§3 特殊体外接球计算
底面正三角形三棱锥（柱）
①（高底边长）
底面等腰直角三角形三棱锥（柱）
②（高底面短边长）
底面等腰三角形（30°30°
120°）三棱锥（柱）
③（高底面短边长）
底面直角三角形（30°60°90°
三棱锥（柱）
④（高底面短边长）
底面矩形四棱锥（柱）
⑤（底面短长宽）
底面般直角三角形三棱锥（柱）
⑥（底面两直角边）
秒杀知识点
球接
体
条侧棱垂
直底面
侧棱两两垂直三棱锥
⑦（三侧棱长）
棱两两相等三棱锥
⑧（三棱长）
正三棱锥
⑨（高底面边长）
正四棱锥
⑩（高底面边长）
特殊球接三棱锥正四棱锥
秒杀思路分析
记忆方法：（1）第类体均三棱柱等腰直角三角形矩形．
（2）第二类体两两垂直两两等．正三棱锥3→6正四棱锥2→4．
秒杀思路分析
里出种特殊体高考中出现频率较高类型全部．解题关键判断试题出体属种类型然代入公式速解转化种类型形式试题．
练强化记忆熟练掌握特文科学生做图较困难空间想象力较差学熟记公式更体现秒杀效果．
示例1（2008年浙江卷理14）已知球面四点 球体积 ．
示例2（2013年辽宁卷理10）已知直三棱柱6顶点球球面球半径（ ）
A． B． C． D．
示例3三棱锥中三棱锥外接球表面积 ．
方法
例1（2014年全国纲卷理8文10）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B． C． D．
例2（2018年沈阳郊联体模文11）已知三棱锥顶点球球面球表面积（ ）
A． B． C． D．
秒杀训练
试题1三棱锥中边长正三角形三棱锥外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
试题2三棱柱中侧棱垂直底面三棱柱体积3三棱柱外接球表面积 ．
试题3正三棱锥中分棱中点侧棱正三棱锥外接球表面积 ．
试题4正三棱锥中侧棱底面成角该三棱锥外接球体积（ ）
A． B． C． D．
试题5九章算术中底面直角三角形直三棱柱称堑堵．已知某堑堵三视图图示该堑堵外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
真题回放
试题1（2016年东北三省三校高三联考）三棱柱顶点球面侧棱底面垂直球表面积 ．
试题2（2018年东北三校高三模文10）右图三棱锥三视图三棱锥外接球体积（ ）
A． B． C． D．
试题3（2018年青岛二中高考模拟理15）图网格纸正方形格边长1图中粗线画出某三棱锥三视图该三棱锥外接球表面积 ．
试题4（2018年哈尔滨三中二模文10）已知三棱锥四顶点均某球面该球直径边长4等边三角形三棱锥体积三棱锥外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
试题5（2016年黑龙江预赛）中折成直二面角三棱锥外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
四面体余弦定理
设四面体中面积分 棱二面角分 ：
般：四面体意面面积方等余三面面积方减三面中两面面积夹二面角余弦积两倍．
（利定理解关二面角问题）
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底面正三角形三棱锥（柱）
①（高底边长）
底面等腰直角三角形三棱锥（柱）
②（高底面短边长）
底面等腰三角形（30°30°
120°）三棱锥（柱）
③（高底面短边长）
底面直角三角形（30°60°90°
三棱锥（柱）
④（高底面短边长）
底面矩形四棱锥（柱）
⑤（底面短长宽）
底面般直角三角形三棱锥（柱）
⑥（底面两直角边）
秒杀知识点
球接
体
条侧棱垂
直底面
侧棱两两垂直三棱锥
⑦（三侧棱长）
棱两两相等三棱锥
⑧（三棱长）
正三棱锥
⑨（高底面边长）
正四棱锥
⑩（高底面边长）
特殊球接三棱锥正四棱锥
秒杀思路分析
记忆方法：（1）第类体均三棱柱等腰直角三角形矩形．
（2）第二类体两两垂直两两等．正三棱锥3→6正四棱锥2→4．
秒杀思路分析
里出种特殊体高考中出现频率较高类型全部．解题关键判断试题出体属种类型然代入公式速解转化种类型形式试题．
练强化记忆熟练掌握特文科学生做图较困难空间想象力较差学熟记公式更体现秒杀效果．
示例1（2008年浙江卷理14）已知球面四点 球体积 ．
示例2（2013年辽宁卷理10）已知直三棱柱6顶点球球面球半径（ ）
A． B． C． D．
示例3三棱锥中三棱锥外接球表面积 ．
方法
例1（2014年全国纲卷理8文10）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B． C． D．
例2（2018年沈阳郊联体模文11）已知三棱锥顶点球球面球表面积（ ）
A． B． C． D．
秒杀训练
试题1三棱锥中边长正三角形三棱锥外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
试题2三棱柱中侧棱垂直底面三棱柱体积3三棱柱外接球表面积 ．
试题3正三棱锥中分棱中点侧棱正三棱锥外接球表面积 ．
试题4正三棱锥中侧棱底面成角该三棱锥外接球体积（ ）
A． B． C． D．
试题5九章算术中底面直角三角形直三棱柱称堑堵．已知某堑堵三视图图示该堑堵外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
真题回放
试题1（2016年东北三省三校高三联考）三棱柱顶点球面侧棱底面垂直球表面积 ．
试题2（2018年东北三校高三模文10）右图三棱锥三视图三棱锥外接球体积（ ）
A． B． C． D．
试题3（2018年青岛二中高考模拟理15）图网格纸正方形格边长1图中粗线画出某三棱锥三视图该三棱锥外接球表面积 ．
试题4（2018年哈尔滨三中二模文10）已知三棱锥四顶点均某球面该球直径边长4等边三角形三棱锥体积三棱锥外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
试题5（2016年黑龙江预赛）中折成直二面角三棱锥外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
四面体余弦定理
设四面体中面积分 棱二面角分 ：
般：四面体意面面积方等余三面面积方减三面中两面面积夹二面角余弦积两倍．
（利定理解关二面角问题）
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