数列单调递增数列求实数取值范围
变式3：变单调单调解决？
已知通项公式数列满足恒成立求实数取值范围
变式4：变更函数模型解决？
数列满足（）项第_______项项第______项
变式5：提出变式4逆命题解决？
数列满足（实常数）项项求数取值范围
练1：已知数列通项公式写出前5项判断数列单调性
练2：数列中
（1）求证：数列先递增递减
（2）求数列项
特性2：数列周期性
定义：周期数列正周期
探究：证明满足列递推关系数列周期数列
（1） （2）（3）
变式1：变更数列递推公式难度解决？
已知数列满足：（）证明：数列周期数列
变式2：变更数列递推公式难度解决？
已知数列满足：意正整数
（1）证明：数列周期数列
（2）求
变式3：变更数列递推公式难度解决？
已知数列满足：证明：数列6周期周期数列
变式4：提出逆性命题解决？
数列满足意总成立求实数a值
补充练：
1 正整数数列项左右原写成三角形数表：
1
2 3
4 5 6
……
（1）写出数表中第4行第5行数
（2）写出数表中第10行第5数
（3）数表中行第1数次构成数列数表中行数次构成数列试分写出数列递推公式
2 面等式：
暗示般规律________________________
3 已知数列前项求数列通项公式：
（1）（2）（3）
思考：整合充条件什？
类：已知求
4 然数左右原排成图三角形数表（行行数设（）位三角形数表中数第行左右数第
数()
（1）求值
（2）记三角形数表数第行数令数列
前项
求
(1) 三角形数表中前n行1+2+…+n第i行数
aij 2010i等式≥2010正整数解1953
2016i63第63行第数+11954
j(20101 954)+157
(2) 前n行然数Sn
n≥2时cn
∴
例：面条直线中意两条直线相交意三条直线点设条直线交点数
（1）求
（2）写出递推关系式
（3）符合条件10条直线交点数少？45
2 已知数列前项正整数值_______
第三课时：等差数列（第课时）
线问题1：什等差数列？（学3536页时间8分钟）
支线问题
1 否数列递推式表示等差数列？
2 教材定义公差外定义方式？试较两者种定义方式较合适？
例1变式：试判断列数列否等差数列？出证明
（1）（2）
例2变式：三数成等差数列简单等差数列模型果三数成等差数列做等差中项 试求列组数等差中项：
（1）（2）
例3：总结证明等差数列方法：
（1）定义法：（常数）
（2）中项法：（）
思考1：已知公差等差数列
（1）等差数列？果公差少？
（2）等差数列？果公差少？
（3）等差数列？果公差少？
（4）数列前项掉余项组成数列等差数列？果首项公差分少？
（5）取出数列中项数7倍数项组成数列数列等差数列？果首项公差分少？
（6）数列……否等差数列？果首项公差分少？
思考2：（口答）已知数列等差数列
（1）果说出公差
（2）果说出公差
（3）果说出公差
认确定等差数列需知道独立条件？
线问题2：等差数列项否等差数列首项公差表示？果等差数列项等差数列首项公差表示？
探究：妨特殊般填空题：
………………
支线问题
1 特殊般隶属合情推理推理未必正确需进行严格证明证明等差数列通项公式呢？
2 种推导方法称叠加法（累加法） 果数列递推公式否利累加法求通项公式？通两案例什启示？
3 研教材例题13 时间8分钟
例1解读：实际问题转化数列模型进行研究
例2解读：等差数列问题中利首项公差研究问题方法称基量法 基量法解决等差问题根方法应予重视
基量法：利通项公式列方程组求出进确定
思考：否表示？否表示？
进步思考：
（1）等差数列中否表示？果出形式
（2）已知等差数列中求公差？
例3解读：
表明：（1）等差数列通项公式总表示次型函数形式逆命题否真命题出证明
（2）已知等差数列意两项数列通项公否确定？请意义出解释
（3）试述等差数列公差数列单调性关系？
值进步研究问题：
1 等差数列数列中否成立？
2 果数列中什结？
第四课时：等差数列（第2课时）
热身训练：
已知等差数列前三项分
（1）求该数列第20项
（2）判断否数列中项？
（3）该数列少项位区间？
等差数列问题探究五
探究1：等差数列证明问题
提升（常数）质认识项减前项常数证明数列等差数列
根列条件判断列数列否等差数列？
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
思考1 已知数列两穷等差数列公差分求证：成等差数列求公差
思考2 已知倒数成等差数列求证：倒数成等差数列
思考3（2012年江苏20）已知项均正数两数列满足：．设求证：数列等差数列
探究2：含绝值数列问题
已知等差数列首项公差
（1）等差数列中第项开始出现负数？
（2）时求
探究3：三数四数成等差数列问题
1 三数成等差数列15方等83求三数
2 成等差数列四数26第二数第三数积40求四数
探究4：等差数列通项干性质探究
1 已知两数列等差数列公差分求
2 已知等差数列（）时否？果请出证明 思考否该结作进步推广？
例：等差数列中已知
3 （1）已知等差数列（）求
（2）已知数列通项公式：值________
4（1）等差数列数列中否成立？
（2）果数列中什结？
探究5：数阵数表问题
列数阵称森德拉姆筛特点行列等差数列
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
定义第行第列项求数列通项公式
探究6：等差数列探究性问题
已知数列满足：（）中常数
（1）时求值
（2）数列否等差数列？求出通项公式请说明理
补：
1 设首项20数列等差数列恰第8项开始正数公差取值范围_________
2 等差数列中果中项否成该等差数列连续三项？
变式：（2009北招生）已知整数组成穷等差数列中3项 求证：中项
3 设公差正数等差数列 105
4 等差数列图示行轴直线均匀分布群孤立点公差（填写等号）
5 已知数列通项公式（）
（1）数列否等差数列？说明理
（2）求证：意实数数列等差数列
6 已知等差数列：
（1）否中项？说明理
（2）（）数列中项否中项？说明理
7 等差数列中求数列通项公式
8 已知数列通项公式 求数列通项公式
9 关方程（）四根责成首项等差数列
10 夏季高山温度山脚起升高降低已知山顶处温度山脚处温度求山相山脚处高度
11 设等差数列前项
12 性质题：
（1）等差数列中已知
（2）已知等差数列意
（3）等差数列中值________
（4）已知数列满足：数列满足关系式
（1）求证：数列等差数列
（2）求数列通项公式
（5）设等差数列前项
求值 15
（6）等差数列前4项4040项80项720数列______项 48
12 某校高年级数学兴趣组位学利暑假某镇进行社会实践活动该镇养鸡场连续六年养鸡规模进行调查研究右图示两信息：A图表示第年均养鸡场出产1万鸡升第6年均养鸡场出产2万鸡B图表示第年30养鸡场减少第6年10养鸡场请根图中提供信息回答列问题：
（1） 第2年养鸡场数全镇出产鸡总数少？
（2） 年养鸡场规模？什？
13 等差数列中已知试求：
（1）值
（2）数列前项值 1617项取值68
解：（2）利研究通通项研究
14 等差数列公差前20项
2000
15 设数列等差数列果值_________
探究1：含绝值等差数列求问题
例：设等差数列通项公式设数列项满足求数列前项
探究2：等差数列前项值问题
1 （1）已知等差数列前项前少项？
（2）等差数列前项前少项？
（3）条件改类似结？
（4）般 前少项？
（5）等差数列求证：
法1：基量法证明
法2：图象图象关称
法3：：易证
（6）逆命题否成立？等差数列成立？
2 （1）设等差数列前项已知
（i）求公差取值范围
（ii）求中值
（2）已知等差数列前项值取正值时
（3）等差数列前项满足：时
（4）已知数列公差等差数列前项数列中
唯项数列首项取值范围
（5）等差数列中公差方程两根 数列前项满足条件然数
（6）项均整数等差数列中公差16
探究3：等差数列前项相关性质
1 已知等差数列前项首项公差________数列
例：设Sn等差数列{an}前n项已知S5 5S9 27S7 ．
2 已知等差数列前项首项公差
成等差数列公差_______
练：等差数列中16
3（1）已知等差数列前项
法1：基量法
法2：函数结构式
法3：具体标考虑利连续等项成等差数列性质
（2）设穷等差数列{an}前n项Sn
（i）首项公差求满足正整数k
（ii）求穷等差数列{an}切正整数k成立
4（1）等差数列前项354前12项中偶数项奇数项公差
（2）等差数列中前项（奇数）77中偶数项33数列通项公式______________
探究4：元方法认识
（1）已知数列中求
（2）已知利等差数列前项求公式推导方法求：
探究5：类求问题解决？
已知前项
（1）研究否找求公式？
（2）问题作般性推广？
推广：般等差数列裂项相消法求前项
例：已知数列通项公式 记求
两常变形：
8．(2009年宁夏海南) 等差数列{an}前n项Sn已知am－1＋am＋1－a＝0S2m－1＝38m＝______10
10．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7
(1)设f(x)图象顶点坐标构成数列{an}求证：{an}等差数列
(2)设f(x)图象顶点x轴距离构成数列{bn}求{bn}前n项Sn
11 已知等差数列前项已知数列前项求
12 等差数列中求值
13 设
14 (2012·南京模拟)流行性感(简称流感)流感病毒引起急性呼吸道传染病．某市年11月份发生流感．资料统计11月1日该市新流感病毒感染者20天新感染者均前天新感染者增加50．该市医疗部门采取措施该种病毒传播控制．某天起天新感染者均前天新感染者减少30．11月30日止该市30日感染该病毒患者总8670．问11月日该市感染病毒新患者数？求天新患者数．
解 设11月1日起第n(n∈N*1≤n≤30)日感染病毒新患者数11月1日第n日止日新患者数次构成等差数列等差数列首项20公差50前n日患者总数该数列前n项Sn＝20n＋·50＝25n2－5n第n＋1日开始11月30日止日新患者数次构成等差数列等差数列首项[20＋(n－1)·50]－30＝50n－60公差－30项数(30－n)
(30－n)日患者总数T30－n＝(30－n)·(50n－60)＋(－30)
＝(30－n)·(65n－495)＝－65n2＋2 445n－14 850
题意Sn＋T30－n＝8 670(25n2－5n)＋(－65n2＋2 445n－14 850)＝8 670
化简n2－61n＋588＝0解n＝12n＝49
∵1≤n≤30∴n＝12
第12日新患者数20＋(12－1)·50＝570
∴11月12日该市感染病毒新患者数天新患者数570．
15 等差数列中已知取值范围_______（图解法）
16 设等差数列前项
第七课时：等数列概念通项公式
线问题1：什等数列？（学3536页时间8分钟）
支线问题：数列递推式表示等数列？
例1：试判断列数列否等数列？出证明
（1）（2）（常数）
思考：三非零常数成等差数列成等数列该数列特征？
例2：三数成等数列简单等数列模型
等中项：果三数成等数列做等中项
思考1：意定两数否存等中项？请说明理
思考2：求4580等中项
思考3：已知两数等中项求
思考4：三数定成等数列？
例3：总结证明等数列方法：
（1）定义法：（常数）
（2）中项法：（）
思考1：已知公等数列
（1）等数列？果公少？
（2）等数列？果公少？
（3）等数列？果公少？
（4）等数列？果公少？
（5）等数列？果公少？
（6）数列前项掉余项组成数列等数列？果首项公分少？
（7）取出数列中项数7倍数项组成数列数列等数列？果首项公分少？
（8）数列……否等数列？果首项公分少？
认确定等数列需知道独立条件？
学生：首项公意两项意项公均
线问题2：等差数列项均等差数列首项公差表示等数列项否等数列首项公表示？
探究：妨特殊般填空题：
………………
支线问题
1 特殊般属合情推理推理未必正确需进行严格证明证明等数列通项公式呢？回顾等差数列通项公式研究方法类出推导等数列通项公式？
2 种推导方法称叠法（累法） 果等数列递推公式否利累法求通项公式？通两案例什启示？
3 研教材例题13 时间8分钟
例1解读：基量运算：已知确定等数列
思考：（1）等数列中否表示？果出形式
（2）已知等数列中求公？
例2解读：等数列中奇数项符号致偶数项符号致
进行等数列关计算时注意开方正负
例3解读： （）形式
表明：（1）等数列通项公式总表示常数指数函数形式思考逆命题否真命题出证明
（2）试述正项等数列公数列单调性关系？
探究问题：等差数列等数列联系
已知数列求证：
（1）数列公差等差数列数列公等数列
（2）数列公正项等数列数列公差等差数列
（3）出更般结？
等数列概念通项公式问题研究五
探究1：等数列通项公式结构特征
思考1：函数观点等数列通项公式成具样结构特征？
思考2：思考逆命题否真命题出证明
思考3：试述正项等数列公数列单调性关系？（2012年命题背景）
思考4：已知数列中数列等数列
探究2：等差数列等数列联系
已知数列求证研究列问题：
（1）数列公差等差数列数列公等数列
（2）数列公正项等数列数列公差等差数列
（3）出更般结？5
思考1：已知等数列满足时
思考2：设中常数果等差数列求证：等数列
探究3：等数列中研究列问题：
（1）（）时否？果请出证明 思考否该结作进步推广？
例1：等数列中求值
例2：等数列中
（2）三数成等数列积等27方等91求三数
变式：四数中前3数成等差数列3数成等数列第数第四数16第二数第三数12求四数 04816 15931
（3）已知等数列公值_______
（4）意等差数列连续等项成等差数列性质规律推广等数列中？试着说出证明猜想？
（5）设数列前项已知求证：数列等数列
探究4：分形问题
图边长1正三角形两条边三等分中间段边形外作正三角形擦中间段图（2） 继续图（3）…… 试探究第图形边长周长
分形（Fractal）词汇创始美国数学家曼勃罗教授1975年夏天寂静夜晚冥思苦想余翻子拉丁文字典时想拉丁文原意：产生规碎片分形性质做相似性质 雪花曲线做科赫雪花曲线局部放整体全等图形着划分增加曲线周长逐渐趋穷曲线围成面积接确定常数
第八课时：等数列前项
情境中提炼出问题：
1．探索问题思考方
1首项2公等数列前n项计算呢？学生亲试试学生刚学完推导等差数列前n项公式然会尝试倒序相加法求结果显然行通．时教师引导学生反思等差数列前n项结果形式实质关函数类似否表示等数列前n项呢？
设计意图学生实际出发学生刚学完倒序相加法必然会尝试成功．引导学生反思出进问题探求方：寻找{}通项公式．
2．尝试问题探索结果
结果呢？{}通项公式．（先猜证）
（1）．
猜想：
（2）果公3456呢？计算
（分四组分计算出猜想结果）
猜想：公3时公4时
公5时公6时．
（3）般 结果什？
猜想：时．
设计意图组特殊情形出发引导学生进行纳猜想进提升学生数列通项纳力促进合情推理力发展．处纳非教学重点分组计算猜想结果仅节省教学时间学生学会相互分享研究成果．
3．导出问题般证明
证明猜想：时？
引导学生分析：欲证成立需证明
写出两式相减猜想公式成立．
般等数列前n项公式
设计意图通纳猜想证明数学活动首先重视数学思想方法数学教学中渗透次学生历知识创造程效突破技巧性强难点
4．反思问题处理方法
前面证明程分析思路正等数列重性质出现众公项种方法错位相减法．否起样化简效果？（历学生尝试发现）起化简效果较种处理起更简洁？
设计意图通分析问题处理方法体现思维批判性择优选取揭示化简质．学生熟练掌握错位相减法基础．
5．揭示问题质思想
教师点拨：通错位相减法等数列前n项中省略号（……）消起消项作．等差数列前n项公式推导中利倒序相加法实现消中省略号（……）数学思想方法讲限化限凸显求质消项．
设计意图等差数列前n项等数列前n项求运算方法类数学思想方法统消项目．学生揭示质思想利数列前n项公式整体认识进步加深关n函数整体认识呼应先前设计．
公式思考：
思考1：公式表明已知等数列首项公（基量）求出该等数列意前项否利首项末项求等数列意前项？
思考2：（1）公式结构说什样特征？（考察公式函数意义）
（2）逆命题否成立？
（3）般果数列前项（中常数）数列定等数列？
研教材5657页例1 — 例3
解读1：（1）利基量求（2）利首末两项求
解读2：等数列通项公式前项中知道中量确定量？
变式：等数列中已知
思考：否类等差数列中相关性质更般性结？
解读3：分组求法求（中等差数列等数列）前项
探究问题三
探究1：求问题
（1）求：
（2）某工厂年1月份产值元月均增长率求工厂年产值
（3）求
（4）求
（5）求（等数列配等差系数）
（6）求：
探究2：等数列中求值
探究3：（必修五教材62页）
设Sn等数列前n项S3S9S6成等差数列求证：a2 a8 a5成等差数列
变式1：写出命题逆命题判断真假
变式2：针原命题出般性结出证明
变式3：设等数列前项公
（1）成等差数列求证：成等差数列
（2）互相等正整数）成等差数列试问数列中否存三项成等差数列？存写出两组三项存请说明理
（3）1正整数试问中否存项恰表示该数列中连续两项？请说明理
总复题参考：
1 数列中
（1）设求证数列等数列
（2）设求证数列等差数列
（3）求数列通项公式前项公式
2 作边长正三角形切圆圆作接正三角形作新三角形切圆求前切圆面积
3 某厂年1月份产值元月均增长率求工厂年产值
已知数列首项前项三点线（该直线原点）＝ ．
等差数列前n项Sn值Sn取正值时n ．
已知数列满足（）时＝
等数列中前项数列等数列等
设{an}等差数列{bn}等数列a1＝b1 ＝1 a2+a4 ＝b3b2b4＝a3分求出{an}{bn}
前10项S10T10
10 设数列等差数列等数列求数列前10项
11 7数排成行奇数项成等差数列偶数项成等数列奇数项偶数项积差42首尾两项中间项27求中间项
12 设
13 等数列前项_______________
14 已知等数列前项求值
15 已知三数成等数列26方1092求三数
16 边长等边三角形中圆切圆圆圆外切相切次继续圆圆相切 记圆面积求数列通项公式 （关键：寻找递推关系）
17 已知数列等差数列
（1）判断数列否等差数列说明理
（2）果(常数）试写出数
列通项公式
（3）（2）条件数列前项问否存样实数
仅时取值存求出取值范围存说明理
18 果穷数列满足条件称称数列 例数列12521数列842248称数列
（1）设数列7项称数列中成等差数列请次写出数列项
（2）设数列项数称数列中50首项4公差等差数列 数列项值时取值？值少？
（3）设数列100项称数列中2首项3公差等差数列求数列前项（）
19 已知方程4实根调整组成2首项等数列 24
20（1）已知数列中数列等数列求常数p
（2）设公相等两等数列证明：数列等数列
21 已知数列中首项1公差1等差数列公差等差数列公差等差数列（）
（1）求
（2）试写出关关系式求取值范围
（3）续写已知数列公差等差数列……次类推已知数列推广穷数列 提出（2）类似问题（（2）应作特例）进行研究什样结？
解（1）
（2）
时
（3）数列推广穷数列中首项1公差1等差数列时数列公差等差数列
研究问题：试写出关关系式求取值范围
研究结：
次类推
时取值范围等
22 已知数列前项满足
（1）求数列通项公式
（2）求证数列中存意三项原序成等差数列
23 等数列中
2 等数列{}公已知1{}前4项
3 等差数列前项
4 已知数列前项数列前项
5．图条螺旋线方法画成：△ABC边长1正三角形
曲线分圆心半径
画弧曲线称螺旋线然圆心半
径画弧……样画第圈螺旋线…
总长度________________
6．图甲第七届国际数学教育会(简称ICME7)会徽图案会徽体图案图乙连串直角三角形演化成中OA1A1A2A2A3…A7A81果图乙中直角三角形继续作记OA1OA2…OAn…长度构成数列{an}数列通项公式
7 等数列项首项奇数项等85偶数项等42
8 等数列前项积确定常数数列中常数项
9 等数列中前三项公______
10 等数列前n项公q
11已知数列满足
（1）证明：数列等数列（2）求数列通项公式
（3）数列满足证明等差数列
（消两次中项法证明等差数列问题）
12 已知等差数列满足：数列前n项
（1）求数列通项公式
（2）令试问：否存正整数n等式成立？存
求出相应n值存请说明理（式分解）
1 数列前项
值_________．
2．数列通项公式该数列前n项等n＝_________．
3 等差数列{an}中a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝1202 a10－a12值_________．
4 正整数排成表：
数表中2008出现第_________行．
5 图杨辉三角形中斜线l方1箭头方
构成锯齿形数列记前项值_________．
6．已知等差数列前 n 项 Sn Tn 意然数 n
_________．
7 数列满足_________．
3 已知等差数列{an}中首项a1＝1公差d整数满足a1+3＜a3a2+5＞a4数列{bn}满足前n项Sn．（1）求数列{an}通项公式an（2）S2S1Sm(m∈N*)等中项求正整数m值．
1 首项－24等差数列第10项起开始正数公差取值范围________
2 图示 ① ② ③ … … 花盆摆成图案根图中花盆摆放规律猜想第图形中花盆盆数________
3．数列a1a2…ann项正项数列记Õn
前n项积定义叠
加积．果2007项正项数列a1a2…a2007叠加积220082008项数列
2 a1a2…a2007叠加积________
4 设数列满足数列通项公式
an________
5 已知函数数列满足递
增数列实数取值范围________
6 限数列前n项定义凯森99项数列凯森1000100项数列凯森________
7 设…项零（）项等差数列公差．数列删某项数列（原序）等数列数组成集合__________．
3 已知数列前n项N*现前项中抽出项（）余项算术均数抽出第 项．
4 等数列项均正数前项前项积前项倒数列关系成立 （填写正确命题序号）
① ②＞ ③ ④＞
5 函数定义R恒0函数意数列前n项Sn取值范围
6 数列满足（常数）称数列等数列k称公．已知数列3公等数列中
7 已知数列满足：（m正整数）
m取值
8 已知数列通项公式成等差数列取值集合
11 设{an}公差d≠0等差数列Sn前n项．
（1）a1＝4求数列{an}通项公式
（2）否存等差中项？证明结．
7 已知数列前项意点函数图．
（1）求数列通项公式
（2）设数列等差数列求非零常数值
（3）设数列前项求成立正整数．
9 部分然数构成图数表表示第行第数（）行中余数分等肩膀两数设第行中数
（1）求
（2）表示
（3）试问：数列中否存三项（）恰成等差数列？存求出关系存请说明理
2 设等差数列前n项该数列前m项m__________．
3 已知数列满足令．
4 等差数列公差2
_____．
5 等差数列前n项分．
7 设{an}等数列列四说法：①{ an2 }定等数列 ②{ an+an+1 }定等数列③{ }定等数列④{ lgan}定等数列正确数________
8 已知数列满足（常数）
．
9 定25数排成右图示数表行5数
左右序构成等差数列列5数
序构成等差数列表正中间数a33＝1表中
数
10 已知数列满足前项满足等式恒成立正整数
13 已知二次函数等式解集元素设数列前n项
（1）求数列通项公式
（2）设求数列前n项
（3）设项均0数列中满足正整数数称数列变号数求数列变号数
11 学电脑中出干圈○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…干圈规律继续系列圈前2011圈中●数 61
14 知道果定义某区间函数满足该区间意两数总等式成立称函数该区间凸函数（简称凸） 类述定义数列果意正整数总等式：成立称数列凸数列（简称凸数列） 现数列满足两条件：
（1）数列凸数列
（2）正整数（）中
数列中第五项取值范围
设等差数列前项．
（1）求数列通项公式前项公式
（2）设数列通项公式问 否存正整数t
成等差数列？存求出tm值存请说明理
解：（1）设等差数列公差d 已知
解
（2）（1）知成等差数列必须
整理
mt正整数取t 235
时时
时
存正整数t成等差数列
设等差数列前项
值 ．
数列存实数等差数列 ．
2 等差数列中已知S420 ．
设数列前项
（1）求常数值
（2）求证：数列等差数列
已知等数列{an}公q首项a1前n项Sn．数列{an2}前n项An数列{(1)n+1an}前n项Bn．
(1) A25 B2 —1求数列{an}通项公式
（2）①n奇数时较Bn SnAn
②n偶数时问否存常数（n关）等式（Bn—）Sn+An0恒成立存求出值存说明理
20．数列前n项存常数意正整数n成立
（1）数列等差数列求值
（2）设数列前ｎ项求
（3）首项1等差数列设求超M整数值
解．（1）等差数列设公差
意正整数成立．
．
（2）
时
数列首项公等数列． ．
①② ①②
．
．
（3）首项等差数列⑴知公差．
超M整数100
已知函数二次函数等式解集意
恒
（1）求解析式
（2）数列满足求数列通项公式
（3）设（2）条件数列前n项求数列
前n项
专题1：数列通项公式求法探究
基础热身
① 已知数列中数列通项公式__________
② 已知数列中数列通项公式__________
③ 已知数列中 数列通项公式__________
④ 已知数列中数列通项公式__________
⑤ 已知数列中数列通项公式__________
二探究学：递推式求通项公式呢？
① （常数） ② （常数）
③ （常数） ④ （）
⑤ （非零常数） ⑥ （非零常数）
方法总结：（1）周期数列分段写出通项
（2）周期数列分段写出通项
（3）定系数法转化等数列
（4）取数法
（5）取倒数法
（6）两边转化等差等数列
问题研究：列举具体数列递推式子推求通项公式？
①
②
③
④
⑤
⑥ 已知数列满足求证：等数列求数列
通项公式
⑦ 已知数列满足求证：等数列求数列通项公式
深度探究1：已知数列满足：求数列通项公式呢？
深度探究2：宇学提出新问题：果数列满足
数列等差数列等数列 认宇学观点正确？试阐述观点
专题2：数列中整体思想
感悟 理解
1．数列{an}满足________
2 值________
3 等差数列中前项________
4 数列满足
5 已知等数列{an}中 ________
二尝试 总结
例1 等差数列中 ________
变式 设等差数列前项____
例2．数列满足试确定t值数列等差数列
变式 设穷等差数列{an}前n项Sn 求穷等差数列{an}切正整数k成立
例3．设数列前项等式等差数列正整数恒成立值_________．
例4．设首项公差等差数列前项 记
中实数
（1）成等数列证明：
（2）等差数列证明：
三反馈 检测
1 已知三数x+log272x+log92x+log32成等数列公_________．
2 已知命题：等差数列中定值真命题印刷问题括号处数模糊清推括号数_________．
3 已知等差数列前项数列前20项
_________．
4 （2013年苏州）设数列前项满足（）．
（1）求证数列等数列求数列通项公式
（2）已知数列等差数列求值．3
5 首项a公q等数列中设前项x y _________．
6 已知公差零等差数列前项满足
（1）求数列通项公式
（2）否存常数k数列等差数列存求出常数k存请说明理
四拓展 升华
1 设项均正数数列前项已知数列公差等差数列求数列通项公式（表示）
2 已知等差数列{an}中公差d>0前n项Sn设求证：
变式：设数列{an}正数组成等数列前n项Sn证明：
3 （2014年苏锡常镇四市高三数学模）设项均正数数列前n项Sn
已知切成立．
（1）λ 1求数列通项公式
（2）求λ值数列等差数列．
解：（1）λ 1．
∵ ∴
∴
化简．①
∴时．②
② ① ∴（）．
∵n 1时 ∴n 1时式成立
∴数列{an}首项1公2等数列 an 2n1（）．
（2）令n 1．令n 2．
数列等差数列必须解λ 0．
λ 0时．
n≥2时
整理
化简．
综述（）
λ 0时数列等差数列．
注：题利等差数列结构式完成
例1
基础热身
专题3：简单数列方程问题
专题4：数列中类存性问题
（2014苏）已知常数λ≥0设项均正数数列{an}前n项Sn满足：a1 1
（）．
（1）λ 0求数列{an}通项公式
（2）切恒成立求实数λ取值范围．
已知数列中前项．
（1）求
（2）求证：数列等差数列写出通项公式
（3）设求超整数．
解（1）令． ……………………… 3分
（2）（1）．①
时②
①－② ………………………… 5分
．③
．④
④－③
（）
（）． ………………………… 8分
数列等差数列．
公差通项公式． ……………………… 10分
（3）（2）． ………………………… 11分
． …………………… 14分
．
超整数． …………………………… 16分
周期性：已知数列{an}满足an＝an－1－an－2(n≥3n∈N*)前n项Sn．S9＝6S10＝5a1值 ． 1
设项均正整数穷等差数列{an}满足a542014存正整数ka1a54ak
成等数列公差d取值 ． 92．
解：等差数列等数列两基数列．求解时应注意基量方法注意目标意
识应注意减元意识渗透．穷整数数列意味着公差d非负．略解：易知d0成
立．d>0时(a5453d)(a54+(k54)d)d．
(k54d)∈{(53×219)(53×1936)(53×3837)}．d0+19+36+3792．
设数列{an}a11．数列{bn}．正数数列{dn}．
(1) 求证：数列{bn}等差数列
(2) 设数列{bn}{dn}前n项分BnDn求数列{bnDn+dnBnbndn}前n项Sn．
解：(1) ．
．·······························································3分
b1a11数列{bn}1首项1公差等差数列．·····················4分
(2) (1)Bn．·············································6分
．
dn>0．
． ······································································10分
n≥2时
bnDn+dnBnbndn(BnBn1)Dn+(DnDn1)Bn(BnBn1)(DnDn1)BnDnBn1Dn1
Sn(BnDnBn1Dn1)+(Bn1Dn1Bn2Dn2)+…+(B2D2B1D1)+B1D1BnDn．··········14分
S1b1D1+d1B1b1d1B1D1适合式意n∈N*SnBnDn．
SnBnDn． ···································16分
注：（1）加强数列问题研究思路形成2014南通三模20（1）2010盐城模
（2）加强配凑问题目标意识形成
2014苏锡常镇二模14（命制）
2014南通三模20（1）
2014盐城三模14
已知数列{an}满足：
（1）求数列{an}通项公式
（2）4时否存互相正整数rst成等数列？存出rst满足条件存说明理
（3）设S数列{an}前n项意恒成立求实数取值范围
法：直接通构造作差
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（）基础题
1 正项等数列中前项 ．
2 等数列{an}中已知a3 4a7 a4 + a6 ．
114 已知等差数列{an}满足：a1 2a2 + a3 13a4 + a5 + a6 ____．
115 正项等数列{an}前n项积Tn 32a4
116 首项a公q等数列中设前项x y _________．
117 等差数列{an}公差1Sn ≥S8 切恒成立首项a1取值范围 ．
119 已知数列{an}等差数列数列{|an|}项第_____项．
1110 等数列{an}前n项S20092S20103S2011成等差数列{an}公______．
1111 已知数列满足值_______
12 设数列首项前n项Sn 满足( n) ．满足n ．
13 记集合P { 02468 }Q { m | m 100a1 +10a2 + a3a1a2a3ÎP }集合Q中元素排成递增数列数列第68项_______．
14 已知集合A { x | x2＋a≤(a＋1)x}存集合A中整数元素28实数a取值范围________．
15 设a1d实数首项a1公差d等差数列{an}前n项Sn满足S5S6 + 15
0d取值范围____________．
16 已知等差数列前n项Sn
列真命题序号 ．
①②③④．
已知等差数列{an}公差d0等数列{bn}公q1正理数．a1 db1 d 2正整数q等________．
17 已知数列通项公式前项_________
已知数列满足 记数列前项值
1（必修五教材32页）已知数列通项公式数列项中
项数列第_______项
2（必修五教材35页）已知公差等差数列
否等差数列？____________
3（必修五教材44页）等差数列前项354前12项中偶数项奇数项公差
（必修五教材61页）等差数列中前项（奇数）77中偶数项33数列通项公式______________
4（必修五教材40页）已知等差数列中第1项第10项310第11项第20项910第21项第30项_______
变式：
5（必修五教材49页）三数成等数列积27方91三数
___________
6（必修五教材51页改编）等数列中已知（1）求数列通项公式 ______________（2）求____________
7（必修五教材56页）求_________________
8 等数列中 q
9 等数列项均正数
10（必修五教材61页） 0常数__
数列概念：
1 已知数列通项公式
（1）2否中项？（方程思想）
（2）该数列中否0项？（等式思想）
2 已知数列首项
斐波契数列通项公式
3 已知数列通项公式数列第_____项
4 已知数列通项公式
（1）求值
（2）求值
5 设等差数列前项正整数
．13
6 已知公差（）等差数列公（）等数列．集合
16
7 钝角三角形三边长均正整数组成公差3等差数列样三角形 5
8 图正方形边长分作边三等分点
正方形分取边三等分点正方
继续正方形……正方形面积
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A2
B2
C2
D2
A3
B3
C3
D3
9 已知等数列公满足等式
正整数值 7
10 已知数列函数切正整数n数列中项函数两零点__________
（二）基础题
1 设等差数列公差d前n项已知．
（1）求数列通项公式
（2）互相等正整数等差数列满足求数列前n项．
解：（1）已知 解 …………………4分
∴． ……………………………………………………………6分
（2）正整数 （1）． …………………8分
进步已知． ………………………………………10分
∵等差数列∴公差． ………………12分
．
∴． …………………………………………14分
2 数列中（零常数）成等数列．（1）求值（2）求通项公式（3）求数列前项．
3 设数列前项满足
（1）求数列通项公式
（2）设数列满足时恒成立求实数取值范围
4 已知等差数列首项公差b等数列首项b公q中b1整数
（1）求b值
（2）2数列前n 项数列前n 项记实常数）
① 数列等差数列求值
② 切恒成立求取值范围
2 数列综合问题
1 （点评：隔项成等差数列项式恒等放缩法证明等式难度略）
已知项均正数两穷数列满足．
（Ⅰ）数列常数列（项相等数列）时求数列通项公式
（Ⅱ） 设公差0等差数列求证：数列穷数列惟确定
（Ⅲ）设求证：．
解：（1）数列常数列
…①
…②
①②……………2分
说明数列序号奇数项序号偶数项均原序构成公差2等差数列 …………………………………4分
（2）设公差分
通项公式代入
n恒等式解……………7分
取穷非零实数数列穷数列惟确定……8分
（3）
………………………10分
．
．…………14分
．．……………………………16分
191．数列{an}满足：a1 5an+1－an 数列{bn}前n项Sn满足：
Sn 2(1－bn)．
（1）证明：数列{an+1－an}等差数列求出数列{an}通项公式
（2）求数列{bn}通项公式求出数列{anbn}项．
192 设数列前项已知（常数）
．
（1）求数列通项公式
（2）求满足等式成立正整数．
193．已知项均正数数列{an}前n项Sn数列{an2}前n项Tn满足a1 1．
（1）求p值数列{an}通项公式
（2）① 问否存正整数nmk（n < m < k）anamak成等差数列？存指出nmk关系存请说明理．
② an2xan+12yan+2成等差数列求正整数xy值．
194 已知数列项均等差数列公差前项满足．数列满足数列前n项．
（1）求
（2）意等式恒成立求实数取值范围
（3）否存正整数成等数列？存求出值存请说明理．
195 设首项公差等差数列前项 记中实数
（1）成等数列证明：
（2）等差数列证明：
196 设穷等差数列{an}前n项Sn
(Ⅰ) 首项公差求满足正整数k
(Ⅱ) 求穷等差数列{an}切正整数k成立
197 已知数列{dm}通项公式dm 2m 1．数列{dm}分组：(d1)(d2d3d4)(d5d6d7d8d9)…(组数数构成等差数列)．设前m组中数(cm)4(cm>0) ．
（1）求数列 { 2Cndn } 前n项Sn
（2）设N超20正整数n > N时（1）中Sn求等式 (Sn－6) > dn 成立N取值数．
198 已知数列{an}{bn}满足bn an＋1 an中n 123…．
（1）a1 1bn n求数列{an}通项公式
（2）bn＋1bn－1 bn (n≥2)b1 1b2 2．记cn a6n－1(n≥1)
求证：数列{cn}等差数列．
199 已知数列{an}通项公式an 2n 1（）设数列{bn}通项公式问：否存正整数tb1b2bm（）成等差数列？存求出tm值存请说明理．
1910 已知数列{an}满足a1 2前n项Sn
（1）数列{bn}满足bn a2n + a2n+1试求数列{bn}前n项Tn
（2）数列{cn}满足cn a2n试判断数列{cn}否等数列说明理
（3）p 问否存存求出n值存请说明理．
1911 数列{an}中a1 1意a2k1a2ka2k+1成等数列公qk
（1）qk 2（）求a1 + a3 + a5 + … + a2k1
（2）意a2ka2k+1a2k+2成等差数列公差dk设
① 求证：{bk}成等差数列指出公差
② d1 2试求数列{dn}前n项Dk
变式：数列中意成等数列公
成等差数列公差设
（1）求值
（2）求证：数列等差数列
（3）设否存成等数列．存求出符合条件值存请说明理．
解：（1）∵∴
解 ………………4分
（2）∵成等差数列 ∴
…… 6分
数列公差1等差数列 ………9分
（3）
∴ ．
假设存成等数列
．
整理 ． …………12分
．
解．
时．
存成等数列． ………16分
1912 2012届苏锡常镇模试题
数列{an}中a1 1a2 2．数列{bn}满足．
（1）数列{an}等差数列求数列{bn}前6项S6
（2）数列{bn}公差2等差数列求数列{an}通项公式
（3）b2n b2n 1 0求数列{an}前2n项T2n．
13 （2009清华学招生）写出3素数组成公差8等差数列
14 设数列前项
（1）求
（2）设判断数列否等数列证明结
（3）时数列前n项求然数n
解：（1）
………………5分
（2）时
时 …………8分
数列等数列
时数列等数列时数列等数列 ……11分
(3)（2）知时数列等数列
∴
∴ ………………13分
∵
∴数列单调递增
∴然数 ……………16分
3 教材题研究
1 等数列中道题研究
1（苏教版必修5 ）
设Sn等数列前n项 S3S9S6成等差数列 求证：a2 a8 a5成等差数列
变式0：设等数列{an}前n项Sn (n∈N*)．S3S9S6成等差数列
值
变式1： 写出命题逆命题判断真假
变式2： 针原命题出般性结出证明
变式3： 设等数列前项公
（1）成等差数列求证：成等差数列
（2）互相等正整数）成等差数列试问数列中否存
三项成等差数列？存写出两组三项存请说明理
（3）1正整数试问中否存项恰表示该
数列中连续两项？请说明理
练：设等数列{an}前n项Sn (n∈N*)．S3S9S6成等差数列
值 ．
专题1：数列中关问题探究
例1（1）已知数列{}前项通项
（2）已知正数数列{}前项通项
例2已知数列前项满足求数列通
项公式
例3 已知数列前项（）满足求数
列通项公式
例4 已知项均正数数列前项数列前项．求数列通项公式
四巩固练
1已知正数数列前项通项
2设数列前项已知通项
3已知数列前n项Sn满足an ¹ 0．
（1）求证：（2）设求数列前n项Tn．
五课练
1填空题
（1）已知数列前项通项
（2）设正数数列前项点均曲线
通项
（3) 已知项均正数数列前项满足 n∈N*通项
(4）设数列前项已知 n∈N*设通
项
2(2011江苏高考20)设部分正整数组成集合数列首项前项
已知意整数时成立．设
求值
3(2010江苏高考19)设项均正数数列前项已知
数列公差等差数列求数列通项公式（表示）
4已知数列中前项
（1）设数列求证：数列等数列
（2）设数列求证：数列等差数列
（3）求数列通项公式前项
专题2：数列方程学案
题型：（建立方程组解数列常规题）
1（必修5第40页例2）等差数列中已知
2（江苏2009）设公差零等差数列前项满足数列通项公式
题型二：（构造新方程解中档题）
3已知数列前n项
变式：设数列前n 项满足．证明数列等差数列
2（苏锡常镇2012届二模）已知数列前三项分数列前项满足中意正整数求数列通项公式．
题型三：（数列定方程）
1．(2009年江苏高考题改编)已知数列通项公式．试求正整数
数列中项．
2 ．(南通市2013届高三期末改编)已知数列通项公式．试问否存正整数(中)成等差数列？存求出满足条件数组存说明理．
链接练：
1已知数列前项数列等数列满足
等差中项求数列通项公式．
2（2014届9月测试卷）设数列前n 项意满足
．求数列通项公式．
3（南通市2013届高三期末）已知数列{an}中a21前n项Sn．
（1）求a1（2）证明数列{an}等差数列写出通项公式．
4（苏锡常镇2013届模）设数列项均正数前项意正整数恒成立求数列通项公式．
5．（2007福建理22改编）已知数列通项公式
求证：数列中意三项成等数列．
6 已知问数列中否存三项构成等差数列存请求出组适合条件项存请说明理．
专题3：等差等数列中恒成立问题
基础训练
1 等数列{}前项已知成等差数列等数列{}公 ______________．
2 等数列中 已知 ______________．
3已知数列时成立______________．
思考：解题程中数学思想方法？
例题精讲
例1 设穷等差数列{an}前n项Sn
（1）首项公差求满足正整数k
（2）求穷等差数列{an}切正整数成立
例2 已知数列项均正数记 @~]
（1）意三数组成等差数列求数列通项公式
（2）证明：数列公等数列充分必条件：意三数组成公等数列
例3 已知数列奇数项公差等差数列偶数项公差等差数列数列前项．
（1）求
（2）已知意恒成立求证：数列等差数列
（3）存正整数．求时数列通项公式．
课外作业
1设数列等差数列____________
2设等数列公前项成等差数列值______________．
3已知数列公差0等差数列等数列中存常数意正整数 ________．
4等差数列中记数列前项恒成立求整数值．
5等差数列中
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）意数列中落入区间项数记求数列前项
6设首项公差等差数列前项记中实数
（1）成等数列证明： （）
（2）等差数列证明：
专题4：数列中等关系
1 正项数列{an}满足a1 1a2 2{}公等数列等
式＞2013成立整数n 6
变式：（2013年江苏高考试题14）
专题5 数列中类存性问题研究
1 设公差零等差数列项均整数Sn前n项．
（1）求数列通项公式
（2）试求正整数m数列中项．
解（1）等差数列．…2分
设公差d
化简解
知满足数列项均整数．5分
．………………………………7分
（2）
数列中项必须3倍数
中取值
3倍数．
． …………………………13分
时时．
求m值34．……………………………16分
解：
数列中项必须3倍数
取1．（略）
变式：（2009年江苏高考题）
题组
1．设等差数列前项．
（1）求数列通项公式前项公式
（2）设数列通项公式问：否存正整数t
成等差数列？存求出tm值存请说明理．
解析（1）
（2）成等差数列
： ：
∵∴取235 时时时．
注存等价方程解例利整性质解决．
2．（09年江苏卷17）设公差零等差数列前项满足．（1）求数列通项公式前项
（2）试求正整数数列中项．wwwks5ucom
解析（1）设公差性质
解通项公式前n项．
(2) 中项
令
： 8约数． 奇数取值
时时（舍）．
满足条件正整数．
注仅利整性质解决利奇偶性分析．
3． （南通市2013届高三期末）已知数列{an}中a21前n项Sn．
（1）求a1 （2）证明数列{an}等差数列写出通项公式
（3）设试问否存正整数pq(中1
（2） ①
． ②
②－①． ③
． ④
③+④．
a10a21a2－a11
数列{an}0首项1公差等差数列．
ann－1．
（3）解法1：假设存正整数数组(pq)b1bpbq成等数列lgb1lgbplgbq成等差数列．
时<0数列{}( )递减数列
时<0数列{}()递减数列
时
时正整数q成立．
解法2：数列{}( )递减数列
时成立时
时
注利范围控制正整数值时常求值域方法：单调性．例蕴含分类讨思想．
题组二
1已知项均正数等数列公．数列中否存三项成等差数列？说明理．
解析知数列递减数列
假设存成等差数列妨设
矛盾．
数列中存三项成等差数列．
注常反证法说明定方程正整数解存．
2．（2010年湖北理）已知数列满足：数列满足：．
（1）求数列通项公式
（2）证明：数列中意三项成等差数列．
解析（1）题意知 令
数列首项公等数列
．
（2）假设数列存三项某种序成等差数列数列首项公等数列 成立
：
式左边偶数右边奇数式成立导致矛盾．
数列中意三项成等差数列．
注题例补充方法区便利范围寻找矛盾时考虑式子变形呢？首先考虑分数整数化然利奇偶性寻找矛盾．
3．（2007福建理22）等差数列前项．
（1）求数列通项前项
（2）设求证：数列中意三项成等数列．
解析（1）已知
．
（2）（1）．
假设数列中存三项（互相等）成等数列．
．
．
矛盾．
数列中意三项成等数列．
注反证法中利理数性质产生矛盾．
课堂结
数列中类存性问题定方程正整数解问题
存（正整数）解
存（正整数）解
（1）整性
（2）奇偶性
（3）范围
（1）范围
（2）奇偶性
（3）理数性质
课溯源
（选修22教材P84第9题）证明：13等差数列中三项．
选编说明
数列高中数学核心概念高考中占重位历年高考解答题中基居压轴题位置．江苏省0809年高考中数列解答题考查数列中类存性问题类问题般转化求定方程正整数解问题数函数方程等式等知识集体蕴含丰富数学思想年省市模拟卷中常出现．通数列中类存性问题研究学生加深数列概念理解学会类问题常处理策略提升分析转化解决问题力．
课巩固：
1（2011高淳高级中学19）公差d≠0等差数列{an}前n项Sn已知a1＝2＋S3＝12＋．
（1）求数列{an}通项公式an前n项Sn
（2）记bn＝an－然数满足成等数列中求（k表示）
（3）记cn＝试问：数列{cn}中否存三项crcsct(r＜s＜trst∈N*)恰成等数列？存求出三项存请说明理
分析子数列问题研究基着力点算两次
解答（1）
（2）题意首项数列公
（3）易知假设存三项成等数列
整理…12分
解矛盾
综述存满足题意三项
反思反证法中利理数性质产生矛盾数列问题中常见方法．
2（2008江苏19）（1）设项均零（）项等差数列公差数列删某项数列（原序）等数列．
（i）时求数值 （ii）求值．
（2）求证：定正整数()存项公差均零等差数列中意三项（原序）组成等数列．
分析等差数列中抽取项成等数列应该基量方法方程中端倪．
解答（1）①n4时 中删首项末项否等差数列中连续三项成等数列推出d0．
删化简
删化简
综．
②n5时 中样删否出现连续三项．
删化简删
n≥6时存样等差数列．事实数列中删首项末项删必矛盾样删矛盾删中意必矛盾．(者说：n≥6时删项剩余项中必连续三项)
综述．
（2）假设某正整数n存公差dn项等差数列中（）意三项成等数列化简 （*）
知时0时0
时0时题设矛盾．
时0（*）
xyz整数式右边理数理数．意正整数理数相应数列满足题意求数列．例n项数列1……满足求．
反思第3问懂题意找满足条件数列．
3．（2012届苏北四市模）设数列前ｎ项已知常数
）
（1）求值 （2）求数列通项公式
（3）否存正整数成立？存求出符合条件序实数存说明理
解：⑴题意知解
⑵⑴知①
时②
①②
首项公等数列
．
⑶⑵
（常数分离）
．
时
时
时
综知存符合条件序实数：．
4．（12南京二模）数列满足：
（1）求数列通项公式
（2）时否存互相正整数成等数列？存出满足条件存说明理
（3）设数列前n项．意恒成立求实数取值范围．
解析（1）
时 ①
②
① ②（）
（）
（2）时
存成等数列
奇偶性知
矛盾．
存互相正整数成等数列
（3）
5．（连云港市2013届高三期末）已知数列{an}中a2a(a非零常数)前n项Sn满足
Sn(nÎN*)．
（1）求数列{an}通项公式 （2）a2求mn值
（3）否存实数ab意正整数p数列{an}中满足项恰第3p－2项？存分求出ab取值范围存请说明理．
解：（1）已知a1S10＼Sn
Sn+1＼2(Sn+1－Sn)(n+1)an+1－nan
(n－1)an+1nan＼nan+2(n+1)an+1两式相加2an+1an+2+annÎN*
an+1－an+1an+1－annÎN*数列{an}等差数列．
a10a2a＼an(n－1)a．
（2）a2an2(n－1)＼Snn(n1)．
n2n+11(m1)24(m1)2－(2n1)243
＼(2m+2n3)(2m－2n1)43．
∵43质数2m+2n3>2m2n12m+2n3>0
＼解m12n11．
法：n2n+11(m1)2
显然方程组解
时时方数中项解
时时方数中项整数逐项检验整数解
法二：n2n+11(m1)24(m1)2－(2n1)243
＼(2m+2n3)(2m－2n1)43 ∵43质数 2m+2n3>2m－2n1 2m+2n3>0
＼解m12n11
（3）an+b£pa(n－1)+b£p．
a<0n³+1合题意舍
a>0n£+1．
∵等式an+b£p成立正整数解3p－2
＼3p－2£+1<3p－1
2a－b<(3a－1)p£3a－b意正整数p成立．
＼3a－10解a
时－b<0£1－b解
6．（徐州市2013届高三期末）已知令意正整数时时
（1）求数列通项公式
（2）意正整数恒成立问否存等数列？存求出满足条件存说明理
解：（1）时
时
数列首项公等数列
．
（2）
假设存等数列
化简题中矛盾
存等数列．
7 （常州市2013届高三期末）已知数列等差数列数列等数列．（1）．求数列通项公式
（2）正整数成等数列求值．
（注：整数型问题定充分利条件中整数进行求解）
解：（1）题等差数列公差
．
（2）设等差数列公差等数列公
成等数列．
设
整理
解（舍负根）
（预设提问：利mn正整数实现题研究题难点）
需d取值
仅时取值
3 应题
1 某化工厂算投入条新生产线需环保部门审批意方投入生产．已知
该生产线连续生产n年累计产量f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨果年产量超150吨
会环境造成危害．保护环境环保部门应该厂条生产线拟定长生产期限
________年．
2 某厂年产值1计划五年年产值年增长10年起第五年五年厂总产值约 ．（保留位数取） 66
5 数列递推关系通项公式问题
1 规定种应关系满足：
①② 果
现已知时
2 已知首项数列前项意正整数
（1）证明：数列等差数列
（2）数列首项第项数列第项求证：数列等数列
（3）（2）中数列意正整数均成立求实数值
3 已知数列项均正整数前项
时 910
4 已知数列满足意
（1）求值
（2）求数列通项公式
（3）设数列前项等式意正整数恒成立求实数取值范围
5 数列{an}满足：a1 5an+1－an 数列{bn}前n项Sn满足：Sn 2(1－bn)．
（1）证明：数列{an+1－an}等差数列求出数列{an}通项公式
（2）求数列{bn}通项公式求出数列{anbn}项．
解 (1)令n 1a2－5 解a2 12已知
(an+1－an)2 2(an+1＋an)＋15 ①
(an+2－an+1)2 2(an+2＋an+1)＋15 ②
②－①(an+2－an)(an+2－2an+1＋an) 2(an+2－an)
数列{an}单调递增an+2－an≠0
an+2－2an+1＋an 2(an+2－an+1)－(an+1－an) 2
{an+1－an}首项7公差2等差数列
an+1－an 7＋2(n－1) 2n＋5
an (an－an1)＋(an1－an2)＋…＋(a2－a1)＋a1
(2n＋3)＋(2n＋1)＋…＋7＋5 n(n＋4)．
(2) Sn 2(1－bn)中令n 1b1 2(1－b1)解b1
Sn 2(1－bn)Sn+1 2(1－bn+1)相减bn+1 －2bn+1＋2bn3bn+1 2bn{bn}首项公均等数列bn ()n．
anbn n(n＋4)()n．设数列{anbn}项akbk
k(k＋4)()k≥(k＋1)(k＋5)()k+1k(k＋4)()k≥(k－1)(k＋3)()k1
k2≥10k2－2k－9≤0k然数解k 4．数列{anbn}项a4b4 ．
7 已知数列{an}满足：a1 a2 1（） ▲ ．99
等式两边an
8 已知数列{an}2k项（）数列{an}前n项Sn满足：a1 2
an+1 (p 1)Sn + 2（n 12… 2k1）中常数p > 1．
（1）求证：数列{an}等数列
（2）数列{bn }满足（n 12… 2k）求数列{bn }通项公式
（3）（2）中数列{bn }求Tn ．
解：（1）∵an+1 (p 1)Sn + 2（n 12… 2k1）
∴an (p 1)Sn 1 + 2（n 2… 2k）．
n 2… 2k1时两式相减
an+1 an (p 1)（Sn Sn 1）an+1 an (p 1) an．
∴an+1 pan（n 2… 2k1）．
原式中令n 1a2 (p 1)a1 + 2 2 (p 1) + 2 2p pa1．
∴an+1 pan（n 12… 2k1）．
数列{an}等数列．
（2）（1）an a1p n 1．
∴
．
（3）∵
∴n≤k时n≥k+1时．
Tn
．
9 设数列前项满足（）．
（1）求证数列等数列求数列通项公式
（2）已知数列等差数列求值．
10 设数列{an}满足an+1 2an + n2 4n + 1．
（1）a1 3求证：存（abc常数）数列{ an + f(n) }等数列求出数列{an}通项公式
（2）an 等差数列{bn}前n项求首项a1值数列{bn}通项公式．
6 分类讨问题
1 已知项均整数数列满足前6项次成等差数列第5项起次成等数列．
(I) 求数列通项公式
(II) 求出正整数m ．
解：(I) 设数列前6项公差(整数)
成等数列
……………………………………………………4 分
时…………………………………………………………6 分
数列第5 项起构成等数列公2
时
…………………………………………………………8分
(II)(I)知数列 ：－3－2－10124816…
时等式成立
时等式成立……………………………10分
时等式成立…………………………………………12分
m≥5 时
…………14分
方程解
求．…………………………………………………16分
7 等数列题
1 19间插入三正数五数成等数列插入三数 ．
变式1 插入三正数改插入三实数三数__________
变式2 插入三正数改插入四数四数___________
变式3 12
2 设等数列前项成等差数列
中值 ．
3 已知等数列中数列前2014项0值 ．
8 等差数列题
1 已知等差数列公差零．
（1）求数列通项公式
（2）设数列前项求满足正整数集合．
2．设分等差数列前项已知
．
变式1：等差数列{an}{bn}前n项分 SnTn
__________________
变式2：已知等差数列{an}{bn}前n项分 SnTn
正整数数________
变式3：两等差数列前项分
整数 29
高考试题解法优化：（2008年高考数学辽宁卷文科20）设数列项均正
数等数列设前项分设数列通项公式 ________
应等差数列等数列互化方法结完成
3 已知二次函数构成等差数列求证：
点拨：设
4 设Sn等差数列{an}前n项已知S5 5S9 27S7 ．
9 奇偶分析法
1 已知等数列首项公前项恒成立值
原型题：（2013年天津理科卷）
已知首项等数列递减数列 前n项 S3 + a3 S5 + a5 S4 + a4成等差数列
（1）求数列通项公式
（2）设 求数列项值项值
2
变量函数描述事物运动变化重数学工具数列变量成离散变化状态时种数学模式正数列变化离散性计算机武计算出数列成千万项观察数列变化情况 教育贷款问题储蓄收益问题放射性物质衰变物种种群数量问题等蕴含数学模式数列 讨简单两类数列等差数列等数列研究更复杂数列奠定必基础
玉兔子孙世代传棋盘麦塔摩天
坛坛罐罐求堆垛步步营算连环
数列寻根属函数成格意盎然
等差等初学步登堂入室年
数 列
第课时：数列概念
教学程：（阅读教材3133页文字例题时间10分钟带着列问题进行学）
问题1：什数列？名词：项首项约定？
问题2：数列数学符号语言表示？
问题3：什数列通项公式？
深度思考：
1 数列质什？
答：离散函数图象簇离散点（散点图）通项公式相函数解析式揭示项数项间质关联
2 关通项公式干思考
（1）数列通项公式唯？
：写出数列通项公式前4项分： 写出通项公式？
（2）数列定通项公式？
（3）通数列通项公式确定数列项数项关系进步值思考问题：没确定数列方法？
案例：已知点列第1项1第2项1项（）出数列第6项_________ 项数项否唯确定？
定义：果数列项前项（项）间关系公式表示公式做数列递推公式成数列初始条件 事实表明种方法更便计算机编程进行计算
例：根递推公式初始条件
写出数列前5项
该式古印度名河塔问题．
（附：传说中开天辟神勃拉玛贝勒斯圣庙里留三根金刚石棒第根面套着
64
金环底余次叠庙里众僧倦根棒搬根棒规定利中间根棒作帮助次搬放面相传神时发咒语金环全部移完时世界末日时候众僧移动少次呢？）
见计算机中递推公式初始条件确定数列反馈程实现输入计算机方面输出方面反馈回输入端．输入计算机动序输出数列项．
3 数列分类标准
（1）项数分类（穷数列穷数列）
（2）项项间关系（单调性）（否利递推关系式出单调性定义？）
例：已知数列通项公式求数列项．
4 摆动数列表述通项公式时控制正负性？
练：
1 分写出面数列：
（1）0~16间奇数序构成数列
（2）0~16间质数序构成数列
2 根数列通项公式写出前5项作出图象写出数列第项计算．
（1）
（2）
（3）
3 写出数列通项公式前4项分列数：
（1）2 4 8 16
（2）9 99 999 9999
（3）
（4）
（5）
（6）
4 写出分满足列条件数列通项公式：
（1）第2项起项前项2
（2）项均0第二项起项前项3倍
5 已知数列
（1）写出数列第8项第20项
（2）323数列中项？果第项？
6 谢尔宾斯基三角形：图中三角形称希尔宾斯基（Sierpinski)三角形
①
②
③
④
黑色三角形数次构成数列数列通项公式___________
（1）（2）
（3）时
1 136101521……数做三角形数数目点子排成正三角形（图）第七三角形数________
2 图中三角形称希尔宾斯基（Sierpinski)三角形
①
②
③
④
黑色三角形数次构成数列数列通项公式________
3 黑白两种颜色正六边形面砖图规律拼成干图案第图案中白色面砖________块．
4 数列中已知时位数_______
5 已知数列{an}意a36＝________
6 某数列前4项分列式：
① ②③ 作数列通项公式___________（填写正确答案序号）
7 已知数列数列中第_______项
8 数列满足（实常数）中数列单调递增数列求实数取值范围_________
9 已知 递增数列取值范围_______
第二课时：数列函数特性
函数常性质单调性周期性奇偶性称性 数列作特殊函数理说样研究数列四性 节课研究课题：数列函数特性
特性1：数列单调性
思考：研究数列单调性？利递推关系表示单调递增数列单调递减数列？
探究1：求数列中项
（1）（2）
总结方法：图象法代数法（恒成立）
探究2：判断列穷数列增减性
（1） （2）
探究3：已知函数设
（1）求证：
（2）数列递增数列递减数列？什？
变式：已知函数构造数列
（1）求证：
（2）数列递增数列递减数列？什？
探究4：否存项5穷递增数列？果存请写出样数列通项公式
变式1：果提出原命题逆命题解决？
（中实常数）数列单调递增数列求实数取值范围
变式2：果二次项系数变成参数解决？
数列满足（实常数）中数列单调递增数列求实数取值范围
变式3：变单调单调解决？
已知通项公式数列满足恒成立求实数取值范围
变式4：变更函数模型解决？
数列满足（）项第_______项项第______项
变式5：提出变式4逆命题解决？
数列满足（实常数）项项求数取值范围
练1：已知数列通项公式写出前5项判断数列单调性
练2：数列中
（1）求证：数列先递增递减
（2）求数列项
特性2：数列周期性
定义：周期数列正周期
探究：证明满足列递推关系数列周期数列
（1） （2）（3）
变式1：变更数列递推公式难度解决？
已知数列满足：（）证明：数列周期数列
变式2：变更数列递推公式难度解决？
已知数列满足：意正整数
（1）证明：数列周期数列
（2）求
变式3：变更数列递推公式难度解决？
已知数列满足：证明：数列6周期周期数列
变式4：提出逆性命题解决？
数列满足意总成立求实数a值
补充练：
1 正整数数列项左右原写成三角形数表：
1
2 3
4 5 6
……
（1）写出数表中第4行第5行数
（2）写出数表中第10行第5数
（3）数表中行第1数次构成数列数表中行数次构成数列试分写出数列递推公式
2 面等式：
暗示般规律________________________
3 已知数列前项求数列通项公式：
（1）（2）（3）
思考：整合充条件什？
类：已知求
4 然数左右原排成图三角形数表（行行数设（）位三角形数表中数第行左右数第
数()
（1）求值
（2）记三角形数表数第行数令数列
前项
求
(1) 三角形数表中前n行1+2+…+n第i行数
aij 2010i等式≥2010正整数解1953
2016i63第63行第数+11954
j(20101 954)+157
(2) 前n行然数Sn
n≥2时cn
∴
例：面条直线中意两条直线相交意三条直线点设条直线交点数
（1）求
（2）写出递推关系式
（3）符合条件10条直线交点数少？45
2 已知数列前项正整数值_______
第三课时：等差数列（第课时）
线问题1：什等差数列？（学3536页时间8分钟）
支线问题
1 否数列递推式表示等差数列？
2 教材定义公差外定义方式？试较两者种定义方式较合适？
例1变式：试判断列数列否等差数列？出证明
（1）（2）
例2变式：三数成等差数列简单等差数列模型果三数成等差数列做等差中项 试求列组数等差中项：
（1）（2）
例3：总结证明等差数列方法：
（1）定义法：（常数）
（2）中项法：（）
思考1：已知公差等差数列
（1）等差数列？果公差少？
（2）等差数列？果公差少？
（3）等差数列？果公差少？
（4）数列前项掉余项组成数列等差数列？果首项公差分少？
（5）取出数列中项数7倍数项组成数列数列等差数列？果首项公差分少？
（6）数列……否等差数列？果首项公差分少？
思考2：（口答）已知数列等差数列
（1）果说出公差
（2）果说出公差
（3）果说出公差
认确定等差数列需知道独立条件？
线问题2：等差数列项否等差数列首项公差表示？果等差数列项等差数列首项公差表示？
探究：妨特殊般填空题：
………………
支线问题
1 特殊般隶属合情推理推理未必正确需进行严格证明证明等差数列通项公式呢？
2 种推导方法称叠加法（累加法） 果数列递推公式否利累加法求通项公式？通两案例什启示？
3 研教材例题13 时间8分钟
例1解读：实际问题转化数列模型进行研究
例2解读：等差数列问题中利首项公差研究问题方法称基量法 基量法解决等差问题根方法应予重视
基量法：利通项公式列方程组求出进确定
思考：否表示？否表示？
进步思考：
（1）等差数列中否表示？果出形式
（2）已知等差数列中求公差？
例3解读：
表明：（1）等差数列通项公式总表示次型函数形式逆命题否真命题出证明
（2）已知等差数列意两项数列通项公否确定？请意义出解释
（3）试述等差数列公差数列单调性关系？
值进步研究问题：
1 等差数列数列中否成立？
2 果数列中什结？
第四课时：等差数列（第2课时）
热身训练：
已知等差数列前三项分
（1）求该数列第20项
（2）判断否数列中项？
（3）该数列少项位区间？
等差数列问题探究五
探究1：等差数列证明问题
提升（常数）质认识项减前项常数证明数列等差数列
根列条件判断列数列否等差数列？
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
思考1 已知数列两穷等差数列公差分求证：成等差数列求公差
思考2 已知倒数成等差数列求证：倒数成等差数列
思考3（2012年江苏20）已知项均正数两数列满足：．设求证：数列等差数列
探究2：含绝值数列问题
已知等差数列首项公差
（1）等差数列中第项开始出现负数？
（2）时求
探究3：三数四数成等差数列问题
1 三数成等差数列15方等83求三数
2 成等差数列四数26第二数第三数积40求四数
探究4：等差数列通项干性质探究
1 已知两数列等差数列公差分求
2 已知等差数列（）时否？果请出证明 思考否该结作进步推广？
例：等差数列中已知
3 （1）已知等差数列（）求
（2）已知数列通项公式：值________
4（1）等差数列数列中否成立？
（2）果数列中什结？
探究5：数阵数表问题
列数阵称森德拉姆筛特点行列等差数列
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
定义第行第列项求数列通项公式
探究6：等差数列探究性问题
已知数列满足：（）中常数
（1）时求值
（2）数列否等差数列？求出通项公式请说明理
补：
1 设首项20数列等差数列恰第8项开始正数公差取值范围_________
2 等差数列中果中项否成该等差数列连续三项？
变式：（2009北招生）已知整数组成穷等差数列中3项 求证：中项
3 设公差正数等差数列 105
4 等差数列图示行轴直线均匀分布群孤立点公差（填写等号）
5 已知数列通项公式（）
（1）数列否等差数列？说明理
（2）求证：意实数数列等差数列
6 已知等差数列：
（1）否中项？说明理
（2）（）数列中项否中项？说明理
7 等差数列中求数列通项公式
8 已知数列通项公式 求数列通项公式
9 关方程（）四根责成首项等差数列
10 夏季高山温度山脚起升高降低已知山顶处温度山脚处温度求山相山脚处高度
11 设等差数列前项
12 性质题：
（1）等差数列中已知
（2）已知等差数列意
（3）等差数列中值________
（4）已知数列满足：数列满足关系式
（1）求证：数列等差数列
（2）求数列通项公式
（5）设等差数列前项
求值 15
（6）等差数列前4项4040项80项720数列______项 48
12 某校高年级数学兴趣组位学利暑假某镇进行社会实践活动该镇养鸡场连续六年养鸡规模进行调查研究右图示两信息：A图表示第年均养鸡场出产1万鸡升第6年均养鸡场出产2万鸡B图表示第年30养鸡场减少第6年10养鸡场请根图中提供信息回答列问题：
（1） 第2年养鸡场数全镇出产鸡总数少？
（2） 年养鸡场规模？什？
13 等差数列中已知试求：
（1）值
（2）数列前项值 1617项取值68
解：（2）利研究通通项研究
14 等差数列公差前20项
2000
15 设数列等差数列果值_________
探究1：含绝值等差数列求问题
例：设等差数列通项公式设数列项满足求数列前项
探究2：等差数列前项值问题
1 （1）已知等差数列前项前少项？
（2）等差数列前项前少项？
（3）条件改类似结？
（4）般 前少项？
（5）等差数列求证：
法1：基量法证明
法2：图象图象关称
法3：：易证
（6）逆命题否成立？等差数列成立？
2 （1）设等差数列前项已知
（i）求公差取值范围
（ii）求中值
（2）已知等差数列前项值取正值时
（3）等差数列前项满足：时
（4）已知数列公差等差数列前项数列中
唯项数列首项取值范围
（5）等差数列中公差方程两根 数列前项满足条件然数
（6）项均整数等差数列中公差16
探究3：等差数列前项相关性质
1 已知等差数列前项首项公差________数列
例：设Sn等差数列{an}前n项已知S5 5S9 27S7 ．
2 已知等差数列前项首项公差
成等差数列公差_______
练：等差数列中16
3（1）已知等差数列前项
法1：基量法
法2：函数结构式
法3：具体标考虑利连续等项成等差数列性质
（2）设穷等差数列{an}前n项Sn
（i）首项公差求满足正整数k
（ii）求穷等差数列{an}切正整数k成立
4（1）等差数列前项354前12项中偶数项奇数项公差
（2）等差数列中前项（奇数）77中偶数项33数列通项公式______________
探究4：元方法认识
（1）已知数列中求
（2）已知利等差数列前项求公式推导方法求：
探究5：类求问题解决？
已知前项
（1）研究否找求公式？
（2）问题作般性推广？
推广：般等差数列裂项相消法求前项
例：已知数列通项公式 记求
两常变形：
8．(2009年宁夏海南) 等差数列{an}前n项Sn已知am－1＋am＋1－a＝0S2m－1＝38m＝______10
10．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7
(1)设f(x)图象顶点坐标构成数列{an}求证：{an}等差数列
(2)设f(x)图象顶点x轴距离构成数列{bn}求{bn}前n项Sn
11 已知等差数列前项已知数列前项求
12 等差数列中求值
13 设
14 (2012·南京模拟)流行性感(简称流感)流感病毒引起急性呼吸道传染病．某市年11月份发生流感．资料统计11月1日该市新流感病毒感染者20天新感染者均前天新感染者增加50．该市医疗部门采取措施该种病毒传播控制．某天起天新感染者均前天新感染者减少30．11月30日止该市30日感染该病毒患者总8670．问11月日该市感染病毒新患者数？求天新患者数．
解 设11月1日起第n(n∈N*1≤n≤30)日感染病毒新患者数11月1日第n日止日新患者数次构成等差数列等差数列首项20公差50前n日患者总数该数列前n项Sn＝20n＋·50＝25n2－5n第n＋1日开始11月30日止日新患者数次构成等差数列等差数列首项[20＋(n－1)·50]－30＝50n－60公差－30项数(30－n)
(30－n)日患者总数T30－n＝(30－n)·(50n－60)＋(－30)
＝(30－n)·(65n－495)＝－65n2＋2 445n－14 850
题意Sn＋T30－n＝8 670(25n2－5n)＋(－65n2＋2 445n－14 850)＝8 670
化简n2－61n＋588＝0解n＝12n＝49
∵1≤n≤30∴n＝12
第12日新患者数20＋(12－1)·50＝570
∴11月12日该市感染病毒新患者数天新患者数570．
15 等差数列中已知取值范围_______（图解法）
16 设等差数列前项
第七课时：等数列概念通项公式
线问题1：什等数列？（学3536页时间8分钟）
支线问题：数列递推式表示等数列？
例1：试判断列数列否等数列？出证明
（1）（2）（常数）
思考：三非零常数成等差数列成等数列该数列特征？
例2：三数成等数列简单等数列模型
等中项：果三数成等数列做等中项
思考1：意定两数否存等中项？请说明理
思考2：求4580等中项
思考3：已知两数等中项求
思考4：三数定成等数列？
例3：总结证明等数列方法：
（1）定义法：（常数）
（2）中项法：（）
思考1：已知公等数列
（1）等数列？果公少？
（2）等数列？果公少？
（3）等数列？果公少？
（4）等数列？果公少？
（5）等数列？果公少？
（6）数列前项掉余项组成数列等数列？果首项公分少？
（7）取出数列中项数7倍数项组成数列数列等数列？果首项公分少？
（8）数列……否等数列？果首项公分少？
认确定等数列需知道独立条件？
学生：首项公意两项意项公均
线问题2：等差数列项均等差数列首项公差表示等数列项否等数列首项公表示？
探究：妨特殊般填空题：
………………
支线问题
1 特殊般属合情推理推理未必正确需进行严格证明证明等数列通项公式呢？回顾等差数列通项公式研究方法类出推导等数列通项公式？
2 种推导方法称叠法（累法） 果等数列递推公式否利累法求通项公式？通两案例什启示？
3 研教材例题13 时间8分钟
例1解读：基量运算：已知确定等数列
思考：（1）等数列中否表示？果出形式
（2）已知等数列中求公？
例2解读：等数列中奇数项符号致偶数项符号致
进行等数列关计算时注意开方正负
例3解读： （）形式
表明：（1）等数列通项公式总表示常数指数函数形式思考逆命题否真命题出证明
（2）试述正项等数列公数列单调性关系？
探究问题：等差数列等数列联系
已知数列求证：
（1）数列公差等差数列数列公等数列
（2）数列公正项等数列数列公差等差数列
（3）出更般结？
等数列概念通项公式问题研究五
探究1：等数列通项公式结构特征
思考1：函数观点等数列通项公式成具样结构特征？
思考2：思考逆命题否真命题出证明
思考3：试述正项等数列公数列单调性关系？（2012年命题背景）
思考4：已知数列中数列等数列
探究2：等差数列等数列联系
已知数列求证研究列问题：
（1）数列公差等差数列数列公等数列
（2）数列公正项等数列数列公差等差数列
（3）出更般结？5
思考1：已知等数列满足时
思考2：设中常数果等差数列求证：等数列
探究3：等数列中研究列问题：
（1）（）时否？果请出证明 思考否该结作进步推广？
例1：等数列中求值
例2：等数列中
（2）三数成等数列积等27方等91求三数
变式：四数中前3数成等差数列3数成等数列第数第四数16第二数第三数12求四数 04816 15931
（3）已知等数列公值_______
（4）意等差数列连续等项成等差数列性质规律推广等数列中？试着说出证明猜想？
（5）设数列前项已知求证：数列等数列
探究4：分形问题
图边长1正三角形两条边三等分中间段边形外作正三角形擦中间段图（2） 继续图（3）…… 试探究第图形边长周长
分形（Fractal）词汇创始美国数学家曼勃罗教授1975年夏天寂静夜晚冥思苦想余翻子拉丁文字典时想拉丁文原意：产生规碎片分形性质做相似性质 雪花曲线做科赫雪花曲线局部放整体全等图形着划分增加曲线周长逐渐趋穷曲线围成面积接确定常数
第八课时：等数列前项
情境中提炼出问题：
1．探索问题思考方
1首项2公等数列前n项计算呢？学生亲试试学生刚学完推导等差数列前n项公式然会尝试倒序相加法求结果显然行通．时教师引导学生反思等差数列前n项结果形式实质关函数类似否表示等数列前n项呢？
设计意图学生实际出发学生刚学完倒序相加法必然会尝试成功．引导学生反思出进问题探求方：寻找{}通项公式．
2．尝试问题探索结果
结果呢？{}通项公式．（先猜证）
（1）．
猜想：
（2）果公3456呢？计算
（分四组分计算出猜想结果）
猜想：公3时公4时
公5时公6时．
（3）般 结果什？
猜想：时．
设计意图组特殊情形出发引导学生进行纳猜想进提升学生数列通项纳力促进合情推理力发展．处纳非教学重点分组计算猜想结果仅节省教学时间学生学会相互分享研究成果．
3．导出问题般证明
证明猜想：时？
引导学生分析：欲证成立需证明
写出两式相减猜想公式成立．
般等数列前n项公式
设计意图通纳猜想证明数学活动首先重视数学思想方法数学教学中渗透次学生历知识创造程效突破技巧性强难点
4．反思问题处理方法
前面证明程分析思路正等数列重性质出现众公项种方法错位相减法．否起样化简效果？（历学生尝试发现）起化简效果较种处理起更简洁？
设计意图通分析问题处理方法体现思维批判性择优选取揭示化简质．学生熟练掌握错位相减法基础．
5．揭示问题质思想
教师点拨：通错位相减法等数列前n项中省略号（……）消起消项作．等差数列前n项公式推导中利倒序相加法实现消中省略号（……）数学思想方法讲限化限凸显求质消项．
设计意图等差数列前n项等数列前n项求运算方法类数学思想方法统消项目．学生揭示质思想利数列前n项公式整体认识进步加深关n函数整体认识呼应先前设计．
公式思考：
思考1：公式表明已知等数列首项公（基量）求出该等数列意前项否利首项末项求等数列意前项？
思考2：（1）公式结构说什样特征？（考察公式函数意义）
（2）逆命题否成立？
（3）般果数列前项（中常数）数列定等数列？
研教材5657页例1 — 例3
解读1：（1）利基量求（2）利首末两项求
解读2：等数列通项公式前项中知道中量确定量？
变式：等数列中已知
思考：否类等差数列中相关性质更般性结？
解读3：分组求法求（中等差数列等数列）前项
探究问题三
探究1：求问题
（1）求：
（2）某工厂年1月份产值元月均增长率求工厂年产值
（3）求
（4）求
（5）求（等数列配等差系数）
（6）求：
探究2：等数列中求值
探究3：（必修五教材62页）
设Sn等数列前n项S3S9S6成等差数列求证：a2 a8 a5成等差数列
变式1：写出命题逆命题判断真假
变式2：针原命题出般性结出证明
变式3：设等数列前项公
（1）成等差数列求证：成等差数列
（2）互相等正整数）成等差数列试问数列中否存三项成等差数列？存写出两组三项存请说明理
（3）1正整数试问中否存项恰表示该数列中连续两项？请说明理
总复题参考：
1 数列中
（1）设求证数列等数列
（2）设求证数列等差数列
（3）求数列通项公式前项公式
2 作边长正三角形切圆圆作接正三角形作新三角形切圆求前切圆面积
3 某厂年1月份产值元月均增长率求工厂年产值
已知数列首项前项三点线（该直线原点）＝ ．
等差数列前n项Sn值Sn取正值时n ．
已知数列满足（）时＝
等数列中前项数列等数列等
设{an}等差数列{bn}等数列a1＝b1 ＝1 a2+a4 ＝b3b2b4＝a3分求出{an}{bn}
前10项S10T10
10 设数列等差数列等数列求数列前10项
11 7数排成行奇数项成等差数列偶数项成等数列奇数项偶数项积差42首尾两项中间项27求中间项
12 设
13 等数列前项_______________
14 已知等数列前项求值
15 已知三数成等数列26方1092求三数
16 边长等边三角形中圆切圆圆圆外切相切次继续圆圆相切 记圆面积求数列通项公式 （关键：寻找递推关系）
17 已知数列等差数列
（1）判断数列否等差数列说明理
（2）果(常数）试写出数
列通项公式
（3）（2）条件数列前项问否存样实数
仅时取值存求出取值范围存说明理
18 果穷数列满足条件称称数列 例数列12521数列842248称数列
（1）设数列7项称数列中成等差数列请次写出数列项
（2）设数列项数称数列中50首项4公差等差数列 数列项值时取值？值少？
（3）设数列100项称数列中2首项3公差等差数列求数列前项（）
19 已知方程4实根调整组成2首项等数列 24
20（1）已知数列中数列等数列求常数p
（2）设公相等两等数列证明：数列等数列
21 已知数列中首项1公差1等差数列公差等差数列公差等差数列（）
（1）求
（2）试写出关关系式求取值范围
（3）续写已知数列公差等差数列……次类推已知数列推广穷数列 提出（2）类似问题（（2）应作特例）进行研究什样结？
解（1）
（2）
时
（3）数列推广穷数列中首项1公差1等差数列时数列公差等差数列
研究问题：试写出关关系式求取值范围
研究结：
次类推
时取值范围等
22 已知数列前项满足
（1）求数列通项公式
（2）求证数列中存意三项原序成等差数列
23 等数列中
2 等数列{}公已知1{}前4项
3 等差数列前项
4 已知数列前项数列前项
5．图条螺旋线方法画成：△ABC边长1正三角形
曲线分圆心半径
画弧曲线称螺旋线然圆心半
径画弧……样画第圈螺旋线…
总长度________________
6．图甲第七届国际数学教育会(简称ICME7)会徽图案会徽体图案图乙连串直角三角形演化成中OA1A1A2A2A3…A7A81果图乙中直角三角形继续作记OA1OA2…OAn…长度构成数列{an}数列通项公式
7 等数列项首项奇数项等85偶数项等42
8 等数列前项积确定常数数列中常数项
9 等数列中前三项公______
10 等数列前n项公q
11已知数列满足
（1）证明：数列等数列（2）求数列通项公式
（3）数列满足证明等差数列
（消两次中项法证明等差数列问题）
12 已知等差数列满足：数列前n项
（1）求数列通项公式
（2）令试问：否存正整数n等式成立？存
求出相应n值存请说明理（式分解）
1 数列前项
值_________．
2．数列通项公式该数列前n项等n＝_________．
3 等差数列{an}中a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝1202 a10－a12值_________．
4 正整数排成表：
数表中2008出现第_________行．
5 图杨辉三角形中斜线l方1箭头方
构成锯齿形数列记前项值_________．
6．已知等差数列前 n 项 Sn Tn 意然数 n
_________．
7 数列满足_________．
3 已知等差数列{an}中首项a1＝1公差d整数满足a1+3＜a3a2+5＞a4数列{bn}满足前n项Sn．（1）求数列{an}通项公式an（2）S2S1Sm(m∈N*)等中项求正整数m值．
1 首项－24等差数列第10项起开始正数公差取值范围________
2 图示 ① ② ③ … … 花盆摆成图案根图中花盆摆放规律猜想第图形中花盆盆数________
3．数列a1a2…ann项正项数列记Õn
前n项积定义叠
加积．果2007项正项数列a1a2…a2007叠加积220082008项数列
2 a1a2…a2007叠加积________
4 设数列满足数列通项公式
an________
5 已知函数数列满足递
增数列实数取值范围________
6 限数列前n项定义凯森99项数列凯森1000100项数列凯森________
7 设…项零（）项等差数列公差．数列删某项数列（原序）等数列数组成集合__________．
3 已知数列前n项N*现前项中抽出项（）余项算术均数抽出第 项．
4 等数列项均正数前项前项积前项倒数列关系成立 （填写正确命题序号）
① ②＞ ③ ④＞
5 函数定义R恒0函数意数列前n项Sn取值范围
6 数列满足（常数）称数列等数列k称公．已知数列3公等数列中
7 已知数列满足：（m正整数）
m取值
8 已知数列通项公式成等差数列取值集合
11 设{an}公差d≠0等差数列Sn前n项．
（1）a1＝4求数列{an}通项公式
（2）否存等差中项？证明结．
7 已知数列前项意点函数图．
（1）求数列通项公式
（2）设数列等差数列求非零常数值
（3）设数列前项求成立正整数．
9 部分然数构成图数表表示第行第数（）行中余数分等肩膀两数设第行中数
（1）求
（2）表示
（3）试问：数列中否存三项（）恰成等差数列？存求出关系存请说明理
2 设等差数列前n项该数列前m项m__________．
3 已知数列满足令．
4 等差数列公差2
_____．
5 等差数列前n项分．
7 设{an}等数列列四说法：①{ an2 }定等数列 ②{ an+an+1 }定等数列③{ }定等数列④{ lgan}定等数列正确数________
8 已知数列满足（常数）
．
9 定25数排成右图示数表行5数
左右序构成等差数列列5数
序构成等差数列表正中间数a33＝1表中
数
10 已知数列满足前项满足等式恒成立正整数
13 已知二次函数等式解集元素设数列前n项
（1）求数列通项公式
（2）设求数列前n项
（3）设项均0数列中满足正整数数称数列变号数求数列变号数
11 学电脑中出干圈○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…干圈规律继续系列圈前2011圈中●数 61
14 知道果定义某区间函数满足该区间意两数总等式成立称函数该区间凸函数（简称凸） 类述定义数列果意正整数总等式：成立称数列凸数列（简称凸数列） 现数列满足两条件：
（1）数列凸数列
（2）正整数（）中
数列中第五项取值范围
设等差数列前项．
（1）求数列通项公式前项公式
（2）设数列通项公式问 否存正整数t
成等差数列？存求出tm值存请说明理
解：（1）设等差数列公差d 已知
解
（2）（1）知成等差数列必须
整理
mt正整数取t 235
时时
时
存正整数t成等差数列
设等差数列前项
值 ．
数列存实数等差数列 ．
2 等差数列中已知S420 ．
设数列前项
（1）求常数值
（2）求证：数列等差数列
已知等数列{an}公q首项a1前n项Sn．数列{an2}前n项An数列{(1)n+1an}前n项Bn．
(1) A25 B2 —1求数列{an}通项公式
（2）①n奇数时较Bn SnAn
②n偶数时问否存常数（n关）等式（Bn—）Sn+An0恒成立存求出值存说明理
20．数列前n项存常数意正整数n成立
（1）数列等差数列求值
（2）设数列前ｎ项求
（3）首项1等差数列设求超M整数值
解．（1）等差数列设公差
意正整数成立．
．
（2）
时
数列首项公等数列． ．
①② ①②
．
．
（3）首项等差数列⑴知公差．
超M整数100
已知函数二次函数等式解集意
恒
（1）求解析式
（2）数列满足求数列通项公式
（3）设（2）条件数列前n项求数列
前n项
专题1：数列通项公式求法探究
基础热身
① 已知数列中数列通项公式__________
② 已知数列中数列通项公式__________
③ 已知数列中 数列通项公式__________
④ 已知数列中数列通项公式__________
⑤ 已知数列中数列通项公式__________
二探究学：递推式求通项公式呢？
① （常数） ② （常数）
③ （常数） ④ （）
⑤ （非零常数） ⑥ （非零常数）
方法总结：（1）周期数列分段写出通项
（2）周期数列分段写出通项
（3）定系数法转化等数列
（4）取数法
（5）取倒数法
（6）两边转化等差等数列
问题研究：列举具体数列递推式子推求通项公式？
①
②
③
④
⑤
⑥ 已知数列满足求证：等数列求数列
通项公式
⑦ 已知数列满足求证：等数列求数列通项公式
深度探究1：已知数列满足：求数列通项公式呢？
深度探究2：宇学提出新问题：果数列满足
数列等差数列等数列 认宇学观点正确？试阐述观点
专题2：数列中整体思想
感悟 理解
1．数列{an}满足________
2 值________
3 等差数列中前项________
4 数列满足
5 已知等数列{an}中 ________
二尝试 总结
例1 等差数列中 ________
变式 设等差数列前项____
例2．数列满足试确定t值数列等差数列
变式 设穷等差数列{an}前n项Sn 求穷等差数列{an}切正整数k成立
例3．设数列前项等式等差数列正整数恒成立值_________．
例4．设首项公差等差数列前项 记
中实数
（1）成等数列证明：
（2）等差数列证明：
三反馈 检测
1 已知三数x+log272x+log92x+log32成等数列公_________．
2 已知命题：等差数列中定值真命题印刷问题括号处数模糊清推括号数_________．
3 已知等差数列前项数列前20项
_________．
4 （2013年苏州）设数列前项满足（）．
（1）求证数列等数列求数列通项公式
（2）已知数列等差数列求值．3
5 首项a公q等数列中设前项x y _________．
6 已知公差零等差数列前项满足
（1）求数列通项公式
（2）否存常数k数列等差数列存求出常数k存请说明理
四拓展 升华
1 设项均正数数列前项已知数列公差等差数列求数列通项公式（表示）
2 已知等差数列{an}中公差d>0前n项Sn设求证：
变式：设数列{an}正数组成等数列前n项Sn证明：
3 （2014年苏锡常镇四市高三数学模）设项均正数数列前n项Sn
已知切成立．
（1）λ 1求数列通项公式
（2）求λ值数列等差数列．
解：（1）λ 1．
∵ ∴
∴
化简．①
∴时．②
② ① ∴（）．
∵n 1时 ∴n 1时式成立
∴数列{an}首项1公2等数列 an 2n1（）．
（2）令n 1．令n 2．
数列等差数列必须解λ 0．
λ 0时．
n≥2时
整理
化简．
综述（）
λ 0时数列等差数列．
注：题利等差数列结构式完成
例1
基础热身
专题3：简单数列方程问题
专题4：数列中类存性问题
（2014苏）已知常数λ≥0设项均正数数列{an}前n项Sn满足：a1 1
（）．
（1）λ 0求数列{an}通项公式
（2）切恒成立求实数λ取值范围．
已知数列中前项．
（1）求
（2）求证：数列等差数列写出通项公式
（3）设求超整数．
解（1）令． ……………………… 3分
（2）（1）．①
时②
①－② ………………………… 5分
．③
．④
④－③
（）
（）． ………………………… 8分
数列等差数列．
公差通项公式． ……………………… 10分
（3）（2）． ………………………… 11分
． …………………… 14分
．
超整数． …………………………… 16分
周期性：已知数列{an}满足an＝an－1－an－2(n≥3n∈N*)前n项Sn．S9＝6S10＝5a1值 ． 1
设项均正整数穷等差数列{an}满足a542014存正整数ka1a54ak
成等数列公差d取值 ． 92．
解：等差数列等数列两基数列．求解时应注意基量方法注意目标意
识应注意减元意识渗透．穷整数数列意味着公差d非负．略解：易知d0成
立．d>0时(a5453d)(a54+(k54)d)d．
(k54d)∈{(53×219)(53×1936)(53×3837)}．d0+19+36+3792．
设数列{an}a11．数列{bn}．正数数列{dn}．
(1) 求证：数列{bn}等差数列
(2) 设数列{bn}{dn}前n项分BnDn求数列{bnDn+dnBnbndn}前n项Sn．
解：(1) ．
．·······························································3分
b1a11数列{bn}1首项1公差等差数列．·····················4分
(2) (1)Bn．·············································6分
．
dn>0．
． ······································································10分
n≥2时
bnDn+dnBnbndn(BnBn1)Dn+(DnDn1)Bn(BnBn1)(DnDn1)BnDnBn1Dn1
Sn(BnDnBn1Dn1)+(Bn1Dn1Bn2Dn2)+…+(B2D2B1D1)+B1D1BnDn．··········14分
S1b1D1+d1B1b1d1B1D1适合式意n∈N*SnBnDn．
SnBnDn． ···································16分
注：（1）加强数列问题研究思路形成2014南通三模20（1）2010盐城模
（2）加强配凑问题目标意识形成
2014苏锡常镇二模14（命制）
2014南通三模20（1）
2014盐城三模14
已知数列{an}满足：
（1）求数列{an}通项公式
（2）4时否存互相正整数rst成等数列？存出rst满足条件存说明理
（3）设S数列{an}前n项意恒成立求实数取值范围
法：直接通构造作差
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