2010年全国高中数学联赛
试
填空题（题8分64分）
1 函数值域
2 已知函数值实数取值范围
3 双曲线右半支直线围成区域部（含边界）整点（横坐标均整数点）数
4 已知公差等差数列等数列中存常数正整数
5 函数 区间值8区间值
6 两轮流投掷骰子次投掷两颗第两颗骰子点数6者胜否轮投掷先投掷获胜概率
7 正三棱柱9条棱长相等中点二面角
8 方程满足正整数解（xyz）数
二解答题（题满分56分）
9 （16分）已知函数时试求值
10（20分）已知抛物线两动点中线段垂直分线轴交点求面积值
11（20分）证明：方程恰实数根存唯严格递增正整数数列
解 答
1 提示：易知定义域增函数知值域
2 提示：令原函数化
知
（1）
时（1）总成立
知
3 9800 提示：称性知先考虑轴方情况设双曲线右半支交直线线段部整点数轴方区域部整点数
轴98整点求整点数
4 提示 ：设公差公
（1）
（2）
（1）代入（2）求
切正整数成立 切正整数成立
求
5 提示：令原函数化递增
时
时
综值
6 提示：时投掷两颗骰子点数6概率先投掷获胜概率
7 提示：解法：图直线轴线段中点原点直线轴建立空间直角坐标系设正三棱柱棱长2
设分面面垂直量
设
解法二：图
设交点
面
面作垂足
连结二面角面角设易求
直角中
8 336675 提示：首先易知正整数解数
满足正整数解分三类：
（1）均相等正整数解数显然1
（2）中仅2相等正整数解数易知1003
(3)设两两均相等正整数解
易知
满足正整数解数
9 解法：
易知（常数）满足题设条件值
解法二： 设时
设
容易知道时 时
知
易知（常数）满足题设条件值
10 解法：设线段中点
线段垂直分线方程
（1）
易知（1）解线段垂直分线轴交点定点点坐标
（1）知直线方程
（2）
（2）代入
（3）
题意方程（3）两实根
定点线段距离
仅时等号成立
面积值
解法二：解法线段垂直分线轴交点定点点坐标
设绝值
仅
时等号成立
面积值
11令严格递增唯实数根
数列满足题设求数列
存两正整数数列满足
掉面等式两边相项
里
妨设
矛盾满足题设数列唯
加 试
1 （40分）图锐角三角形ABC外心OK边BC点（边BC中点）D线段AK延长线点直线BDAC交点N直线CDAB交点M．求证：OK⊥MNABDC四点圆．
2 （40分）设k定正整数．记．证明：存正整数m整数．里表示实数x整数例：．
3 （50分）定整数设正实数满足记
．
求证： ．
4 （50分）种密码锁密码设置正n边形顶点处赋值01两数中时顶点处涂染红蓝两种颜色意相邻两顶点数字颜色中少相．问：该种密码锁少种密码设置？
解 答
1 反证法．ABDC四点圆设三角形ABC外接圆AD交点E连接BE延长交直线AN点Q连接CE延长交直线AM点P连接PQ．
P幂（关⊙O）K幂（关⊙O）
理
⊥． 题设OK⊥MNPQ∥MN
． ①
梅劳斯（Menelaus）定理
②
． ③
①②③ △DMN ∽ △DCBBC∥MNOK⊥BCKBC中点矛盾四点圆
注1：P幂（关⊙O）K幂（关⊙O）证明：延长PK点F
④
PEFA四点圆
ECFK四点圆
⑤
⑤④
P幂（关⊙O）K幂（关⊙O）．
注2：点E线段AD延长线完全类似．
2 记表示正整数n含2幂次．时整数．
面数学纳法．
时k奇数偶数时
整数．
假设命题成立．
设k二进制表示具形式
里者1．
①
里
显然中含2幂次．纳假设知fv次迭代整数①知整数完成纳证明．
3 知．
注意时
．
4 该种密码锁种密码设置果相邻两顶点赋值数字边标a果颜色标b果数字颜色相标c．定点设置（4种）边字母次确定点设置．终回时设置初始时相标ab边偶数条．种密码锁密码设置方法数等边标记abc标ab边偶数条方法数4倍．
设标a边条标b边条．选取条边标记a种方法余边中取出条边标记b种方法余边标记c．法原理时种标记方法．ij求密码锁密码设置方法数
． ①
里约定．
n奇数时时
． ②
代入①式中
．
n偶数时②式然成立正n边形边标记a时种标记方法．n偶数时密码设置方法数
．
综述种密码锁密码设置方法数：n奇数时种n偶数时种．
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填空题（题8分64分）
1 函数值域
2 已知函数值实数取值范围
3 双曲线右半支直线围成区域部（含边界）整点（横坐标均整数点）数
4 已知公差等差数列等数列中存常数正整数
5 函数 区间值8区间值
6 两轮流投掷骰子次投掷两颗第两颗骰子点数6者胜否轮投掷先投掷获胜概率
7 正三棱柱9条棱长相等中点二面角
8 方程满足正整数解（xyz）数
二解答题（题满分56分）
9 （16分）已知函数时试求值
10（20分）已知抛物线两动点中线段垂直分线轴交点求面积值
11（20分）证明：方程恰实数根存唯严格递增正整数数列
解 答
1 提示：易知定义域增函数知值域
2 提示：令原函数化
知
（1）
时（1）总成立
知
3 9800 提示：称性知先考虑轴方情况设双曲线右半支交直线线段部整点数轴方区域部整点数
轴98整点求整点数
4 提示 ：设公差公
（1）
（2）
（1）代入（2）求
切正整数成立 切正整数成立
求
5 提示：令原函数化递增
时
时
综值
6 提示：时投掷两颗骰子点数6概率先投掷获胜概率
7 提示：解法：图直线轴线段中点原点直线轴建立空间直角坐标系设正三棱柱棱长2
设分面面垂直量
设
解法二：图
设交点
面
面作垂足
连结二面角面角设易求
直角中
8 336675 提示：首先易知正整数解数
满足正整数解分三类：
（1）均相等正整数解数显然1
（2）中仅2相等正整数解数易知1003
(3)设两两均相等正整数解
易知
满足正整数解数
9 解法：
易知（常数）满足题设条件值
解法二： 设时
设
容易知道时 时
知
易知（常数）满足题设条件值
10 解法：设线段中点
线段垂直分线方程
（1）
易知（1）解线段垂直分线轴交点定点点坐标
（1）知直线方程
（2）
（2）代入
（3）
题意方程（3）两实根
定点线段距离
仅时等号成立
面积值
解法二：解法线段垂直分线轴交点定点点坐标
设绝值
仅
时等号成立
面积值
11令严格递增唯实数根
数列满足题设求数列
存两正整数数列满足
掉面等式两边相项
里
妨设
矛盾满足题设数列唯
加 试
1 （40分）图锐角三角形ABC外心OK边BC点（边BC中点）D线段AK延长线点直线BDAC交点N直线CDAB交点M．求证：OK⊥MNABDC四点圆．
2 （40分）设k定正整数．记．证明：存正整数m整数．里表示实数x整数例：．
3 （50分）定整数设正实数满足记
．
求证： ．
4 （50分）种密码锁密码设置正n边形顶点处赋值01两数中时顶点处涂染红蓝两种颜色意相邻两顶点数字颜色中少相．问：该种密码锁少种密码设置？
解 答
1 反证法．ABDC四点圆设三角形ABC外接圆AD交点E连接BE延长交直线AN点Q连接CE延长交直线AM点P连接PQ．
P幂（关⊙O）K幂（关⊙O）
理
⊥． 题设OK⊥MNPQ∥MN
． ①
梅劳斯（Menelaus）定理
②
． ③
①②③ △DMN ∽ △DCBBC∥MNOK⊥BCKBC中点矛盾四点圆
注1：P幂（关⊙O）K幂（关⊙O）证明：延长PK点F
④
PEFA四点圆
ECFK四点圆
⑤
⑤④
P幂（关⊙O）K幂（关⊙O）．
注2：点E线段AD延长线完全类似．
2 记表示正整数n含2幂次．时整数．
面数学纳法．
时k奇数偶数时
整数．
假设命题成立．
设k二进制表示具形式
里者1．
①
里
显然中含2幂次．纳假设知fv次迭代整数①知整数完成纳证明．
3 知．
注意时
．
4 该种密码锁种密码设置果相邻两顶点赋值数字边标a果颜色标b果数字颜色相标c．定点设置（4种）边字母次确定点设置．终回时设置初始时相标ab边偶数条．种密码锁密码设置方法数等边标记abc标ab边偶数条方法数4倍．
设标a边条标b边条．选取条边标记a种方法余边中取出条边标记b种方法余边标记c．法原理时种标记方法．ij求密码锁密码设置方法数
． ①
里约定．
n奇数时时
． ②
代入①式中
．
n偶数时②式然成立正n边形边标记a时种标记方法．n偶数时密码设置方法数
．
综述种密码锁密码设置方法数：n奇数时种n偶数时种．
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