复变函数积分变换
（修订版）
编：马柏林
——课题答案
题
1 复数代数形式a+ib表示列复数
①解
②解：
③解：
④解：
2求列复数实部虚部(zx+iy)
R)
① ： ∵设zx+iy
∴ ．
②解： 设zx+iy
∵ ∴ ．
③解： ∵
∴ ．
④解： ∵
∴ ．
⑤解： ∵．
∴时
时．
3求列复数模轭复数
①解：．
②解：
③解：．
④解：
4证明：仅时z实数．
证明：设
y0
∴zx实数．
zxx∈¡．
∴．
命题成立．
5设zw∈£证明：
证明∵
∴．
6设zw∈£证明列等式．
出等式解释．
证明：面第五题证明已证明．
面证．
∵
．证．
∴
意义：行四边形两角线方等边方．
7列复数表示指数形式三角形式
①解：
中．
②解：中．
③解：
④解：
∴
⑤解：
解：∵．
∴
8计算：(1)i三次根(2)1三次根(3) 方根
⑴i三次根．
解：
∴．
⑵1三次根
解：
∴
⑶方根．
解：
∴
∴
．
9设 证明：
证明：∵ ∴．
∴
∵n≥2． ∴z≠1
11设圆周令
中求出a切圆周关充分必条件
解：图示．
{z 0}表示通点a方b直线直线a处圆相切CA⊥．C作直线行∠BCDβ∠ACB90°
αβ90°
α处切圆周T关β充条件αβ90°．
12指出列式中点z确定面图形作出草图
解：
(1)argzπ．表示负实轴．
(2)|z1||z|．表示直线z．
(3)1<|z+i|<2
解：表示i圆心12半径周圆组成圆环域
（4）Re(z)>Imz．
解：表示直线yx右半面
5Imz>1|z|<2．
解：表示圆盘弓形域
题二
1 求映射圆周
解：设
表示椭圆
2 映射列z面图形映射w面什图形设
（1） （2）
(3) xa yb(a b实数)
解：设
(1) 记映射成w面虚轴O4i段
(2) 记映成w面扇形域
(3) 记直线xa映成原点焦点张口左抛物线yb映成
原点焦点张口右抛物线图示
3 求列极限
(1)
解：令
(2)
解：设zx+yi
显然取值时f(z)极限
极限存
（3）
解：
（4）
解：
4 讨列函数连续性：
(1)
解：
令ykx
k取值时f(z)取值f(z)z0处极限存
f(z)z0处连续z0外连续
(2)
解：
f(z)整z面连续
5 列函数处求导？求导数
(1) (n正整数)
解：n正整数f(z)整z面导
(2)
解：f(z)理函数f(z)处导
f(z)外导
(3)
解：f(z)外处处导
(4)
解：
f(z)z0外处处导
6 试判断列函数导性解析性
(1)
解：全面微
z0时
f(z)z0处导全面解析
(2)
解：全面微
z0时(00)处
f(z)z0处导全面解析
(3)
解：全面微
时满足CR方程
f(z)处导全面解析
(4)
解：设
z0时满足CR方程
f(z)z0处导处处解析
7 证明区域D满足列条件解析函数必常数
(1)
证明：
uv常数f(z)常数
(2) 解析
证明：设D解析
f(z)解析函数
v常数u常数f(z)常数
(3) Ref(z)常数
证明：Ref(z)常数uC1
f(z)解析CR条件成立uC2
f(z)常数
(4) Imf(z)常数
证明：（3）类似vC1
f(z)解析CR方程uC2
f(z)常数
5 |f(z)|常数
证明：|f(z)|CC进行讨
C0u0v0f(z)0常数
C0f(z) 0u2+v2C2
两边xy分求偏导数
利CR条件f(z)D解析
uC1vC2f(z)常数
(6) argf(z)常数
证明：argf(z)常数
CR条件→
解uv常数f(z)常数
8 设f(z)my3+nx2y+i(x3+lxy2)z面解析求mnl值
解：f(z)解析满足CR条件
9 试证列函数z面解析求导数
(1) f(z)x3+3x2yi3xy2y3i
证明：u(xy)x33xy2 v(xy)3x2yy3全面微
f(z)全面满足CR方程处处导处处解析
(2)
证明：
处处微
f(z)处处导处处解析
10 设
求证：(1) f(z)z0处连续．
(2)f(z)z0处满足柯西—黎曼方程．
(3)f′(0)存．
证明(1)∵
∵
∴
∴
理
∴
∴f(z)z0处连续．
(2)考察极限
z虚轴趋零时ziy
．
z实轴趋零时zx
分
∴
∴满足CR条件．
(3)zyx趋零时
∴存．f(z)z0处导．
11 设区域D位半面D1D关x轴称区域f(z)区域D解析求证区域D1解析．
证明：设f(z)u(xy)+iv(xy)f(z)区域D解析．
u(xy)v(xy)D微满足CR方程．
φ(xy)ψ(xy)D1微满足CR条件
D1解析
13 计算列值
(1) e2+ie2∙eie2∙(cos1+isin1)
(2)
(3)
(4)
14 设z通原点放射线趋∞点试讨f(z)z+ez极限．
解：令zreiθ
θz→∞时r→∞．
．
．
15 计算列值．
(1)
(2)
(3)ln(ei)ln1+iarg(ei)ln1+ii
(4)
16 试讨函数f(z)|z|+lnz连续性导性．
解：显然g(z)|z|复面连续lnz负实轴原点外处处连续．
设zx+iy
复面微．
g(z)|z|复面处处导．
f(x)|z|+lnz复面处处导．
f(z)复面原点负实轴外处处连续．
17 计算列值．
(1)
(2)
(3)
18 计算列值
(1)
(2)
(3)(4) (5)
(6)
19 求解列方程
(1) sinz2．
解：
(2)
解：
(3)
解：
(4)
解：．
20 zx+iy求证
(1) sinzsinxchy+icosx∙shy
证明：
(2)coszcosx∙chyisinx∙shy
证明：
(3)|sinz|2sin2x+sh2y
证明：
(4)|cosz|2cos2x+sh2y
证明：
21 证明y→∞时|sin(x+iy)||cos(x+iy)|趋穷．
证明：
∴
y→+∞时ey→0ey→+∞|sinz|→∞．
y→∞时ey→+∞ey→0|sinz|→∞．
理
y→∞时|cosz|→∞．
题三
1 计算积分中C原点点1+i直线段
解 设直线段方程
2 计算积分中积分路径C
(1) 点0点1+i直线段
(2) 抛物线yx2点0点1+i弧段
解 (1)设
(2)设
3 计算积分中积分路径C
(1) 点i点i直线段
(2) 单位圆周|z|1左半圆周点i点i
(3) 单位圆周|z|1右半圆周点i点i
解 (1)设
(2)设
(3) 设
6 计算积分中
解
∵围区域解析
∴
7 计算积分中积分路径
（1） （2） （3）
（4）
解：（1）围区域奇点
（2）围区域包含三奇点
（3）围区域包含奇点
（4）围区域包含两奇点
10利牛顿莱布尼兹公式计算列积分
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 11 计算积分中
(1) (2) (3)
解 (1)
(2)
(3)
16 求列积分值中积分路径C均|z|1
(1) (2) (3)
解 (1)
(2)
(3)
17 计算积分中积分路径
(1)中心位点半径正圆周
(2) 中心位点半径正圆周
解：(1) 包含奇点
∴
(2) 包含奇点
∴
19 验证列函数调函数
解(1) 设
∴
满足拉普拉斯方程调函数
(2) 设
∴
满足拉普拉斯方程调函数
满足拉普拉斯方程调函数
20证明函数调函数解析函数
证明
∴调函数
∴调函数
∵
∴满足CR方程解析函数
22列已知调函数求解析函数
(1) (2)
解 (1)
令y0式变
(2)
线积分法取（x0y0）(10)
C0
23设中相闭路C通证明积分
等位Cp(z)零点数
证明 妨设闭路C零点数k 零点分
24试证明述定理(界区域柯西积分公式) 设f(z)闭路C外部区域D解析
中GC围部区域
证明：D取点Z取充分R作圆CR CZ包含
f(z)C边界区域解析柯西积分公式
解析
ZC外部时
设ZCf(z)0
：
题四
1 复级数发散级数发散命题否成立什
答定．反例
发散
收敛
发散
收敛
2列复数项级数否收敛绝收敛条件收敛
(1) (2) (3)
(4) (5)
解 (1)
发散发散
(2)发散
发散
(3) 发散收敛绝收敛
(4)
级数绝收敛
n2k时 级数化收敛
n2k+1时 级数化收敛
原级数条件收敛
(5)
中 发散收敛
原级数发散
3证明收敛级数绝收敛
证明设
收敛
收敛
n充分时
收敛
收敛收敛
收敛级数绝收敛
4讨级数敛散性
解 部分
存
时（）cosnθsinnθ没极限收敛．
时 收敛
5幂级数否z0处收敛z3处发散
解： 设时级数收敛时发散
z0处收敛
z3处发散
显然矛盾幂级数z0处收敛z3处发散
6列说法否正确什
(1)幂级数收敛圆周处处收敛
(2) 幂级数函数收敛圆奇点
答 (1) 正确幂级数收敛圆周收敛发散
(2) 正确收敛幂级数函数收敛圆周解析
7收敛半径R求收敛半径
解：
8证明：幂级数 系数满足
(1)时
(2) 时
(3) 时
证明：考虑正项级数
正项级数根值判法知收敛趋零级数发散收敛半径
时 级数收敛
充分时必趋零级数发散
9求列级数收敛半径写出收敛圆周
(1) (2)
(3)
(4)
解 (１)
收敛圆周
(2)
收敛圆周
(3) 记
值法
级数收敛
级数绝收敛收敛半径
收敛圆周
(4) 记
时绝收敛收敛半径
收敛圆周
10求列级数函数
(1) (2)
解 (1)
收敛半径R1逐项积分性质：
：
(2) 令：
R∞ 逐项求导性质
微分方程
： A B定
11设级数收敛发散证明收敛半径1
证明：级数收敛
设
收敛半径1
现反证法证明
收敛条件矛盾
单位圆等收敛收敛半径概念矛盾
综述知必
12点处发散证明级数满足点发散
证明：妨设时处收敛
绝收敛
点处收敛
矛盾处发散
13直接法函数点处展开泰勒级数(项)指出收敛半径
解
奇点
展开式
14直接法函数点处展开泰勒级数(项)
解：奇点收敛半径
处泰勒级数
15间接法列函数展开泰勒级数指出收敛性
(1) 分处
(2) 处
(3) 处
(4) 处
(5) 处
解 （1）
(2)
(3)
(4)
(5)负实轴解析
收敛半径R1
16什区域解析区间取实数值函数展开成幂级数时展开式系数实数？
答：取实数值时泰勒级数展开式完全致展开式系数实数幂级数展开式系数实数
17求中心圆环域罗朗级数
解函数奇点三中心圆环域罗朗级数分：
19展开成罗朗级数
解令
展开式
代入
20做列运算根运算做出结果
结果
认正确什
答正确求
求
区域
21证明 z幂表示罗朗级数展开式中系数
证明奇点罗朗级数
中
中C条绕原点简单曲线
22 函数孤立奇点什
解 奇点
意心邻域总包括奇点时z0
孤立奇点
23 级数展开法指出函数处零点级
解：
z0f(z)15级零点
24 判断否列函数孤立奇点确定奇点类型：
⑴ ⑵
解 孤立奇点
性奇点
(2)
奇点
25 列函数什奇点？果极点指出点：
⑴ ⑵ ⑶
解 (1)
奇点二级极点
解 (2)
奇点级极点0二级极点
解 (3)
二级零点
级零点 级零点
二级极点 级极点
26 判定列函数什奇点？
⑴ ⑵ ⑶
解 (1)时
奇点
(2)
性奇点
(3) 时
奇点
27 函数处二级极点根面罗朗展开式：
性奇点两结果正确？什
解 z1f(z)二级极点性奇点罗朗展开式
罗朗展开式
28果C正圆周求积分值
(1) (2)
解：（1）先展开罗朗级数
3
(2)处处解析罗朗展开式
3
题五
1 求列函数留数．
(1)z0处．
解：0<|z|<+∞罗朗展开式
∴
(2)z1处．
解：0<| <+∞罗朗展开式
∴．
2 利种方法计算f(z)限孤立奇点处留数．
(1)
解：限孤立奇点处z0z2．中z0二级极点z2级极点．
∴
3 利罗朗展开式求函数∞处留数．
解：
∴
5 计算列积分．
(1)n正整数c|z|n取正．
解：．
ctanπz
(k0±1±2…±(n1))级极点
∴
(2) c|z|2取正．
解：cz1zi两奇点．
6 计算列积分．
(1)
积函数θ偶函数
令
设
积函数|z|1简单极点
∴
(2) |a|>1．
解：令
令zeiθ．
(3)a>0b>0．
解：令积函数R(z)半面级极点ziaib．
（4） a>0．
解：
令z±ai分R(z)二级极点
(5) β>0b>0．
解：
考知R(z)半面zbi二级极点．
(6) a>0
解：令半面zai级极点
7 计算列积分
(1)
解：令R(z)实轴孤立奇点z0作原点圆心r半径半圆周crCR[R r] Cr[r R]构成封闭曲线时闭曲线奇点i
：．
：
．(2)中T直线Rezc c>0 0解：直线zc+iy (∞< y <+∞)令收敛积分存
中AB复面ciRc+iR线段．
考虑函数f(z)长方形R≤x≤cR≤y≤R周界积分．＜图＞
f(z)仅二级极点z0
留数定理．
．
题六
1 求映射列曲线
(1) (实数)
解：
映成直线
(2) (k实数)
解：
映成直线
2 列区域指定映射映成什？
（1）
解：
映成
(2) Re(z)>0 0解：设zx+iy x>0 0
Re(w)>0 Im(w)>0 wu+iv
0Re(z)>0 0Re(w)>0Im(w)>0 (（0）圆心半径圆)
3 求wz2zi处伸缩率旋转角问wz2点zi行实轴正曲线切线方映成w面方？作图
解：2z(i)2i ||2 旋转角arg
点i行实轴正量映成w面点1方垂直量图示
→
4 解析函数构成映射什条件具伸缩率旋转角变性？映射wz2z面点具性质？
答：解析函数构成映射导数零条件具伸缩率旋转变性映射wz2z0处导数零z0处具备性质
5 求区域06 试求点动分式线性变换
解：设求分式线性变换(adbc0)
代入式
令
中a复数
反成立求分式线性映射 a复数
7 分式线性映射圆周|z|1映射成直线余数应满足什条件？
解：圆周|z|1映成直线映成
落单位圆周|z|1|c||d|
系数应满足adbc0|c||d|
8 试确定映射作列集合
(1) (2) |z|2 (3) Im(z)>0
解：(1) Re(z)0虚轴ziy代入
写成参数方程
消y曲线方程单位圆
u2+v21
(2) |z|2圆围令代入化参数方程
消曲线方程阿波罗斯圆
(3) Im(z)>0时
令wu+iv
v>0Im(z)>0Im(w)>0
9 求出右半面Re(z)>0映射成单位圆|w|<1分式线性变换
解：设映射右半面z0映射成w0z0关轴称点
求分式线性变换形式中k常数
虚轴点z应|w|1妨设z0
10 映射映射成实数意义显什？
解：
表示单位圆处旋转角
11 求半面Im(z)>0映射成|w|<1单位圆分式线性变换wf(z)满足条件
(1) f(i)0 0 (2) f(1)1 f(i)
解：半面Im(z)>0 映单位圆|w|<1般分式线性映射wk(Im()>0)
(1) f(i)0iarg
(2) f(1)1kf(i) k联立解
12 求|z|<1映射成|w|<1分式线性变换wf(z)满足条件：
(1) f()0 f(1)1
(2) f()0
(3) f(a)a
解：单位圆|z|<1映成单位圆|w|<1分式线性映射
||<1
(1) f()0知f(1)1知
(2) f()0知
(3) 先求za|z|<1映成||<1
知
求wg()0wa ||<1映成|w|<1
先求反函数|w|<1映||<1wa映0
求w等式出
13 求顶点01i三角形式部映射顶点次021+i三角形部分式线性映射
解：直接交变性公式求
∶∶
14 求出圆环域2<|z|<5映射圆环域4<|w|<10f(5)4分式线性映射
解：z5522映w441010交变性
∶∶
wf(z)应
∶∶
讨求映射否合求wf(z)|z|2映|w|10z5映w4|z|>2映|w|<10wf(z)|z|5映|w|4z2映w10|z|<5映|w|>4确认函数合求
15映射z面曲线映射w面什曲线？
解：略
16 映射wez列区域映什图形
(1) 直线网Re(z)C1Im(z)C2
(2) 带形区域
(3) 半带形区域
解：（1） 令zx+iy Re(z)C1
zC1+iy Im(z)C2
zx+iC2
直线Re(z)映成圆周直线Im(z)C2映射线
（2） 令zx+iy
带形区域映张角角形区域
（3） 令zx+iyx>00
半带形区域Re(z)>00|w|>1 ()
17 求单位圆外部|z|>1保形映射全面线段1解：先映射|z|>1映|w1|<1分式线性映射
|w1|<1映半面Im(w2)>0 然幂函数映割痕正实轴全面分式线性映射区域映割痕[11]全面
18 求出割负实轴Im(z)0带形区域映射半带形区域Re(w)>0映射
解：区域映割痕(01)右半面Re(w1)>0半面映割痕(1]单位圆外域区域映半单位圆部半面区域映半带形00映求区域
19 求Im(z)<1掉单位圆|z|<1保形映射半面Im(w)>0映射
解：略
20 映射半带形区域00保形映射面什区域
解：
分解
w1iz
区域单叶解析
（1） w1iz半带域旋转映0（2） 区域映单位圆半圆部|w2|<1Im(w2)>0
（3） 区域映半面Im(w)<0
题 七
1证明：果f(t)满足傅里叶变换条件f(t)奇函数时
中
f(t)偶函数时
中
证明：
中f(t)傅里叶变换
f(t)奇函数时奇函数
偶函数
奇数
f(t)奇函数时
理f(t)偶函数时
中
2题中设计算值
解
3计算函数
解
4求列函数傅里叶变换
解：
(2)
解：
根傅里叶变换微分性质
(3)
解：
(4)
解
令半面两级极点
(5)
解
(4)利留数积分中应令
5设函数F(t)解析函数带形区域界定义函数
证明时
实数t成立
(书推理程)
6求符号函数 傅里叶变换
解
函数
难出
：
7已知函数傅里叶变换求
解
8设函数f(t)傅里叶变换a常数 证明
F
a>0时令uat
a<0时令uat
原命题成立
9设证明
证明：
10设证明：
证明：
理：
11设
计算
解：
时
0
12设单位阶跃函数求列函数傅里叶变换
题八
1求列函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3)
(4) (5)
解 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2求列函数拉普拉斯变换
（1）
(2)
解 (1)
(2)
3设函数中函数阶跃函数 求拉普拉斯变换
解
4求图85表示周期函数拉普拉斯变换
解：
5 求列函数拉普拉斯变换
(1) (2)
(3)(4)
(5
(6
(7) (8)
解(1)
(2)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
6记常数
证明
证明
7 记证明
证明：n1时
n1时 显然成立
假设nk1时
现证nk时
8 记果a常数证明
证明：设定义
9 记证明
证明：
10计算列函数卷积
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
11设函数f g h均满足t<0时恒零证明
证明：
12利卷积定理证明
证明：设
13 求列函数拉普拉斯逆变换
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6
解：(1)
(2)
(3
(4)
(5)
中
(6)
14利卷积定理证明
证明：
根卷积定理
15利卷积定理证明
证明：
根卷积定理
16 求列函数拉普拉斯逆变换
(1) (2)
(3)
(4)
解(1)
(2)：
(3)
(4)
17求列微分方程解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解 (1)设
方程两边取拉氏变换
Y(s)三级极点
(2) 方程两边时取拉氏变换
(3)方程两边取拉氏变换
拉氏变换微分性质知L[f(t)]F(s)
(4)方程两边取拉氏变换设L[y(t)]Y(s)
(5)设L[y(t)]Y(s)
方程两边取拉氏变换
18求列微分方程组解
(1)
(2)
解(1) 设
微分方程组两式两边时取拉氏变换
(2)代入(1)
(3)代入(1)
(2)设
方程两边取拉氏变换
(3)代入(1)：
19求列方程解
(1)
(2)
解：(1)设L[x(t)]X(s) 方程两边取拉氏变换
(2)设L[y(t)]Y(s) 方程两边取拉氏变换
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复变函数积分变换
（修订版）
编：马柏林
——课题答案
题
1 复数代数形式a+ib表示列复数
①解
②解：
③解：
④解：
2求列复数实部虚部(zx+iy)
R)
① ： ∵设zx+iy
∴ ．
②解： 设zx+iy
∵ ∴ ．
③解： ∵
∴ ．
④解： ∵
∴ ．
⑤解： ∵．
∴时
时．
3求列复数模轭复数
①解：．
②解：
③解：．
④解：
4证明：仅时z实数．
证明：设
y0
∴zx实数．
zxx∈¡．
∴．
命题成立．
5设zw∈£证明：
证明∵
∴．
6设zw∈£证明列等式．
出等式解释．
证明：面第五题证明已证明．
面证．
∵
．证．
∴
意义：行四边形两角线方等边方．
7列复数表示指数形式三角形式
①解：
中．
②解：中．
③解：
④解：
∴
⑤解：
解：∵．
∴
8计算：(1)i三次根(2)1三次根(3) 方根
⑴i三次根．
解：
∴．
⑵1三次根
解：
∴
⑶方根．
解：
∴
∴
．
9设 证明：
证明：∵ ∴．
∴
∵n≥2． ∴z≠1
11设圆周令
中求出a切圆周关充分必条件
解：图示．
{z 0}表示通点a方b直线直线a处圆相切CA⊥．C作直线行∠BCDβ∠ACB90°
αβ90°
α处切圆周T关β充条件αβ90°．
12指出列式中点z确定面图形作出草图
解：
(1)argzπ．表示负实轴．
(2)|z1||z|．表示直线z．
(3)1<|z+i|<2
解：表示i圆心12半径周圆组成圆环域
（4）Re(z)>Imz．
解：表示直线yx右半面
5Imz>1|z|<2．
解：表示圆盘弓形域
题二
1 求映射圆周
解：设
表示椭圆
2 映射列z面图形映射w面什图形设
（1） （2）
(3) xa yb(a b实数)
解：设
(1) 记映射成w面虚轴O4i段
(2) 记映成w面扇形域
(3) 记直线xa映成原点焦点张口左抛物线yb映成
原点焦点张口右抛物线图示
3 求列极限
(1)
解：令
(2)
解：设zx+yi
显然取值时f(z)极限
极限存
（3）
解：
（4）
解：
4 讨列函数连续性：
(1)
解：
令ykx
k取值时f(z)取值f(z)z0处极限存
f(z)z0处连续z0外连续
(2)
解：
f(z)整z面连续
5 列函数处求导？求导数
(1) (n正整数)
解：n正整数f(z)整z面导
(2)
解：f(z)理函数f(z)处导
f(z)外导
(3)
解：f(z)外处处导
(4)
解：
f(z)z0外处处导
6 试判断列函数导性解析性
(1)
解：全面微
z0时
f(z)z0处导全面解析
(2)
解：全面微
z0时(00)处
f(z)z0处导全面解析
(3)
解：全面微
时满足CR方程
f(z)处导全面解析
(4)
解：设
z0时满足CR方程
f(z)z0处导处处解析
7 证明区域D满足列条件解析函数必常数
(1)
证明：
uv常数f(z)常数
(2) 解析
证明：设D解析
f(z)解析函数
v常数u常数f(z)常数
(3) Ref(z)常数
证明：Ref(z)常数uC1
f(z)解析CR条件成立uC2
f(z)常数
(4) Imf(z)常数
证明：（3）类似vC1
f(z)解析CR方程uC2
f(z)常数
5 |f(z)|常数
证明：|f(z)|CC进行讨
C0u0v0f(z)0常数
C0f(z) 0u2+v2C2
两边xy分求偏导数
利CR条件f(z)D解析
uC1vC2f(z)常数
(6) argf(z)常数
证明：argf(z)常数
CR条件→
解uv常数f(z)常数
8 设f(z)my3+nx2y+i(x3+lxy2)z面解析求mnl值
解：f(z)解析满足CR条件
9 试证列函数z面解析求导数
(1) f(z)x3+3x2yi3xy2y3i
证明：u(xy)x33xy2 v(xy)3x2yy3全面微
f(z)全面满足CR方程处处导处处解析
(2)
证明：
处处微
f(z)处处导处处解析
10 设
求证：(1) f(z)z0处连续．
(2)f(z)z0处满足柯西—黎曼方程．
(3)f′(0)存．
证明(1)∵
∵
∴
∴
理
∴
∴f(z)z0处连续．
(2)考察极限
z虚轴趋零时ziy
．
z实轴趋零时zx
分
∴
∴满足CR条件．
(3)zyx趋零时
∴存．f(z)z0处导．
11 设区域D位半面D1D关x轴称区域f(z)区域D解析求证区域D1解析．
证明：设f(z)u(xy)+iv(xy)f(z)区域D解析．
u(xy)v(xy)D微满足CR方程．
φ(xy)ψ(xy)D1微满足CR条件
D1解析
13 计算列值
(1) e2+ie2∙eie2∙(cos1+isin1)
(2)
(3)
(4)
14 设z通原点放射线趋∞点试讨f(z)z+ez极限．
解：令zreiθ
θz→∞时r→∞．
．
．
15 计算列值．
(1)
(2)
(3)ln(ei)ln1+iarg(ei)ln1+ii
(4)
16 试讨函数f(z)|z|+lnz连续性导性．
解：显然g(z)|z|复面连续lnz负实轴原点外处处连续．
设zx+iy
复面微．
g(z)|z|复面处处导．
f(x)|z|+lnz复面处处导．
f(z)复面原点负实轴外处处连续．
17 计算列值．
(1)
(2)
(3)
18 计算列值
(1)
(2)
(3)(4) (5)
(6)
19 求解列方程
(1) sinz2．
解：
(2)
解：
(3)
解：
(4)
解：．
20 zx+iy求证
(1) sinzsinxchy+icosx∙shy
证明：
(2)coszcosx∙chyisinx∙shy
证明：
(3)|sinz|2sin2x+sh2y
证明：
(4)|cosz|2cos2x+sh2y
证明：
21 证明y→∞时|sin(x+iy)||cos(x+iy)|趋穷．
证明：
∴
y→+∞时ey→0ey→+∞|sinz|→∞．
y→∞时ey→+∞ey→0|sinz|→∞．
理
y→∞时|cosz|→∞．
题三
1 计算积分中C原点点1+i直线段
解 设直线段方程
2 计算积分中积分路径C
(1) 点0点1+i直线段
(2) 抛物线yx2点0点1+i弧段
解 (1)设
(2)设
3 计算积分中积分路径C
(1) 点i点i直线段
(2) 单位圆周|z|1左半圆周点i点i
(3) 单位圆周|z|1右半圆周点i点i
解 (1)设
(2)设
(3) 设
6 计算积分中
解
∵围区域解析
∴
7 计算积分中积分路径
（1） （2） （3）
（4）
解：（1）围区域奇点
（2）围区域包含三奇点
（3）围区域包含奇点
（4）围区域包含两奇点
10利牛顿莱布尼兹公式计算列积分
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 11 计算积分中
(1) (2) (3)
解 (1)
(2)
(3)
16 求列积分值中积分路径C均|z|1
(1) (2) (3)
解 (1)
(2)
(3)
17 计算积分中积分路径
(1)中心位点半径正圆周
(2) 中心位点半径正圆周
解：(1) 包含奇点
∴
(2) 包含奇点
∴
19 验证列函数调函数
解(1) 设
∴
满足拉普拉斯方程调函数
(2) 设
∴
满足拉普拉斯方程调函数
满足拉普拉斯方程调函数
20证明函数调函数解析函数
证明
∴调函数
∴调函数
∵
∴满足CR方程解析函数
22列已知调函数求解析函数
(1) (2)
解 (1)
令y0式变
(2)
线积分法取（x0y0）(10)
C0
23设中相闭路C通证明积分
等位Cp(z)零点数
证明 妨设闭路C零点数k 零点分
24试证明述定理(界区域柯西积分公式) 设f(z)闭路C外部区域D解析
中GC围部区域
证明：D取点Z取充分R作圆CR CZ包含
f(z)C边界区域解析柯西积分公式
解析
ZC外部时
设ZCf(z)0
：
题四
1 复级数发散级数发散命题否成立什
答定．反例
发散
收敛
发散
收敛
2列复数项级数否收敛绝收敛条件收敛
(1) (2) (3)
(4) (5)
解 (1)
发散发散
(2)发散
发散
(3) 发散收敛绝收敛
(4)
级数绝收敛
n2k时 级数化收敛
n2k+1时 级数化收敛
原级数条件收敛
(5)
中 发散收敛
原级数发散
3证明收敛级数绝收敛
证明设
收敛
收敛
n充分时
收敛
收敛收敛
收敛级数绝收敛
4讨级数敛散性
解 部分
存
时（）cosnθsinnθ没极限收敛．
时 收敛
5幂级数否z0处收敛z3处发散
解： 设时级数收敛时发散
z0处收敛
z3处发散
显然矛盾幂级数z0处收敛z3处发散
6列说法否正确什
(1)幂级数收敛圆周处处收敛
(2) 幂级数函数收敛圆奇点
答 (1) 正确幂级数收敛圆周收敛发散
(2) 正确收敛幂级数函数收敛圆周解析
7收敛半径R求收敛半径
解：
8证明：幂级数 系数满足
(1)时
(2) 时
(3) 时
证明：考虑正项级数
正项级数根值判法知收敛趋零级数发散收敛半径
时 级数收敛
充分时必趋零级数发散
9求列级数收敛半径写出收敛圆周
(1) (2)
(3)
(4)
解 (１)
收敛圆周
(2)
收敛圆周
(3) 记
值法
级数收敛
级数绝收敛收敛半径
收敛圆周
(4) 记
时绝收敛收敛半径
收敛圆周
10求列级数函数
(1) (2)
解 (1)
收敛半径R1逐项积分性质：
：
(2) 令：
R∞ 逐项求导性质
微分方程
： A B定
11设级数收敛发散证明收敛半径1
证明：级数收敛
设
收敛半径1
现反证法证明
收敛条件矛盾
单位圆等收敛收敛半径概念矛盾
综述知必
12点处发散证明级数满足点发散
证明：妨设时处收敛
绝收敛
点处收敛
矛盾处发散
13直接法函数点处展开泰勒级数(项)指出收敛半径
解
奇点
展开式
14直接法函数点处展开泰勒级数(项)
解：奇点收敛半径
处泰勒级数
15间接法列函数展开泰勒级数指出收敛性
(1) 分处
(2) 处
(3) 处
(4) 处
(5) 处
解 （1）
(2)
(3)
(4)
(5)负实轴解析
收敛半径R1
16什区域解析区间取实数值函数展开成幂级数时展开式系数实数？
答：取实数值时泰勒级数展开式完全致展开式系数实数幂级数展开式系数实数
17求中心圆环域罗朗级数
解函数奇点三中心圆环域罗朗级数分：
19展开成罗朗级数
解令
展开式
代入
20做列运算根运算做出结果
结果
认正确什
答正确求
求
区域
21证明 z幂表示罗朗级数展开式中系数
证明奇点罗朗级数
中
中C条绕原点简单曲线
22 函数孤立奇点什
解 奇点
意心邻域总包括奇点时z0
孤立奇点
23 级数展开法指出函数处零点级
解：
z0f(z)15级零点
24 判断否列函数孤立奇点确定奇点类型：
⑴ ⑵
解 孤立奇点
性奇点
(2)
奇点
25 列函数什奇点？果极点指出点：
⑴ ⑵ ⑶
解 (1)
奇点二级极点
解 (2)
奇点级极点0二级极点
解 (3)
二级零点
级零点 级零点
二级极点 级极点
26 判定列函数什奇点？
⑴ ⑵ ⑶
解 (1)时
奇点
(2)
性奇点
(3) 时
奇点
27 函数处二级极点根面罗朗展开式：
性奇点两结果正确？什
解 z1f(z)二级极点性奇点罗朗展开式
罗朗展开式
28果C正圆周求积分值
(1) (2)
解：（1）先展开罗朗级数
3
(2)处处解析罗朗展开式
3
题五
1 求列函数留数．
(1)z0处．
解：0<|z|<+∞罗朗展开式
∴
(2)z1处．
解：0<| <+∞罗朗展开式
∴．
2 利种方法计算f(z)限孤立奇点处留数．
(1)
解：限孤立奇点处z0z2．中z0二级极点z2级极点．
∴
3 利罗朗展开式求函数∞处留数．
解：
∴
5 计算列积分．
(1)n正整数c|z|n取正．
解：．
ctanπz
(k0±1±2…±(n1))级极点
∴
(2) c|z|2取正．
解：cz1zi两奇点．
6 计算列积分．
(1)
积函数θ偶函数
令
设
积函数|z|1简单极点
∴
(2) |a|>1．
解：令
令zeiθ．
(3)a>0b>0．
解：令积函数R(z)半面级极点ziaib．
（4） a>0．
解：
令z±ai分R(z)二级极点
(5) β>0b>0．
解：
考知R(z)半面zbi二级极点．
(6) a>0
解：令半面zai级极点
7 计算列积分
(1)
解：令R(z)实轴孤立奇点z0作原点圆心r半径半圆周crCR[R r] Cr[r R]构成封闭曲线时闭曲线奇点i
：．
：
．(2)中T直线Rezc c>0 0
中AB复面ciRc+iR线段．
考虑函数f(z)长方形R≤x≤cR≤y≤R周界积分．＜图＞
f(z)仅二级极点z0
留数定理．
．
题六
1 求映射列曲线
(1) (实数)
解：
映成直线
(2) (k实数)
解：
映成直线
2 列区域指定映射映成什？
（1）
解：
映成
(2) Re(z)>0 0
Re(w)>0 Im(w)>0 wu+iv
0
3 求wz2zi处伸缩率旋转角问wz2点zi行实轴正曲线切线方映成w面方？作图
解：2z(i)2i ||2 旋转角arg
点i行实轴正量映成w面点1方垂直量图示
→
4 解析函数构成映射什条件具伸缩率旋转角变性？映射wz2z面点具性质？
答：解析函数构成映射导数零条件具伸缩率旋转变性映射wz2z0处导数零z0处具备性质
5 求区域0
解：设求分式线性变换(adbc0)
代入式
令
中a复数
反成立求分式线性映射 a复数
7 分式线性映射圆周|z|1映射成直线余数应满足什条件？
解：圆周|z|1映成直线映成
落单位圆周|z|1|c||d|
系数应满足adbc0|c||d|
8 试确定映射作列集合
(1) (2) |z|2 (3) Im(z)>0
解：(1) Re(z)0虚轴ziy代入
写成参数方程
消y曲线方程单位圆
u2+v21
(2) |z|2圆围令代入化参数方程
消曲线方程阿波罗斯圆
(3) Im(z)>0时
令wu+iv
v>0Im(z)>0Im(w)>0
9 求出右半面Re(z)>0映射成单位圆|w|<1分式线性变换
解：设映射右半面z0映射成w0z0关轴称点
求分式线性变换形式中k常数
虚轴点z应|w|1妨设z0
10 映射映射成实数意义显什？
解：
表示单位圆处旋转角
11 求半面Im(z)>0映射成|w|<1单位圆分式线性变换wf(z)满足条件
(1) f(i)0 0 (2) f(1)1 f(i)
解：半面Im(z)>0 映单位圆|w|<1般分式线性映射wk(Im()>0)
(1) f(i)0iarg
(2) f(1)1kf(i) k联立解
12 求|z|<1映射成|w|<1分式线性变换wf(z)满足条件：
(1) f()0 f(1)1
(2) f()0
(3) f(a)a
解：单位圆|z|<1映成单位圆|w|<1分式线性映射
||<1
(1) f()0知f(1)1知
(2) f()0知
(3) 先求za|z|<1映成||<1
知
求wg()0wa ||<1映成|w|<1
先求反函数|w|<1映||<1wa映0
求w等式出
13 求顶点01i三角形式部映射顶点次021+i三角形部分式线性映射
解：直接交变性公式求
∶∶
14 求出圆环域2<|z|<5映射圆环域4<|w|<10f(5)4分式线性映射
解：z5522映w441010交变性
∶∶
wf(z)应
∶∶
讨求映射否合求wf(z)|z|2映|w|10z5映w4|z|>2映|w|<10wf(z)|z|5映|w|4z2映w10|z|<5映|w|>4确认函数合求
15映射z面曲线映射w面什曲线？
解：略
16 映射wez列区域映什图形
(1) 直线网Re(z)C1Im(z)C2
(2) 带形区域
(3) 半带形区域
解：（1） 令zx+iy Re(z)C1
zC1+iy Im(z)C2
zx+iC2
直线Re(z)映成圆周直线Im(z)C2映射线
（2） 令zx+iy
带形区域映张角角形区域
（3） 令zx+iyx>00
半带形区域Re(z)>00
17 求单位圆外部|z|>1保形映射全面线段1
|w1|<1映半面Im(w2)>0 然幂函数映割痕正实轴全面分式线性映射区域映割痕[11]全面
18 求出割负实轴Im(z)0带形区域映射半带形区域Re(w)>0映射
解：区域映割痕(01)右半面Re(w1)>0半面映割痕(1]单位圆外域区域映半单位圆部半面区域映半带形0
19 求Im(z)<1掉单位圆|z|<1保形映射半面Im(w)>0映射
解：略
20 映射半带形区域0
解：
分解
w1iz
区域单叶解析
（1） w1iz半带域旋转映0
（3） 区域映半面Im(w)<0
题 七
1证明：果f(t)满足傅里叶变换条件f(t)奇函数时
中
f(t)偶函数时
中
证明：
中f(t)傅里叶变换
f(t)奇函数时奇函数
偶函数
奇数
f(t)奇函数时
理f(t)偶函数时
中
2题中设计算值
解
3计算函数
解
4求列函数傅里叶变换
解：
(2)
解：
根傅里叶变换微分性质
(3)
解：
(4)
解
令半面两级极点
(5)
解
(4)利留数积分中应令
5设函数F(t)解析函数带形区域界定义函数
证明时
实数t成立
(书推理程)
6求符号函数 傅里叶变换
解
函数
难出
：
7已知函数傅里叶变换求
解
8设函数f(t)傅里叶变换a常数 证明
F
a>0时令uat
a<0时令uat
原命题成立
9设证明
证明：
10设证明：
证明：
理：
11设
计算
解：
时
0
12设单位阶跃函数求列函数傅里叶变换
题八
1求列函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3)
(4) (5)
解 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2求列函数拉普拉斯变换
（1）
(2)
解 (1)
(2)
3设函数中函数阶跃函数 求拉普拉斯变换
解
4求图85表示周期函数拉普拉斯变换
解：
5 求列函数拉普拉斯变换
(1) (2)
(3)(4)
(5
(6
(7) (8)
解(1)
(2)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
6记常数
证明
证明
7 记证明
证明：n1时
n1时 显然成立
假设nk1时
现证nk时
8 记果a常数证明
证明：设定义
9 记证明
证明：
10计算列函数卷积
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
11设函数f g h均满足t<0时恒零证明
证明：
12利卷积定理证明
证明：设
13 求列函数拉普拉斯逆变换
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6
解：(1)
(2)
(3
(4)
(5)
中
(6)
14利卷积定理证明
证明：
根卷积定理
15利卷积定理证明
证明：
根卷积定理
16 求列函数拉普拉斯逆变换
(1) (2)
(3)
(4)
解(1)
(2)：
(3)
(4)
17求列微分方程解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解 (1)设
方程两边取拉氏变换
Y(s)三级极点
(2) 方程两边时取拉氏变换
(3)方程两边取拉氏变换
拉氏变换微分性质知L[f(t)]F(s)
(4)方程两边取拉氏变换设L[y(t)]Y(s)
(5)设L[y(t)]Y(s)
方程两边取拉氏变换
18求列微分方程组解
(1)
(2)
解(1) 设
微分方程组两式两边时取拉氏变换
(2)代入(1)
(3)代入(1)
(2)设
方程两边取拉氏变换
(3)代入(1)：
19求列方程解
(1)
(2)
解：(1)设L[x(t)]X(s) 方程两边取拉氏变换
(2)设L[y(t)]Y(s) 方程两边取拉氏变换
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