2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）
选择题：题8题题5分40分（8题40分）
1设集合A {x|2A {2} B {23} C {34} D {234}穆童b5E2RGbCAP
答案 B
考点交集运算
解析解答解：根交集定义易知A∩B求集合A集合B公元素{23} 答案：B 分析根交集定义直接求解穆童p1EanqFDPw
2已知z2i( zz+i) （ ）
A 62i B 42i C 6+2i D 4+2i穆童DXDiTa9E3d
答案 C
考点复数基概念复数代数形式混合运算
解析解答解：zz2i2+2i4+4i2i2i26+2i 答案：C 分析根复数运算结合轭复数定义求解穆童RTCrpUDGiT
3已知圆锥底面半径 2 侧面展开图半圆该圆锥母线长（ ）
A 2 B 2 2 C 4 D 4 2穆童5PCzVD7HxA
答案 B
考点旋转体（圆柱圆锥圆台）
解析解答解：根底面周长等侧面展开图弧长设母线l底面半径r2180°360°×2πl 解l2r22 答案：B 分析根底面周长等侧面展开图弧长结合圆周长公式扇形弧长公式求解穆童jLBHrnAILg
4列区间中函数f(x)7sin( xπ6 )单调递增区间（ ）
A (0 π2 ) B ( π2 π ) C ( π 3π2 ) D ( 3π2 2 )穆童xHAQX74J0X
答案 A
考点正弦函数单调性
解析解答解：π2π≤xπ6≤π2+2kππ3π≤x≤2π3+2kπ k∈Zk0时π32π3函数增区间显然0π2π32π3 答案：A 分析根正弦函数单调性求解穆童LDAYtRyKfE
5已知F1F2椭圆C： x29y241 两焦点点MC |MF1|·|MF2|值（ ） 穆童Zzz6ZB2Ltk
A 13 B 12 C 9 D 6穆童dvzfvkwMI1
答案 C
考点基等式值问题中应椭圆定义
解析解答解：椭圆定义知a29b24|MF1|+|MF2|2a6 基等式|MF1||MF2|≤|MF1||MF2|≤|MF1|+|MF2|22 仅|MF1||MF2|3时等号成立 答案：C 分析根椭圆定义结合基等式求解穆童rqyn14ZNXI
6tan θ 2 sin(1+sin2θ)sinθ+cosθ （ ）
A −65 B −25 C 25 D 65穆童EmxvxOtOco
答案 C
考点二倍角正弦公式角三角函数间基关系角三角函数基关系运
解析解答解：原式sinsin2θ+2sinθcosθ+cos2θsinθ+cosθsinθsinθ+cosθ2sinθ+cosθsinθsinθ+cosθsin2sinθcosθsin2θ+cos2θtan2θ+tanθtan2θ+125 答案：C 分析根角三角函数基关系结合二倍角公式求解穆童SixE2yXPq5
7点（ab)作曲线yex两条切线（ ）
A eb答案 D
考点极限运算利导数研究曲线某点切线方程
解析解答解：题意易知x趋∞时切线x0x趋+∞时切线y+∞切线交点必位第象限曲线yex方 答案：D 分析利极限结合图象求解穆童kavU42VRUs
86相球分标数字123456中放回机取两次次取1球甲表示事件第次取出球数字1乙表示事件第二次取出球数字2丙表示事件两次取出球数字8丁表示事件两次取出球数字7（ ） 穆童y6v3ALoS89
A 甲丙相互独立 B 甲丁相互独立 C 乙丙相互独立 D 丙丁相互独立穆童M2ub6vSTnP
答案 B
考点相互独立事件相互独立事件概率法公式古典概型概率计算公式
解析解答解：设甲乙丙丁事件发生概率分P(A)P(B)P(C)P(D) P(A)P(B)1656×6536P(D)66×616 AP(AC)0 BP(AD)16×6136 CP(BC)16×6136 DP(CD)0 两事件XY相互独立P(XY)P(X)P(Y) B正确 答案：B 分析根古典概型独立事件概率求解穆童0YujCfmUCw
二选择题：题4题题5分20分题出选项中项符合 题目求全部选5分部分选2分选错0分（4题20分）穆童eUts8ZQVRd
9组样数x1 x2…xn组数新样数y1 y2…yn中yixi+c(i12…n)c非零常数（ ） 穆童sQsAEJkW5T
A 两组样数样均数相B 两组样数样中位数相C 两组样数样标准差相D 两组样数样极差相穆童GMsIasNXkA
答案 CD
考点众数中位数均数极差方差标准差
解析解答解：Axx1+x2+⋯+xnnyy1+y2+⋯+ynnx1+x2+⋯+xnn+cx+c c≠0xy A错误 Bx1x2……xn中位数xk yixi+cc≠0y1y2……yn中位数ykxk+c≠xk B错误 Cy1y2……yn标准差Sy1ny1y2+y2y2+⋯yny21nx1+cx+c2+x2+cx+c2+⋯xn+cx+c21nx12+x2y2+⋯xny2Sx C正确 D设样数x1x2……xn中xn x1yixi+cy1y2……yn中yn y1 极差yny1(xn+c)(x1+c)xnx1 D正确 答案：CD 分析根均数中位数标准差定义求解穆童TIrRGchYzg
10已知O坐标原点点P1(cosαsinα)P2(cosβsinβ)P3(cos(α+β)sin(α+β))A(10)（ ） 穆童7EqZcWLZNX
A | OP1 |OP2 B |AP1 |AP2 C OA·OP3 OP1·OP2 D OA·OP1OP2·OP3穆童lzq7IGf02E
答案 AC
考点面量数量积坐标表示模夹角面量数量积运算两角差余弦公式两角差正弦公式 穆童zvpgeqJ1hk
解析解答解：|OP1→cos2α+sin2α1|OP2→|cos2β+sin2β1 A正确 |AP1→cosα12+sin2α22cosα|AP2→|cosβ12+sin2β22cosβ B错误 OA→OP3→1×cosα+β+0×sinα+βcosα+β OP1→OP2→cosαcosβsinαsinβcosα+β OA→OP3→OP1→·OP2→ C正确 OA→OP1→1×cosα+0×sinαcosα OP2→OP3→cosβsinβ·cosα+βsinα+βcosβ×cosα+β+sinβ×sinα+βcosα+2β D错误 答案：AC 分析根量数量积量求模直接求解穆童NrpoJac3v1
11已知点P圆 (x−5)2 + (y−5)2 16点A（40）B（02）（ ） 穆童1nowfTG4KI
A 点P直线AB距离10B 点P直线AB距离2C ∠PBA时|PB|3 2D ∠PBA时|PB|3 2穆童fjnFLDa5Zo
答案 ACD
考点直线截距式方程点直线距离公式直线圆位置关系
解析解答解：直线AB：x4y21 x+2y40 设点P（5+4cosθ5+4sinθ）点P直线AB距离d5+4θ+25+4sinθ412+2211+45sinθ+α5 dmax11+455<10dmin11455<2 A正确B错误 圆心O（55）半径4OB502+52234 直线PB圆相切时∠PBA取值时PBOB2r2341632 CD正确 答案：ACD 分析根直线截距式利点直线距离公式直线圆位置关系求解穆童tfnNhnE6e5
12正三棱柱ABC A1B1C1 中ABA A1 点P满足 PBBC+μBB1 中λ∈[01] μ ∈[01]（ ） 穆童HbmVN777sL
A λ1时△ AB1 P周长定值B μ 1时三棱锥PA1BC体积定值C λ 12 时仅点P A1D μ 12 时仅点P A1 B⊥面A B1 P穆童V7l4jRB8Hs
答案 BD
考点棱柱棱锥棱台体积直线面垂直判定
解析解答解： 点P满足 PBBC+μBB1 知点P正方形BCC1B1 Aλ1时知点PCC1（包括端点）运动图示△AB1P中AB12AP1+μ2B1P1+1μ2 周长LAB+AP+B1P定值A错误 Bμ1时知点PB1C1（包括端点）运动图示 易知B1C1面A1BC点P面A1BC距离处处相等 △A1BC面积定值三棱锥PA1BC体积定值B正确 Cλ12时分取线段BB1 CC1中点MN知点P线段DD1（包括端点）运动图示 显然点PDD1重合均满足题意C正确 Dμ12时分取线段BB1 CC1中点DD1 知点P线段DD1（包括端点）运动图示 时点P点N重合时满足题意D正确 答案：BD 分析根三角形周长棱锥体积求法利特殊点进行判断AB根线线垂直线面垂直判定定理利特殊点进行判断CD穆童83lcPA59W9
三选择题：题4题题5分20分（4题20分）
13已知函数f(x) x32x−2−x) 偶函数a________
答案 1
考点函数奇偶性判断函数奇偶性性质
解析解答解：设 gx2x−2−x 题意知函数g(x)奇函数g(0)a·2020a10a1 答案：1 分析根函数奇偶性判定结合奇函数性质求解穆童mZkklkzaaP
14已知O坐标原点抛物线C y2px(p>0） 焦点FPC点PFx轴垂直Qx轴点PQ⊥OP|FQ|6C准线方程________ 穆童AVktR43bpw
答案x−32
考点直线点斜式方程抛物线定义
解析解答解：题意设Pp2 KOPKQP12 直线PQ方程：yp12xp2 令y0x52 FQ52PP22P6 p3 抛物线C准线方程：xp232 分析根抛物线定义性质结合直线方程求解穆童ORjBnOwcEd
15函数f(x) |2xl|2lnx值________
答案 1
考点利导数研究函数单调性利导数求闭区间函数值分段函数应
解析解答解：①x>12时f（x）2x12lnxf＇x2x2x1x x>1时f＇(x)>012时f＇(x)<0f（x）minf（1）1 ②01 综f（x）min1 答案：1 分析根分段函数定义分利导数研究函数单调性值较求解穆童2MiJTy0dTT
16某校学生研究民间剪纸艺术时发现纸时常会纸某条称轴纸折规格20dm×12dm长方形纸折1次10dm×2dm20dm×6dm两种规格图形面积 S1 240 dm2 折2次5dm×12dm10dm×6dm20dm×3dm三种规格图形面积 S2180dm2类推折4次规格图形种数________果折n次 k1nsk ________dm 穆童gIiSpiue7A
答案 5720−240⋅n+32n
考点数列求类推理
解析解答解：折3次25×126×53×1020×154种面积S34×30120dm2 折4次125×1225×63×515×1020×0755种面积S45×1575dm2 折n次n+1中类型Sn2402nn+1 ∑Skk1n221+322+⋯+n+12n12∑Skk1n240·222+323+⋯+n+12n+1 式相减12∑Skk1n1+122+123+⋯+12nn+12n+124032n+32n+1 ∑Skk1n3n+32n720240·n+32n 答案：5720240·n+32n 分析根类推理求折4次折n次图形种数运错位相减法求∑Skk1n穆童uEh0U1Yfmh
四解答题：题6题70分（6题70分）
17已知数列{ an }满足 a1 1 an+1an+1n奇数an+2n偶数
（1）记 bn a2n 写出 b1 b2 求数列 {bn 通项公式
（2）求 {an 前20项
答案 （1）2n 偶数
a2n+1a2n+2 a2n+2a2n+1+1
∴a2n+2a2n+3 bn+1bn+3 b1a2a1+12
∴{bn 2 首项3公差等差数列
∴b1 b2 bn ．
（2） n 奇数时 anan+1−1
∴{an 前 20 项
a1a2+⋯+a20
(a1a3+⋯+a19)+(a2+a4+⋯+a20)
[(a2a4−1)+⋯+(a20−1)]+(a2+a4+⋯+a20)
2(a2a4+⋯+a20)−10 ．
（1）知
a2a4+⋯+a20b1+b2+⋯+b102×10+10×92155 ．
∴{an 前20项 2×155−10300 ．
考点等差数列等差数列通项公式数列求
解析分析（1）根等差数列定义通项公式求解
（2）运分组求法结合项间关系求解
18某学校组织带路知识竞赛AB两类问题・位参加赛学先两类问题中选择类中机抽収问题冋答回答错误该学赛结束 回答正确类问题中机抽取问題回答回答正确否该学赛 结束A类问题中问题回答正确20分否0分：B类问题中问题 回答正确80分否0分 穆童IAg9qLsgBX
知明正确回答A类问题概率08 正确回答B类问題概率06正确回答问题概率回答次序关穆童WwghWvVhPE
（1）明先回答A类问题记X明累计分求X分布列：
（2）累计分期明应选择先回答类问题？说明理
答案 （1）X 取值 0 20 100
P(X0)1−0802
P(X20)08×(1−06)032
P(X100)08×06048
∴X 分布列
X
0
20
100
P
02
032
048
（2）假设先答 B 类题分 Y
Y 080100
P(Y0)1−0604
P(Y80)06×(1−08)012
P(Y100)06×08048
∴Y 分布列
Y
0
80
100
P
04
012
048
∴E(Y)0×04+80×012+100×048576
（1）知 E(X)0×02+20×032+100×048544
∴E(Y)>E(X)
∴应先答B类题．
考点相互独立事件概率法公式离散型机变量分布列离散型机变量期方差
解析分析（1）根独立事件概率列出X分布列
（2）根独立事件概率列出Y分布列根期公式求E(X)E(Y)较判断
19记△ABC角ABC边分abc已知 b2 ac点D边AC BDsin∠ABCasinC 穆童asfpsfpi4k
（1）证明：BD b：
（2）AD 2DC 求cos∠ABC
答案 （1） △ABC 中
ACsinABsinC ①
∵BD∠ABCasinC
∴BDsinasin∠ABC ②
联立 ①② ABBDACa acb⋅BD
∵b2
∴BDb ．
（2） AD2DC
△ABC 中 cosa2+b2−c22⋅a⋅b ③
△BCD 中 cosa2+(b3)2−b22⋅a⋅b3 ④
∵③④
∴(a2b2−c2)3[a2+(b3)2−b2]
整理 a2b2−c23a2+b23−3b2
∴2a2113b2+c20
∵b2
∴6a2c20 ac3 a32
ac3 时 b2c23
cosa2+c2−b22⋅a⋅cc29c2−c2323c279c223c276 （舍）
a32 b232c2
cosa2+c2−b22⋅a⋅c94c2c2−32c23c274c23c2712
考点正弦定理应余弦定理应
解析分析（1）根正弦定理求解
（2）根余弦定理结合方程思想分类讨思想求解
20图三棱锥ABCD中面ABD丄面BCDABADOBD中点
（1）证明：OA⊥CD：
（2）△OCD边长1等边三角形点E 棱ADDE2EA二面角EBCD45°求三棱锥ABCD体积 穆童ooeyYZTjj1
答案 （1）∵ABAD O BD 中点
∴AO⊥BD
∵AO⊂ 面 ABD
面 ABD⊥ 面 BCD 面 ABD∩ 面 BCDBD
∴AO⊥ 面 BCD
∴AO⊥CD ．
（2） O 坐标原点 OD y 轴 OA z 轴垂直 OD O 直线 x 轴 穆童BkeGuInkxI
设 C(32120) D(010) B(0−10) A(00m) E(01323m) 穆童PgdO0sRlMo
∵EB(0−43−23m) BC32320)
设 n1x1y1z1) 面 EBC 法量
∴{EBn1−43y1−23mz10BC⋅n132x1+32y10
∴{2y1z10x1+3y10
令 y1 ∴z12m x13
∴n131−2m)
面 BCD 法量 OA
cosn1OA〉|−2m⋅4+4m2|22 解 m1
∴OA1
∴S△ABD12×BD×OA12×2×11
VA−BCD13⋅S△ABD⋅|xc|36 ．
考点棱柱棱锥棱台体积面面垂直性质二面角关立体综合题空间量求面间夹角 穆童3cdXwckm15
解析分析（1）根面面垂直性质定理结合等腰三角形性质求解
（2）利量法结合二面角面角求m1根棱锥体积公式直接求解
21面直角坐标系xOy中知点 F1 ( √1 70) F2 ( √1 70)点M满足|MFt||MF2|2记M 轨迹C 穆童h8c52WOngM
（1）求C方程
（2）设点T直线 x12 T 两条直线分交CAB两点PQ两点|TA|·|TB||TP|·|TQ| 求直线AB斜率直线PQ斜率 穆童v4bdyGious
答案 （1）∵|MF1F2|2
∴ 轨迹 C 双曲线右半支 c2 2a2
∴a2 b2
∴x2y2161(x>0) ．
（2）设 T(12
设 AB ： y−nk112)
联立 {y−nk112)x2−y2161
∴(16−k12x2+(k12−2k1n)x−14k12−n2+k1n−160
∴x1x2k12−2k1nk12−16
x1x214k12+n2−k1n+16k12−16
|TA|1+k12x1−12)
|TB|1+k12x2−12)
∴|TA|⋅|TB|(1+k12x1−12)(x2−12)(n2k12)k12−16
设 PQ ： y−nk212)
理 |TP|⋅|TQ|(n2k22)k22−16
∵|TA|⋅|TB||TP|⋅|TQ|
∴1+k12k121+k22k22−16 1+17k121+17k22−16
∴k12k22−16 k12k22
∵k1k2
∴k1k20
考点双曲线定义直线圆锥曲线关系直线圆锥曲线综合问题
解析分析（1）根双曲线定义直接求解
（2）利直线双曲线位置关系结合根系数关系弦长公式求解
22已知函数f(x)x（1lnx)
（1）讨f(x)单调性
（2）设ab两相等正数blnaalnbab证明 2<1a1b答案 （1）f(x)x(1−x)x∈(0+∞)
∴f＇lnx−1−lnx
∴x∈(01)f＇
x∈(1+∞)f＇
∴f(x) (01) 单调递增 f(x) (1+∞) 单调递减
（2） ba−alnba−b −1a1a+1bln1b1b−1a
1aln1a)1b(1−ln1b)
令 x11a 1bx2
x1x2 f(x)k 两根中 k∈(01) ．
妨令 x1 x2 2−x1
先证 2证 f(x2x1)令 h(x)f(x)−f(2−x)
h＇f＇(x)+f＇(2−x)
−x−ln(2−x)−ln[x(2−x)]
∵x∈(01)∴x(2−x)∈(01)
∴h＇ 恒成立 ∴h(x)↗
∴h(x)∴2理证 x1x2证 f(x2x1)令 φ(x)f(x)−f(e−x)x∈(01)
φ＇ln[x(e−x)] 令 φ＇x0)0
x∈(0x0φ＇(x)>0φ(x)↗
x∈(x0φ＇(x)<0φ(x)↘
x>0 f(x)>0 f(e)0
x→0 φ(0)>0
φ(1)f(1)−f(e−1)>0
∴φ(x)>0 恒成立
∴x1x2∴2<1a1b考点利导数研究函数单调性利导数研究函数极值利导数求闭区间函数值
解析分析（1）利导数研究函数单调性求解
（2）根化转化思想等式问题等价转化函数h(x)f(x)f(2x)φxxfex值问题利h＇(x)φ＇x研究函数函数h(x)φx单调性值穆童J0bm4qMpJ9
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2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）
选择题：题8题题5分40分（8题40分）
1设集合A {x|2
答案 B
考点交集运算
解析解答解：根交集定义易知A∩B求集合A集合B公元素{23} 答案：B 分析根交集定义直接求解穆童p1EanqFDPw
2已知z2i( zz+i) （ ）
A 62i B 42i C 6+2i D 4+2i穆童DXDiTa9E3d
答案 C
考点复数基概念复数代数形式混合运算
解析解答解：zz2i2+2i4+4i2i2i26+2i 答案：C 分析根复数运算结合轭复数定义求解穆童RTCrpUDGiT
3已知圆锥底面半径 2 侧面展开图半圆该圆锥母线长（ ）
A 2 B 2 2 C 4 D 4 2穆童5PCzVD7HxA
答案 B
考点旋转体（圆柱圆锥圆台）
解析解答解：根底面周长等侧面展开图弧长设母线l底面半径r2180°360°×2πl 解l2r22 答案：B 分析根底面周长等侧面展开图弧长结合圆周长公式扇形弧长公式求解穆童jLBHrnAILg
4列区间中函数f(x)7sin( xπ6 )单调递增区间（ ）
A (0 π2 ) B ( π2 π ) C ( π 3π2 ) D ( 3π2 2 )穆童xHAQX74J0X
答案 A
考点正弦函数单调性
解析解答解：π2π≤xπ6≤π2+2kππ3π≤x≤2π3+2kπ k∈Zk0时π32π3函数增区间显然0π2π32π3 答案：A 分析根正弦函数单调性求解穆童LDAYtRyKfE
5已知F1F2椭圆C： x29y241 两焦点点MC |MF1|·|MF2|值（ ） 穆童Zzz6ZB2Ltk
A 13 B 12 C 9 D 6穆童dvzfvkwMI1
答案 C
考点基等式值问题中应椭圆定义
解析解答解：椭圆定义知a29b24|MF1|+|MF2|2a6 基等式|MF1||MF2|≤|MF1||MF2|≤|MF1|+|MF2|22 仅|MF1||MF2|3时等号成立 答案：C 分析根椭圆定义结合基等式求解穆童rqyn14ZNXI
6tan θ 2 sin(1+sin2θ)sinθ+cosθ （ ）
A −65 B −25 C 25 D 65穆童EmxvxOtOco
答案 C
考点二倍角正弦公式角三角函数间基关系角三角函数基关系运
解析解答解：原式sinsin2θ+2sinθcosθ+cos2θsinθ+cosθsinθsinθ+cosθ2sinθ+cosθsinθsinθ+cosθsin2sinθcosθsin2θ+cos2θtan2θ+tanθtan2θ+125 答案：C 分析根角三角函数基关系结合二倍角公式求解穆童SixE2yXPq5
7点（ab)作曲线yex两条切线（ ）
A eb
考点极限运算利导数研究曲线某点切线方程
解析解答解：题意易知x趋∞时切线x0x趋+∞时切线y+∞切线交点必位第象限曲线yex方 答案：D 分析利极限结合图象求解穆童kavU42VRUs
86相球分标数字123456中放回机取两次次取1球甲表示事件第次取出球数字1乙表示事件第二次取出球数字2丙表示事件两次取出球数字8丁表示事件两次取出球数字7（ ） 穆童y6v3ALoS89
A 甲丙相互独立 B 甲丁相互独立 C 乙丙相互独立 D 丙丁相互独立穆童M2ub6vSTnP
答案 B
考点相互独立事件相互独立事件概率法公式古典概型概率计算公式
解析解答解：设甲乙丙丁事件发生概率分P(A)P(B)P(C)P(D) P(A)P(B)1656×6536P(D)66×616 AP(AC)0 BP(AD)16×6136 CP(BC)16×6136 DP(CD)0 两事件XY相互独立P(XY)P(X)P(Y) B正确 答案：B 分析根古典概型独立事件概率求解穆童0YujCfmUCw
二选择题：题4题题5分20分题出选项中项符合 题目求全部选5分部分选2分选错0分（4题20分）穆童eUts8ZQVRd
9组样数x1 x2…xn组数新样数y1 y2…yn中yixi+c(i12…n)c非零常数（ ） 穆童sQsAEJkW5T
A 两组样数样均数相B 两组样数样中位数相C 两组样数样标准差相D 两组样数样极差相穆童GMsIasNXkA
答案 CD
考点众数中位数均数极差方差标准差
解析解答解：Axx1+x2+⋯+xnnyy1+y2+⋯+ynnx1+x2+⋯+xnn+cx+c c≠0xy A错误 Bx1x2……xn中位数xk yixi+cc≠0y1y2……yn中位数ykxk+c≠xk B错误 Cy1y2……yn标准差Sy1ny1y2+y2y2+⋯yny21nx1+cx+c2+x2+cx+c2+⋯xn+cx+c21nx12+x2y2+⋯xny2Sx C正确 D设样数x1x2……xn中xn x1yixi+cy1y2……yn中yn y1 极差yny1(xn+c)(x1+c)xnx1 D正确 答案：CD 分析根均数中位数标准差定义求解穆童TIrRGchYzg
10已知O坐标原点点P1(cosαsinα)P2(cosβsinβ)P3(cos(α+β)sin(α+β))A(10)（ ） 穆童7EqZcWLZNX
A | OP1 |OP2 B |AP1 |AP2 C OA·OP3 OP1·OP2 D OA·OP1OP2·OP3穆童lzq7IGf02E
答案 AC
考点面量数量积坐标表示模夹角面量数量积运算两角差余弦公式两角差正弦公式 穆童zvpgeqJ1hk
解析解答解：|OP1→cos2α+sin2α1|OP2→|cos2β+sin2β1 A正确 |AP1→cosα12+sin2α22cosα|AP2→|cosβ12+sin2β22cosβ B错误 OA→OP3→1×cosα+β+0×sinα+βcosα+β OP1→OP2→cosαcosβsinαsinβcosα+β OA→OP3→OP1→·OP2→ C正确 OA→OP1→1×cosα+0×sinαcosα OP2→OP3→cosβsinβ·cosα+βsinα+βcosβ×cosα+β+sinβ×sinα+βcosα+2β D错误 答案：AC 分析根量数量积量求模直接求解穆童NrpoJac3v1
11已知点P圆 (x−5)2 + (y−5)2 16点A（40）B（02）（ ） 穆童1nowfTG4KI
A 点P直线AB距离10B 点P直线AB距离2C ∠PBA时|PB|3 2D ∠PBA时|PB|3 2穆童fjnFLDa5Zo
答案 ACD
考点直线截距式方程点直线距离公式直线圆位置关系
解析解答解：直线AB：x4y21 x+2y40 设点P（5+4cosθ5+4sinθ）点P直线AB距离d5+4θ+25+4sinθ412+2211+45sinθ+α5 dmax11+455<10dmin11455<2 A正确B错误 圆心O（55）半径4OB502+52234 直线PB圆相切时∠PBA取值时PBOB2r2341632 CD正确 答案：ACD 分析根直线截距式利点直线距离公式直线圆位置关系求解穆童tfnNhnE6e5
12正三棱柱ABC A1B1C1 中ABA A1 点P满足 PBBC+μBB1 中λ∈[01] μ ∈[01]（ ） 穆童HbmVN777sL
A λ1时△ AB1 P周长定值B μ 1时三棱锥PA1BC体积定值C λ 12 时仅点P A1D μ 12 时仅点P A1 B⊥面A B1 P穆童V7l4jRB8Hs
答案 BD
考点棱柱棱锥棱台体积直线面垂直判定
解析解答解： 点P满足 PBBC+μBB1 知点P正方形BCC1B1 Aλ1时知点PCC1（包括端点）运动图示△AB1P中AB12AP1+μ2B1P1+1μ2 周长LAB+AP+B1P定值A错误 Bμ1时知点PB1C1（包括端点）运动图示 易知B1C1面A1BC点P面A1BC距离处处相等 △A1BC面积定值三棱锥PA1BC体积定值B正确 Cλ12时分取线段BB1 CC1中点MN知点P线段DD1（包括端点）运动图示 显然点PDD1重合均满足题意C正确 Dμ12时分取线段BB1 CC1中点DD1 知点P线段DD1（包括端点）运动图示 时点P点N重合时满足题意D正确 答案：BD 分析根三角形周长棱锥体积求法利特殊点进行判断AB根线线垂直线面垂直判定定理利特殊点进行判断CD穆童83lcPA59W9
三选择题：题4题题5分20分（4题20分）
13已知函数f(x) x32x−2−x) 偶函数a________
答案 1
考点函数奇偶性判断函数奇偶性性质
解析解答解：设 gx2x−2−x 题意知函数g(x)奇函数g(0)a·2020a10a1 答案：1 分析根函数奇偶性判定结合奇函数性质求解穆童mZkklkzaaP
14已知O坐标原点抛物线C y2px(p>0） 焦点FPC点PFx轴垂直Qx轴点PQ⊥OP|FQ|6C准线方程________ 穆童AVktR43bpw
答案x−32
考点直线点斜式方程抛物线定义
解析解答解：题意设Pp2 KOPKQP12 直线PQ方程：yp12xp2 令y0x52 FQ52PP22P6 p3 抛物线C准线方程：xp232 分析根抛物线定义性质结合直线方程求解穆童ORjBnOwcEd
15函数f(x) |2xl|2lnx值________
答案 1
考点利导数研究函数单调性利导数求闭区间函数值分段函数应
解析解答解：①x>12时f（x）2x12lnxf＇x2x2x1x x>1时f＇(x)>012时f＇(x)<0f（x）minf（1）1 ②0
16某校学生研究民间剪纸艺术时发现纸时常会纸某条称轴纸折规格20dm×12dm长方形纸折1次10dm×2dm20dm×6dm两种规格图形面积 S1 240 dm2 折2次5dm×12dm10dm×6dm20dm×3dm三种规格图形面积 S2180dm2类推折4次规格图形种数________果折n次 k1nsk ________dm 穆童gIiSpiue7A
答案 5720−240⋅n+32n
考点数列求类推理
解析解答解：折3次25×126×53×1020×154种面积S34×30120dm2 折4次125×1225×63×515×1020×0755种面积S45×1575dm2 折n次n+1中类型Sn2402nn+1 ∑Skk1n221+322+⋯+n+12n12∑Skk1n240·222+323+⋯+n+12n+1 式相减12∑Skk1n1+122+123+⋯+12nn+12n+124032n+32n+1 ∑Skk1n3n+32n720240·n+32n 答案：5720240·n+32n 分析根类推理求折4次折n次图形种数运错位相减法求∑Skk1n穆童uEh0U1Yfmh
四解答题：题6题70分（6题70分）
17已知数列{ an }满足 a1 1 an+1an+1n奇数an+2n偶数
（1）记 bn a2n 写出 b1 b2 求数列 {bn 通项公式
（2）求 {an 前20项
答案 （1）2n 偶数
a2n+1a2n+2 a2n+2a2n+1+1
∴a2n+2a2n+3 bn+1bn+3 b1a2a1+12
∴{bn 2 首项3公差等差数列
∴b1 b2 bn ．
（2） n 奇数时 anan+1−1
∴{an 前 20 项
a1a2+⋯+a20
(a1a3+⋯+a19)+(a2+a4+⋯+a20)
[(a2a4−1)+⋯+(a20−1)]+(a2+a4+⋯+a20)
2(a2a4+⋯+a20)−10 ．
（1）知
a2a4+⋯+a20b1+b2+⋯+b102×10+10×92155 ．
∴{an 前20项 2×155−10300 ．
考点等差数列等差数列通项公式数列求
解析分析（1）根等差数列定义通项公式求解
（2）运分组求法结合项间关系求解
18某学校组织带路知识竞赛AB两类问题・位参加赛学先两类问题中选择类中机抽収问题冋答回答错误该学赛结束 回答正确类问题中机抽取问題回答回答正确否该学赛 结束A类问题中问题回答正确20分否0分：B类问题中问题 回答正确80分否0分 穆童IAg9qLsgBX
知明正确回答A类问题概率08 正确回答B类问題概率06正确回答问题概率回答次序关穆童WwghWvVhPE
（1）明先回答A类问题记X明累计分求X分布列：
（2）累计分期明应选择先回答类问题？说明理
答案 （1）X 取值 0 20 100
P(X0)1−0802
P(X20)08×(1−06)032
P(X100)08×06048
∴X 分布列
X
0
20
100
P
02
032
048
（2）假设先答 B 类题分 Y
Y 080100
P(Y0)1−0604
P(Y80)06×(1−08)012
P(Y100)06×08048
∴Y 分布列
Y
0
80
100
P
04
012
048
∴E(Y)0×04+80×012+100×048576
（1）知 E(X)0×02+20×032+100×048544
∴E(Y)>E(X)
∴应先答B类题．
考点相互独立事件概率法公式离散型机变量分布列离散型机变量期方差
解析分析（1）根独立事件概率列出X分布列
（2）根独立事件概率列出Y分布列根期公式求E(X)E(Y)较判断
19记△ABC角ABC边分abc已知 b2 ac点D边AC BDsin∠ABCasinC 穆童asfpsfpi4k
（1）证明：BD b：
（2）AD 2DC 求cos∠ABC
答案 （1） △ABC 中
ACsinABsinC ①
∵BD∠ABCasinC
∴BDsinasin∠ABC ②
联立 ①② ABBDACa acb⋅BD
∵b2
∴BDb ．
（2） AD2DC
△ABC 中 cosa2+b2−c22⋅a⋅b ③
△BCD 中 cosa2+(b3)2−b22⋅a⋅b3 ④
∵③④
∴(a2b2−c2)3[a2+(b3)2−b2]
整理 a2b2−c23a2+b23−3b2
∴2a2113b2+c20
∵b2
∴6a2c20 ac3 a32
ac3 时 b2c23
cosa2+c2−b22⋅a⋅cc29c2−c2323c279c223c276 （舍）
a32 b232c2
cosa2+c2−b22⋅a⋅c94c2c2−32c23c274c23c2712
考点正弦定理应余弦定理应
解析分析（1）根正弦定理求解
（2）根余弦定理结合方程思想分类讨思想求解
20图三棱锥ABCD中面ABD丄面BCDABADOBD中点
（1）证明：OA⊥CD：
（2）△OCD边长1等边三角形点E 棱ADDE2EA二面角EBCD45°求三棱锥ABCD体积 穆童ooeyYZTjj1
答案 （1）∵ABAD O BD 中点
∴AO⊥BD
∵AO⊂ 面 ABD
面 ABD⊥ 面 BCD 面 ABD∩ 面 BCDBD
∴AO⊥ 面 BCD
∴AO⊥CD ．
（2） O 坐标原点 OD y 轴 OA z 轴垂直 OD O 直线 x 轴 穆童BkeGuInkxI
设 C(32120) D(010) B(0−10) A(00m) E(01323m) 穆童PgdO0sRlMo
∵EB(0−43−23m) BC32320)
设 n1x1y1z1) 面 EBC 法量
∴{EBn1−43y1−23mz10BC⋅n132x1+32y10
∴{2y1z10x1+3y10
令 y1 ∴z12m x13
∴n131−2m)
面 BCD 法量 OA
cosn1OA〉|−2m⋅4+4m2|22 解 m1
∴OA1
∴S△ABD12×BD×OA12×2×11
VA−BCD13⋅S△ABD⋅|xc|36 ．
考点棱柱棱锥棱台体积面面垂直性质二面角关立体综合题空间量求面间夹角 穆童3cdXwckm15
解析分析（1）根面面垂直性质定理结合等腰三角形性质求解
（2）利量法结合二面角面角求m1根棱锥体积公式直接求解
21面直角坐标系xOy中知点 F1 ( √1 70) F2 ( √1 70)点M满足|MFt||MF2|2记M 轨迹C 穆童h8c52WOngM
（1）求C方程
（2）设点T直线 x12 T 两条直线分交CAB两点PQ两点|TA|·|TB||TP|·|TQ| 求直线AB斜率直线PQ斜率 穆童v4bdyGious
答案 （1）∵|MF1F2|2
∴ 轨迹 C 双曲线右半支 c2 2a2
∴a2 b2
∴x2y2161(x>0) ．
（2）设 T(12
设 AB ： y−nk112)
联立 {y−nk112)x2−y2161
∴(16−k12x2+(k12−2k1n)x−14k12−n2+k1n−160
∴x1x2k12−2k1nk12−16
x1x214k12+n2−k1n+16k12−16
|TA|1+k12x1−12)
|TB|1+k12x2−12)
∴|TA|⋅|TB|(1+k12x1−12)(x2−12)(n2k12)k12−16
设 PQ ： y−nk212)
理 |TP|⋅|TQ|(n2k22)k22−16
∵|TA|⋅|TB||TP|⋅|TQ|
∴1+k12k121+k22k22−16 1+17k121+17k22−16
∴k12k22−16 k12k22
∵k1k2
∴k1k20
考点双曲线定义直线圆锥曲线关系直线圆锥曲线综合问题
解析分析（1）根双曲线定义直接求解
（2）利直线双曲线位置关系结合根系数关系弦长公式求解
22已知函数f(x)x（1lnx)
（1）讨f(x)单调性
（2）设ab两相等正数blnaalnbab证明 2<1a1b
∴f＇lnx−1−lnx
∴x∈(01)f＇
x∈(1+∞)f＇
∴f(x) (01) 单调递增 f(x) (1+∞) 单调递减
（2） ba−alnba−b −1a1a+1bln1b1b−1a
1aln1a)1b(1−ln1b)
令 x11a 1bx2
x1x2 f(x)k 两根中 k∈(01) ．
妨令 x1 x2 2−x1
先证 2
h＇f＇(x)+f＇(2−x)
−x−ln(2−x)−ln[x(2−x)]
∵x∈(01)∴x(2−x)∈(01)
∴h＇ 恒成立 ∴h(x)↗
∴h(x)
φ＇ln[x(e−x)] 令 φ＇x0)0
x∈(0x0φ＇(x)>0φ(x)↗
x∈(x0φ＇(x)<0φ(x)↘
x>0 f(x)>0 f(e)0
x→0 φ(0)>0
φ(1)f(1)−f(e−1)>0
∴φ(x)>0 恒成立
∴x1x2
解析分析（1）利导数研究函数单调性求解
（2）根化转化思想等式问题等价转化函数h(x)f(x)f(2x)φxxfex值问题利h＇(x)φ＇x研究函数函数h(x)φx单调性值穆童J0bm4qMpJ9
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