选择题(题5分30分)
1．M{(xy)| |tanpy|+sin2px0}N{(xy)|x2+y2≤2}M∩N元素数（ ）
(A)4 (B)5 (C)8 (D)9
5．△ABC中角ABC边长分abcca等AC边高hsin+cos值( )
(A)1 (B) (C) (D)1
6．设mn非零实数i虚数单位zÎC方程|z+ni|+|zmi|n|z+ni||zmi|m复面图形(F1F2焦点)( )
二填空题（题5分30分）
1．二次方程(1i)x2+(l+i)x+(1+il)0(i虚数单位lÎR)两虚根充分必条件l取值范围________．
2．实数xy满足4x25xy+4y25设 Sx2+y2+_______．
3．zÎCarg(z24) arg(z2+4) z值________[源学科网ZXXK]
4．整数末两位数_______
三（题满分20分）
三棱锥S－ABC中侧棱SASBSC两两互相垂直M三角形ABC重心DAB中点作SC行直线DP．证明：(1)DPSM相交(2)设DPSM交点D¢D¢三棱锥S－ABC外接球球心．
四（题满分20分）
设0[源学科网]
五（题满分20分）
设正数列a0a1a2…an…满足－2an－1(n≥2)a0a11
求{an}通项公式．
第二试
（35分）
设凸四边形ABCD角中仅ÐD钝角直线段该凸四边形分割成n钝角三角形ABCD外该四边形周界含分割出钝角三角形顶点．试证n应满足充分必条件n≥4．
[源ZxxkCom]
三（35分）
水直线m通圆O中心直线l^mlm相交M点M圆心右侧直线l三点ABC圆外位直线m方A点离M点远C点离M点APBQCR圆 O三条切线PQR切点．试证：(1)l圆O相切时AB´CR+BC´APAC´BQ(2)l圆O相交时AB´CR+BC´AP＜AC´BQ(3)l圆O相离时AB´CR+BC´AP＞AC´BQ
1993年全国高中数学联合竞赛解答
第试
选择题(题5分30分)
1．M{(xy)| |tanpy|+sin2px0}N{(xy)|x2+y2≤2}M∩N元素数（ ）
(A)4 (B)5 (C)8 (D)9
3．集合AB集A∪B{a1a2a3}A¹B时(AB)(BA)视样(AB)数（ ）
（A）8 （B）9 （C）26 （D）27
答案D
解析a1∈AÏA2种样a1∈BÏB2种a1ÏAa1ÏB时成立22－1种安排方式样a2a322－1种安排方式(22－1)3种安排方式．选D．
5．△ABC中角ABC边长分abcca等AC边高hsin+cos值( )
(A)1 (B) (C) (D)1
6．设mn非零实数i虚数单位zÎC方程|z+ni|+|zmi|n|z+ni||zmi|m复面图形(F1F2焦点)( )[源学科网]
答案B
解析方程①椭圆②双曲线支．二者焦点均(－nimi)①n>0否定A
n椭圆长轴C中两焦点原点距离(分表示|n||m|)均椭圆长轴否定C．
BD知椭圆两焦点y轴负半轴n长轴知|OF1|nm<0|OF2|－m．曲线点－ni距离否定D选B．
二填空题（题5分30分）
1．二次方程(1i)x2+(l+i)x+(1+il)0(i虚数单位lÎR)两虚根充分必条件l取值范围________．
2．实数xy满足4x25xy+4y25设 Sx2+y2+_______．
答案
解析令xrcosθyrsinθSr2r2(4－5sinθcosθ)5．S．
∴++．
3．zÎCarg(z24) arg(z2+4) z值________
答案±(1+i)
解析图知z2表示复数4(cos120°+isin120°)．∴ z±2(cos60°+isin60°)±(1+i)．
[源ZxxkCom]
4．整数末两位数_______
答案08
解析令x1031x2－3x+9－．0<<1求末两位数字09－108．
5．设意实数x0>x1>x2>x3>0log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立k值_______
6．三位数(100101L999)900卡片印三位数张卡片印三位数卡片印倒三位数198倒861卡片然531倒 卡片卡二少印_____张卡片．
答案34
解析首位末位选择16894种选择十位选05种选择4×5×480种选择．
两端18中间018时两端96中间018时倒变2×3+2×312(80－12)÷234．
三（题满分20分）
三棱锥SABC中侧棱SASBSC两两互相垂直M三角形ABC重心DAB中点作SC行直线DP．证明：(1)DPSM相交(2)设DPSM交点三棱锥S—ABC外接球球心．
四（题满分20分）
设0
五（题满分20分）
设正数列a0a1a2…an…满足
－2an－1(n≥2)
a0a11求{an}通项公式．
解析变形：2+1
令+1bnbn2bn－1．
{bn}b1+12首项2公等数列．
∴ bn2n．
∴ (2n－1)2．
∴
第二试
（35分）
设凸四边形ABCD角中仅ÐD钝角直线段该凸四边形分割成n钝角三角形ABCD外该四边形周界含分割出钝角三角形顶点．试证n应满足充分必条件n≥4．
n2时连1条角线四边形分成2三角形中1钝角三角形．
n3时法顶点出发连线段四边形分成3三角形现连1条角线AC连BAC某点线段时法两三角形钝角三角形．
∴n23时法满足题目求解．n≥4时解．
二（35分）
设An元素集合Am子集A1A2LAm两两互包含．
试证：(1) ≤1
(2) C≥m2．中|Ai|表示Ai含元素数C表示n元素取|Ai|组合数．
三（35分）
水直线m通圆O中心直线l^mlm相交M点M圆心右侧直线l三点ABC圆外位直线m方A点离M点远C点离M点APBQCR圆 O三条切线PQR切点．试证：(1)l圆O相切时AB´CR+BC´APAC´BQ(2)l圆O相交时AB´CR+BC´AP＜AC´BQ(3)l圆O相离时AB´CR+BC´AP＞AC´BQ
解析证明：设MAaMBbMCcOMd⊙O半径r．
设kd2－r2．k>0时点M⊙O外时直线l⊙O相离
k0时点M⊙O时直线l⊙O相切
k<0时点M⊙O时直线l⊙O相交．
∴ AP理BQCR．
AB´CR+BC´AP－AC´BQ AB´CR+BC´AP－(AB+BC)´BQBC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR)
BC×－AB×
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选择题(题5分30分)
1．M{(xy)| |tanpy|+sin2px0}N{(xy)|x2+y2≤2}M∩N元素数（ ）
(A)4 (B)5 (C)8 (D)9
5．△ABC中角ABC边长分abcca等AC边高hsin+cos值( )
(A)1 (B) (C) (D)1
6．设mn非零实数i虚数单位zÎC方程|z+ni|+|zmi|n|z+ni||zmi|m复面图形(F1F2焦点)( )
二填空题（题5分30分）
1．二次方程(1i)x2+(l+i)x+(1+il)0(i虚数单位lÎR)两虚根充分必条件l取值范围________．
2．实数xy满足4x25xy+4y25设 Sx2+y2+_______．
3．zÎCarg(z24) arg(z2+4) z值________[源学科网ZXXK]
4．整数末两位数_______
三（题满分20分）
三棱锥S－ABC中侧棱SASBSC两两互相垂直M三角形ABC重心DAB中点作SC行直线DP．证明：(1)DPSM相交(2)设DPSM交点D¢D¢三棱锥S－ABC外接球球心．
四（题满分20分）
设0
五（题满分20分）
设正数列a0a1a2…an…满足－2an－1(n≥2)a0a11
求{an}通项公式．
第二试
（35分）
设凸四边形ABCD角中仅ÐD钝角直线段该凸四边形分割成n钝角三角形ABCD外该四边形周界含分割出钝角三角形顶点．试证n应满足充分必条件n≥4．
[源ZxxkCom]
三（35分）
水直线m通圆O中心直线l^mlm相交M点M圆心右侧直线l三点ABC圆外位直线m方A点离M点远C点离M点APBQCR圆 O三条切线PQR切点．试证：(1)l圆O相切时AB´CR+BC´APAC´BQ(2)l圆O相交时AB´CR+BC´AP＜AC´BQ(3)l圆O相离时AB´CR+BC´AP＞AC´BQ
1993年全国高中数学联合竞赛解答
第试
选择题(题5分30分)
1．M{(xy)| |tanpy|+sin2px0}N{(xy)|x2+y2≤2}M∩N元素数（ ）
(A)4 (B)5 (C)8 (D)9
3．集合AB集A∪B{a1a2a3}A¹B时(AB)(BA)视样(AB)数（ ）
（A）8 （B）9 （C）26 （D）27
答案D
解析a1∈AÏA2种样a1∈BÏB2种a1ÏAa1ÏB时成立22－1种安排方式样a2a322－1种安排方式(22－1)3种安排方式．选D．
5．△ABC中角ABC边长分abcca等AC边高hsin+cos值( )
(A)1 (B) (C) (D)1
6．设mn非零实数i虚数单位zÎC方程|z+ni|+|zmi|n|z+ni||zmi|m复面图形(F1F2焦点)( )[源学科网]
答案B
解析方程①椭圆②双曲线支．二者焦点均(－nimi)①n>0否定A
n椭圆长轴C中两焦点原点距离(分表示|n||m|)均椭圆长轴否定C．
BD知椭圆两焦点y轴负半轴n长轴知|OF1|nm<0|OF2|－m．曲线点－ni距离否定D选B．
二填空题（题5分30分）
1．二次方程(1i)x2+(l+i)x+(1+il)0(i虚数单位lÎR)两虚根充分必条件l取值范围________．
2．实数xy满足4x25xy+4y25设 Sx2+y2+_______．
答案
解析令xrcosθyrsinθSr2r2(4－5sinθcosθ)5．S．
∴++．
3．zÎCarg(z24) arg(z2+4) z值________
答案±(1+i)
解析图知z2表示复数4(cos120°+isin120°)．∴ z±2(cos60°+isin60°)±(1+i)．
[源ZxxkCom]
4．整数末两位数_______
答案08
解析令x1031x2－3x+9－．0<<1求末两位数字09－108．
5．设意实数x0>x1>x2>x3>0log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立k值_______
6．三位数(100101L999)900卡片印三位数张卡片印三位数卡片印倒三位数198倒861卡片然531倒 卡片卡二少印_____张卡片．
答案34
解析首位末位选择16894种选择十位选05种选择4×5×480种选择．
两端18中间018时两端96中间018时倒变2×3+2×312(80－12)÷234．
三（题满分20分）
三棱锥SABC中侧棱SASBSC两两互相垂直M三角形ABC重心DAB中点作SC行直线DP．证明：(1)DPSM相交(2)设DPSM交点三棱锥S—ABC外接球球心．
四（题满分20分）
设0
五（题满分20分）
设正数列a0a1a2…an…满足
－2an－1(n≥2)
a0a11求{an}通项公式．
解析变形：2+1
令+1bnbn2bn－1．
{bn}b1+12首项2公等数列．
∴ bn2n．
∴ (2n－1)2．
∴
第二试
（35分）
设凸四边形ABCD角中仅ÐD钝角直线段该凸四边形分割成n钝角三角形ABCD外该四边形周界含分割出钝角三角形顶点．试证n应满足充分必条件n≥4．
n2时连1条角线四边形分成2三角形中1钝角三角形．
n3时法顶点出发连线段四边形分成3三角形现连1条角线AC连BAC某点线段时法两三角形钝角三角形．
∴n23时法满足题目求解．n≥4时解．
二（35分）
设An元素集合Am子集A1A2LAm两两互包含．
试证：(1) ≤1
(2) C≥m2．中|Ai|表示Ai含元素数C表示n元素取|Ai|组合数．
三（35分）
水直线m通圆O中心直线l^mlm相交M点M圆心右侧直线l三点ABC圆外位直线m方A点离M点远C点离M点APBQCR圆 O三条切线PQR切点．试证：(1)l圆O相切时AB´CR+BC´APAC´BQ(2)l圆O相交时AB´CR+BC´AP＜AC´BQ(3)l圆O相离时AB´CR+BC´AP＞AC´BQ
解析证明：设MAaMBbMCcOMd⊙O半径r．
设kd2－r2．k>0时点M⊙O外时直线l⊙O相离
k0时点M⊙O时直线l⊙O相切
k<0时点M⊙O时直线l⊙O相交．
∴ AP理BQCR．
AB´CR+BC´AP－AC´BQ AB´CR+BC´AP－(AB+BC)´BQBC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR)
BC×－AB×
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