新中考培优竞赛专题典讲义
第1讲 角分线
1角分线性质定理：角分线点角两边距离相等
定理数学表示：图已知OE∠AOB分线FOE点CFOA点CDFOB点DCF DF
逆定理：角两边距离相等点角角分线
角分线简单分角外结合条件般产生三种常见模型
模型讲解
模型1BD分∠ABCDCBC
理：角分线性质
结：△DCB2△DEB
模型2BD分∠ABCCDBD
理：等腰三角形三线合
结：△BDC≌△BDE
模型3BD分∠ABCADBC
理：行线性质
结：△ABD等腰三角形
例题讲解
例题1图示四边形ABCD中DCAB∠DAB 90°ACBCAC BC∠ABC分线交ADAC点EF值___________
分析求值般说会直接BFEF求出需转化点F作FGAB时转化会出现模型1辅助线思路值试
解答解：图作FGAB点G
∠DAB90°FGAD
ACBC∠ACB 90°
BF分∠ABCFG FC
Rt△BGFRt△BCF中
△BGF≌△BCF（HL）BC BG
AC BC∠CBA 45°AB BC
例题2图D△ABCBC边中点AE分∠BACAECE点EAB 10AC 16DE长度________
分析AE分∠BACAEEC套模型2解决该题
解答解：图延长CEAB交点F
AE分∠BACAEEC
∠FAE ∠CAE∠AEF ∠AEC 90°
△AFE△ACE中
△AFE ≌ACE（ASA）
AF AC 16EF EC
BF 6
DBC中点BD CD
DE△CBF中位线
DE BF 3
答案：3
例题3图示△ABC中BC 6EF分ABAC中点动点P射线EFBP交CED∠CBP分线交CEQCQ CE时EP+BP ________
分析里出现角分线行应该想模型3构造出等腰三角形结合相似模型解出答案
解答解：图延长BQ交射线EF点M
EF分ABAC中点
EFBC
∠CBM ∠EMB
BM分∠ABC∠ABM ∠CBM
∠EMB ∠EBMEB EM
EP +BP EP +PM EM
CQ CEEQ 2CQ
EFBC△EMQ∽△CBQ
巩固练
1图∠AOB意角边OAOB分取OM ON移动角尺角尺两边相刻度分MN重合角尺顶点C射线OC便∠AOB分线OC做法三角形全等判定定方法（ ）
ASAS BSSS CASA DHL
（第1题） （第3题） （第4题）
2三角形中三边距离相等点（ ）
A三条边垂直分线交点 B三条高交点
C三条中线交点 D三条角分线交点
3图四边形ABCD行四边形BE分∠ABCCF分∠BCDBECF交GEF AD行四边形ABCD应满足条件（ ）
A∠ABC 60° BABBC 1：4 CABBC 5：2 DABBC 5：8
4图△ABC周长26点DE边BC∠ABC分线垂直AE垂足Q∠ACB分线垂直AD垂足PBC 10PQ长（ ）
A B C3 D4
5图△ABC中∠C 90°AC BCAD分∠BAC交BC点DDEAB点E△BDE周长5cmAB长
（第5题） （第6题） （第7题）
6图已知OBOC△ABC角分线DE∥BC交ABACDE△ADE周长15BC长7△ABC周长
7图△ABC中点DBCBM分∠ABDBMADNAC中点连接MNAB 5BC 8MN
8图△ABC中AD中线AE角分线CFAEFAB 5AC 2DF长
（第8题） （第9题） （第10题）
9图已知∠BAC分线BC垂直分线相交点DDEABDFAC垂足分EFAB 6AC 3BE
10图示四边形ABCD中AD∥BCCE∠BCD分线CEABE垂足BE 2AE四边形AECD面积1四边形ABCD面积
11图O接四边形ABCD中AB 3AD 5∠BAD 60°点C弧BD中点AC长
（第11题） （第12题）
12已知：图ADBE分△ABC中线角分线ADBEAD BE 6AC长等
13弧BC弦BC折叠交直径AB点DAD 8DB 10BC长
（第13题）
14图FGOA两点MNOB两点FG MNS△PFG S△PMN试问点P否∠AOB分线？
15已知：△ABC中∠B分线外角∠ACE分线相交DDGBC交ACF交ABG求证：GF BGCF
16四边形ABCD中∠ABC钝角∠ABC+∠ADC 180°角线AC分∠BAD
（1）求证：BC CD
（2）AB +AD AC求∠BCD度数
17图△ABC中DEF分三边中点G点边AB△BDG四边形ACDG周长相等设BC aAC bAB c
（1）求线段BG长
（2）求证：DG分∠EDF
18图BAMN垂足ABA 4点P射线AN动点（点P点A重合）∠BPC ∠BPABCBP点C作CDMN垂足D设AP xCD长度否着x变化变化？变化请含x代数式表示CD长度变化请求出线段CD长度
19已知：面直角坐标系中四边形OABC顶点分0（00）A（50）B（m2）C（m52）
（1）问：否存样m边BC总存点P∠OPA 90°？存求出m取值范围存请说明理
（2）∠AOC∠OAB分线交点Q边BC时求m值
20行底边直线截等腰三角形两腰四边形称准等腰梯形图1四边形ABCD准等腰梯形中∠B∠C
（1）图1示准等腰梯形ABCD中选择合适顶点引条直线四边形ABCD分割成等腰梯形三角形分割成等腰三角形梯形（画出种示意图）
（2）图2准等腰梯形ABCD中∠B∠CE边BC点ABDEAEDC求证：
（3）行BC直线AD截△PBC四边形ABCD中∠BAD∠ADC分线交点EEBEC请问点E四边形ABCD部时（图3示情形）四边形ABCD准等腰梯形什？点E四边形ABCD部时情况？写出结（必说明理）
参考答案
1 答案：B
2 答案：D
3 答案：D
4 答案：C
5 答案：5cm
6 答案：22
7 答案：15
8 答案：15
9 答案：15
10 答案：
11 答案：
12 答案：
13 答案：
14解：点P分OAOB作垂线
S△PFGPGPES△PMNMNPHFG MN
PHPE
点P∠AOB分线
15证明：BD分∠ABC∠1 ∠2
DFBC∠2 ∠3
∠1∠3BFDF
理：DECE
EF DFDF
EF BFCE
16解(1)图点C作CM⊥AB交AB延长线点M作CN⊥AD垂足N
AC分∠DABCM＝CN
∠ABC +∠ADC＝180°∠MBC +∠ADC＝180°
∠NDC＝∠MBC△NDC△MBC中
BCDC
(2)图延长ABBBB＝AD
AB+AD＝AC∴AB＝AC
(1)知∠ADC＝∠BBC△ADC△BBC中
∴△ADC ≌△EBCAD＝EC
AE＝AC∴AE＝AC＝EC
△ABC等边三角形∴∠CAB＝60°
∴∠BAD＝120°∠BCD＝360°180°120°＝60°
∠BCD＝60°
17解：（1）△BDG四边形ACDG周长相等
∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG
DBC中点
∴BD＝CD
∴BG AC +AG
BG +(AC +AG)AB +AC
∴BG （AB +AC)（b+c)
(2)证明点DF分BCAB中点
∴DF＝ACbBFABc
FG＝BGBF （b+c)c b
∴DFFG
∴∠FDG＝∠FGD
点DE分BCAC中点
∴DB∥AB∴∠EDG＝∠FGD∴∠FDG＝∠BDGDG分∠EDF
18解：CD长度变
理
图延长CBPA记交点点Q
∠BPC ＝∠BPABC⊥BP
∴QB＝BC(等腰三角形三合＂性质)
BA⊥MNCD⊥MM
∴AB∥CD
∴△QAB ∽△△QDC
ABCDQBQC12
∴CD＝2AB＝2×4＝8
CD＝8
19解：(1)存
O(00)A(50)B(m2)C(m52)
∴OA＝BC＝5BC∥OA
OA直径作D直线BC分別交点EF
∠OEA＝∠OFA＝90°图1
作DG⊥EFG连DBDB＝OD＝25DG＝2EGGF
∴DE15
∴E(12)F(42)
∴1≤m≤9时边BC总存样点P∠OPA＝90°
(2)图2
BC＝OA＝5BC∥OA
∴四边形OABC行四边形
∴OC∥AB
∴∠AOC +∠OAB＝180°
OQ分∠AOCAQ分∠OAB
∴∠AOQ＝05∠AOC∠OAQ＝05∠OAB
∴∠AOQ +∠OAQ＝90°
∴∠AQO＝90°
OA直径作D直线BC分別交点EF
∠OEA＝∠OFA＝90°
∴点Q点E点F
QF点时OFAF分∠AOCOAB分线BC∥OA
∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC∠BFA＝∠FAO＝∠FAB∴CF＝OCBF＝AB
OC＝AB
∴CF＝BFFBC中点
F点(42)
时m值65
E点时理求时m值35
综述m值3565
20解：（1）图点D作DEBC交PB点E四边形ABCD分割成等腰梯形BCDE三角形ADE
（2）△ABE△DEC中
（3）作EF⊥ABFEG⊥ADGBH⊥CDH∠BFE＝∠CHE＝90°
AE分∠BADDE分∠ADCEFEGEH
Rt△EFBRt△EHC中BECEEF EH
Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)∠3＝∠4
BECE∠1∠2
∠1+∠3＝∠2+∠4
∠ABC＝∠DCB
四边形ABCDAD截某三角形AD行BC
四边形ABCD准等腰梯形
点E四边形ABCD部时两种情况：
图点EBC边时
理证明△EFB≌△EHC∠B＝∠C四边形ABCD准等腰梯形
点B四边形ABCD外部时四边形ABCD定准等腰梯形
分两种情况：
情况：∠BED角分线线段BC垂直分线重合时四边形ABCD准等腰梯形
情况二：∠BED角分线线段BC垂直分线相交时四边形ABCD准等腰梯形
第2讲 垂直分线
1垂直分线性质定理：线段垂直分线点条线段两端点距离相等
PD线段AB垂直分线必然需连接PAPB构造出等腰△PAB进求解
逆定理：PAPB点PAB垂直分线
例题讲解
例题1图△ABC中点DEF分BCABACBDCFBECDDG⊥EF点GEGFG求证：ABAC
分析知GDEF垂直分线遇见垂直分线必然垂直分线点线段两端点连接
解答解：连接DEDF右图示
△BDE△CFD中
例题2图Rt△ABC中∠C90°点DBC点EABDE∥ACAE5DE2DC3动点P点A出发边AC秒2单位长速度终点C运动设运动时间t秒
（1）线段AC长
（2）线段EA点Q满足EDEQ连接DQPEPE⊥DQ时求出t值
解答
（1）AC6
（2）PE⊥DQ时EDEQ易证PE垂直分DQ
连接PDPQ需PDPQ
知AP2tPC62tCD3EQ2AQ3
Rt△PCD中PD232+（62t）2
Rt△PQF中PQ2
32+（62t）2解
总结遇见垂直分线连接垂直分线点线段两端点必然
方法
PE⊥DQ时易证PE分∠DEA角分线模型三知行+角分线等腰三角形△AEP等腰三角形APAE52t5t
巩固练
1三角形三条边垂直分线交点三角形（ ）
A重心 B心 C外心 D中心
2△AOB部点P点PP1关OA称点PP2关BO称①△OP1P2（ ）
A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D钝角三角形
②∠AOB满足什条件时△OP1P2等边三角形？
3图△ABC中ABAC垂直分线交BCDE
（1）∠BAC100°∠DAE
（2）∠BAC80°∠DAE
（3）∠DAE10°∠BAC
（4）△ABC周长20△ADE周长12AB+AC
（5）ABAC∠BAC120°△ADE种特殊三角形？
4图等边△ABC边长3BOCO分∠ABC∠ACB角分线BOCO垂直分线交BCEFEF长
5图已知等腰△ABCABBC5ACBC边存点P恰线段AB垂直分线BP长
6图示已知AD△ABC角分线DE⊥ABDF⊥AC垂足分EF求证：AD垂直分EF
7△ABC中DBC中点DE⊥BC交∠BAC分线点EEF⊥ABFEG⊥ACG求证：BFCG
8图△ABC中点DBCAD垂直分线EF交BC延长线点F∠FAC∠B求证：AD分∠BAC
9图△ABC中ABACD三角形点△DBC等边三角形
（1）求证：直线AD垂直分BC
（2）AB边AB右侧画等边△ABE连接DE试判断DADBDE三条线段否构成直角三角形？请说明理
10已知二次函数yax2+2ax+c图象x轴分交AB两点（点A点B左侧）y轴交点C顶点PC（02）BC垂直分线点A求二次函数关系式
11图面直角坐标系中直线yx+4x轴交点Ay轴交点B点P点O出发OA秒1单位长速度点A匀速运动达点A立刻原速度AO返回点QA出发AB秒1单位长速度点B匀速运动点PQ运动时DE保持垂直分PQ交PQ点D交折线QBBOOP点E点PQ时出发点Q达点B时停止运动点P停止设点PQ运动时间t秒（t>0）
（1）点Q坐标（ ）（含t代数式表示）
（2）t值时直线DE点O
12图1矩形ABCD中AB4BC3点E射线CD动点△BCEBE折叠点C应点F
（1）点F刚落线段AD垂直分线时求线段CE长
（2）点F刚落线段AB垂直分线时求线段CE长
（3）射线AF交线段CD点G时请直接写出CG值
13图二次函数图象x轴相交点A（30）B（10）y轴相交点C（03）点P该图象动点点Q坐标（40）
（1）求该二次函数表达式
（2）OPCQ时求点P坐标
（3）点MN分线段AQCQ点M秒3单位长度速度点A点Q运动时点N秒1单位长度速度点C点Q运动点MN中点达Q点时两点时停止运动设运动时间t秒直线PQ垂直分线段MN时请求出时t值点P坐标
14已知抛物线yax2+bx+c（a<0）x轴交点A（80）B（120）y轴交点C（06）
（1）求该抛物线解析式
（2）点D线段ABADAC动点MA出发线段AB秒1单位长度速度匀速运动时动点N某速度B出发线段BC匀速运动问否存某时刻t（秒）线段MN直线CD垂直分？存请求出时时间t点N运动速度存请说明理
参考答案
1 答案：B
2 答案：①B②∠AOB30°
3 答案：（1）20°（2）20°（3）95°（4）8（5）等边三角形
4 答案：1
5 答案：
6 证明：AD△ABC角分线DE⊥ABDF⊥ACDEDF
Rt△ADERt△ADF中ADADDEDF
Rt△ADE≌R△ADF(HL)
AE＝AFDE＝DF
AD垂直分EF(线段两端点距离相等点定线段垂直分线)
7 证明：图连接BEBC
ED⊥BCDBC中点
BE EC
EF⊥ABEG⊥AGAB分∠FAG
FEEG
△BFERt△CGE中BECEEFEG
Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)
BFCG
8 证明：EFAD垂直分线
AFDF
∠EAF＝∠EDF
∠EAF＝∠FAC+∠CAD∠EDF＝∠BAD+∠B
∠FAC＝∠B
∠BAD＝∠CAD
AD分∠BAC
9 答案：(1)△DBC等边三角形DBDCDBC垂直分线
AB＝ACABC垂直分线
直线AD垂直分BC
(2)DADBDE三条线段构成直角三角形
理连接CE
∠ABD＝∠ABE∠DBE60°∠DBE∠DBC∠DBE∠EBC
△EBC△ABD中ABEB∠ABD＝∠EBCDBCB
△EBC≌△ABD（SAS）
∠BCE＝∠ADBAD＝CE
△ADB△ADC中ADADABACDBDC
△ADB≌△ADC（SSS）
∠ADB＝∠ADC
∠ADB＝(360°∠BCD）＝150°
∠BCE＝∠BDA＝150°
∠DCE＝∠BCE∠BCD150°60°90°
CE＝DADC＝DB
DADBDE三条线段构成直角三角形
10 解：BC垂直分线点A
二次函数yax2+2ax+c称轴
设
Rt△AOC中解
时（舍）
时时二次函数解析式
11 答案：（1）
（2）四边形QBED成直角梯形
①0图2DE∥QB时DE⊥PQPQ⊥QB四边形QBED直角梯形
时∠AQP＝90°
△APQ～△ABO
解
图3PQ∥BO时DE⊥PQDE⊥BO四边形QBED直角梯形
时∠APQ＝90°
△AQP~△ABO
解
②3＜t＜5时AQ＝tAP＝t3
图2DB∥QB时DE⊥PQPQ⊥QB四边形QBED直角梯形
时∠AQP＝90°
△APQ~△ABO
解（舍）
图3PQ∥BO时DE⊥PQDE⊥BO四边形QBED直角梯形
时∠APQ＝90°
△AQP~△ABO
解(舍)
综述t＝
(3)t＝时DB点O
理①图4DE点O时
DB垂直分PQEPEQt
PQ运动时间速度相
AQ＝EQ＝EP＝
∠AEQ＝∠EAQ
∠AEQ+∠BEQ＝90°∠EAQ+∠EBQ＝90°
∠BEQ＝∠EBQBQBQEQAQBQAB
②图5PAO运动时点Q作QF⊥OBF
EP＝6tEQ＝EP＝6t
BQ5t
解
DE点O时t＝
12 解：（1）图MN线段AD中垂线作FH⊥CDH
Rt△BFH中
∴
设Rt△EFH中
∴
∴
（2）图MN线段AB中垂线设EFCEx
Rt△BFM中∠BMF＝90°BM＝2BFBC3
∴
MNBC3
∴FN
Rt△EFN中
∴
∴
（3）图欲求CG值求出DG值
∴DG＝ADtan∠GAD∠GAD时DG值
BF＝BCBF定值
∴BF⊥AG时∠BAF值∠DAG值
BF⊥AG时易知点B点G点
设CG＝GF＝x
Rt△ABF中∠AFB＝90°AB＝4BFBC3
∴AF
Rt△ABF中∴
∴CG值4
13 解：（1）设抛物线解析式y＝ax2+bx+c
抛物线点C(03)
∴C＝3
A(30)B(10)代入y＝ax2+bx+3中9a3b+30ab+30
解a1b4
∴抛物线解析式y＝x2+4x+3
（2）设CQ直线方程y＝kx+bC(03)Q(40)带入解CQ直线方程
OP∥CQ
∴直线OP方程y＝
联立y＝解4
∴P坐标（）（43）
（3）点作ND⊥轴点DND∥OC
直线PQ够垂直分线段MNQM＝QNPQ⊥MNPQ分∠AQC
QM＝QN73t＝5t解t1
设P(xx2+4x+3)直线PQ⊥MNP作直线PE⊥x轴垂足E△PEQ~△MDN
∴
∴∴
∴P()（）
14 解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)x轴交点A(80)B(120)
∴设抛物线解析式ya(x8)(x+12)
抛物线点C(06)∴6＝96a解a＝
∴抛物线解析式y(x8)(x+12)
该抛物线解析式y
（2）A(80)C(06)∴AC
∴ADAC10∴点D坐标(20)
B(120)∴BD AD
CD垂直分MNDN＝DM∠NDC＝∠MDC＝∠ACD
∴DN∥AC
∴BNCN
∴DN△ABC中位线DN
∴AMt5
BN＝5VN＝点N运动速度
（3）△PCA＝△PCB
∴ABPC距离相等
∴PC∥AB
∴PC关抛物线y＝称轴x＝2称
C(06)
∴P(46)
∴tan∠PBQ＝tan∠CBA＝
∴∠PBQ＝∠CBA
∴∠PBQ∠CBQ＝∠CBA∠CBQ∠PBQ＝∠CBQ
作PG⊥BCGQH⊥ABH
∴tan∠PBC＝
设点Q坐标(x）
tan∠QBA＝tan∠PBC
∴
解12（舍）
点Q坐标(）
第3讲 模型双子型
模型讲解
双等边类型
△BCD≌△ACE △ABD≌△ACE △BOE∽△COF
双等腰直角类型
△BCD≌△ACE △BCE≌△DCF △ABD∽△ACE
般情况
基条件△ABC∽△EDC连接AEBD△AEC∽△BDC相似AC边BC边
见面种图形中全等情况出现图形中边长相等
例题讲解
例题1(直接双子)图直角坐标系中点A坐标(10)线段OA边第四象限作等边△AOB点Cx正半轴动点(OC＞1)连接BC线段BC边第四象限作等边△CBD直线DA交y轴点E．
(1)△OBC△ABD全等？判断证明结
(2)着点C位置变化点E位置否会发生变化？没变化求出点E坐标变化请说明理．
解：①全等．
理：∵△AOB△CBD等边三角形
∴OB＝AB∠OBA＝∠OAB＝60°BC＝BD∠CBD＝60°
∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC∠OBC＝∠ABD
△OBC△ABD中
∵
∴△OBC≌△ABD（SAS）．
②变．
理：∵△OBC≌△ABD
∴∠BAD＝∠BOC＝60°
∵∠OAB＝60°
∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°
∴Rt△OEA中AE＝2OA＝2
∴OE＝
∴点E位置会发生变化E坐标E（0）．
例题2图△ABC△ADE等腰直角三角形∠BAC＝∠DAE＝90°AB＝AC＝2OAC中点点D直线BC运动连接OE点D运动程中线段OE值（ ）
A． B． C．1 D．
解：设QAB中点连接DQ
∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC
∠BAD＝∠CAE
∵AB＝AC＝2OAC中点
∴AQ＝AO
△AQD△AOE中
∴△AQD≌△AOE（SAS）
∴QD＝OE
∵点D直线BC运动
∴QD⊥BC时QD
∵△ABC等腰直角三角形
∴∠B＝45°
∵QD⊥BC
∴△QBD等腰直角三角形
∴QD＝QB
∵QB＝AB＝1
∴QD＝
∴线段OE值．
选：B．
例题3图1Rt△ABC中∠B＝90°cosC＝点DE分边BCAC中点连接DE△EDC绕点C时针方旋转记旋转角θ．0°≤θ＜360°时变化？请仅图2情况出证明．
（图1） （图2）
0°≤α＜360°时没变化
∵∠ECD＝∠ACB
∴∠ECA＝∠DCB
∵＝＝
∴△ECA∽△DCB
∴＝＝
巩固练
1． 图示已知△ABC△BDE均等边三角形连接ADCE∠BAD＝39°∠ACE＝_______．
2图△ABC等边三角形AB＝2点DBC边动点连接ADAD边右作等边△ADE连接CE
(1)点D点B运动点C程中点E运动路径长_________
2)点D运动程中否存∠DEC＝60°存求出BD长存请说明理
(3)取AC中点P连接PE点D运动程中求PE值
3锐角△ABC中AB＝4BC＝5∠ACB＝45°△ABC绕点B逆时针方旋转．
（1）图1点线段CA延长线时求度数
（2）图2连接．面积4求面积
图1 图2
4提出问题
（1）图1等边△ABC中点MBC意点（含端点BC）连结AMAM边作等边△AMN连结CN．求证：BM＝CN．
类探究
（2）图2等边△ABC中点MBC延长线意点（含端点C）条件变(1)中结BM＝CN成立？请说明理．
拓展延伸
（3）图3等腰△ABC中BA＝BCAB＝6AC＝4点MBC意点（含端点BC）连结AMAM边作等腰△AMN顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BMCN数量关系说明理．
图1 图2 图3
5图正方形ABCDBGFE边长分21正方形BGFE绕点B旋转直线AEGC相交点H．
（1）正方形BGFE绕点B旋转程中∠AHC否始终90°请说明理
（2）连接DHBH正方形BGFE绕点B旋转程中求DH值
备图
6图1已知点A(0－3)x轴动点C(m0)△AOB△BCD等边三角形．
（1）C点运动程中始终两点距离等OC长度请找出说明理．
（2）图2△BCDCD翻折△ECD点Cx轴运动时设点E(xy)请m表示点E坐标求出点E运动时图象解析式．
（3）C点运动程中时直接写出△ABD等腰三角形时E点坐标．
图1 图2
旋转构造双子型
类图特点图形完整补全图形答案解出方法仅仅构造旋转构造旋转互相代常常选旋转解决专题算构造思路解决面转方法读者行尝试图样
例题讲解
例题4．图示四边形ABCD中AD＝3CD＝2∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°BD长_________．
解：作AD′⊥ADAD′＝AD连接CD′DD′图：
∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD
∠BAD＝∠CAD′
△BAD△CAD′中
∴△BAD≌△CAD′（SAS）
∴BD＝CD′∠DAD′＝90°
勾股定理DD′＝＝3∠D′DA＋∠ADC＝90°
勾股定理CD′＝＝
∴BD＝CD′＝．
答案：．
杂说旋转需△ADB绕点A时针旋转90°连接DD证明△ADD等腰直角三角形
例题5图△ABC中∠ABC＝60°AB＝＝8AC腰点A顶点作等腰△ACD∠DAC＝120°BD长________
解：A旋转中心△BAC逆时针旋转120°△EAD连接BE作AP⊥BEP
∠BAE＝120°AB＝AE
∴∠ABE＝∠AEB＝30°
∴BP＝AB•cos∠ABP＝3∠AEB＝90°
∴BE＝2BP＝6
Rt△BED中BD＝＝10
答案：10．
巩固练
1．问题探究
（1）图1锐角△ABC中分ABAC边外作等腰△ABE等腰△ACDAE＝ABAD＝AC∠BAE＝∠CAD连接BDCE试猜想BDCE关系说明理．
深入探究
（2）图2四边形ABCD中AB＝7cmBC＝3cm∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°求BD长．
（3）图3（2）条件△ACD线段AC左侧时求BD长．
图1 图2 图3
2(1)图1已知△ABCABAC边分△ABC外作等边△ABD等边△ACE连接BECD请完成图形（尺规作图写作法保留作图痕迹）证明：BE＝CD
（2）图2利（1）中方法解决问题：四边形ABCD中AD＝3BD＝2∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°求BD长
（3）图3四边形ABCD中∠BAC＝90°∠ADB＝∠ABC＝αtanα＝＝5AD＝12求BD长．
图1 图2 图3
参考答案
1解：∵△ABC△BDE均等边三角形
∴∠ABC＝∠DBE＝60°AB＝BCBE＝BD
∴∠CBD＝60°
∴∠ABD＝∠CBE＝120°
△ABD△CBE中
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴∠AEC＝∠ADB
∵∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝21°
∴∠AEC＝21°∴∠ACE＝99°答案：99°．
2解：
(1)△ABD≌△ACEBDCEE运动路径长D运动路径长BC2
(2)∠DEC＝60°相∠AEC∠ADB120°∠EDC0°时点D点B重合存
(3)∠ACE60°PE⊥CE时取值PEPC×cos60°
3解：（1）旋转性质：∠A1C1B＝∠ACB＝45°BC＝BC1
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°
∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1
∴BA＝BA1BC＝BC1∠ABC＝∠A1BC1
∴∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1
∴∠ABA1＝∠CBC1
∴△ABA1∽△CBC1．
∴
∵S△ABA1＝4
∴S△CBC1＝
4（1）证明：∵△ABC△AMN等边三角形
∴AB＝ACAM＝AN∠BAC＝∠MAN＝60°
∴∠BAM＝∠CAN
∵△BAM△CAN中
∴△BAM≌△CAN（SAS）
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结∠ABC＝∠ACN成立
理：∵△ABC△AMN等边三角形
∴AB＝ACAM＝AN∠BAC＝∠MAN＝60°
∴∠BAM＝∠CAN
∵△BAM△CAN中
∴△BAM≌△CAN（SAS）
∴∠ABC＝∠ACN．
（3）解：∠ABC＝∠ACN
理：∵BA＝BCMA＝MN顶角∠ABC＝∠AMN
∴底角∠BAC＝∠MAN
∴△ABC∽△AMN
∴＝
∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC
∴∠BAM＝∠CAN
∴△BAM∽△CAN
∴∠ABC＝∠ACN．
5解：（1）理：
图旋转知∠ABE＝CBG
正方形ABCDBGFE中
AB＝BCBE＝BG∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°
∴△ABE≌△CBG
∴∠BAE＝∠BCG
记AHBC交点点P
∵∠APB＝∠CPH∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°
∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°
∴∠AHC＝∠ABC＝90°
（2）DH≤DE+EGBD
6解：（1）连接AD图1示．
AD两点间距离始终等OC长度．理：
∵△AOB△BCD等边三角形
∴AB＝OBBD＝BC∠ABO＝∠CBD＝60°
∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD∠OBC＝∠OBD＋∠DBC
∴∠ABD＝∠OBC．
△ABD△OBC中
∴△ABD≌△OBC（SAS）
∴AD＝OC．
（2）D作DF⊥y轴F连接BE图2示．
（1）知△ABD≌△OBC
∴AD＝OC＝m∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°
∴DF＝AD•sin∠DAF＝mAF＝AD•cos∠DAF＝m
∵A（0﹣3）
∴D（mm﹣3）．
∵△BCDCD翻折△ECD△BCD等边三角形
∴四边形BCED菱形
∴BECD互相分．
∵△AOB等边三角形点O（00）点A（0﹣3）
∴点B（﹣）
∴E（m﹣m﹣）．
∵m﹣＝（m﹣）
∴点E图形y＝x运动．
（3）∵点A（0﹣3）点B（﹣）点D（mm﹣3）
∴AB＝3AD＝mBD＝＝
△ABD等腰三角形分三种情况：
①AB＝AD时3＝m
时点E坐标（﹣﹣）
②AB＝BD时3＝
解：m＝0（舍）m＝3
时点E坐标（33）
③AD＝BD时m＝
解：m＝（舍）．
综知：C点运动程中m＞时△ABD等腰三角形时E点坐标（﹣﹣）（33）．
1解：（1）BD＝CE．
理：∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC∠EAC＝∠BAD
△EAC△BAD中
∴△EAC≌△BAD
∴BD＝CE
（2）图2△ABC外部A直角顶点作等腰直角△BAE∠BAE＝90°AE＝AB连接EAEBEC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°
∴AC＝AD∠CAD＝90°
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC∠EAC＝∠BAD
△EAC△BAD中
∴△EAC≌△BAD
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7
∴BE＝＝7∠ABE＝∠AEB＝45°
∵∠ABC＝45°
∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°
∴EC＝＝＝
∴BD＝CE＝．
（3）图3线段AC右侧点A作AE⊥AB点A交BC延长线点E连接BE．
∵AE⊥AB
∴∠BAE＝90°
∵∠ABC＝45°
∴∠E＝∠ABC＝45°
∴AE＝AB＝7BE＝＝7
∵∠ACD＝∠ADC＝45°
∴∠BAE＝∠DAC＝90°
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC∠EAC＝∠BAD
△EAC△BAD中
∴△EAC≌△BAD
∴BD＝CE
∵BC＝3
∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．
2解：（1）图1分点AB圆心AB半径画弧交点D连接ADBD分AC圆心AC半径画弧交点E连接AECE△ABD△ACE求作等边三角形
证明：图1∵△ABD△ACE等边三角形
∴AD＝ABAC＝AE∠DAB＝∠EAC＝60°
∴∠DAC＝∠BAE
∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴BE＝CD
（2）图2A作AE⊥ADAD＝AE＝3连接DECE
勾股定理：DE＝＝3
∴∠EDA＝45°
∵∠ADC＝45°
∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°
∵∠ACB＝∠ABC＝45°
∴∠CAB＝90°
∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC
∠EAC＝∠DAB
∵AE＝ADAC＝AB
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝BD
Rt△DCE中EC＝＝＝
∴BD＝EC＝
（3）图3作直角三角形DAE∠DAE＝90°
∠DEA＝∠ACB连接EC
容易△DAE∽△BAC
∴
∵∠DAE＝∠BAC＝90°
∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC∠EAC＝∠DAB
∴△EAC∽△DAB
∴
△DCE中∠ADC＝∠ACB
∠EDA＝∠ABC
∴∠EDC＝90°
∵AD＝12
∴AE＝9∠DAE＝90°
∴DE＝＝15
CE＝＝5
△EAC∽△DAB
∴
BD＝．
第4讲 模型K字型
模型讲解
直角型 锐角型 钝角型
例题讲解 (直接K字型)
例题1 (1)问题：图1四边形ABCD中点PAB点∠DPC＝∠A＝∠B＝90°求证：AD﹒BC＝AP﹒BP
（2）探究：图2四边形ABCD中点PAB点∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时述结否然成立？说明理．
（3）应：请利(1)(2)获验解决问题：
图3△ABD中AB＝6AD＝BD＝5点P秒1单位长度速度点A出发边AB点B运动满足∠CPD＝∠A设点P运动时间t（秒）DC＝4BC时求t值．
解：（1）图1
图1
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°
∴∠ADP＋∠APD＝90°
∠BPC＋∠APD＝90°
∴∠ADP＝∠BPC
∴△ADP∽△BPC
∴＝
∴AD•BC＝AP•BP
（2）结AD•BC＝AP•BP然成立．
理：图2
图2
∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC∠BPD＝∠A＋∠ADP
∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP．
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ
∴∠BPC＝∠ADP
∴△ADP∽△BPC
∴＝
∴AD•BC＝AP•BP
（3）图3
图3
∵DC＝4BC
∵AD＝BD＝5
∴DC＝4BC＝1
（1）（2）验知AD•BC＝AP•BP
∴5×1＝t（6﹣t）
解：t1＝1t2＝5
∴t值1秒5秒．
例题2图等边△ABC中△ABC着MN折叠点A落边BC点D处
(1)AB＝4△BMD直角三角形时求AM长
(2)BDCD＝13时求AMAN值
解：(1)图1设BM＝kAM＝DM＝k方程k＋k＝4k＝2＋2AM＝2（3－）
理图2求AM＝8－12
(2)图3设BD＝mCD＝3m△BDM△CDN周长相似5：7AM：AN＝DM：DN＝5：7
图1 图2 图3
巩固练
1图已知△ABC△ADE均等边三角形DBCDEAC相交点FAB＝9BD＝3CF等（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2图坐标系中O(00)A（66）B（120）△OAB直线线CD折叠点A恰落线段OB点E处OE＝CE：DE值_________．
3正方形ABCD边长4MN分BCCD两动点M点BC运动时保持AM⊥MN
(1)设BM＝xCN＝y求yx间函数关系式
(2)点MN运动程中求CN值
4．图面直角坐标系中点AC分x轴y轴四边形ABCO矩形AB＝16点D点A关y轴称tan∠ACB＝＝∠CAO点EF分线段ADAC动点（点E点AD重合）∠CEF＝∠ACB．
（1）求AC长点D坐标
（2）证明：△AEF∽△DCE
（3）△EFC等腰三角形时求点E坐标．
5图．等腰直角三角形ABC中∠A＝90°PBC中点明着含45°角透明三角形45°角顶点落点P绕P旋转．
（1）图①：三角板两边分ABAC交EF点时试说明△BPE∽△CFP．
（2）三角板绕点P旋转图②三角板两边分交BA延长线边AC点EF．
探究1：△BPE△CFP．相似？（需写结）
探究2：连接EF△BPE△EFP否相似？请说明理．
图① 图②
6图条抛物线原点点C(80)AB该抛物线两点AB∥x轴OA＝5AB＝2．点E线段OC作∠MEN＝∠AOC∠MEN边始终点A边交线段BC点F连接AF．
（1）求抛物线解析式
（2）点FBC中点时求点E坐标
（3）△AEF等腰三角形时求点E坐标．
7试题现图1Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC直线l点C点AB分作AD⊥l点DBE⊥l点EDE＝AD＋BE(证明）．
（1）类探究图2△ABC中AC＝BC∠ACB＝∠ADC＝∠BEC＝100°述结否成立？成立请说明理：成立请写出认正确结．
（2）拓展延伸①图3△ABC中AC＝nBC∠ACB＝∠ADC＝∠BEC＝100°猜想线段DEADBE间什数量关系？证明猜想．
②图1Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝nBC直线l绕点C旋转定角度斜边AB相交分点AB作直线l垂线垂足分点D点E请备图画出图形直接写出线段DEADBE间满足种数量关系（求写出证明程）．
图1 图2
图3 备图
例题讲解(构造K字型)
基构造方法
例题1图直角坐标系中矩形ABCO边OAx轴边OCy轴点B坐标(48)矩形角线AC翻折B点落D点位置AD交y轴点E点D坐标_______
解：图D作DF⊥x轴F
∵点B坐标（48）
∴AO＝4AB＝8
根折叠知：CD＝OA
∠D＝∠AOE＝90°∠DEC＝∠AEO
∴△CDE≌△AOE
∴OE＝DEOA＝CD＝4
设OE＝xCE＝8﹣xDE＝x
∴Rt△DCE中CE2＝DE2＋CD2
∴（8﹣x）2＝x2＋42
∴x＝3
DF⊥AF
∴DF∥EO
∴△AEO∽△ADF
AD＝AB＝8
∴AE＝CE＝8﹣3＝5
∴＝＝
∴DF＝AF＝
∴OF＝﹣4＝
∴D坐标（﹣）．
答案：（﹣）．
例题2图矩形ABCD中AB＝2AD点A(01)点CD反例函数y＝图象ABx轴正半轴相交点EEAB中点k值_______．
解：图作DF⊥y轴FB点作x轴行线C点垂直x轴直线交GCG交x轴K作BH⊥x轴H
∵四边形ABCD矩形
∴∠BAD＝90°
∴∠DAF＋∠OAE＝90°
∵∠AEO＋∠OAE＝90°
∴∠DAF＝∠AEO
∵AB＝2ADEAB中点
∴AD＝AE
△ADF△EAO中
∴△ADF≌△EAO（AAS）
∴DF＝OA＝1AF＝OE
∴D（1k）
∴AF＝k﹣1
理△AOE≌△BHE△ADF≌△CBG
∴BH＝BG＝DF＝OA＝1EH＝CG＝OE＝AF＝k﹣1
∴OK＝2（k﹣1）＋1＝2k﹣1CK＝k﹣2
∴C（2k﹣1k﹣2）
∴（2k﹣1）（k﹣2）＝1•k
解k1＝k2＝
∵k﹣1＞0
∴k＝
答案：．
例题3图直线a∥b∥cab间距离3bc间距离6abc分等边三角形ABC三顶点三角形边长______________
简解：构造∠BDC∠AEC60°△BCD≌△CAE求AC2
例题4图抛物线y＝坐标轴交ABC三点点M线段BC线段OM绕O点逆时针旋转90°点M应点N恰落第象限抛物线求N点坐标．
简解：A（10）B（30）C（0－3）直线BC：y＝x－3
设M（tt－3）N（3－tt）代入函数关系式求t＝01N（21）
巩固练
1图直线l1∥l2∥l3等腰直角三角形ABC三顶点ABC分l1l2l3∠ACB＝90°AC交l2点D已知l1l2距离1l2l3距离3△ABC面积_____________
2．图边长正方形ABCD顶点Ay轴顶点D反例函数y＝图象已知点B坐标k值（ ）
A． B． C．4 D．6
3图AB＝4射线BMAB互相垂直点DAB动点点E射线BMBE＝作EF⊥DE截取EF＝DE连结AF延长交射线BM点C．设BE＝xBC＝yy关x函数解析式（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
4．图矩形AOBC中点A坐标(－21)点C坐标4BC两点坐标分（ ）
A． B．
C． D．
5．图面直角坐标系中矩形ABCD边AB直线解析式y＝kx＋2顶点CD反例函数y＝图象tan∠ADB＝2．点D坐标_______．
6已知抛物线y＝mx2－3mx－4mx轴交AB两点（点A点B左侧）y轴交点C∠ACB＝90°时
（1）求抛物线解析式
（2）抛物线开口时第象限抛物线点P横坐标a∠BPC＝90°
时求a值
7两条抛物线顶点相称友抛物线抛物线：＝：＝友抛物线．
（1）求抛物线解析式．
（2）点A抛物线第象限动点A作AQ⊥x轴Q垂足求AQ＋OQ值．
（3）设抛物线顶点C点B坐标(－14)问称轴否存点M线段MB绕点M逆时针旋转90°线段MB′点B′恰落抛物线？存求出点M坐标存说明理．
8图面直角坐标系中抛物线x轴交点A（－10）B（30）y轴交点C直线BC解析式y＝kx＋3
（1）求抛物线直线BC解析式
（2）抛物线称轴找点P∠CBP＝90°求P点坐标
（3）点Q第象限抛物线动点∠CQB＝90°时求Q点坐标
9明喜欢探究钻研学生学起研究某条抛物线y＝ax2（a＜0）性质时直角三角板直角顶点置面直角坐标系原点O两直角边该抛物线交AB两点请解答问题：
图1 图2
（1）明测OA＝OB＝4（图1）求a值
（2）条抛物线明三角板绕点O旋转图2示位置时B作BF⊥x轴点F测OF＝2写出时点B坐标求点A横坐标
（3）该抛物线明三角板绕点O旋转意角度时惊奇发现交点AB连线段总固定点试说明理求出该点坐标．
参考答案
1解：图∵△ABC△ADE均等边三角形
∴∠B＝∠BAC＝60°
∴∠BAD＋∠ADB＝120°∠ADB＋∠FDC＝120°
∴∠BAD＝∠FDC
∵∠B＝∠C＝60°∴
∴△ABD～△CDF
∴AB：BD＝CD：CF
9：3＝（9﹣3）：CF
∴CF＝2．
2解：A作AF⊥OBF
∵A（66）B（120）
∴AF＝6OF＝6OB＝12
∴BF＝6
∴OF＝BF
∴AO＝AB
∵tan∠AOB＝
∴∠AOB＝60°
∴△AOB等边三角形
∴∠AOB＝∠ABO＝60°
∵△OAB直线线CD折叠点A恰落线段OB点E处
∴∠CED＝∠OAB＝60°
∴∠OCE＝∠DEB
∴△CEO∽△DBE
∴
设CE＝aCA＝aCO＝12﹣aED＝bAD＝bDB＝12﹣b
∴24b＝60a﹣5ab①
∴36a＝60b﹣5ab②
②﹣①：36a﹣24b＝60b﹣60a
∴＝
CE：DE＝．
答案：．
3解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴∠B＝∠C＝90°
∵AM⊥MN
∴∠AMN＝90°
∴∠AMB＋∠NMC＝90°
∠AMB＋∠BAM＝90°
∴∠BAM＝∠NMC
∴Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN
∴AB：MC＝BM：NC
AB＝4BM＝xMC＝4﹣x
∴4：（4﹣x）＝x：NC
∴NC＝
∴y＝（NC＋AB）•BC
＝（＋4）×4
＝﹣x2＋2x＋8．
4解：（1）题意tan∠ACB＝
∴cos∠ACB＝
∵四边形ABCO矩形AB＝16
∴BC＝＝12AC＝＝20
∴A（﹣120）
∵点D点A关y轴称
∴D（120）
（2）∵点D点A关y轴称
∴∠CDE＝∠CAO
∵∠CEF＝∠ACB∠ACB＝∠CAO
∴∠CDE＝∠CEF
∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠CDE＋∠DCE
∴∠AEF＝∠DCE
∴△AEF∽△DCE
（3）△EFC等腰三角形时三种情况：
①CE＝EF时
∵△AEF∽△DCE
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝CD＝20
∴OE＝AE﹣OA＝20﹣12＝8
∴E（80）
②EF＝FC时点F作FM⊥CEM点MCE中点
∴CE＝2ME＝2EF•cos∠CEF＝2EF•cos∠ACB＝EF
∵△AEF∽△DCE
∴＝＝
∴AE＝
∴DE＝AE﹣OA＝﹣12＝
∴E（0）
③CE＝CF时∠CFE＝∠CEF
∵∠CEF＝∠ACB＝∠CAO
∴∠CFE＝CAO时点E点D重合已知条件矛盾
综述E（80）（0）．
5（1）证明：∵△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°
∴∠BPE＋∠BEP＝135°
∵∠EPF＝45°
∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°
∴∠BPE＋∠CPF＝135°
∴∠BEP＝∠CPF
∵∠B＝∠C
∴△BPE∽△CFP（两角应相等两三角形相似）．
（2）探究1：△BPE△CFP相似
探究2：证明：连接EF△BPE△CFP相似
∵△BPE∽△CFP
∴
∵CP＝BP
∴
∴
∵∠B＝∠EPF
∴△BEP∽△PEF．
6解：（1）图
∵该抛物线原点点C（80）
∴设该抛物线解析式：y＝ax（x﹣8）（a≠0）．
∵点C（80）
∴该抛物线称轴x＝4．
∵AB＝2AB∥x轴
∴设A（3t）B（5t）
∵OA＝5
∴t＝4A（34）B（54）
∴点A坐标代入解析式
4＝3a×（3﹣8）解a＝﹣
∴该抛物线解析式：y＝﹣x（x﹣8）（y＝﹣x2＋x）
（2）∵AB∥x轴
∴根抛物线称性知OA＝CB＝5∠AOC＝∠BCO
∵点FBC中点
∴CF＝．
∵∠MEN＝∠AOC∠AEF＝∠AOC∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠AOC＋∠OAE
∴∠CEF＝∠OAE
∴△AOE∽△ECF
∴＝＝
解OE＝OE＝
E（0）
（3）①AE＝EF时证△AOE≌△ECF．
OA＝CE＝5
∴OE＝3E（30）
②AF＝EF时点F作FK∥AO．
易证△ABF≌△FKE求OE＝E（0）
③AE＝AF时AO取点QEQ＝OE．
易证△ABF≌△EQAEQ＝AB＝2
∴OE＝2．E（20）
综述点E坐标：（30）（0）（20）时△AEF等腰三角形．
7解：（1）类探究猜想DE＝AD＋BE．
理：图2
∵∠ADC＝100°
∴∠DAC＋∠DCA＝80°．
∵∠ACB＝100°
∴∠DCA＋∠ECB＝80°
∴∠DAC＝∠ECB．
△ACD△CBE中
∴△ACD≌△CBE
∴AD＝CECD＝BE
∴DE＝AD＋BE
（2）拓展延伸①猜想：DE＝AD＋nBE．
理：图3
∵∠ADC＝100°
∴∠DAC＋∠DCA＝80°．
∵∠ACB＝100°
∴∠DCA＋∠ECB＝80°
∴∠DAC＝∠ECB．
∵∠ADC＝∠CEB
∴△ADC∽△CEB
∴＝＝＝n
∴CE＝ADCD＝nBE
∴DE＝DC＋CE＝AD＋nBE
②DE＝AD﹣nBEDE＝nBE﹣AD．
提示：①：CE＝ADCD＝nBE．
图4
DE＝CE﹣CD＝AD﹣nBE
图5
DE＝CD﹣DE＝nBE﹣AD．
1简解：构造直角三角形全等BC＝AC＝5
2解：图作DE⊥OAEBF⊥OAF
∵四边形ABCD正方形
∴AD＝AB∠DAB＝90°
∵∠EAD＋∠FAB＝90°∠FAB＋∠ABF＝90°
∴∠EAD＝∠ABF
△ADE△BAF中
∴△ADE≌△BAF
∴AF＝EDAE＝BF
∵B点坐标（）AB＝
∴OF＝AF＝DE＝＝＝1．
∴OE＝4点D坐标（14）
∴k＝4．
选：C．
3解：作FG⊥BCG
∵∠DEB＋∠FEC＝90°∠DEB＋∠BDE＝90°
∴∠BDE＝∠FEG
△DBE△EGF中
∴△DBE≌△EGF
∴EG＝DBFG＝BE＝x
∴EG＝DB＝2BE＝2x
∴GC＝y﹣3x
∵FG⊥BCAB⊥BC
∴FG∥AB
CG：BC＝FG：AB
＝
∴y＝﹣．
选：A．
4解：图点AB作x轴垂线垂足分FM．点C作y轴垂线交FA
∵点A坐标（﹣21）点C坐标4
∴AF＝1FO＝2AE＝3
∵∠EAC＋∠OAF＝90°∠OAF＋∠AOF＝90°
∴∠EAC＝∠AOF
∵∠E＝∠AFO＝90°
∴△AEC∽△OFA
∴
∴EC＝∴点C坐标（﹣4）
∵△AOF≌△BCN△AEC≌△BMO
∴CN＝2BN＝1BM＝MN﹣BN＝3BM＝AE＝3OM＝EC＝
∴点B坐标（3）
5解：点D作DE⊥y轴E点C作CF⊥x轴图示．
∵点AB直线y＝kx＋2分y轴x轴交点
∴A（02）B（﹣0）
∴OA＝2OB＝﹣．
∵四边形ABCD矩形
∴∠A＝90°AD＝BC．
∵tan∠ADB＝2
∴＝2＝2．
∵∠DEA＝∠AOB＝90°∠EAD＝∠ABO＝90°﹣∠OAB
∴△AED∽△BOA
∴＝＝＝
∴ED＝1AE＝﹣
∴点D（12﹣）．
理：点C（1﹣﹣）．
∵点CD反例函数y＝（m＞0）图象
∴1×（2﹣）＝（1﹣）•（﹣）
∴k＝±1．
∵k＜0
∴k＝﹣1
∴点D坐标（13）．
6解：（1）A（－10）B（40）C（0－4m）利AO×BO＝CO2列方程m＝－
(2)构造基图形设P（ab）中b(a23a4)CMb2BNbPN4aNP4a方程a(4a)b(b2)a(4a) (a4)（a+1)(a2+a)a3(103舍)
7解：（1）∵y1＝﹣2x2＋4x＋2＝﹣2（x﹣1）2＋4
∴抛物线C1顶点坐标（14）．
∵抛物线C1C2顶点相
∴＝1﹣1＋m＋n＝4．
解：m＝2n＝3．
∴抛物线C2解析式y2＝﹣x2＋2x＋3．
（2）图1示：
设点A坐标（a﹣a2＋2a＋3）．
∵AQ＝﹣a2＋2a＋3OQ＝a
∴AQ＋OQ＝﹣a2＋2a＋3＋a＝﹣a2＋3a＋3＝﹣（a﹣）2＋．
∴a＝时AQ＋OQ值值．
（3）图2示连接BC点B′作B′D⊥CM垂足D．
∵B（﹣14）C（14）抛物线称轴x＝1
∴BC⊥CMBC＝2．
∵∠BMB′＝90°
∴∠BMC＋∠B′MD＝90°．
∵B′D⊥MC
∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°．
∴∠MB′D＝∠BMC．
△BCM△MDB′中
∴△BCM≌△MDB′．
∴BC＝MDCM＝B′D．
设点M坐标（1a）．B′D＝CM＝4﹣aMD＝CB＝2．
∴点B′坐标（a﹣3a﹣2）．
∴﹣（a﹣3）2＋2（a﹣3）＋3＝a﹣2．
整理：a2﹣7a＋10＝0．
解a＝2a＝5．
a＝2时M坐标（12）
a＝5时M坐标（15）．
综述点M坐标（12）（15）时B′恰落抛物线C2．
8解：
(1)C（03）抛物线y－(x+1)(x－3)－x2+2x+3
(2)直线BCy－x+3取BC中点M（）MP12BC32P（±）
(3)设Q（ab）类似第6题Q
9解：（1）设线段ABy轴交点C抛物线称性CAB中点
∵OA＝OB＝4∠AOB＝90°
∴AC＝OC＝BC＝4
∴B（4﹣4）
B（4﹣4）代入抛物线y＝ax2（a＜0）a＝﹣．
（2）点A作AE⊥x轴点E
∵点B横坐标2
∴B （2﹣1）
设A（﹣m﹣m 2）（m＞0）
OB2＝22＋12＝5OA2＝m2＋m4AB2＝（2＋m）2＋（﹣1＋m2）2
∵∠AOB＝90°
∴AB2＝OA2＋OB2
∴（2＋m）2＋（﹣1＋m2）2＝m2＋m4＋5
解：m＝0（合题意舍）m＝8点A横坐标﹣8．
（3）设A（﹣m﹣m 2）（m＞0）B（n﹣n 2）（n＞0）
设直线AB解析式：y＝kx＋b
①×n＋②×m（m＋n）b＝﹣（m2n＋mn2）＝﹣mn（m＋n）
∴b＝﹣mn
前知OB2＝n2＋n4OA2＝m2＋m4AB2＝（n＋m）2＋（﹣m2＋n2）2
AB2＝OA2＋OB2：n2＋n4＋m2＋m4＝（n＋m）2＋（﹣m2＋n2）2
化简mn＝16．
∴b＝﹣×16＝﹣4．知k值直线AB恒点（0﹣4）．
第5讲 模型母子型
模型讲解
△ACD∽△ABC △ACD∽△BCA∽△BAD
AC2＝AD·AB 射影定理：①AD2＝DB×DC
②BA2＝BD×BC
③CA2＝CD×CB
圆中母子型
圆外点P作引圆两条切线PA圆切线 PB交圆点C
连接OPAB △PAC∽△PBA
OPAB垂直分线
例题讲解
例题1图P线段AB点ADBC交E∠CPD＝∠A＝∠BBC交PDFAD交PCG图中相似三角形（ ）
A1 B2 C3 D4
解：∵∠CPD＝∠B∠C＝∠C
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A∠D＝∠D
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B∠APG＝∠B＋∠C∠BFP＝∠CPD＋∠C
∴∠APG＝∠BFP
∴△APG∽△BFP．
图中相似三角形3
答案：C．
例题2Rt△ABC中∠ACB＝90°C作CD⊥AB垂足D
（1）AD＝1BD＝4求CD长（2）AC＝3BD＝求AB长
总结直角母子型中6条线段已知中意2条求出线段长
答案：（1）△ADC∽△CDB½½CD2＝AD×BD½CD＝2
（2）△ADC∽△BCA½＝½AC2＝AD×AB设AD＝xAB＝x＋
整理：5x2＋16x－45＝0解x＝AB＝5
例题3图△ABC中AC边直径⊙O交BC点D点B作BG⊥AC交⊙O点EH连ADEDECBD＝8DC＝6CE长
解：∵AC⊙O直径
∴∠ADC＝90°
∵BG⊥AC
∴∠BGC＝∠ADC＝90°
∵∠BCG＝∠ACD
∴△ADC∽△BGC
∴＝
∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84
连接AE
∵AC⊙O直径
∴∠AEC＝90°
∴∠AEC＝∠EGC＝90°
∵∠ACE＝∠ECG
∴△CEG∽△CAE
∴＝
∴CE2＝CG×AC＝84
∴CE＝2
例题4图已知⊙O半径2AB直径CD弦ABCD交点M弧CD着CD翻折点A圆心O重合延长OAPAP＝OA连接PC
（1）求证：PC⊙O切线
（2）点G弧ADB中点PC延长线动点Q连接QG交AB点E交弧BC点F（FBC重合）问GE·GF否定值？果求出该定值果请说明理
（1）证明：∵PA＝OA＝2AM＝OM＝1CM＝CD＝∠CMP＝∠OMC＝90°
∴PC＝＝＝2
∵OC＝2PO＝2＋2＝4
∴PC2＋OC2＝（2）2＋22＝16＝PO2
∴∠PCO＝90°
∴PC⊙O切线
（2）解：GE•GF定值证明
连接GO延长交⊙O点H连接HF
∵点G中点
∴∠GOE＝90°
∵∠HFG＝90°∠OGE＝∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴＝
∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．
例题5二次函数y＝ax2＋2ax＋c图象x轴分交AB两点（点A点B左侧）y轴交点C顶点PAB直径圆点C问直线CP该圆位置关系说明理
答案：设A（x10）B（x20）AB中点M（圆心）
x1＋x2＝－2x1x2＝－P（－1c）C（0c）
MA＝MB＝MC＝AB½ac＝1
设圆半径R
R2＝AB2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋＝1＋
易求直线CP：y＝ax＋cax－y＋c＝0设圆心M直线CP距离d
d2＝＝＝＝1＋＝1＋
∵d2＝r2∴d＝rC圆相切
例题6图面直角坐标系xOy中抛物线y＝（x－m）2－m2＋m顶点Ay轴交点B连结ABAC⊥AB交y轴点C延长CA点DAD＝AC连结BD作AE∥x轴DE∥y轴
（1）m＝2时点B坐标
（2）DE长否定值请求出该值请说明理
解：（1）m＝2时y＝（x－2）2＋1
x＝0代入y＝（x－2）2＋1：y＝2
∴点B坐标（02）
（2）延长EA交y轴点F
∵AD＝AC∠AFC＝∠AED＝90°∠CAF＝∠DAE
∴△AFC≌△AED
∴AF＝AE
∵点A（m－m2＋m）点B（0m）
∴AF＝AE＝|m|BF＝m－（－m2＋m）＝m2
∵∠ABF＝90°－∠BAF＝∠DAE∠AFB＝∠DEA＝90°
∴△ABF∽△DAE
∴＝：＝
∴DE＝4．
注：节容身没配巩固练完整节容
第6讲 巧旋转解题
例题讲解
条件中出现邻边相等＋角互补＋半角
例题1图Rt△ABC斜边AC翻折Rt△ADCEF分BCCD边点∠EAF＝∠BAD连结EF试猜想BEEFDF三条线段间数量关系证明结
解析图延长CBQBQ＝DF连接AQ
∵△ABC△ADC关AC称
∴△ABC≌△ADC∴AB＝AD∠ABC＝∠D
∵∠ABC＝90°∴∠ABQ＝∠D＝90°
易证△ADF≌△ABQ（SAS）
∴AQ＝AF∠QAB＝∠DAF
∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF∴∠BAQ＋∠BAE＝∠EAF
∠EAQ＝∠EAF
易证△EAQ≌△EAF（SAS）
∴EF＝EQ＝BE＋BQ＝BE＋DF
二条件中出现邻边相等＋半角
例题2图等边△ABC中点PQ边BC∠PAQ＝30°BP＝2QC＝3△ABC边长
解析△ABP绕点A逆时针旋转60°△ACP＇连接QP＇
易证△AQP≌△AQP＇
∴∠P＇CD＝60°
P＇D作P＇D⊥BC交BC延长线点D
Rt△P＇CD中CD＝1P＇D＝
Rt△P＇QD中计算出QP＇＝
∴PQ＝∴边长5＋
三条件中出现邻边相等＋角互补
例题3图⊙O接四边形ABCD中AB＝3AD＝5∠BAD＝60°点C弧BD中点AC长
解析点C弧BD中点BC＝CD∠BAC＝∠CAD出现邻边相等△ABC绕点C旋转BCCD重合图△ACE等腰三角形顶角∠ACE＝∠BCD＝120°底边长AE＝AD＋DE＝AD＋AB＝3＋5＝8底角30°等腰△ACE中求出AC＝
四仅邻边相等
例题4图等边△ABC中点PPA＝2PB＝4PC＝2
（1）求∠APB度数
（2）求△ABP面积
（3）求△APC面积
（4）求△ABC面积
解析
（1）图△ABC等边三角形
∴AB＝AC∠BAC＝60°
△ABP绕点A逆时针旋转60°△ACQ位置连接PQ
AQ＝AP＝2CQ＝BP＝4
∵∠PAQ＝60°
∴△APQ等边三角形
∴PQ＝PA＝2∠AQP＝60°
△PQC中满足PC2＝PQ2＋CQ2
∴∠PQC＝90°∠AQC＝150°
∴∠APB＝∠AQC＝150°
答案150
（2）（1）知∠APB＝150°图延长BP点A作AD⊥BD交BP延长线点D
∴∠APD＝30°AD＝AP＝
∵S△APB＝BP×AD＝×4×＝2
（3）知S△ABP＋S△APC＝S四边形APCQ
∵S四边形APCQ＝S△APQ＋S△PQC
∴S△ABP＋S△APC＝S△APQ＋S△PQC
∴2＋S△APC＝×（2）2＋×4×2＝7
∴S△APC＝5
（4）Rt△ABD中AD＝BD＝4＋3＝7
∴AB＝＝2
等边三角形面积公式S△ABC＝×（2）2＝13
巩固练
1图△ABC边长3等边三角形△BDC等腰三角形BD＝CD∠BDC＝120°D顶点作60°角角两边分交ABAC边MN连接MN△AMN周长
2图四边形ABCD中∠ABC＋∠ADC＝180°AB＝ADAE⊥BC点EAE＝18BC＝10CD＝6四边形ABCD面积
3已知点P等边△ABC点∠APB＝112°∠APC＝122°APBPCP边长构成三角形构成三角形角度数
4图P正方形ABCD点PC＝3∠APB＝135°△APB绕点B时针旋转90°△CP＇B连接PP＇BP长整数AP＝
5图E正方形ABCD点E点ADB距离EAEDEB分132延长AE交CD点F四边形BCFE面积
6图菱形ABCD中∠A＝60°点EF分ABAD意点（端点重合）AE＝DF连接BFDE相交点G连接CGBD相交点H出结：①△AED≌△DFB②S四边形BCDG＝CG2③AF＝2DFBG＝6GF④CGBD定垂直⑤∠BGE定值中正确结
7五边形ABCDE中AB＝AEBC＋DE＝CD∠ABC＋∠AED＝180°求证：AD分∠CDE
8图AB⊙O直径点C⊙O连接ACBC∠ACB分线交⊙O点D求证：AC＋BC＝CD
9正方形ABCD四顶点⊙OE⊙O点
（1）图1点E弧ABFDE点DF＝BE求证：△ADF≌△ABE
（2）（1）条件明发现线段DEBEAE间满足等量关系：DE－BE＝AE
请说明理
（3）图2点E弧AD写出线段DEBEAE间等量关系（必证明）
10问题背景：
图1：四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝120°∠B＝∠ADC＝90°EF分BCCD点∠EAF＝60°探究图中线段BEEFFD间数量关系
王学探究问题方法延长FD点GDG＝BE连结AG先证明△ABE≌△ADG证明△AEF≌△AGF出结结应
探索延伸：
图2四边形ABCD中AB＝AD∠B＋∠D＝180°EF分BCCD点∠EAF＝∠BAD述结否然成立说明理
实际应：
图3某次军事演中舰艇甲指挥中心（O处）北偏西30°A处舰艇乙指挥中心南偏东70°B处两舰艇指挥中心距离相等接行动指令舰艇甲正东方60海里时速度前进舰艇乙北偏东50°方80海里时速度前进15时指挥中心观测甲乙两舰艇分达EF处两舰艇间夹角70°试求时两舰艇间距离
11图知直线l1∥l245°角顶点Al1A作AD⊥l2垂足DAD＝6角绕顶点A旋转（角两边足够长）
（1）图旋转程中角两边l2分交BCAB＝AC求BD长解决问题面提供种解题思路：图作∠DAP＝45°APl2相交点P点C作CQ⊥AP点Q∠DAP＝∠BAC＝45°∴∠BAD＝∠CAQ请接完成解答
（2）旋转程中角两边l2分交EF（EF左面）AE＞AFDF＝2求DE长请鉴（1）做法备图中画图解答问题
参考答案
1解：∵△BDC等腰三角形∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC边长3等边三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延长ABFBF＝CN连接DF
Rt△BDFRt△CND中BF＝CNDB＝DC
∴△BDF≌△CDN
∴∠BDF＝∠CDNDF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM＋∠CDN＝60°
∴∠BDM＋∠BDF＝60°∠FDM＝60°＝∠MDNDM公边
∴△DMN≌△DMF
∴MN＝MF
∴△AMN周长：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6．
2解：图点A作AF⊥CD交CD延长线F连接AC
∠ADF＋∠ADC＝180°
∵∠ABC＋∠ADC＝180°
∴∠ABC＝∠ADF
易证△ABE≌△ADF（AAS）
∴AF＝AE＝19
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝BC•AE＋CD•AF＝×10×19＋×6×19＝95＋57＝152
答案：152．
3解：图△APC绕点A时针旋转60°△ABE连接PE．
∵AE＝AP∠EAP＝∠BAC＝60°
∴△EAP等边三角形∠EAB＝∠PAC
∴∠AEP＝∠APE＝60°PA＝PE
易证△EAP≌△PAC
∴EB＝PC
∴PAPBPC组成三角形△PEB
∵∠APB＝112°∠APE＝60°
∴∠EPB＝52
∵∠AEB＝∠APC＝122°∠AEP＝62°
∴∠PEB＝66°
∴∠EBP＝180°－∠BEP－∠EPB＝66°．
答案52°62°66°．
4解：∵△BP＇C△BPA旋转
∴∠APB＝∠CP＇B＝135°∠ABP＝∠CBP＇BP＝BP＇AP＝CP＇
∵∠ABP＋∠PBC＝90°
∴∠CBP＇＋∠PBC＝90°∠PBP＇＝90°
∴△BPP＇等腰直角三角形
∴∠BP＇P＝45°
∵∠APB＝∠CP＇B＝135°
∴∠PP＇C＝90°
设BP＝BP＇＝aAP＝CP＇＝b
PP＇＝a
Rt△PP＇C中∵PP＇2＋P＇C2＝PC2PC＝3
∴CP′＝＝
∵BP长a整数
∴满足式a12
a＝1时AP＝CP＇＝
a＝2时AP＝CP＇＝1
答案：1
5解：图△ADE绕点A时针旋转90°△ABM作DN⊥AF垂足N
∵AM＝AE＝1∠MAE＝90°
∴ME＝＝＝
∵BM2＋ME2＝（3）2＋（）2＝20BE2＝（2）2＝20
∴BM2＋ME2＝BE2
∴∠BME＝90°∵∠AME＝∠AEM＝45°
∴AMB＝∠AED＝135°
RT△DEN中∵DE＝3∠DEN＝45°
∴DN＝EN＝3AN＝4
∴AD＝＝＝5
∵∠DAN＝∠DAF∠AND＝∠ADF＝90°
∴△ADN∽△AFD
∴＝
∴＝
∴AF＝NF＝
∵S△ABE＋S△ADE＝S△ABM＋S△ABE＝S△AME＋S△BME＝×1×1＋××3＝
S△EDF＝×（3＋）×3＝
∴S四边形BCFE＝S正方形ABCD－（S△ABE＋S△AED）－S△EFD＝25－－＝
答案
6解：①∵ABCD菱形∴AB＝AD
∵AB＝BD∴△ABD等边三角形
∴∠A＝∠BDF＝60°
∵AE＝DFAD＝BD
∴△AED≌△DFB选项正确
②∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°＝∠BCD
∠BGD＋∠BCD＝180°
∴点BCDG四点圆
∴∠BGC＝∠BDC＝60°∠DGC＝∠DBC＝60°
∴∠BGC＝∠DGC＝60°
点C作CM⊥GBMCN⊥GDN（图1）
△CBM≌△CDN（AAS）
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN
S四边形CMGN＝2S△CMG
∵∠CGM＝60°
∴GM＝CGCM＝CG
∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2选项错误
③点F作FP∥AE交DEP点（图2）
∵AF＝2FD
∴FP：AE＝DF：DA＝1：3
∵AE＝DFAB＝AD
∴BE＝2AE
∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6
∵FP∥AE
∴PF∥BE
∴FG：BG＝FP：BE＝1：6
BG＝6GF选项正确
④点EF分ABAD中点时（图3）
（1）知△ABD△BDC等边三角形
∵点E F分ABAD中点
∴∠BDE＝∠DBG＝30°
∴DG＝BG
易证△GDC≌△BGC
∴∠DCG＝∠BCG
∴CH⊥BDCG⊥BD选项错误
⑤∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°定值
选项正确
综述正确结①③⑤3
选：B．
证明：图连接AC△ABC绕A点旋转120°△AEF
∵AB＝AE∠BAE＝120°
∴ABAE重合AC＝AF
∵∠ABC＋∠AED＝180°
∠ABC＝∠AEF
∵∠AEF＋∠AED＝180°
∴DEF条直线
BC＝EFBC＋DE＝CD
∴CD＝DF
∵AC＝AF
∴△ACD≌△AFD
∴∠ADC＝∠ADF
AD分∠CDE．
8证明：点D作DF⊥CA垂足FCA延长线作DG⊥CB点G连接DADB．
∵CD分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD
∴DF＝DG＝
∴DA＝DB
∵∠AFD＝∠BGD＝90°
易证Rt△AFD≌Rt△BGD（HL）
∴AF＝BG
理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL）
∴CF＝CG
∴AC＋BC＝CF－AF＋AG＋BG＝CF＋CG＝2CF
∵AB直径
∴∠ACB＝90°
∴∠ACD＝45°
∵△CDF等腰直角三角形
∴CF＝CD
∴AC＋BC＝2CF＝CD
9答案：（1）证明：正方形ABCD中AB＝AD
∵∠1∠2
∴∠1＝∠2
易证△ADF≌△ABE（SAS）
（2）（1）△ADF≌△ABE
∴AF＝AE∠3＝∠4
正方形ABCD中∠BAD＝90°
∴∠BAF＋∠3＝90°
∴∠BAF＋∠4＝90°
∴∠EAF＝90°
∴△EAF等腰直角三角形
∴EF2＝AE2＋AF2
∴EF2＝2AE2
∴EF＝AE
DE－DF＝AE
∴DE－BE＝AE
（3）BE－DE＝AE．理：
BE取点FBF＝DE连接AF
易证△ADE≌△ABF
∴AF＝AE∠DAE＝∠BAF
正方形ABCD中∠BAD＝90°
∴∠BAF＋∠DAF＝90°
∴∠DAE＋∠DAF＝90°
∴∠EAF＝90°
∴△EAF等腰直角三角形．
∴EF2＝AE2＋AF2
∴EF2＝2AE2
∴EF＝AE
BE－BF＝AE
∴BE－DE＝AE
10答案：
问题背景：EFBE+FD
探索眼神：成立提示CD延长线截取DGBE图
先证明△ABE≌△ADG证明△AEF≌△AGF出结
实际应：连接EF延长AEBF交点C
∵∠AOB30°+90°+（90°70°）140°∠EOF70°
∴∠EOF∠AOB
∵OAOB
∠OAC+∠OBC（90°30°）+（70°+50°）180°
∴符合探索延伸中条件
∴结EFAE+BF成立
EF15×（60+80）210海里
答：时两舰艇间距离210海里．
11解：（1）∵AD⊥l2CQ⊥AP
∴∠ADB＝∠AQC＝90°
∵AB＝AC
易证△ABD≌△ACQ（AAS）
∴BD＝CQAQ＝AD＝6
∵∠DAP＝∠BAC＝45°
∴△ADP△CQP等腰直角三角形
∴AP＝6
∴QP＝6−6
∴BD＝CQ＝QP＝6−6
（2）①图1：
作∠DAP＝45°APl2相交点P点F作FQ⊥AP点Q
∵∠DAP＝∠EAF＝45°
∴∠EAD＝∠FAQ
∵AD⊥l2FQ⊥AP
∴∠ADE＝∠AQF＝90°
∴△AED∽△AFQ
∴＝
∴△ADP△FQP等腰直角三角形
∴DP＝AD＝6AP＝6
∵DF＝2
∴FP＝DP－DF＝4
∴FQ＝QP＝2
∴AQ＝6−2＝4
∴＝
∴DE＝3
②图2：
作∠DAP＝45°APl2相交点P点F作FQ⊥AP点Q．
∵∠DAP＝∠EAF＝45°
∴∠EAD＝∠FAQ
∵AD⊥l2FQ⊥AP
∴∠ADE＝∠AQF＝90°
∴△AED∽△AFQ
∴＝
∴△ADP△FQP等腰直角三角形
∴DP＝AD＝6AP＝6
∵DF＝2
∴FP＝DP＋DF＝8
∴FQ＝QP＝4
∴AQ＝6−4＝2
∴＝
∴DE＝12．
第7讲 双直角三角形模型
双直角三角形模型解三角形中常见模型模型特点：条直角边公边外条直角边线背景会变化需中出模型质．
模型讲解
般类型：两直角三角形组合条直角边公边中∠a∠β三角函数值已知．
例题讲解
例题1图笔直海岸线lAB两观测站AB正东方AB＝2(单位：km)．艘船点P处A测船北偏西60°方B测船北偏东45°方．
(1)求点P海岸线l距离
(2)船点P处射线AP方航行段时间点C处时B测船北偏西15°方．求点C点B间距离．(述两题结果保留根号)．
解：(1)图点P作PD⊥AB点D．设PD＝xkm．
Rt△PBD中∠BDP＝90°∠PBD＝90°－45°＝45°∴BD＝PD＝xkm．
RtA△PAD中∠ADP＝90°∠PAD＝90°－60°＝30°∴AD＝PD＝xkm．
∵BD＋AD＝AB∴x＋x＝2x＝－1
∴点P海岸线l距离(－1)km
(2)图点B作BF⊥AC点F．
Rt△ABF中∠AFB＝90°∠BAF＝30°∴BF＝AB＝lkm．
△ABC中∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°．
Rt△BCF中∠BFC＝90°∠C＝45°∴BC＝BF＝km
∴点C点B间距离km．
例题2图条笔直东西海岸线l长15km码头MN灯塔C灯塔C距码头东端N20km．轮船36kmh速度航行午10：00A处测灯塔C位轮船北偏西30°方午10：40B处测灯塔C位轮船北偏东60°方灯塔C相距12km．
(1)轮船速度航航行时达海岸线？
(2)轮船改变航该轮船否停码头？请说明理．(参考数：≈14≈17)
解：(1)延长AB交海岸线点D点B作BE⊥海岸线点E点A作AF⊥lF图示．
∵∠BEC＝∠AFC＝90°∠EBC＝60°∠CAF＝30°
∴∠ECB＝30°∠ACF＝60°∴∠BCA＝90°
∵BC＝12AB＝36×＝24∴AB＝2BC∴∠BAC＝30°∠ABC＝60°
∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°∴∠BDC＝∠BCD＝30°∴BD＝BC＝12
∴时间t＝＝时＝20分钟∴轮船速度航航行午11：00达海岸线．
(2)∵BD＝BCBE⊥CD∴DE＝EC
RT△BEC中BC＝12∠BCE＝30°
∴BE＝6EC＝6≈102∴CD＝204
∵20＜204＜215∴轮船改变航轮船停码头．
巩固练
1图热气球C测定建筑物AB底部俯角分30°60°果时气球高度CD150米点ADB直线建筑物AB间距离 ．
2图高楼前D点测楼顶仰角30°高楼前进60米C点测仰角45°该高楼高度约 ．(保留整数)
3图山谷横断面示意图宽AA′15m曲尺(两直尺相交成直角)山谷两侧测量出OA＝1mOB＝3mO′A′＝05mO′B′＝3m(点AOO′A′条水线)该山谷深h m．
4图示条西东观光道lAB两景点AB相距2kmA处测景点C位点A北偏东60°方B处测景点C位景点B北偏东45°方求景点C观光道l距离．(结果精确01km)
5图直角坐标系中直线y＝－x＋6坐标轴分交AB两点AB中点点P点P直线y＝－x短距离PQ长度 ．
6图△ABCAC＝3BC＝4∠ACB＝90°△ABC绕点C时针旋转．
(1)AC分∠A′CB′时BD长
(2)连接AA′△AA′C等边三角形时BD长 ．
7图四边形ABCD中∠A＝∠C＝45°∠ADB＝∠ABC＝105°．
(1)AD＝2求AB
(2)AB＋CD＝2＋2求AB．
8图示山坡棵水面垂直树场台风树刮倾斜折断倒山坡树顶部恰接触坡面．已知山坡坡角∠AEF＝23°量树干倾斜角∠BAC＝38°树折断部分坡面成角∠ADC＝60°AD＝4m．
(1)求∠CAE度数
(2)求棵树折断前高度．(结果精确位参考数：≈141≈173≈24)
92014年3月8日凌晨马西亚航空公司吉隆坡飞北京MH370航班起飞时雷达消失没发现踪迹．飞机239名客中154名中国胞中国政府启动全面应急搜救机制派出艘中国舰船相关海域进行搜救．图某日南印度洋海域两艘西东航行搜救船ABB船A船正东方两船保持20海里距离某时刻两船时测A东北方B北偏东15°方疑似物C求时疑似物C搜救船AB距离少？(结果保留根号)
10图艘船时24海里速度北偏西75°方航行点A处测灯塔P船西北方．航行40分钟达点B处时灯塔P恰船正北方．已知距离灯塔9海里外海区安全航行区域．问：艘船否原方继续前航行？什？
11学勾股定理逆定理知道：三角形中果两边方等第三边方三角形直角三角形．类似定义：意三角形设三角度数分x°y°z°满足x2＋y2＝z2称三角形勾股三角形．
(1)根勾股三角形定义请直接判断命题：直角三角形勾股三角形真命题假命题？
(2)图△ABC接⊙0AB＝AC＝1＋BC＝2⊙O直径BE交AC点D
①求证：△ABC勾股三角形②求DE长．
参考答案
1解：∵∠ECA＝30°∠FCB＝60°∵CD⊥ABCD⊥EF∴∠ACD＝60°∠BCD＝30°
Rt△ADC中tan ∠ACD＝∴4D＝tan 60°×DC＝×90＝90
Rt△BCD中tan ∠BCD＝ BD＝tan30°×DC＝×90＝30
∴AB＝AD＋BD＝90＋30＝120．
答：建筑物AB间距离120米．
2解：设楼高ABx．
Rt△ADB中：DB＝ ＝xRt△ACB中：BC＝＝x．
CD＝BD－BC＝(－1)x＝60解x＝82．
3解：设AA′谷底水距离AC＝mA′C＝n∴m＋n＝15根题意知OB∥CD∥O′B′．
∵OA＝1OB＝30′A′＝05O′B′＝3．∴＝＝3＝＝6
∴(＋)h＝15解h＝30(m)．
4解：图点C作CD⊥l点D设CD＝xkm
△ACD中∵∠ADC＝90°∠CAD＝30°∴AD＝CD＝xkm
△BCD中∵∠BDC＝90°∠CBD＝45°∴BD＝CD＝xkm
∵AD－BD＝AB∴x－x＝2∴X＝＋1＝27(k m)．
答：景点C观光道距离约27km．
5解：知点P(43)作PH⊥y轴交直线y＝－x点HH(4－4)PH＝7
∴短距离PQ＝＝＝
6解：D作DH⊥BCH
(1)知∠BCD＝45°设CH＝DH＝tBH＝t∴BC＝t＋t＝4
解t＝∴BD＝t＝
(2)知∠BCD＝∠A′CA＝60°设CH＝DH＝tBH＝t∴BC＝t＋t＝4
解t＝2(－1)∴BD＝×2(－1)＝
7解：(1)D点作DE⊥AB点B作BF⊥CD
∵∠A＝∠C＝45°∠ADB＝∠ABC＝105°
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°
∴∠BDF＝∠ADC﹣∠ADB＝165°﹣105°＝60°△ADE△BCF等腰直角三角形
∵AD＝2∴AE＝DE＝＝
∵∠ABC＝105°∴∠ABD＝105°﹣(180°﹣45°﹣60°)＝30°
∴BE＝＝＝∴AB＝＋
(2)设DE＝xAE＝xBE＝＝＝x∴BD＝2x
∵∠BDF＝60°∴∠DBF＝30°∴DF＝BD＝x∴BF＝x∴CF＝x
∵AB＝AE＋BE＝x＋xCD＝DF＋CF＝x＋xAB＋CD＝2＋2
∴AB＝＋1
8解：(1)延长BA交EF点G．Rt△AGE中∠E＝23°∴∠GAE＝67°∵∠BAC＝38°
∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．
(2)点A作AE⊥CD垂足H．
△ADH中∠ADC＝60°AD＝8cos∠ADC＝
∴DH＝4sin∠ADC＝∴AH＝4．
Rt△ACH中∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°∴CH＝AH＝4AC＝4．
∴AB＝AC＋CD＝4＋4＋4≈20 (米)．
答：棵树折断前高约20米．
9解：点B作BD⊥ACD．
题意知∠BAC＝45°∠ABC＝90°＋15°＝105°
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°．
Rt△ABD中AD＝BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10 (海里)
Rt△BCD中BC＝＝＝20 (海里)
DC＝＝＝10 (海里)
∴AD＋CD＝10＋10＝10(＋)(海里)．
答：疑似物C搜救船A距离10(＋)海里搜救船B距离20海里．
10解：艘船原方继续前航行．理：
图点B作BH⊥APH点P作PM⊥AB交AB延长线M．
题意知AB＝24×＝16(海里)∠BAP＝75°﹣45°＝30°．
∵PB∥AC∴∠BPH＝∠CAP＝45°．
Rt△ABH中BH＝AB＝8AH＝BH＝8．
Rt△PBH中PH＝BH＝8∴PA＝PH＋AH＝8＋8
∴PM＝PA•sin∠PAM＝PA＝4＋4＞9∴原方继续前航行．
11解：(1)∵意三角形设三角度数分x°y°z°满足x2＋y2＝z2称三角形勾股三角形
∴法直角三角形勾股三角形假命题
(2)题意：解：x＋y＝102
(3)①证明：B作BH⊥ACH设AH＝xRt△ABH中BH＝
Rt△CBH中()2＋(1＋﹣x)2＝4解：x＝
AH＝BH＝HC＝1∴∠A＝∠ABH＝45°
∴tan∠HBC＝＝＝∴∠HBC＝30°∴∠BCH＝60°∠B＝75°
∴452＋602＝752∴△ABC勾股三角形
②连接CE∵∠A＝45°∴∠BEC＝∠BAC＝45°
∵BE直径∴∠BCE＝90°∴BC＝CE＝2
D作DK⊥ABK设KD＝h∵∠EBC＝45°∠ABC＝75°∴∠ABE＝30°
∴BK＝hAK＝h∴h＋h＝解：h＝
∴BD＝2KD＝2h＝3﹣∴BE﹣BD＝2﹣(3﹣)＝﹣．
第8讲 值问题垂线段短
模型讲解
图直线l外点P直线点连线段中PB线段长度短．
例题讲解
例题1图Rt△ABC中∠BAC＝90°AB＝5AC＝12P边BC动点PE⊥ABE
PF⊥ACFMEF中点AM取值范围 ．
解：连接AP∵PE⊥ABPF⊥AC∴∠AEP＝∠AFP＝90°
∵∠BAC＝90°∴四边形AEPF矩形∴AP＝EF
∵∠BAC＝90°MEF中点∴AM＝EF＝AP
∵Rt△ABC中∠BAC＝90°AB＝3AC＝4∴BC＝＝5
AP⊥BC时AP值时S△BAC＝×3×4＝×5×AP
∴AP＝AP范围AP≥∴2AM≥∴AM范围AM≥
∵AP＜AC∴AP＜4∴AM＜2∴≤AM＜2．
例题2已知点D点A(80)B(06)C(a－a)行四边形四顶点CD长值 ．
解：两种情况：
①CD行四边形条边AB＝CD＝10
②CD行四边形条角线
C作CM⊥AOMD作DF⊥AOF交ACQB作BN⊥DFN
∠BND＝∠DFA═∠CMA＝∠QFA＝90°∠CAM＋∠FQA＝90°∠BDN＋∠DBN＝90°
∵四边形ACBD行四边形∴BD＝AC∠C＝∠DBD∥AC∴∠BDF＝∠FQA
∴∠DBN＝∠CAM△DBN△CAM中∴△DBN≌△CAM(AAS)
∴DN＝CM＝aBN＝AM＝8﹣aD(8﹣a6＋a)
勾股定理：CD2＝(8﹣a﹣a)2＋(6＋a＋a)2＝8a2﹣8a＋100＝8(a﹣)2＋98
a＝时CD值
∵＜10∴CD值＝7．
例题3图Rt△ABC中∠C＝90°AC＝6BC＝8点C边AB相切动圆CA．CB分相交点PQ线段PQ长度值 ．
解：图∵AB＝10AC＝8BC＝6
∴AB2＝AC2＋BC2∴∠ACB＝90°∴PQ⊙F直径
设QP中点F圆FAB切点D连接FD连接CFCDFD⊥AB．
∴FC＋FD＝PQ∴CF＋FD＞CD
∵点F直角三角形ABC斜边AB高CD时PQ＝CD值
∴CD＝BC•AC÷AB＝48．
巩固练
1已知△ABC中AC＝3BC＝4AB＝5点PAB(AB重合)P作PE⊥ACPF⊥BC垂足分EF连结EFMEF中点CM值 ．
2图线段AB长10CAB动点分ACBC斜边AB侧作两等腰直角△ACD△BCEDE长值 ．
3图已知行四边形OABC顶点AC分直线x＝1x＝4O坐标原点角线OB长值 ．
4面直角坐标系中知行四边形ABCD点A(0－2)点B(3m4m＋1)(m≠－1)点C(62)角线BD值 ．
5图等边△ABC边长2cm边AC射线BC方移2cm线段DE连接ADCE．
(1)求证：四边形ACED菱形
(2)△ABC绕点C旋转CA′DE交点MCB′AD交点N时点MN点D构成△DMN试探究△DMN周长否存值？果存求出该值果存请说明理．
参考答案
1解：图连接CP．
∵AC＝3BC＝4AB＝5∴∠ACB＝90°
∵PE⊥ACPF⊥BC∠C＝90°∴四边形CFPE矩形∴EF＝CP
垂线段短CP⊥AB时线段EF值CM
时S△ABC＝BC×AC＝AB×CP×4×3＝×5×CP解CP＝24．
∴EF＝24∵MEF中点∴CM＝12
2解：设AC＝xBC＝10﹣x
∵△ABC△BCD′均等腰直角三角形∴CD＝xCD′＝(10﹣x)
∵∠ACD＝45°∠BCD′＝45°∴∠DCE＝90°
∴DE2＝CD2＋CE2＝x2＋(10﹣x)2＝x2﹣10x＋50＝(x﹣5)2＋25
∴x取5时DE取值值：5
3解：点B作BD⊥直线x＝4交直线x＝4点D点B作BE⊥x轴交x轴点E直线x＝1OC交点Mx轴交点F直线x＝4AB交点N图：
∵四边形OABC行四边形∴∠OAB＝∠BCOOC∥ABOA＝BC
∵直线x＝1直线x＝4均垂直x轴∴AM∥CN∴四边形ANCM行四边形
∴∠MAN＝∠NCM∴∠OAF＝∠BCD∵∠OFA＝∠BDC＝90°∴∠FOA＝∠DBC
△OAF△BCD中∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1∴OE＝4＋1＝5∴OB＝．
OE长变BE时(B点x轴)OB取值值OB＝OE＝5．
4解：图∵点B(3m4m＋1)
∴令∴y＝x＋1∴B直线y＝x＋1∴BD⊥直线y＝x＋1时BD
∵行四边形角线交点AC中点定x轴∴FAC中点
∵A(0﹣2)点C(62)∴F(30)．
设直线BF解析式y＝﹣x＋b﹣×3＋b＝0解b＝
直线BF解析式y＝﹣x＋
∴4m＋1＝﹣×3m＋解m＝∴B()
∴BF＝＝3∴BD＝2BF＝6角线BD值6．
5证明：(1)移：AD∥CEAD＝CE
∴四边形ACED行四边形∵AD＝2cm＝AC∴□ACED菱形
(2)连接CD
∵∠ACD＝∠B＇CA＇＝60°∠ACN＋∠NCD＝∠NCD＋∠DCA＇＝60°∴∠ACN＝∠DCM
△ACN△DCM中∴△ACN≌△DCM(ASA)
∴AN＝DM理CN＝CM
∵∠NCD＋∠DCM＝60°∴△CMN等边三角形∴MN＝CN＝CMAN＋DN＝AD＝2．
∴△DMN周长DN＋DM＋MN＝AD＋CN
CB′⊥AD时(CN)＝△DMN周长值2＋．
第10讲 值问题军饮马问题
值问题老师爱考热门题型综合性较强需定基功般考察时般放压轴位置
模型讲解
基模型
问题：直线l找点PPA＋PB值
解析：连接AB直线l交点点P(两点间线段短)
拓展模型1
问题：直线找点PPA＋PB值
解析：点A作关l称点A＇连接BA＇直线l交点点P时PA＋PB值线段BA′长度．
练
1尺规作图：直线MN找点P∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)
模型拓展2
1图已知点P定点定长线段AB直线MN运动什位置时PA＝PB？
思维转化：线段AB移动点P动理解线段AB动点P直线CD移动模型转化
基模型
模型拓展3
问题：∠MON定点A点PQ分OMON动点求△APQ周长值．
解析：点A作关ON OM称点A1A2连接A1A2ONOM交点QP线段A1A2长度△APQ周长值．
基结：
①△A1OA2必等腰三角形腰长等线段OA长．
②∠A1OA2＝2∠MON．
四边形ABPQ周长模型值线段AB＋A＇B＇长度．
模型拓展4
问题：求AB＋BC＋CD值问题
解析：作点A关ON称点A＇点D关OM称点D′连接A＇D′值线段A＇D＇长度．
(作点A点D称点程中直接OMON整称图形更加完整)
模型拓展5
MN垂直两行线求AM＋MN＋NB值模型．
中MN定值需求AM＋NB值点A移MN长度A′连接A′B线段A′B长度AM＋NB值
直线l长度变线段MN移动求AM＋MN＋NB值模型．
A点右移MN长度转化基模型值MN＋A2B
例题讲解
例题1图面直角坐标系中Rt△OAB顶点Ax轴正半轴顶点B坐标(3)点C坐标(0)点P斜边OB动点PA＋PC值 ．
解：作A关OB称点D连接CD交OBP连接APD作DN⊥OAN
时PA＋PC值
∵DP＝PA∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD∵B(3)∴AB＝OA＝3
∵tan∠AOB＝＝∴∠AOB＝30°∴OB＝2AB＝2
三角形面积公式：×OA×AB＝×OB×AM∴AM＝∴AD＝2×＝3
∵∠AMB＝90°∠B＝60°∴∠BAM＝30°∵∠BAO＝90°∴∠OAM＝60°
∵DN⊥OA∴∠NDA＝30°∴AN＝AD＝勾股定理：DN＝
∵C(0)∴CN＝3﹣﹣＝1Rt△DNC中勾股定理：DC＝
PA＋PC值．
思考
题中条件点C坐标(0)改点COA边动点条件变时PA＋PC值少呢？
解答：∵PA＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN＝∴PA＋PC值．
例题2某长方体长宽高分435
(1)图1点AB分该长方体两顶点已知蚂蚁点A长方体侧面爬点B短路线长少？
(2)图2点AC分该长方体两顶点果根细线点A开始4侧面缠绕圈达点C细线短长度 ．
(3)图2点AC分该长方体两顶点果根细线点A开始4侧面缠绕三圈达点C细线短长度 ．
(4)图3已知圆柱高4米底面周长1米．果花圈均匀缠绕圆柱3圈(图)螺旋形花圈长少 米．
答案：
(1)
(2)
(3)
(4)
例题3图五边形ABCDE中∠BAE＝120°∠B＝∠E＝90°AB＝BC＝1AE＝DE＝2BCDE分找点MN．
(1)△AMN周长时∠AMN＋∠ANM＝
(2)求△AMN周长值．
解：作A关BCED称点A′A″连接A′A″交BCM交EDNA′A″△AMN周长值．
⑴作EA延长线垂线垂足H∠BAE＝120°∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°
∠AA′A″＝∠A′AM∠AA″A′＝∠EAN∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°
说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°
⑵点A′作EA延长线垂线垂足H
∵AB＝BC＝1AE＝DE＝2∴AA′＝2BA＝2AA″＝2AE＝4
Rt△A′HA中∵∠EAB＝120°∴∠HAA′＝60°
∵A′H⊥HA∴∠AA″H＝30°∴AH＝AA′＝1∴A′H＝A″H＝1＋4＝5
∴A′A″＝2
例题4图正方形ABCD边长4点E边BCCE＝1长线段MNAC运动．
(1)求四边形BMNE周长值
(2)四边形BMNE周长时tan∠MBC值 ．
解：作EF∥ACEF＝连结DF交ACMAC截取MN＝延长DF交BCP
作FQ⊥BCQ作出点E关AC称点E′CE′＝CE＝1MN移E′F′处
四边形MNE′F′行四边形
BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时四边形BMNE周长
∠FEQ＝∠ACB＝45°求FQ＝EQ＝1
∵∠DPC＝∠FPQ∠DCP＝∠FQP∴△PFQ∽△PDC
∴＝∴＝解：PQ＝∴PC＝
称性求tan∠MBC＝tan∠PDC＝．
例题5面直角坐标系中已知点A(20)点B(04)点EOB∠OAE＝∠OBA．图△AEOx轴右移△AE′O′连接A＇BBE＇．AB＋BE＇取值时求点E＇坐标．
提示
△AEO右移转化△AEO动点B左移点B移动轨迹行x轴直线作点E关该直线称点E1连接AE1该直线交点F时点B位置求出BF长度求出点E右移距离．
例题6图已知正例函数y＝kx(k＞0)图x轴相交成锐角70°定点A坐标(04)Py轴动点MN函数y＝kx(k＞0)图两动点AM＋MP＋PN值 ．
解：图示直线OCy轴关直线y＝kx称直线OD直线y＝kx关y轴称点A′点A关直线y＝kx称点．
作A′E⊥OD垂足E交y轴点P交直线y＝kxM作PN⊥直线y＝kx垂足N
∵PN＝PEAM＝A′M∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E(垂线段短)
RT△A′EO中∵∠A′EO＝90°OA′＝4∠A′OE＝3∠AOM＝60°
∴OE＝OA′＝2A′E＝＝2．
∴AM＋MP＋PN值2．
巩固练
1图示正方形ABCD面积12△ABE等边三角形点E正方形ABCD角线AC点PPD＋PE值 ．
2菱形ABCD中角线AC＝6BD＝8点EFP分边ABBCAC动点PE＋PF值 ．
3图边长2等边△ABC中DBC中点EAC边点BE＋DE值 ．
4图钝角三角形ABC面积9长边AB＝6BD分∠ABC点MN分BDBC动点CM＋MN值 ．
5图△ABC中AM分∠BAC点DE分AMAB动点
(1)AC＝4S△ABC＝6BD＋DE值
(2)∠BAC＝30°AB＝8BD＋DE值 ．
(3)AB＝17BC＝10CA＝21BD＋DE值 ．
6图△ABC中AB＝BC＝4S△ABC＝4点PQK分线段ABBCAC意点PK＋QK值 ．
7图AB⊙O直径AB＝8点M⊙O∠MAB＝20°N弧MB中点P直径AB动点PM＋PN值 ．
8图锐角△ABC中AB＝4∠BAC＝45°∠BAC分线交BC点DMN分ADAB动点BM＋MN值 ．
9图圆柱形玻璃杯高12cm底面周长18cm杯离杯底4cm点C处滴蜂蜜时蚂蚁正杯外壁离杯4cm蜂蜜相点A处蚂蚁达蜂蜜短距离 cm．
10图菱形OABC中点Ax轴顶点C坐标(1)动点DE分射线OCOBCE＋DE＋DB值 ．
11图点A(a1)B(－1b)双曲线y＝－(x＜0)点PQ分x轴y轴动点四边形PABQ周长取值时PQ直线解析式 ．
12图点P∠AOB意点OP＝5cm点M点N分射线OA射线OB动点△PMN周长值5cm∠AOB度数 ．
13图∠AOB＝30°点MN分边OAOBOM＝1ON＝3点PQ分边OBOAMP＋PQ＋QN值 ．
14图Rt△ABC中∠ACB＝90°点DAB边中点D作DE⊥BC点E．
(1)点P边BC动点线段BC找点PAP＋PD图中画出点P
(2)(1)条件连接CD交AP点Q求AQPQ数量关系
15矩形ABCD中AB＝6BC＝8G边AD中点．
(1)图1EAB动点△CGE周长时求AE长．
(2)图2EF边AB两动点EF＝4四边形CGEF周长时求AF长．
16图1图2长方体房间示意图图2该长方体表面展开图．
(1)蜘蛛顶点A′处
①苍蝇顶点B处时试图1中画出蜘蛛捉住苍蝇墙面爬行路线
②苍蝇顶点C处时图2中画出蜘蛛捉住苍蝇两条路线天花板ABCD爬行路线A＇GC墙面BB＇C＇C爬行路线A＇HC试通计算判断条路线更？
(2)图3中半径10dmOMD＇C＇相切圆心M边CC′距离15dm蜘蛛P线段AB苍蝇QOM圆周线段PQ蜘蛛爬行路线．PQOM相切试求PQ长度范围．
17图抛物线交y轴点B点Ax轴点OA2点A作直线MNAB交抛物线MN两点
（1）求直线AB解析式
（2）线段ABy轴负方移t单位长度线段求取值时实数t值
参考答案
1
解：连接BD
∵点BD关AC称∴PD＝PB∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE．
∵正方形ABCD面积12∴AB＝2
∵△ABE等边三角形∴BE＝AB＝2求值2．
2
解：∵四边形ABCD菱形角线AC＝6BD＝8∴AB＝5
作E关AC称点E′作E′F⊥BCF交ACP连接PEE′FPE＋PF值
∵×AC×BD＝AD×E′F∴E′F＝∴PE＋PF值
3
解：作B关AC称点B′连接BB′B′D交ACE时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D根两点间线段短知B′DBE＋ED值
∵BB′关AC称∴ACBB′互相垂直分∴四边形ABCB′行四边形
∵三角形ABC边长2DBC中点∴AD⊥BCAD＝BD＝CD＝1BB′＝2AD＝2
作B′G⊥BC延长线G∴B′G＝AD＝
Rt△B′BG中BG＝3∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2Rt△B′DG中B′D＝．
BE＋ED值．
4
解：点C作CE⊥AB点E交BD点M点M作MN⊥BCN
∵BD分∠ABCME⊥AB点EMN⊥BCN∴MN＝ME
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN值．
∵三角形ABC面积9AB＝6∴×6×CE＝9∴CE＝3．
CM＋MN值3．
5
提示：作点E关AM称点E′BH⊥ACH易知BD＋DE值BH长
答案：(1)3(2)4(3)8．
6
解：图A作AH⊥BC交CB延长线H
∵AB＝CB＝4S△ABC＝4∴AH＝2
∴cos∠HAB＝＝＝∴∠HAB＝30°∴∠ABH＝60°∴∠ABC＝120°
∵∠BAC＝∠C＝30°
作点P关直线AC称点P′P′作P′Q⊥BCQ交ACK
P′Q 长度＝PK＋QK值
∴∠P′AK＝∠BAC＝30°∴∠HAP′＝90°∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°
∴四边形AP′QH矩形∴P′Q＝AH＝2
PK＋QK值2．
7
解：作点N关AB称点N′连接OMONON′MN′
MN′AB交点PM＋PN时点PM＋PN值＝MN′
∵∠MAB＝20°∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°
∵N弧MB中点∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°
称性∠N′OB＝∠BON＝20°∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°
∴△MON′等边三角形∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4
∴PM＋PN值4
8
解：图作BH⊥AC垂足H交ADM′点M′点作M′N′⊥AB垂足N′BM′＋M′N′求值．
∵AD∠BAC分线∴M′H＝M′N′∴BH点B直线AC短距离
∵AB＝4∠BAC＝45°∴BH＝AB×sin45°＝4×＝2．
∵BM＋MN值BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2．
9
解：A圆柱高剪开出矩形EFGH
C作CQ⊥EFQ作A关EH称点A′连接A′C交EHP连接AP
AP＋PC蚂蚁达蜂蜜短距离
∵AE＝A′EA′P＝AP∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C
∵CQ＝×18cm＝9cmA′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm
Rt△A′QC中勾股定理：A′C＝15cm答案：15．
10
解：连接AC作B关直线OC称点E′连接AE′交OCD交OBE时CE＋DE＋BD值
∵四边形OCBA菱形∴AC⊥OBAO＝OCAC关OB称
∴CE＝AE∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD
∵BE′关OC称∴DE′＝DB∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′
C作CN⊥OAN∵C(1)∴ON＝1CN＝
勾股定理：OC＝2AB＝BC＝OA＝OC＝2∴∠CON＝60°∴∠CBA＝∠COA＝60°
∵四边形COAB菱形∴BC∥OA∴∠DCB＝∠COA＝60°
∵BE′关OC称∴∠BFC＝90°∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°
∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°CF＝BC＝1勾股定理：BF＝＝E′F
Rt△EBA中勾股定理：AE′＝4CE＋DE＋DB值4．
11
解：点A(a1)B(﹣1b)代入y＝﹣(x＜0)a＝﹣3b＝3A(﹣31)B (﹣13)
作A点关x轴称点CB点关y轴称点DC点(﹣3﹣1)D点(13)
连结CD分交x轴y轴P点Q点时四边形PABQ周长
设直线CD解析式y＝kx＋b解
直线CD解析式y＝x＋2．
12
解：分作点P关OAOB称点CD连接CD分交OAOB点MN
连接OCODPMPNMN图示：
∵点P关OA称点D关OB称点C∴PM＝DMOP＝OD∠DOA＝∠POA
∵点P关OB称点C∴PN＝CNOP＝OC∠COB＝∠POB
∴OC＝OP＝OD∠AOB＝∠COD
∵△PMN周长值5cm∴PM＋PN＋MN＝5∴DM＋CN＋MN＝5CD＝5＝OP
∴OC＝OD＝CD△OCD等边三角形∴∠COD＝60°∴∠AOB＝30°
13
解：作M关OB称点M′作N关OA称点N′
连接M′N′MP＋PQ＋QN值．
根轴称定义知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°∠ONN′＝60°
∴△ONN′等边三角形△OMM′等边三角形∴∠N′OM′＝90°
∴Rt△M′ON′中M′N′＝．答案．
14
解：(1)作点A关BC称点A′连DA′交BC点P
(2)(1)证PA垂直分CD∴AQ＝CQ＝3PQ
15
解：(1)∵EAB动点
∴作G关AB称点M连接CM交ABEE满足△CGE周长
∵矩形ABCD中AB＝6BC＝8G边AD中点∴AG＝AM＝4MD＝12
AE∥CD∴△AEM∽△DCM∴AE：CD＝MA：MD∴AE＝＝2
(2)∵EAB动点
∴图作G关AB称点MCD截取CH＝4然连接HM交ABE接着EB截取EF＝4EF两点满足四边形CGEF周长．
∵矩形ABCD中AB＝6BC＝8G边AD中点
∴AG＝AM＝4MD＝12CH＝4∴DH＝2
AE∥CD∴△AEM∽△DHM∴AE：HD＝MA：MD∴AE＝＝
∴AF＝4＋＝．
16解：(1)①根两点间线段短知：线段A′B路线图1示．
②Ⅰ．长方体展开长方形ABB′A′长方形ABCD面图2①．
Rt△A′B′C中∠B′＝90°A′B′＝40B′C＝60∴AC＝＝20．
Ⅱ．长方体展开长方形ABB′A′长方形BCC′B′面图2②．
Rt△A′C′C中∠C′＝90°A′C′＝70C′C＝30∴A′C＝＝10．
∵＜∴天花板ABCD爬行路线A′GC更
(2)点M作MH⊥ABH连接MQMPMAMB图3．
∵半径10dm⊙MD′C′相切圆心M边CC′距离15dmBC′＝60dm
∴MH＝60﹣10＝50HB＝15AH＝40﹣15＝25
根勾股定理AM＝＝MB＝＝∴50≤MP≤．
∵⊙MPQ相切点Q∴MQ⊥PQ∠MQP＝90°∴PQ＝．
MP＝50时PQ＝＝20
MP＝时PQ＝＝55．
∴PQ长度范围20dm≤PQ≤55dm．
17解：（1）题意易B（04）A（20）AB解析式：
（2） ∵AB⊥MN
∴直线MN：
抛物线联立：
解：M（22）
AB负方移t单位A1（2t）B1（04t）
A1关直线x2称点A2（6t）
A2MB1三点线时取值
∴
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
第1讲 角分线
1角分线性质定理：角分线点角两边距离相等
定理数学表示：图已知OE∠AOB分线FOE点CFOA点CDFOB点DCF DF
逆定理：角两边距离相等点角角分线
角分线简单分角外结合条件般产生三种常见模型
模型讲解
模型1BD分∠ABCDCBC
理：角分线性质
结：△DCB2△DEB
模型2BD分∠ABCCDBD
理：等腰三角形三线合
结：△BDC≌△BDE
模型3BD分∠ABCADBC
理：行线性质
结：△ABD等腰三角形
例题讲解
例题1图示四边形ABCD中DCAB∠DAB 90°ACBCAC BC∠ABC分线交ADAC点EF值___________
分析求值般说会直接BFEF求出需转化点F作FGAB时转化会出现模型1辅助线思路值试
解答解：图作FGAB点G
∠DAB90°FGAD
ACBC∠ACB 90°
BF分∠ABCFG FC
Rt△BGFRt△BCF中
△BGF≌△BCF（HL）BC BG
AC BC∠CBA 45°AB BC
例题2图D△ABCBC边中点AE分∠BACAECE点EAB 10AC 16DE长度________
分析AE分∠BACAEEC套模型2解决该题
解答解：图延长CEAB交点F
AE分∠BACAEEC
∠FAE ∠CAE∠AEF ∠AEC 90°
△AFE△ACE中
△AFE ≌ACE（ASA）
AF AC 16EF EC
BF 6
DBC中点BD CD
DE△CBF中位线
DE BF 3
答案：3
例题3图示△ABC中BC 6EF分ABAC中点动点P射线EFBP交CED∠CBP分线交CEQCQ CE时EP+BP ________
分析里出现角分线行应该想模型3构造出等腰三角形结合相似模型解出答案
解答解：图延长BQ交射线EF点M
EF分ABAC中点
EFBC
∠CBM ∠EMB
BM分∠ABC∠ABM ∠CBM
∠EMB ∠EBMEB EM
EP +BP EP +PM EM
CQ CEEQ 2CQ
EFBC△EMQ∽△CBQ
巩固练
1图∠AOB意角边OAOB分取OM ON移动角尺角尺两边相刻度分MN重合角尺顶点C射线OC便∠AOB分线OC做法三角形全等判定定方法（ ）
ASAS BSSS CASA DHL
（第1题） （第3题） （第4题）
2三角形中三边距离相等点（ ）
A三条边垂直分线交点 B三条高交点
C三条中线交点 D三条角分线交点
3图四边形ABCD行四边形BE分∠ABCCF分∠BCDBECF交GEF AD行四边形ABCD应满足条件（ ）
A∠ABC 60° BABBC 1：4 CABBC 5：2 DABBC 5：8
4图△ABC周长26点DE边BC∠ABC分线垂直AE垂足Q∠ACB分线垂直AD垂足PBC 10PQ长（ ）
A B C3 D4
5图△ABC中∠C 90°AC BCAD分∠BAC交BC点DDEAB点E△BDE周长5cmAB长
（第5题） （第6题） （第7题）
6图已知OBOC△ABC角分线DE∥BC交ABACDE△ADE周长15BC长7△ABC周长
7图△ABC中点DBCBM分∠ABDBMADNAC中点连接MNAB 5BC 8MN
8图△ABC中AD中线AE角分线CFAEFAB 5AC 2DF长
（第8题） （第9题） （第10题）
9图已知∠BAC分线BC垂直分线相交点DDEABDFAC垂足分EFAB 6AC 3BE
10图示四边形ABCD中AD∥BCCE∠BCD分线CEABE垂足BE 2AE四边形AECD面积1四边形ABCD面积
11图O接四边形ABCD中AB 3AD 5∠BAD 60°点C弧BD中点AC长
（第11题） （第12题）
12已知：图ADBE分△ABC中线角分线ADBEAD BE 6AC长等
13弧BC弦BC折叠交直径AB点DAD 8DB 10BC长
（第13题）
14图FGOA两点MNOB两点FG MNS△PFG S△PMN试问点P否∠AOB分线？
15已知：△ABC中∠B分线外角∠ACE分线相交DDGBC交ACF交ABG求证：GF BGCF
16四边形ABCD中∠ABC钝角∠ABC+∠ADC 180°角线AC分∠BAD
（1）求证：BC CD
（2）AB +AD AC求∠BCD度数
17图△ABC中DEF分三边中点G点边AB△BDG四边形ACDG周长相等设BC aAC bAB c
（1）求线段BG长
（2）求证：DG分∠EDF
18图BAMN垂足ABA 4点P射线AN动点（点P点A重合）∠BPC ∠BPABCBP点C作CDMN垂足D设AP xCD长度否着x变化变化？变化请含x代数式表示CD长度变化请求出线段CD长度
19已知：面直角坐标系中四边形OABC顶点分0（00）A（50）B（m2）C（m52）
（1）问：否存样m边BC总存点P∠OPA 90°？存求出m取值范围存请说明理
（2）∠AOC∠OAB分线交点Q边BC时求m值
20行底边直线截等腰三角形两腰四边形称准等腰梯形图1四边形ABCD准等腰梯形中∠B∠C
（1）图1示准等腰梯形ABCD中选择合适顶点引条直线四边形ABCD分割成等腰梯形三角形分割成等腰三角形梯形（画出种示意图）
（2）图2准等腰梯形ABCD中∠B∠CE边BC点ABDEAEDC求证：
（3）行BC直线AD截△PBC四边形ABCD中∠BAD∠ADC分线交点EEBEC请问点E四边形ABCD部时（图3示情形）四边形ABCD准等腰梯形什？点E四边形ABCD部时情况？写出结（必说明理）
参考答案
1 答案：B
2 答案：D
3 答案：D
4 答案：C
5 答案：5cm
6 答案：22
7 答案：15
8 答案：15
9 答案：15
10 答案：
11 答案：
12 答案：
13 答案：
14解：点P分OAOB作垂线
S△PFGPGPES△PMNMNPHFG MN
PHPE
点P∠AOB分线
15证明：BD分∠ABC∠1 ∠2
DFBC∠2 ∠3
∠1∠3BFDF
理：DECE
EF DFDF
EF BFCE
16解(1)图点C作CM⊥AB交AB延长线点M作CN⊥AD垂足N
AC分∠DABCM＝CN
∠ABC +∠ADC＝180°∠MBC +∠ADC＝180°
∠NDC＝∠MBC△NDC△MBC中
BCDC
(2)图延长ABBBB＝AD
AB+AD＝AC∴AB＝AC
(1)知∠ADC＝∠BBC△ADC△BBC中
∴△ADC ≌△EBCAD＝EC
AE＝AC∴AE＝AC＝EC
△ABC等边三角形∴∠CAB＝60°
∴∠BAD＝120°∠BCD＝360°180°120°＝60°
∠BCD＝60°
17解：（1）△BDG四边形ACDG周长相等
∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG
DBC中点
∴BD＝CD
∴BG AC +AG
BG +(AC +AG)AB +AC
∴BG （AB +AC)（b+c)
(2)证明点DF分BCAB中点
∴DF＝ACbBFABc
FG＝BGBF （b+c)c b
∴DFFG
∴∠FDG＝∠FGD
点DE分BCAC中点
∴DB∥AB∴∠EDG＝∠FGD∴∠FDG＝∠BDGDG分∠EDF
18解：CD长度变
理
图延长CBPA记交点点Q
∠BPC ＝∠BPABC⊥BP
∴QB＝BC(等腰三角形三合＂性质)
BA⊥MNCD⊥MM
∴AB∥CD
∴△QAB ∽△△QDC
ABCDQBQC12
∴CD＝2AB＝2×4＝8
CD＝8
19解：(1)存
O(00)A(50)B(m2)C(m52)
∴OA＝BC＝5BC∥OA
OA直径作D直线BC分別交点EF
∠OEA＝∠OFA＝90°图1
作DG⊥EFG连DBDB＝OD＝25DG＝2EGGF
∴DE15
∴E(12)F(42)
∴1≤m≤9时边BC总存样点P∠OPA＝90°
(2)图2
BC＝OA＝5BC∥OA
∴四边形OABC行四边形
∴OC∥AB
∴∠AOC +∠OAB＝180°
OQ分∠AOCAQ分∠OAB
∴∠AOQ＝05∠AOC∠OAQ＝05∠OAB
∴∠AOQ +∠OAQ＝90°
∴∠AQO＝90°
OA直径作D直线BC分別交点EF
∠OEA＝∠OFA＝90°
∴点Q点E点F
QF点时OFAF分∠AOCOAB分线BC∥OA
∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC∠BFA＝∠FAO＝∠FAB∴CF＝OCBF＝AB
OC＝AB
∴CF＝BFFBC中点
F点(42)
时m值65
E点时理求时m值35
综述m值3565
20解：（1）图点D作DEBC交PB点E四边形ABCD分割成等腰梯形BCDE三角形ADE
（2）△ABE△DEC中
（3）作EF⊥ABFEG⊥ADGBH⊥CDH∠BFE＝∠CHE＝90°
AE分∠BADDE分∠ADCEFEGEH
Rt△EFBRt△EHC中BECEEF EH
Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)∠3＝∠4
BECE∠1∠2
∠1+∠3＝∠2+∠4
∠ABC＝∠DCB
四边形ABCDAD截某三角形AD行BC
四边形ABCD准等腰梯形
点E四边形ABCD部时两种情况：
图点EBC边时
理证明△EFB≌△EHC∠B＝∠C四边形ABCD准等腰梯形
点B四边形ABCD外部时四边形ABCD定准等腰梯形
分两种情况：
情况：∠BED角分线线段BC垂直分线重合时四边形ABCD准等腰梯形
情况二：∠BED角分线线段BC垂直分线相交时四边形ABCD准等腰梯形
第2讲 垂直分线
1垂直分线性质定理：线段垂直分线点条线段两端点距离相等
PD线段AB垂直分线必然需连接PAPB构造出等腰△PAB进求解
逆定理：PAPB点PAB垂直分线
例题讲解
例题1图△ABC中点DEF分BCABACBDCFBECDDG⊥EF点GEGFG求证：ABAC
分析知GDEF垂直分线遇见垂直分线必然垂直分线点线段两端点连接
解答解：连接DEDF右图示
△BDE△CFD中
例题2图Rt△ABC中∠C90°点DBC点EABDE∥ACAE5DE2DC3动点P点A出发边AC秒2单位长速度终点C运动设运动时间t秒
（1）线段AC长
（2）线段EA点Q满足EDEQ连接DQPEPE⊥DQ时求出t值
解答
（1）AC6
（2）PE⊥DQ时EDEQ易证PE垂直分DQ
连接PDPQ需PDPQ
知AP2tPC62tCD3EQ2AQ3
Rt△PCD中PD232+（62t）2
Rt△PQF中PQ2
32+（62t）2解
总结遇见垂直分线连接垂直分线点线段两端点必然
方法
PE⊥DQ时易证PE分∠DEA角分线模型三知行+角分线等腰三角形△AEP等腰三角形APAE52t5t
巩固练
1三角形三条边垂直分线交点三角形（ ）
A重心 B心 C外心 D中心
2△AOB部点P点PP1关OA称点PP2关BO称①△OP1P2（ ）
A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D钝角三角形
②∠AOB满足什条件时△OP1P2等边三角形？
3图△ABC中ABAC垂直分线交BCDE
（1）∠BAC100°∠DAE
（2）∠BAC80°∠DAE
（3）∠DAE10°∠BAC
（4）△ABC周长20△ADE周长12AB+AC
（5）ABAC∠BAC120°△ADE种特殊三角形？
4图等边△ABC边长3BOCO分∠ABC∠ACB角分线BOCO垂直分线交BCEFEF长
5图已知等腰△ABCABBC5ACBC边存点P恰线段AB垂直分线BP长
6图示已知AD△ABC角分线DE⊥ABDF⊥AC垂足分EF求证：AD垂直分EF
7△ABC中DBC中点DE⊥BC交∠BAC分线点EEF⊥ABFEG⊥ACG求证：BFCG
8图△ABC中点DBCAD垂直分线EF交BC延长线点F∠FAC∠B求证：AD分∠BAC
9图△ABC中ABACD三角形点△DBC等边三角形
（1）求证：直线AD垂直分BC
（2）AB边AB右侧画等边△ABE连接DE试判断DADBDE三条线段否构成直角三角形？请说明理
10已知二次函数yax2+2ax+c图象x轴分交AB两点（点A点B左侧）y轴交点C顶点PC（02）BC垂直分线点A求二次函数关系式
11图面直角坐标系中直线yx+4x轴交点Ay轴交点B点P点O出发OA秒1单位长速度点A匀速运动达点A立刻原速度AO返回点QA出发AB秒1单位长速度点B匀速运动点PQ运动时DE保持垂直分PQ交PQ点D交折线QBBOOP点E点PQ时出发点Q达点B时停止运动点P停止设点PQ运动时间t秒（t>0）
（1）点Q坐标（ ）（含t代数式表示）
（2）t值时直线DE点O
12图1矩形ABCD中AB4BC3点E射线CD动点△BCEBE折叠点C应点F
（1）点F刚落线段AD垂直分线时求线段CE长
（2）点F刚落线段AB垂直分线时求线段CE长
（3）射线AF交线段CD点G时请直接写出CG值
13图二次函数图象x轴相交点A（30）B（10）y轴相交点C（03）点P该图象动点点Q坐标（40）
（1）求该二次函数表达式
（2）OPCQ时求点P坐标
（3）点MN分线段AQCQ点M秒3单位长度速度点A点Q运动时点N秒1单位长度速度点C点Q运动点MN中点达Q点时两点时停止运动设运动时间t秒直线PQ垂直分线段MN时请求出时t值点P坐标
14已知抛物线yax2+bx+c（a<0）x轴交点A（80）B（120）y轴交点C（06）
（1）求该抛物线解析式
（2）点D线段ABADAC动点MA出发线段AB秒1单位长度速度匀速运动时动点N某速度B出发线段BC匀速运动问否存某时刻t（秒）线段MN直线CD垂直分？存请求出时时间t点N运动速度存请说明理
参考答案
1 答案：B
2 答案：①B②∠AOB30°
3 答案：（1）20°（2）20°（3）95°（4）8（5）等边三角形
4 答案：1
5 答案：
6 证明：AD△ABC角分线DE⊥ABDF⊥ACDEDF
Rt△ADERt△ADF中ADADDEDF
Rt△ADE≌R△ADF(HL)
AE＝AFDE＝DF
AD垂直分EF(线段两端点距离相等点定线段垂直分线)
7 证明：图连接BEBC
ED⊥BCDBC中点
BE EC
EF⊥ABEG⊥AGAB分∠FAG
FEEG
△BFERt△CGE中BECEEFEG
Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)
BFCG
8 证明：EFAD垂直分线
AFDF
∠EAF＝∠EDF
∠EAF＝∠FAC+∠CAD∠EDF＝∠BAD+∠B
∠FAC＝∠B
∠BAD＝∠CAD
AD分∠BAC
9 答案：(1)△DBC等边三角形DBDCDBC垂直分线
AB＝ACABC垂直分线
直线AD垂直分BC
(2)DADBDE三条线段构成直角三角形
理连接CE
∠ABD＝∠ABE∠DBE60°∠DBE∠DBC∠DBE∠EBC
△EBC△ABD中ABEB∠ABD＝∠EBCDBCB
△EBC≌△ABD（SAS）
∠BCE＝∠ADBAD＝CE
△ADB△ADC中ADADABACDBDC
△ADB≌△ADC（SSS）
∠ADB＝∠ADC
∠ADB＝(360°∠BCD）＝150°
∠BCE＝∠BDA＝150°
∠DCE＝∠BCE∠BCD150°60°90°
CE＝DADC＝DB
DADBDE三条线段构成直角三角形
10 解：BC垂直分线点A
二次函数yax2+2ax+c称轴
设
Rt△AOC中解
时（舍）
时时二次函数解析式
11 答案：（1）
（2）四边形QBED成直角梯形
①0
时∠AQP＝90°
△APQ～△ABO
解
图3PQ∥BO时DE⊥PQDE⊥BO四边形QBED直角梯形
时∠APQ＝90°
△AQP~△ABO
解
②3＜t＜5时AQ＝tAP＝t3
图2DB∥QB时DE⊥PQPQ⊥QB四边形QBED直角梯形
时∠AQP＝90°
△APQ~△ABO
解（舍）
图3PQ∥BO时DE⊥PQDE⊥BO四边形QBED直角梯形
时∠APQ＝90°
△AQP~△ABO
解(舍)
综述t＝
(3)t＝时DB点O
理①图4DE点O时
DB垂直分PQEPEQt
PQ运动时间速度相
AQ＝EQ＝EP＝
∠AEQ＝∠EAQ
∠AEQ+∠BEQ＝90°∠EAQ+∠EBQ＝90°
∠BEQ＝∠EBQBQBQEQAQBQAB
②图5PAO运动时点Q作QF⊥OBF
EP＝6tEQ＝EP＝6t
BQ5t
解
DE点O时t＝
12 解：（1）图MN线段AD中垂线作FH⊥CDH
Rt△BFH中
∴
设Rt△EFH中
∴
∴
（2）图MN线段AB中垂线设EFCEx
Rt△BFM中∠BMF＝90°BM＝2BFBC3
∴
MNBC3
∴FN
Rt△EFN中
∴
∴
（3）图欲求CG值求出DG值
∴DG＝ADtan∠GAD∠GAD时DG值
BF＝BCBF定值
∴BF⊥AG时∠BAF值∠DAG值
BF⊥AG时易知点B点G点
设CG＝GF＝x
Rt△ABF中∠AFB＝90°AB＝4BFBC3
∴AF
Rt△ABF中∴
∴CG值4
13 解：（1）设抛物线解析式y＝ax2+bx+c
抛物线点C(03)
∴C＝3
A(30)B(10)代入y＝ax2+bx+3中9a3b+30ab+30
解a1b4
∴抛物线解析式y＝x2+4x+3
（2）设CQ直线方程y＝kx+bC(03)Q(40)带入解CQ直线方程
OP∥CQ
∴直线OP方程y＝
联立y＝解4
∴P坐标（）（43）
（3）点作ND⊥轴点DND∥OC
直线PQ够垂直分线段MNQM＝QNPQ⊥MNPQ分∠AQC
QM＝QN73t＝5t解t1
设P(xx2+4x+3)直线PQ⊥MNP作直线PE⊥x轴垂足E△PEQ~△MDN
∴
∴∴
∴P()（）
14 解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)x轴交点A(80)B(120)
∴设抛物线解析式ya(x8)(x+12)
抛物线点C(06)∴6＝96a解a＝
∴抛物线解析式y(x8)(x+12)
该抛物线解析式y
（2）A(80)C(06)∴AC
∴ADAC10∴点D坐标(20)
B(120)∴BD AD
CD垂直分MNDN＝DM∠NDC＝∠MDC＝∠ACD
∴DN∥AC
∴BNCN
∴DN△ABC中位线DN
∴AMt5
BN＝5VN＝点N运动速度
（3）△PCA＝△PCB
∴ABPC距离相等
∴PC∥AB
∴PC关抛物线y＝称轴x＝2称
C(06)
∴P(46)
∴tan∠PBQ＝tan∠CBA＝
∴∠PBQ＝∠CBA
∴∠PBQ∠CBQ＝∠CBA∠CBQ∠PBQ＝∠CBQ
作PG⊥BCGQH⊥ABH
∴tan∠PBC＝
设点Q坐标(x）
tan∠QBA＝tan∠PBC
∴
解12（舍）
点Q坐标(）
第3讲 模型双子型
模型讲解
双等边类型
△BCD≌△ACE △ABD≌△ACE △BOE∽△COF
双等腰直角类型
△BCD≌△ACE △BCE≌△DCF △ABD∽△ACE
般情况
基条件△ABC∽△EDC连接AEBD△AEC∽△BDC相似AC边BC边
见面种图形中全等情况出现图形中边长相等
例题讲解
例题1(直接双子)图直角坐标系中点A坐标(10)线段OA边第四象限作等边△AOB点Cx正半轴动点(OC＞1)连接BC线段BC边第四象限作等边△CBD直线DA交y轴点E．
(1)△OBC△ABD全等？判断证明结
(2)着点C位置变化点E位置否会发生变化？没变化求出点E坐标变化请说明理．
解：①全等．
理：∵△AOB△CBD等边三角形
∴OB＝AB∠OBA＝∠OAB＝60°BC＝BD∠CBD＝60°
∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC∠OBC＝∠ABD
△OBC△ABD中
∵
∴△OBC≌△ABD（SAS）．
②变．
理：∵△OBC≌△ABD
∴∠BAD＝∠BOC＝60°
∵∠OAB＝60°
∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°
∴Rt△OEA中AE＝2OA＝2
∴OE＝
∴点E位置会发生变化E坐标E（0）．
例题2图△ABC△ADE等腰直角三角形∠BAC＝∠DAE＝90°AB＝AC＝2OAC中点点D直线BC运动连接OE点D运动程中线段OE值（ ）
A． B． C．1 D．
解：设QAB中点连接DQ
∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC
∠BAD＝∠CAE
∵AB＝AC＝2OAC中点
∴AQ＝AO
△AQD△AOE中
∴△AQD≌△AOE（SAS）
∴QD＝OE
∵点D直线BC运动
∴QD⊥BC时QD
∵△ABC等腰直角三角形
∴∠B＝45°
∵QD⊥BC
∴△QBD等腰直角三角形
∴QD＝QB
∵QB＝AB＝1
∴QD＝
∴线段OE值．
选：B．
例题3图1Rt△ABC中∠B＝90°cosC＝点DE分边BCAC中点连接DE△EDC绕点C时针方旋转记旋转角θ．0°≤θ＜360°时变化？请仅图2情况出证明．
（图1） （图2）
0°≤α＜360°时没变化
∵∠ECD＝∠ACB
∴∠ECA＝∠DCB
∵＝＝
∴△ECA∽△DCB
∴＝＝
巩固练
1． 图示已知△ABC△BDE均等边三角形连接ADCE∠BAD＝39°∠ACE＝_______．
2图△ABC等边三角形AB＝2点DBC边动点连接ADAD边右作等边△ADE连接CE
(1)点D点B运动点C程中点E运动路径长_________
2)点D运动程中否存∠DEC＝60°存求出BD长存请说明理
(3)取AC中点P连接PE点D运动程中求PE值
3锐角△ABC中AB＝4BC＝5∠ACB＝45°△ABC绕点B逆时针方旋转．
（1）图1点线段CA延长线时求度数
（2）图2连接．面积4求面积
图1 图2
4提出问题
（1）图1等边△ABC中点MBC意点（含端点BC）连结AMAM边作等边△AMN连结CN．求证：BM＝CN．
类探究
（2）图2等边△ABC中点MBC延长线意点（含端点C）条件变(1)中结BM＝CN成立？请说明理．
拓展延伸
（3）图3等腰△ABC中BA＝BCAB＝6AC＝4点MBC意点（含端点BC）连结AMAM边作等腰△AMN顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BMCN数量关系说明理．
图1 图2 图3
5图正方形ABCDBGFE边长分21正方形BGFE绕点B旋转直线AEGC相交点H．
（1）正方形BGFE绕点B旋转程中∠AHC否始终90°请说明理
（2）连接DHBH正方形BGFE绕点B旋转程中求DH值
备图
6图1已知点A(0－3)x轴动点C(m0)△AOB△BCD等边三角形．
（1）C点运动程中始终两点距离等OC长度请找出说明理．
（2）图2△BCDCD翻折△ECD点Cx轴运动时设点E(xy)请m表示点E坐标求出点E运动时图象解析式．
（3）C点运动程中时直接写出△ABD等腰三角形时E点坐标．
图1 图2
旋转构造双子型
类图特点图形完整补全图形答案解出方法仅仅构造旋转构造旋转互相代常常选旋转解决专题算构造思路解决面转方法读者行尝试图样
例题讲解
例题4．图示四边形ABCD中AD＝3CD＝2∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°BD长_________．
解：作AD′⊥ADAD′＝AD连接CD′DD′图：
∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD
∠BAD＝∠CAD′
△BAD△CAD′中
∴△BAD≌△CAD′（SAS）
∴BD＝CD′∠DAD′＝90°
勾股定理DD′＝＝3∠D′DA＋∠ADC＝90°
勾股定理CD′＝＝
∴BD＝CD′＝．
答案：．
杂说旋转需△ADB绕点A时针旋转90°连接DD证明△ADD等腰直角三角形
例题5图△ABC中∠ABC＝60°AB＝＝8AC腰点A顶点作等腰△ACD∠DAC＝120°BD长________
解：A旋转中心△BAC逆时针旋转120°△EAD连接BE作AP⊥BEP
∠BAE＝120°AB＝AE
∴∠ABE＝∠AEB＝30°
∴BP＝AB•cos∠ABP＝3∠AEB＝90°
∴BE＝2BP＝6
Rt△BED中BD＝＝10
答案：10．
巩固练
1．问题探究
（1）图1锐角△ABC中分ABAC边外作等腰△ABE等腰△ACDAE＝ABAD＝AC∠BAE＝∠CAD连接BDCE试猜想BDCE关系说明理．
深入探究
（2）图2四边形ABCD中AB＝7cmBC＝3cm∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°求BD长．
（3）图3（2）条件△ACD线段AC左侧时求BD长．
图1 图2 图3
2(1)图1已知△ABCABAC边分△ABC外作等边△ABD等边△ACE连接BECD请完成图形（尺规作图写作法保留作图痕迹）证明：BE＝CD
（2）图2利（1）中方法解决问题：四边形ABCD中AD＝3BD＝2∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°求BD长
（3）图3四边形ABCD中∠BAC＝90°∠ADB＝∠ABC＝αtanα＝＝5AD＝12求BD长．
图1 图2 图3
参考答案
1解：∵△ABC△BDE均等边三角形
∴∠ABC＝∠DBE＝60°AB＝BCBE＝BD
∴∠CBD＝60°
∴∠ABD＝∠CBE＝120°
△ABD△CBE中
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴∠AEC＝∠ADB
∵∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝21°
∴∠AEC＝21°∴∠ACE＝99°答案：99°．
2解：
(1)△ABD≌△ACEBDCEE运动路径长D运动路径长BC2
(2)∠DEC＝60°相∠AEC∠ADB120°∠EDC0°时点D点B重合存
(3)∠ACE60°PE⊥CE时取值PEPC×cos60°
3解：（1）旋转性质：∠A1C1B＝∠ACB＝45°BC＝BC1
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°
∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1
∴BA＝BA1BC＝BC1∠ABC＝∠A1BC1
∴∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1
∴∠ABA1＝∠CBC1
∴△ABA1∽△CBC1．
∴
∵S△ABA1＝4
∴S△CBC1＝
4（1）证明：∵△ABC△AMN等边三角形
∴AB＝ACAM＝AN∠BAC＝∠MAN＝60°
∴∠BAM＝∠CAN
∵△BAM△CAN中
∴△BAM≌△CAN（SAS）
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结∠ABC＝∠ACN成立
理：∵△ABC△AMN等边三角形
∴AB＝ACAM＝AN∠BAC＝∠MAN＝60°
∴∠BAM＝∠CAN
∵△BAM△CAN中
∴△BAM≌△CAN（SAS）
∴∠ABC＝∠ACN．
（3）解：∠ABC＝∠ACN
理：∵BA＝BCMA＝MN顶角∠ABC＝∠AMN
∴底角∠BAC＝∠MAN
∴△ABC∽△AMN
∴＝
∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC
∴∠BAM＝∠CAN
∴△BAM∽△CAN
∴∠ABC＝∠ACN．
5解：（1）理：
图旋转知∠ABE＝CBG
正方形ABCDBGFE中
AB＝BCBE＝BG∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°
∴△ABE≌△CBG
∴∠BAE＝∠BCG
记AHBC交点点P
∵∠APB＝∠CPH∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°
∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°
∴∠AHC＝∠ABC＝90°
（2）DH≤DE+EGBD
6解：（1）连接AD图1示．
AD两点间距离始终等OC长度．理：
∵△AOB△BCD等边三角形
∴AB＝OBBD＝BC∠ABO＝∠CBD＝60°
∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD∠OBC＝∠OBD＋∠DBC
∴∠ABD＝∠OBC．
△ABD△OBC中
∴△ABD≌△OBC（SAS）
∴AD＝OC．
（2）D作DF⊥y轴F连接BE图2示．
（1）知△ABD≌△OBC
∴AD＝OC＝m∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°
∴DF＝AD•sin∠DAF＝mAF＝AD•cos∠DAF＝m
∵A（0﹣3）
∴D（mm﹣3）．
∵△BCDCD翻折△ECD△BCD等边三角形
∴四边形BCED菱形
∴BECD互相分．
∵△AOB等边三角形点O（00）点A（0﹣3）
∴点B（﹣）
∴E（m﹣m﹣）．
∵m﹣＝（m﹣）
∴点E图形y＝x运动．
（3）∵点A（0﹣3）点B（﹣）点D（mm﹣3）
∴AB＝3AD＝mBD＝＝
△ABD等腰三角形分三种情况：
①AB＝AD时3＝m
时点E坐标（﹣﹣）
②AB＝BD时3＝
解：m＝0（舍）m＝3
时点E坐标（33）
③AD＝BD时m＝
解：m＝（舍）．
综知：C点运动程中m＞时△ABD等腰三角形时E点坐标（﹣﹣）（33）．
1解：（1）BD＝CE．
理：∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC∠EAC＝∠BAD
△EAC△BAD中
∴△EAC≌△BAD
∴BD＝CE
（2）图2△ABC外部A直角顶点作等腰直角△BAE∠BAE＝90°AE＝AB连接EAEBEC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°
∴AC＝AD∠CAD＝90°
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC∠EAC＝∠BAD
△EAC△BAD中
∴△EAC≌△BAD
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7
∴BE＝＝7∠ABE＝∠AEB＝45°
∵∠ABC＝45°
∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°
∴EC＝＝＝
∴BD＝CE＝．
（3）图3线段AC右侧点A作AE⊥AB点A交BC延长线点E连接BE．
∵AE⊥AB
∴∠BAE＝90°
∵∠ABC＝45°
∴∠E＝∠ABC＝45°
∴AE＝AB＝7BE＝＝7
∵∠ACD＝∠ADC＝45°
∴∠BAE＝∠DAC＝90°
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC∠EAC＝∠BAD
△EAC△BAD中
∴△EAC≌△BAD
∴BD＝CE
∵BC＝3
∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．
2解：（1）图1分点AB圆心AB半径画弧交点D连接ADBD分AC圆心AC半径画弧交点E连接AECE△ABD△ACE求作等边三角形
证明：图1∵△ABD△ACE等边三角形
∴AD＝ABAC＝AE∠DAB＝∠EAC＝60°
∴∠DAC＝∠BAE
∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴BE＝CD
（2）图2A作AE⊥ADAD＝AE＝3连接DECE
勾股定理：DE＝＝3
∴∠EDA＝45°
∵∠ADC＝45°
∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°
∵∠ACB＝∠ABC＝45°
∴∠CAB＝90°
∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC
∠EAC＝∠DAB
∵AE＝ADAC＝AB
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝BD
Rt△DCE中EC＝＝＝
∴BD＝EC＝
（3）图3作直角三角形DAE∠DAE＝90°
∠DEA＝∠ACB连接EC
容易△DAE∽△BAC
∴
∵∠DAE＝∠BAC＝90°
∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC∠EAC＝∠DAB
∴△EAC∽△DAB
∴
△DCE中∠ADC＝∠ACB
∠EDA＝∠ABC
∴∠EDC＝90°
∵AD＝12
∴AE＝9∠DAE＝90°
∴DE＝＝15
CE＝＝5
△EAC∽△DAB
∴
BD＝．
第4讲 模型K字型
模型讲解
直角型 锐角型 钝角型
例题讲解 (直接K字型)
例题1 (1)问题：图1四边形ABCD中点PAB点∠DPC＝∠A＝∠B＝90°求证：AD﹒BC＝AP﹒BP
（2）探究：图2四边形ABCD中点PAB点∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时述结否然成立？说明理．
（3）应：请利(1)(2)获验解决问题：
图3△ABD中AB＝6AD＝BD＝5点P秒1单位长度速度点A出发边AB点B运动满足∠CPD＝∠A设点P运动时间t（秒）DC＝4BC时求t值．
解：（1）图1
图1
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°
∴∠ADP＋∠APD＝90°
∠BPC＋∠APD＝90°
∴∠ADP＝∠BPC
∴△ADP∽△BPC
∴＝
∴AD•BC＝AP•BP
（2）结AD•BC＝AP•BP然成立．
理：图2
图2
∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC∠BPD＝∠A＋∠ADP
∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP．
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ
∴∠BPC＝∠ADP
∴△ADP∽△BPC
∴＝
∴AD•BC＝AP•BP
（3）图3
图3
∵DC＝4BC
∵AD＝BD＝5
∴DC＝4BC＝1
（1）（2）验知AD•BC＝AP•BP
∴5×1＝t（6﹣t）
解：t1＝1t2＝5
∴t值1秒5秒．
例题2图等边△ABC中△ABC着MN折叠点A落边BC点D处
(1)AB＝4△BMD直角三角形时求AM长
(2)BDCD＝13时求AMAN值
解：(1)图1设BM＝kAM＝DM＝k方程k＋k＝4k＝2＋2AM＝2（3－）
理图2求AM＝8－12
(2)图3设BD＝mCD＝3m△BDM△CDN周长相似5：7AM：AN＝DM：DN＝5：7
图1 图2 图3
巩固练
1图已知△ABC△ADE均等边三角形DBCDEAC相交点FAB＝9BD＝3CF等（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2图坐标系中O(00)A（66）B（120）△OAB直线线CD折叠点A恰落线段OB点E处OE＝CE：DE值_________．
3正方形ABCD边长4MN分BCCD两动点M点BC运动时保持AM⊥MN
(1)设BM＝xCN＝y求yx间函数关系式
(2)点MN运动程中求CN值
4．图面直角坐标系中点AC分x轴y轴四边形ABCO矩形AB＝16点D点A关y轴称tan∠ACB＝＝∠CAO点EF分线段ADAC动点（点E点AD重合）∠CEF＝∠ACB．
（1）求AC长点D坐标
（2）证明：△AEF∽△DCE
（3）△EFC等腰三角形时求点E坐标．
5图．等腰直角三角形ABC中∠A＝90°PBC中点明着含45°角透明三角形45°角顶点落点P绕P旋转．
（1）图①：三角板两边分ABAC交EF点时试说明△BPE∽△CFP．
（2）三角板绕点P旋转图②三角板两边分交BA延长线边AC点EF．
探究1：△BPE△CFP．相似？（需写结）
探究2：连接EF△BPE△EFP否相似？请说明理．
图① 图②
6图条抛物线原点点C(80)AB该抛物线两点AB∥x轴OA＝5AB＝2．点E线段OC作∠MEN＝∠AOC∠MEN边始终点A边交线段BC点F连接AF．
（1）求抛物线解析式
（2）点FBC中点时求点E坐标
（3）△AEF等腰三角形时求点E坐标．
7试题现图1Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC直线l点C点AB分作AD⊥l点DBE⊥l点EDE＝AD＋BE(证明）．
（1）类探究图2△ABC中AC＝BC∠ACB＝∠ADC＝∠BEC＝100°述结否成立？成立请说明理：成立请写出认正确结．
（2）拓展延伸①图3△ABC中AC＝nBC∠ACB＝∠ADC＝∠BEC＝100°猜想线段DEADBE间什数量关系？证明猜想．
②图1Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝nBC直线l绕点C旋转定角度斜边AB相交分点AB作直线l垂线垂足分点D点E请备图画出图形直接写出线段DEADBE间满足种数量关系（求写出证明程）．
图1 图2
图3 备图
例题讲解(构造K字型)
基构造方法
例题1图直角坐标系中矩形ABCO边OAx轴边OCy轴点B坐标(48)矩形角线AC翻折B点落D点位置AD交y轴点E点D坐标_______
解：图D作DF⊥x轴F
∵点B坐标（48）
∴AO＝4AB＝8
根折叠知：CD＝OA
∠D＝∠AOE＝90°∠DEC＝∠AEO
∴△CDE≌△AOE
∴OE＝DEOA＝CD＝4
设OE＝xCE＝8﹣xDE＝x
∴Rt△DCE中CE2＝DE2＋CD2
∴（8﹣x）2＝x2＋42
∴x＝3
DF⊥AF
∴DF∥EO
∴△AEO∽△ADF
AD＝AB＝8
∴AE＝CE＝8﹣3＝5
∴＝＝
∴DF＝AF＝
∴OF＝﹣4＝
∴D坐标（﹣）．
答案：（﹣）．
例题2图矩形ABCD中AB＝2AD点A(01)点CD反例函数y＝图象ABx轴正半轴相交点EEAB中点k值_______．
解：图作DF⊥y轴FB点作x轴行线C点垂直x轴直线交GCG交x轴K作BH⊥x轴H
∵四边形ABCD矩形
∴∠BAD＝90°
∴∠DAF＋∠OAE＝90°
∵∠AEO＋∠OAE＝90°
∴∠DAF＝∠AEO
∵AB＝2ADEAB中点
∴AD＝AE
△ADF△EAO中
∴△ADF≌△EAO（AAS）
∴DF＝OA＝1AF＝OE
∴D（1k）
∴AF＝k﹣1
理△AOE≌△BHE△ADF≌△CBG
∴BH＝BG＝DF＝OA＝1EH＝CG＝OE＝AF＝k﹣1
∴OK＝2（k﹣1）＋1＝2k﹣1CK＝k﹣2
∴C（2k﹣1k﹣2）
∴（2k﹣1）（k﹣2）＝1•k
解k1＝k2＝
∵k﹣1＞0
∴k＝
答案：．
例题3图直线a∥b∥cab间距离3bc间距离6abc分等边三角形ABC三顶点三角形边长______________
简解：构造∠BDC∠AEC60°△BCD≌△CAE求AC2
例题4图抛物线y＝坐标轴交ABC三点点M线段BC线段OM绕O点逆时针旋转90°点M应点N恰落第象限抛物线求N点坐标．
简解：A（10）B（30）C（0－3）直线BC：y＝x－3
设M（tt－3）N（3－tt）代入函数关系式求t＝01N（21）
巩固练
1图直线l1∥l2∥l3等腰直角三角形ABC三顶点ABC分l1l2l3∠ACB＝90°AC交l2点D已知l1l2距离1l2l3距离3△ABC面积_____________
2．图边长正方形ABCD顶点Ay轴顶点D反例函数y＝图象已知点B坐标k值（ ）
A． B． C．4 D．6
3图AB＝4射线BMAB互相垂直点DAB动点点E射线BMBE＝作EF⊥DE截取EF＝DE连结AF延长交射线BM点C．设BE＝xBC＝yy关x函数解析式（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
4．图矩形AOBC中点A坐标(－21)点C坐标4BC两点坐标分（ ）
A． B．
C． D．
5．图面直角坐标系中矩形ABCD边AB直线解析式y＝kx＋2顶点CD反例函数y＝图象tan∠ADB＝2．点D坐标_______．
6已知抛物线y＝mx2－3mx－4mx轴交AB两点（点A点B左侧）y轴交点C∠ACB＝90°时
（1）求抛物线解析式
（2）抛物线开口时第象限抛物线点P横坐标a∠BPC＝90°
时求a值
7两条抛物线顶点相称友抛物线抛物线：＝：＝友抛物线．
（1）求抛物线解析式．
（2）点A抛物线第象限动点A作AQ⊥x轴Q垂足求AQ＋OQ值．
（3）设抛物线顶点C点B坐标(－14)问称轴否存点M线段MB绕点M逆时针旋转90°线段MB′点B′恰落抛物线？存求出点M坐标存说明理．
8图面直角坐标系中抛物线x轴交点A（－10）B（30）y轴交点C直线BC解析式y＝kx＋3
（1）求抛物线直线BC解析式
（2）抛物线称轴找点P∠CBP＝90°求P点坐标
（3）点Q第象限抛物线动点∠CQB＝90°时求Q点坐标
9明喜欢探究钻研学生学起研究某条抛物线y＝ax2（a＜0）性质时直角三角板直角顶点置面直角坐标系原点O两直角边该抛物线交AB两点请解答问题：
图1 图2
（1）明测OA＝OB＝4（图1）求a值
（2）条抛物线明三角板绕点O旋转图2示位置时B作BF⊥x轴点F测OF＝2写出时点B坐标求点A横坐标
（3）该抛物线明三角板绕点O旋转意角度时惊奇发现交点AB连线段总固定点试说明理求出该点坐标．
参考答案
1解：图∵△ABC△ADE均等边三角形
∴∠B＝∠BAC＝60°
∴∠BAD＋∠ADB＝120°∠ADB＋∠FDC＝120°
∴∠BAD＝∠FDC
∵∠B＝∠C＝60°∴
∴△ABD～△CDF
∴AB：BD＝CD：CF
9：3＝（9﹣3）：CF
∴CF＝2．
2解：A作AF⊥OBF
∵A（66）B（120）
∴AF＝6OF＝6OB＝12
∴BF＝6
∴OF＝BF
∴AO＝AB
∵tan∠AOB＝
∴∠AOB＝60°
∴△AOB等边三角形
∴∠AOB＝∠ABO＝60°
∵△OAB直线线CD折叠点A恰落线段OB点E处
∴∠CED＝∠OAB＝60°
∴∠OCE＝∠DEB
∴△CEO∽△DBE
∴
设CE＝aCA＝aCO＝12﹣aED＝bAD＝bDB＝12﹣b
∴24b＝60a﹣5ab①
∴36a＝60b﹣5ab②
②﹣①：36a﹣24b＝60b﹣60a
∴＝
CE：DE＝．
答案：．
3解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴∠B＝∠C＝90°
∵AM⊥MN
∴∠AMN＝90°
∴∠AMB＋∠NMC＝90°
∠AMB＋∠BAM＝90°
∴∠BAM＝∠NMC
∴Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN
∴AB：MC＝BM：NC
AB＝4BM＝xMC＝4﹣x
∴4：（4﹣x）＝x：NC
∴NC＝
∴y＝（NC＋AB）•BC
＝（＋4）×4
＝﹣x2＋2x＋8．
4解：（1）题意tan∠ACB＝
∴cos∠ACB＝
∵四边形ABCO矩形AB＝16
∴BC＝＝12AC＝＝20
∴A（﹣120）
∵点D点A关y轴称
∴D（120）
（2）∵点D点A关y轴称
∴∠CDE＝∠CAO
∵∠CEF＝∠ACB∠ACB＝∠CAO
∴∠CDE＝∠CEF
∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠CDE＋∠DCE
∴∠AEF＝∠DCE
∴△AEF∽△DCE
（3）△EFC等腰三角形时三种情况：
①CE＝EF时
∵△AEF∽△DCE
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝CD＝20
∴OE＝AE﹣OA＝20﹣12＝8
∴E（80）
②EF＝FC时点F作FM⊥CEM点MCE中点
∴CE＝2ME＝2EF•cos∠CEF＝2EF•cos∠ACB＝EF
∵△AEF∽△DCE
∴＝＝
∴AE＝
∴DE＝AE﹣OA＝﹣12＝
∴E（0）
③CE＝CF时∠CFE＝∠CEF
∵∠CEF＝∠ACB＝∠CAO
∴∠CFE＝CAO时点E点D重合已知条件矛盾
综述E（80）（0）．
5（1）证明：∵△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°
∴∠BPE＋∠BEP＝135°
∵∠EPF＝45°
∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°
∴∠BPE＋∠CPF＝135°
∴∠BEP＝∠CPF
∵∠B＝∠C
∴△BPE∽△CFP（两角应相等两三角形相似）．
（2）探究1：△BPE△CFP相似
探究2：证明：连接EF△BPE△CFP相似
∵△BPE∽△CFP
∴
∵CP＝BP
∴
∴
∵∠B＝∠EPF
∴△BEP∽△PEF．
6解：（1）图
∵该抛物线原点点C（80）
∴设该抛物线解析式：y＝ax（x﹣8）（a≠0）．
∵点C（80）
∴该抛物线称轴x＝4．
∵AB＝2AB∥x轴
∴设A（3t）B（5t）
∵OA＝5
∴t＝4A（34）B（54）
∴点A坐标代入解析式
4＝3a×（3﹣8）解a＝﹣
∴该抛物线解析式：y＝﹣x（x﹣8）（y＝﹣x2＋x）
（2）∵AB∥x轴
∴根抛物线称性知OA＝CB＝5∠AOC＝∠BCO
∵点FBC中点
∴CF＝．
∵∠MEN＝∠AOC∠AEF＝∠AOC∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠AOC＋∠OAE
∴∠CEF＝∠OAE
∴△AOE∽△ECF
∴＝＝
解OE＝OE＝
E（0）
（3）①AE＝EF时证△AOE≌△ECF．
OA＝CE＝5
∴OE＝3E（30）
②AF＝EF时点F作FK∥AO．
易证△ABF≌△FKE求OE＝E（0）
③AE＝AF时AO取点QEQ＝OE．
易证△ABF≌△EQAEQ＝AB＝2
∴OE＝2．E（20）
综述点E坐标：（30）（0）（20）时△AEF等腰三角形．
7解：（1）类探究猜想DE＝AD＋BE．
理：图2
∵∠ADC＝100°
∴∠DAC＋∠DCA＝80°．
∵∠ACB＝100°
∴∠DCA＋∠ECB＝80°
∴∠DAC＝∠ECB．
△ACD△CBE中
∴△ACD≌△CBE
∴AD＝CECD＝BE
∴DE＝AD＋BE
（2）拓展延伸①猜想：DE＝AD＋nBE．
理：图3
∵∠ADC＝100°
∴∠DAC＋∠DCA＝80°．
∵∠ACB＝100°
∴∠DCA＋∠ECB＝80°
∴∠DAC＝∠ECB．
∵∠ADC＝∠CEB
∴△ADC∽△CEB
∴＝＝＝n
∴CE＝ADCD＝nBE
∴DE＝DC＋CE＝AD＋nBE
②DE＝AD﹣nBEDE＝nBE﹣AD．
提示：①：CE＝ADCD＝nBE．
图4
DE＝CE﹣CD＝AD﹣nBE
图5
DE＝CD﹣DE＝nBE﹣AD．
1简解：构造直角三角形全等BC＝AC＝5
2解：图作DE⊥OAEBF⊥OAF
∵四边形ABCD正方形
∴AD＝AB∠DAB＝90°
∵∠EAD＋∠FAB＝90°∠FAB＋∠ABF＝90°
∴∠EAD＝∠ABF
△ADE△BAF中
∴△ADE≌△BAF
∴AF＝EDAE＝BF
∵B点坐标（）AB＝
∴OF＝AF＝DE＝＝＝1．
∴OE＝4点D坐标（14）
∴k＝4．
选：C．
3解：作FG⊥BCG
∵∠DEB＋∠FEC＝90°∠DEB＋∠BDE＝90°
∴∠BDE＝∠FEG
△DBE△EGF中
∴△DBE≌△EGF
∴EG＝DBFG＝BE＝x
∴EG＝DB＝2BE＝2x
∴GC＝y﹣3x
∵FG⊥BCAB⊥BC
∴FG∥AB
CG：BC＝FG：AB
＝
∴y＝﹣．
选：A．
4解：图点AB作x轴垂线垂足分FM．点C作y轴垂线交FA
∵点A坐标（﹣21）点C坐标4
∴AF＝1FO＝2AE＝3
∵∠EAC＋∠OAF＝90°∠OAF＋∠AOF＝90°
∴∠EAC＝∠AOF
∵∠E＝∠AFO＝90°
∴△AEC∽△OFA
∴
∴EC＝∴点C坐标（﹣4）
∵△AOF≌△BCN△AEC≌△BMO
∴CN＝2BN＝1BM＝MN﹣BN＝3BM＝AE＝3OM＝EC＝
∴点B坐标（3）
5解：点D作DE⊥y轴E点C作CF⊥x轴图示．
∵点AB直线y＝kx＋2分y轴x轴交点
∴A（02）B（﹣0）
∴OA＝2OB＝﹣．
∵四边形ABCD矩形
∴∠A＝90°AD＝BC．
∵tan∠ADB＝2
∴＝2＝2．
∵∠DEA＝∠AOB＝90°∠EAD＝∠ABO＝90°﹣∠OAB
∴△AED∽△BOA
∴＝＝＝
∴ED＝1AE＝﹣
∴点D（12﹣）．
理：点C（1﹣﹣）．
∵点CD反例函数y＝（m＞0）图象
∴1×（2﹣）＝（1﹣）•（﹣）
∴k＝±1．
∵k＜0
∴k＝﹣1
∴点D坐标（13）．
6解：（1）A（－10）B（40）C（0－4m）利AO×BO＝CO2列方程m＝－
(2)构造基图形设P（ab）中b(a23a4)CMb2BNbPN4aNP4a方程a(4a)b(b2)a(4a) (a4)（a+1)(a2+a)a3(103舍)
7解：（1）∵y1＝﹣2x2＋4x＋2＝﹣2（x﹣1）2＋4
∴抛物线C1顶点坐标（14）．
∵抛物线C1C2顶点相
∴＝1﹣1＋m＋n＝4．
解：m＝2n＝3．
∴抛物线C2解析式y2＝﹣x2＋2x＋3．
（2）图1示：
设点A坐标（a﹣a2＋2a＋3）．
∵AQ＝﹣a2＋2a＋3OQ＝a
∴AQ＋OQ＝﹣a2＋2a＋3＋a＝﹣a2＋3a＋3＝﹣（a﹣）2＋．
∴a＝时AQ＋OQ值值．
（3）图2示连接BC点B′作B′D⊥CM垂足D．
∵B（﹣14）C（14）抛物线称轴x＝1
∴BC⊥CMBC＝2．
∵∠BMB′＝90°
∴∠BMC＋∠B′MD＝90°．
∵B′D⊥MC
∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°．
∴∠MB′D＝∠BMC．
△BCM△MDB′中
∴△BCM≌△MDB′．
∴BC＝MDCM＝B′D．
设点M坐标（1a）．B′D＝CM＝4﹣aMD＝CB＝2．
∴点B′坐标（a﹣3a﹣2）．
∴﹣（a﹣3）2＋2（a﹣3）＋3＝a﹣2．
整理：a2﹣7a＋10＝0．
解a＝2a＝5．
a＝2时M坐标（12）
a＝5时M坐标（15）．
综述点M坐标（12）（15）时B′恰落抛物线C2．
8解：
(1)C（03）抛物线y－(x+1)(x－3)－x2+2x+3
(2)直线BCy－x+3取BC中点M（）MP12BC32P（±）
(3)设Q（ab）类似第6题Q
9解：（1）设线段ABy轴交点C抛物线称性CAB中点
∵OA＝OB＝4∠AOB＝90°
∴AC＝OC＝BC＝4
∴B（4﹣4）
B（4﹣4）代入抛物线y＝ax2（a＜0）a＝﹣．
（2）点A作AE⊥x轴点E
∵点B横坐标2
∴B （2﹣1）
设A（﹣m﹣m 2）（m＞0）
OB2＝22＋12＝5OA2＝m2＋m4AB2＝（2＋m）2＋（﹣1＋m2）2
∵∠AOB＝90°
∴AB2＝OA2＋OB2
∴（2＋m）2＋（﹣1＋m2）2＝m2＋m4＋5
解：m＝0（合题意舍）m＝8点A横坐标﹣8．
（3）设A（﹣m﹣m 2）（m＞0）B（n﹣n 2）（n＞0）
设直线AB解析式：y＝kx＋b
①×n＋②×m（m＋n）b＝﹣（m2n＋mn2）＝﹣mn（m＋n）
∴b＝﹣mn
前知OB2＝n2＋n4OA2＝m2＋m4AB2＝（n＋m）2＋（﹣m2＋n2）2
AB2＝OA2＋OB2：n2＋n4＋m2＋m4＝（n＋m）2＋（﹣m2＋n2）2
化简mn＝16．
∴b＝﹣×16＝﹣4．知k值直线AB恒点（0﹣4）．
第5讲 模型母子型
模型讲解
△ACD∽△ABC △ACD∽△BCA∽△BAD
AC2＝AD·AB 射影定理：①AD2＝DB×DC
②BA2＝BD×BC
③CA2＝CD×CB
圆中母子型
圆外点P作引圆两条切线PA圆切线 PB交圆点C
连接OPAB △PAC∽△PBA
OPAB垂直分线
例题讲解
例题1图P线段AB点ADBC交E∠CPD＝∠A＝∠BBC交PDFAD交PCG图中相似三角形（ ）
A1 B2 C3 D4
解：∵∠CPD＝∠B∠C＝∠C
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A∠D＝∠D
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B∠APG＝∠B＋∠C∠BFP＝∠CPD＋∠C
∴∠APG＝∠BFP
∴△APG∽△BFP．
图中相似三角形3
答案：C．
例题2Rt△ABC中∠ACB＝90°C作CD⊥AB垂足D
（1）AD＝1BD＝4求CD长（2）AC＝3BD＝求AB长
总结直角母子型中6条线段已知中意2条求出线段长
答案：（1）△ADC∽△CDB½½CD2＝AD×BD½CD＝2
（2）△ADC∽△BCA½＝½AC2＝AD×AB设AD＝xAB＝x＋
整理：5x2＋16x－45＝0解x＝AB＝5
例题3图△ABC中AC边直径⊙O交BC点D点B作BG⊥AC交⊙O点EH连ADEDECBD＝8DC＝6CE长
解：∵AC⊙O直径
∴∠ADC＝90°
∵BG⊥AC
∴∠BGC＝∠ADC＝90°
∵∠BCG＝∠ACD
∴△ADC∽△BGC
∴＝
∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84
连接AE
∵AC⊙O直径
∴∠AEC＝90°
∴∠AEC＝∠EGC＝90°
∵∠ACE＝∠ECG
∴△CEG∽△CAE
∴＝
∴CE2＝CG×AC＝84
∴CE＝2
例题4图已知⊙O半径2AB直径CD弦ABCD交点M弧CD着CD翻折点A圆心O重合延长OAPAP＝OA连接PC
（1）求证：PC⊙O切线
（2）点G弧ADB中点PC延长线动点Q连接QG交AB点E交弧BC点F（FBC重合）问GE·GF否定值？果求出该定值果请说明理
（1）证明：∵PA＝OA＝2AM＝OM＝1CM＝CD＝∠CMP＝∠OMC＝90°
∴PC＝＝＝2
∵OC＝2PO＝2＋2＝4
∴PC2＋OC2＝（2）2＋22＝16＝PO2
∴∠PCO＝90°
∴PC⊙O切线
（2）解：GE•GF定值证明
连接GO延长交⊙O点H连接HF
∵点G中点
∴∠GOE＝90°
∵∠HFG＝90°∠OGE＝∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴＝
∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．
例题5二次函数y＝ax2＋2ax＋c图象x轴分交AB两点（点A点B左侧）y轴交点C顶点PAB直径圆点C问直线CP该圆位置关系说明理
答案：设A（x10）B（x20）AB中点M（圆心）
x1＋x2＝－2x1x2＝－P（－1c）C（0c）
MA＝MB＝MC＝AB½ac＝1
设圆半径R
R2＝AB2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋＝1＋
易求直线CP：y＝ax＋cax－y＋c＝0设圆心M直线CP距离d
d2＝＝＝＝1＋＝1＋
∵d2＝r2∴d＝rC圆相切
例题6图面直角坐标系xOy中抛物线y＝（x－m）2－m2＋m顶点Ay轴交点B连结ABAC⊥AB交y轴点C延长CA点DAD＝AC连结BD作AE∥x轴DE∥y轴
（1）m＝2时点B坐标
（2）DE长否定值请求出该值请说明理
解：（1）m＝2时y＝（x－2）2＋1
x＝0代入y＝（x－2）2＋1：y＝2
∴点B坐标（02）
（2）延长EA交y轴点F
∵AD＝AC∠AFC＝∠AED＝90°∠CAF＝∠DAE
∴△AFC≌△AED
∴AF＝AE
∵点A（m－m2＋m）点B（0m）
∴AF＝AE＝|m|BF＝m－（－m2＋m）＝m2
∵∠ABF＝90°－∠BAF＝∠DAE∠AFB＝∠DEA＝90°
∴△ABF∽△DAE
∴＝：＝
∴DE＝4．
注：节容身没配巩固练完整节容
第6讲 巧旋转解题
例题讲解
条件中出现邻边相等＋角互补＋半角
例题1图Rt△ABC斜边AC翻折Rt△ADCEF分BCCD边点∠EAF＝∠BAD连结EF试猜想BEEFDF三条线段间数量关系证明结
解析图延长CBQBQ＝DF连接AQ
∵△ABC△ADC关AC称
∴△ABC≌△ADC∴AB＝AD∠ABC＝∠D
∵∠ABC＝90°∴∠ABQ＝∠D＝90°
易证△ADF≌△ABQ（SAS）
∴AQ＝AF∠QAB＝∠DAF
∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF∴∠BAQ＋∠BAE＝∠EAF
∠EAQ＝∠EAF
易证△EAQ≌△EAF（SAS）
∴EF＝EQ＝BE＋BQ＝BE＋DF
二条件中出现邻边相等＋半角
例题2图等边△ABC中点PQ边BC∠PAQ＝30°BP＝2QC＝3△ABC边长
解析△ABP绕点A逆时针旋转60°△ACP＇连接QP＇
易证△AQP≌△AQP＇
∴∠P＇CD＝60°
P＇D作P＇D⊥BC交BC延长线点D
Rt△P＇CD中CD＝1P＇D＝
Rt△P＇QD中计算出QP＇＝
∴PQ＝∴边长5＋
三条件中出现邻边相等＋角互补
例题3图⊙O接四边形ABCD中AB＝3AD＝5∠BAD＝60°点C弧BD中点AC长
解析点C弧BD中点BC＝CD∠BAC＝∠CAD出现邻边相等△ABC绕点C旋转BCCD重合图△ACE等腰三角形顶角∠ACE＝∠BCD＝120°底边长AE＝AD＋DE＝AD＋AB＝3＋5＝8底角30°等腰△ACE中求出AC＝
四仅邻边相等
例题4图等边△ABC中点PPA＝2PB＝4PC＝2
（1）求∠APB度数
（2）求△ABP面积
（3）求△APC面积
（4）求△ABC面积
解析
（1）图△ABC等边三角形
∴AB＝AC∠BAC＝60°
△ABP绕点A逆时针旋转60°△ACQ位置连接PQ
AQ＝AP＝2CQ＝BP＝4
∵∠PAQ＝60°
∴△APQ等边三角形
∴PQ＝PA＝2∠AQP＝60°
△PQC中满足PC2＝PQ2＋CQ2
∴∠PQC＝90°∠AQC＝150°
∴∠APB＝∠AQC＝150°
答案150
（2）（1）知∠APB＝150°图延长BP点A作AD⊥BD交BP延长线点D
∴∠APD＝30°AD＝AP＝
∵S△APB＝BP×AD＝×4×＝2
（3）知S△ABP＋S△APC＝S四边形APCQ
∵S四边形APCQ＝S△APQ＋S△PQC
∴S△ABP＋S△APC＝S△APQ＋S△PQC
∴2＋S△APC＝×（2）2＋×4×2＝7
∴S△APC＝5
（4）Rt△ABD中AD＝BD＝4＋3＝7
∴AB＝＝2
等边三角形面积公式S△ABC＝×（2）2＝13
巩固练
1图△ABC边长3等边三角形△BDC等腰三角形BD＝CD∠BDC＝120°D顶点作60°角角两边分交ABAC边MN连接MN△AMN周长
2图四边形ABCD中∠ABC＋∠ADC＝180°AB＝ADAE⊥BC点EAE＝18BC＝10CD＝6四边形ABCD面积
3已知点P等边△ABC点∠APB＝112°∠APC＝122°APBPCP边长构成三角形构成三角形角度数
4图P正方形ABCD点PC＝3∠APB＝135°△APB绕点B时针旋转90°△CP＇B连接PP＇BP长整数AP＝
5图E正方形ABCD点E点ADB距离EAEDEB分132延长AE交CD点F四边形BCFE面积
6图菱形ABCD中∠A＝60°点EF分ABAD意点（端点重合）AE＝DF连接BFDE相交点G连接CGBD相交点H出结：①△AED≌△DFB②S四边形BCDG＝CG2③AF＝2DFBG＝6GF④CGBD定垂直⑤∠BGE定值中正确结
7五边形ABCDE中AB＝AEBC＋DE＝CD∠ABC＋∠AED＝180°求证：AD分∠CDE
8图AB⊙O直径点C⊙O连接ACBC∠ACB分线交⊙O点D求证：AC＋BC＝CD
9正方形ABCD四顶点⊙OE⊙O点
（1）图1点E弧ABFDE点DF＝BE求证：△ADF≌△ABE
（2）（1）条件明发现线段DEBEAE间满足等量关系：DE－BE＝AE
请说明理
（3）图2点E弧AD写出线段DEBEAE间等量关系（必证明）
10问题背景：
图1：四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝120°∠B＝∠ADC＝90°EF分BCCD点∠EAF＝60°探究图中线段BEEFFD间数量关系
王学探究问题方法延长FD点GDG＝BE连结AG先证明△ABE≌△ADG证明△AEF≌△AGF出结结应
探索延伸：
图2四边形ABCD中AB＝AD∠B＋∠D＝180°EF分BCCD点∠EAF＝∠BAD述结否然成立说明理
实际应：
图3某次军事演中舰艇甲指挥中心（O处）北偏西30°A处舰艇乙指挥中心南偏东70°B处两舰艇指挥中心距离相等接行动指令舰艇甲正东方60海里时速度前进舰艇乙北偏东50°方80海里时速度前进15时指挥中心观测甲乙两舰艇分达EF处两舰艇间夹角70°试求时两舰艇间距离
11图知直线l1∥l245°角顶点Al1A作AD⊥l2垂足DAD＝6角绕顶点A旋转（角两边足够长）
（1）图旋转程中角两边l2分交BCAB＝AC求BD长解决问题面提供种解题思路：图作∠DAP＝45°APl2相交点P点C作CQ⊥AP点Q∠DAP＝∠BAC＝45°∴∠BAD＝∠CAQ请接完成解答
（2）旋转程中角两边l2分交EF（EF左面）AE＞AFDF＝2求DE长请鉴（1）做法备图中画图解答问题
参考答案
1解：∵△BDC等腰三角形∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC边长3等边三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延长ABFBF＝CN连接DF
Rt△BDFRt△CND中BF＝CNDB＝DC
∴△BDF≌△CDN
∴∠BDF＝∠CDNDF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM＋∠CDN＝60°
∴∠BDM＋∠BDF＝60°∠FDM＝60°＝∠MDNDM公边
∴△DMN≌△DMF
∴MN＝MF
∴△AMN周长：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6．
2解：图点A作AF⊥CD交CD延长线F连接AC
∠ADF＋∠ADC＝180°
∵∠ABC＋∠ADC＝180°
∴∠ABC＝∠ADF
易证△ABE≌△ADF（AAS）
∴AF＝AE＝19
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝BC•AE＋CD•AF＝×10×19＋×6×19＝95＋57＝152
答案：152．
3解：图△APC绕点A时针旋转60°△ABE连接PE．
∵AE＝AP∠EAP＝∠BAC＝60°
∴△EAP等边三角形∠EAB＝∠PAC
∴∠AEP＝∠APE＝60°PA＝PE
易证△EAP≌△PAC
∴EB＝PC
∴PAPBPC组成三角形△PEB
∵∠APB＝112°∠APE＝60°
∴∠EPB＝52
∵∠AEB＝∠APC＝122°∠AEP＝62°
∴∠PEB＝66°
∴∠EBP＝180°－∠BEP－∠EPB＝66°．
答案52°62°66°．
4解：∵△BP＇C△BPA旋转
∴∠APB＝∠CP＇B＝135°∠ABP＝∠CBP＇BP＝BP＇AP＝CP＇
∵∠ABP＋∠PBC＝90°
∴∠CBP＇＋∠PBC＝90°∠PBP＇＝90°
∴△BPP＇等腰直角三角形
∴∠BP＇P＝45°
∵∠APB＝∠CP＇B＝135°
∴∠PP＇C＝90°
设BP＝BP＇＝aAP＝CP＇＝b
PP＇＝a
Rt△PP＇C中∵PP＇2＋P＇C2＝PC2PC＝3
∴CP′＝＝
∵BP长a整数
∴满足式a12
a＝1时AP＝CP＇＝
a＝2时AP＝CP＇＝1
答案：1
5解：图△ADE绕点A时针旋转90°△ABM作DN⊥AF垂足N
∵AM＝AE＝1∠MAE＝90°
∴ME＝＝＝
∵BM2＋ME2＝（3）2＋（）2＝20BE2＝（2）2＝20
∴BM2＋ME2＝BE2
∴∠BME＝90°∵∠AME＝∠AEM＝45°
∴AMB＝∠AED＝135°
RT△DEN中∵DE＝3∠DEN＝45°
∴DN＝EN＝3AN＝4
∴AD＝＝＝5
∵∠DAN＝∠DAF∠AND＝∠ADF＝90°
∴△ADN∽△AFD
∴＝
∴＝
∴AF＝NF＝
∵S△ABE＋S△ADE＝S△ABM＋S△ABE＝S△AME＋S△BME＝×1×1＋××3＝
S△EDF＝×（3＋）×3＝
∴S四边形BCFE＝S正方形ABCD－（S△ABE＋S△AED）－S△EFD＝25－－＝
答案
6解：①∵ABCD菱形∴AB＝AD
∵AB＝BD∴△ABD等边三角形
∴∠A＝∠BDF＝60°
∵AE＝DFAD＝BD
∴△AED≌△DFB选项正确
②∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°＝∠BCD
∠BGD＋∠BCD＝180°
∴点BCDG四点圆
∴∠BGC＝∠BDC＝60°∠DGC＝∠DBC＝60°
∴∠BGC＝∠DGC＝60°
点C作CM⊥GBMCN⊥GDN（图1）
△CBM≌△CDN（AAS）
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN
S四边形CMGN＝2S△CMG
∵∠CGM＝60°
∴GM＝CGCM＝CG
∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2选项错误
③点F作FP∥AE交DEP点（图2）
∵AF＝2FD
∴FP：AE＝DF：DA＝1：3
∵AE＝DFAB＝AD
∴BE＝2AE
∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6
∵FP∥AE
∴PF∥BE
∴FG：BG＝FP：BE＝1：6
BG＝6GF选项正确
④点EF分ABAD中点时（图3）
（1）知△ABD△BDC等边三角形
∵点E F分ABAD中点
∴∠BDE＝∠DBG＝30°
∴DG＝BG
易证△GDC≌△BGC
∴∠DCG＝∠BCG
∴CH⊥BDCG⊥BD选项错误
⑤∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°定值
选项正确
综述正确结①③⑤3
选：B．
证明：图连接AC△ABC绕A点旋转120°△AEF
∵AB＝AE∠BAE＝120°
∴ABAE重合AC＝AF
∵∠ABC＋∠AED＝180°
∠ABC＝∠AEF
∵∠AEF＋∠AED＝180°
∴DEF条直线
BC＝EFBC＋DE＝CD
∴CD＝DF
∵AC＝AF
∴△ACD≌△AFD
∴∠ADC＝∠ADF
AD分∠CDE．
8证明：点D作DF⊥CA垂足FCA延长线作DG⊥CB点G连接DADB．
∵CD分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD
∴DF＝DG＝
∴DA＝DB
∵∠AFD＝∠BGD＝90°
易证Rt△AFD≌Rt△BGD（HL）
∴AF＝BG
理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL）
∴CF＝CG
∴AC＋BC＝CF－AF＋AG＋BG＝CF＋CG＝2CF
∵AB直径
∴∠ACB＝90°
∴∠ACD＝45°
∵△CDF等腰直角三角形
∴CF＝CD
∴AC＋BC＝2CF＝CD
9答案：（1）证明：正方形ABCD中AB＝AD
∵∠1∠2
∴∠1＝∠2
易证△ADF≌△ABE（SAS）
（2）（1）△ADF≌△ABE
∴AF＝AE∠3＝∠4
正方形ABCD中∠BAD＝90°
∴∠BAF＋∠3＝90°
∴∠BAF＋∠4＝90°
∴∠EAF＝90°
∴△EAF等腰直角三角形
∴EF2＝AE2＋AF2
∴EF2＝2AE2
∴EF＝AE
DE－DF＝AE
∴DE－BE＝AE
（3）BE－DE＝AE．理：
BE取点FBF＝DE连接AF
易证△ADE≌△ABF
∴AF＝AE∠DAE＝∠BAF
正方形ABCD中∠BAD＝90°
∴∠BAF＋∠DAF＝90°
∴∠DAE＋∠DAF＝90°
∴∠EAF＝90°
∴△EAF等腰直角三角形．
∴EF2＝AE2＋AF2
∴EF2＝2AE2
∴EF＝AE
BE－BF＝AE
∴BE－DE＝AE
10答案：
问题背景：EFBE+FD
探索眼神：成立提示CD延长线截取DGBE图
先证明△ABE≌△ADG证明△AEF≌△AGF出结
实际应：连接EF延长AEBF交点C
∵∠AOB30°+90°+（90°70°）140°∠EOF70°
∴∠EOF∠AOB
∵OAOB
∠OAC+∠OBC（90°30°）+（70°+50°）180°
∴符合探索延伸中条件
∴结EFAE+BF成立
EF15×（60+80）210海里
答：时两舰艇间距离210海里．
11解：（1）∵AD⊥l2CQ⊥AP
∴∠ADB＝∠AQC＝90°
∵AB＝AC
易证△ABD≌△ACQ（AAS）
∴BD＝CQAQ＝AD＝6
∵∠DAP＝∠BAC＝45°
∴△ADP△CQP等腰直角三角形
∴AP＝6
∴QP＝6−6
∴BD＝CQ＝QP＝6−6
（2）①图1：
作∠DAP＝45°APl2相交点P点F作FQ⊥AP点Q
∵∠DAP＝∠EAF＝45°
∴∠EAD＝∠FAQ
∵AD⊥l2FQ⊥AP
∴∠ADE＝∠AQF＝90°
∴△AED∽△AFQ
∴＝
∴△ADP△FQP等腰直角三角形
∴DP＝AD＝6AP＝6
∵DF＝2
∴FP＝DP－DF＝4
∴FQ＝QP＝2
∴AQ＝6−2＝4
∴＝
∴DE＝3
②图2：
作∠DAP＝45°APl2相交点P点F作FQ⊥AP点Q．
∵∠DAP＝∠EAF＝45°
∴∠EAD＝∠FAQ
∵AD⊥l2FQ⊥AP
∴∠ADE＝∠AQF＝90°
∴△AED∽△AFQ
∴＝
∴△ADP△FQP等腰直角三角形
∴DP＝AD＝6AP＝6
∵DF＝2
∴FP＝DP＋DF＝8
∴FQ＝QP＝4
∴AQ＝6−4＝2
∴＝
∴DE＝12．
第7讲 双直角三角形模型
双直角三角形模型解三角形中常见模型模型特点：条直角边公边外条直角边线背景会变化需中出模型质．
模型讲解
般类型：两直角三角形组合条直角边公边中∠a∠β三角函数值已知．
例题讲解
例题1图笔直海岸线lAB两观测站AB正东方AB＝2(单位：km)．艘船点P处A测船北偏西60°方B测船北偏东45°方．
(1)求点P海岸线l距离
(2)船点P处射线AP方航行段时间点C处时B测船北偏西15°方．求点C点B间距离．(述两题结果保留根号)．
解：(1)图点P作PD⊥AB点D．设PD＝xkm．
Rt△PBD中∠BDP＝90°∠PBD＝90°－45°＝45°∴BD＝PD＝xkm．
RtA△PAD中∠ADP＝90°∠PAD＝90°－60°＝30°∴AD＝PD＝xkm．
∵BD＋AD＝AB∴x＋x＝2x＝－1
∴点P海岸线l距离(－1)km
(2)图点B作BF⊥AC点F．
Rt△ABF中∠AFB＝90°∠BAF＝30°∴BF＝AB＝lkm．
△ABC中∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°．
Rt△BCF中∠BFC＝90°∠C＝45°∴BC＝BF＝km
∴点C点B间距离km．
例题2图条笔直东西海岸线l长15km码头MN灯塔C灯塔C距码头东端N20km．轮船36kmh速度航行午10：00A处测灯塔C位轮船北偏西30°方午10：40B处测灯塔C位轮船北偏东60°方灯塔C相距12km．
(1)轮船速度航航行时达海岸线？
(2)轮船改变航该轮船否停码头？请说明理．(参考数：≈14≈17)
解：(1)延长AB交海岸线点D点B作BE⊥海岸线点E点A作AF⊥lF图示．
∵∠BEC＝∠AFC＝90°∠EBC＝60°∠CAF＝30°
∴∠ECB＝30°∠ACF＝60°∴∠BCA＝90°
∵BC＝12AB＝36×＝24∴AB＝2BC∴∠BAC＝30°∠ABC＝60°
∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°∴∠BDC＝∠BCD＝30°∴BD＝BC＝12
∴时间t＝＝时＝20分钟∴轮船速度航航行午11：00达海岸线．
(2)∵BD＝BCBE⊥CD∴DE＝EC
RT△BEC中BC＝12∠BCE＝30°
∴BE＝6EC＝6≈102∴CD＝204
∵20＜204＜215∴轮船改变航轮船停码头．
巩固练
1图热气球C测定建筑物AB底部俯角分30°60°果时气球高度CD150米点ADB直线建筑物AB间距离 ．
2图高楼前D点测楼顶仰角30°高楼前进60米C点测仰角45°该高楼高度约 ．(保留整数)
3图山谷横断面示意图宽AA′15m曲尺(两直尺相交成直角)山谷两侧测量出OA＝1mOB＝3mO′A′＝05mO′B′＝3m(点AOO′A′条水线)该山谷深h m．
4图示条西东观光道lAB两景点AB相距2kmA处测景点C位点A北偏东60°方B处测景点C位景点B北偏东45°方求景点C观光道l距离．(结果精确01km)
5图直角坐标系中直线y＝－x＋6坐标轴分交AB两点AB中点点P点P直线y＝－x短距离PQ长度 ．
6图△ABCAC＝3BC＝4∠ACB＝90°△ABC绕点C时针旋转．
(1)AC分∠A′CB′时BD长
(2)连接AA′△AA′C等边三角形时BD长 ．
7图四边形ABCD中∠A＝∠C＝45°∠ADB＝∠ABC＝105°．
(1)AD＝2求AB
(2)AB＋CD＝2＋2求AB．
8图示山坡棵水面垂直树场台风树刮倾斜折断倒山坡树顶部恰接触坡面．已知山坡坡角∠AEF＝23°量树干倾斜角∠BAC＝38°树折断部分坡面成角∠ADC＝60°AD＝4m．
(1)求∠CAE度数
(2)求棵树折断前高度．(结果精确位参考数：≈141≈173≈24)
92014年3月8日凌晨马西亚航空公司吉隆坡飞北京MH370航班起飞时雷达消失没发现踪迹．飞机239名客中154名中国胞中国政府启动全面应急搜救机制派出艘中国舰船相关海域进行搜救．图某日南印度洋海域两艘西东航行搜救船ABB船A船正东方两船保持20海里距离某时刻两船时测A东北方B北偏东15°方疑似物C求时疑似物C搜救船AB距离少？(结果保留根号)
10图艘船时24海里速度北偏西75°方航行点A处测灯塔P船西北方．航行40分钟达点B处时灯塔P恰船正北方．已知距离灯塔9海里外海区安全航行区域．问：艘船否原方继续前航行？什？
11学勾股定理逆定理知道：三角形中果两边方等第三边方三角形直角三角形．类似定义：意三角形设三角度数分x°y°z°满足x2＋y2＝z2称三角形勾股三角形．
(1)根勾股三角形定义请直接判断命题：直角三角形勾股三角形真命题假命题？
(2)图△ABC接⊙0AB＝AC＝1＋BC＝2⊙O直径BE交AC点D
①求证：△ABC勾股三角形②求DE长．
参考答案
1解：∵∠ECA＝30°∠FCB＝60°∵CD⊥ABCD⊥EF∴∠ACD＝60°∠BCD＝30°
Rt△ADC中tan ∠ACD＝∴4D＝tan 60°×DC＝×90＝90
Rt△BCD中tan ∠BCD＝ BD＝tan30°×DC＝×90＝30
∴AB＝AD＋BD＝90＋30＝120．
答：建筑物AB间距离120米．
2解：设楼高ABx．
Rt△ADB中：DB＝ ＝xRt△ACB中：BC＝＝x．
CD＝BD－BC＝(－1)x＝60解x＝82．
3解：设AA′谷底水距离AC＝mA′C＝n∴m＋n＝15根题意知OB∥CD∥O′B′．
∵OA＝1OB＝30′A′＝05O′B′＝3．∴＝＝3＝＝6
∴(＋)h＝15解h＝30(m)．
4解：图点C作CD⊥l点D设CD＝xkm
△ACD中∵∠ADC＝90°∠CAD＝30°∴AD＝CD＝xkm
△BCD中∵∠BDC＝90°∠CBD＝45°∴BD＝CD＝xkm
∵AD－BD＝AB∴x－x＝2∴X＝＋1＝27(k m)．
答：景点C观光道距离约27km．
5解：知点P(43)作PH⊥y轴交直线y＝－x点HH(4－4)PH＝7
∴短距离PQ＝＝＝
6解：D作DH⊥BCH
(1)知∠BCD＝45°设CH＝DH＝tBH＝t∴BC＝t＋t＝4
解t＝∴BD＝t＝
(2)知∠BCD＝∠A′CA＝60°设CH＝DH＝tBH＝t∴BC＝t＋t＝4
解t＝2(－1)∴BD＝×2(－1)＝
7解：(1)D点作DE⊥AB点B作BF⊥CD
∵∠A＝∠C＝45°∠ADB＝∠ABC＝105°
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°
∴∠BDF＝∠ADC﹣∠ADB＝165°﹣105°＝60°△ADE△BCF等腰直角三角形
∵AD＝2∴AE＝DE＝＝
∵∠ABC＝105°∴∠ABD＝105°﹣(180°﹣45°﹣60°)＝30°
∴BE＝＝＝∴AB＝＋
(2)设DE＝xAE＝xBE＝＝＝x∴BD＝2x
∵∠BDF＝60°∴∠DBF＝30°∴DF＝BD＝x∴BF＝x∴CF＝x
∵AB＝AE＋BE＝x＋xCD＝DF＋CF＝x＋xAB＋CD＝2＋2
∴AB＝＋1
8解：(1)延长BA交EF点G．Rt△AGE中∠E＝23°∴∠GAE＝67°∵∠BAC＝38°
∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．
(2)点A作AE⊥CD垂足H．
△ADH中∠ADC＝60°AD＝8cos∠ADC＝
∴DH＝4sin∠ADC＝∴AH＝4．
Rt△ACH中∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°∴CH＝AH＝4AC＝4．
∴AB＝AC＋CD＝4＋4＋4≈20 (米)．
答：棵树折断前高约20米．
9解：点B作BD⊥ACD．
题意知∠BAC＝45°∠ABC＝90°＋15°＝105°
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°．
Rt△ABD中AD＝BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10 (海里)
Rt△BCD中BC＝＝＝20 (海里)
DC＝＝＝10 (海里)
∴AD＋CD＝10＋10＝10(＋)(海里)．
答：疑似物C搜救船A距离10(＋)海里搜救船B距离20海里．
10解：艘船原方继续前航行．理：
图点B作BH⊥APH点P作PM⊥AB交AB延长线M．
题意知AB＝24×＝16(海里)∠BAP＝75°﹣45°＝30°．
∵PB∥AC∴∠BPH＝∠CAP＝45°．
Rt△ABH中BH＝AB＝8AH＝BH＝8．
Rt△PBH中PH＝BH＝8∴PA＝PH＋AH＝8＋8
∴PM＝PA•sin∠PAM＝PA＝4＋4＞9∴原方继续前航行．
11解：(1)∵意三角形设三角度数分x°y°z°满足x2＋y2＝z2称三角形勾股三角形
∴法直角三角形勾股三角形假命题
(2)题意：解：x＋y＝102
(3)①证明：B作BH⊥ACH设AH＝xRt△ABH中BH＝
Rt△CBH中()2＋(1＋﹣x)2＝4解：x＝
AH＝BH＝HC＝1∴∠A＝∠ABH＝45°
∴tan∠HBC＝＝＝∴∠HBC＝30°∴∠BCH＝60°∠B＝75°
∴452＋602＝752∴△ABC勾股三角形
②连接CE∵∠A＝45°∴∠BEC＝∠BAC＝45°
∵BE直径∴∠BCE＝90°∴BC＝CE＝2
D作DK⊥ABK设KD＝h∵∠EBC＝45°∠ABC＝75°∴∠ABE＝30°
∴BK＝hAK＝h∴h＋h＝解：h＝
∴BD＝2KD＝2h＝3﹣∴BE﹣BD＝2﹣(3﹣)＝﹣．
第8讲 值问题垂线段短
模型讲解
图直线l外点P直线点连线段中PB线段长度短．
例题讲解
例题1图Rt△ABC中∠BAC＝90°AB＝5AC＝12P边BC动点PE⊥ABE
PF⊥ACFMEF中点AM取值范围 ．
解：连接AP∵PE⊥ABPF⊥AC∴∠AEP＝∠AFP＝90°
∵∠BAC＝90°∴四边形AEPF矩形∴AP＝EF
∵∠BAC＝90°MEF中点∴AM＝EF＝AP
∵Rt△ABC中∠BAC＝90°AB＝3AC＝4∴BC＝＝5
AP⊥BC时AP值时S△BAC＝×3×4＝×5×AP
∴AP＝AP范围AP≥∴2AM≥∴AM范围AM≥
∵AP＜AC∴AP＜4∴AM＜2∴≤AM＜2．
例题2已知点D点A(80)B(06)C(a－a)行四边形四顶点CD长值 ．
解：两种情况：
①CD行四边形条边AB＝CD＝10
②CD行四边形条角线
C作CM⊥AOMD作DF⊥AOF交ACQB作BN⊥DFN
∠BND＝∠DFA═∠CMA＝∠QFA＝90°∠CAM＋∠FQA＝90°∠BDN＋∠DBN＝90°
∵四边形ACBD行四边形∴BD＝AC∠C＝∠DBD∥AC∴∠BDF＝∠FQA
∴∠DBN＝∠CAM△DBN△CAM中∴△DBN≌△CAM(AAS)
∴DN＝CM＝aBN＝AM＝8﹣aD(8﹣a6＋a)
勾股定理：CD2＝(8﹣a﹣a)2＋(6＋a＋a)2＝8a2﹣8a＋100＝8(a﹣)2＋98
a＝时CD值
∵＜10∴CD值＝7．
例题3图Rt△ABC中∠C＝90°AC＝6BC＝8点C边AB相切动圆CA．CB分相交点PQ线段PQ长度值 ．
解：图∵AB＝10AC＝8BC＝6
∴AB2＝AC2＋BC2∴∠ACB＝90°∴PQ⊙F直径
设QP中点F圆FAB切点D连接FD连接CFCDFD⊥AB．
∴FC＋FD＝PQ∴CF＋FD＞CD
∵点F直角三角形ABC斜边AB高CD时PQ＝CD值
∴CD＝BC•AC÷AB＝48．
巩固练
1已知△ABC中AC＝3BC＝4AB＝5点PAB(AB重合)P作PE⊥ACPF⊥BC垂足分EF连结EFMEF中点CM值 ．
2图线段AB长10CAB动点分ACBC斜边AB侧作两等腰直角△ACD△BCEDE长值 ．
3图已知行四边形OABC顶点AC分直线x＝1x＝4O坐标原点角线OB长值 ．
4面直角坐标系中知行四边形ABCD点A(0－2)点B(3m4m＋1)(m≠－1)点C(62)角线BD值 ．
5图等边△ABC边长2cm边AC射线BC方移2cm线段DE连接ADCE．
(1)求证：四边形ACED菱形
(2)△ABC绕点C旋转CA′DE交点MCB′AD交点N时点MN点D构成△DMN试探究△DMN周长否存值？果存求出该值果存请说明理．
参考答案
1解：图连接CP．
∵AC＝3BC＝4AB＝5∴∠ACB＝90°
∵PE⊥ACPF⊥BC∠C＝90°∴四边形CFPE矩形∴EF＝CP
垂线段短CP⊥AB时线段EF值CM
时S△ABC＝BC×AC＝AB×CP×4×3＝×5×CP解CP＝24．
∴EF＝24∵MEF中点∴CM＝12
2解：设AC＝xBC＝10﹣x
∵△ABC△BCD′均等腰直角三角形∴CD＝xCD′＝(10﹣x)
∵∠ACD＝45°∠BCD′＝45°∴∠DCE＝90°
∴DE2＝CD2＋CE2＝x2＋(10﹣x)2＝x2﹣10x＋50＝(x﹣5)2＋25
∴x取5时DE取值值：5
3解：点B作BD⊥直线x＝4交直线x＝4点D点B作BE⊥x轴交x轴点E直线x＝1OC交点Mx轴交点F直线x＝4AB交点N图：
∵四边形OABC行四边形∴∠OAB＝∠BCOOC∥ABOA＝BC
∵直线x＝1直线x＝4均垂直x轴∴AM∥CN∴四边形ANCM行四边形
∴∠MAN＝∠NCM∴∠OAF＝∠BCD∵∠OFA＝∠BDC＝90°∴∠FOA＝∠DBC
△OAF△BCD中∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1∴OE＝4＋1＝5∴OB＝．
OE长变BE时(B点x轴)OB取值值OB＝OE＝5．
4解：图∵点B(3m4m＋1)
∴令∴y＝x＋1∴B直线y＝x＋1∴BD⊥直线y＝x＋1时BD
∵行四边形角线交点AC中点定x轴∴FAC中点
∵A(0﹣2)点C(62)∴F(30)．
设直线BF解析式y＝﹣x＋b﹣×3＋b＝0解b＝
直线BF解析式y＝﹣x＋
∴4m＋1＝﹣×3m＋解m＝∴B()
∴BF＝＝3∴BD＝2BF＝6角线BD值6．
5证明：(1)移：AD∥CEAD＝CE
∴四边形ACED行四边形∵AD＝2cm＝AC∴□ACED菱形
(2)连接CD
∵∠ACD＝∠B＇CA＇＝60°∠ACN＋∠NCD＝∠NCD＋∠DCA＇＝60°∴∠ACN＝∠DCM
△ACN△DCM中∴△ACN≌△DCM(ASA)
∴AN＝DM理CN＝CM
∵∠NCD＋∠DCM＝60°∴△CMN等边三角形∴MN＝CN＝CMAN＋DN＝AD＝2．
∴△DMN周长DN＋DM＋MN＝AD＋CN
CB′⊥AD时(CN)＝△DMN周长值2＋．
第10讲 值问题军饮马问题
值问题老师爱考热门题型综合性较强需定基功般考察时般放压轴位置
模型讲解
基模型
问题：直线l找点PPA＋PB值
解析：连接AB直线l交点点P(两点间线段短)
拓展模型1
问题：直线找点PPA＋PB值
解析：点A作关l称点A＇连接BA＇直线l交点点P时PA＋PB值线段BA′长度．
练
1尺规作图：直线MN找点P∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)
模型拓展2
1图已知点P定点定长线段AB直线MN运动什位置时PA＝PB？
思维转化：线段AB移动点P动理解线段AB动点P直线CD移动模型转化
基模型
模型拓展3
问题：∠MON定点A点PQ分OMON动点求△APQ周长值．
解析：点A作关ON OM称点A1A2连接A1A2ONOM交点QP线段A1A2长度△APQ周长值．
基结：
①△A1OA2必等腰三角形腰长等线段OA长．
②∠A1OA2＝2∠MON．
四边形ABPQ周长模型值线段AB＋A＇B＇长度．
模型拓展4
问题：求AB＋BC＋CD值问题
解析：作点A关ON称点A＇点D关OM称点D′连接A＇D′值线段A＇D＇长度．
(作点A点D称点程中直接OMON整称图形更加完整)
模型拓展5
MN垂直两行线求AM＋MN＋NB值模型．
中MN定值需求AM＋NB值点A移MN长度A′连接A′B线段A′B长度AM＋NB值
直线l长度变线段MN移动求AM＋MN＋NB值模型．
A点右移MN长度转化基模型值MN＋A2B
例题讲解
例题1图面直角坐标系中Rt△OAB顶点Ax轴正半轴顶点B坐标(3)点C坐标(0)点P斜边OB动点PA＋PC值 ．
解：作A关OB称点D连接CD交OBP连接APD作DN⊥OAN
时PA＋PC值
∵DP＝PA∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD∵B(3)∴AB＝OA＝3
∵tan∠AOB＝＝∴∠AOB＝30°∴OB＝2AB＝2
三角形面积公式：×OA×AB＝×OB×AM∴AM＝∴AD＝2×＝3
∵∠AMB＝90°∠B＝60°∴∠BAM＝30°∵∠BAO＝90°∴∠OAM＝60°
∵DN⊥OA∴∠NDA＝30°∴AN＝AD＝勾股定理：DN＝
∵C(0)∴CN＝3﹣﹣＝1Rt△DNC中勾股定理：DC＝
PA＋PC值．
思考
题中条件点C坐标(0)改点COA边动点条件变时PA＋PC值少呢？
解答：∵PA＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN＝∴PA＋PC值．
例题2某长方体长宽高分435
(1)图1点AB分该长方体两顶点已知蚂蚁点A长方体侧面爬点B短路线长少？
(2)图2点AC分该长方体两顶点果根细线点A开始4侧面缠绕圈达点C细线短长度 ．
(3)图2点AC分该长方体两顶点果根细线点A开始4侧面缠绕三圈达点C细线短长度 ．
(4)图3已知圆柱高4米底面周长1米．果花圈均匀缠绕圆柱3圈(图)螺旋形花圈长少 米．
答案：
(1)
(2)
(3)
(4)
例题3图五边形ABCDE中∠BAE＝120°∠B＝∠E＝90°AB＝BC＝1AE＝DE＝2BCDE分找点MN．
(1)△AMN周长时∠AMN＋∠ANM＝
(2)求△AMN周长值．
解：作A关BCED称点A′A″连接A′A″交BCM交EDNA′A″△AMN周长值．
⑴作EA延长线垂线垂足H∠BAE＝120°∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°
∠AA′A″＝∠A′AM∠AA″A′＝∠EAN∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°
说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°
⑵点A′作EA延长线垂线垂足H
∵AB＝BC＝1AE＝DE＝2∴AA′＝2BA＝2AA″＝2AE＝4
Rt△A′HA中∵∠EAB＝120°∴∠HAA′＝60°
∵A′H⊥HA∴∠AA″H＝30°∴AH＝AA′＝1∴A′H＝A″H＝1＋4＝5
∴A′A″＝2
例题4图正方形ABCD边长4点E边BCCE＝1长线段MNAC运动．
(1)求四边形BMNE周长值
(2)四边形BMNE周长时tan∠MBC值 ．
解：作EF∥ACEF＝连结DF交ACMAC截取MN＝延长DF交BCP
作FQ⊥BCQ作出点E关AC称点E′CE′＝CE＝1MN移E′F′处
四边形MNE′F′行四边形
BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时四边形BMNE周长
∠FEQ＝∠ACB＝45°求FQ＝EQ＝1
∵∠DPC＝∠FPQ∠DCP＝∠FQP∴△PFQ∽△PDC
∴＝∴＝解：PQ＝∴PC＝
称性求tan∠MBC＝tan∠PDC＝．
例题5面直角坐标系中已知点A(20)点B(04)点EOB∠OAE＝∠OBA．图△AEOx轴右移△AE′O′连接A＇BBE＇．AB＋BE＇取值时求点E＇坐标．
提示
△AEO右移转化△AEO动点B左移点B移动轨迹行x轴直线作点E关该直线称点E1连接AE1该直线交点F时点B位置求出BF长度求出点E右移距离．
例题6图已知正例函数y＝kx(k＞0)图x轴相交成锐角70°定点A坐标(04)Py轴动点MN函数y＝kx(k＞0)图两动点AM＋MP＋PN值 ．
解：图示直线OCy轴关直线y＝kx称直线OD直线y＝kx关y轴称点A′点A关直线y＝kx称点．
作A′E⊥OD垂足E交y轴点P交直线y＝kxM作PN⊥直线y＝kx垂足N
∵PN＝PEAM＝A′M∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E(垂线段短)
RT△A′EO中∵∠A′EO＝90°OA′＝4∠A′OE＝3∠AOM＝60°
∴OE＝OA′＝2A′E＝＝2．
∴AM＋MP＋PN值2．
巩固练
1图示正方形ABCD面积12△ABE等边三角形点E正方形ABCD角线AC点PPD＋PE值 ．
2菱形ABCD中角线AC＝6BD＝8点EFP分边ABBCAC动点PE＋PF值 ．
3图边长2等边△ABC中DBC中点EAC边点BE＋DE值 ．
4图钝角三角形ABC面积9长边AB＝6BD分∠ABC点MN分BDBC动点CM＋MN值 ．
5图△ABC中AM分∠BAC点DE分AMAB动点
(1)AC＝4S△ABC＝6BD＋DE值
(2)∠BAC＝30°AB＝8BD＋DE值 ．
(3)AB＝17BC＝10CA＝21BD＋DE值 ．
6图△ABC中AB＝BC＝4S△ABC＝4点PQK分线段ABBCAC意点PK＋QK值 ．
7图AB⊙O直径AB＝8点M⊙O∠MAB＝20°N弧MB中点P直径AB动点PM＋PN值 ．
8图锐角△ABC中AB＝4∠BAC＝45°∠BAC分线交BC点DMN分ADAB动点BM＋MN值 ．
9图圆柱形玻璃杯高12cm底面周长18cm杯离杯底4cm点C处滴蜂蜜时蚂蚁正杯外壁离杯4cm蜂蜜相点A处蚂蚁达蜂蜜短距离 cm．
10图菱形OABC中点Ax轴顶点C坐标(1)动点DE分射线OCOBCE＋DE＋DB值 ．
11图点A(a1)B(－1b)双曲线y＝－(x＜0)点PQ分x轴y轴动点四边形PABQ周长取值时PQ直线解析式 ．
12图点P∠AOB意点OP＝5cm点M点N分射线OA射线OB动点△PMN周长值5cm∠AOB度数 ．
13图∠AOB＝30°点MN分边OAOBOM＝1ON＝3点PQ分边OBOAMP＋PQ＋QN值 ．
14图Rt△ABC中∠ACB＝90°点DAB边中点D作DE⊥BC点E．
(1)点P边BC动点线段BC找点PAP＋PD图中画出点P
(2)(1)条件连接CD交AP点Q求AQPQ数量关系
15矩形ABCD中AB＝6BC＝8G边AD中点．
(1)图1EAB动点△CGE周长时求AE长．
(2)图2EF边AB两动点EF＝4四边形CGEF周长时求AF长．
16图1图2长方体房间示意图图2该长方体表面展开图．
(1)蜘蛛顶点A′处
①苍蝇顶点B处时试图1中画出蜘蛛捉住苍蝇墙面爬行路线
②苍蝇顶点C处时图2中画出蜘蛛捉住苍蝇两条路线天花板ABCD爬行路线A＇GC墙面BB＇C＇C爬行路线A＇HC试通计算判断条路线更？
(2)图3中半径10dmOMD＇C＇相切圆心M边CC′距离15dm蜘蛛P线段AB苍蝇QOM圆周线段PQ蜘蛛爬行路线．PQOM相切试求PQ长度范围．
17图抛物线交y轴点B点Ax轴点OA2点A作直线MNAB交抛物线MN两点
（1）求直线AB解析式
（2）线段ABy轴负方移t单位长度线段求取值时实数t值
参考答案
1
解：连接BD
∵点BD关AC称∴PD＝PB∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE．
∵正方形ABCD面积12∴AB＝2
∵△ABE等边三角形∴BE＝AB＝2求值2．
2
解：∵四边形ABCD菱形角线AC＝6BD＝8∴AB＝5
作E关AC称点E′作E′F⊥BCF交ACP连接PEE′FPE＋PF值
∵×AC×BD＝AD×E′F∴E′F＝∴PE＋PF值
3
解：作B关AC称点B′连接BB′B′D交ACE时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D根两点间线段短知B′DBE＋ED值
∵BB′关AC称∴ACBB′互相垂直分∴四边形ABCB′行四边形
∵三角形ABC边长2DBC中点∴AD⊥BCAD＝BD＝CD＝1BB′＝2AD＝2
作B′G⊥BC延长线G∴B′G＝AD＝
Rt△B′BG中BG＝3∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2Rt△B′DG中B′D＝．
BE＋ED值．
4
解：点C作CE⊥AB点E交BD点M点M作MN⊥BCN
∵BD分∠ABCME⊥AB点EMN⊥BCN∴MN＝ME
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN值．
∵三角形ABC面积9AB＝6∴×6×CE＝9∴CE＝3．
CM＋MN值3．
5
提示：作点E关AM称点E′BH⊥ACH易知BD＋DE值BH长
答案：(1)3(2)4(3)8．
6
解：图A作AH⊥BC交CB延长线H
∵AB＝CB＝4S△ABC＝4∴AH＝2
∴cos∠HAB＝＝＝∴∠HAB＝30°∴∠ABH＝60°∴∠ABC＝120°
∵∠BAC＝∠C＝30°
作点P关直线AC称点P′P′作P′Q⊥BCQ交ACK
P′Q 长度＝PK＋QK值
∴∠P′AK＝∠BAC＝30°∴∠HAP′＝90°∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°
∴四边形AP′QH矩形∴P′Q＝AH＝2
PK＋QK值2．
7
解：作点N关AB称点N′连接OMONON′MN′
MN′AB交点PM＋PN时点PM＋PN值＝MN′
∵∠MAB＝20°∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°
∵N弧MB中点∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°
称性∠N′OB＝∠BON＝20°∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°
∴△MON′等边三角形∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4
∴PM＋PN值4
8
解：图作BH⊥AC垂足H交ADM′点M′点作M′N′⊥AB垂足N′BM′＋M′N′求值．
∵AD∠BAC分线∴M′H＝M′N′∴BH点B直线AC短距离
∵AB＝4∠BAC＝45°∴BH＝AB×sin45°＝4×＝2．
∵BM＋MN值BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2．
9
解：A圆柱高剪开出矩形EFGH
C作CQ⊥EFQ作A关EH称点A′连接A′C交EHP连接AP
AP＋PC蚂蚁达蜂蜜短距离
∵AE＝A′EA′P＝AP∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C
∵CQ＝×18cm＝9cmA′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm
Rt△A′QC中勾股定理：A′C＝15cm答案：15．
10
解：连接AC作B关直线OC称点E′连接AE′交OCD交OBE时CE＋DE＋BD值
∵四边形OCBA菱形∴AC⊥OBAO＝OCAC关OB称
∴CE＝AE∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD
∵BE′关OC称∴DE′＝DB∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′
C作CN⊥OAN∵C(1)∴ON＝1CN＝
勾股定理：OC＝2AB＝BC＝OA＝OC＝2∴∠CON＝60°∴∠CBA＝∠COA＝60°
∵四边形COAB菱形∴BC∥OA∴∠DCB＝∠COA＝60°
∵BE′关OC称∴∠BFC＝90°∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°
∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°CF＝BC＝1勾股定理：BF＝＝E′F
Rt△EBA中勾股定理：AE′＝4CE＋DE＋DB值4．
11
解：点A(a1)B(﹣1b)代入y＝﹣(x＜0)a＝﹣3b＝3A(﹣31)B (﹣13)
作A点关x轴称点CB点关y轴称点DC点(﹣3﹣1)D点(13)
连结CD分交x轴y轴P点Q点时四边形PABQ周长
设直线CD解析式y＝kx＋b解
直线CD解析式y＝x＋2．
12
解：分作点P关OAOB称点CD连接CD分交OAOB点MN
连接OCODPMPNMN图示：
∵点P关OA称点D关OB称点C∴PM＝DMOP＝OD∠DOA＝∠POA
∵点P关OB称点C∴PN＝CNOP＝OC∠COB＝∠POB
∴OC＝OP＝OD∠AOB＝∠COD
∵△PMN周长值5cm∴PM＋PN＋MN＝5∴DM＋CN＋MN＝5CD＝5＝OP
∴OC＝OD＝CD△OCD等边三角形∴∠COD＝60°∴∠AOB＝30°
13
解：作M关OB称点M′作N关OA称点N′
连接M′N′MP＋PQ＋QN值．
根轴称定义知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°∠ONN′＝60°
∴△ONN′等边三角形△OMM′等边三角形∴∠N′OM′＝90°
∴Rt△M′ON′中M′N′＝．答案．
14
解：(1)作点A关BC称点A′连DA′交BC点P
(2)(1)证PA垂直分CD∴AQ＝CQ＝3PQ
15
解：(1)∵EAB动点
∴作G关AB称点M连接CM交ABEE满足△CGE周长
∵矩形ABCD中AB＝6BC＝8G边AD中点∴AG＝AM＝4MD＝12
AE∥CD∴△AEM∽△DCM∴AE：CD＝MA：MD∴AE＝＝2
(2)∵EAB动点
∴图作G关AB称点MCD截取CH＝4然连接HM交ABE接着EB截取EF＝4EF两点满足四边形CGEF周长．
∵矩形ABCD中AB＝6BC＝8G边AD中点
∴AG＝AM＝4MD＝12CH＝4∴DH＝2
AE∥CD∴△AEM∽△DHM∴AE：HD＝MA：MD∴AE＝＝
∴AF＝4＋＝．
16解：(1)①根两点间线段短知：线段A′B路线图1示．
②Ⅰ．长方体展开长方形ABB′A′长方形ABCD面图2①．
Rt△A′B′C中∠B′＝90°A′B′＝40B′C＝60∴AC＝＝20．
Ⅱ．长方体展开长方形ABB′A′长方形BCC′B′面图2②．
Rt△A′C′C中∠C′＝90°A′C′＝70C′C＝30∴A′C＝＝10．
∵＜∴天花板ABCD爬行路线A′GC更
(2)点M作MH⊥ABH连接MQMPMAMB图3．
∵半径10dm⊙MD′C′相切圆心M边CC′距离15dmBC′＝60dm
∴MH＝60﹣10＝50HB＝15AH＝40﹣15＝25
根勾股定理AM＝＝MB＝＝∴50≤MP≤．
∵⊙MPQ相切点Q∴MQ⊥PQ∠MQP＝90°∴PQ＝．
MP＝50时PQ＝＝20
MP＝时PQ＝＝55．
∴PQ长度范围20dm≤PQ≤55dm．
17解：（1）题意易B（04）A（20）AB解析式：
（2） ∵AB⊥MN
∴直线MN：
抛物线联立：
解：M（22）
AB负方移t单位A1（2t）B1（04t）
A1关直线x2称点A2（6t）
A2MB1三点线时取值
∴
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档