20XX年高考文科数学真题试卷
（北京卷）
选择题
1已知集合A{x||x|<2}B{2012}A ∩ B（ ）
A {01} B {101} C {2012} D {1012}
2复面复数 11−i 轭复数应点位（ ）
A 第象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3执行图示程序框图输出S值（ ）
A 12 B 56 C 76 D 712
4设abcd非零实数adbcabcd成等数列（ ）
A 充分必条件 B 必充分条件 C 充分必条件 D 充分必条件
5十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音例理发展做出重贡献十二均律纯八度音程分成十二份次十三单音第二单音起单音频率前单音频率等 122 第单音频率f第八单音频率（ ）
A 32f B 322f C 1225f D 1227f
6某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
7面坐标系中 AB CD EF GH 圆 x2+y21 四段弧（图）点P中段角 α Ox始边OP终边 tanα
A AB B CD C EF D GH
8设集合A {(xy)|x−y≥1ax+y>4x−ay≤2} （ ）
A 意实数a (21)∈A B 意实数a (21)∉A
C 仅 a<0 时 (21)∉A D 仅a ≤32 时 (21)∉A
二填空题
9设量a（10）b（1m）a⊥（mab）m________
10已知直线l点（10）垂直x轴l抛物线 y24ax 截线段长4抛物线焦点坐标________
11说明a﹥b 1a<1b 假命题组a b值次________
12双曲线 x2a2−y24 1（a﹥0）离心率 52 a________
13xy满足x+1≤ y ≤ 2x2yx值________
14 △ABC 面积 34 （ a2+c2−b2 ）∠C钝角∠B________ ca 取值范围________
三解答题
15设 {an} 等差数列 a1ln2 a2 +a35 ln2
（Ⅰ）求 {an} 通项公式
（Ⅱ）求 ea1 + ea2 +…+ ean
16已知函数 f(x)sin2x+3sinxcosx
（Ⅰ）求 f(x) 正周期
（Ⅱ） f(x) 区间 [−π3m] 值 32 求 m 值
17电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
评率
04
02
015
025
02
01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）机选取1部电影估计部电影没获评概率
（Ⅲ）电影公司增加投资回报拟改变投资策略导致类型电影评率发生变化假设表格中两类电影评率数发生变化类电影评率增加01类电影评率减少01获评电影总部数样中电影总部数值达？（需写出结）
18图四棱锥PABCD中底面ABCD矩形面PAD⊥面ABCD PA⊥PD PAPD E F分AD PB中点
（Ⅰ）求证：PE⊥BC
（Ⅱ）求证：面PAB⊥面PCD
（Ⅲ）求证：EF∥面PCD
19设函数 f(x)[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex
（Ⅰ）曲线 yf(x) 点 (2f(2)) 处切线斜率0求a
（Ⅱ） f(x) x1 处取极值求a取值范围
20已知椭圆 Mx2a2+y2b21(a>b>0) 离心率 63 焦距2 2 斜率k直线l椭圆M两交点A B
（Ⅰ）求椭圆M方程
（Ⅱ） k1 求 |AB| 值
（Ⅲ）设 P(−20) 直线PA椭圆M交点C 直线PB椭圆M交点DCD点 Q(−7414) 线求k
答案解析部分
选择题
1答案 A
考点交集运算
解析解答解：A {x|−2∴ A∩B{01}
答案：A
分析先解集合A中绝值等式B取交集
2答案 D
考点复数基概念复数代数形式混合运算
解析解答解： 11−i1+i(1−i)(1+i)1+i212+12i 轭复数 12−12i 第四象限
答案：D
分析先化简复数 11−i 求轭复数
3答案 B
考点循环结构程序框图
解析解答解：k1S1
S1+(1)1 ⋅ 12 1 12
k2S1 12 + 13
k3S1 12 + 13 56
答案：B
分析程序框图先算S算k3止
4答案 B
考点必条件充分条件充条件判断等数列性质
解析解答解：adbc ⇒ abcd成等数列例：a4d9bc6
abcd成等数列 ⇒ adbc等数列性质
答案B
分析举反例说明成立等数列性质证明反着成立
5答案 D
考点等数列等数列通项公式
解析解答解：题意知单音构成f首项 122 公等数列第八 f⋅(122)8−1f⋅1227
答案：D
分析理解等数列含义单音构成等数列通项公式第八项
6答案 C
考点直线面垂直判定
解析解答图示PA ⊥ 面ABCD
Rt △ PABRt △ PADRt △ PBC
PD 22 CD 5 PC3满足勾股定理
侧面3
答案：C
分析三视图PA ⊥ 面ABCDPA ⊥ 面PAB三直角三角形 △ PCD满足勾股定理3
7答案 C
考点三角函数值符号单位圆三角函数线
解析解答解：0< α < π2 时sin α < α0cos α <0排D
答案：C
分析三角函数线：锐角时sin α < α8答案 D
考点集合包含关系判断应
解析解答解：（21） ∈ A时21 ≥ 1合第等式2a+1>4 ⇒ a> 32
2a ≤ 2 ⇒ a ≥ 0时a> 32 A错B错
（21） ∉ A时 a≤32
答案：D
分析讨（21） ∈ A排法
二填空题
9答案 1
考点面量坐标运算数量积判断两面量垂直关系
解析解答解：m a b （m+1m） a (10)
∴m+10 ⇒ m1
分析解析：先求出m a b 坐标数量积0求出m
10答案 （10）
考点抛物线简单性质直线圆锥曲线关系
解析解答解：x1时y24a ⇒ y ±2a ∴ 4a4
∴a1焦点（10）
分析先根题意求出弦长求焦点
11答案 11
考点命题真假判断应
解析解答a﹥b 1a<1b 假命题a﹥b ⇒ 1a<1b 令a1b1
分析ab异号说明a﹥b 1a<1b 假命题
12答案 4
考点双曲线简单性质
解析解答解：e a2+4a 52 ⇒ a4
分析根双曲线离心率公式代入数定系数法求解
13答案 3
考点简单线性规划
解析解答解：目标函数Z2yx点A时Z值
{y2xyx+1⇒{x1y2
∴ Zmin4−13
答案：3
分析线性约束条件画出行域目标函数点A时Z值
14答案 π3(2+∞)
考点余弦定理应
解析解答解： 12acsinB 34(a2+c2−b2)
34·2accosB ⇒ tanB3 ∴ Bπ3
a2+b2−c2 <0 ⇒ b22
∴ ca∈(2+∞)
分析余弦定理面积公式B钝角余弦定理构造等式
三解答题
15答案 解：（Ⅰ）∵ a1ln2 a2+a35ln2 ⇒ a1+a45ln2 ⇒ a44ln2
∴ a4−a13ln2 anln2+(n−1)ln2nln2
∴ annln2
（Ⅱ） eaneln2n2n
∴ ea1+ea2++ean2⋅2n−12−12n+1−2 n∈N∗
考点等差数列通项公式等数列前n项等差数列等数列综合
解析分析（Ⅰ）等差数列性质求出 an （Ⅱ）等数列求公式求
16答案 解：（Ⅰ）∵ f(x)sin2x+3sinx⋅cosx
1−cos2x2+32sin2x
sin(2x−π6)+12
T 2π2π
∴正周期 π
（Ⅱ）∵ f(x)sin(2x−π6)+12 −23≤x≤m
∴ −5π6≤2x−π6≤2m−π6
sin(2x−π6)1 时 f(x)max32
∴ 2m−π6≥π2+2kπ m≥π3+kπk∈z
∴m值 π3
考点三角函数周期性求法三角函数值
解析分析（Ⅰ）正弦余弦二倍角公式降幂引入辅助角公式化角
（Ⅱ）先求出 2x−π6 范围考虑右端点少
17答案 解：（Ⅰ）设时间A：部电影获评第四类电影 P(A)200×025140+50+300+200+800+510140（Ⅱ）获评电影部数：140×04+50×02+300×015+200×025+800×02×510×01372估计部电影没获评概率：137220000814（Ⅲ）第五类电影评率增加01第二类电影评率减少01获评电影总部数样中电影总部数值达
考点相互独立事件概率法公式古典概型概率计算公式离散型机变量期方差
解析分析（1）古典概型第四类电影部数总部数（2）根表格数求出获评电影部数求出部电影没获评概率（3）增加电影部数减少电影部数少
18答案 证明：（Ⅰ）PAPDPA⊥PD
∴PE垂直AD面PAD⊥面ABCD
∴PE⊥面ABCD
BC ⊂ 面ABCD
∴PE⊥BC
（Ⅱ）AB⊥AD面PAD⊥面ABCD
∴AB⊥面PAD
PD ⊂ 面PAD
∴AB⊥PD（1）PE⊥面ABCD
∴PE⊥AB
∴AB⊥面PAD
AB∥DC面PAB ∩ 面PCDl
∴PD⊥lPD⊥PAPA ∩ lp
∴PD⊥面PABPD ⊂ 面PCD
∴面PAB⊥面PCD
（Ⅲ）取PCPD中点MN链接FMDNMN
FM ∥ 12 BCED ∥ 12 BC
FMDE行四边形
EF∥MNMN ⊂ 面PCDEF∥面PCD
考点空间中直线直线间位置关系直线面行性质面面垂直判定
解析分析（1）线面垂直 ⇒ 线线垂直（2）线线垂直 ⇒ 线面垂直 ⇒ 面面垂直（3）线线垂直 ⇒ 线面垂直
19答案 （Ⅰ） f＇(x)ex[ax2−(a+1)x+1] f′(2)0⇒a12
（Ⅱ） f′(x)ex(ax−1)(x−1) 令 f′(x)0⇒x1a1
a0时 f′(x)ex(1−x) f(x) f(x)(−∞1) 递增 (1+∞) 递减
f(x) x1处极值合题意
a<0时1a<1 f(x) (−∞1) 递增 x∈(1+∞) 递减 f(x) x1处极值合题意
a>0时
a1 f(x) R单调合题意
01 f(x) (−∞1)↗ (11a)↘ 合题意
a>1时 1a<1 f(x) (1a1)↘ (1+∞)↗ 符合题意
a∈(1+∞)
考点利导数研究函数极值利导数研究曲线某点切线方程
解析分析（1）求导根 f′(2)0 求出a（2）a进行分类讨否符合极值
20答案 解：（Ⅰ） C2 eca63⇒a3b21
∴椭圆方程 x23+y21
（Ⅱ）lyx+m A(x1y1)B(x2y2)
{x2+3y23yx+m ⇒4x2+6mx+3m2−30
△48−12m2>0⇒−2x1+x232x1x23m2−34
|AB|2(x1+x2)2−4x1x26−32m2
m0时 |AB|max6
（Ⅲ）设 A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)D(x4y4)
{lpAyk1(x+2)x2+3y23⇒(1+3k12)x2+12k12x+12k1−30
∴ x1x312k12−31+3k12
k1y1x1+2 代入式 x1x3−7x12−12x14x1+7
x3−7x1−124x1+7 y3k1(x3+2)y14x1+7
C(−7x1−124x1+7y14x1+7)
理 D(−7x2−124x2+7y24x2+7)
CD Q(−7414) 线 y3−14x3+74y4−14x4+74
⇒y14x1+7−14−7x1−124x1+7+74y24x2+7−14−7x2−124x2+7+74⇒y2−y1x2−x1k1
考点椭圆标准方程直线圆锥曲线关系直线圆锥曲线综合问题
解析分析（1）利定系数法求ab（2）联立方程组弦长公式求（3）联立方程组均 x1x2 表示 x2y2 表示关系k
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（北京卷）
选择题
1已知集合A{x||x|<2}B{2012}A ∩ B（ ）
A {01} B {101} C {2012} D {1012}
2复面复数 11−i 轭复数应点位（ ）
A 第象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3执行图示程序框图输出S值（ ）
A 12 B 56 C 76 D 712
4设abcd非零实数adbcabcd成等数列（ ）
A 充分必条件 B 必充分条件 C 充分必条件 D 充分必条件
5十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音例理发展做出重贡献十二均律纯八度音程分成十二份次十三单音第二单音起单音频率前单音频率等 122 第单音频率f第八单音频率（ ）
A 32f B 322f C 1225f D 1227f
6某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
7面坐标系中 AB CD EF GH 圆 x2+y21 四段弧（图）点P中段角 α Ox始边OP终边 tanα
A AB B CD C EF D GH
8设集合A {(xy)|x−y≥1ax+y>4x−ay≤2} （ ）
A 意实数a (21)∈A B 意实数a (21)∉A
C 仅 a<0 时 (21)∉A D 仅a ≤32 时 (21)∉A
二填空题
9设量a（10）b（1m）a⊥（mab）m________
10已知直线l点（10）垂直x轴l抛物线 y24ax 截线段长4抛物线焦点坐标________
11说明a﹥b 1a<1b 假命题组a b值次________
12双曲线 x2a2−y24 1（a﹥0）离心率 52 a________
13xy满足x+1≤ y ≤ 2x2yx值________
14 △ABC 面积 34 （ a2+c2−b2 ）∠C钝角∠B________ ca 取值范围________
三解答题
15设 {an} 等差数列 a1ln2 a2 +a35 ln2
（Ⅰ）求 {an} 通项公式
（Ⅱ）求 ea1 + ea2 +…+ ean
16已知函数 f(x)sin2x+3sinxcosx
（Ⅰ）求 f(x) 正周期
（Ⅱ） f(x) 区间 [−π3m] 值 32 求 m 值
17电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
评率
04
02
015
025
02
01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）机选取1部电影估计部电影没获评概率
（Ⅲ）电影公司增加投资回报拟改变投资策略导致类型电影评率发生变化假设表格中两类电影评率数发生变化类电影评率增加01类电影评率减少01获评电影总部数样中电影总部数值达？（需写出结）
18图四棱锥PABCD中底面ABCD矩形面PAD⊥面ABCD PA⊥PD PAPD E F分AD PB中点
（Ⅰ）求证：PE⊥BC
（Ⅱ）求证：面PAB⊥面PCD
（Ⅲ）求证：EF∥面PCD
19设函数 f(x)[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex
（Ⅰ）曲线 yf(x) 点 (2f(2)) 处切线斜率0求a
（Ⅱ） f(x) x1 处取极值求a取值范围
20已知椭圆 Mx2a2+y2b21(a>b>0) 离心率 63 焦距2 2 斜率k直线l椭圆M两交点A B
（Ⅰ）求椭圆M方程
（Ⅱ） k1 求 |AB| 值
（Ⅲ）设 P(−20) 直线PA椭圆M交点C 直线PB椭圆M交点DCD点 Q(−7414) 线求k
答案解析部分
选择题
1答案 A
考点交集运算
解析解答解：A {x|−2
答案：A
分析先解集合A中绝值等式B取交集
2答案 D
考点复数基概念复数代数形式混合运算
解析解答解： 11−i1+i(1−i)(1+i)1+i212+12i 轭复数 12−12i 第四象限
答案：D
分析先化简复数 11−i 求轭复数
3答案 B
考点循环结构程序框图
解析解答解：k1S1
S1+(1)1 ⋅ 12 1 12
k2S1 12 + 13
k3S1 12 + 13 56
答案：B
分析程序框图先算S算k3止
4答案 B
考点必条件充分条件充条件判断等数列性质
解析解答解：adbc ⇒ abcd成等数列例：a4d9bc6
abcd成等数列 ⇒ adbc等数列性质
答案B
分析举反例说明成立等数列性质证明反着成立
5答案 D
考点等数列等数列通项公式
解析解答解：题意知单音构成f首项 122 公等数列第八 f⋅(122)8−1f⋅1227
答案：D
分析理解等数列含义单音构成等数列通项公式第八项
6答案 C
考点直线面垂直判定
解析解答图示PA ⊥ 面ABCD
Rt △ PABRt △ PADRt △ PBC
PD 22 CD 5 PC3满足勾股定理
侧面3
答案：C
分析三视图PA ⊥ 面ABCDPA ⊥ 面PAB三直角三角形 △ PCD满足勾股定理3
7答案 C
考点三角函数值符号单位圆三角函数线
解析解答解：0< α < π2 时sin α < α
答案：C
分析三角函数线：锐角时sin α < α
考点集合包含关系判断应
解析解答解：（21） ∈ A时21 ≥ 1合第等式2a+1>4 ⇒ a> 32
2a ≤ 2 ⇒ a ≥ 0时a> 32 A错B错
（21） ∉ A时 a≤32
答案：D
分析讨（21） ∈ A排法
二填空题
9答案 1
考点面量坐标运算数量积判断两面量垂直关系
解析解答解：m a b （m+1m） a (10)
∴m+10 ⇒ m1
分析解析：先求出m a b 坐标数量积0求出m
10答案 （10）
考点抛物线简单性质直线圆锥曲线关系
解析解答解：x1时y24a ⇒ y ±2a ∴ 4a4
∴a1焦点（10）
分析先根题意求出弦长求焦点
11答案 11
考点命题真假判断应
解析解答a﹥b 1a<1b 假命题a﹥b ⇒ 1a<1b 令a1b1
分析ab异号说明a﹥b 1a<1b 假命题
12答案 4
考点双曲线简单性质
解析解答解：e a2+4a 52 ⇒ a4
分析根双曲线离心率公式代入数定系数法求解
13答案 3
考点简单线性规划
解析解答解：目标函数Z2yx点A时Z值
{y2xyx+1⇒{x1y2
∴ Zmin4−13
答案：3
分析线性约束条件画出行域目标函数点A时Z值
14答案 π3(2+∞)
考点余弦定理应
解析解答解： 12acsinB 34(a2+c2−b2)
34·2accosB ⇒ tanB3 ∴ Bπ3
a2+b2−c2 <0 ⇒ b2
∴ ca∈(2+∞)
分析余弦定理面积公式B钝角余弦定理构造等式
三解答题
15答案 解：（Ⅰ）∵ a1ln2 a2+a35ln2 ⇒ a1+a45ln2 ⇒ a44ln2
∴ a4−a13ln2 anln2+(n−1)ln2nln2
∴ annln2
（Ⅱ） eaneln2n2n
∴ ea1+ea2++ean2⋅2n−12−12n+1−2 n∈N∗
考点等差数列通项公式等数列前n项等差数列等数列综合
解析分析（Ⅰ）等差数列性质求出 an （Ⅱ）等数列求公式求
16答案 解：（Ⅰ）∵ f(x)sin2x+3sinx⋅cosx
1−cos2x2+32sin2x
sin(2x−π6)+12
T 2π2π
∴正周期 π
（Ⅱ）∵ f(x)sin(2x−π6)+12 −23≤x≤m
∴ −5π6≤2x−π6≤2m−π6
sin(2x−π6)1 时 f(x)max32
∴ 2m−π6≥π2+2kπ m≥π3+kπk∈z
∴m值 π3
考点三角函数周期性求法三角函数值
解析分析（Ⅰ）正弦余弦二倍角公式降幂引入辅助角公式化角
（Ⅱ）先求出 2x−π6 范围考虑右端点少
17答案 解：（Ⅰ）设时间A：部电影获评第四类电影 P(A)200×025140+50+300+200+800+510140（Ⅱ）获评电影部数：140×04+50×02+300×015+200×025+800×02×510×01372估计部电影没获评概率：137220000814（Ⅲ）第五类电影评率增加01第二类电影评率减少01获评电影总部数样中电影总部数值达
考点相互独立事件概率法公式古典概型概率计算公式离散型机变量期方差
解析分析（1）古典概型第四类电影部数总部数（2）根表格数求出获评电影部数求出部电影没获评概率（3）增加电影部数减少电影部数少
18答案 证明：（Ⅰ）PAPDPA⊥PD
∴PE垂直AD面PAD⊥面ABCD
∴PE⊥面ABCD
BC ⊂ 面ABCD
∴PE⊥BC
（Ⅱ）AB⊥AD面PAD⊥面ABCD
∴AB⊥面PAD
PD ⊂ 面PAD
∴AB⊥PD（1）PE⊥面ABCD
∴PE⊥AB
∴AB⊥面PAD
AB∥DC面PAB ∩ 面PCDl
∴PD⊥lPD⊥PAPA ∩ lp
∴PD⊥面PABPD ⊂ 面PCD
∴面PAB⊥面PCD
（Ⅲ）取PCPD中点MN链接FMDNMN
FM ∥ 12 BCED ∥ 12 BC
FMDE行四边形
EF∥MNMN ⊂ 面PCDEF∥面PCD
考点空间中直线直线间位置关系直线面行性质面面垂直判定
解析分析（1）线面垂直 ⇒ 线线垂直（2）线线垂直 ⇒ 线面垂直 ⇒ 面面垂直（3）线线垂直 ⇒ 线面垂直
19答案 （Ⅰ） f＇(x)ex[ax2−(a+1)x+1] f′(2)0⇒a12
（Ⅱ） f′(x)ex(ax−1)(x−1) 令 f′(x)0⇒x1a1
a0时 f′(x)ex(1−x) f(x) f(x)(−∞1) 递增 (1+∞) 递减
f(x) x1处极值合题意
a<0时1a<1 f(x) (−∞1) 递增 x∈(1+∞) 递减 f(x) x1处极值合题意
a>0时
a1 f(x) R单调合题意
0
a>1时 1a<1 f(x) (1a1)↘ (1+∞)↗ 符合题意
a∈(1+∞)
考点利导数研究函数极值利导数研究曲线某点切线方程
解析分析（1）求导根 f′(2)0 求出a（2）a进行分类讨否符合极值
20答案 解：（Ⅰ） C2 eca63⇒a3b21
∴椭圆方程 x23+y21
（Ⅱ）lyx+m A(x1y1)B(x2y2)
{x2+3y23yx+m ⇒4x2+6mx+3m2−30
△48−12m2>0⇒−2
|AB|2(x1+x2)2−4x1x26−32m2
m0时 |AB|max6
（Ⅲ）设 A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)D(x4y4)
{lpAyk1(x+2)x2+3y23⇒(1+3k12)x2+12k12x+12k1−30
∴ x1x312k12−31+3k12
k1y1x1+2 代入式 x1x3−7x12−12x14x1+7
x3−7x1−124x1+7 y3k1(x3+2)y14x1+7
C(−7x1−124x1+7y14x1+7)
理 D(−7x2−124x2+7y24x2+7)
CD Q(−7414) 线 y3−14x3+74y4−14x4+74
⇒y14x1+7−14−7x1−124x1+7+74y24x2+7−14−7x2−124x2+7+74⇒y2−y1x2−x1k1
考点椭圆标准方程直线圆锥曲线关系直线圆锥曲线综合问题
解析分析（1）利定系数法求ab（2）联立方程组弦长公式求（3）联立方程组均 x1x2 表示 x2y2 表示关系k
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