求数列通项公式常方法
1 ．求数列通项方法基思路：求数列通变形代换转化等级差数列等数列
2．求数列通项基方法：累加法累法
累加法
1．适： 广义等差数列 累加法基二方法
2．
两边分相加
例1 已知数列满足求数列通项公式
解法：
例2已知数列中 求数列通项公式
解已知
化简类型(1)
题数学纳法求解
练已知数列满足求数列通项公式 答案：裂项求
二累法
1○ 适： 广义等数列
累法基二方法二
2．
两边分相
例3 已知数列满足求数列通项公式
解：
数列通项公式
例4设首项1正项数列（12 3…）通项公式________
解：已知等式化：
()(n+1)
时
评注：题关二次齐次式通式分解（般情况时求根公式）更明显关系式求出
练已知求数列{an}通项公式
答案：1
三定系数法 适
基思路转化等差数列等数列数列质函数定义域然数集函数
1．形中)型
（1）c1时数列{}等差数列
（2）d0时数列{}等数列
（3）时数列{}线性递推数列通项通定系数法构造辅助数列求
定系数法：设
题设较系数
：
数列构成首项c公等数列
：
规律：递推关系化构造成公c等数列求通项公式
逐项相减法（阶差法）：时递推关系中n换成n1两式相减化公c等数列进求通项公式 利类型(1)求通项公式方法较复杂
例5已知数列中求数列通项公式
解法：
首项2公2等数列
解法二：
两式相减数列首项2公2等数列累加法……
练．已知数列中求通项
答案：
2．形： (中q常数n01)
①p1时：累加
②时：
求通项方法三种方：i 两边目求数列构造成等差数列
： 令然类型1累加求通项
ii两边 目求数列构造成等差数列
：
令化然转化类型5解
iii定系数法：目求数列构造成等差数列
设通较系数求出转化等数列求通项
注意：应定系数法时求pq否定系数法会失效
例6已知数列满足求数列通项公式
解法（定系数法）：设较系数
数列首项公2等数列
解法二（两边）： 两边时：面解法略
解法三（两边）： 两边时：面解法略
练（2003天津理）
设常数．证明意≥1
3．形 (中kb常数)
方法1：逐项相减法（阶差法）
方法2：定系数法
通凑配转化
解题基步骤：
1确定kn+b
2设等数列公p
3列出关系式
4较系数求xy
5解数列通项公式
6解数列通项公式
例7 数列中求通项（定系数法）
解：原递推式化
较系数：x6y9式
等数列首项公 ：
4．形 (中abc常数)
基思路转化等数列数列质函数定义域然数集函数
例8 已知数列满足求数列通项公式
解：设
较系数
数列首项2公等数列
练 数列中求通项
解： ①
时
两式相减 令
利类型5方法知 ②
累加法 联立 ① ②解出
四．特征方程法 形常数）数列
形常数）二阶递推数列特征根法求通项特征方程…①
①二异根令定常数）
①二重根令定常数）
利求进求
例9 已知数列满足求数列通项
解：特征方程解令
例10 已知数列满足求数列通项
解：特征方程解令
练1．已知数列满足求数列通项
练 2 已知数列满足求数列通项公式
解：设
较系数妨取（取3 结果形式质相）
首项4公3等数列
练3数列中满足求
答案：
类型二：形
分析：递函数
（1）两相异动点pq时递关系式两边分减动点pq两式相中∴
（2）两相动点p递关系式两边减动点p然1中
例11 设数列满足求数列通项公式
分析：类问题常参数法化等数列求解
解：等式两端时加参数t：
令 解t12 代入
相{}首项
公等数列 解
方法2：
两边取倒数
令bb转化累加法求
例12 已知数列满足求数列通项公式
解：令函数两动点
数列首项公等数列
练1：已知满足求通项
答案：
练2已知数列满足求数列通项
答案：
四迭代法 (中pr常数)型
例13 已知数列满足求数列通项公式
解：
数列通项公式
注：题综合利累法数变换法求数列通项公式
五数变换法 适(中pr常数)型 p>0
例14 设正项数列满足（n≥2）求数列通项公式
解：两边取数：设 2公等数列 ∴
练 数列中（n≥2）求数列通项公式
答案：
例15 已知数列满足求数列通项公式
解：
两边取常数
设 （类型四）
较系数
数列首项5公等数列
六倒数变换法 适分式关系递推公式分子项
例15 已知数列满足求数列通项公式
解：求倒数等差数列首项公差
七换元法 适含根式递推关系
例16 已知数列满足求数列通项公式
解：令
代入
化
首项公等数列
八数学纳法 通首项递推关系式求出数列前n项猜出数列通项公式数学纳法加证明
例17 已知数列满足求数列通项公式
解：
猜测面数学纳法证明结
（1）时等式成立
（2）假设时等式成立时
知时等式成立
根（1）（2）知等式成立
九阶差法（逐项相减法）
1递推公式中
分析：已知关系通转化数列递推关系然采相应方法求解
例18 已知数列项均正数前n项满足成等数列求数列通项公式
解：∵意 ⑴
∴n1时解
n≥2时 ⑵
⑴⑵整理：
∵项均正数∴
时时成立
时时成立舍
练已知数列中 求数列通项公式
答案：
2穷递推数列
例19 已知数列满足求通项公式
解： ①
②
②式－①式
③
知代入③
通项公式
十．形型
（1）(p常数)数列{}等积数列周期数列周期2通项分奇数项偶数项讨
（2）f(n)n函数（非常数）时通逐差法两式相分奇偶项分求通项
例20 已知数列求数列通项公式
注：例类似略
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1 ．求数列通项方法基思路：求数列通变形代换转化等级差数列等数列
2．求数列通项基方法：累加法累法
累加法
1．适： 广义等差数列 累加法基二方法
2．
两边分相加
例1 已知数列满足求数列通项公式
解法：
例2已知数列中 求数列通项公式
解已知
化简类型(1)
题数学纳法求解
练已知数列满足求数列通项公式 答案：裂项求
二累法
1○ 适： 广义等数列
累法基二方法二
2．
两边分相
例3 已知数列满足求数列通项公式
解：
数列通项公式
例4设首项1正项数列（12 3…）通项公式________
解：已知等式化：
()(n+1)
时
评注：题关二次齐次式通式分解（般情况时求根公式）更明显关系式求出
练已知求数列{an}通项公式
答案：1
三定系数法 适
基思路转化等差数列等数列数列质函数定义域然数集函数
1．形中)型
（1）c1时数列{}等差数列
（2）d0时数列{}等数列
（3）时数列{}线性递推数列通项通定系数法构造辅助数列求
定系数法：设
题设较系数
：
数列构成首项c公等数列
：
规律：递推关系化构造成公c等数列求通项公式
逐项相减法（阶差法）：时递推关系中n换成n1两式相减化公c等数列进求通项公式 利类型(1)求通项公式方法较复杂
例5已知数列中求数列通项公式
解法：
首项2公2等数列
解法二：
两式相减数列首项2公2等数列累加法……
练．已知数列中求通项
答案：
2．形： (中q常数n01)
①p1时：累加
②时：
求通项方法三种方：i 两边目求数列构造成等差数列
： 令然类型1累加求通项
ii两边 目求数列构造成等差数列
：
令化然转化类型5解
iii定系数法：目求数列构造成等差数列
设通较系数求出转化等数列求通项
注意：应定系数法时求pq否定系数法会失效
例6已知数列满足求数列通项公式
解法（定系数法）：设较系数
数列首项公2等数列
解法二（两边）： 两边时：面解法略
解法三（两边）： 两边时：面解法略
练（2003天津理）
设常数．证明意≥1
3．形 (中kb常数)
方法1：逐项相减法（阶差法）
方法2：定系数法
通凑配转化
解题基步骤：
1确定kn+b
2设等数列公p
3列出关系式
4较系数求xy
5解数列通项公式
6解数列通项公式
例7 数列中求通项（定系数法）
解：原递推式化
较系数：x6y9式
等数列首项公 ：
4．形 (中abc常数)
基思路转化等数列数列质函数定义域然数集函数
例8 已知数列满足求数列通项公式
解：设
较系数
数列首项2公等数列
练 数列中求通项
解： ①
时
两式相减 令
利类型5方法知 ②
累加法 联立 ① ②解出
四．特征方程法 形常数）数列
形常数）二阶递推数列特征根法求通项特征方程…①
①二异根令定常数）
①二重根令定常数）
利求进求
例9 已知数列满足求数列通项
解：特征方程解令
例10 已知数列满足求数列通项
解：特征方程解令
练1．已知数列满足求数列通项
练 2 已知数列满足求数列通项公式
解：设
较系数妨取（取3 结果形式质相）
首项4公3等数列
练3数列中满足求
答案：
类型二：形
分析：递函数
（1）两相异动点pq时递关系式两边分减动点pq两式相中∴
（2）两相动点p递关系式两边减动点p然1中
例11 设数列满足求数列通项公式
分析：类问题常参数法化等数列求解
解：等式两端时加参数t：
令 解t12 代入
相{}首项
公等数列 解
方法2：
两边取倒数
令bb转化累加法求
例12 已知数列满足求数列通项公式
解：令函数两动点
数列首项公等数列
练1：已知满足求通项
答案：
练2已知数列满足求数列通项
答案：
四迭代法 (中pr常数)型
例13 已知数列满足求数列通项公式
解：
数列通项公式
注：题综合利累法数变换法求数列通项公式
五数变换法 适(中pr常数)型 p>0
例14 设正项数列满足（n≥2）求数列通项公式
解：两边取数：设 2公等数列 ∴
练 数列中（n≥2）求数列通项公式
答案：
例15 已知数列满足求数列通项公式
解：
两边取常数
设 （类型四）
较系数
数列首项5公等数列
六倒数变换法 适分式关系递推公式分子项
例15 已知数列满足求数列通项公式
解：求倒数等差数列首项公差
七换元法 适含根式递推关系
例16 已知数列满足求数列通项公式
解：令
代入
化
首项公等数列
八数学纳法 通首项递推关系式求出数列前n项猜出数列通项公式数学纳法加证明
例17 已知数列满足求数列通项公式
解：
猜测面数学纳法证明结
（1）时等式成立
（2）假设时等式成立时
知时等式成立
根（1）（2）知等式成立
九阶差法（逐项相减法）
1递推公式中
分析：已知关系通转化数列递推关系然采相应方法求解
例18 已知数列项均正数前n项满足成等数列求数列通项公式
解：∵意 ⑴
∴n1时解
n≥2时 ⑵
⑴⑵整理：
∵项均正数∴
时时成立
时时成立舍
练已知数列中 求数列通项公式
答案：
2穷递推数列
例19 已知数列满足求通项公式
解： ①
②
②式－①式
③
知代入③
通项公式
十．形型
（1）(p常数)数列{}等积数列周期数列周期2通项分奇数项偶数项讨
（2）f(n)n函数（非常数）时通逐差法两式相分奇偶项分求通项
例20 已知数列求数列通项公式
注：例类似略
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