新导数专题讲座容
汇总
导数专题单调性问题
知识结构
知识点
导函数代数意义：利导函数正负判断原函数单调性
二分类讨求函数单调性：含参函数单调性问题求解难点参数进行分类讨讨关键导函数零点定义域位置关系
三分类讨思路步骤：
第步求函数定义域求导求导函数零点
第二步导函数零点存性进行讨导函数存零点时讨关系区间位置关系（分类讨）
第三步画出导函数号函数草图判断导函数符号（画导图标正负截定义域）
第四步（列表）根第五步草图列出变化情况表写出函数单调区间
第五步综合述讨情形完整写出函数单调区间写出极值点极值区间端点函数值较函数值
四分类讨讨参数取值求出单调性讨点：
1高次项系数否0
2导函数否极值点
3两根关系
4根定义域端点讨等
五求解函数单调性问题思路：
（1）已知函数区间单调递增单调递减转化恒成立
（2）已知区间单调转化导函数区间存变号零点通常利分离变量法求解参变量范围
（3）已知函数区间存单调递增单调递减区间转化导函数区间零零解
六原函数单调性转化导函数区间正负问题处理方法
（1）参变分离
（2）导函数根区间端点直接较
（3）导函数部分元二次时转化二次函数根分布问题里讨元二次
七求解函数单调性问题方法提炼：
（1）函数单调增（减）转化导函数恒成立
（2）（）恒成立转化（）恒成立
（3）分离参数法分类讨解参数取值范围
考点分类
考点分类讨求解函数单调性
例11（20152016阳模理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）时成立求取值范围
（Ⅲ）试问点作少条直线曲线相切？说明理．
答案（Ⅰ）函数定义域．．
（1）时恒成立函数单调递增
（2）时 令．
时函数减函数
时函数增函数．
综述时函数单调递增区间．
时函数单调递减区间单调递增区间．
（Ⅱ）（Ⅰ）知（1）时时函数区间增函数
区间显然函数区间恒零
（2）时时函数减函数增函数．
题意解．
（3）时时区间减函数
．
题意解．
综述时函数区间恒零．
（Ⅲ）设切点切线斜率
切线方程．
切线点．
． ………………①
令 ．
（1）时区间 单调递增
区间单调递减
函数值．
方程解存满足①式．
时切线条数．
（2）时 区间单调递减
区间单调递增
函数值．
取．
存唯零点．
取．
设．
时恒成立．
单调递增恒成立．．
存唯零点．
时点P存两条切线．
（3）时显然存点P切线．
综述时点P存两条切线
时存点P切线．
例12（20152016海淀模理18）已知函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）求函数单调区间
(Ⅲ) 求证：直线曲线切线
答案（Ⅰ）函数定义域
变化时变化情况表：
递减
极值
递增
函数极值
值
（Ⅱ）解：函数定义域
（Ⅰ）
单调增区间单调减区间
（Ⅲ）证明：假设直线曲线切线
设切点
矛盾
假设成立直线曲线切线
练11（20152016西城模理18）已知函数
(Ⅰ) 求值单调区间
(Ⅱ) 关方程存两相等正实数根证明：
答案（Ⅰ）求导
解
令
变化时变化情况表示：
0
0
↘
↗
函数单调减区间单调增区间
（Ⅱ）解：方程
设函数
求导．
解
变化时变化情况表示：
0
↘
↗
函数单调递减单调递增
妨设（中两正实数根）
函数单调递减
理根函数单调递增
练12（20112012石景山模文18）已知函数
（Ⅰ）函数图象处切线斜率求实数值
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）函数减函数求实数取值范围
答案（Ⅰ） …………1分
已知解 …………3分
（II）函数定义域
（1）时 单调递增区间……5分
（2）时
变化时变化情况：
+
极值
表知函数单调递减区间
单调递增区间 …………8分
（II）…………9分
已知函数单调减函数
恒成立
恒成立
恒成立 …………11分
令
减函数
…………14分
练13（20152016阳期末文19）已知函数
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）时试判断函数否存零点说明理
（Ⅲ）求函数单调区间
答案函数定义域：
（Ⅰ）时
切点（13）
曲线点处切线方程
（Ⅱ）
令（舍）
－
＋
↘
极值
↗
函数存零点
（Ⅲ）
时
－
＋
↘
极值
↗
时单调增区间
时
＋
－
＋
↗
极值
↘
极值
↗
时
＋
＋
↗
↗
＋
－
＋
↗
极值
↘
极值
↗
综时单调增区间减区间
时单调增区间减区间
时单调增区间
时单调增区间减区间
练14（20152016丰台期末文20）设函数图象直线相切点．
（Ⅰ）求函数解析式
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数求实数取值范围
答案（Ⅰ）∵函数图象直线相切点
∴．
∵
∴
解．
∴．
（Ⅱ）
令
令．
∴单调递增区间单调递减区间． …8分
（Ⅲ）记值域值域
∵
∴．
（Ⅱ）：单调递增单调递减单调递增
∴．
∵
∴．
① 时单调递增单调递减单调递增
∴值值．
∵
∴
∴
．
∵
∴．
② 时单调递增单调递减
∴值值 ．
∵
∴
∴．
综述：．
练15（20152016阳二模文20）已知函数
(Ⅰ)求函数单调区间
（Ⅱ）时区间恒成立求取值范围
答案(Ⅰ) 函数定义域
（1） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间
（2） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间
（3） 时恒成立
函数单调递增区间
（4） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间 （Ⅱ）题意区间
令
函数()单调递增
函数()单调递减
满足条件
函数()单调递增单调递减
题意
区间单调递增满足条件
综
练16（20152016房山二模文19）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）直线曲线没公点求实数取值范围
答案（Ⅰ）定义域
令
极值
增区间减区间
（II）直线曲线没公点
方程实根实根等价实根
设零点
时显然零点符合题意
时令
极值
显然符合题意
时令
极值
时符合题意
综述：
练17（20152016阳模文19）已知函数
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数区间存极值点求取值范围
答案(Ⅰ)函数定义域
曲线点处切线斜率
曲线点处切线方程
（Ⅱ）函数定义域
（1）时时
令解函数减函数
令解
时函数增函数
函数单调减区间
单调增区间
（2）时函数单调减区间
时函数单调减区间
时函数单调减区间
时函数单调减区间
（3）时时
令解时函数减函数
令解函数增函数
函数单调减区间
函数单调增区间 …………9分
（Ⅲ）（1）时（Ⅱ）问知函数减函数
存极值点
（2）时（Ⅱ）知增函数
减函数
函数区间存极值点
解
综述时函数区间存极值点
练18（20152016东城期末理19）已知函数．
（Ⅰ）时试求处切线方程
（Ⅱ）时试求单调区间
（Ⅲ）极值试求取值范围．
答案（Ⅰ）时．
方程．
（Ⅱ）
．
时恒成立
Þ Þ 0
单调增区间单调减区间 ．
（Ⅲ）极值解．
令 Þ Þ
设
时恒成立
单调递减
时
值域
时 解
设
单调递减
唯解
：
0
0
递减
极值
递增
时极值唯
时时恒成立单调递增成立．
综取值范围．
练19（20152016兴期末理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）恒成立求取值范围
答案（1） 时
函数点处切线方程
：
(Ⅱ)函数定义域：
时恒成立单调递增
时令：
单调递增区间单调减区间
（Ⅲ）恒成立
恒成立
令
令
时函数单调递增
恒成立
时时单调递增
时单调递减
值
合题意
时时单调递增
时单调递减
值
恒成立
综知取值范围
考点二已知函数单调求参数范围
例21（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例22（20152016阳期中文19）已知函数．
（Ⅰ）函数区间单调递减求取值范围
（Ⅱ）时证明
答案（I）函数定义域
函数单调减等式成立
设解
取值范围
（Ⅱ）时
令（舍）
变化时变化情况表：
1
0
+
极值
时函数值
成立
练21（20152016海淀期中文18）已知函数
（Ⅰ）曲线点处切线斜率求函数单调区间
（Ⅱ）函数区间单调递增求取值范围
答案（Ⅰ）曲线点
变化时变化情况表
0
0
极值
极值
函数 单调递增区间
单调递减区间
（Ⅱ）
函数区间单调递增
成立
值等0
函数称轴
时值
解种情形成立
时值
解
综实数取值范围
练22（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
练23（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
（ⅰ）令．
令函数单调递增．
令函数单调递减．
．
成立．
（ⅱ）（ⅰ）知 ．
设．
令．
令函数单调递增
令函数单调递减
．
．
方程没实数解．
练24（20152016海淀期中理18）已知函数曲线点处切线．
（Ⅰ）直线斜率求函数单调区间
（Ⅱ）函数区间单调函数求取值范围．
答案（Ⅰ）
直线斜率
令解
时
时
单调增区间单调减区间
（Ⅱ）单调
需恒成立
（1）恒成立等价
解
（2）恒成立
时解（舍）（舍）
时解
综述
考点三已知函数单调求参数范围
例31已知函数时区间单调求取值范围
答案解法：∵
令解
区间单调
区间存极值点
∴
解法二∵
函数区间单调函数存零点
令解区间长
∴区间零点
：
∵
∴
∵
∴
例32已知函数区间单调求取值范围
答案
考点四已知函数存单调区间求参数范围
例41设函数函数存单调递增区间试求实数取值范围
答案解法：
设
题意区间存子区间等式成立
注意抛物线开口
实数取值范围
解法二：
题意区间存子区间等式成立
设函数区间值
解
解
函数区间递增区间递减
函数处取值
实数取值范围
例42（20102011阳二模理18）设函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）函数存单调递增区间试求实数取值范围
答案
练41已知函数．函数存单调递增区间求取值范围．
答案
时
令解
单调递增区间满足题意
时
时
单调递减(舍）
时
令解：
时
单调递增区间满足题意
时
存单调递增区间
解
综述：取值范围：
解法二：
存单调递增区间等价存区间成立存成立
设
时
取值范围：
考点五两函数具相单调性求参数范围
例51（20122013西城模文18）已知函数中．
（Ⅰ）求极值
（Ⅱ）存区间区间具相单调性求取值范围．
答案（Ⅰ）定义域 ． ………………2分
① 时单调递增．
没极值没极值． ………4分
② 时令．
情况：
↘
↗
单调减区间单调增区间．
极值没极值． …………6分
（Ⅱ）解：定义域 ． …………8分
③ 时单调递增单调递减合题意．
………………9分
④ 时单调递减．
时时单调递增单调递减合题意． ……………11分
时时单调递减单调递减符合题意．
综取值范围． …………13分
例52已知函数中．存区间区间具相单调性求取值范围．
答案定义域
单调递减
时单调递减单调递增
定义域 ．
时显然 单调递增．
时单调递增符合题意．
时单调递增单调递减合题意．
时令．
情况表：
↘
↗
时时单调递增单调递减合题意．
时时单调递减单调递减符合题意．
综取值范围．
导数专题二极值问题
知识点
函数极值定义
函数点附定义果附点称函数极值记作果附点称函数极值记作极值极值统称极值称极值点．
极值极值统称极值．极值点极值点统称极值点．
极值点出现函数驻点（导数0点）导点处（导函数存取极值时驻点存）
导函数极值点必定驻点反函数驻点定极值点例点驻点极值点
极值点导数零存函数单调性必然变化
极值问题建立分类讨基础
二求函数极值点极值注意事项：
1求极值极值点必须点明极极没说明没
2知道判断否存极值者极值点
3果已知极值者极值点求参数时候结果需检验
4极值点导函数根果两根合适时候想伟达定理
三求函数极值三基步骤
第步求导数
第二步求方程实数根
第三步考察根附左右导函数符号变化．果符号正变负极值果负变正极值．果根左右侧符号变极值．
考点分类
考点分类讨求函数极值（点）
例11（20152016海淀模文19）已知函数
(Ⅰ)求曲线点处切线方程
(Ⅱ)求函数零点极值
(Ⅲ)意成立求实数值
答案
（Ⅰ）设切线斜率曲线点处切线方程
（Ⅱ）令解时时函数零点1
令解时时函数处取极值极值
（Ⅲ）（II）知时时单调递减单调递增处取值
需值1
例12（20102011阳二模理18）设函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）函数存单调递增区间试求实数取值范围
（Ⅲ）求函数极值点
答案
考点二已知函数极值（点）情况求参数范围
例21（20152016阳模文19）已知函数
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数区间存极值点求取值范围
答案(Ⅰ)函数定义域
曲线点处切线斜率
曲线点处切线方程
（Ⅱ）函数定义域
（1）时时
令解函数减函数
令解
时函数增函数
函数单调减区间
单调增区间
（2）时函数单调减区间
时函数单调减区间
时函数单调减区间
时函数单调减区间
（3）时时
令解时函数减函数
令解函数增函数
函数单调减区间
函数单调增区间 …………9分
（Ⅲ）（1）时（Ⅱ）问知函数减函数
存极值点
（2）时（Ⅱ）知增函数
减函数
函数区间存极值点
解
综述时函数区间存极值点
例22（20152016东城期末理19）已知函数．
（Ⅰ）时试求处切线方程
（Ⅱ）时试求单调区间
（Ⅲ）极值试求取值范围．
答案（Ⅰ）时．
方程．
（Ⅱ）
．
时恒成立
Þ Þ 0
单调增区间单调减区间 ．
（Ⅲ）极值解．
令 Þ Þ
设
时恒成立
单调递减
时
值域
时 解
设
单调递减
唯解
：
0
0
递减
极值
递增
时极值唯
时时恒成立单调递增成立．
综取值范围．
练21（20152016房山二模理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数单调区间
（Ⅱ）设区间两极值点求实数取值范围
答案（Ⅰ）时
定义域
令
0
递增
递减
极值
递增
（Ⅱ）
令需
设
区间两极值点区间两零点
区间两零点唯根必须区间
令
解：
练22已知函数（常数）函数区间两极值点求实数取值范围
答案
题意知解
实数取值范围
练23已知函数中函数区间仅极值点求实数取值范围
答案仅极值点
仅异号零点
二次函数图象性质
解
综取值范围
练24已知函数中
（Ⅰ）求证：函数点处切线总两公点
（Ⅱ）函数区间仅极值点求实数取值范围
答案（Ⅰ）已知
处切线方程
令整理
切线两公点 7分
（Ⅱ）仅极值点
仅异号零点
二次函数图象性质
解
综取值范围
练25（20132014海淀二模文18）已知函数
中
（Ⅰ）求证：函数点处切线总两公点
（Ⅱ）函数区间仅极值点求实数取值范围
答案（Ⅰ）已知 1分
2分
处切线方程 4分
令整理
5分
6分
切线两公点 7分
（Ⅱ）仅极值点
仅异号零点 9分
二次函数图象性质 10分
解 12分
综取值范围 13分
练26（20092010年北京高考文18）设定函数方程两根分14
（Ⅰ）曲线原点时求解析式
（Ⅱ）极值点求取值范围
答案
两根分14 （*）
（Ⅰ）时（*）式
解
曲线原点
（Ⅱ）a>0（∞+∞）极值点等价（∞+∞）恒成立
（*）式
解
取值范围
考点三已知函数极值求参数值
例31已知函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）否存实数函数极值等？存求出值存请说明理
答案（Ⅰ）定义域
令解：
时单调递增区间
时变化情况：
极值
极值
函数单调递增区间单调递减区间
时变化情况：
极值
极值
函数单调递增区间单调递减区间
（Ⅱ）时极值等 理：时极值
时极值
令 解 （舍）
时极值
极值等
综述时极值等
例32已知函数处极值10求值
答案
题意方程组
解
a3b3时
令x1
(∞1)
1
(1+∞)
+
0
+
↗
极值
↗
显然合题意舍
时
令
x
1
（1+∞）
+
0
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
处极值10合题意
∴
导数专题三值问题
知识结构
知识点
求解函数值问题步骤：
函数值问题建立前面极值问题基础般求函数值值步骤：
第步求函数极值
第二步函数极值端点处函数值较中值值．
二问题类型：
1分类讨求函数值
2已知函数值情况求参数范围
3已知函数值求参数值
4情况转化值问题
考点分类
考点分类讨求函数值
例11（20152016东城模文19） 已知函数
（1）处取极值求值
（2）求区间值
（3）（1）条件求证：时恒成立
答案（1）定义域
函数处取极值
解
（2）
1）时
单调递增该区间值
2）时
单调递增该区间值
3）时
0
+
减
极值
增
该区间值
综述时值1
时值
（3）已知时恒
证明时恒成立需证明
证明恒成立
令
令
时恒时
时单调递减
恒成立时恒成立
例12（20142015丰台模理18）设函数．
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）（Ⅰ）条件求证：
（Ⅲ）时求函数值．
答案（Ⅰ）时
．
切线斜率
切线方程 ． 4
（Ⅱ）证明：（Ⅰ）知．
令．
时单调递减
时单调递增
时函数值．命题证
（Ⅲ）．
令．
时设
单调递增
恒成立．
单调递减
单调递增．
值等
妨设()
．
（Ⅱ）知恒成立
单调递增．
恒成立．
时值．
练11（20152016西城期末文19）已知函数中然数底数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）时求函数值
答案（Ⅰ）解：
． 2
令． 3
变化时变化情况：
↘
↗
5
单调减区间单调增区间． 6
（Ⅱ）解：（Ⅰ）单调减区间单调增区间．
时单调递增
值
时
单调递减 单调递增
值
时单调递减
值
函数值
练12（20152016海淀期末文18）已知函数函数点处公切线设
（I） 求值
（Ⅱ）求区间值
答案（I）函数图象
3
（Ⅱ）定义域
5
时
单调递增
值 7
时令(舍)
时时恒成立
单调递增值
时时 成立
单调递减
值
时 成立 成立
单调递减单调递增
值
综时 值
时值
时 值
练13（20152015丰台模理18）已知函数
(Ⅰ)曲线点（10）处切线斜率0求ab值
(Ⅱ)ab时求函数单调区间求函数区间[21]值
答案(Ⅰ)函数h(x)定义域{x|x≠a}1
3
h(x)点（10）处切线斜率0
解6
(Ⅱ)记(x) (x)(x+a)(bx2+3x)(x≠a)
ab(x≠a)
令
时时
函数(x)单调递增区间
单调递减区间
① 时 (x)[21]单调递增
(x)该区间值
② 时
(x)[2单调递减 单调递增
(x)该区间值
③时时
(x)[21]单调递减 (x)该区间值
综述时值时值时值 （综述者扣）
练14（20132014延庆模理18）已知函数
(Ⅰ) 讨函数单调性
（Ⅱ）时求函数区间值
答案函数定义域 1
(Ⅰ) 4
（1）时定义域单调递增 5
（2）时令（舍）
变化时变化情况：
时区间单调递减
区间单调递增 7
（3）时令（舍）
变化时变化情况：
时区间单调递减
区间单调递增
（Ⅱ）(Ⅰ)知时区间单调递减区间单调递增
（1）时区间单调递减
（2）时区间单调递减
区间单调递增
（3）时区间单调递增
练15（20132014东城期末理18）已知函数．
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求区间值．
答案（Ⅰ）时
2
．
曲线点处切线斜率 4
曲线点处切线方程
．6
（Ⅱ）．
令．
①区间单调递增时函数值．
②时函数区间单调递减
时函数区间单调递增
时函数取值．
③时函数区间单调递减
时函数取值．
综知时函数区间值
时函数区间值
时函数区间值．
练16（20142015西城二模理18）已知函数中．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求区间值值．
答案定义域 ． 2
时
曲线点处切线方程
． 4
（Ⅱ）解：方程判式．
（ⅰ）时区间单调递增区间
值值．6
（ⅱ）时令 ．
情况：
↗
↘
↗
单调增区间单调减区间．
① 时时区间单调递增区间
值值．
② 时时区间单调递减区间单调递增
区间值 ．
时区间值时区间值．
③ 时时区间单调递减
区间值值．
综
时区间值值
时区间值值
时区间值值
时区间值值．
练17（20142015丰台模文19）已知函数
(1)设函数求ab值
(2)a2b4时求函数单调区间求该函数区间(2m] ()值
答案(Ⅰ)函数h(x)定义域{x|x≠a}
解
(Ⅱ)记(x) (x)(x+a)(bx2+3x)(x≠a)
a2b4(x≠2)
令
时时
函数单调递增区间
单调递减区间
①2值(m)
②≤m≤时(x)(2)单调递增()单调递减(m)单调递增()()
(x)值
练18（（20132014兴模文18）已知函数
(I)求函数单调区间
(Ⅱ)时求函数区间值
答案定义域R
(Ⅰ)①时单调增区间
②时解 解
单调增区间单调减区间
③时解 解
单调增区间单调减区间
(Ⅱ) ①时 时 减函数增函数函数区间[20]值
②时 时 增函数
函数区间[20]值
综 时 区间[20]值
时 区间[20]值
考点二已知函数值情况求参数范围
例21（（20152016昌期末文20）已知函数．
(Ⅰ) 求函数点处切线方程
（Ⅱ）证明：时
（Ⅲ）设存值值时确定实数取值范围．
答案（Ⅰ）解：定义域
题意 函数点处切线方程（Ⅱ）证明：时转化
时恒成立
设
时减函数
时成立
（Ⅲ）设定义域
⑴时意
增函数值符合题意
⑵时令
变化：
0
+
0
↗
极值
↘
成立
令
增函数
时
时命题成立
综取值范围
例22（20152016东城模文20）已知函数
(Ⅰ)时求曲线点处切线方程
(Ⅱ)讨单调性
(III)存值求取值范围
答案(Ⅰ)时
曲线点处切线方程
(Ⅱ)函数定义域
时知恒成立
时区间单调递减
时知恒成立
时区间单调递增
时
时区间单调递增区间单调递减
(III)(Ⅱ)知函数定义域
时区间单调时函数值
时区间单调递增区间单调递减
时函数值
值
解
取值范围
练21（152016兴区模理18）已知函数．
(Ⅰ)求函数单调区间
(Ⅱ)函数区间否存值存求出值存请说明理．
答案（I）
①时单调递减
②时单调递增单调递减
综述：时减区间 时增区间减区间
（II）（1）时（I）单调递减存值
（2）时
时单调递减存值
时单调递增单调递减
时时
时值时 没值
综述：时值时没值
考点三已知函数值求参数值
例31（20152016阳期中文20）已知函数(中)函数导函数．
(Ⅰ)求曲线点处切线方程
(Ⅱ)函数区间值求值．
答案．
．
．
(Ⅰ)时时
曲线点处切线方程．
．
(Ⅱ)已知
．
（1）时
令
令．
函数单调递增单调递减．
函数区间单调递增．
函数区间值．
解．显然合题意．
（2）时时
恒成立函数单调递增．
函数区间单调递增．
函数区间值．
解．显然符合题意．
（3）时时
令
令．
函数单调递增单调递减．
①时函数区间单调递减．
函数区间值．
解．显然合题意．
②时函数单调递减 单调递增．
时函数区间值．
解．显然合题意．
综述求．
例32（20152016阳期中18）已知函数(中常数)函数导函数．
(Ⅰ)求曲线点处切线方程
(Ⅱ)时函数区间值试求值．
答案．
．
(Ⅰ)时．
曲线点处切线方程．
．
(Ⅱ)已知．
．
．
．
令
令．
函数单调递增单调递减．
①时函数区间单调递增．
函数区间值．
解．显然符合题意．时 ．
②时
函数单调递增单调递减．
函数区间值．
．
．
．
满足函数区间值
综述 求．
练31（20152016海淀模理18）已知函数(中常数)处取极值
(I) 时求单调区间
(II) 值求值
答案（I）2
函数处取极值
3
时
变化情况表：
0
0
极值
极值
5
单调递增区间
单调递减区间
(II)
令
处取极值
时单调递增单调递减
区间值令解
时单调递增单调递减单调递增
值1处取
解
时区间单调递增单调递减单调递增
值1处取
解矛盾
时区间单调递增单调递减
值1处取矛盾
综述
练32（20132014阳模理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）函数区间值求值．
答案函数定义域 ．
（Ⅰ）（1）时函数单调递减．
（2）时恒成立函数单调递减．
（3）时令解．
①时函数单调递减．
②时函数单调递增．
综述时函数单调减区间
时函数单调减区间单调增区间．
（Ⅱ）（1）时（Ⅰ）知单调递减
值解舍．
（2）时（Ⅰ）知
①时函数单调递增
函数值解．
②时函数单调递减
单调递增函数值
解舍．
③时函数单调递减
函数值舍．
综述．
导数专题四零点问题
知识结构
知识点
零点定义：定义：
般果函数处实数根做函数零点
1函数值零时值
2函数零时方程解
3函数图象轴交点
4两函数交点
二零点问题包括题型包括：
1否零点
2判断零点数
3已知零点求参数
三函数零点判定：
方程实数根⇔函数图象轴交点⇔函数零点
考点分类
考点分类讨求零点数
例11（20142015年阳模理18）已知函数．
（Ⅱ） 时讨函数零点数
答案（Ⅱ）
（1）时
时减函数时增函数
时取值
（ⅰ）时令
零点
（ⅱ）时时零点
（ⅲ）时时零点
（ⅳ）时时
（右侧趋0）时时
两零点
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(3) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例12（20122013石景山期末理18）已知函数常数．
（Ⅲ）讨函数零点数．
答案令
令
单调递增单调递减
时值
零点零点．
（Ⅰ）知仅零点
单调递增幂函数数函数单调性较
知仅零点（：直线曲线交点）
解函数单调性知处取值幂函数数函数单调性较知充分时单调递减区间仅零点
单调递增区间仅零点
切线方法：
综述时零点
时仅零点
时两零点
练11（20152016阳期末文19）已知函数
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）时试判断函数否存零点说明理
（Ⅲ）求函数单调区间
答案函数定义域：
（Ⅰ）时
切点（13）
曲线点处切线方程
（Ⅱ）
令（舍）
－
＋
↘
极值
↗
＋
－
＋
↗
极值
↘
极值
↗
函数存零点
（Ⅲ）
时
－
＋
↘
极值
↗
时
＋
－
＋
↗
极值
↘
极值
↗
时
＋
＋
↗
↗
时
综时单调增区间减区间
时单调增区间减区间
时单调增区间
时单调增区间减区间
练12（20152016西城期末文20）已知函数 直线 ：
（1）求函数极值
（2）求证：意 直线曲线切线
（3）试确定曲线直线交点数说明理
答案（1）（x≠0）
∴
令x1列表：
x
（01）
1
（1+∞ ）
0
+
极值
∴x1处极值
（2）假设条切线设切点
∴
②代入①中
成立
∴ 意 直线曲线切线
（3）解法令
整理
令
∴ ∴ g（x）减函数
令g（x）0x1
∴ x＜0时g（x）＜2x g（x）∞
x＞0时g（x）＞2x g（x）+∞
∴ k2时没交点k≠2时交点
解法二令
时恒正零点
时
时恒正零点
时减函数取
时时
零点曲线直线交点
时
时恒正零点
时增函数
取
时时
零点曲线直线交点
综述 时曲线直线没交点 时曲线直线交点
练13（20152016兴期末文19）已知函数．
（Ⅰ）求函数点处切线方程
（Ⅱ）设实数恒成立求取值范围
（Ⅲ）设求函数区间零点数．
答案（Ⅰ）
曲线点处切线方程
(Ⅱ)设
令解：
变化时变化情况表：
+
0
↗
↘
表知时取值
已知意恒成立
取值范围
(Ⅲ)令：
(Ⅱ)知增函数减函数
时函数零点
时函数1零点
时函数2零点
练14（20132014西城期末理18）已知函数中然数底数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）时试确定函数零点数说明理
答案（Ⅰ）解：
． ……………… 2分
令． ……………… 3分
变化时变化情况：
↘
↗
……………… 5分
单调减区间单调增区间．………… 6分
（Ⅱ）解：结：函数仅零点 ……………… 7分
理：
方程
显然方程实数解
函数零点 ……………… 9分
时方程化简
设函数
令．
变化时变化情况：
↘
↗
单调增区间单调减区间．
值 ………………11分
意
方程实数解．
时函数存零点
综函数仅零点 ………………13分
练15（20122013石景山期末理18）已知函数常数．
（Ⅰ）求函数图象点处切线方程
（Ⅱ）证明函数图象直线方
（Ⅲ）讨函数零点数．
答案（Ⅰ） …………………1分
切线方程
． …………………3分
（Ⅱ）令
↗
值
↘
…………………6分
函数图直线方． …………………8分
（Ⅲ）令
令
单调递增单调递减
时值
零点零点．………………10分
（Ⅰ）知仅零点
单调递增幂函数数函数单调性较知仅零点（：直线曲线交点）
解函数单调性知处取值幂函数数函数单调性较知充分时单调递减区间仅零点单调递增区间仅零点
综述时零点
时仅零点
时两零点 …………………13分
练16（20142015东城高模理18）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间单调递增 求取值范围
（Ⅲ）讨函数零点数
答案（Ⅰ）
已知处取极值
解检验时处取极值
……3分
（Ⅱ）（Ⅰ）知
区间单调递增
区间恒成立
区间恒成立
……8分
（Ⅱ）
令
令
时单调递增
时单调递减
综：时函数零点
时函数零点
时函数两零点
考点二已知函数存零点情况求参数范围
例21（20152016房山二模理18）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）直线曲线没公点求实数取值范围
答案（Ⅰ）
令
变化情况
+
减
增
函数区间减函数区间增函数
（Ⅱ）解法（分离参数法）：
步骤：
1写定义域：求出函数定义域
2分离参数：等式转化参数放等号边等号外边函数g（x）
3画图象：准确画出g（x）图象
4移直线：直线yb直线移动观察交点数
面步注意事项：
1写定义域：定先写出函数定义域
2分离参数：分离参数时候注意等式变化时候定义域改变
3：画图：里涉画出准确函数图注意事项
A：首先通求导研究函数单调性（定义域范围）
B：画出极值点
C：画断点（定义域取值走势）找渐线1
D画正负穷处点找渐线2
E：处光滑曲线连接起
4：移直线：移动时候交点注意取点空心实心
解法（分离参数法）：直线曲线没公点等价
方程实数解该方程解等价
方程解
设
令
区间
区间区间
递增递减递减
时取极值
限增时限趋1
值域
方程解取值范围
解法二：构造新函数法（略）
解法三（转化某定点直线曲线交点）：
直线曲线没公点
方程实数解
直线曲线没公点
设点直线曲线相切点
直线斜率
直线方程
直线点
直线曲线交点
例22（20152016海淀期末文19）已知函数中
时求函数单调区间极值
关方程解求实数k取值范围
答案题知函数定义域：
时
令
变化时变化表：
X
1
—
0
+
极值
∴单调递增区间：
单调递减区间：
∴时存极值：
题意方程解解
令
令
（1）时令
令
单调递减单调递增
∴
①时函数解
②时
（2）时恒成立恒减
时
综述：
练21（20152016丰台期末理18）已知函数
（Ⅰ）求函数极值
（Ⅱ）存实数求实数a取值范围
答案（Ⅰ）
令
x
0
+
0
_
0
+
递增
极值
递减
极值
递增
∴函数极值 极值 (Ⅱ) 存
（Ⅰ）知需（图1）（图2）
（图1） （图2）
练22（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
练23（20152016丰台二模文19）设函数．
（Ⅰ）求函数单调区间极值
（Ⅱ）函数区间存唯零点求取值范围
答案（Ⅰ）
（1）区间单调递增时 单调递增区间没极值点
（2）令解
函数区间递增函数
区间单调递减区间单调递增
时 单调递减区间 单调递增区间时函数极值
（Ⅱ）（1）时（Ⅰ）知 单调递增
令
时区间存唯零点
（2）时（Ⅰ）知函数值点
函数区间存唯零点：
① ②
①②
综述函数区间存唯零点
练24（20152016海淀二模文19）已知函数
（1）时求函数单调区间
（2）关等式解求取值范围
（3）存函数零点函数极值点请写出时值（需写出结）
答案（1）时
令时时
单调递增单调递减单调递增
（Ⅱ）解值等
令
时时 区间单调递增值
解
时时区间单调递减单调递增
值
解
综
法二：（Ⅱ）解值等
时 满足题意
时
令
区间单调递增
区间值
根面矛盾
综
（Ⅲ）
练25（20152016丰台二模理18）设函数
（Ⅰ）时求函数区间值
（Ⅱ）函数区间两零点求实数取值范围
答案（Ⅰ）时
间关系表：
1
+
0
增函数
极值
减函数
函数区间极值点极值点值点4分
值
（Ⅱ）
（1）时显然区间没两零点合题意
(2)时
①时函数区间增函数函
数 区间两零点合题意
②时区间间关系表：
+
0
增函数
极值
减函数
函数区间两零点
化简
综述时函数区间两零点
练26（20152016房山模理18）已知函数中
（Ⅰ）求函数极值
（Ⅱ）区间仅零点求实数取值范围
答案（Ⅰ）a2时 f（1） a – 1 （2）1极值1
（Ⅱ）
时f（x） f（1）0 a10a1者 解舍
f(1)a1<0知 需f（e）>0
解
f（x）（01）递增（1e）递减 f（1）时（0e）零点
综a1者
练27（2015西城二模文）已知函数中
（Ⅰ）时求函数图象点处切线方程
（Ⅱ）时证明：存实数意成立
（Ⅲ）时否存实数关方程仅负实数解？时情形？(需写出结)
答案（Ⅰ）解：时函数
求导 ………………2分
………………3分
函数图象点处切线方程………………4分
（Ⅱ）证明：时定义域
求导 ………………5分
令解 ………………6分
变化时变化情况表：
+
0
0
+
↗
↘
↗
………………8分
函数单调递增单调递减
时时
时时
记中两数
中数
综时存实数意实数等式
恒成立 ………………10分
（Ⅲ）解：时存实数关实数方程仅
负实数解 ………………13分
考点三已知函数存零点求参数范围
例31（20152016石景山模文19）已知函数．
（Ⅰ）求函数极值（Ⅱ）证明：时
（Ⅲ）时方程解求取值范围．
答案（Ⅰ）
令解
易知单调递减单调递增
时极值
（Ⅱ）令
（Ⅰ）知
单调递增
（Ⅲ）方程整理
时
令
令解
易单调递减单调递增
时值
越越时值越越
方程解
例32（20132014海淀期末理18）已知关函数
（Ⅰ）时求函数极值
（Ⅱ）函数没零点求实数取值范围
答案（Ⅰ） 2分
时情况表：
2
0
↘
极值
↗
时函数极值 6分
（Ⅱ）
①时情况表：
2
0
↘
极值
↗
7分
8分
函数没零点需仅需解9分
时 10分
②时情况表：
2
0
↗
极值
↘
11分
12分
时函数总存零点 13分
综述求实数取值范围
练31（20132014阳模文18）设函数记
（Ⅰ）求曲线处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）时函数没零点求取值范围
答案(I)函数处切线斜率
函数处切线方程 ………………4分
（Ⅱ） （）
①时区间单调递增
②时令解令解
综述时函数增区间
时函数增区间减区间 ………………9分
（Ⅲ）题意函数没零点解
（Ⅱ）知时函数区间增函数区间减函数
需
解
实数取值范围 …………………………………………………13分
综述求实数取值范围
练32（20142015通州期末理18）已知函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）方程没实数根求取值范围．
答案（Ⅰ）函数………………… 1分
（1）时递增区间递减区间…… 3分
（2）时令令
递增区间递减区间 …………………… 5分
综时递增区间递减区间
时递增区间递减区间
（Ⅱ）（1）时 显然零点
方程没实数根 …………………… 6分
（2）时单调递增
零点
方程实数根 …………………… 8分
（3）时递增区间递减区间
极值值
没实数根等价 …………………… 11分
…………………… 12分
综取值范围 …………………… 13分
考点四证明函数零点情况
例41（20152016海淀期末理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数单调区间极值
（Ⅱ）求证：时关等式区间解
（中）
答案（Ⅰ）
时
令
变化情况表：
极值
极值
处取极值
处取极值
函数单调递增区间 单调递减区间
（Ⅱ）证明：等式区间解等价区间恒成立
函数区间值等1
令
时
时成立函数区间单调递减
函数区间值
等式区间解
时变化情况表：
↘
极值
↗
函数区间值
时
综时关等式区间解
例42（20152016房山模文19）已知函数
（I）求曲线处切线方程
（II）求单调区间
（III）设中证明：函数仅零点
答案（I）
中
曲线处切线方程
（II）定义域
令解
令解
单增区间单减区间
（III）定义域
① 时恒成立单调递增
知函数仅零点
② 时
令解
令解
单调递增单调递减
知零点函数仅零点
综诉函数仅零点
练41（20152016房山模文19）已知函数
（I）求曲线处切线方程
（II）求单调区间
（III）设中证明：函数仅零点
答案（I）
中
曲线处切线方程
（II）定义域
令解
令解
单增区间单减区间
（III）定义域
① 时恒成立单调递增
知函数仅零点
② 时
令解
令解
单调递增单调递减
知零点函数仅零点
综诉函数仅零点
考点五函数交点问题
例51（20152016东城期末文19）已知函数
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）曲线轴交点求取值范围
（Ⅲ）设函数请写出曲线交点（直接写出结）
答案（Ⅰ）时
时
曲线点处切线方程
（Ⅱ）
时时单调递增
时时
时曲线轴交点
时令
区间情况：
极值
曲线轴交点
解
综述时曲线轴交点
（Ⅲ）曲线曲线4交点
例52（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
练51（20152016西城期末理18）已知函数 (然数底数)
（Ⅰ）曲线点处切线行轴求值
（Ⅱ）求函数极值
（Ⅲ）时直线曲线没公点求值．
答案(Ⅰ)
曲线点处切线行轴
解
(Ⅱ)
①时增函数
函数极值
②时令
单调递减单调递增
处取极值极值极值
综时函数极值
处取极值极值
(Ⅲ)时
令
直线曲线没公点
等价方程没实数解
假设时
函数图象连续断零点存定理知少解方程没实数解矛盾
时知方程没实数解
值
解法二
(Ⅰ)(Ⅱ)解法
(Ⅲ)时
直线曲线没公点
等价关方程没实数解关方程
(*)
没实数解
①时方程(*)化没实数解
②时方程(*)化
令
令
变化时变化情况表
递减
递增
时时趋时趋
取值范围
时方程(*)实数解 解取值范围
综值
练52（20142015丰台期末理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数极值
（Ⅱ）果直线函数图象交点求取值范围．
答案（Ⅰ）函数定义域R．
．
令．
0
0
+
↘
极值
↗
时函数极值． ………………6分
（Ⅱ）函数．
时
交点等价恒成立．
令
．
①时满足交点
②时
时满足交点．
③时令
时单调递减
时单调递增
时．
交点．
综述 时交点．
导数专题五恒成立问题存性问题
知识结构
知识点
求解函数恒成立问题存性问题首先转化函数值问题方法提炼：
已知等式恒成立求参数取值范围：分参法
（1）分离参数等式转化（）恒成立
（2）求导函数
（3）找出（）值（）
（4）解等式（）出参数取值范围．
二已知等式恒成立求参数取值范围：讨法
（1）构造新函数等式转化（）恒成立
（2）求导函数判断函数单调性
（3）找出（）值（）
（4）解等式（）出参数取值范围．
考点分类
考点单变量单函数等式型
求
求
例11（20152016阳期中文19）已知函数．
（Ⅰ）函数区间单调递减求取值范围
（Ⅱ）时证明
答案（I）函数定义域
函数单调减等式成立
设解
取值范围
（Ⅱ）时
令（舍）
变化时变化情况表：
1
0
+
极值
时函数值
成立
例12（20152016海淀二模理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数单调区间
（Ⅱ）关等式解求实数取值范围
（Ⅲ）曲线存两条互相垂直切线求实数取值范围（需直接写出结果）．
答案（Ⅰ）时
令令
递增区间递减区间
（Ⅱ）解解
令解
① 时
递增递减递增
Ⅰ．
递减递增
恒成立
满足条件
Ⅱ．递增
② 时递增
递增Ⅱ知矛盾
③ 时递增
Ⅱ知矛盾
综述：．
（Ⅲ）
练11（20152016东城模理18）设函数．
（Ⅰ）时求单调区间
（Ⅱ）时恒成立求取值范围
（Ⅲ）求证：时．
答案（Ⅰ）时
令
－
+
↘
↗
时单调递减
时单调递增
时．
（Ⅱ）
恒成立等价恒成立．
设
时
单调递减
时．
恒成立
．
（Ⅲ）时等价．
设．
求导．
（Ⅰ）知时 恒成立．
时．
．
单调递增时．
时．
练12（20152016东城二模文20）设函数
（1）求区间值
（2）设求证：时点条直线曲线相切
（3）意均成立求取值范围
答案（1）已知
+
0
单调增
极值
单调减
取值
（2）设切点坐标
联立化简易知单调递增函数
直线交点切点
时点条直线曲线相切
（3）易知时满足条件
时
1）时满足条件
2）时整理
3）时
令
设时
时时单调递增值
综述取值范围
练13（20132014阳二模理18）已知函数
（Ⅰ）曲线点处切线直线垂直求值
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设时成立求实数取值范围．
答案（Ⅰ）已知．
曲线点处切线直线垂直
．．
． ……………3分
（Ⅱ）函数定义域．
（1）时成立单调增区间．
（2）时
令单调增区间
令单调减区间．
综述时单调增区间
时单调增区间
单调减区间． ……………8分
（Ⅲ）时成立．
时恒成立
等价时恒成立．
设时成立．
．
令函数减函数
令函数增函数．
函数处取值．
．
实数取值范围． ……………13分
（Ⅲ）解：
（1）时（Ⅱ）知 单调递增．
时成立．
（2）时 ．
（Ⅱ）知时单调增区间
单调递增总成立．
（3）时．
（Ⅱ）知函数减函数增函数
函数处取值
．
时成立需
解．．
综述实数取值范围
练14（20102011海淀模文18）已知函数
（Ⅰ）求函数极值单调区间
（Ⅱ）区间少存点成立求实数 取值范围
答案（I） …………………2分
令 …………………3分
定义域
变化情况表：
0
极值
时极值1 …………………5分
单调递增区间单调递减区间 …………………6分
（II）解法：
令
区间存点成立
充条件区间值0 …………………7分
（1）时成立
区间单调递减
区间值
…………………9分
（2）时
① 成立区间单调递减
区间值
显然区间值0成立 …………………11分
② 时
极值
区间值
解 …………………13分
综(1)（2）知：符合题意 …………………14分
解法二：区间存点成立
需 …………………7分
令区间值0
令 …………………9分
（1）时：
极值
时
…………………11分
（2）时：
极值
时极值值
…………………13分
综(1)（2）知 …………………14分
练15（20132014房山模文18） 已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）意求取值范围
答案（Ⅰ）∵f（x）ex（x+1）
∴f′（x）ex（x+1）+exex（x+2）
∴f′（0）e0•（0+2）2
f（0）1
∴曲线曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程：
y12（x0）2xy+10
（Ⅱ）令f′（x）0x2
x变化时f（x）f′（x）变化情况表：
x
（∞2）
2
（20）
f′（x）
0
+
f（x）
↘
极值
↗
∴f（x）（∞2）递减（20）递增
∴f（x）（∞0）值f（2）e2．
∴e2＞kk＜e2．
∴k取值范围（∞e2）．
练16（20152016阳二模文20）已知函数
(Ⅰ)求函数单调区间
（Ⅱ）时区间恒成立求取值范围
答案(Ⅰ) 函数定义域
（5） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间
（6） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间
（7） 时恒成立
函数单调递增区间
（8） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间 （Ⅱ）题意区间
令
函数()单调递增
函数()单调递减
满足条件
函数()单调递增单调递减
题意
区间单调递增满足条件
综
考点二单变量双函数等式型
构造新函数求
构造新函数求
例21（20152016昌期末文20）已知函数．
（Ⅰ）求函数点处切线方程
（Ⅱ）证明：时
（Ⅲ）设存值值时确定实数取值范围．
答案（Ⅰ）解：定义域
题意 函数点处切线方程（Ⅱ）证明：时转化
时恒成立
设
时减函数
时成立
（Ⅲ）设定义域
⑴时意
增函数值符合题意
⑵时令
变化：
0
+
0
↗
极值
↘
成立
令
增函数
时
时命题成立
综取值范围
例22（20152016丰台模理18）已知函数
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）区间恒成立求值
答案（Ⅰ）设切线斜率
切点
切线方程化简：
（Ⅱ）证：
需证明：恒成立
时单调递减
时单调递增
时
恒成立
（Ⅲ）：区间恒成立
等价：恒成立
等价：恒成立
①时满足题意
②时令（舍）
时单调递减
时单调递增
时
时满足题意
值
练21（20152016石景山模理18）已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求证：时
（Ⅲ）恒成立求实数值．
答案
（Ⅰ）．
切线方程．
（Ⅱ）令
时设
单调递减
………6分
单调递减
．
（Ⅲ）原题等价恒成立
恒成立………9分
令．
易知单调递增
单调递减．
综述值 ．
练22（20152016兴期末文19）已知函数．
（Ⅰ）求函数点处切线方程
（Ⅱ）设实数恒成立求取值范围
（Ⅲ）设求函数区间零点数．
答案（Ⅰ）
曲线点处切线方程
(Ⅱ)设
令解：
变化时变化情况表：
+
0
↗
↘
表知时取值
已知意恒成立
取值范围
(Ⅲ)令：
(Ⅱ)知增函数减函数
时函数零点
时函数1零点
时函数2零点
练23（20152016东城二模理18）已知
（I）求单调区间
（II）时求证：恒成立
（III）存时恒成立试求取值范围
答案（I）定义域
令：（舍）
+
0
单调增
极值
单调减
（II）设题意需证明：
单调递减
恒成立证
（III）（II）：
时
时
时没满足条件
时令
令
存满足题意
综取值范围
练24（20152016阳二模理18）已知函数．
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）时曲线点等式组表示面区域试求取值范围．
答案（Ⅰ）时 ．
．
．
曲线点(1)处切线方程．
（Ⅱ）题意时曲线点等式组表示面区域等价时恒成立．
设．
．
（1）时时单调减函数
． 题意应
解．
（2） 时单调增函数
单调减函数．
合题意．
（3）时注意显然合题意．
综述．
练25（20132014海淀模理18）已知曲线
(Ⅰ)曲线C点处切线求实数值
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
答案 2分
曲线C点（01）处切线L：
4分
解 5分
（Ⅱ）法1：
意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令 7分
①a0
实数b取值范围 8分
②
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围
综实数b取值范围． 13分
法2：意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令等价∀恒成立
令 7分
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围． 13分
练27（20152016西城模文19）已知函数
(Ⅰ)求解析式
(Ⅱ)意求m值
(Ⅲ)证明：函数图直线方
答案求导
解
（Ⅱ）解：
意
设
令 解
x变化时变化情况表：
极值
时
意成立
值
（Ⅲ）证明：函数图象直线方等价
证
证
（Ⅱ）（仅时等号成立）
证明时
设
令解
增函数
函数图象直线方
练28（20152016东城模文19） 已知函数
（1）处取极值求值
（2）求区间值
（3）（1）条件求证：时恒成立
答案（1）定义域
函数处取极值
解
（2）
1）时
单调递增该区间值
2）时
单调递增该区间值
3）时
0
+
减
极值
增
该区间值
综述时值1
时值
（3）已知时恒
证明时恒成立需证明
证明恒成立
令
令
时恒时
时单调递减
恒成立时恒成立
练29（20152016兴期末理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）恒成立求取值范围
答案（1） 时
函数点处切线方程
：
(Ⅱ)函数定义域：
时恒成立单调递增
时令：
单调递增区间单调减区间
（Ⅲ）恒成立
恒成立
令
令
时函数单调递增
恒成立
时时单调递增
时单调递减
值
合题意
时时单调递增
时单调递减
值
恒成立
综知取值范围
练210（20122013海淀二模文18）已知函数
（Ⅰ）时曲线点处切线曲线点处切线行求实数值
（Ⅱ）求实数取值范围
答案（I） …………………2分
函数点处切线函数点
处切线行
解
时点处切线
点 处切线
…………………4分
（II）
记
值等0
…………………6分
变化情况表：
0
极值
…………………8分
时函数单调递减值
…………………10分
时函数单调递减单调递增
值
………………12分
综 ………………13分
练211（20152016昌期末理18）已知函数
（Ⅰ）函数点处切线方程求切点坐标
（Ⅱ）求证：时（中）
（Ⅲ）确定非负实数取值范围成立
答案定义域
题意切点坐标
（Ⅱ）证明：时转化
时恒成立
设
原问题转化时恒成立
令（舍）
变化：
0
+
0
↗
极值
↘
时成立
（Ⅲ）解：转化
时恒成立
设
⑴时意
增函数
命题成立
时令
⑵时意
增函数
命题成立
⑶时
（舍）
变化：
0
0
+
↘
极值
↗
时命题成立
综非负实数取值范围
考点三双变量双函数等式型
例31（20152016西城二模文15）已知函数
（I）求a值
（II）设定义域意总存求a取值范围
答案 (Ⅰ)证明：函数定义域
题意意义
求导
解
(Ⅱ)解：定义域意总存等价存值
①时值符合题意
②时令
着变化变化情况表：
0
存
极
存
函数单调递减区间单调递增区间
时时
时存
综述：取值范围
例32（20152016海淀模文19）已知函数
(Ⅰ)求曲线点处切线方程
(Ⅱ)求函数零点极值
(Ⅲ)意成立求实数值
答案
（Ⅰ）设切线斜率曲线点处切线方程
（Ⅱ）令解时时函数零点1
令解时时函数处取极值极值
（Ⅲ）（II）知时时单调递减单调递增处取值
需值1
考点四双变量双函数绝值等式型
（）
（1）意
等价
（2）意
等价者
（3）意
等价
（二）
（1）存存
等价
（2）存存
等价者
（3）存存
等价
（三）
（1）意存
等价
（2）意存
等价者
（3）意存
等价
例41（20112012海淀二模文18）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）时意成立求实数值
答案（Ⅰ）时函数单调递增区间函数单调递减区间
时 函数单调递增区间函数单调递减区间
（Ⅱ） 意恒成立实数值
例41（2016湖北理21）设函数极值点
（Ⅰ）求关系式（表示）求单调区间
（Ⅱ）设存成立求取值范围
答案（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x
f `(3)0 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0b＝－3－2a
f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x
令f `(x)＝0x1＝3x2＝－a－1x＝3极值点
x+a+1≠0a≠－4
a<－4时x2>3＝x1
区间（－∞3）f `(x)<0 f (x)减函数
区间（3―a―1）f `(x)>0f (x)增函数
区间（―a―1＋∞）f `(x)<0f (x)减函数
a>－4时x2<3＝x1
区间（－∞―a―1）f `(x)<0 f (x)减函数
区间（―a―13）f `(x)>0f (x)增函数
区间（3＋∞）f `(x)<0f (x)减函数
（Ⅱ）（Ⅰ）知a>0时f (x)区间（03）单调递增区间（34）单调递减f (x)区间[04]值域[min(f (0)f (4) )f (3)]
f (0)＝－（2a＋3）e3<0f (4)＝（2a＋13）e－1>0f (3)＝a＋6
f (x)区间[04]值域[－（2a＋3）e3a＋6]
区间[04]增函数
区间[04]值域[a2＋（a2＋）e4]
（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1a>0解0a取值范围（0）
例422013届山西省第四次四校联考已知函数
（I）函数减函数求实数值
（2）成立求实数取值范围
答案（1）f(x)减函数恒成立．…1分
时．………………2分
………4分
时．
a值． …………………………6分
（2）命题成立等价
时．
（1）时．
问题等价：时． ………………………8分
时≤0 减函数
． ………10分…
0<时>0增函数
值域．
单调性值域知唯满足：
时减函数时增函数
．
矛盾合题意．
综． …………………………12分
例432013～2014年衡水中学高三学期二调已知函数
（1）求函数点处切线方程
（2）求函数单调递增区间
（3）存（然数底数）求实数取值范围
例44（20152016年昌二模理18）已知函数
曲线曲线交点处具公切线 设
（I）求值关系式
（II）求函数单调区间
（III）设意求取值范围．
答案（I）函数
函数
曲线曲线交点处具公切线
（II）已知
设
R单调递增函数
（I）0零点
函数导函数零点0．
符号变化
+
↘
极值
↗
函数单调递减区间单调递增区间
（III）（II）知 时增函数
意等价
等价时
增函数
练41（2013房山二模理）已知函数()
(Ⅰ)时求函数单调区间
(Ⅱ)时取极值
（1）求函数值
（2）求证意
答案（Ⅰ） …………1分
时
解 解 ……………2分
单调增区间单调减区间………3分
（Ⅱ）①时取极值
解（检验符合题意） ……………4分
+
0
0
+
↗
↘
↗
函数递增递减 ……5分
时单调递减
………………6分
时
单调递减单调递增
………………7分
时单调递增
……………………8分
综值
……………………9分
②令 （舍）
……………11分
意
练42（20122013房山二模文18）已知函数处取极值
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求函数值
（Ⅲ）求证：意
答案（Ⅰ） ……………1分
已知 ……………2分
解： …………………………3分
时处函数取极值
（Ⅱ）
0
+
减
增
函数递减递增 ……………………4分
时单调递增
………………………5分
时
单调递减单调递增
…………………………6分
时
单调递减
…………………………7分
综 值
………………………………………8分
（Ⅲ）（Ⅰ）知
令
……………11分
意
练43（20132014年东城零模文18）设函数
（Ⅰ）设证明：区间存唯零点
（Ⅱ）设意求取值范围．
答案（Ⅰ）
．
．
．．．．．．6分
（Ⅱ）时．
意
值 值差分类讨：
（ⅰ）
．
（ⅱ）
．
（ⅲ）
．
综知． ．．．．．．14分
考点五双变量双函数等式型
（）
意存值域值域子集
（二）
存存值域值域非空交集
例51（20152016丰台期末文20）设函数图象直线相切点．
（Ⅰ）求函数解析式
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数
求实数取值范围
答案（Ⅰ）∵函数图象直线相切点
∴．
∵
∴
解．
∴．
（Ⅱ）
令
令．
∴单调递增区间单调递减区间． …8分
（Ⅲ）记值域值域
∵
∴．
（Ⅱ）：单调递增单调递减单调递增
∴．
∵
∴．
① 时单调递增单调递减单调递增
∴值值．
∵
∴
∴
．
∵
∴．
② 时单调递增单调递减
∴值值 ．
∵
∴
∴．
综述：．
例52（20142015海淀二模文19）已知函数中
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）意总存求实数值 答案（Ⅰ） ………………2分
时 单调递减区间
………………4分
时令
时时
单调递增区间单调递减区间 ………………6分
（Ⅱ）分表示函数值值
时（Ⅰ）知：减函数
意
意存 ………………8分
时（Ⅰ）知：增函数减函数
存 ………………10分
时令
（Ⅰ）知：增函数进知减函数
意总存
解 ………………13分
综述实数值
练51（2008天津文10）10．设意满足方程时取值集合（ B ）
A． B． C． D．
练52（2008天津理16）设仅常数c意满足方程时取值集合
a2
考点六函数单调性问题极值问题值问题零点问题转化恒成立问题存性问题
例61（（20152016房山二模文19）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）直线曲线没公点求实数取值范围
答案（Ⅰ）定义域
令
极值
增区间减区间
（II）直线曲线没公点
方程实根实根等价实根
设零点
时显然零点符合题意
时令
极值
显然符合题意
时令
极值
时符合题意
综述：
导数专题六渐线间断点问题
知识结构
知识点
函数渐线问题间断点问题函数问题中特殊类型渐线问题涉函数穷处极限值会等定值样函数类型类型形式
种特殊函数渐线
1时
（1）（幂函数增长快数函数增长）
（2）（高阶增长快低阶增长）
（3）（指数函数增长快幂函数数函数增长）
2 时
（1）（高阶增长快低阶增长）
（2）（转化形式）
考点分类
考点函数渐线问题
例11（20152016海淀模文20）已知函数
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数零点极值
（Ⅲ）意成立求实数值
答案（Ⅰ）
曲线处切线方程
（Ⅱ）令解
零点
解
情况：
2
0
极值
函数 时取极值
（Ⅲ）法：
时
时
（Ⅱ）知值值
意恒成立等价
解
值1
法二：
时
时
（Ⅱ）知值
令
符合求
时
满足求
综值1
法三：
时
时
（Ⅱ）知值
时
令取
成立
必成立
时
满足求
时求出值显然1
综值1
例12（20162017海淀期中理19）已知函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）求证：时函数存值
答案
例13（20092010西城模理19） 已知函数中中
（I）求函数零点
（II）讨区间单调性
（III）区间否存值？存求出值存
请说明理．
答案（Ⅰ）解
函数零点
（Ⅱ）函数区域意义
令
定义域变化时变化情况：
↗
↘
区间增函数
区间减函数
（Ⅲ）区间存值
证明：（Ⅰ）知函数零点
1
知时1
函数减函数
函数区间值
函数区间值
计算
练11（20092010西城模文20）已知函数中
（I）函数存零点求实数取值范围
（II）时求函数单调区间确定时否存值果存求出值果存请说明理
答案（I）
（II）
单调增加单调减少
时存值
极值根单调性区间值
解0零点
结合
区间
时存值值
练12（20112012西城二模理19）已知函数中．
（Ⅰ）时求曲线原点处切线方程
（Ⅱ）求单调区间
（Ⅲ）存值值求取值范围．
答案（Ⅰ）解：时．
曲线原点处切线方程．
（Ⅱ）解：．
① 时．
单调递增单调递减．
．
② 时令情况：
↘
↗
↘
单调减区间单调增区间．
③ 时情况：
↗
↘
↗
单调增区间单调减区间．
（Ⅲ）解：（Ⅱ） 时合题意．
时（Ⅱ）单调递增单调递减存值．
设零点易知．时时．
存值必解．
时存值值取值范围．
时（Ⅱ）单调递减单调递增存值．
存值必解．
时存值值取值范围．
综取值范围
练13（20082009海淀二模18）已知：函数（中常数）
（Ⅰ）求函数定义域单调区间
（Ⅱ）存实数等式成立求a取值范围．
答案（Ⅰ）函数定义域
解
解．
∴单调递增区间单调递减区间
（Ⅱ）题意知值等时存实数等式成立
时
x
a+1
0
+
↘
极值
↗
∴值．
．
时单调递减值．
（舍）．
综述．
例7（12西城二模理科19）已知函数中．
（Ⅰ）时求曲线原点处切线方程
（Ⅱ）求单调区间
（Ⅲ）存值值求取值范围．
答案时．
曲线原点处切线方程．
（Ⅱ）解：．
① 时．
单调递增单调递减．
．
② 时令情况：
↘
↗
↘
单调减区间单调增区间．
③ 时情况：
↗
↘
↗
单调增区间单调减区间．
（Ⅲ）解：（Ⅱ） 时合题意．
时（Ⅱ）单调递增单调递减存值．
设零点易知．时时．
存值必解．
时存值值取值范围．
时（Ⅱ）单调递减单调递增存值．
存值必解．
时存值值取值范围．
综取值范围．
考点二函数间断点问题
例21（20152016西城二模理18）设函数
（1）函数（0f(0)）处切线直线y3x2行求a值
（2）定义域意总存求a取值范围
答案（Ⅰ）证明：函数定义域
题意意义
求导
题意解
验证知符合题意
（Ⅱ）解：定义域意总存等价存值．
① 时
值符合题意．
② 时
令
着x变化时变化情况：
存
0
↘
存
↗
极
↘
函数单调递减区间单调递增区间．
9分
时时
考虑．
时
单调递减
存符合题意
理时令
符合题意
时定义域意总存成立．
③ 时
着x变化时变化情况表：
0
存
↘
极
↗
存
↘
函数单调递减区间单调递增区间．
时时
．
时存．
综述a取值范围
例22（20152016西城二模文19）已知函数
（1）求a值
（2）设定义域意总存求a取值范围
答案(Ⅰ)证明：函数定义域
题意意义
求导
解
(Ⅱ)解：定义域意总存等价存值
①时值符合题意
②时令
着变化变化情况表：
0
存
极
存
函数单调递减区间单调递增区间
时时
时存
综述：取值范围
练21（20122013海淀期末理18）已知函数
（I） 时求曲线处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
答案时
处切线方程
（II）
时
函数定义域
单调递减区间
时令解
时
变化情况表
定义
0
极值
单调递减区间
单调递增区间
时
变化情况表：
0
定义
极值
单调递增区间
单调递减区间
练22（20122013门头沟模文16）已知函数中．
（Ⅰ）处切线轴行求值
（Ⅱ）求单调区间．
答案（Ⅰ）．
题意．
检验 符合题意．
（Ⅱ）① 时．
单调减区间单调增区间．
② 时．
令．
情况：
↘
↗
↘
单调减区间单调增区间．
1
③ 时定义域．
恒成立
单调减区间单调增区间．
练23（20122013西城期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）设．求取值范围．
答案（Ⅰ）① 时．
单调减区间单调增区间．
② 时．
令．
情况：
↘
↗
↘
单调减区间单调增区间．
③ 时定义域．
恒成立
单调减区间单调增区间．
（Ⅱ）解：
等价 中．
设区间值．
等价．
取值范围．
导数专题七特殊值法判定超越函数零点问题
知识结构
知识点
超越函数定义
超越函数：指变量间关系限次加减方开方运算表示函数数函数指数函数等属超越函数
二判断超越函数零点存性方法
1图
根基初等函数图否存交点判断
2特殊点
带入特殊点判断： 011e等
3单调性切线
利单调性切线判断
4极限
通函数极限判断
特殊点取法目
考点分类
考点利特殊点法求解（参数超越函数）
含函数：常取等
含函数：常取等
终极目：消参理化终简单化
例11求零点
例12求零点
考点二取特值法解等式（含参参变分离）
例21（20152016阳模理18）已知函数．
（Ⅲ）试问点作少条直线曲线相切？说明理．
解：设切点切线斜率
切线方程．
切线点．
．
令 ．
时 区间单调递减
区间单调递增
函数值．
令>0解
取．
存唯零点．
等式放缩部分（解法探究）
标答
取
．
设．
时恒成立．
单调递增恒成立．．
存唯零点．
时点P存两条切线．
（3）时显然存点P切线．
综述时点P存两条切线
时存点P切线．…………………………………………………13分
考点三利切线求解
例31（20122013石景山期末理18）已知函数常数．
（Ⅲ）讨函数零点数．
答案令
令
单调递增单调递减
时值
零点零点．
（Ⅰ）知仅零点
单调递增幂函数数函数单调性较
知仅零点（：直线曲线交点）
解函数单调性知处取值幂函数数函数单调性较知充分时单调递减区间仅零点
单调递增区间仅零点
切线方法：
综述时零点
时仅零点
时两零点
考点四利函数放缩求解
例41（20142015年阳模理18）已知函数．
（Ⅱ） 时讨函数零点数
解：（Ⅱ）
（1）时
时减函数时增函数
时取值
（ⅰ）时令
零点
（ⅱ）时时零点
（ⅲ）时时零点
（ⅳ）时时
（右侧趋0）时时
两零点
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(4) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
（ⅰ）令．
令函数单调递增．
令函数单调递减．
．
成立．
（ⅱ）（ⅰ）知 ．
设．
令．
令函数单调递增
令函数单调递减
．
．
方程没实数解．
练11（20152016东城模理18）设函数．
（Ⅰ）时求单调区间
（Ⅱ）时恒成立求取值范围
（Ⅲ）求证：时．
答案（Ⅰ）时
令
－
+
↘
↗
时单调递减
时单调递增
时．
（Ⅱ）
恒成立等价恒成立．
设
时
单调递减
时．
恒成立
．
（Ⅲ）时等价．
设．
求导．
（Ⅰ）知时 恒成立．
时．
．
单调递增时．
时．
练12（20132014阳二模理18）已知函数
（Ⅰ）曲线点处切线直线垂直求值
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设时成立求实数取值范围．
答案（Ⅰ）已知．
曲线点处切线直线垂直
．．
． ……………3分
（Ⅱ）函数定义域．
（1）时成立单调增区间．
（2）时
令单调增区间
令单调减区间．
综述时单调增区间
时单调增区间
单调减区间． ……………8分
（Ⅲ）时成立．
时恒成立
等价时恒成立．
设时成立．
．
令函数减函数
令函数增函数．
函数处取值．
．
实数取值范围． ……………13分
（Ⅲ）解：
（1）时（Ⅱ）知 单调递增．
时成立．
（2）时 ．
（Ⅱ）知时单调增区间
单调递增总成立．
（3）时．
（Ⅱ）知函数减函数增函数
函数处取值
．
时成立需
解．．
综述实数取值范围
练13（20132014海淀模理18）已知曲线
(Ⅰ)曲线C点处切线求实数值
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
答案 2分
曲线C点（01）处切线L：
4分
解 5分
（Ⅱ）法1：
意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令 7分
①a0
实数b取值范围 8分
②
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围
综实数b取值范围． 13分
法2：意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令等价∀恒成立
令 7分
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围． 13分
练14等式恒成立求实数取值范围．
答案分析：设知应分三种情况讨．分离参数轻易解决．
解：原等式等价．时显然成立
时恒成立需．
时取．
评注：二次函数闭区间值问题容易引起讨．题求解程中求值注意验证取等号条件．
练15（20122013西城第学期期末18）已知函数中．
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）设．求取值范围．
答案分析：第二问存性问题转化成函数定区间值问题类似样问题验分离变量会较简单实际教学中学生接受种想法什？分离变量种思想方法种解题技巧？
样审视类问题：变量范围求变量范围事实两变量赖关系求变量表示成已知变量函数函数出发类问题分离变量然该题简洁解法：
（Ⅱ）解：
等价 中． …………9分
设区间值．…………11分
等价．
取值范围． ………………13分
结：存性问题恒成立问题采分离变量方法常常较容易种方法教学成种技巧进行教学应该揭示种解法质质变量赖关系函数关系分离变量实际两变量间隐函数关系变成显函数关系进转化成含参变量函数问题解决避免分类讨变简单
练16（20122013阳期末18）已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数．少存成立求实数取值范围．
答案（里第三问存性问题做练巩固）
练17（2006天津理11）已知函数图象函数（)图象关直线称记区间增函数实数取值范围( )
A B C D
答案
考点二参换位（辅元转换）避免分类讨
例21设等式满足切实数成立求取值范围．
答案分析：受思维定势影响易成关等式．实变换角度变量避免分类讨关函数区间恒负值．
解：题意设恒成立关次函数．
评注：关等式转化关次等式然需解关元二次等式组已成功避开复杂分类讨问题中参数消灭．种转变问题视角方法简化运算十分益．
例22（20122013通州期末19）已知函数
（Ⅰ）函数处极值10求b值
（Ⅱ）意单调递增求b值．
答案分析：该题（Ⅱ）初步转化 意成立
变量学生感手a成变量等式左边关a次函数出进成关x二次函数问题获解
例23设时恒成立求取值范围
答案分析：该题初步转化意恒成立求取值范围
变量学生感手a成变量等式左边关a次函数进成关x二次函数问题获解
例24（2010崇文模理）设奇函数增函数函数
成立时t取值范围（ ）
A． B．
C． D．
答案C
导数专题九公切线解决导数中零点问题
知识点题目中零点问题通转化成初等函数图形间位置关系问题然利公切线变化求出
考点零点
例 11（16年房山二模文科）已知函数
（Ⅱ）直线曲线没公点求实数取值范围
解析直线曲线没公点
方程实根实根等价实根
设零点
时显然零点符合题意
时令
极值
显然符合题意
时令
极值
时符合题意
综述：
练 11（13年福建文）已知函数()
(3)值时直线曲线没公点求值
解析时
令
直线曲线没公点
等价方程没实数解
假设时
函数图象连续断零点存定理知少解方程没实数解矛盾
时知方程没实数解
值
考点二零点
例 21（13年阳模理）已知函数中
(Ⅱ)函数零点求实数取值范围
解析①时(Ⅰ)知函数单调递减区间单调递增
值
零点
需满足解
②时(Ⅰ)知
(ⅰ)时函数单调递增
零点
(ⅱ)时函数单调递减单调递增
时总
区间必零点单调递增
时零点
综述时零点
练 21（2012年房山模18）已知函数．
（III）函数区间恰两零点求取值范围．
解析时区间增函数
区间恰两零点． ………10分
时（II）问知
零点． ……11分
恰两零点需
………13分
练 22（13年昌二模理科）已知函数
(Ⅱ)求区间值
(III)区间恰两零点求取值范围
解析知时单调递增递减函数存两零点
时区间恰两零点
∴ 时
取值范围
考点三 两零点
例 31已知函数
（III）讨函数区间零点数
解析
练 31（15年海淀期末文科）已知函数
（Ⅲ）问集合（常数）元素少？（需写出结）
考点四线线问题
例 41（13年北京高考理科）设L曲线C：点(10)处切线
(I)求L方程 方程
(II)证明：切点(10)外曲线C直线L方
练 41（14年海淀模理科）已知曲线
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
解析意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立
令等价∀恒成立
令
情况：
0
0
+
极值
值
实数b取值范围．
导数专题十极值点偏移问题
例1已知函数仅两零点（ B ）
A．时 B 时
C 时 D 时
例2设函数图图仅两公点列判断正确（ D ）
A．时
B．时
C．时
D．时
例3设函数图图仅两公点列判断正确（ B ）
A．时
B．时
C．时
D．时
例4（2010东城二模）已知函数．
(Ⅰ) 函数单调增函数求取值范围
(Ⅱ) 设求证：．
解：(Ⅰ)
．………………………………………3分
单调增函数
恒成立．
恒成立．
时
．
设．
．
仅时值．
．
．
取值范围．…………………………………………………………7分
(Ⅱ)妨设．
证
需证
证．
需证．……………………………………………………………11分
设．
(Ⅰ)知单调增函数
．
成立．
．………………………………………………………………14分
例5（2010天津）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间极值
（Ⅱ）已知函数图函数图关直线称证明：时
（Ⅲ）果证明：
解：f’
令f’(x)0解x1
x变化时f’(x)f(x)变化情况表
X
()
1
()
f’(x)
+
0
f(x)
极值
f(x)()增函数()减函数
函数f(x)x1处取极值f(1)f(1)
（Ⅱ）证明：题意知g(x)f(2x)g(x)(2x)
令F(x)f(x)g(x)
x>1时2x2>0’(x)>0函数F（x）[1+∞)增函数
F(1)F(x)>F(1)0f(x)>g(x)
Ⅲ)证明：（1）
（2）
根（1）（2）
（Ⅱ）知>>>（Ⅰ）知函数f(x)区间（∞1）增函数>>2
例6（2011辽宁）已知函数
（Ⅰ）讨单调性
（Ⅱ）设 证明： 时
（Ⅲ）函数图x轴交AB两点线段AB中点横坐标 证明：
解：（I）
（i）单调增加
（ii）
单调增加单调减少 ………………4分
（II）设函数
………………8分
（III）（I）图x轴交点
值
妨设
（II）
（I）知 ………………12分
例7（2013湖南文）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）证明： 时
解 (Ⅰ)
(Ⅱ)(Ⅰ)知需证明x>0时f(x) < f(x)
例8（2016新课标I）已知函数两零点
(I)求取值范围
(II)设两零点证明：
解：（Ⅰ）．
（i）设零点．
（ii）设时时．单调递减单调递增．
取满足
存两零点．
（iii）设．
时单调递增．时存两零点．
时时．单调递减单调递增．时存两零点．
综取值范围．
（Ⅱ）妨设（Ⅰ）知单调递减等价．
．
设．
时时．
．
例9已知函数
（1）求函数零点数
（2）两零点证明：
例10设函数．
（1）求函数单调区间（2）函数两零点求满足条件正整数值
（3）方程两相等实数根求证：．
例11设函数图象轴交两点x1＜x2．
（1）求取值范围
（2）证明：（函数导函数）
例12已知函数
（1）求证：函数极值
（2）函数图象两相异交点求证：
例13已知函数求证：唯零点充条件ae
例14函数 图x 轴交两点求证：
例15已知函数
（Ⅰ）（Ⅱ）略
（Ⅲ） 时函数 图x 轴交两点 导函数正常数αβ满足条件 证明：
导数专题十构造函数解决导数问题
知识框架
考点分类
考点直接作差构造函数证明
两函数变量直接构造函数求值
例11（14义模理18）已知函数（）
（Ⅰ）时求曲线处切线方程
（Ⅱ）区间函数图象恒直线方求取值范围．
例12（13海淀二模文18）已知函数
（Ⅰ）时曲线点处切线曲线点处切线行求实数值
（Ⅱ）求实数取值范围
练11（14西城模文18）已知函数中．
（Ⅰ）时求函数图象点处切线方程
（Ⅱ）果意求取值范围．
练12已知函数常数．
（Ⅰ）求函数图象点处切线方程
（Ⅱ）证明函数图象直线方
（Ⅲ）讨函数零点数．
练13已知曲线
(Ⅰ)曲线C点处切线求实数值
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
练14已知函数求证：区间函数图函数图方
练15已知函数
（1）时求区间值值
（2）区间函数图恒直线方求取值范围
练16已知函数
（1）求极值
（2）果直线函数图交点求取值范围
答案：
考点二条件特征入手构造函数证明
例21函数 导满足等式
恒成立常数满足求证：
例22设导函数分导函数满足时（ ）
A B
C D
练21设导函数求等式解集
练22已知定义函数满足求关等式解集
练23已知定义域奇函数导函数时列关关系正确（ ）D
A B C D
练24已知函数定义导函数意恒成立然数底数（ ）C
A
B
C
D
练25 设导函数求值
练26函数定义导函数导函数面等式恒成立（ ）
A B C D
练27已知函数定义导函数导函数时存求值
（二）关系式减型
（1）构造
（2）构造
（3）构造
（注意符号进行讨）
考点三变形构造函数
例31证明：意正整数等式成立
例32已知函数
（1）求函数单调区间极值
（2）意恒成立求实数取值范围
练31设曲线点处切线
（1）求方程
（2）证明：切点外曲线直线方
练32已知函数
（1）曲线点处切线方程求值
（2）时求证：
练33已知函数中
（1）求单调区间
（2）意总存求实数值
练34
（1）讨单调情况
（2）设．求证：．
练35已知函数
（1）求单调区间
（2）时设斜率直线函数相交两点 求证：
考点四消参构造函数
例41已知函数图公点点处切线相
（1）点坐标求值
（2）已知求切点坐标
例42（2009全国卷2理22）设函数两极值点
（Ⅰ）求取值范围讨单调性
（Ⅱ）证明：
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(5) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(6) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(7) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(8) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(9) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(10) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(11) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
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新导数专题讲座容
汇总
导数专题单调性问题
知识结构
知识点
导函数代数意义：利导函数正负判断原函数单调性
二分类讨求函数单调性：含参函数单调性问题求解难点参数进行分类讨讨关键导函数零点定义域位置关系
三分类讨思路步骤：
第步求函数定义域求导求导函数零点
第二步导函数零点存性进行讨导函数存零点时讨关系区间位置关系（分类讨）
第三步画出导函数号函数草图判断导函数符号（画导图标正负截定义域）
第四步（列表）根第五步草图列出变化情况表写出函数单调区间
第五步综合述讨情形完整写出函数单调区间写出极值点极值区间端点函数值较函数值
四分类讨讨参数取值求出单调性讨点：
1高次项系数否0
2导函数否极值点
3两根关系
4根定义域端点讨等
五求解函数单调性问题思路：
（1）已知函数区间单调递增单调递减转化恒成立
（2）已知区间单调转化导函数区间存变号零点通常利分离变量法求解参变量范围
（3）已知函数区间存单调递增单调递减区间转化导函数区间零零解
六原函数单调性转化导函数区间正负问题处理方法
（1）参变分离
（2）导函数根区间端点直接较
（3）导函数部分元二次时转化二次函数根分布问题里讨元二次
七求解函数单调性问题方法提炼：
（1）函数单调增（减）转化导函数恒成立
（2）（）恒成立转化（）恒成立
（3）分离参数法分类讨解参数取值范围
考点分类
考点分类讨求解函数单调性
例11（20152016阳模理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）时成立求取值范围
（Ⅲ）试问点作少条直线曲线相切？说明理．
答案（Ⅰ）函数定义域．．
（1）时恒成立函数单调递增
（2）时 令．
时函数减函数
时函数增函数．
综述时函数单调递增区间．
时函数单调递减区间单调递增区间．
（Ⅱ）（Ⅰ）知（1）时时函数区间增函数
区间显然函数区间恒零
（2）时时函数减函数增函数．
题意解．
（3）时时区间减函数
．
题意解．
综述时函数区间恒零．
（Ⅲ）设切点切线斜率
切线方程．
切线点．
． ………………①
令 ．
（1）时区间 单调递增
区间单调递减
函数值．
方程解存满足①式．
时切线条数．
（2）时 区间单调递减
区间单调递增
函数值．
取．
存唯零点．
取．
设．
时恒成立．
单调递增恒成立．．
存唯零点．
时点P存两条切线．
（3）时显然存点P切线．
综述时点P存两条切线
时存点P切线．
例12（20152016海淀模理18）已知函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）求函数单调区间
(Ⅲ) 求证：直线曲线切线
答案（Ⅰ）函数定义域
变化时变化情况表：
递减
极值
递增
函数极值
值
（Ⅱ）解：函数定义域
（Ⅰ）
单调增区间单调减区间
（Ⅲ）证明：假设直线曲线切线
设切点
矛盾
假设成立直线曲线切线
练11（20152016西城模理18）已知函数
(Ⅰ) 求值单调区间
(Ⅱ) 关方程存两相等正实数根证明：
答案（Ⅰ）求导
解
令
变化时变化情况表示：
0
0
↘
↗
函数单调减区间单调增区间
（Ⅱ）解：方程
设函数
求导．
解
变化时变化情况表示：
0
↘
↗
函数单调递减单调递增
妨设（中两正实数根）
函数单调递减
理根函数单调递增
练12（20112012石景山模文18）已知函数
（Ⅰ）函数图象处切线斜率求实数值
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）函数减函数求实数取值范围
答案（Ⅰ） …………1分
已知解 …………3分
（II）函数定义域
（1）时 单调递增区间……5分
（2）时
变化时变化情况：
+
极值
表知函数单调递减区间
单调递增区间 …………8分
（II）…………9分
已知函数单调减函数
恒成立
恒成立
恒成立 …………11分
令
减函数
…………14分
练13（20152016阳期末文19）已知函数
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）时试判断函数否存零点说明理
（Ⅲ）求函数单调区间
答案函数定义域：
（Ⅰ）时
切点（13）
曲线点处切线方程
（Ⅱ）
令（舍）
－
＋
↘
极值
↗
函数存零点
（Ⅲ）
时
－
＋
↘
极值
↗
时单调增区间
时
＋
－
＋
↗
极值
↘
极值
↗
时
＋
＋
↗
↗
＋
－
＋
↗
极值
↘
极值
↗
综时单调增区间减区间
时单调增区间减区间
时单调增区间
时单调增区间减区间
练14（20152016丰台期末文20）设函数图象直线相切点．
（Ⅰ）求函数解析式
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数求实数取值范围
答案（Ⅰ）∵函数图象直线相切点
∴．
∵
∴
解．
∴．
（Ⅱ）
令
令．
∴单调递增区间单调递减区间． …8分
（Ⅲ）记值域值域
∵
∴．
（Ⅱ）：单调递增单调递减单调递增
∴．
∵
∴．
① 时单调递增单调递减单调递增
∴值值．
∵
∴
∴
．
∵
∴．
② 时单调递增单调递减
∴值值 ．
∵
∴
∴．
综述：．
练15（20152016阳二模文20）已知函数
(Ⅰ)求函数单调区间
（Ⅱ）时区间恒成立求取值范围
答案(Ⅰ) 函数定义域
（1） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间
（2） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间
（3） 时恒成立
函数单调递增区间
（4） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间 （Ⅱ）题意区间
令
函数()单调递增
函数()单调递减
满足条件
函数()单调递增单调递减
题意
区间单调递增满足条件
综
练16（20152016房山二模文19）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）直线曲线没公点求实数取值范围
答案（Ⅰ）定义域
令
极值
增区间减区间
（II）直线曲线没公点
方程实根实根等价实根
设零点
时显然零点符合题意
时令
极值
显然符合题意
时令
极值
时符合题意
综述：
练17（20152016阳模文19）已知函数
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数区间存极值点求取值范围
答案(Ⅰ)函数定义域
曲线点处切线斜率
曲线点处切线方程
（Ⅱ）函数定义域
（1）时时
令解函数减函数
令解
时函数增函数
函数单调减区间
单调增区间
（2）时函数单调减区间
时函数单调减区间
时函数单调减区间
时函数单调减区间
（3）时时
令解时函数减函数
令解函数增函数
函数单调减区间
函数单调增区间 …………9分
（Ⅲ）（1）时（Ⅱ）问知函数减函数
存极值点
（2）时（Ⅱ）知增函数
减函数
函数区间存极值点
解
综述时函数区间存极值点
练18（20152016东城期末理19）已知函数．
（Ⅰ）时试求处切线方程
（Ⅱ）时试求单调区间
（Ⅲ）极值试求取值范围．
答案（Ⅰ）时．
方程．
（Ⅱ）
．
时恒成立
Þ Þ 0
单调增区间单调减区间 ．
（Ⅲ）极值解．
令 Þ Þ
设
时恒成立
单调递减
时
值域
时 解
设
单调递减
唯解
：
0
0
递减
极值
递增
时极值唯
时时恒成立单调递增成立．
综取值范围．
练19（20152016兴期末理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）恒成立求取值范围
答案（1） 时
函数点处切线方程
：
(Ⅱ)函数定义域：
时恒成立单调递增
时令：
单调递增区间单调减区间
（Ⅲ）恒成立
恒成立
令
令
时函数单调递增
恒成立
时时单调递增
时单调递减
值
合题意
时时单调递增
时单调递减
值
恒成立
综知取值范围
考点二已知函数单调求参数范围
例21（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例22（20152016阳期中文19）已知函数．
（Ⅰ）函数区间单调递减求取值范围
（Ⅱ）时证明
答案（I）函数定义域
函数单调减等式成立
设解
取值范围
（Ⅱ）时
令（舍）
变化时变化情况表：
1
0
+
极值
时函数值
成立
练21（20152016海淀期中文18）已知函数
（Ⅰ）曲线点处切线斜率求函数单调区间
（Ⅱ）函数区间单调递增求取值范围
答案（Ⅰ）曲线点
变化时变化情况表
0
0
极值
极值
函数 单调递增区间
单调递减区间
（Ⅱ）
函数区间单调递增
成立
值等0
函数称轴
时值
解种情形成立
时值
解
综实数取值范围
练22（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
练23（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
（ⅰ）令．
令函数单调递增．
令函数单调递减．
．
成立．
（ⅱ）（ⅰ）知 ．
设．
令．
令函数单调递增
令函数单调递减
．
．
方程没实数解．
练24（20152016海淀期中理18）已知函数曲线点处切线．
（Ⅰ）直线斜率求函数单调区间
（Ⅱ）函数区间单调函数求取值范围．
答案（Ⅰ）
直线斜率
令解
时
时
单调增区间单调减区间
（Ⅱ）单调
需恒成立
（1）恒成立等价
解
（2）恒成立
时解（舍）（舍）
时解
综述
考点三已知函数单调求参数范围
例31已知函数时区间单调求取值范围
答案解法：∵
令解
区间单调
区间存极值点
∴
解法二∵
函数区间单调函数存零点
令解区间长
∴区间零点
：
∵
∴
∵
∴
例32已知函数区间单调求取值范围
答案
考点四已知函数存单调区间求参数范围
例41设函数函数存单调递增区间试求实数取值范围
答案解法：
设
题意区间存子区间等式成立
注意抛物线开口
实数取值范围
解法二：
题意区间存子区间等式成立
设函数区间值
解
解
函数区间递增区间递减
函数处取值
实数取值范围
例42（20102011阳二模理18）设函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）函数存单调递增区间试求实数取值范围
答案
练41已知函数．函数存单调递增区间求取值范围．
答案
时
令解
单调递增区间满足题意
时
时
单调递减(舍）
时
令解：
时
单调递增区间满足题意
时
存单调递增区间
解
综述：取值范围：
解法二：
存单调递增区间等价存区间成立存成立
设
时
取值范围：
考点五两函数具相单调性求参数范围
例51（20122013西城模文18）已知函数中．
（Ⅰ）求极值
（Ⅱ）存区间区间具相单调性求取值范围．
答案（Ⅰ）定义域 ． ………………2分
① 时单调递增．
没极值没极值． ………4分
② 时令．
情况：
↘
↗
单调减区间单调增区间．
极值没极值． …………6分
（Ⅱ）解：定义域 ． …………8分
③ 时单调递增单调递减合题意．
………………9分
④ 时单调递减．
时时单调递增单调递减合题意． ……………11分
时时单调递减单调递减符合题意．
综取值范围． …………13分
例52已知函数中．存区间区间具相单调性求取值范围．
答案定义域
单调递减
时单调递减单调递增
定义域 ．
时显然 单调递增．
时单调递增符合题意．
时单调递增单调递减合题意．
时令．
情况表：
↘
↗
时时单调递增单调递减合题意．
时时单调递减单调递减符合题意．
综取值范围．
导数专题二极值问题
知识点
函数极值定义
函数点附定义果附点称函数极值记作果附点称函数极值记作极值极值统称极值称极值点．
极值极值统称极值．极值点极值点统称极值点．
极值点出现函数驻点（导数0点）导点处（导函数存取极值时驻点存）
导函数极值点必定驻点反函数驻点定极值点例点驻点极值点
极值点导数零存函数单调性必然变化
极值问题建立分类讨基础
二求函数极值点极值注意事项：
1求极值极值点必须点明极极没说明没
2知道判断否存极值者极值点
3果已知极值者极值点求参数时候结果需检验
4极值点导函数根果两根合适时候想伟达定理
三求函数极值三基步骤
第步求导数
第二步求方程实数根
第三步考察根附左右导函数符号变化．果符号正变负极值果负变正极值．果根左右侧符号变极值．
考点分类
考点分类讨求函数极值（点）
例11（20152016海淀模文19）已知函数
(Ⅰ)求曲线点处切线方程
(Ⅱ)求函数零点极值
(Ⅲ)意成立求实数值
答案
（Ⅰ）设切线斜率曲线点处切线方程
（Ⅱ）令解时时函数零点1
令解时时函数处取极值极值
（Ⅲ）（II）知时时单调递减单调递增处取值
需值1
例12（20102011阳二模理18）设函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）函数存单调递增区间试求实数取值范围
（Ⅲ）求函数极值点
答案
考点二已知函数极值（点）情况求参数范围
例21（20152016阳模文19）已知函数
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数区间存极值点求取值范围
答案(Ⅰ)函数定义域
曲线点处切线斜率
曲线点处切线方程
（Ⅱ）函数定义域
（1）时时
令解函数减函数
令解
时函数增函数
函数单调减区间
单调增区间
（2）时函数单调减区间
时函数单调减区间
时函数单调减区间
时函数单调减区间
（3）时时
令解时函数减函数
令解函数增函数
函数单调减区间
函数单调增区间 …………9分
（Ⅲ）（1）时（Ⅱ）问知函数减函数
存极值点
（2）时（Ⅱ）知增函数
减函数
函数区间存极值点
解
综述时函数区间存极值点
例22（20152016东城期末理19）已知函数．
（Ⅰ）时试求处切线方程
（Ⅱ）时试求单调区间
（Ⅲ）极值试求取值范围．
答案（Ⅰ）时．
方程．
（Ⅱ）
．
时恒成立
Þ Þ 0
单调增区间单调减区间 ．
（Ⅲ）极值解．
令 Þ Þ
设
时恒成立
单调递减
时
值域
时 解
设
单调递减
唯解
：
0
0
递减
极值
递增
时极值唯
时时恒成立单调递增成立．
综取值范围．
练21（20152016房山二模理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数单调区间
（Ⅱ）设区间两极值点求实数取值范围
答案（Ⅰ）时
定义域
令
0
递增
递减
极值
递增
（Ⅱ）
令需
设
区间两极值点区间两零点
区间两零点唯根必须区间
令
解：
练22已知函数（常数）函数区间两极值点求实数取值范围
答案
题意知解
实数取值范围
练23已知函数中函数区间仅极值点求实数取值范围
答案仅极值点
仅异号零点
二次函数图象性质
解
综取值范围
练24已知函数中
（Ⅰ）求证：函数点处切线总两公点
（Ⅱ）函数区间仅极值点求实数取值范围
答案（Ⅰ）已知
处切线方程
令整理
切线两公点 7分
（Ⅱ）仅极值点
仅异号零点
二次函数图象性质
解
综取值范围
练25（20132014海淀二模文18）已知函数
中
（Ⅰ）求证：函数点处切线总两公点
（Ⅱ）函数区间仅极值点求实数取值范围
答案（Ⅰ）已知 1分
2分
处切线方程 4分
令整理
5分
6分
切线两公点 7分
（Ⅱ）仅极值点
仅异号零点 9分
二次函数图象性质 10分
解 12分
综取值范围 13分
练26（20092010年北京高考文18）设定函数方程两根分14
（Ⅰ）曲线原点时求解析式
（Ⅱ）极值点求取值范围
答案
两根分14 （*）
（Ⅰ）时（*）式
解
曲线原点
（Ⅱ）a>0（∞+∞）极值点等价（∞+∞）恒成立
（*）式
解
取值范围
考点三已知函数极值求参数值
例31已知函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）否存实数函数极值等？存求出值存请说明理
答案（Ⅰ）定义域
令解：
时单调递增区间
时变化情况：
极值
极值
函数单调递增区间单调递减区间
时变化情况：
极值
极值
函数单调递增区间单调递减区间
（Ⅱ）时极值等 理：时极值
时极值
令 解 （舍）
时极值
极值等
综述时极值等
例32已知函数处极值10求值
答案
题意方程组
解
a3b3时
令x1
(∞1)
1
(1+∞)
+
0
+
↗
极值
↗
显然合题意舍
时
令
x
1
（1+∞）
+
0
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
处极值10合题意
∴
导数专题三值问题
知识结构
知识点
求解函数值问题步骤：
函数值问题建立前面极值问题基础般求函数值值步骤：
第步求函数极值
第二步函数极值端点处函数值较中值值．
二问题类型：
1分类讨求函数值
2已知函数值情况求参数范围
3已知函数值求参数值
4情况转化值问题
考点分类
考点分类讨求函数值
例11（20152016东城模文19） 已知函数
（1）处取极值求值
（2）求区间值
（3）（1）条件求证：时恒成立
答案（1）定义域
函数处取极值
解
（2）
1）时
单调递增该区间值
2）时
单调递增该区间值
3）时
0
+
减
极值
增
该区间值
综述时值1
时值
（3）已知时恒
证明时恒成立需证明
证明恒成立
令
令
时恒时
时单调递减
恒成立时恒成立
例12（20142015丰台模理18）设函数．
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）（Ⅰ）条件求证：
（Ⅲ）时求函数值．
答案（Ⅰ）时
．
切线斜率
切线方程 ． 4
（Ⅱ）证明：（Ⅰ）知．
令．
时单调递减
时单调递增
时函数值．命题证
（Ⅲ）．
令．
时设
单调递增
恒成立．
单调递减
单调递增．
值等
妨设()
．
（Ⅱ）知恒成立
单调递增．
恒成立．
时值．
练11（20152016西城期末文19）已知函数中然数底数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）时求函数值
答案（Ⅰ）解：
． 2
令． 3
变化时变化情况：
↘
↗
5
单调减区间单调增区间． 6
（Ⅱ）解：（Ⅰ）单调减区间单调增区间．
时单调递增
值
时
单调递减 单调递增
值
时单调递减
值
函数值
练12（20152016海淀期末文18）已知函数函数点处公切线设
（I） 求值
（Ⅱ）求区间值
答案（I）函数图象
3
（Ⅱ）定义域
5
时
单调递增
值 7
时令(舍)
时时恒成立
单调递增值
时时 成立
单调递减
值
时 成立 成立
单调递减单调递增
值
综时 值
时值
时 值
练13（20152015丰台模理18）已知函数
(Ⅰ)曲线点（10）处切线斜率0求ab值
(Ⅱ)ab时求函数单调区间求函数区间[21]值
答案(Ⅰ)函数h(x)定义域{x|x≠a}1
3
h(x)点（10）处切线斜率0
解6
(Ⅱ)记(x) (x)(x+a)(bx2+3x)(x≠a)
ab(x≠a)
令
时时
函数(x)单调递增区间
单调递减区间
① 时 (x)[21]单调递增
(x)该区间值
② 时
(x)[2单调递减 单调递增
(x)该区间值
③时时
(x)[21]单调递减 (x)该区间值
综述时值时值时值 （综述者扣）
练14（20132014延庆模理18）已知函数
(Ⅰ) 讨函数单调性
（Ⅱ）时求函数区间值
答案函数定义域 1
(Ⅰ) 4
（1）时定义域单调递增 5
（2）时令（舍）
变化时变化情况：
时区间单调递减
区间单调递增 7
（3）时令（舍）
变化时变化情况：
时区间单调递减
区间单调递增
（Ⅱ）(Ⅰ)知时区间单调递减区间单调递增
（1）时区间单调递减
（2）时区间单调递减
区间单调递增
（3）时区间单调递增
练15（20132014东城期末理18）已知函数．
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求区间值．
答案（Ⅰ）时
2
．
曲线点处切线斜率 4
曲线点处切线方程
．6
（Ⅱ）．
令．
①区间单调递增时函数值．
②时函数区间单调递减
时函数区间单调递增
时函数取值．
③时函数区间单调递减
时函数取值．
综知时函数区间值
时函数区间值
时函数区间值．
练16（20142015西城二模理18）已知函数中．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求区间值值．
答案定义域 ． 2
时
曲线点处切线方程
． 4
（Ⅱ）解：方程判式．
（ⅰ）时区间单调递增区间
值值．6
（ⅱ）时令 ．
情况：
↗
↘
↗
单调增区间单调减区间．
① 时时区间单调递增区间
值值．
② 时时区间单调递减区间单调递增
区间值 ．
时区间值时区间值．
③ 时时区间单调递减
区间值值．
综
时区间值值
时区间值值
时区间值值
时区间值值．
练17（20142015丰台模文19）已知函数
(1)设函数求ab值
(2)a2b4时求函数单调区间求该函数区间(2m] ()值
答案(Ⅰ)函数h(x)定义域{x|x≠a}
解
(Ⅱ)记(x) (x)(x+a)(bx2+3x)(x≠a)
a2b4(x≠2)
令
时时
函数单调递增区间
单调递减区间
①2
②≤m≤时(x)(2)单调递增()单调递减(m)单调递增()()
(x)值
练18（（20132014兴模文18）已知函数
(I)求函数单调区间
(Ⅱ)时求函数区间值
答案定义域R
(Ⅰ)①时单调增区间
②时解 解
单调增区间单调减区间
③时解 解
单调增区间单调减区间
(Ⅱ) ①时 时 减函数增函数函数区间[20]值
②时 时 增函数
函数区间[20]值
综 时 区间[20]值
时 区间[20]值
考点二已知函数值情况求参数范围
例21（（20152016昌期末文20）已知函数．
(Ⅰ) 求函数点处切线方程
（Ⅱ）证明：时
（Ⅲ）设存值值时确定实数取值范围．
答案（Ⅰ）解：定义域
题意 函数点处切线方程（Ⅱ）证明：时转化
时恒成立
设
时减函数
时成立
（Ⅲ）设定义域
⑴时意
增函数值符合题意
⑵时令
变化：
0
+
0
↗
极值
↘
成立
令
增函数
时
时命题成立
综取值范围
例22（20152016东城模文20）已知函数
(Ⅰ)时求曲线点处切线方程
(Ⅱ)讨单调性
(III)存值求取值范围
答案(Ⅰ)时
曲线点处切线方程
(Ⅱ)函数定义域
时知恒成立
时区间单调递减
时知恒成立
时区间单调递增
时
时区间单调递增区间单调递减
(III)(Ⅱ)知函数定义域
时区间单调时函数值
时区间单调递增区间单调递减
时函数值
值
解
取值范围
练21（152016兴区模理18）已知函数．
(Ⅰ)求函数单调区间
(Ⅱ)函数区间否存值存求出值存请说明理．
答案（I）
①时单调递减
②时单调递增单调递减
综述：时减区间 时增区间减区间
（II）（1）时（I）单调递减存值
（2）时
时单调递减存值
时单调递增单调递减
时时
时值时 没值
综述：时值时没值
考点三已知函数值求参数值
例31（20152016阳期中文20）已知函数(中)函数导函数．
(Ⅰ)求曲线点处切线方程
(Ⅱ)函数区间值求值．
答案．
．
．
(Ⅰ)时时
曲线点处切线方程．
．
(Ⅱ)已知
．
（1）时
令
令．
函数单调递增单调递减．
函数区间单调递增．
函数区间值．
解．显然合题意．
（2）时时
恒成立函数单调递增．
函数区间单调递增．
函数区间值．
解．显然符合题意．
（3）时时
令
令．
函数单调递增单调递减．
①时函数区间单调递减．
函数区间值．
解．显然合题意．
②时函数单调递减 单调递增．
时函数区间值．
解．显然合题意．
综述求．
例32（20152016阳期中18）已知函数(中常数)函数导函数．
(Ⅰ)求曲线点处切线方程
(Ⅱ)时函数区间值试求值．
答案．
．
(Ⅰ)时．
曲线点处切线方程．
．
(Ⅱ)已知．
．
．
．
令
令．
函数单调递增单调递减．
①时函数区间单调递增．
函数区间值．
解．显然符合题意．时 ．
②时
函数单调递增单调递减．
函数区间值．
．
．
．
满足函数区间值
综述 求．
练31（20152016海淀模理18）已知函数(中常数)处取极值
(I) 时求单调区间
(II) 值求值
答案（I）2
函数处取极值
3
时
变化情况表：
0
0
极值
极值
5
单调递增区间
单调递减区间
(II)
令
处取极值
时单调递增单调递减
区间值令解
时单调递增单调递减单调递增
值1处取
解
时区间单调递增单调递减单调递增
值1处取
解矛盾
时区间单调递增单调递减
值1处取矛盾
综述
练32（20132014阳模理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）函数区间值求值．
答案函数定义域 ．
（Ⅰ）（1）时函数单调递减．
（2）时恒成立函数单调递减．
（3）时令解．
①时函数单调递减．
②时函数单调递增．
综述时函数单调减区间
时函数单调减区间单调增区间．
（Ⅱ）（1）时（Ⅰ）知单调递减
值解舍．
（2）时（Ⅰ）知
①时函数单调递增
函数值解．
②时函数单调递减
单调递增函数值
解舍．
③时函数单调递减
函数值舍．
综述．
导数专题四零点问题
知识结构
知识点
零点定义：定义：
般果函数处实数根做函数零点
1函数值零时值
2函数零时方程解
3函数图象轴交点
4两函数交点
二零点问题包括题型包括：
1否零点
2判断零点数
3已知零点求参数
三函数零点判定：
方程实数根⇔函数图象轴交点⇔函数零点
考点分类
考点分类讨求零点数
例11（20142015年阳模理18）已知函数．
（Ⅱ） 时讨函数零点数
答案（Ⅱ）
（1）时
时减函数时增函数
时取值
（ⅰ）时令
零点
（ⅱ）时时零点
（ⅲ）时时零点
（ⅳ）时时
（右侧趋0）时时
两零点
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(3) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例12（20122013石景山期末理18）已知函数常数．
（Ⅲ）讨函数零点数．
答案令
令
单调递增单调递减
时值
零点零点．
（Ⅰ）知仅零点
单调递增幂函数数函数单调性较
知仅零点（：直线曲线交点）
解函数单调性知处取值幂函数数函数单调性较知充分时单调递减区间仅零点
单调递增区间仅零点
切线方法：
综述时零点
时仅零点
时两零点
练11（20152016阳期末文19）已知函数
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）时试判断函数否存零点说明理
（Ⅲ）求函数单调区间
答案函数定义域：
（Ⅰ）时
切点（13）
曲线点处切线方程
（Ⅱ）
令（舍）
－
＋
↘
极值
↗
＋
－
＋
↗
极值
↘
极值
↗
函数存零点
（Ⅲ）
时
－
＋
↘
极值
↗
时
＋
－
＋
↗
极值
↘
极值
↗
时
＋
＋
↗
↗
时
综时单调增区间减区间
时单调增区间减区间
时单调增区间
时单调增区间减区间
练12（20152016西城期末文20）已知函数 直线 ：
（1）求函数极值
（2）求证：意 直线曲线切线
（3）试确定曲线直线交点数说明理
答案（1）（x≠0）
∴
令x1列表：
x
（01）
1
（1+∞ ）
0
+
极值
∴x1处极值
（2）假设条切线设切点
∴
②代入①中
成立
∴ 意 直线曲线切线
（3）解法令
整理
令
∴ ∴ g（x）减函数
令g（x）0x1
∴ x＜0时g（x）＜2x g（x）∞
x＞0时g（x）＞2x g（x）+∞
∴ k2时没交点k≠2时交点
解法二令
时恒正零点
时
时恒正零点
时减函数取
时时
零点曲线直线交点
时
时恒正零点
时增函数
取
时时
零点曲线直线交点
综述 时曲线直线没交点 时曲线直线交点
练13（20152016兴期末文19）已知函数．
（Ⅰ）求函数点处切线方程
（Ⅱ）设实数恒成立求取值范围
（Ⅲ）设求函数区间零点数．
答案（Ⅰ）
曲线点处切线方程
(Ⅱ)设
令解：
变化时变化情况表：
+
0
↗
↘
表知时取值
已知意恒成立
取值范围
(Ⅲ)令：
(Ⅱ)知增函数减函数
时函数零点
时函数1零点
时函数2零点
练14（20132014西城期末理18）已知函数中然数底数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）时试确定函数零点数说明理
答案（Ⅰ）解：
． ……………… 2分
令． ……………… 3分
变化时变化情况：
↘
↗
……………… 5分
单调减区间单调增区间．………… 6分
（Ⅱ）解：结：函数仅零点 ……………… 7分
理：
方程
显然方程实数解
函数零点 ……………… 9分
时方程化简
设函数
令．
变化时变化情况：
↘
↗
单调增区间单调减区间．
值 ………………11分
意
方程实数解．
时函数存零点
综函数仅零点 ………………13分
练15（20122013石景山期末理18）已知函数常数．
（Ⅰ）求函数图象点处切线方程
（Ⅱ）证明函数图象直线方
（Ⅲ）讨函数零点数．
答案（Ⅰ） …………………1分
切线方程
． …………………3分
（Ⅱ）令
↗
值
↘
…………………6分
函数图直线方． …………………8分
（Ⅲ）令
令
单调递增单调递减
时值
零点零点．………………10分
（Ⅰ）知仅零点
单调递增幂函数数函数单调性较知仅零点（：直线曲线交点）
解函数单调性知处取值幂函数数函数单调性较知充分时单调递减区间仅零点单调递增区间仅零点
综述时零点
时仅零点
时两零点 …………………13分
练16（20142015东城高模理18）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间单调递增 求取值范围
（Ⅲ）讨函数零点数
答案（Ⅰ）
已知处取极值
解检验时处取极值
……3分
（Ⅱ）（Ⅰ）知
区间单调递增
区间恒成立
区间恒成立
……8分
（Ⅱ）
令
令
时单调递增
时单调递减
综：时函数零点
时函数零点
时函数两零点
考点二已知函数存零点情况求参数范围
例21（20152016房山二模理18）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）直线曲线没公点求实数取值范围
答案（Ⅰ）
令
变化情况
+
减
增
函数区间减函数区间增函数
（Ⅱ）解法（分离参数法）：
步骤：
1写定义域：求出函数定义域
2分离参数：等式转化参数放等号边等号外边函数g（x）
3画图象：准确画出g（x）图象
4移直线：直线yb直线移动观察交点数
面步注意事项：
1写定义域：定先写出函数定义域
2分离参数：分离参数时候注意等式变化时候定义域改变
3：画图：里涉画出准确函数图注意事项
A：首先通求导研究函数单调性（定义域范围）
B：画出极值点
C：画断点（定义域取值走势）找渐线1
D画正负穷处点找渐线2
E：处光滑曲线连接起
4：移直线：移动时候交点注意取点空心实心
解法（分离参数法）：直线曲线没公点等价
方程实数解该方程解等价
方程解
设
令
区间
区间区间
递增递减递减
时取极值
限增时限趋1
值域
方程解取值范围
解法二：构造新函数法（略）
解法三（转化某定点直线曲线交点）：
直线曲线没公点
方程实数解
直线曲线没公点
设点直线曲线相切点
直线斜率
直线方程
直线点
直线曲线交点
例22（20152016海淀期末文19）已知函数中
时求函数单调区间极值
关方程解求实数k取值范围
答案题知函数定义域：
时
令
变化时变化表：
X
1
—
0
+
极值
∴单调递增区间：
单调递减区间：
∴时存极值：
题意方程解解
令
令
（1）时令
令
单调递减单调递增
∴
①时函数解
②时
（2）时恒成立恒减
时
综述：
练21（20152016丰台期末理18）已知函数
（Ⅰ）求函数极值
（Ⅱ）存实数求实数a取值范围
答案（Ⅰ）
令
x
0
+
0
_
0
+
递增
极值
递减
极值
递增
∴函数极值 极值 (Ⅱ) 存
（Ⅰ）知需（图1）（图2）
（图1） （图2）
练22（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
练23（20152016丰台二模文19）设函数．
（Ⅰ）求函数单调区间极值
（Ⅱ）函数区间存唯零点求取值范围
答案（Ⅰ）
（1）区间单调递增时 单调递增区间没极值点
（2）令解
函数区间递增函数
区间单调递减区间单调递增
时 单调递减区间 单调递增区间时函数极值
（Ⅱ）（1）时（Ⅰ）知 单调递增
令
时区间存唯零点
（2）时（Ⅰ）知函数值点
函数区间存唯零点：
① ②
①②
综述函数区间存唯零点
练24（20152016海淀二模文19）已知函数
（1）时求函数单调区间
（2）关等式解求取值范围
（3）存函数零点函数极值点请写出时值（需写出结）
答案（1）时
令时时
单调递增单调递减单调递增
（Ⅱ）解值等
令
时时 区间单调递增值
解
时时区间单调递减单调递增
值
解
综
法二：（Ⅱ）解值等
时 满足题意
时
令
区间单调递增
区间值
根面矛盾
综
（Ⅲ）
练25（20152016丰台二模理18）设函数
（Ⅰ）时求函数区间值
（Ⅱ）函数区间两零点求实数取值范围
答案（Ⅰ）时
间关系表：
1
+
0
增函数
极值
减函数
函数区间极值点极值点值点4分
值
（Ⅱ）
（1）时显然区间没两零点合题意
(2)时
①时函数区间增函数函
数 区间两零点合题意
②时区间间关系表：
+
0
增函数
极值
减函数
函数区间两零点
化简
综述时函数区间两零点
练26（20152016房山模理18）已知函数中
（Ⅰ）求函数极值
（Ⅱ）区间仅零点求实数取值范围
答案（Ⅰ）a2时 f（1） a – 1 （2）1极值1
（Ⅱ）
时f（x） f（1）0 a10a1者 解舍
f(1)a1<0知 需f（e）>0
解
f（x）（01）递增（1e）递减 f（1）时（0e）零点
综a1者
练27（2015西城二模文）已知函数中
（Ⅰ）时求函数图象点处切线方程
（Ⅱ）时证明：存实数意成立
（Ⅲ）时否存实数关方程仅负实数解？时情形？(需写出结)
答案（Ⅰ）解：时函数
求导 ………………2分
………………3分
函数图象点处切线方程………………4分
（Ⅱ）证明：时定义域
求导 ………………5分
令解 ………………6分
变化时变化情况表：
+
0
0
+
↗
↘
↗
………………8分
函数单调递增单调递减
时时
时时
记中两数
中数
综时存实数意实数等式
恒成立 ………………10分
（Ⅲ）解：时存实数关实数方程仅
负实数解 ………………13分
考点三已知函数存零点求参数范围
例31（20152016石景山模文19）已知函数．
（Ⅰ）求函数极值（Ⅱ）证明：时
（Ⅲ）时方程解求取值范围．
答案（Ⅰ）
令解
易知单调递减单调递增
时极值
（Ⅱ）令
（Ⅰ）知
单调递增
（Ⅲ）方程整理
时
令
令解
易单调递减单调递增
时值
越越时值越越
方程解
例32（20132014海淀期末理18）已知关函数
（Ⅰ）时求函数极值
（Ⅱ）函数没零点求实数取值范围
答案（Ⅰ） 2分
时情况表：
2
0
↘
极值
↗
时函数极值 6分
（Ⅱ）
①时情况表：
2
0
↘
极值
↗
7分
8分
函数没零点需仅需解9分
时 10分
②时情况表：
2
0
↗
极值
↘
11分
12分
时函数总存零点 13分
综述求实数取值范围
练31（20132014阳模文18）设函数记
（Ⅰ）求曲线处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）时函数没零点求取值范围
答案(I)函数处切线斜率
函数处切线方程 ………………4分
（Ⅱ） （）
①时区间单调递增
②时令解令解
综述时函数增区间
时函数增区间减区间 ………………9分
（Ⅲ）题意函数没零点解
（Ⅱ）知时函数区间增函数区间减函数
需
解
实数取值范围 …………………………………………………13分
综述求实数取值范围
练32（20142015通州期末理18）已知函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）方程没实数根求取值范围．
答案（Ⅰ）函数………………… 1分
（1）时递增区间递减区间…… 3分
（2）时令令
递增区间递减区间 …………………… 5分
综时递增区间递减区间
时递增区间递减区间
（Ⅱ）（1）时 显然零点
方程没实数根 …………………… 6分
（2）时单调递增
零点
方程实数根 …………………… 8分
（3）时递增区间递减区间
极值值
没实数根等价 …………………… 11分
…………………… 12分
综取值范围 …………………… 13分
考点四证明函数零点情况
例41（20152016海淀期末理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数单调区间极值
（Ⅱ）求证：时关等式区间解
（中）
答案（Ⅰ）
时
令
变化情况表：
极值
极值
处取极值
处取极值
函数单调递增区间 单调递减区间
（Ⅱ）证明：等式区间解等价区间恒成立
函数区间值等1
令
时
时成立函数区间单调递减
函数区间值
等式区间解
时变化情况表：
↘
极值
↗
函数区间值
时
综时关等式区间解
例42（20152016房山模文19）已知函数
（I）求曲线处切线方程
（II）求单调区间
（III）设中证明：函数仅零点
答案（I）
中
曲线处切线方程
（II）定义域
令解
令解
单增区间单减区间
（III）定义域
① 时恒成立单调递增
知函数仅零点
② 时
令解
令解
单调递增单调递减
知零点函数仅零点
综诉函数仅零点
练41（20152016房山模文19）已知函数
（I）求曲线处切线方程
（II）求单调区间
（III）设中证明：函数仅零点
答案（I）
中
曲线处切线方程
（II）定义域
令解
令解
单增区间单减区间
（III）定义域
① 时恒成立单调递增
知函数仅零点
② 时
令解
令解
单调递增单调递减
知零点函数仅零点
综诉函数仅零点
考点五函数交点问题
例51（20152016东城期末文19）已知函数
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）曲线轴交点求取值范围
（Ⅲ）设函数请写出曲线交点（直接写出结）
答案（Ⅰ）时
时
曲线点处切线方程
（Ⅱ）
时时单调递增
时时
时曲线轴交点
时令
区间情况：
极值
曲线轴交点
解
综述时曲线轴交点
（Ⅲ）曲线曲线4交点
例52（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
练51（20152016西城期末理18）已知函数 (然数底数)
（Ⅰ）曲线点处切线行轴求值
（Ⅱ）求函数极值
（Ⅲ）时直线曲线没公点求值．
答案(Ⅰ)
曲线点处切线行轴
解
(Ⅱ)
①时增函数
函数极值
②时令
单调递减单调递增
处取极值极值极值
综时函数极值
处取极值极值
(Ⅲ)时
令
直线曲线没公点
等价方程没实数解
假设时
函数图象连续断零点存定理知少解方程没实数解矛盾
时知方程没实数解
值
解法二
(Ⅰ)(Ⅱ)解法
(Ⅲ)时
直线曲线没公点
等价关方程没实数解关方程
(*)
没实数解
①时方程(*)化没实数解
②时方程(*)化
令
令
变化时变化情况表
递减
递增
时时趋时趋
取值范围
时方程(*)实数解 解取值范围
综值
练52（20142015丰台期末理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数极值
（Ⅱ）果直线函数图象交点求取值范围．
答案（Ⅰ）函数定义域R．
．
令．
0
0
+
↘
极值
↗
时函数极值． ………………6分
（Ⅱ）函数．
时
交点等价恒成立．
令
．
①时满足交点
②时
时满足交点．
③时令
时单调递减
时单调递增
时．
交点．
综述 时交点．
导数专题五恒成立问题存性问题
知识结构
知识点
求解函数恒成立问题存性问题首先转化函数值问题方法提炼：
已知等式恒成立求参数取值范围：分参法
（1）分离参数等式转化（）恒成立
（2）求导函数
（3）找出（）值（）
（4）解等式（）出参数取值范围．
二已知等式恒成立求参数取值范围：讨法
（1）构造新函数等式转化（）恒成立
（2）求导函数判断函数单调性
（3）找出（）值（）
（4）解等式（）出参数取值范围．
考点分类
考点单变量单函数等式型
求
求
例11（20152016阳期中文19）已知函数．
（Ⅰ）函数区间单调递减求取值范围
（Ⅱ）时证明
答案（I）函数定义域
函数单调减等式成立
设解
取值范围
（Ⅱ）时
令（舍）
变化时变化情况表：
1
0
+
极值
时函数值
成立
例12（20152016海淀二模理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数单调区间
（Ⅱ）关等式解求实数取值范围
（Ⅲ）曲线存两条互相垂直切线求实数取值范围（需直接写出结果）．
答案（Ⅰ）时
令令
递增区间递减区间
（Ⅱ）解解
令解
① 时
递增递减递增
Ⅰ．
递减递增
恒成立
满足条件
Ⅱ．递增
② 时递增
递增Ⅱ知矛盾
③ 时递增
Ⅱ知矛盾
综述：．
（Ⅲ）
练11（20152016东城模理18）设函数．
（Ⅰ）时求单调区间
（Ⅱ）时恒成立求取值范围
（Ⅲ）求证：时．
答案（Ⅰ）时
令
－
+
↘
↗
时单调递减
时单调递增
时．
（Ⅱ）
恒成立等价恒成立．
设
时
单调递减
时．
恒成立
．
（Ⅲ）时等价．
设．
求导．
（Ⅰ）知时 恒成立．
时．
．
单调递增时．
时．
练12（20152016东城二模文20）设函数
（1）求区间值
（2）设求证：时点条直线曲线相切
（3）意均成立求取值范围
答案（1）已知
+
0
单调增
极值
单调减
取值
（2）设切点坐标
联立化简易知单调递增函数
直线交点切点
时点条直线曲线相切
（3）易知时满足条件
时
1）时满足条件
2）时整理
3）时
令
设时
时时单调递增值
综述取值范围
练13（20132014阳二模理18）已知函数
（Ⅰ）曲线点处切线直线垂直求值
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设时成立求实数取值范围．
答案（Ⅰ）已知．
曲线点处切线直线垂直
．．
． ……………3分
（Ⅱ）函数定义域．
（1）时成立单调增区间．
（2）时
令单调增区间
令单调减区间．
综述时单调增区间
时单调增区间
单调减区间． ……………8分
（Ⅲ）时成立．
时恒成立
等价时恒成立．
设时成立．
．
令函数减函数
令函数增函数．
函数处取值．
．
实数取值范围． ……………13分
（Ⅲ）解：
（1）时（Ⅱ）知 单调递增．
时成立．
（2）时 ．
（Ⅱ）知时单调增区间
单调递增总成立．
（3）时．
（Ⅱ）知函数减函数增函数
函数处取值
．
时成立需
解．．
综述实数取值范围
练14（20102011海淀模文18）已知函数
（Ⅰ）求函数极值单调区间
（Ⅱ）区间少存点成立求实数 取值范围
答案（I） …………………2分
令 …………………3分
定义域
变化情况表：
0
极值
时极值1 …………………5分
单调递增区间单调递减区间 …………………6分
（II）解法：
令
区间存点成立
充条件区间值0 …………………7分
（1）时成立
区间单调递减
区间值
…………………9分
（2）时
① 成立区间单调递减
区间值
显然区间值0成立 …………………11分
② 时
极值
区间值
解 …………………13分
综(1)（2）知：符合题意 …………………14分
解法二：区间存点成立
需 …………………7分
令区间值0
令 …………………9分
（1）时：
极值
时
…………………11分
（2）时：
极值
时极值值
…………………13分
综(1)（2）知 …………………14分
练15（20132014房山模文18） 已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）意求取值范围
答案（Ⅰ）∵f（x）ex（x+1）
∴f′（x）ex（x+1）+exex（x+2）
∴f′（0）e0•（0+2）2
f（0）1
∴曲线曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程：
y12（x0）2xy+10
（Ⅱ）令f′（x）0x2
x变化时f（x）f′（x）变化情况表：
x
（∞2）
2
（20）
f′（x）
0
+
f（x）
↘
极值
↗
∴f（x）（∞2）递减（20）递增
∴f（x）（∞0）值f（2）e2．
∴e2＞kk＜e2．
∴k取值范围（∞e2）．
练16（20152016阳二模文20）已知函数
(Ⅰ)求函数单调区间
（Ⅱ）时区间恒成立求取值范围
答案(Ⅰ) 函数定义域
（5） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间
（6） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间
（7） 时恒成立
函数单调递增区间
（8） 时
令解函数单调递增区间
令解函数单调递减区间
函数单调递增区间单调递减区间 （Ⅱ）题意区间
令
函数()单调递增
函数()单调递减
满足条件
函数()单调递增单调递减
题意
区间单调递增满足条件
综
考点二单变量双函数等式型
构造新函数求
构造新函数求
例21（20152016昌期末文20）已知函数．
（Ⅰ）求函数点处切线方程
（Ⅱ）证明：时
（Ⅲ）设存值值时确定实数取值范围．
答案（Ⅰ）解：定义域
题意 函数点处切线方程（Ⅱ）证明：时转化
时恒成立
设
时减函数
时成立
（Ⅲ）设定义域
⑴时意
增函数值符合题意
⑵时令
变化：
0
+
0
↗
极值
↘
成立
令
增函数
时
时命题成立
综取值范围
例22（20152016丰台模理18）已知函数
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）区间恒成立求值
答案（Ⅰ）设切线斜率
切点
切线方程化简：
（Ⅱ）证：
需证明：恒成立
时单调递减
时单调递增
时
恒成立
（Ⅲ）：区间恒成立
等价：恒成立
等价：恒成立
①时满足题意
②时令（舍）
时单调递减
时单调递增
时
时满足题意
值
练21（20152016石景山模理18）已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求证：时
（Ⅲ）恒成立求实数值．
答案
（Ⅰ）．
切线方程．
（Ⅱ）令
时设
单调递减
………6分
单调递减
．
（Ⅲ）原题等价恒成立
恒成立………9分
令．
易知单调递增
单调递减．
综述值 ．
练22（20152016兴期末文19）已知函数．
（Ⅰ）求函数点处切线方程
（Ⅱ）设实数恒成立求取值范围
（Ⅲ）设求函数区间零点数．
答案（Ⅰ）
曲线点处切线方程
(Ⅱ)设
令解：
变化时变化情况表：
+
0
↗
↘
表知时取值
已知意恒成立
取值范围
(Ⅲ)令：
(Ⅱ)知增函数减函数
时函数零点
时函数1零点
时函数2零点
练23（20152016东城二模理18）已知
（I）求单调区间
（II）时求证：恒成立
（III）存时恒成立试求取值范围
答案（I）定义域
令：（舍）
+
0
单调增
极值
单调减
（II）设题意需证明：
单调递减
恒成立证
（III）（II）：
时
时
时没满足条件
时令
令
存满足题意
综取值范围
练24（20152016阳二模理18）已知函数．
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）时曲线点等式组表示面区域试求取值范围．
答案（Ⅰ）时 ．
．
．
曲线点(1)处切线方程．
（Ⅱ）题意时曲线点等式组表示面区域等价时恒成立．
设．
．
（1）时时单调减函数
． 题意应
解．
（2） 时单调增函数
单调减函数．
合题意．
（3）时注意显然合题意．
综述．
练25（20132014海淀模理18）已知曲线
(Ⅰ)曲线C点处切线求实数值
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
答案 2分
曲线C点（01）处切线L：
4分
解 5分
（Ⅱ）法1：
意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令 7分
①a0
实数b取值范围 8分
②
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围
综实数b取值范围． 13分
法2：意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令等价∀恒成立
令 7分
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围． 13分
练27（20152016西城模文19）已知函数
(Ⅰ)求解析式
(Ⅱ)意求m值
(Ⅲ)证明：函数图直线方
答案求导
解
（Ⅱ）解：
意
设
令 解
x变化时变化情况表：
极值
时
意成立
值
（Ⅲ）证明：函数图象直线方等价
证
证
（Ⅱ）（仅时等号成立）
证明时
设
令解
增函数
函数图象直线方
练28（20152016东城模文19） 已知函数
（1）处取极值求值
（2）求区间值
（3）（1）条件求证：时恒成立
答案（1）定义域
函数处取极值
解
（2）
1）时
单调递增该区间值
2）时
单调递增该区间值
3）时
0
+
减
极值
增
该区间值
综述时值1
时值
（3）已知时恒
证明时恒成立需证明
证明恒成立
令
令
时恒时
时单调递减
恒成立时恒成立
练29（20152016兴期末理18）已知函数
（Ⅰ）时求函数点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）恒成立求取值范围
答案（1） 时
函数点处切线方程
：
(Ⅱ)函数定义域：
时恒成立单调递增
时令：
单调递增区间单调减区间
（Ⅲ）恒成立
恒成立
令
令
时函数单调递增
恒成立
时时单调递增
时单调递减
值
合题意
时时单调递增
时单调递减
值
恒成立
综知取值范围
练210（20122013海淀二模文18）已知函数
（Ⅰ）时曲线点处切线曲线点处切线行求实数值
（Ⅱ）求实数取值范围
答案（I） …………………2分
函数点处切线函数点
处切线行
解
时点处切线
点 处切线
…………………4分
（II）
记
值等0
…………………6分
变化情况表：
0
极值
…………………8分
时函数单调递减值
…………………10分
时函数单调递减单调递增
值
………………12分
综 ………………13分
练211（20152016昌期末理18）已知函数
（Ⅰ）函数点处切线方程求切点坐标
（Ⅱ）求证：时（中）
（Ⅲ）确定非负实数取值范围成立
答案定义域
题意切点坐标
（Ⅱ）证明：时转化
时恒成立
设
原问题转化时恒成立
令（舍）
变化：
0
+
0
↗
极值
↘
时成立
（Ⅲ）解：转化
时恒成立
设
⑴时意
增函数
命题成立
时令
⑵时意
增函数
命题成立
⑶时
（舍）
变化：
0
0
+
↘
极值
↗
时命题成立
综非负实数取值范围
考点三双变量双函数等式型
例31（20152016西城二模文15）已知函数
（I）求a值
（II）设定义域意总存求a取值范围
答案 (Ⅰ)证明：函数定义域
题意意义
求导
解
(Ⅱ)解：定义域意总存等价存值
①时值符合题意
②时令
着变化变化情况表：
0
存
极
存
函数单调递减区间单调递增区间
时时
时存
综述：取值范围
例32（20152016海淀模文19）已知函数
(Ⅰ)求曲线点处切线方程
(Ⅱ)求函数零点极值
(Ⅲ)意成立求实数值
答案
（Ⅰ）设切线斜率曲线点处切线方程
（Ⅱ）令解时时函数零点1
令解时时函数处取极值极值
（Ⅲ）（II）知时时单调递减单调递增处取值
需值1
考点四双变量双函数绝值等式型
（）
（1）意
等价
（2）意
等价者
（3）意
等价
（二）
（1）存存
等价
（2）存存
等价者
（3）存存
等价
（三）
（1）意存
等价
（2）意存
等价者
（3）意存
等价
例41（20112012海淀二模文18）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）时意成立求实数值
答案（Ⅰ）时函数单调递增区间函数单调递减区间
时 函数单调递增区间函数单调递减区间
（Ⅱ） 意恒成立实数值
例41（2016湖北理21）设函数极值点
（Ⅰ）求关系式（表示）求单调区间
（Ⅱ）设存成立求取值范围
答案（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x
f `(3)0 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0b＝－3－2a
f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x
令f `(x)＝0x1＝3x2＝－a－1x＝3极值点
x+a+1≠0a≠－4
a<－4时x2>3＝x1
区间（－∞3）f `(x)<0 f (x)减函数
区间（3―a―1）f `(x)>0f (x)增函数
区间（―a―1＋∞）f `(x)<0f (x)减函数
a>－4时x2<3＝x1
区间（－∞―a―1）f `(x)<0 f (x)减函数
区间（―a―13）f `(x)>0f (x)增函数
区间（3＋∞）f `(x)<0f (x)减函数
（Ⅱ）（Ⅰ）知a>0时f (x)区间（03）单调递增区间（34）单调递减f (x)区间[04]值域[min(f (0)f (4) )f (3)]
f (0)＝－（2a＋3）e3<0f (4)＝（2a＋13）e－1>0f (3)＝a＋6
f (x)区间[04]值域[－（2a＋3）e3a＋6]
区间[04]增函数
区间[04]值域[a2＋（a2＋）e4]
（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1a>0解0
例422013届山西省第四次四校联考已知函数
（I）函数减函数求实数值
（2）成立求实数取值范围
答案（1）f(x)减函数恒成立．…1分
时．………………2分
………4分
时．
a值． …………………………6分
（2）命题成立等价
时．
（1）时．
问题等价：时． ………………………8分
时≤0 减函数
． ………10分…
0<时>0增函数
值域．
单调性值域知唯满足：
时减函数时增函数
．
矛盾合题意．
综． …………………………12分
例432013～2014年衡水中学高三学期二调已知函数
（1）求函数点处切线方程
（2）求函数单调递增区间
（3）存（然数底数）求实数取值范围
例44（20152016年昌二模理18）已知函数
曲线曲线交点处具公切线 设
（I）求值关系式
（II）求函数单调区间
（III）设意求取值范围．
答案（I）函数
函数
曲线曲线交点处具公切线
（II）已知
设
R单调递增函数
（I）0零点
函数导函数零点0．
符号变化
+
↘
极值
↗
函数单调递减区间单调递增区间
（III）（II）知 时增函数
意等价
等价时
增函数
练41（2013房山二模理）已知函数()
(Ⅰ)时求函数单调区间
(Ⅱ)时取极值
（1）求函数值
（2）求证意
答案（Ⅰ） …………1分
时
解 解 ……………2分
单调增区间单调减区间………3分
（Ⅱ）①时取极值
解（检验符合题意） ……………4分
+
0
0
+
↗
↘
↗
函数递增递减 ……5分
时单调递减
………………6分
时
单调递减单调递增
………………7分
时单调递增
……………………8分
综值
……………………9分
②令 （舍）
……………11分
意
练42（20122013房山二模文18）已知函数处取极值
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求函数值
（Ⅲ）求证：意
答案（Ⅰ） ……………1分
已知 ……………2分
解： …………………………3分
时处函数取极值
（Ⅱ）
0
+
减
增
函数递减递增 ……………………4分
时单调递增
………………………5分
时
单调递减单调递增
…………………………6分
时
单调递减
…………………………7分
综 值
………………………………………8分
（Ⅲ）（Ⅰ）知
令
……………11分
意
练43（20132014年东城零模文18）设函数
（Ⅰ）设证明：区间存唯零点
（Ⅱ）设意求取值范围．
答案（Ⅰ）
．
．
．．．．．．6分
（Ⅱ）时．
意
值 值差分类讨：
（ⅰ）
．
（ⅱ）
．
（ⅲ）
．
综知． ．．．．．．14分
考点五双变量双函数等式型
（）
意存值域值域子集
（二）
存存值域值域非空交集
例51（20152016丰台期末文20）设函数图象直线相切点．
（Ⅰ）求函数解析式
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数
求实数取值范围
答案（Ⅰ）∵函数图象直线相切点
∴．
∵
∴
解．
∴．
（Ⅱ）
令
令．
∴单调递增区间单调递减区间． …8分
（Ⅲ）记值域值域
∵
∴．
（Ⅱ）：单调递增单调递减单调递增
∴．
∵
∴．
① 时单调递增单调递减单调递增
∴值值．
∵
∴
∴
．
∵
∴．
② 时单调递增单调递减
∴值值 ．
∵
∴
∴．
综述：．
例52（20142015海淀二模文19）已知函数中
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）意总存求实数值 答案（Ⅰ） ………………2分
时 单调递减区间
………………4分
时令
时时
单调递增区间单调递减区间 ………………6分
（Ⅱ）分表示函数值值
时（Ⅰ）知：减函数
意
意存 ………………8分
时（Ⅰ）知：增函数减函数
存 ………………10分
时令
（Ⅰ）知：增函数进知减函数
意总存
解 ………………13分
综述实数值
练51（2008天津文10）10．设意满足方程时取值集合（ B ）
A． B． C． D．
练52（2008天津理16）设仅常数c意满足方程时取值集合
a2
考点六函数单调性问题极值问题值问题零点问题转化恒成立问题存性问题
例61（（20152016房山二模文19）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）直线曲线没公点求实数取值范围
答案（Ⅰ）定义域
令
极值
增区间减区间
（II）直线曲线没公点
方程实根实根等价实根
设零点
时显然零点符合题意
时令
极值
显然符合题意
时令
极值
时符合题意
综述：
导数专题六渐线间断点问题
知识结构
知识点
函数渐线问题间断点问题函数问题中特殊类型渐线问题涉函数穷处极限值会等定值样函数类型类型形式
种特殊函数渐线
1时
（1）（幂函数增长快数函数增长）
（2）（高阶增长快低阶增长）
（3）（指数函数增长快幂函数数函数增长）
2 时
（1）（高阶增长快低阶增长）
（2）（转化形式）
考点分类
考点函数渐线问题
例11（20152016海淀模文20）已知函数
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数零点极值
（Ⅲ）意成立求实数值
答案（Ⅰ）
曲线处切线方程
（Ⅱ）令解
零点
解
情况：
2
0
极值
函数 时取极值
（Ⅲ）法：
时
时
（Ⅱ）知值值
意恒成立等价
解
值1
法二：
时
时
（Ⅱ）知值
令
符合求
时
满足求
综值1
法三：
时
时
（Ⅱ）知值
时
令取
成立
必成立
时
满足求
时求出值显然1
综值1
例12（20162017海淀期中理19）已知函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）求证：时函数存值
答案
例13（20092010西城模理19） 已知函数中中
（I）求函数零点
（II）讨区间单调性
（III）区间否存值？存求出值存
请说明理．
答案（Ⅰ）解
函数零点
（Ⅱ）函数区域意义
令
定义域变化时变化情况：
↗
↘
区间增函数
区间减函数
（Ⅲ）区间存值
证明：（Ⅰ）知函数零点
1
知时1
函数减函数
函数区间值
函数区间值
计算
练11（20092010西城模文20）已知函数中
（I）函数存零点求实数取值范围
（II）时求函数单调区间确定时否存值果存求出值果存请说明理
答案（I）
（II）
单调增加单调减少
时存值
极值根单调性区间值
解0零点
结合
区间
时存值值
练12（20112012西城二模理19）已知函数中．
（Ⅰ）时求曲线原点处切线方程
（Ⅱ）求单调区间
（Ⅲ）存值值求取值范围．
答案（Ⅰ）解：时．
曲线原点处切线方程．
（Ⅱ）解：．
① 时．
单调递增单调递减．
．
② 时令情况：
↘
↗
↘
单调减区间单调增区间．
③ 时情况：
↗
↘
↗
单调增区间单调减区间．
（Ⅲ）解：（Ⅱ） 时合题意．
时（Ⅱ）单调递增单调递减存值．
设零点易知．时时．
存值必解．
时存值值取值范围．
时（Ⅱ）单调递减单调递增存值．
存值必解．
时存值值取值范围．
综取值范围
练13（20082009海淀二模18）已知：函数（中常数）
（Ⅰ）求函数定义域单调区间
（Ⅱ）存实数等式成立求a取值范围．
答案（Ⅰ）函数定义域
解
解．
∴单调递增区间单调递减区间
（Ⅱ）题意知值等时存实数等式成立
时
x
a+1
0
+
↘
极值
↗
∴值．
．
时单调递减值．
（舍）．
综述．
例7（12西城二模理科19）已知函数中．
（Ⅰ）时求曲线原点处切线方程
（Ⅱ）求单调区间
（Ⅲ）存值值求取值范围．
答案时．
曲线原点处切线方程．
（Ⅱ）解：．
① 时．
单调递增单调递减．
．
② 时令情况：
↘
↗
↘
单调减区间单调增区间．
③ 时情况：
↗
↘
↗
单调增区间单调减区间．
（Ⅲ）解：（Ⅱ） 时合题意．
时（Ⅱ）单调递增单调递减存值．
设零点易知．时时．
存值必解．
时存值值取值范围．
时（Ⅱ）单调递减单调递增存值．
存值必解．
时存值值取值范围．
综取值范围．
考点二函数间断点问题
例21（20152016西城二模理18）设函数
（1）函数（0f(0)）处切线直线y3x2行求a值
（2）定义域意总存求a取值范围
答案（Ⅰ）证明：函数定义域
题意意义
求导
题意解
验证知符合题意
（Ⅱ）解：定义域意总存等价存值．
① 时
值符合题意．
② 时
令
着x变化时变化情况：
存
0
↘
存
↗
极
↘
函数单调递减区间单调递增区间．
9分
时时
考虑．
时
单调递减
存符合题意
理时令
符合题意
时定义域意总存成立．
③ 时
着x变化时变化情况表：
0
存
↘
极
↗
存
↘
函数单调递减区间单调递增区间．
时时
．
时存．
综述a取值范围
例22（20152016西城二模文19）已知函数
（1）求a值
（2）设定义域意总存求a取值范围
答案(Ⅰ)证明：函数定义域
题意意义
求导
解
(Ⅱ)解：定义域意总存等价存值
①时值符合题意
②时令
着变化变化情况表：
0
存
极
存
函数单调递减区间单调递增区间
时时
时存
综述：取值范围
练21（20122013海淀期末理18）已知函数
（I） 时求曲线处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
答案时
处切线方程
（II）
时
函数定义域
单调递减区间
时令解
时
变化情况表
定义
0
极值
单调递减区间
单调递增区间
时
变化情况表：
0
定义
极值
单调递增区间
单调递减区间
练22（20122013门头沟模文16）已知函数中．
（Ⅰ）处切线轴行求值
（Ⅱ）求单调区间．
答案（Ⅰ）．
题意．
检验 符合题意．
（Ⅱ）① 时．
单调减区间单调增区间．
② 时．
令．
情况：
↘
↗
↘
单调减区间单调增区间．
1
③ 时定义域．
恒成立
单调减区间单调增区间．
练23（20122013西城期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）设．求取值范围．
答案（Ⅰ）① 时．
单调减区间单调增区间．
② 时．
令．
情况：
↘
↗
↘
单调减区间单调增区间．
③ 时定义域．
恒成立
单调减区间单调增区间．
（Ⅱ）解：
等价 中．
设区间值．
等价．
取值范围．
导数专题七特殊值法判定超越函数零点问题
知识结构
知识点
超越函数定义
超越函数：指变量间关系限次加减方开方运算表示函数数函数指数函数等属超越函数
二判断超越函数零点存性方法
1图
根基初等函数图否存交点判断
2特殊点
带入特殊点判断： 011e等
3单调性切线
利单调性切线判断
4极限
通函数极限判断
特殊点取法目
考点分类
考点利特殊点法求解（参数超越函数）
含函数：常取等
含函数：常取等
终极目：消参理化终简单化
例11求零点
例12求零点
考点二取特值法解等式（含参参变分离）
例21（20152016阳模理18）已知函数．
（Ⅲ）试问点作少条直线曲线相切？说明理．
解：设切点切线斜率
切线方程．
切线点．
．
令 ．
时 区间单调递减
区间单调递增
函数值．
令>0解
取．
存唯零点．
等式放缩部分（解法探究）
标答
取
．
设．
时恒成立．
单调递增恒成立．．
存唯零点．
时点P存两条切线．
（3）时显然存点P切线．
综述时点P存两条切线
时存点P切线．…………………………………………………13分
考点三利切线求解
例31（20122013石景山期末理18）已知函数常数．
（Ⅲ）讨函数零点数．
答案令
令
单调递增单调递减
时值
零点零点．
（Ⅰ）知仅零点
单调递增幂函数数函数单调性较
知仅零点（：直线曲线交点）
解函数单调性知处取值幂函数数函数单调性较知充分时单调递减区间仅零点
单调递增区间仅零点
切线方法：
综述时零点
时仅零点
时两零点
考点四利函数放缩求解
例41（20142015年阳模理18）已知函数．
（Ⅱ） 时讨函数零点数
解：（Ⅱ）
（1）时
时减函数时增函数
时取值
（ⅰ）时令
零点
（ⅱ）时时零点
（ⅲ）时时零点
（ⅳ）时时
（右侧趋0）时时
两零点
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(4) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
（ⅰ）令．
令函数单调递增．
令函数单调递减．
．
成立．
（ⅱ）（ⅰ）知 ．
设．
令．
令函数单调递增
令函数单调递减
．
．
方程没实数解．
练11（20152016东城模理18）设函数．
（Ⅰ）时求单调区间
（Ⅱ）时恒成立求取值范围
（Ⅲ）求证：时．
答案（Ⅰ）时
令
－
+
↘
↗
时单调递减
时单调递增
时．
（Ⅱ）
恒成立等价恒成立．
设
时
单调递减
时．
恒成立
．
（Ⅲ）时等价．
设．
求导．
（Ⅰ）知时 恒成立．
时．
．
单调递增时．
时．
练12（20132014阳二模理18）已知函数
（Ⅰ）曲线点处切线直线垂直求值
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设时成立求实数取值范围．
答案（Ⅰ）已知．
曲线点处切线直线垂直
．．
． ……………3分
（Ⅱ）函数定义域．
（1）时成立单调增区间．
（2）时
令单调增区间
令单调减区间．
综述时单调增区间
时单调增区间
单调减区间． ……………8分
（Ⅲ）时成立．
时恒成立
等价时恒成立．
设时成立．
．
令函数减函数
令函数增函数．
函数处取值．
．
实数取值范围． ……………13分
（Ⅲ）解：
（1）时（Ⅱ）知 单调递增．
时成立．
（2）时 ．
（Ⅱ）知时单调增区间
单调递增总成立．
（3）时．
（Ⅱ）知函数减函数增函数
函数处取值
．
时成立需
解．．
综述实数取值范围
练13（20132014海淀模理18）已知曲线
(Ⅰ)曲线C点处切线求实数值
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
答案 2分
曲线C点（01）处切线L：
4分
解 5分
（Ⅱ）法1：
意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令 7分
①a0
实数b取值范围 8分
②
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围
综实数b取值范围． 13分
法2：意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令等价∀恒成立
令 7分
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围． 13分
练14等式恒成立求实数取值范围．
答案分析：设知应分三种情况讨．分离参数轻易解决．
解：原等式等价．时显然成立
时恒成立需．
时取．
评注：二次函数闭区间值问题容易引起讨．题求解程中求值注意验证取等号条件．
练15（20122013西城第学期期末18）已知函数中．
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）设．求取值范围．
答案分析：第二问存性问题转化成函数定区间值问题类似样问题验分离变量会较简单实际教学中学生接受种想法什？分离变量种思想方法种解题技巧？
样审视类问题：变量范围求变量范围事实两变量赖关系求变量表示成已知变量函数函数出发类问题分离变量然该题简洁解法：
（Ⅱ）解：
等价 中． …………9分
设区间值．…………11分
等价．
取值范围． ………………13分
结：存性问题恒成立问题采分离变量方法常常较容易种方法教学成种技巧进行教学应该揭示种解法质质变量赖关系函数关系分离变量实际两变量间隐函数关系变成显函数关系进转化成含参变量函数问题解决避免分类讨变简单
练16（20122013阳期末18）已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数．少存成立求实数取值范围．
答案（里第三问存性问题做练巩固）
练17（2006天津理11）已知函数图象函数（)图象关直线称记区间增函数实数取值范围( )
A B C D
答案
考点二参换位（辅元转换）避免分类讨
例21设等式满足切实数成立求取值范围．
答案分析：受思维定势影响易成关等式．实变换角度变量避免分类讨关函数区间恒负值．
解：题意设恒成立关次函数．
评注：关等式转化关次等式然需解关元二次等式组已成功避开复杂分类讨问题中参数消灭．种转变问题视角方法简化运算十分益．
例22（20122013通州期末19）已知函数
（Ⅰ）函数处极值10求b值
（Ⅱ）意单调递增求b值．
答案分析：该题（Ⅱ）初步转化 意成立
变量学生感手a成变量等式左边关a次函数出进成关x二次函数问题获解
例23设时恒成立求取值范围
答案分析：该题初步转化意恒成立求取值范围
变量学生感手a成变量等式左边关a次函数进成关x二次函数问题获解
例24（2010崇文模理）设奇函数增函数函数
成立时t取值范围（ ）
A． B．
C． D．
答案C
导数专题九公切线解决导数中零点问题
知识点题目中零点问题通转化成初等函数图形间位置关系问题然利公切线变化求出
考点零点
例 11（16年房山二模文科）已知函数
（Ⅱ）直线曲线没公点求实数取值范围
解析直线曲线没公点
方程实根实根等价实根
设零点
时显然零点符合题意
时令
极值
显然符合题意
时令
极值
时符合题意
综述：
练 11（13年福建文）已知函数()
(3)值时直线曲线没公点求值
解析时
令
直线曲线没公点
等价方程没实数解
假设时
函数图象连续断零点存定理知少解方程没实数解矛盾
时知方程没实数解
值
考点二零点
例 21（13年阳模理）已知函数中
(Ⅱ)函数零点求实数取值范围
解析①时(Ⅰ)知函数单调递减区间单调递增
值
零点
需满足解
②时(Ⅰ)知
(ⅰ)时函数单调递增
零点
(ⅱ)时函数单调递减单调递增
时总
区间必零点单调递增
时零点
综述时零点
练 21（2012年房山模18）已知函数．
（III）函数区间恰两零点求取值范围．
解析时区间增函数
区间恰两零点． ………10分
时（II）问知
零点． ……11分
恰两零点需
………13分
练 22（13年昌二模理科）已知函数
(Ⅱ)求区间值
(III)区间恰两零点求取值范围
解析知时单调递增递减函数存两零点
时区间恰两零点
∴ 时
取值范围
考点三 两零点
例 31已知函数
（III）讨函数区间零点数
解析
练 31（15年海淀期末文科）已知函数
（Ⅲ）问集合（常数）元素少？（需写出结）
考点四线线问题
例 41（13年北京高考理科）设L曲线C：点(10)处切线
(I)求L方程 方程
(II)证明：切点(10)外曲线C直线L方
练 41（14年海淀模理科）已知曲线
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
解析意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立
令等价∀恒成立
令
情况：
0
0
+
极值
值
实数b取值范围．
导数专题十极值点偏移问题
例1已知函数仅两零点（ B ）
A．时 B 时
C 时 D 时
例2设函数图图仅两公点列判断正确（ D ）
A．时
B．时
C．时
D．时
例3设函数图图仅两公点列判断正确（ B ）
A．时
B．时
C．时
D．时
例4（2010东城二模）已知函数．
(Ⅰ) 函数单调增函数求取值范围
(Ⅱ) 设求证：．
解：(Ⅰ)
．………………………………………3分
单调增函数
恒成立．
恒成立．
时
．
设．
．
仅时值．
．
．
取值范围．…………………………………………………………7分
(Ⅱ)妨设．
证
需证
证．
需证．……………………………………………………………11分
设．
(Ⅰ)知单调增函数
．
成立．
．………………………………………………………………14分
例5（2010天津）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间极值
（Ⅱ）已知函数图函数图关直线称证明：时
（Ⅲ）果证明：
解：f’
令f’(x)0解x1
x变化时f’(x)f(x)变化情况表
X
()
1
()
f’(x)
+
0
f(x)
极值
f(x)()增函数()减函数
函数f(x)x1处取极值f(1)f(1)
（Ⅱ）证明：题意知g(x)f(2x)g(x)(2x)
令F(x)f(x)g(x)
x>1时2x2>0’(x)>0函数F（x）[1+∞)增函数
F(1)F(x)>F(1)0f(x)>g(x)
Ⅲ)证明：（1）
（2）
根（1）（2）
（Ⅱ）知>>>（Ⅰ）知函数f(x)区间（∞1）增函数>>2
例6（2011辽宁）已知函数
（Ⅰ）讨单调性
（Ⅱ）设 证明： 时
（Ⅲ）函数图x轴交AB两点线段AB中点横坐标 证明：
解：（I）
（i）单调增加
（ii）
单调增加单调减少 ………………4分
（II）设函数
………………8分
（III）（I）图x轴交点
值
妨设
（II）
（I）知 ………………12分
例7（2013湖南文）已知函数
（Ⅰ）求函数单调区间
（Ⅱ）证明： 时
解 (Ⅰ)
(Ⅱ)(Ⅰ)知需证明x>0时f(x) < f(x)
例8（2016新课标I）已知函数两零点
(I)求取值范围
(II)设两零点证明：
解：（Ⅰ）．
（i）设零点．
（ii）设时时．单调递减单调递增．
取满足
存两零点．
（iii）设．
时单调递增．时存两零点．
时时．单调递减单调递增．时存两零点．
综取值范围．
（Ⅱ）妨设（Ⅰ）知单调递减等价．
．
设．
时时．
．
例9已知函数
（1）求函数零点数
（2）两零点证明：
例10设函数．
（1）求函数单调区间（2）函数两零点求满足条件正整数值
（3）方程两相等实数根求证：．
例11设函数图象轴交两点x1＜x2．
（1）求取值范围
（2）证明：（函数导函数）
例12已知函数
（1）求证：函数极值
（2）函数图象两相异交点求证：
例13已知函数求证：唯零点充条件ae
例14函数 图x 轴交两点求证：
例15已知函数
（Ⅰ）（Ⅱ）略
（Ⅲ） 时函数 图x 轴交两点 导函数正常数αβ满足条件 证明：
导数专题十构造函数解决导数问题
知识框架
考点分类
考点直接作差构造函数证明
两函数变量直接构造函数求值
例11（14义模理18）已知函数（）
（Ⅰ）时求曲线处切线方程
（Ⅱ）区间函数图象恒直线方求取值范围．
例12（13海淀二模文18）已知函数
（Ⅰ）时曲线点处切线曲线点处切线行求实数值
（Ⅱ）求实数取值范围
练11（14西城模文18）已知函数中．
（Ⅰ）时求函数图象点处切线方程
（Ⅱ）果意求取值范围．
练12已知函数常数．
（Ⅰ）求函数图象点处切线方程
（Ⅱ）证明函数图象直线方
（Ⅲ）讨函数零点数．
练13已知曲线
(Ⅰ)曲线C点处切线求实数值
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
练14已知函数求证：区间函数图函数图方
练15已知函数
（1）时求区间值值
（2）区间函数图恒直线方求取值范围
练16已知函数
（1）求极值
（2）果直线函数图交点求取值范围
答案：
考点二条件特征入手构造函数证明
例21函数 导满足等式
恒成立常数满足求证：
例22设导函数分导函数满足时（ ）
A B
C D
练21设导函数求等式解集
练22已知定义函数满足求关等式解集
练23已知定义域奇函数导函数时列关关系正确（ ）D
A B C D
练24已知函数定义导函数意恒成立然数底数（ ）C
A
B
C
D
练25 设导函数求值
练26函数定义导函数导函数面等式恒成立（ ）
A B C D
练27已知函数定义导函数导函数时存求值
（二）关系式减型
（1）构造
（2）构造
（3）构造
（注意符号进行讨）
考点三变形构造函数
例31证明：意正整数等式成立
例32已知函数
（1）求函数单调区间极值
（2）意恒成立求实数取值范围
练31设曲线点处切线
（1）求方程
（2）证明：切点外曲线直线方
练32已知函数
（1）曲线点处切线方程求值
（2）时求证：
练33已知函数中
（1）求单调区间
（2）意总存求实数值
练34
（1）讨单调情况
（2）设．求证：．
练35已知函数
（1）求单调区间
（2）时设斜率直线函数相交两点 求证：
考点四消参构造函数
例41已知函数图公点点处切线相
（1）点坐标求值
（2）已知求切点坐标
例42（2009全国卷2理22）设函数两极值点
（Ⅰ）求取值范围讨单调性
（Ⅱ）证明：
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(5) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(6) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(7) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(8) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(9) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(10) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
等式放缩：
（右侧趋0）时时
两零点
(2)时
时增函数时减函数
时增函数处取极值
处取极值
时时
时增函数时
时零点
时
时零点
(11) 时恒成立增函数
（右侧趋0）时
时零点
综述时零点时零点
两零点
例42（20142015年海淀模理18）已知函数
（Ⅱ）（中）求取值范围说明
解：（Ⅱ）（Ⅰ）知：
时函数区间减函数函数存零点符合题意
时 减函数增函数 必须
时
令
时增函数
时
存零点妨记存零点妨记 减函数增函数
综述取值范围
特值探究
令
等式放缩：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
：
例43（20142015海淀二模理18） 已知函数
（Ⅱ）求证：曲线存斜率6切线
解：
（Ⅰ）减函数
存唯
时
曲线存切点斜率6切线
导数专题八避免分类讨参变分离变换元
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
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