教版六年级册知识清单
1 分 数 法
分数法意义
1分数整数分数整数意义整数法意义相求相加数简便运算
例23×3表示323相加少表示233倍少
2数(数分数整数)分数数分数意义整数法意义相表示数分少
例6×512表示6512少
27×78表示2778少
二分数法计算法
1分数整数运算法分子整数积作分子分母变
(1)计算简便约分先约分计算(分母整数约分)
(2)约分整数分数分母约掉公数(计算结果必须简分数)
2分数分数计算法分子相积作分子分母相积作分母(分子分子分母分母)
(1)果分数法算式中含带分数先带分数化成假分数计算
(2)分数化简方法分子分母时公数
(3)程中约分先分子分母中两约分数画分方写出约分数(约分分子分母必须含公数样计算出结果简分数)
3分数数
(1)分数够化成限数先分数化成限数然根数法计算法进行计算
(2)分数化成限数
a先数化成分数根分数分数计算法进行计算
b果数分数分母进行约分数作整数分数分母进行约分样计算起较简便
三积数关系
1数(0外)1数积数a×bca≠0b>1时c>a
2数(0外)1数积数a×bca≠0b<1时(b≠0)c3数(0外)1积等数a×bc(a≠0)b1时ca
四分数法混合运算
1分数法混合运算序整数相先算算加减括号先算括号里面算括号外面
2整数法运算定律分数法样适运算定律计算简便
法交换律a×bb×a
法结合律(a×b)×ca×(b×c)
法分配律a×(b±c)a×b±a×c
五解决实际问题
1分数应题般解题步骤
(1)找出含分率关键句
(2)找出单位1量
(3)根线段图写出等量关系式
单位1量×应分率应量
(4)根已知条件问题列式解答
2连续求数分少问题步步认真分析分析步时关键找准单位1
3找单位1方法含分数关键句中找注意前规
4已知数量数量少分求数量解题方法
面量作单位1量单位1量±单位1量×数量单位1少分数量
分数整数指中数必须整数两数分数
数分数指中数必须分数两数整数
易错点误整数分母相
举例计算3×25
错解3×2523×5215
正确解答3×253×2565
易错点忘记结果化成简分数
举例计算56×25
错解56×255×26×51030
正确解答 56×25
51×2163×51
13
1进行数积较时注意数0时特殊情况
2果0数分数相积相等分数相数反分数相数反
1分数连简便运算先约分计算
2运运算定律进行简便运算时根算式特点选择合适运算定律符合运算定律运算定律进行简便运算避免出现错误
关键句中单位1明显时关键句补充完整补充成谁谁分甲乙分甲乙少分形式
先找出单位1表示单位1分分数应分率分率带单位名称哟
巧记
分数实际应题
关键找准单位1
正确计算关键
次约分更简便
2 位置方(二)
确定物体位置方法
1找观测点
2定方(方夹角度数)
3确定距离(例尺)
二面图绘出物体具体位置
1绘出方
2选定单位长度标准绘出距离
3标出物体名称
三描述路线
1描述路线时行驶路线适分路段描述
2段明确观测点
3描述行走方距离
四描绘路线图
描绘路线图关键选观测点建立方标确定方距离
五位置关系相性
1叙述具相性两位置关系时观测点叙述方正相反距离相等
2相位置
例东—西南—北南偏东—北偏西……
确定物体位置三素观测点方距离
易错点弄错观测点
举例图画出活动中心幼园位置
(1)活动中心广场西偏北30°方100米处
(2)幼园活动中心南偏东20°方200米处
错解
正确答案
描述路线时参点断变动
3 分 数 法
倒数意义
1倒数意义积1两数互倒数
2求倒数方法
(1)求分数倒数交换分子分母位置
(2)求整数倒数整数作分母1分数交换分子分母位置
(3)求带分数倒数带分数化假分数求倒数
(4)求数倒数数化分数求倒数
整数数化成分数分子分母倒数
3真分数倒数1假分数倒数等1带分数倒数1
二分数法意义
1法数×数积
法积÷数数
2分数法整数法意义相表示已知两数积中数求数运算
例12÷35意义已知两数积12中数35求数运算
3分数法计算法
0数等数倒数
4分数法算式中出现数带分数时分化成分数假分数计算
三分数法混合运算
1混合运算递等式计算等号写第数字左角
2运算序
①连属级运算左右序进行计算数等数倒数简便方法计算加减法级运算法二级运算
②混合运算没括号先算算加减括号先算括号里面算括号外面
四分数法解决问题
1解法
(1)列方程根数量关系式设未知量x方程解答
解设未知量x(定解设)列方程x×分率具体量
例公鸡20母鸡数13母鸡少(单位1母鸡数单位1未知)
解设母鸡x
x×1320
x60
(2)算术法(法)单位1量未知法已知单位1分少求单位1量
分率应量÷应分率单位1量
例公鸡20母鸡数13母鸡少(单位1母鸡数单位1未知法)
列式20÷13
2已知数分少求数问题解法
单位1量已知量÷应分率(已知量占单位1分)
3已知数(少)分数少求数问题解法
(1)根单位1量×(1±分率)已知量设单位1量x列方程解答
(2)确定单位1量先计算出已知量占单位1分根分数法意义列式解答
已知量÷(1±分率)单位1量
错解
解设母鸡x
x×1320
x60()
正确解答
解设母鸡x
x×1320
x60
例桃树50棵苹果树少16苹果树少棵
列式50÷(116)
种商品现80元原价增加16原价少元
列式80÷(1+16)
4已知两量(差)中量量分求两量解法
(1)方程解找题中数量间等量关系设单位1量x列出方程
(2)算术法解找题中单位1计算出已知量占单位1分利已知量÷已知量占单位1’分单位1’量列式解答
5工程问题
工作总量作单位1合做长时间完成项工程1÷效率1÷1甲完成时间+1乙完成时间(工作效率1完成工作时间)
例项工程甲单独做5天完成乙单独做10天完成丙单独做3天完成三合做天完成
列式1÷15+110+13
特提醒互倒数倒数两数关系互相存倒数单独存(说清谁谁倒数)
1倒数11×11
0没倒数0数0(分母0)
特提示
0数(0外)0
分数法较时规律
(1)数1时商数
(2)数1(等0)时商数
(3)数等1时商等数
注意
法转化成法时数定变÷变成×数变成倒数
温馨提示
(a±b)÷ca÷c±b÷c
[ ]做中括号算式里果括号中括号先算括号里面算中括号里面
易错点误方程解带单位名称
特提示
解决分数问题时判断法计算法计算关键单位1单位1已知法求单位1法列方程
已知单位1量法
举例甲乙35乙25求甲少
25×3515
求单位1量法
举例甲乙35甲15求乙少
15÷3525
(建议列方程解答)
特提示甲数乙数分等乙数甲数少分单位1
注意画线段图帮助分析题意表示两量关系画两条线段图表示部分整体关系画条线段图
解决含两未知量分数问题时先选择未知量设x未知量含x式子表示出根等量关系列出方程
温馨提示题中时单位1止数量某条件中单位1条件中单位1解题时认真较找准单位1应关系
工程问题中数量关系
工作总量÷工作时间工作效率
工作总量÷工作效率工作时间
工作效率×工作时间工作总量
4
意义
1意义两数相做两数
2两数中号前面数做前项号面数做项
3前项项商做值
15∶1015÷1032
15↓前项∶↓号10↓项32↓值
4表示两相量间关系倍数关系
长宽倍
表示两量新量
路程÷速度时间
5法分数联系
前项
号∶
项
值
法
数
号÷
数
商
分数
分子
分数线
分母
分数值
6求值前项项结果写成分数(约分约成简分数)
15∶1015÷10151032
二基性质
1根法分数关系出基性质
(1)商变性质数数时相数(0外)商变
(2)分数基性质分数分子分母时相数(0外)分数值变
(3)基性质前项项时相数(0外)值变
2简整数前项项整数互质数样简整数
3根基性质化成简单整数
4化简
(2)利求值方法
三例分配问题
1例分配数量定进行分配种方法通常做例分配
2例分配问题解法
例分配问题般两种解题方法
(1)分数法(分率解)例分配通常总量作单位1转化成分率先求出总份数求出份占总份数分总量分分
例糖水25克糖水1∶4糖水分克
1+45糖占1525×15糖质量水占4525×45水质量
(2)法(份数解)先求出总份数求出份少分求出份少
例糖水25克糖水1∶4糖水分克
糖水份数1+45(份)份25÷55(克)糖1份5×15(克)水4份5×420(克)
特提醒
值通常分数表示数整数表示
值区
表示两数关系写成形式分数表示
值相商数整数分数数
连
例3∶4∶5
读作345
特提示
根分数法关系两数写成分数形式
法分数区
法种运算分数数表示两数关系
举例
体育赛中出现两队分2∶0等种记分形式表示两数相关系
温馨提示
根法分数关系理解项0
易错易混
中单位化简求值时先统单位化简求值结果没单位
举例
15∶1015÷101510323∶215∶1015÷1032
简整数3∶2
特提醒
求值方法注意结果写成形式
易错易混
搞错应关系
举例80 cm长铁丝围成长方形框架长宽3∶1框架长宽少
错解
长80×33+160(cm)
宽80×13+120(cm)
正确解答
80÷240(cm)
长40×33+130(cm)
宽40×13+110(cm)
5 圆
圆认识
1圆心圆规画圆时针尖点做圆心圆心般字母O表示圆次折折痕相交圆中心圆心圆意点距离相等
2半径连接圆心圆意点线段做半径
般字母r表示
3直径通圆心两端圆线段做直径
般字母d表示直径圆长线段
4圆画法
(1)助实物画圆
圆形物体放纸面铅笔尖绕着圆形物体轮廓画圈便圆
(2)圆规画圆
圆规两脚叉开针尖脚固定点脚绕点旋转周画出圆
5等圆半径相等圆做等圆等圆通移完全重合
心圆圆心重合半径等两圆做心圆
6圆等圆中直径长度半径2倍半径长度直径12字母表示d2rr12d
7圆轴称图形果图形着条直线折两侧图形够完全重合图形轴称图形折痕条直线做称轴
8画称轴铅笔画时直尺(三角尺)画出虚线条虚线两端超出图形点
9圆设计美丽图案
设计图案时常利圆形组合成美丽图案
二圆周长
1圆周长围成圆曲线长圆周长字母C表示
2圆周率实验(滚动法)圆形纸片做记号直尺0刻度线齐直尺滚动周圆周长(测绳法)线围绕圆形纸片周量出线长度圆周长
发现圆周长直径值(圆周长直径)固定值3倍点做圆周率字母π表示
3圆周率意圆周长直径值固定数做圆周率字母π(pài)表示世界第圆周率算出国数学家祖
4圆周长公式圆周长等圆周率直径字母表示Cπd圆周长等2圆周率半径字母表示
C2πr
(1)已知圆周长求直径圆周长圆周率字母表示dC÷π
(2)已知圆周长求半径圆周长圆周率2倍字母表示rC÷2π(rC2π)
5区分圆周长半半圆周长
(1)圆周长半圆周长÷2
计算方法2πr÷2C半πr
(2)半圆周长圆周长半+直径
计算方法半圆周长(2+π)r
推导程C半2πr÷2+dπr+dπr+2r(2+π)r
三圆面积
1圆面积圆占面做圆面积字母S表示
2圆面积公式推导
(1)圆等分(偶数份)成扇形份数越拼成图形越接长方形
长方形长相圆周长半长方形宽相圆半径
(2)拼出图形圆周长半径关系
圆半径长方形宽
圆周长半长方形长
3圆面积计算方法长方形面积长×宽圆面积圆周长半×圆半径S圆C÷2×rπr×rπr2
圆面积公式S圆πr2
4环形面积环形外圆半径字母R表示圆半径字母r表示(Rr+环宽度)
S环πR2πr2S环π(R2r2)(建议公式)
5组合图形面积
(1)外方圆(切圆)阴影面积公式Sr2×(4π)
推导程SS正S圆d2πr22r×2rπr24r2πr2r2×(4π)
(2)外圆方(外切圆)阴影面积公式S(π2)r2
推导程SS圆S正πr2dr2×2πr22r×r2×2πr22r2r2×(π2)(正方形成两面积相等三角形三角形底直径高半径)
(3)意正方形切圆面积固定值4∶π
(4)解决求组合图形面积时般分割成简单图形分求出简单图形面积求出差
四扇形
1圆两点间部分做弧
2条弧条弧两端两条半径围成图形做扇形
3顶点圆心角做圆心角
4扇形面积圆心角半径长短关
五确定起跑线
条跑道周长等两半圆跑道合成圆周长加两条直跑道相邻两条跑道两条直跑道长度相等两半圆跑道合成圆周长相等终点相相邻两条跑道起跑线
圆心确定圆位置半径确定圆
圆等圆中数条半径数条直径
注意
圆规画圆时带针尖端乱动两脚间距离改变
圆规两脚间距离圆半径
画圆步骤
定半径定圆心旋转周
圆等圆中直径长度相等半径长度相等
条称轴图形半圆扇形等腰梯形等腰三角形角两条称轴图形长方形三条称轴图形等边三角形四条称轴图形正方形数条称轴图形圆圆环
易错举例
错解圆直径圆称轴
正确解答圆直径直线圆称轴
圆周长总直径3倍点值固定数圆周率π限循环数计算时般取π≈314
温馨提示
判断时圆周长直径π倍314倍
计算圆周长关键确定半径
规律速记
圆半径增加a厘米周长增加2πa厘米
圆直径增加b厘米周长增加bπ厘米
理解半圆周长时结合半圆图形理解
转化思想
圆面积转化长方形面积体现转化数学思想
温馨提示
牢记圆面积计算公式Sπr2
圆面积变化规律
半径扩少倍直径周长时扩少倍圆面积扩倍数半径直径扩倍数方倍
果
r1∶r2∶r3
d1∶d2∶d3
C1∶C2∶C3
2∶3∶4
S1∶S2∶S34∶9∶16
规律速记
长方形正方形圆周长相等时圆面积正方形面积居中长方形面积反面积相时长方形周长长正方形周长居中圆周长短
求圆环面积关键确定外圆半径
温馨提示求复杂组合图
形面积时根图形特点转化规图形面积差形式求面积
扇形面积
S扇S圆×n360
扇形轴称图形条称轴
扇形圆部分
6 百 分 数 ()
百分数意义写法
1百分数意义表示数数百分百分数指两数百分率百分
2百分数分数联系区
(1)联系表示两量倍关系
(2)区①意义百分数表示两数倍关系表示具体数量带单位分数表示具体数表示两数关系表示具体数时带单位
②分子百分数分子整数数分数分子数0外然数
3百分数写法通常写成分数形式原分子面加表示读作百分
例
14读作百分十四百分零点八写作08
二百分数分数数互化
1百分数数互化
(1)数化成百分数数点右移动两位(位数够0补足)时面添百分号
(2)百分数化成数数点左移动两位(位数够0补足)时掉百分号
2百分数分数互化
(1)百分数化成分数先百分数改写成分母100分数约分约成简分数
(2)分数化成百分数
①分数基性质先分数分母扩缩成分母100分数写成百分数形式
②先分数化成数(时通常保留三位数)数化成百分数(建议种方法)
三百分数解决问题
1常见百分率计算方法
①合格率合格产品数产品总数×100
②发芽率发芽种子数种子总数×100
③出勤率出勤数总数×100
④达标率达标数总数×100
⑤成活率成活数量总数量×100
⑥出粉率粉质量出粉物质量×100
⑦烘干率烘干质量烘干前质量×100
⑧含水率烘干前质量烘干质量烘干前质量×100
2求数数百分数数结果写成百分数形式
例男生20女生15女生数占男生数百分
列式15÷20152075
3求数百分少
已知单位1量(法)求单位1百分少问题数量关系式分数法解决问题关系式相
(1)百分率前数量关系
单位1量×百分率百分率应量
(2)百分率前少数量关系
单位1量×(1±百分率)百分率应量
4已知数百分少求数
未知单位1量(法)已知单位1百分少求单位1解答方法解答分数应题方法相
(1)列方程根数量关系式设未知量x方程解答
(2)算术法(法)百分率应量÷应百分率单位1量
5求数数(少)百分方法
两数相差量÷单位1量百分
(1)求数数百分
(数数)÷数(数数)结果写成百分数形式
甲乙百分问题
方法A(甲乙)÷乙(建议法)
方法B甲÷乙100
(2)求数数少百分
(数数)÷数(数数)结果写成百分数形式
乙甲少百分问题
方法A(甲乙)÷甲(建议法)
方法B100乙÷甲
注意百分等少百分单位1
6求原价格先降a升a价格1×(1a)×(1+a)(假设原价格1)
求变化幅度(求降价价格涨价价格百分)1降价升百分率
7求数(少)百分数少解题方法
般两种解题方法种先求出单位1(少)数量加单位1数量单位1数量减单位1少数量种先求出求数量单位1百分单位1量百分
特说明
百分数百分百分率百分数带单位
易错点误百分数带单位名称
错例
判断152010015吨写成20吨()
正确解答✕
易错易混
整数化成百分数方法掌握正确
错例66
分析题错整数化成百分数方法掌握正确整数作数部分0数整数化成百分数方法数化成百分数方法相
正确解答
6600
易错点混淆≈
错例
13333
分析题错混淆似值准确值13分子分母结果化成百分数似值应该≈连接
正确解答
13≈333
特提示
般讲出勤率成活率合格率正确率达100出米率出油率达100完成率增长率等超100
解答分数应题时首先确定单位1确定单位1具体数量总具体分数(分率)相应种关系量率应解答分数应题关键
温馨提示
百分数参四运算通常百分数化成分数数进行计算
注意
解决百分数法问题时类分数法问题已知单位1量法未知单位1量法列方程求解
实际生活中常增加百分减少百分节约百分……表示增加减少幅度
易混易错
弄错单位1
举例原计划造林12公顷实际造林16公顷实际造林原计划增加百分
错解(1612)÷1625
正确解答
(1612)÷12≈333
巧记
果甲乙少a求乙甲少百分a÷(1±a)
求数(少)百分数少类求数(少)分数少解答
7 扇形统计图
扇形统计图意义
整圆面积表示总数圆扇形面积表示部分数量总数间关系部分数量占总数百分(百分图)
二常统计图特点
1条形统计图清楚出种数量少
2折线统计图仅出种数量少清晰出数量增减变化情况
3扇形统计图够清楚反映出部分数量总数间关系(统计图写出百分率)
三扇形面积
圆中扇形扇形圆心角关圆心角越扇形越扇形面积占圆面积百分时该扇形圆心角度数占圆周角度数百分
四应
1会观察统计图
2常见问题
(1)什数学信息
回答
①A占总体百分
②A占百分B占百分少
(2)提出什数学问题
例AB占百分
……
五统计图选择
选择合适统计图描述分析数方法
①清楚表示出项目具体数量般选择条形统计图
②清楚反映事物变化规律情况般选折线统计图
③清楚反映部分总数中占百分般选扇形统计图
例表示笑笑6岁12岁身高情况应绘制折线统计图描述某企业副产品收入总收入间关系应绘制扇形统计图表示某林场杨树柳树法国梧桐棵数应绘制条形统计图
特提醒
根部分占整体百分确定扇形
易错举例
错例
判断图某超市月水果销售情况统计图图中出月销售水果中苹果销售量()
错分析图中部分销售量占总销售量32包含水果种类里销售量苹果销售量某种水果根面统计图判断出种水果销售量
正确解答✕
易错易混
绘制条形统计图折线统计图时忘长方形方点旁边写数
心
种统计图特点充分利特点达合理选择运描述分析数目
统计图作适条件
8 数学广角——数形
正方形数
1
1( )2
1+3( )2
1+3+5( )2
幅图中正方形总数作两相数相积算式数方形式表示
112 1+322 1+3+532 1+3+5+742
结1起连续奇数等奇数数方
2
2起连续偶数等偶数数偶数数1数n×(n+1)助图推导出结
二分数关计算
计算12+14+18+116+132+164+…
(1)第二分数开始分数前分数12
(2)计算结果越越接1果分数断加总1
温馨提示
数形结合解决数学问题重方法种重数学思想助发展空间概念
解决计算问题时画出示意图帮助思考
时图形问题中隐藏着许数规律
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1 分 数 法
分数法意义
1分数整数分数整数意义整数法意义相求相加数简便运算
例23×3表示323相加少表示233倍少
2数(数分数整数)分数数分数意义整数法意义相表示数分少
例6×512表示6512少
27×78表示2778少
二分数法计算法
1分数整数运算法分子整数积作分子分母变
(1)计算简便约分先约分计算(分母整数约分)
(2)约分整数分数分母约掉公数(计算结果必须简分数)
2分数分数计算法分子相积作分子分母相积作分母(分子分子分母分母)
(1)果分数法算式中含带分数先带分数化成假分数计算
(2)分数化简方法分子分母时公数
(3)程中约分先分子分母中两约分数画分方写出约分数(约分分子分母必须含公数样计算出结果简分数)
3分数数
(1)分数够化成限数先分数化成限数然根数法计算法进行计算
(2)分数化成限数
a先数化成分数根分数分数计算法进行计算
b果数分数分母进行约分数作整数分数分母进行约分样计算起较简便
三积数关系
1数(0外)1数积数a×bca≠0b>1时c>a
2数(0外)1数积数a×bca≠0b<1时(b≠0)c
四分数法混合运算
1分数法混合运算序整数相先算算加减括号先算括号里面算括号外面
2整数法运算定律分数法样适运算定律计算简便
法交换律a×bb×a
法结合律(a×b)×ca×(b×c)
法分配律a×(b±c)a×b±a×c
五解决实际问题
1分数应题般解题步骤
(1)找出含分率关键句
(2)找出单位1量
(3)根线段图写出等量关系式
单位1量×应分率应量
(4)根已知条件问题列式解答
2连续求数分少问题步步认真分析分析步时关键找准单位1
3找单位1方法含分数关键句中找注意前规
4已知数量数量少分求数量解题方法
面量作单位1量单位1量±单位1量×数量单位1少分数量
分数整数指中数必须整数两数分数
数分数指中数必须分数两数整数
易错点误整数分母相
举例计算3×25
错解3×2523×5215
正确解答3×253×2565
易错点忘记结果化成简分数
举例计算56×25
错解56×255×26×51030
正确解答 56×25
51×2163×51
13
1进行数积较时注意数0时特殊情况
2果0数分数相积相等分数相数反分数相数反
1分数连简便运算先约分计算
2运运算定律进行简便运算时根算式特点选择合适运算定律符合运算定律运算定律进行简便运算避免出现错误
关键句中单位1明显时关键句补充完整补充成谁谁分甲乙分甲乙少分形式
先找出单位1表示单位1分分数应分率分率带单位名称哟
巧记
分数实际应题
关键找准单位1
正确计算关键
次约分更简便
2 位置方(二)
确定物体位置方法
1找观测点
2定方(方夹角度数)
3确定距离(例尺)
二面图绘出物体具体位置
1绘出方
2选定单位长度标准绘出距离
3标出物体名称
三描述路线
1描述路线时行驶路线适分路段描述
2段明确观测点
3描述行走方距离
四描绘路线图
描绘路线图关键选观测点建立方标确定方距离
五位置关系相性
1叙述具相性两位置关系时观测点叙述方正相反距离相等
2相位置
例东—西南—北南偏东—北偏西……
确定物体位置三素观测点方距离
易错点弄错观测点
举例图画出活动中心幼园位置
(1)活动中心广场西偏北30°方100米处
(2)幼园活动中心南偏东20°方200米处
错解
正确答案
描述路线时参点断变动
3 分 数 法
倒数意义
1倒数意义积1两数互倒数
2求倒数方法
(1)求分数倒数交换分子分母位置
(2)求整数倒数整数作分母1分数交换分子分母位置
(3)求带分数倒数带分数化假分数求倒数
(4)求数倒数数化分数求倒数
整数数化成分数分子分母倒数
3真分数倒数1假分数倒数等1带分数倒数1
二分数法意义
1法数×数积
法积÷数数
2分数法整数法意义相表示已知两数积中数求数运算
例12÷35意义已知两数积12中数35求数运算
3分数法计算法
0数等数倒数
4分数法算式中出现数带分数时分化成分数假分数计算
三分数法混合运算
1混合运算递等式计算等号写第数字左角
2运算序
①连属级运算左右序进行计算数等数倒数简便方法计算加减法级运算法二级运算
②混合运算没括号先算算加减括号先算括号里面算括号外面
四分数法解决问题
1解法
(1)列方程根数量关系式设未知量x方程解答
解设未知量x(定解设)列方程x×分率具体量
例公鸡20母鸡数13母鸡少(单位1母鸡数单位1未知)
解设母鸡x
x×1320
x60
(2)算术法(法)单位1量未知法已知单位1分少求单位1量
分率应量÷应分率单位1量
例公鸡20母鸡数13母鸡少(单位1母鸡数单位1未知法)
列式20÷13
2已知数分少求数问题解法
单位1量已知量÷应分率(已知量占单位1分)
3已知数(少)分数少求数问题解法
(1)根单位1量×(1±分率)已知量设单位1量x列方程解答
(2)确定单位1量先计算出已知量占单位1分根分数法意义列式解答
已知量÷(1±分率)单位1量
错解
解设母鸡x
x×1320
x60()
正确解答
解设母鸡x
x×1320
x60
例桃树50棵苹果树少16苹果树少棵
列式50÷(116)
种商品现80元原价增加16原价少元
列式80÷(1+16)
4已知两量(差)中量量分求两量解法
(1)方程解找题中数量间等量关系设单位1量x列出方程
(2)算术法解找题中单位1计算出已知量占单位1分利已知量÷已知量占单位1’分单位1’量列式解答
5工程问题
工作总量作单位1合做长时间完成项工程1÷效率1÷1甲完成时间+1乙完成时间(工作效率1完成工作时间)
例项工程甲单独做5天完成乙单独做10天完成丙单独做3天完成三合做天完成
列式1÷15+110+13
特提醒互倒数倒数两数关系互相存倒数单独存(说清谁谁倒数)
1倒数11×11
0没倒数0数0(分母0)
特提示
0数(0外)0
分数法较时规律
(1)数1时商数
(2)数1(等0)时商数
(3)数等1时商等数
注意
法转化成法时数定变÷变成×数变成倒数
温馨提示
(a±b)÷ca÷c±b÷c
[ ]做中括号算式里果括号中括号先算括号里面算中括号里面
易错点误方程解带单位名称
特提示
解决分数问题时判断法计算法计算关键单位1单位1已知法求单位1法列方程
已知单位1量法
举例甲乙35乙25求甲少
25×3515
求单位1量法
举例甲乙35甲15求乙少
15÷3525
(建议列方程解答)
特提示甲数乙数分等乙数甲数少分单位1
注意画线段图帮助分析题意表示两量关系画两条线段图表示部分整体关系画条线段图
解决含两未知量分数问题时先选择未知量设x未知量含x式子表示出根等量关系列出方程
温馨提示题中时单位1止数量某条件中单位1条件中单位1解题时认真较找准单位1应关系
工程问题中数量关系
工作总量÷工作时间工作效率
工作总量÷工作效率工作时间
工作效率×工作时间工作总量
4
意义
1意义两数相做两数
2两数中号前面数做前项号面数做项
3前项项商做值
15∶1015÷1032
15↓前项∶↓号10↓项32↓值
4表示两相量间关系倍数关系
长宽倍
表示两量新量
路程÷速度时间
5法分数联系
前项
号∶
项
值
法
数
号÷
数
商
分数
分子
分数线
分母
分数值
6求值前项项结果写成分数(约分约成简分数)
15∶1015÷10151032
二基性质
1根法分数关系出基性质
(1)商变性质数数时相数(0外)商变
(2)分数基性质分数分子分母时相数(0外)分数值变
(3)基性质前项项时相数(0外)值变
2简整数前项项整数互质数样简整数
3根基性质化成简单整数
4化简
(2)利求值方法
三例分配问题
1例分配数量定进行分配种方法通常做例分配
2例分配问题解法
例分配问题般两种解题方法
(1)分数法(分率解)例分配通常总量作单位1转化成分率先求出总份数求出份占总份数分总量分分
例糖水25克糖水1∶4糖水分克
1+45糖占1525×15糖质量水占4525×45水质量
(2)法(份数解)先求出总份数求出份少分求出份少
例糖水25克糖水1∶4糖水分克
糖水份数1+45(份)份25÷55(克)糖1份5×15(克)水4份5×420(克)
特提醒
值通常分数表示数整数表示
值区
表示两数关系写成形式分数表示
值相商数整数分数数
连
例3∶4∶5
读作345
特提示
根分数法关系两数写成分数形式
法分数区
法种运算分数数表示两数关系
举例
体育赛中出现两队分2∶0等种记分形式表示两数相关系
温馨提示
根法分数关系理解项0
易错易混
中单位化简求值时先统单位化简求值结果没单位
举例
15∶1015÷101510323∶215∶1015÷1032
简整数3∶2
特提醒
求值方法注意结果写成形式
易错易混
搞错应关系
举例80 cm长铁丝围成长方形框架长宽3∶1框架长宽少
错解
长80×33+160(cm)
宽80×13+120(cm)
正确解答
80÷240(cm)
长40×33+130(cm)
宽40×13+110(cm)
5 圆
圆认识
1圆心圆规画圆时针尖点做圆心圆心般字母O表示圆次折折痕相交圆中心圆心圆意点距离相等
2半径连接圆心圆意点线段做半径
般字母r表示
3直径通圆心两端圆线段做直径
般字母d表示直径圆长线段
4圆画法
(1)助实物画圆
圆形物体放纸面铅笔尖绕着圆形物体轮廓画圈便圆
(2)圆规画圆
圆规两脚叉开针尖脚固定点脚绕点旋转周画出圆
5等圆半径相等圆做等圆等圆通移完全重合
心圆圆心重合半径等两圆做心圆
6圆等圆中直径长度半径2倍半径长度直径12字母表示d2rr12d
7圆轴称图形果图形着条直线折两侧图形够完全重合图形轴称图形折痕条直线做称轴
8画称轴铅笔画时直尺(三角尺)画出虚线条虚线两端超出图形点
9圆设计美丽图案
设计图案时常利圆形组合成美丽图案
二圆周长
1圆周长围成圆曲线长圆周长字母C表示
2圆周率实验(滚动法)圆形纸片做记号直尺0刻度线齐直尺滚动周圆周长(测绳法)线围绕圆形纸片周量出线长度圆周长
发现圆周长直径值(圆周长直径)固定值3倍点做圆周率字母π表示
3圆周率意圆周长直径值固定数做圆周率字母π(pài)表示世界第圆周率算出国数学家祖
4圆周长公式圆周长等圆周率直径字母表示Cπd圆周长等2圆周率半径字母表示
C2πr
(1)已知圆周长求直径圆周长圆周率字母表示dC÷π
(2)已知圆周长求半径圆周长圆周率2倍字母表示rC÷2π(rC2π)
5区分圆周长半半圆周长
(1)圆周长半圆周长÷2
计算方法2πr÷2C半πr
(2)半圆周长圆周长半+直径
计算方法半圆周长(2+π)r
推导程C半2πr÷2+dπr+dπr+2r(2+π)r
三圆面积
1圆面积圆占面做圆面积字母S表示
2圆面积公式推导
(1)圆等分(偶数份)成扇形份数越拼成图形越接长方形
长方形长相圆周长半长方形宽相圆半径
(2)拼出图形圆周长半径关系
圆半径长方形宽
圆周长半长方形长
3圆面积计算方法长方形面积长×宽圆面积圆周长半×圆半径S圆C÷2×rπr×rπr2
圆面积公式S圆πr2
4环形面积环形外圆半径字母R表示圆半径字母r表示(Rr+环宽度)
S环πR2πr2S环π(R2r2)(建议公式)
5组合图形面积
(1)外方圆(切圆)阴影面积公式Sr2×(4π)
推导程SS正S圆d2πr22r×2rπr24r2πr2r2×(4π)
(2)外圆方(外切圆)阴影面积公式S(π2)r2
推导程SS圆S正πr2dr2×2πr22r×r2×2πr22r2r2×(π2)(正方形成两面积相等三角形三角形底直径高半径)
(3)意正方形切圆面积固定值4∶π
(4)解决求组合图形面积时般分割成简单图形分求出简单图形面积求出差
四扇形
1圆两点间部分做弧
2条弧条弧两端两条半径围成图形做扇形
3顶点圆心角做圆心角
4扇形面积圆心角半径长短关
五确定起跑线
条跑道周长等两半圆跑道合成圆周长加两条直跑道相邻两条跑道两条直跑道长度相等两半圆跑道合成圆周长相等终点相相邻两条跑道起跑线
圆心确定圆位置半径确定圆
圆等圆中数条半径数条直径
注意
圆规画圆时带针尖端乱动两脚间距离改变
圆规两脚间距离圆半径
画圆步骤
定半径定圆心旋转周
圆等圆中直径长度相等半径长度相等
条称轴图形半圆扇形等腰梯形等腰三角形角两条称轴图形长方形三条称轴图形等边三角形四条称轴图形正方形数条称轴图形圆圆环
易错举例
错解圆直径圆称轴
正确解答圆直径直线圆称轴
圆周长总直径3倍点值固定数圆周率π限循环数计算时般取π≈314
温馨提示
判断时圆周长直径π倍314倍
计算圆周长关键确定半径
规律速记
圆半径增加a厘米周长增加2πa厘米
圆直径增加b厘米周长增加bπ厘米
理解半圆周长时结合半圆图形理解
转化思想
圆面积转化长方形面积体现转化数学思想
温馨提示
牢记圆面积计算公式Sπr2
圆面积变化规律
半径扩少倍直径周长时扩少倍圆面积扩倍数半径直径扩倍数方倍
果
r1∶r2∶r3
d1∶d2∶d3
C1∶C2∶C3
2∶3∶4
S1∶S2∶S34∶9∶16
规律速记
长方形正方形圆周长相等时圆面积正方形面积居中长方形面积反面积相时长方形周长长正方形周长居中圆周长短
求圆环面积关键确定外圆半径
温馨提示求复杂组合图
形面积时根图形特点转化规图形面积差形式求面积
扇形面积
S扇S圆×n360
扇形轴称图形条称轴
扇形圆部分
6 百 分 数 ()
百分数意义写法
1百分数意义表示数数百分百分数指两数百分率百分
2百分数分数联系区
(1)联系表示两量倍关系
(2)区①意义百分数表示两数倍关系表示具体数量带单位分数表示具体数表示两数关系表示具体数时带单位
②分子百分数分子整数数分数分子数0外然数
3百分数写法通常写成分数形式原分子面加表示读作百分
例
14读作百分十四百分零点八写作08
二百分数分数数互化
1百分数数互化
(1)数化成百分数数点右移动两位(位数够0补足)时面添百分号
(2)百分数化成数数点左移动两位(位数够0补足)时掉百分号
2百分数分数互化
(1)百分数化成分数先百分数改写成分母100分数约分约成简分数
(2)分数化成百分数
①分数基性质先分数分母扩缩成分母100分数写成百分数形式
②先分数化成数(时通常保留三位数)数化成百分数(建议种方法)
三百分数解决问题
1常见百分率计算方法
①合格率合格产品数产品总数×100
②发芽率发芽种子数种子总数×100
③出勤率出勤数总数×100
④达标率达标数总数×100
⑤成活率成活数量总数量×100
⑥出粉率粉质量出粉物质量×100
⑦烘干率烘干质量烘干前质量×100
⑧含水率烘干前质量烘干质量烘干前质量×100
2求数数百分数数结果写成百分数形式
例男生20女生15女生数占男生数百分
列式15÷20152075
3求数百分少
已知单位1量(法)求单位1百分少问题数量关系式分数法解决问题关系式相
(1)百分率前数量关系
单位1量×百分率百分率应量
(2)百分率前少数量关系
单位1量×(1±百分率)百分率应量
4已知数百分少求数
未知单位1量(法)已知单位1百分少求单位1解答方法解答分数应题方法相
(1)列方程根数量关系式设未知量x方程解答
(2)算术法(法)百分率应量÷应百分率单位1量
5求数数(少)百分方法
两数相差量÷单位1量百分
(1)求数数百分
(数数)÷数(数数)结果写成百分数形式
甲乙百分问题
方法A(甲乙)÷乙(建议法)
方法B甲÷乙100
(2)求数数少百分
(数数)÷数(数数)结果写成百分数形式
乙甲少百分问题
方法A(甲乙)÷甲(建议法)
方法B100乙÷甲
注意百分等少百分单位1
6求原价格先降a升a价格1×(1a)×(1+a)(假设原价格1)
求变化幅度(求降价价格涨价价格百分)1降价升百分率
7求数(少)百分数少解题方法
般两种解题方法种先求出单位1(少)数量加单位1数量单位1数量减单位1少数量种先求出求数量单位1百分单位1量百分
特说明
百分数百分百分率百分数带单位
易错点误百分数带单位名称
错例
判断152010015吨写成20吨()
正确解答✕
易错易混
整数化成百分数方法掌握正确
错例66
分析题错整数化成百分数方法掌握正确整数作数部分0数整数化成百分数方法数化成百分数方法相
正确解答
6600
易错点混淆≈
错例
13333
分析题错混淆似值准确值13分子分母结果化成百分数似值应该≈连接
正确解答
13≈333
特提示
般讲出勤率成活率合格率正确率达100出米率出油率达100完成率增长率等超100
解答分数应题时首先确定单位1确定单位1具体数量总具体分数(分率)相应种关系量率应解答分数应题关键
温馨提示
百分数参四运算通常百分数化成分数数进行计算
注意
解决百分数法问题时类分数法问题已知单位1量法未知单位1量法列方程求解
实际生活中常增加百分减少百分节约百分……表示增加减少幅度
易混易错
弄错单位1
举例原计划造林12公顷实际造林16公顷实际造林原计划增加百分
错解(1612)÷1625
正确解答
(1612)÷12≈333
巧记
果甲乙少a求乙甲少百分a÷(1±a)
求数(少)百分数少类求数(少)分数少解答
7 扇形统计图
扇形统计图意义
整圆面积表示总数圆扇形面积表示部分数量总数间关系部分数量占总数百分(百分图)
二常统计图特点
1条形统计图清楚出种数量少
2折线统计图仅出种数量少清晰出数量增减变化情况
3扇形统计图够清楚反映出部分数量总数间关系(统计图写出百分率)
三扇形面积
圆中扇形扇形圆心角关圆心角越扇形越扇形面积占圆面积百分时该扇形圆心角度数占圆周角度数百分
四应
1会观察统计图
2常见问题
(1)什数学信息
回答
①A占总体百分
②A占百分B占百分少
(2)提出什数学问题
例AB占百分
……
五统计图选择
选择合适统计图描述分析数方法
①清楚表示出项目具体数量般选择条形统计图
②清楚反映事物变化规律情况般选折线统计图
③清楚反映部分总数中占百分般选扇形统计图
例表示笑笑6岁12岁身高情况应绘制折线统计图描述某企业副产品收入总收入间关系应绘制扇形统计图表示某林场杨树柳树法国梧桐棵数应绘制条形统计图
特提醒
根部分占整体百分确定扇形
易错举例
错例
判断图某超市月水果销售情况统计图图中出月销售水果中苹果销售量()
错分析图中部分销售量占总销售量32包含水果种类里销售量苹果销售量某种水果根面统计图判断出种水果销售量
正确解答✕
易错易混
绘制条形统计图折线统计图时忘长方形方点旁边写数
心
种统计图特点充分利特点达合理选择运描述分析数目
统计图作适条件
8 数学广角——数形
正方形数
1
1( )2
1+3( )2
1+3+5( )2
幅图中正方形总数作两相数相积算式数方形式表示
112 1+322 1+3+532 1+3+5+742
结1起连续奇数等奇数数方
2
2起连续偶数等偶数数偶数数1数n×(n+1)助图推导出结
二分数关计算
计算12+14+18+116+132+164+…
(1)第二分数开始分数前分数12
(2)计算结果越越接1果分数断加总1
温馨提示
数形结合解决数学问题重方法种重数学思想助发展空间概念
解决计算问题时画出示意图帮助思考
时图形问题中隐藏着许数规律
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