2006高考数学试题分类汇编
解析解答（4）
11．（重庆文22）（题满分12分）
图正整数抛物线点焦点直线角抛物线点
（Ⅰ）试证：
（Ⅱ）取记抛物线分切点两条切线交点试证：
证明：（Ⅰ）意固定焦点F（01）设直线方程
抛物线方程联立
元二次方程根系数关系．
（Ⅱ）意固定利导数知识易抛物线处
切线斜率处切线方程：
……①
类似求处切线方程：
……②
②－①：
……③
③代入①注意交点坐标．
两点间距离公式：
．
现利述已证结等数列求公式：
12．（重庆理22）（题满分12分）
已知列椭圆……椭圆点右准线距离等差中项中分左右焦点
（I）试证：
（II）取表示面积试 证：
证：（I）题设椭圆性质设右准线方程题意应满足解：意
（II）高点坐标椭圆方程易知
面积令
两根易知函数增函数减函数
现题设取增数列易知
前已证知
13．（浙江文）图椭圆＝1（a＞b＞0）点A（20）B(01)直线公点T
椭圆离心率e
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)设FF分椭圆左右焦点求证：
解：（Ⅰ） AB直线方程
题意惟解
惟解
求椭圆方程
（Ⅱ）（Ⅰ）
解
14．（浙江理）图椭圆＝1（a＞b＞0）点A（20）B(01)直线公点T
椭圆离心率e
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)设FF分椭圆左右焦点M线段AF中点求证：∠ATM∠AFT
解：（I）点直线方程
题意 惟解
惟解
（）
求椭圆方程
（II）（I）
解
15．（天津文）（题满分14分）图双曲线离心率分左右焦点M左准线渐线第二象限交点
（I）求双曲线方程
（II）设轴两点点A作斜率0直线交双曲线CD两点作直线BC交双曲线点E证明直线DE垂直轴
中心O圆心分半径作圆
解：（I）根题设条件
设点满足
解
利求双曲线方程
（II）解：设点直线方程
两点坐标满足
①代入②
已知显然
理两点坐标满足
解
直线DE垂直轴
6．（四川文）（题满分12分）已知两定点满足条件点P轨迹曲线E直线ｙ＝kx－1曲线E交AB两点
（Ⅰ）求ｋ取值范围
（Ⅱ）果曲线E存点C求
解：（Ⅰ）双曲线定义知曲线焦点双曲线左支
易知
曲线方程
设题意建立方程组
消
已知直线双曲线左支交两点
解
∵
题意
整理
∴
∴
直线方程
设已知
∴
∴点
点坐标代入曲线方程
时点双曲线右支合题意
∴点坐标
距离
∴面积
17．（四川理）（题满分12分）已知两定点满足条件点P轨迹曲线E直线ｙ＝kx－1曲线E交AB两点果曲线E存点C求
题考察双曲线定义性质直线双曲线关系点直线距离等知识解析基思想方法综合解决问题力满分12分
解：双曲线定义知曲线焦点双曲线左支
易知
曲线方程
设题意建立方程组
消
已知直线双曲线左支交两点
解
∵
题意 整理
∴ ∴
直线方程
设已知
∴
∴点
点坐标代入曲线方程
时点双曲线右支合题意
∴点坐标
距离
∴面积
18．（海文）题3题第1题满分4分第2题满分6分第3题满分6分
已知面直角坐标系中椭圆中心原点左焦点右顶点设点
（1）求该椭圆标准方程
（2）椭圆动点求线段中点轨迹方程
（3）原点直线交椭圆点求面积值
海文21解(1)已知椭圆半长轴a2半焦距c半短轴b1
椭圆焦点x轴 ∴椭圆标准方程
(2)设线段PA中点M(xy) 点P坐标(x0y0)
x
x02x－1
y
y02y－
点P椭圆
∴线段PA中点M轨迹方程
(3)直线BC垂直x轴时BC2△ABC面积S△ABC1
直线BC垂直x轴时说该直线方程ykx代入
解B()C(－－)
点A直线BC距离d
∴△ABC面积S△ABC
S△ABC
≥－1S△ABC≤中k－时等号成立
∴S△ABC值
19．（海理）（题满分14分）面直角坐标系O中直线抛物线＝2相交AB两点．
（1）求证：果直线点T（30）＝3真命题
（2）写出（1）中命题逆命题判断真命题假命题说明理．
解：（1）设点T(30)直线交抛物线y22x点A(x1y1)B(x2y2)
直线钭率存时直线方程x3时直线抛物线相交点A(3)B(3－) ∴3
直线钭率存时设直线方程中
∵
∴
综述命题果直线点T(30)3真命题
(2)逆命题：设直线交抛物线y22xAB两点果3该直线点T(30)该命题假命题
例：取抛物线点A(22)B(1)时3
直线AB方程：T(30)直线AB
说明：抛物线y22x点A (x1y1)B (x2y2) 满足3y1y2－6
y1y22果y1y2－6证直线AB点(30)果y1y22证直线
AB点(－10)点(30)
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
20．（陕西文理）(题满分12分)图三定点A(21)B(0－1)C(－21) 三动点DEM满足t t t t∈[01]． (Ⅰ) 求动直线DE斜率变化范围 (Ⅱ)求动点M轨迹方程．
解法 图 (Ⅰ)设D(x0y0)E(xEyE)M(xy)．t t
知(xD－2yD－1)t(－2－2)． ∴ 理 ．
∴kDE 1－2t． ∴t∈[01] ∴kDE∈[－11]．
(Ⅱ) ∵t ∴(x+2t－2y+2t－1)t(－2t+2t－22t－1+2t－1)t(－24t－2)(－2t4t2－2t)． ∴ ∴y x24y． ∵t∈[01] x2(1－2t)∈[－22]．
求轨迹方程 x24y x∈[－22]
解法二 (Ⅰ)．
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
第21题解法图
(Ⅱ) 图 + + t + t(－) (1－t) +t
+ +t +t(－) (1－t) +t
+ + t +t(－)(1－t) + t
(1－t2) + 2(1－t)t+t2 ．
设M点坐标(xy)(21) (0－1) (－21)
消tx24y ∵t∈[01] x∈[－22]．
求轨迹方程 x24y x∈[－22]
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解析解答（4）
11．（重庆文22）（题满分12分）
图正整数抛物线点焦点直线角抛物线点
（Ⅰ）试证：
（Ⅱ）取记抛物线分切点两条切线交点试证：
证明：（Ⅰ）意固定焦点F（01）设直线方程
抛物线方程联立
元二次方程根系数关系．
（Ⅱ）意固定利导数知识易抛物线处
切线斜率处切线方程：
……①
类似求处切线方程：
……②
②－①：
……③
③代入①注意交点坐标．
两点间距离公式：
．
现利述已证结等数列求公式：
12．（重庆理22）（题满分12分）
已知列椭圆……椭圆点右准线距离等差中项中分左右焦点
（I）试证：
（II）取表示面积试 证：
证：（I）题设椭圆性质设右准线方程题意应满足解：意
（II）高点坐标椭圆方程易知
面积令
两根易知函数增函数减函数
现题设取增数列易知
前已证知
13．（浙江文）图椭圆＝1（a＞b＞0）点A（20）B(01)直线公点T
椭圆离心率e
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)设FF分椭圆左右焦点求证：
解：（Ⅰ） AB直线方程
题意惟解
惟解
求椭圆方程
（Ⅱ）（Ⅰ）
解
14．（浙江理）图椭圆＝1（a＞b＞0）点A（20）B(01)直线公点T
椭圆离心率e
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)设FF分椭圆左右焦点M线段AF中点求证：∠ATM∠AFT
解：（I）点直线方程
题意 惟解
惟解
（）
求椭圆方程
（II）（I）
解
15．（天津文）（题满分14分）图双曲线离心率分左右焦点M左准线渐线第二象限交点
（I）求双曲线方程
（II）设轴两点点A作斜率0直线交双曲线CD两点作直线BC交双曲线点E证明直线DE垂直轴
中心O圆心分半径作圆
解：（I）根题设条件
设点满足
解
利求双曲线方程
（II）解：设点直线方程
两点坐标满足
①代入②
已知显然
理两点坐标满足
解
直线DE垂直轴
6．（四川文）（题满分12分）已知两定点满足条件点P轨迹曲线E直线ｙ＝kx－1曲线E交AB两点
（Ⅰ）求ｋ取值范围
（Ⅱ）果曲线E存点C求
解：（Ⅰ）双曲线定义知曲线焦点双曲线左支
易知
曲线方程
设题意建立方程组
消
已知直线双曲线左支交两点
解
∵
题意
整理
∴
∴
直线方程
设已知
∴
∴点
点坐标代入曲线方程
时点双曲线右支合题意
∴点坐标
距离
∴面积
17．（四川理）（题满分12分）已知两定点满足条件点P轨迹曲线E直线ｙ＝kx－1曲线E交AB两点果曲线E存点C求
题考察双曲线定义性质直线双曲线关系点直线距离等知识解析基思想方法综合解决问题力满分12分
解：双曲线定义知曲线焦点双曲线左支
易知
曲线方程
设题意建立方程组
消
已知直线双曲线左支交两点
解
∵
题意 整理
∴ ∴
直线方程
设已知
∴
∴点
点坐标代入曲线方程
时点双曲线右支合题意
∴点坐标
距离
∴面积
18．（海文）题3题第1题满分4分第2题满分6分第3题满分6分
已知面直角坐标系中椭圆中心原点左焦点右顶点设点
（1）求该椭圆标准方程
（2）椭圆动点求线段中点轨迹方程
（3）原点直线交椭圆点求面积值
海文21解(1)已知椭圆半长轴a2半焦距c半短轴b1
椭圆焦点x轴 ∴椭圆标准方程
(2)设线段PA中点M(xy) 点P坐标(x0y0)
x
x02x－1
y
y02y－
点P椭圆
∴线段PA中点M轨迹方程
(3)直线BC垂直x轴时BC2△ABC面积S△ABC1
直线BC垂直x轴时说该直线方程ykx代入
解B()C(－－)
点A直线BC距离d
∴△ABC面积S△ABC
S△ABC
≥－1S△ABC≤中k－时等号成立
∴S△ABC值
19．（海理）（题满分14分）面直角坐标系O中直线抛物线＝2相交AB两点．
（1）求证：果直线点T（30）＝3真命题
（2）写出（1）中命题逆命题判断真命题假命题说明理．
解：（1）设点T(30)直线交抛物线y22x点A(x1y1)B(x2y2)
直线钭率存时直线方程x3时直线抛物线相交点A(3)B(3－) ∴3
直线钭率存时设直线方程中
∵
∴
综述命题果直线点T(30)3真命题
(2)逆命题：设直线交抛物线y22xAB两点果3该直线点T(30)该命题假命题
例：取抛物线点A(22)B(1)时3
直线AB方程：T(30)直线AB
说明：抛物线y22x点A (x1y1)B (x2y2) 满足3y1y2－6
y1y22果y1y2－6证直线AB点(30)果y1y22证直线
AB点(－10)点(30)
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
20．（陕西文理）(题满分12分)图三定点A(21)B(0－1)C(－21) 三动点DEM满足t t t t∈[01]． (Ⅰ) 求动直线DE斜率变化范围 (Ⅱ)求动点M轨迹方程．
解法 图 (Ⅰ)设D(x0y0)E(xEyE)M(xy)．t t
知(xD－2yD－1)t(－2－2)． ∴ 理 ．
∴kDE 1－2t． ∴t∈[01] ∴kDE∈[－11]．
(Ⅱ) ∵t ∴(x+2t－2y+2t－1)t(－2t+2t－22t－1+2t－1)t(－24t－2)(－2t4t2－2t)． ∴ ∴y x24y． ∵t∈[01] x2(1－2t)∈[－22]．
求轨迹方程 x24y x∈[－22]
解法二 (Ⅰ)．
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
第21题解法图
(Ⅱ) 图 + + t + t(－) (1－t) +t
+ +t +t(－) (1－t) +t
+ + t +t(－)(1－t) + t
(1－t2) + 2(1－t)t+t2 ．
设M点坐标(xy)(21) (0－1) (－21)
消tx24y ∵t∈[01] x∈[－22]．
求轨迹方程 x24y x∈[－22]
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