新课标Ⅲ：全国统高考数学理科真题试卷解析（2016年）
选择题题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）设集合S{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}T{x|x＞0}S∩T（ ）
A．[23]B．（﹣∞2]∪[3+∞）
C．[3+∞）D．（02]∪[3+∞）
2．（5分）z1+2i（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
3．（5分）已知量（）（）∠ABC（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
4．（5分）某旅游城市游客介绍气温情况绘制年中月均高气温均低气温雷达图图中A点表示十月均高气温约15℃B点表示四月均低气温约5℃面叙述正确（ ）穆童
A．月均低气温0℃
B．七月均温差月均温差
C．三月十月均高气温基相
D．均高气温高20℃月份5
5．（5分）tanαcos2α+2sin2α（ ）
A．B．C．1D．
6．（5分）已知abc（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
7．（5分）执行图程序框图果输入a4b6输出n（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（5分）△ABC中BBC边高等BCcosA等（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
9．（5分）图网格纸正方形边长1粗实线画出某面体三视图该面体表面积（ ）穆童
A．18+36B．54+18C．90D．81
10．（5分）封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V球AB⊥BCAB6BC8AA13V值（ ）穆童
A．4πB．C．6πD．
11．（5分）已知O坐标原点F椭圆C：+1（a＞b＞0）左焦点AB分C左右顶点．PC点PF⊥x轴点A直线l线段PF交点My轴交点E．直线BMOE中点C离心率（ ）穆童
A．B．C．D．
12．（5分）定义规范01数列{an}：{an}2m项中m项0m项1意k≤2ma1a2…ak中0数少1数m4规范01数列（ ）穆童
A．18B．16C．14D．12
二填空题：题4题题5分
13．（5分）xy满足约束条件zx+y值．
14．（5分）函数ysinx﹣cosx图象函数ysinx+cosx图象少右移单位长度．穆童
15．（5分）已知f（x）偶函数x＜0时f（x）ln（﹣x）+3x曲线yf（x）点（1﹣3）处切线方程．穆童
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣0圆x2+y212交AB两点AB分作l垂线x轴交CD两点|AB|2|CD|．穆童
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）已知数列{an}前n项Sn1+λan中λ≠0．
（1）证明{an}等数列求通项公式
（2）S5求λ．
18．（12分）图国2008年2014年生活垃圾害化处理量（单位：亿吨）折线图．
注：年份代码1﹣7分应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）折线图出线性回模型拟合yt关系请相关系数加证明
（Ⅱ）建立y关t回方程（系数精确001）预测2016年国生活垃圾害化处理量．
附注：
参考数：yi932tiyi4017055≈2646．
参考公式：相关系数r
回方程+t中斜率截距二估计公式分：
﹣．
19．（12分）图四棱锥P﹣ABCD中PA⊥底面ABCDAD∥BCABADAC3PABC4M线段AD点AM2MDNPC中点．穆童
（1）证明：MN∥面PAB
（2）求直线AN面PMN成角正弦值．
20．（12分）已知抛物线C：y22x焦点F行x轴两条直线l1l2分交CAB两点交C准线PQ两点．穆童
（Ⅰ）F线段ABRPQ中点证明AR∥FQ
（Ⅱ）△PQF面积△ABF面积两倍求AB中点轨迹方程．
21．（12分）设函数f（x）acos2x+（a﹣1）（cosx+1）中a＞0记|f（x）|值A．穆童
（Ⅰ）求f′（x）
（Ⅱ）求A
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
请考生第2224题中选题做答果做做第题计分[选修41：证明选讲]
22．（10分）图⊙O中中点P弦PCPD分交ABEF两点．
（1）∠PFB2∠PCD求∠PCD
（2）EC垂直分线FD垂直分线交点G证明：OG⊥CD．
[选修44：坐标系参数方程]
23．直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（α参数）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρsin（θ+）2．穆童
（1）写出C1普通方程C2直角坐标方程
（2）设点PC1点QC2求|PQ|值时P直角坐标．
[选修45：等式选讲]
24．已知函数f（x）|2x﹣a|+a．
（1）a2时求等式f（x）≤6解集
（2）设函数g（x）|2x﹣1|x∈R时f（x）+g（x）≥3求a取值范围．
新课标Ⅲ：全国统高考数学理科真题试卷解析（2016年）
参考答案试题解析
选择题题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）设集合S{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}T{x|x＞0}S∩T（ ）
A．[23]B．（﹣∞2]∪[3+∞）C．[3+∞）D．（02]∪[3+∞）
考点1E：交集运算．
专题37：集合思想4O：定义法5J：集合．
分析求出S中等式解集确定出S找出ST交集．
解答解：S中等式解：x≤2x≥3S（﹣∞2]∪[3+∞）
∵T（0+∞）
∴S∩T（02]∪[3+∞）
选：D．
点评题考查交集运算熟练掌握交集定义解题关键．
2．（5分）z1+2i（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
考点A5：复数运算．
专题11：计算题29：规律型35：转化思想5N：数系扩充复数．
分析利复数法运算法化简求解．
解答解：z1+2ii．
选：C．
点评题考查复数代数形式混合运算考查计算力．
3．（5分）已知量（）（）∠ABC（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
考点9S：数量积表示两量夹角．
专题11：计算题41：量法49：综合法5A：面量应．
分析根量坐标便求出值根量夹角余弦公式求出cos∠ABC值根∠ABC范围便出∠ABC值．穆童
解答解：
∴
0°≤∠ABC≤180°
∴∠ABC30°．
选：A．
点评考查量数量积坐标运算根量坐标求量长度方法量夹角余弦公式量夹角范围已知三角函数值求角．穆童
4．（5分）某旅游城市游客介绍气温情况绘制年中月均高气温均低气温雷达图图中A点表示十月均高气温约15℃B点表示四月均低气温约5℃面叙述正确（ ）穆童
A．月均低气温0℃
B．七月均温差月均温差
C．三月十月均高气温基相
D．均高气温高20℃月份5
考点F4：进行简单合情推理．
专题31：数形结合4A：数学模型法5M：推理证明．
分析根均高气温均低气温雷达图进行推理判断．
解答解：A．雷达图知月均低气温0℃正确
B．七月均温差约10°左右月均温差5°左右七月均温差月均温差正确穆童
C．三月十月均高气温基相10°正确
D．均高气温高20℃月份78两月D错误
选：D．
点评题考查推理证明应根均高气温均低气温雷达图利图象法进行判断解决题关键．穆童
5．（5分）tanαcos2α+2sin2α（ ）
A．B．C．1D．
考点GF：三角函数恒等变换化简求值．
专题11：计算题35：转化思想4R：转化法56：三角函数求值．
分析求关系式分母1化（cos2α+sin2α）弦化切答案．
解答解：∵tanα
∴cos2α+2sin2α．
选：A．
点评题考查三角函数化简求值弦化切关键基础题．
6．（5分）已知abc（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
考点4Y：幂函数单调性奇偶性应．
专题35：转化思想4R：转化法51：函数性质应．
分析bc结合幂函数单调性较abc进答案．
解答解：∵a
b
c
综：b＜a＜c
选：A．
点评题考查知识点指数函数单调性幂函数单调性函数图象性质综合应难度中档．
7．（5分）执行图程序框图果输入a4b6输出n（ ）
A．3B．4C．5D．6
考点EF：程序框图．
专题11：计算题27：图表型4B：试验法5K：算法程序框图．
分析模拟执行程序根赋值语句功次写出次循环absn值s20时满足条件s＞16退出循环输出n值4．穆童
解答解：模拟执行程序
a4b6n0s0
执行循环体a2b4a6s6n1
满足条件s＞16执行循环体a﹣2b6a4s10n2
满足条件s＞16执行循环体a2b4a6s16n3
满足条件s＞16执行循环体a﹣2b6a4s20n4
满足条件s＞16退出循环输出n值4．
选：B．
点评题考查循环结构程序框图应正确次写出次循环abs值解题关键属基础题．穆童
8．（5分）△ABC中BBC边高等BCcosA等（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
考点HT：三角形中计算．
专题35：转化思想44：数形结合法58：解三角形．
分析作出图形令∠DACθ题意求cosθsinθ利两角余弦求答案．穆童
解答解：设△ABC中角ABC应边分abcAD⊥BCD令∠DACθ
∵△ABC中BBC边高ADhBCa
∴BDADaCDa
Rt△ADC中cosθsinθ
∴cosAcos（+θ）coscosθ﹣sinsinθ×﹣×﹣．
选：C．
点评题考查解三角形中作出图形令∠DACθ利两角余弦求cosA关键亮点属中档题．穆童
9．（5分）图网格纸正方形边长1粗实线画出某面体三视图该面体表面积（ ）穆童
A．18+36B．54+18C．90D．81
考点L：三视图求面积体积．
专题11：计算题5F：空间位置关系距离5Q：立体．
分析已知中三视图：该体视图底面直四棱柱进答案．
解答解：已知中三视图：该体视图底面直四棱柱
底面面积：3×618
侧面面积：（3×3+3×）×218+18
棱柱表面积：18×2+18+1854+18．
选：B．
点评题考查知识点三视图求体积表面积根已知三视图判断体形状解答关键．
10．（5分）封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V球AB⊥BCAB6BC8AA13V值（ ）穆童
A．4πB．C．6πD．
考点LF：棱柱棱锥棱台体积．
专题11：计算题5F：空间位置关系距离5Q：立体．
分析根已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1切球半径代入球体积公式答案．
解答解：∵AB⊥BCAB6BC8
∴AC10．
三角形ABC切圆半径r2
AA13
直三棱柱ABC﹣A1B1C1切球半径
时V值
选：B．
点评题考查知识点棱柱特征根已知求出球半径解答关键．
11．（5分）已知O坐标原点F椭圆C：+1（a＞b＞0）左焦点AB分C左右顶点．PC点PF⊥x轴点A直线l线段PF交点My轴交点E．直线BMOE中点C离心率（ ）穆童
A．B．C．D．
考点K4：椭圆性质．
专题34：方程思想48：分析法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析题意FAB坐标设出直线AE方程yk（x+a）分令x﹣cx0ME坐标中点坐标公式H坐标运三点线条件：斜率相等结合离心率公式求值．穆童
解答解：题意设F（﹣c0）A（﹣a0）B（a0）
设直线AE方程yk（x+a）
令x﹣cM（﹣ck（a﹣c））令x0E（0ka）
设OE中点HH（0）
BHM三点线kBHkBM
化简a3c
e．
解：△AMF∽△AEO
△BOH∽△BFM
a3c
e．
选：A．
点评题考查椭圆离心率求法注意运椭圆方程性质直线方程运三点线条件：斜率相等考查化简整理运算力属中档题．穆童
12．（5分）定义规范01数列{an}：{an}2m项中m项0m项1意k≤2ma1a2…ak中0数少1数m4规范01数列（ ）穆童
A．18B．16C．14D．12
考点8B：数列应．
专题16：压轴题23：新定义38：应思想4B：试验法．
分析新定义规范01数列偶数项2m项含01数相等首项0末项1m4时数列中四0四1然列举答案．穆童
解答解：题意知规范01数列偶数项2m项含01数相等首项0末项1m4说明数列8项满足条件数列：穆童
00001111 00010111 00011011 00011101 00100111穆童
00101011 00101101 00110101 00110011 01000111穆童
01001011 01001101 01010011 01010101．14．穆童
选：C．
点评题新定义题考查数列应关键题意理解枚举时做重漏压轴题．
二填空题：题4题题5分
13．（5分）xy满足约束条件zx+y值．
考点7C：简单线性规划．
专题59：等式解法应．
分析首先画出面区域然目标函数变形直线斜截式求y轴截距值．
解答解：等式组表示面区域图阴影部分直线D点时z
D（1）
zx+y值1+
答案：．
点评题考查简单线性规划般步骤：①画出面区域②分析目标函数确定求值条件．
14．（5分）函数ysinx﹣cosx图象函数ysinx+cosx图象少右移单位长度．穆童
考点HJ：函数yAsin（ωx+φ）图象变换．
专题33：函数思想4R：转化法57：三角函数图性质．
分析令f（x）sinx+cosx2sin（x+）f（x﹣φ）2sin（x+﹣φ）题意2sin（x+﹣φ）2sin（x﹣）﹣φ2kπ﹣（k∈Z）答案．穆童
解答解：∵yf（x）sinx+cosx2sin（x+）ysinx﹣cosx2sin（x﹣）穆童
∴f（x﹣φ）2sin（x+﹣φ）（φ＞0）
令2sin（x+﹣φ）2sin（x﹣）
﹣φ2kπ﹣（k∈Z）
φ﹣2kπ（k∈Z）
k0时正数φmin
答案：．
点评题考查函数ysinx图象变换yAsin（ωx+φ）（A＞0ω＞0）图象﹣φ2kπ﹣（k∈Z）关键难点属中档题．穆童
15．（5分）已知f（x）偶函数x＜0时f（x）ln（﹣x）+3x曲线yf（x）点（1﹣3）处切线方程 2x+y+10 ．穆童
考点6H：利导数研究曲线某点切线方程．
专题34：方程思想51：函数性质应52：导数概念应．
分析偶函数定义f（﹣x）f（x）x＞0时f（x）lnx﹣3x求出导数求切线斜率点斜式方程切线方程．穆童
解答解：f（x）偶函数f（﹣x）f（x）
x＜0时f（x）ln（﹣x）+3x
x＞0时f（x）lnx﹣3xf′（x）﹣3
f（1）ln1﹣3﹣3f′（1）1﹣3﹣2
曲线yf（x）点（1﹣3）处切线方程y﹣（﹣3）﹣2（x﹣1）
2x+y+10．
答案：2x+y+10．
点评题考查导数运：求切线方程时考查函数奇偶性定义运考查运算力属中档题．穆童
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣0圆x2+y212交AB两点AB分作l垂线x轴交CD两点|AB|2|CD| 4 ．穆童
考点J8：直线圆相交性质．
专题11：计算题35：转化思想49：综合法5B：直线圆．
分析先求出m直线l倾斜角30°利三角函数求出|CD|．
解答解：题意|AB|2∴圆心直线距离d3
∴3
∴m﹣
∴直线l倾斜角30°
∵AB分作l垂线x轴交CD两点
∴|CD|4．
答案：4．
点评题考查直线圆位置关系考查弦长计算考查学生计算力较基础．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）已知数列{an}前n项Sn1+λan中λ≠0．
（1）证明{an}等数列求通项公式
（2）S5求λ．
考点87：等数列性质8H：数列递推式．
专题34：方程思想4R：转化法54：等差数列等数列．
分析（1）根数列通项公式前n项公式间关系进行递推结合等数列定义进行证明求解．
（2）根条件建立方程关系进行求解．
解答解：（1）∵Sn1+λanλ≠0．
∴an≠0．
n≥2时anSn﹣Sn﹣11+λan﹣1﹣λan﹣1λan﹣λan﹣1
（λ﹣1）anλan﹣1
∵λ≠0an≠0．∴λ﹣1≠0．λ≠1
（n≥2）
∴{an}等数列公q
n1时S11+λa1a1
a1
∴an•（）n﹣1．
（2）S5
S51+λ[•（）4]
（）5﹣1﹣
﹣λ﹣1．
点评题考查数列递推关系应根n≥2时anSn﹣Sn﹣1关系进行递推解决题关键．考查学生运算推理力．穆童
18．（12分）图国2008年2014年生活垃圾害化处理量（单位：亿吨）折线图．
注：年份代码1﹣7分应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）折线图出线性回模型拟合yt关系请相关系数加证明
（Ⅱ）建立y关t回方程（系数精确001）预测2016年国生活垃圾害化处理量．
附注：
参考数：yi932tiyi4017055≈2646．
参考公式：相关系数r
回方程+t中斜率截距二估计公式分：
﹣．
考点BK：线性回方程．
专题11：计算题35：转化思想5I：概率统计．
分析（1）折线图出yt间存较强正相关关系已知数代入相关系数方程答案
（2）根已知中数求出回系数回方程2016年应t值9代入预测2016年国生活垃圾害化处理量．穆童
解答解：（1）折线图出yt间存较强正相关关系理：
∵r≈≈≈0993
∵0993＞075
yt间存较强正相关关系
（2）≈≈0103
﹣≈1331﹣0103×4≈092
∴y关t回方程010t+092
2016年应t值9
010×9+092182
预测2016年国生活垃圾害化处理量182亿吨．
点评题考查知识点线性回方程回分析计算量较计算时细心．
19．（12分）图四棱锥P﹣ABCD中PA⊥底面ABCDAD∥BCABADAC3PABC4M线段AD点AM2MDNPC中点．穆童
（1）证明：MN∥面PAB
（2）求直线AN面PMN成角正弦值．
考点LS：直线面行MI：直线面成角．
专题15：综合题35：转化思想44：数形结合法5F：空间位置关系距离5G：空间角．
分析（1）法取PB中点G连接AGNG三角形中位线定理NG∥BCNG已知AM∥BCAMBCNG∥AMNGAM说明四边形AMNG行四边形NM∥AG线面行判定MN∥面PAB穆童
法二证明MN∥面PAB转化证明面NEM∥面PAB△PAC中N作NE⊥AC垂足E连接ME已知PA⊥底面ABCDPA∥NE通求解直角三角形ME∥AB面面行判定面NEM∥面PAB结证穆童
（2）连接CM证CM⊥AD进步面PNM⊥面PAD面PADA作AF⊥PM交PMF连接NF∠ANF直线AN面PMN成角．然求解直角三角形直线AN面PMN成角正弦值．穆童
解答（1）证明：法图取PB中点G连接AGNG
∵NPC中点
∴NG∥BCNG
AMBC4AD∥BC
∴AM∥BCAMBC
NG∥AMNGAM
∴四边形AMNG行四边形NM∥AG
∵AG⊂面PABNM⊄面PAB
∴MN∥面PAB
法二
△PAC中N作NE⊥AC垂足E连接ME
△ABC中已知ABAC3BC4cos∠ACB
∵AD∥BC
∴cossin∠EAM
△EAM中
∵AMAE
余弦定理：EM
∴cos∠AEM
△ABC中cos∠BAC
∴cos∠AEMcos∠BAC∠AEM∠BAC
∴AB∥EMEM∥面PAB．
PA⊥底面ABCDPA⊥ACNE⊥AC
∴NE∥PANE∥面PAB．
∵NE∩EME
∴面NEM∥面PABMN∥面PAB
（2）解：△AMC中AM2AC3cos∠MACCM2AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC．穆童
∴AM2+MC2AC2AM⊥MC
∵PA⊥底面ABCDPA⊂面PAD
∴面ABCD⊥面PAD面ABCD∩面PADAD
∴CM⊥面PAD面PNM⊥面PAD．
面PADA作AF⊥PM交PMF连接NF∠ANF直线AN面PMN成角．
Rt△PAC中NPC中点AN
Rt△PAM中PA•AMPM•AFAF
∴sin．
∴直线AN面PMN成角正弦值．
点评题考查直线面行判定考查直线面成角求法考查数学转化思想方法考查空间想象力计算力中档题．穆童
20．（12分）已知抛物线C：y22x焦点F行x轴两条直线l1l2分交CAB两点交C准线PQ两点．穆童
（Ⅰ）F线段ABRPQ中点证明AR∥FQ
（Ⅱ）△PQF面积△ABF面积两倍求AB中点轨迹方程．
考点J3：轨迹方程K8：抛物线性质．
专题15：综合题35：转化思想49：综合法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析（Ⅰ）连接RFPF利等角余角相等证明∠PRA∠PQF证明AR∥FQ
（Ⅱ）利△PQF面积△ABF面积两倍求出N坐标利点差法求AB中点轨迹方程．
解答（Ⅰ）证明：连接RFPF
APAFBQBFAP∥BQ∠AFP+∠BFQ90°
∴∠PFQ90°
∵RPQ中点
∴RFRPRQ
∴△PAR≌△FAR
∴∠PAR∠FAR∠PRA∠FRA
∵∠BQF+∠BFQ180°﹣∠QBF∠PAF2∠PAR
∴∠FQB∠PAR
∴∠PRA∠PQF
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1y1）B（x2y2）
F（0）准线 x﹣
S△PQF|PQ||y1﹣y2|
设直线ABx轴交点N
∴S△ABF|FN||y1﹣y2|
∵△PQF面积△ABF面积两倍
∴2|FN|1∴xN1N（10）．
设AB中点M（xy）2（x1﹣x2）
∴y2x﹣1．
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选择题题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）设集合S{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}T{x|x＞0}S∩T（ ）
A．[23]B．（﹣∞2]∪[3+∞）
C．[3+∞）D．（02]∪[3+∞）
2．（5分）z1+2i（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
3．（5分）已知量（）（）∠ABC（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
4．（5分）某旅游城市游客介绍气温情况绘制年中月均高气温均低气温雷达图图中A点表示十月均高气温约15℃B点表示四月均低气温约5℃面叙述正确（ ）穆童
A．月均低气温0℃
B．七月均温差月均温差
C．三月十月均高气温基相
D．均高气温高20℃月份5
5．（5分）tanαcos2α+2sin2α（ ）
A．B．C．1D．
6．（5分）已知abc（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
7．（5分）执行图程序框图果输入a4b6输出n（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（5分）△ABC中BBC边高等BCcosA等（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
9．（5分）图网格纸正方形边长1粗实线画出某面体三视图该面体表面积（ ）穆童
A．18+36B．54+18C．90D．81
10．（5分）封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V球AB⊥BCAB6BC8AA13V值（ ）穆童
A．4πB．C．6πD．
11．（5分）已知O坐标原点F椭圆C：+1（a＞b＞0）左焦点AB分C左右顶点．PC点PF⊥x轴点A直线l线段PF交点My轴交点E．直线BMOE中点C离心率（ ）穆童
A．B．C．D．
12．（5分）定义规范01数列{an}：{an}2m项中m项0m项1意k≤2ma1a2…ak中0数少1数m4规范01数列（ ）穆童
A．18B．16C．14D．12
二填空题：题4题题5分
13．（5分）xy满足约束条件zx+y值．
14．（5分）函数ysinx﹣cosx图象函数ysinx+cosx图象少右移单位长度．穆童
15．（5分）已知f（x）偶函数x＜0时f（x）ln（﹣x）+3x曲线yf（x）点（1﹣3）处切线方程．穆童
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣0圆x2+y212交AB两点AB分作l垂线x轴交CD两点|AB|2|CD|．穆童
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）已知数列{an}前n项Sn1+λan中λ≠0．
（1）证明{an}等数列求通项公式
（2）S5求λ．
18．（12分）图国2008年2014年生活垃圾害化处理量（单位：亿吨）折线图．
注：年份代码1﹣7分应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）折线图出线性回模型拟合yt关系请相关系数加证明
（Ⅱ）建立y关t回方程（系数精确001）预测2016年国生活垃圾害化处理量．
附注：
参考数：yi932tiyi4017055≈2646．
参考公式：相关系数r
回方程+t中斜率截距二估计公式分：
﹣．
19．（12分）图四棱锥P﹣ABCD中PA⊥底面ABCDAD∥BCABADAC3PABC4M线段AD点AM2MDNPC中点．穆童
（1）证明：MN∥面PAB
（2）求直线AN面PMN成角正弦值．
20．（12分）已知抛物线C：y22x焦点F行x轴两条直线l1l2分交CAB两点交C准线PQ两点．穆童
（Ⅰ）F线段ABRPQ中点证明AR∥FQ
（Ⅱ）△PQF面积△ABF面积两倍求AB中点轨迹方程．
21．（12分）设函数f（x）acos2x+（a﹣1）（cosx+1）中a＞0记|f（x）|值A．穆童
（Ⅰ）求f′（x）
（Ⅱ）求A
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
请考生第2224题中选题做答果做做第题计分[选修41：证明选讲]
22．（10分）图⊙O中中点P弦PCPD分交ABEF两点．
（1）∠PFB2∠PCD求∠PCD
（2）EC垂直分线FD垂直分线交点G证明：OG⊥CD．
[选修44：坐标系参数方程]
23．直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（α参数）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρsin（θ+）2．穆童
（1）写出C1普通方程C2直角坐标方程
（2）设点PC1点QC2求|PQ|值时P直角坐标．
[选修45：等式选讲]
24．已知函数f（x）|2x﹣a|+a．
（1）a2时求等式f（x）≤6解集
（2）设函数g（x）|2x﹣1|x∈R时f（x）+g（x）≥3求a取值范围．
新课标Ⅲ：全国统高考数学理科真题试卷解析（2016年）
参考答案试题解析
选择题题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）设集合S{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}T{x|x＞0}S∩T（ ）
A．[23]B．（﹣∞2]∪[3+∞）C．[3+∞）D．（02]∪[3+∞）
考点1E：交集运算．
专题37：集合思想4O：定义法5J：集合．
分析求出S中等式解集确定出S找出ST交集．
解答解：S中等式解：x≤2x≥3S（﹣∞2]∪[3+∞）
∵T（0+∞）
∴S∩T（02]∪[3+∞）
选：D．
点评题考查交集运算熟练掌握交集定义解题关键．
2．（5分）z1+2i（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
考点A5：复数运算．
专题11：计算题29：规律型35：转化思想5N：数系扩充复数．
分析利复数法运算法化简求解．
解答解：z1+2ii．
选：C．
点评题考查复数代数形式混合运算考查计算力．
3．（5分）已知量（）（）∠ABC（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
考点9S：数量积表示两量夹角．
专题11：计算题41：量法49：综合法5A：面量应．
分析根量坐标便求出值根量夹角余弦公式求出cos∠ABC值根∠ABC范围便出∠ABC值．穆童
解答解：
∴
0°≤∠ABC≤180°
∴∠ABC30°．
选：A．
点评考查量数量积坐标运算根量坐标求量长度方法量夹角余弦公式量夹角范围已知三角函数值求角．穆童
4．（5分）某旅游城市游客介绍气温情况绘制年中月均高气温均低气温雷达图图中A点表示十月均高气温约15℃B点表示四月均低气温约5℃面叙述正确（ ）穆童
A．月均低气温0℃
B．七月均温差月均温差
C．三月十月均高气温基相
D．均高气温高20℃月份5
考点F4：进行简单合情推理．
专题31：数形结合4A：数学模型法5M：推理证明．
分析根均高气温均低气温雷达图进行推理判断．
解答解：A．雷达图知月均低气温0℃正确
B．七月均温差约10°左右月均温差5°左右七月均温差月均温差正确穆童
C．三月十月均高气温基相10°正确
D．均高气温高20℃月份78两月D错误
选：D．
点评题考查推理证明应根均高气温均低气温雷达图利图象法进行判断解决题关键．穆童
5．（5分）tanαcos2α+2sin2α（ ）
A．B．C．1D．
考点GF：三角函数恒等变换化简求值．
专题11：计算题35：转化思想4R：转化法56：三角函数求值．
分析求关系式分母1化（cos2α+sin2α）弦化切答案．
解答解：∵tanα
∴cos2α+2sin2α．
选：A．
点评题考查三角函数化简求值弦化切关键基础题．
6．（5分）已知abc（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
考点4Y：幂函数单调性奇偶性应．
专题35：转化思想4R：转化法51：函数性质应．
分析bc结合幂函数单调性较abc进答案．
解答解：∵a
b
c
综：b＜a＜c
选：A．
点评题考查知识点指数函数单调性幂函数单调性函数图象性质综合应难度中档．
7．（5分）执行图程序框图果输入a4b6输出n（ ）
A．3B．4C．5D．6
考点EF：程序框图．
专题11：计算题27：图表型4B：试验法5K：算法程序框图．
分析模拟执行程序根赋值语句功次写出次循环absn值s20时满足条件s＞16退出循环输出n值4．穆童
解答解：模拟执行程序
a4b6n0s0
执行循环体a2b4a6s6n1
满足条件s＞16执行循环体a﹣2b6a4s10n2
满足条件s＞16执行循环体a2b4a6s16n3
满足条件s＞16执行循环体a﹣2b6a4s20n4
满足条件s＞16退出循环输出n值4．
选：B．
点评题考查循环结构程序框图应正确次写出次循环abs值解题关键属基础题．穆童
8．（5分）△ABC中BBC边高等BCcosA等（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
考点HT：三角形中计算．
专题35：转化思想44：数形结合法58：解三角形．
分析作出图形令∠DACθ题意求cosθsinθ利两角余弦求答案．穆童
解答解：设△ABC中角ABC应边分abcAD⊥BCD令∠DACθ
∵△ABC中BBC边高ADhBCa
∴BDADaCDa
Rt△ADC中cosθsinθ
∴cosAcos（+θ）coscosθ﹣sinsinθ×﹣×﹣．
选：C．
点评题考查解三角形中作出图形令∠DACθ利两角余弦求cosA关键亮点属中档题．穆童
9．（5分）图网格纸正方形边长1粗实线画出某面体三视图该面体表面积（ ）穆童
A．18+36B．54+18C．90D．81
考点L：三视图求面积体积．
专题11：计算题5F：空间位置关系距离5Q：立体．
分析已知中三视图：该体视图底面直四棱柱进答案．
解答解：已知中三视图：该体视图底面直四棱柱
底面面积：3×618
侧面面积：（3×3+3×）×218+18
棱柱表面积：18×2+18+1854+18．
选：B．
点评题考查知识点三视图求体积表面积根已知三视图判断体形状解答关键．
10．（5分）封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V球AB⊥BCAB6BC8AA13V值（ ）穆童
A．4πB．C．6πD．
考点LF：棱柱棱锥棱台体积．
专题11：计算题5F：空间位置关系距离5Q：立体．
分析根已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1切球半径代入球体积公式答案．
解答解：∵AB⊥BCAB6BC8
∴AC10．
三角形ABC切圆半径r2
AA13
直三棱柱ABC﹣A1B1C1切球半径
时V值
选：B．
点评题考查知识点棱柱特征根已知求出球半径解答关键．
11．（5分）已知O坐标原点F椭圆C：+1（a＞b＞0）左焦点AB分C左右顶点．PC点PF⊥x轴点A直线l线段PF交点My轴交点E．直线BMOE中点C离心率（ ）穆童
A．B．C．D．
考点K4：椭圆性质．
专题34：方程思想48：分析法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析题意FAB坐标设出直线AE方程yk（x+a）分令x﹣cx0ME坐标中点坐标公式H坐标运三点线条件：斜率相等结合离心率公式求值．穆童
解答解：题意设F（﹣c0）A（﹣a0）B（a0）
设直线AE方程yk（x+a）
令x﹣cM（﹣ck（a﹣c））令x0E（0ka）
设OE中点HH（0）
BHM三点线kBHkBM
化简a3c
e．
解：△AMF∽△AEO
△BOH∽△BFM
a3c
e．
选：A．
点评题考查椭圆离心率求法注意运椭圆方程性质直线方程运三点线条件：斜率相等考查化简整理运算力属中档题．穆童
12．（5分）定义规范01数列{an}：{an}2m项中m项0m项1意k≤2ma1a2…ak中0数少1数m4规范01数列（ ）穆童
A．18B．16C．14D．12
考点8B：数列应．
专题16：压轴题23：新定义38：应思想4B：试验法．
分析新定义规范01数列偶数项2m项含01数相等首项0末项1m4时数列中四0四1然列举答案．穆童
解答解：题意知规范01数列偶数项2m项含01数相等首项0末项1m4说明数列8项满足条件数列：穆童
00001111 00010111 00011011 00011101 00100111穆童
00101011 00101101 00110101 00110011 01000111穆童
01001011 01001101 01010011 01010101．14．穆童
选：C．
点评题新定义题考查数列应关键题意理解枚举时做重漏压轴题．
二填空题：题4题题5分
13．（5分）xy满足约束条件zx+y值．
考点7C：简单线性规划．
专题59：等式解法应．
分析首先画出面区域然目标函数变形直线斜截式求y轴截距值．
解答解：等式组表示面区域图阴影部分直线D点时z
D（1）
zx+y值1+
答案：．
点评题考查简单线性规划般步骤：①画出面区域②分析目标函数确定求值条件．
14．（5分）函数ysinx﹣cosx图象函数ysinx+cosx图象少右移单位长度．穆童
考点HJ：函数yAsin（ωx+φ）图象变换．
专题33：函数思想4R：转化法57：三角函数图性质．
分析令f（x）sinx+cosx2sin（x+）f（x﹣φ）2sin（x+﹣φ）题意2sin（x+﹣φ）2sin（x﹣）﹣φ2kπ﹣（k∈Z）答案．穆童
解答解：∵yf（x）sinx+cosx2sin（x+）ysinx﹣cosx2sin（x﹣）穆童
∴f（x﹣φ）2sin（x+﹣φ）（φ＞0）
令2sin（x+﹣φ）2sin（x﹣）
﹣φ2kπ﹣（k∈Z）
φ﹣2kπ（k∈Z）
k0时正数φmin
答案：．
点评题考查函数ysinx图象变换yAsin（ωx+φ）（A＞0ω＞0）图象﹣φ2kπ﹣（k∈Z）关键难点属中档题．穆童
15．（5分）已知f（x）偶函数x＜0时f（x）ln（﹣x）+3x曲线yf（x）点（1﹣3）处切线方程 2x+y+10 ．穆童
考点6H：利导数研究曲线某点切线方程．
专题34：方程思想51：函数性质应52：导数概念应．
分析偶函数定义f（﹣x）f（x）x＞0时f（x）lnx﹣3x求出导数求切线斜率点斜式方程切线方程．穆童
解答解：f（x）偶函数f（﹣x）f（x）
x＜0时f（x）ln（﹣x）+3x
x＞0时f（x）lnx﹣3xf′（x）﹣3
f（1）ln1﹣3﹣3f′（1）1﹣3﹣2
曲线yf（x）点（1﹣3）处切线方程y﹣（﹣3）﹣2（x﹣1）
2x+y+10．
答案：2x+y+10．
点评题考查导数运：求切线方程时考查函数奇偶性定义运考查运算力属中档题．穆童
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣0圆x2+y212交AB两点AB分作l垂线x轴交CD两点|AB|2|CD| 4 ．穆童
考点J8：直线圆相交性质．
专题11：计算题35：转化思想49：综合法5B：直线圆．
分析先求出m直线l倾斜角30°利三角函数求出|CD|．
解答解：题意|AB|2∴圆心直线距离d3
∴3
∴m﹣
∴直线l倾斜角30°
∵AB分作l垂线x轴交CD两点
∴|CD|4．
答案：4．
点评题考查直线圆位置关系考查弦长计算考查学生计算力较基础．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）已知数列{an}前n项Sn1+λan中λ≠0．
（1）证明{an}等数列求通项公式
（2）S5求λ．
考点87：等数列性质8H：数列递推式．
专题34：方程思想4R：转化法54：等差数列等数列．
分析（1）根数列通项公式前n项公式间关系进行递推结合等数列定义进行证明求解．
（2）根条件建立方程关系进行求解．
解答解：（1）∵Sn1+λanλ≠0．
∴an≠0．
n≥2时anSn﹣Sn﹣11+λan﹣1﹣λan﹣1λan﹣λan﹣1
（λ﹣1）anλan﹣1
∵λ≠0an≠0．∴λ﹣1≠0．λ≠1
（n≥2）
∴{an}等数列公q
n1时S11+λa1a1
a1
∴an•（）n﹣1．
（2）S5
S51+λ[•（）4]
（）5﹣1﹣
﹣λ﹣1．
点评题考查数列递推关系应根n≥2时anSn﹣Sn﹣1关系进行递推解决题关键．考查学生运算推理力．穆童
18．（12分）图国2008年2014年生活垃圾害化处理量（单位：亿吨）折线图．
注：年份代码1﹣7分应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）折线图出线性回模型拟合yt关系请相关系数加证明
（Ⅱ）建立y关t回方程（系数精确001）预测2016年国生活垃圾害化处理量．
附注：
参考数：yi932tiyi4017055≈2646．
参考公式：相关系数r
回方程+t中斜率截距二估计公式分：
﹣．
考点BK：线性回方程．
专题11：计算题35：转化思想5I：概率统计．
分析（1）折线图出yt间存较强正相关关系已知数代入相关系数方程答案
（2）根已知中数求出回系数回方程2016年应t值9代入预测2016年国生活垃圾害化处理量．穆童
解答解：（1）折线图出yt间存较强正相关关系理：
∵r≈≈≈0993
∵0993＞075
yt间存较强正相关关系
（2）≈≈0103
﹣≈1331﹣0103×4≈092
∴y关t回方程010t+092
2016年应t值9
010×9+092182
预测2016年国生活垃圾害化处理量182亿吨．
点评题考查知识点线性回方程回分析计算量较计算时细心．
19．（12分）图四棱锥P﹣ABCD中PA⊥底面ABCDAD∥BCABADAC3PABC4M线段AD点AM2MDNPC中点．穆童
（1）证明：MN∥面PAB
（2）求直线AN面PMN成角正弦值．
考点LS：直线面行MI：直线面成角．
专题15：综合题35：转化思想44：数形结合法5F：空间位置关系距离5G：空间角．
分析（1）法取PB中点G连接AGNG三角形中位线定理NG∥BCNG已知AM∥BCAMBCNG∥AMNGAM说明四边形AMNG行四边形NM∥AG线面行判定MN∥面PAB穆童
法二证明MN∥面PAB转化证明面NEM∥面PAB△PAC中N作NE⊥AC垂足E连接ME已知PA⊥底面ABCDPA∥NE通求解直角三角形ME∥AB面面行判定面NEM∥面PAB结证穆童
（2）连接CM证CM⊥AD进步面PNM⊥面PAD面PADA作AF⊥PM交PMF连接NF∠ANF直线AN面PMN成角．然求解直角三角形直线AN面PMN成角正弦值．穆童
解答（1）证明：法图取PB中点G连接AGNG
∵NPC中点
∴NG∥BCNG
AMBC4AD∥BC
∴AM∥BCAMBC
NG∥AMNGAM
∴四边形AMNG行四边形NM∥AG
∵AG⊂面PABNM⊄面PAB
∴MN∥面PAB
法二
△PAC中N作NE⊥AC垂足E连接ME
△ABC中已知ABAC3BC4cos∠ACB
∵AD∥BC
∴cossin∠EAM
△EAM中
∵AMAE
余弦定理：EM
∴cos∠AEM
△ABC中cos∠BAC
∴cos∠AEMcos∠BAC∠AEM∠BAC
∴AB∥EMEM∥面PAB．
PA⊥底面ABCDPA⊥ACNE⊥AC
∴NE∥PANE∥面PAB．
∵NE∩EME
∴面NEM∥面PABMN∥面PAB
（2）解：△AMC中AM2AC3cos∠MACCM2AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC．穆童
∴AM2+MC2AC2AM⊥MC
∵PA⊥底面ABCDPA⊂面PAD
∴面ABCD⊥面PAD面ABCD∩面PADAD
∴CM⊥面PAD面PNM⊥面PAD．
面PADA作AF⊥PM交PMF连接NF∠ANF直线AN面PMN成角．
Rt△PAC中NPC中点AN
Rt△PAM中PA•AMPM•AFAF
∴sin．
∴直线AN面PMN成角正弦值．
点评题考查直线面行判定考查直线面成角求法考查数学转化思想方法考查空间想象力计算力中档题．穆童
20．（12分）已知抛物线C：y22x焦点F行x轴两条直线l1l2分交CAB两点交C准线PQ两点．穆童
（Ⅰ）F线段ABRPQ中点证明AR∥FQ
（Ⅱ）△PQF面积△ABF面积两倍求AB中点轨迹方程．
考点J3：轨迹方程K8：抛物线性质．
专题15：综合题35：转化思想49：综合法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析（Ⅰ）连接RFPF利等角余角相等证明∠PRA∠PQF证明AR∥FQ
（Ⅱ）利△PQF面积△ABF面积两倍求出N坐标利点差法求AB中点轨迹方程．
解答（Ⅰ）证明：连接RFPF
APAFBQBFAP∥BQ∠AFP+∠BFQ90°
∴∠PFQ90°
∵RPQ中点
∴RFRPRQ
∴△PAR≌△FAR
∴∠PAR∠FAR∠PRA∠FRA
∵∠BQF+∠BFQ180°﹣∠QBF∠PAF2∠PAR
∴∠FQB∠PAR
∴∠PRA∠PQF
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1y1）B（x2y2）
F（0）准线 x﹣
S△PQF|PQ||y1﹣y2|
设直线ABx轴交点N
∴S△ABF|FN||y1﹣y2|
∵△PQF面积△ABF面积两倍
∴2|FN|1∴xN1N（10）．
设AB中点M（xy）2（x1﹣x2）
∴y2x﹣1．
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