第三章 复变函数积分
复积分研究解析函数重工具解析函数许重性质利复积分证明章建立柯西积分定理柯西积分公式复变函数非常重基定理公式
第节复积分概念简单性质
1复变函数积分定义：
涉曲线均指光滑逐段光滑曲线逐段光滑简单闭曲线简称周线
定义31设复面条连接两点简单曲线C设C连续函数中实部虚部曲线C分点分成段更弧里分点曲线CZ次序排列果弧意点式
写成
者
里分表示实部虚部
关实变函数线积分结果曲线C分点数穷增加
时面四式子分极限：
时说原式极限
极限称函数f(z)曲线C积分记
定理31 函数曲线连续积
2复变函数积分计算问题
果C简单光滑曲线：相应式右边积分写成黎曼积分形式例中第写成
形式换成微分直接式
分段光滑简单曲线时然结
3复变函数积分基性质
复变函数积分基性质：设简单曲线C连续
（1）
（2）
（3）中曲线C光滑曲线连接成
（4中果曲线方程：表示曲线出积分相反方取
果C条简单闭曲线取C意点作取积分起点积分C取积分方改变时积分相应变号
（5）
定理32(积分估值) 果C|f(z)|
证明：
两边取极限结
例1 设C连接Z两点简单曲线
果C闭曲线积分零
例2设C圆中复数 正数反时针方取积分
证明：令
第二节 柯西积分定理
1柯西积分定理：（证明中第2部分引理）
定理33 设单连通区域解析函数
设条简单闭曲线（周线）
中曲线积分反时针方取
证明：C取点作出圆盘：
圆盘凸区域引理22原函数
C紧集数学分析中限覆盖定理存限圆盘覆盖C圆盘反时针方次排列
表示圆盘中原函数取
中C序反时针方取引理23
里表示C弧积分表示线段积分引理23
构成中条闭合折线引理21
定理34 设条简单闭曲线函数边界界闭区域解析
推35 连接两点条简单曲线
积分值确定赖曲线时积分记
证明：设连接两点条简单曲线D条简单闭曲线（1）
定理结成立
定理36 设单连通区域解析函数原函数
证明：取定定理31
D确定函数取取充分接
D中两积分作两条简单曲线取中条条曲线连接z线段集
里积分z联线取样证
例1 设D含a单连通区域
中m等1整数外设D复面a出发射线割开区域
中数应理解Ln(za)D解析分支z值
注解1原函数求解析函数积分
注解2区域单连通性直接取掉
注解3柯西定理推广连通区域：设n+1条简单闭曲线曲线中条余曲线外区域曲线区域围成界连通区域DD边界构成闭区域设解析令C表示D全部边界
中积分C关区域D正取反时针方时针方取积分者说点着C选定取积分方运动时区域D总左侧
：
注解4面规定区域D方称正总规定取正非说明
注解5结证明见右图：
注解6连通区域定积分值函数： 设f(z)连通区域D解析函数D作连接z两点条简单曲线某两条样曲线包成闭区域f(z)解析应柯西定理f(z)两条曲线积分相等假定两积分相等函数：
值
z属包含D某单连通区域时取曲线：固定简单曲线点然条简单曲线z种曲线取积分函数F(z)解析改变曲线够解析函数F(z)解析分支
例2圆环解析D取定两点作连接两条简单曲线图取定Argz值z连续变动时z幅角连续变动z连续变动时z幅角连续变动
现求积分令
样求
样含单连通区域（D）相应值函数
两解析分支
相应连接曲线D解析分支数函数
第二节柯西积分定理
引理21 设单连通区域解析函数设角形周界
里积分反时针方取
证明：先C三角形周界情形进行证明然证明般情形
（1）C三角形周界
设
面证明M0
等分定三角形边两两连接分点定三角形分成四全等三角形周界分显然：
周界积分中少模M4妨假设周界：
三角形周界等分成四全等三角形中周界满足：
种作法直进行具周界：
三角形序列中包含面等式：
U表示周界长度周界长度现估计模三角形序列中包含面全部三角形数学分析中闭区域套定理存点属序列中三角形
导数时
时
显然n充分时包含确定圆盘时式成立
次
n充分时
意性
(2) C角形周界P：图角线P周界角形分成干三角形P积分表示成三角形周界积分：
条角线积分彼相互抵消利第步证明
设f(z)F(z)区域D确定函数F(z)D解析函数DF’(z)f(z)函数F(z)称f(z)区域D定积分原函数相差常数外原函数唯确定f(z)意两定积分原函数差常数事实设F(z)G(z)f(z)区域D原函数
中已证明D
凸区域：区域D凸区域果连接D中意两点线段包含D
引理22 设凸区域解析函数原函数
证明：取定取区域D凸性连接z线段定包含D中令
记F(z)D确定函数
面证明FfD原函数取连接z线段定包含D中考虑顶点三角形引理21
中
f(z)连续
引理23 设f(z)区域D连续函数D原函数F(z)果CD连接条曲线
注解1引理说明果某区域连续函数原函数区域曲线积分原函数计算数学分析中牛顿莱布尼茨公式推广
注解2时积分值曲线起点终点关积分路径关
证明：果曲线C光滑曲线
微积分基定理实变量复值函数显然成立
果曲线分段光滑曲线分段计算证明结成立
第三节 柯西积分公式推
1柯西积分公式：
设圆边界闭圆盘解析C积分零考虑积分
：（1）积函数连续积分I必然存
（2）述闭圆盘解析I值定0例
现考虑般解析函数情况作心半径圆柯西定理
I值点附值关令
I值点附值关关点连续性应该
事实趋0时
点连续性时
趋0时式右边第二积分趋0结成立
定理311 设D限条简单闭曲线C边界界区域设DC组成闭区域解析点
中曲线C积分反时针方取称柯西公式
证明：设显然函数满足点处解析
心作包含圆盘设半径边界圆挖边界圆盘余点集闭区域函数解析
中曲线积分关D正取积分反时针方取结成立
注解1某界闭区域解析函数区域点取值边界值表示出
注解2柯西公式解析函数基性质复变函数理身应非常重
注解3柯西公式非常明确物理背景物理意义
2解析函数穷微性
定理313 设限条简单闭曲线边界界区域设组成闭区域解析意阶导数
证明：先证明结关时成立设D点
需证明h趋0时式趋0
现估计式右边积分设z心2d半径圆盘完全D圆盘取z+h0<|h|
设|f(z)|C界M设C长度L
h趋0时证积分趋0
现数学纳法完成定理证明设nk时结成立取zz+h
证明h趋0时式右边趋0定理结nk+1时成立
定理313知函数区域D解析D意阶导数
注解1讨表明函数区域解析性强条件仅仅点导非常差异
注解2意阶导数公式柯西公式直接推
3 柯西等式刘维尔（Liouville）定理
柯西等式 设函数边界闭圆盘解析
中
证明：令圆导数公式
中n012…01
注解1面等式称柯西等式
注解2果C解析称整函数例等关整函数面刘维尔定理：
刘维尔定理 界整函数定恒等常数
证明界整函数存f(z)解析柯西公式令见C恒等常数
4莫勒拉定理
应解析函数意阶导数证明柯西定理逆定理莫勒拉定理
定理316 果函数区域D连续D条简单闭曲线C
区域D解析
证明：作心圆盘凸区域K函数f(z)连续K三角形周界C证明f(z)K原函数F(z)F(z)K解析系41K解析意阶导数意性结成立
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复积分研究解析函数重工具解析函数许重性质利复积分证明章建立柯西积分定理柯西积分公式复变函数非常重基定理公式
第节复积分概念简单性质
1复变函数积分定义：
涉曲线均指光滑逐段光滑曲线逐段光滑简单闭曲线简称周线
定义31设复面条连接两点简单曲线C设C连续函数中实部虚部曲线C分点分成段更弧里分点曲线CZ次序排列果弧意点式
写成
者
里分表示实部虚部
关实变函数线积分结果曲线C分点数穷增加
时面四式子分极限：
时说原式极限
极限称函数f(z)曲线C积分记
定理31 函数曲线连续积
2复变函数积分计算问题
果C简单光滑曲线：相应式右边积分写成黎曼积分形式例中第写成
形式换成微分直接式
分段光滑简单曲线时然结
3复变函数积分基性质
复变函数积分基性质：设简单曲线C连续
（1）
（2）
（3）中曲线C光滑曲线连接成
（4中果曲线方程：表示曲线出积分相反方取
果C条简单闭曲线取C意点作取积分起点积分C取积分方改变时积分相应变号
（5）
定理32(积分估值) 果C|f(z)|
证明：
两边取极限结
例1 设C连接Z两点简单曲线
果C闭曲线积分零
例2设C圆中复数 正数反时针方取积分
证明：令
第二节 柯西积分定理
1柯西积分定理：（证明中第2部分引理）
定理33 设单连通区域解析函数
设条简单闭曲线（周线）
中曲线积分反时针方取
证明：C取点作出圆盘：
圆盘凸区域引理22原函数
C紧集数学分析中限覆盖定理存限圆盘覆盖C圆盘反时针方次排列
表示圆盘中原函数取
中C序反时针方取引理23
里表示C弧积分表示线段积分引理23
构成中条闭合折线引理21
定理34 设条简单闭曲线函数边界界闭区域解析
推35 连接两点条简单曲线
积分值确定赖曲线时积分记
证明：设连接两点条简单曲线D条简单闭曲线（1）
定理结成立
定理36 设单连通区域解析函数原函数
证明：取定定理31
D确定函数取取充分接
D中两积分作两条简单曲线取中条条曲线连接z线段集
里积分z联线取样证
例1 设D含a单连通区域
中m等1整数外设D复面a出发射线割开区域
中数应理解Ln(za)D解析分支z值
注解1原函数求解析函数积分
注解2区域单连通性直接取掉
注解3柯西定理推广连通区域：设n+1条简单闭曲线曲线中条余曲线外区域曲线区域围成界连通区域DD边界构成闭区域设解析令C表示D全部边界
中积分C关区域D正取反时针方时针方取积分者说点着C选定取积分方运动时区域D总左侧
：
注解4面规定区域D方称正总规定取正非说明
注解5结证明见右图：
注解6连通区域定积分值函数： 设f(z)连通区域D解析函数D作连接z两点条简单曲线某两条样曲线包成闭区域f(z)解析应柯西定理f(z)两条曲线积分相等假定两积分相等函数：
值
z属包含D某单连通区域时取曲线：固定简单曲线点然条简单曲线z种曲线取积分函数F(z)解析改变曲线够解析函数F(z)解析分支
例2圆环解析D取定两点作连接两条简单曲线图取定Argz值z连续变动时z幅角连续变动z连续变动时z幅角连续变动
现求积分令
样求
样含单连通区域（D）相应值函数
两解析分支
相应连接曲线D解析分支数函数
第二节柯西积分定理
引理21 设单连通区域解析函数设角形周界
里积分反时针方取
证明：先C三角形周界情形进行证明然证明般情形
（1）C三角形周界
设
面证明M0
等分定三角形边两两连接分点定三角形分成四全等三角形周界分显然：
周界积分中少模M4妨假设周界：
三角形周界等分成四全等三角形中周界满足：
种作法直进行具周界：
三角形序列中包含面等式：
U表示周界长度周界长度现估计模三角形序列中包含面全部三角形数学分析中闭区域套定理存点属序列中三角形
导数时
时
显然n充分时包含确定圆盘时式成立
次
n充分时
意性
(2) C角形周界P：图角线P周界角形分成干三角形P积分表示成三角形周界积分：
条角线积分彼相互抵消利第步证明
设f(z)F(z)区域D确定函数F(z)D解析函数DF’(z)f(z)函数F(z)称f(z)区域D定积分原函数相差常数外原函数唯确定f(z)意两定积分原函数差常数事实设F(z)G(z)f(z)区域D原函数
中已证明D
凸区域：区域D凸区域果连接D中意两点线段包含D
引理22 设凸区域解析函数原函数
证明：取定取区域D凸性连接z线段定包含D中令
记F(z)D确定函数
面证明FfD原函数取连接z线段定包含D中考虑顶点三角形引理21
中
f(z)连续
引理23 设f(z)区域D连续函数D原函数F(z)果CD连接条曲线
注解1引理说明果某区域连续函数原函数区域曲线积分原函数计算数学分析中牛顿莱布尼茨公式推广
注解2时积分值曲线起点终点关积分路径关
证明：果曲线C光滑曲线
微积分基定理实变量复值函数显然成立
果曲线分段光滑曲线分段计算证明结成立
第三节 柯西积分公式推
1柯西积分公式：
设圆边界闭圆盘解析C积分零考虑积分
：（1）积函数连续积分I必然存
（2）述闭圆盘解析I值定0例
现考虑般解析函数情况作心半径圆柯西定理
I值点附值关令
I值点附值关关点连续性应该
事实趋0时
点连续性时
趋0时式右边第二积分趋0结成立
定理311 设D限条简单闭曲线C边界界区域设DC组成闭区域解析点
中曲线C积分反时针方取称柯西公式
证明：设显然函数满足点处解析
心作包含圆盘设半径边界圆挖边界圆盘余点集闭区域函数解析
中曲线积分关D正取积分反时针方取结成立
注解1某界闭区域解析函数区域点取值边界值表示出
注解2柯西公式解析函数基性质复变函数理身应非常重
注解3柯西公式非常明确物理背景物理意义
2解析函数穷微性
定理313 设限条简单闭曲线边界界区域设组成闭区域解析意阶导数
证明：先证明结关时成立设D点
需证明h趋0时式趋0
现估计式右边积分设z心2d半径圆盘完全D圆盘取z+h0<|h|
设|f(z)|C界M设C长度L
h趋0时证积分趋0
现数学纳法完成定理证明设nk时结成立取zz+h
证明h趋0时式右边趋0定理结nk+1时成立
定理313知函数区域D解析D意阶导数
注解1讨表明函数区域解析性强条件仅仅点导非常差异
注解2意阶导数公式柯西公式直接推
3 柯西等式刘维尔（Liouville）定理
柯西等式 设函数边界闭圆盘解析
中
证明：令圆导数公式
中n012…01
注解1面等式称柯西等式
注解2果C解析称整函数例等关整函数面刘维尔定理：
刘维尔定理 界整函数定恒等常数
证明界整函数存f(z)解析柯西公式令见C恒等常数
4莫勒拉定理
应解析函数意阶导数证明柯西定理逆定理莫勒拉定理
定理316 果函数区域D连续D条简单闭曲线C
区域D解析
证明：作心圆盘凸区域K函数f(z)连续K三角形周界C证明f(z)K原函数F(z)F(z)K解析系41K解析意阶导数意性结成立
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