关公交车调度问题
摘 ：文研究公交车调度优策略问题建立公交车利益目标函数优化模型时保证等车时间超10分钟（者超5分钟）客数总等车客数占重事先定较值首先利二法拟合出站（）车数非参数分布函数求解时先种简单方法估算出配车数43 辆然参值利Maple优化工具整体优解：配车数 48 辆出公交车载客量条件优车辆调度方案公司收益客等车时间宜长整模型进行推广评价指出效改进方
关键词：公交车调度优化模型二法
问题重述：公交通城市交通重组成部分作公交车调度完善城市交通环境改进市民出行状况提高公交公司济社会效益具重意义面考虑条公交线路公交车调度问题数国座特城市某条公交线路客流调查运营资料
该条公交线路行方14站行方13站第34页出典型工作日两运行方站车客数量统计公交公司配该线路型号客车辆标准载客100 统计客车该线路运行均速度20公里时运营调度求客候车时间般超10分钟早高峰时般超5分钟车辆满载率应超 120般低50
试根资料求该线路设计便操作全天（工作日）公交车调度方案包括两起点站发车时刻表需少辆车方案样程度顾客公交公司双方利益等等
调度问题抽象成明确完整数学模型指出求解模型方法根实际问题求果设计更调度方案应采集运营数
基假设
1） 该公交路线存堵塞现象公汽车间次行进存超车现象
2） 公汽车满载客等辆车
3） 行行方头班车时起始站出发
4） 该公交路线行方 14站行方 13站
5） 公交车均型号辆标准载客 100名车辆满载率应超 120般低 50
6） 客车该路线运行均速度 20公里时考虑客车时间
7） 客侯车时间般超 10分钟早高峰时般超 5分钟
8） 开始A出发车辆开始 A出发车辆发生交两循环独立
9) 题目数具定代表性做种计算
符号说明
N：总站A 始发出公交车总次数（行方）
N：总站A 始发出公交车总次数（行方）
T：行方早高峰发车间隔时间
T：行方时发车间隔时间
T：行方晚高峰发车间隔时间
T：行方早高峰发车间隔时间
T：行方时发车间隔时间
T：行方晚高峰发车间隔时间
T（ij）：第i 辆车达第j 站时刻
N（i j）： j站离开第 i辆车客数
N（i j）： j站第i 辆车客数
D（ jj1 ）：第j 站第（j1 ）站间距
f（j ）：行方第j 站车客密度函数
g（ j）：行方第 j站车客密度函数
f（ j）：行方第 j站车客密度函数
g（ j）：行方第j 站车客密度函数
G：天公交公司总收入
A：公交车出车次支出定值
B：公交公司天固定支出定值
：i123概率事件概率
N（t ）：某车站全天（）车客数
q：第t 时间段站（）车数
Q（i j）：第i 辆车达第 j站时车数
建模前准备：
1） 问题初步分析
考虑三组相关素：公汽车汽车站客模型影响
ⅰ） 公汽车关素：离开公汽车总站时间达站时间站
车客数站停留时间载客总数行进速度等
ⅱ） 车站关素：线路汽车位置车站间距客函数表示等车
客数辆车离开车站时间等
ⅲ） 客关素：达某车站时间车距离（站数）侯车时间等
2） 曲线拟合
分析样数知某车站全天（）车客数 N（t ）时间t 递增函数N（t ）N（t1）+ q中q 第t 时间站（）车数拟合分布函数样数知车站天两次波峰根二法分布函数拟合关t五次项式
分析建模
分析样数行方 22：00 — 23：00 行方5 ：00 — 6：00 车数较时段偏模型更体现普遍性单独讨面两时段易知站需辆车满足需求
题设求知求方案须兼顾客公交公司利益实际时双方
达优值公司利益作目标函数客利益作约束条件
公司利益ZG( N+N)*AB（中G总收入样数典型工作日作定值( N+N)*A+B 支出）
N[+++]
N[+++]
客利益处侯车时间客侯车时间带机性总（）某定值概率描述客利益模型：
I：maxZ G( N+N)*AB
st P{等时间t>10分钟}<
P{ Q（i j）+ N（i j）— N（i j）>120}<
P{ Q（i j）+ N（i j）— N（i j）<50}<
P{等时间t>5分钟}<
P{ Q（i j）+ N（i j）— N（i j）>120}<
P{ Q（i j）+ N（i j）— N（i j）<50}<
模型简化求解：
原模型约束条件难表示明确函数表达式实际求解程中带相困难简化
1） 发生间距时间求解
分析原目标值 Z易知maxZ ómaxT中T 发车间距时间时间段面时时间段求解假设客车瞬间完成考虑车时间应题设求客侯车时间般超 10分钟早高峰时般超5 分钟引进概率参数控制侯车时间超10分钟（5分钟）数总侯车数重满载率低50 目标值maxZ 忽略考虑模型：
Ⅱ maxTt
st
Q(ij)+ 120
Q(ij)+ 120
t>0 i12
分析样数发现：
ⅰ） 行车道AAAAA车数>车数余站点相反
ⅱ） 行车道AAAA车数>车数余站点相反
约束条件需取前5（4）模型Ⅱ根拟合分布函数FG约束条件转化T函数利Matlab软件容易求解
分析Ⅱ结果易知高峰时间段中结果T较误差拟合函数误差引起减误差分段拟合分布函数FG 计算方便认时站达数时间成正站车数时间成正F（t）k*t G（t）p*t k p斜率令5 模型简化：
Ⅲ：maxTt
st 19t2000(19t1000)
k*t1200
k*t+ k*t p*t 1200
k*t+ k*t p*t + k*t p*t 1200
k*t+ k*t p*t + k*t p*t +k*t p*t 1200
k*t+ k*t p*t + k*t p*t +k*t p*t+ k*t p*t 1200
t>0
（时晚高峰取19t2000早高峰取19t1000）
行时取约束条件行时取前5约束条件模型Ⅲ线性规划利Matlab求解结果：
发车间距时间表（单位皆分钟）
时段
5~6
6~7
7~8
8~9
9~10
10~11
11~12
12~13
13~14
行
1052
245
1434
2848
54962
60352
53137
56479
69231
行
6929
2616
22339
3951
65874
73022
86747
808
时段
14~15
15~16
16~17
17~18
18~19
19~20
20~21
21~22
22~23
行
81725
82664
33755
25974
80268
10526
10526
10526
行
7079
553
32787
19934
29789
65995
9219
93023
105263
模型ⅡⅢ进行误差分析
文中已提模型Ⅱ误差究原拟合函数误差引起行方A站7：00—8：00 发车间距T526分显然时T法3626名客正常运行时拟合函数算出客总数2023误差△362620231603(）
误差减函数进行分段拟合模型Ⅲ中时段时求解结果样数客正常运行然时解误差 T波动范围
解情况容易知道客车满载率120（约束条件）客等时间长概率5空载情形部分站方出现空载情形（满载率50 ）
2） 滞留客条件配车数初步求解
数作进步处理估算出段行需配车数出天需配备车辆数配车数求解找参值
首先考虑时时间间距考查天配车数（设公交车车站停时间定值）分析数知满足站均滞留客发车时刻均车发配车数应65辆车初步解进步精确解考虑44分时间间距通拟合分布函数车满载时时段需配车数满足站滞留客发车时刻均车发配车数43辆
3） 公交公司调度方案模型建立求解
ⅰ） 制订调度方案应公交公司客双方利益达均衡方面公交公司希配置少汽车降低固定成保证接送全部客前提减出车次数降低变成方面应实现客满意规定发车时段必定车缩短等车时间
ⅱ)制订调度方案时发现难点：
A）方车站发车时间没车发方面囤积问题两种解法：购置新车二调节班次前者成变高者引起连锁反应整计算量变求出优解
B） 迫已改变总车配置数必须调动时间间隔车优化配置全局优化优问题
C） 总配置数定调节总车班次总车次数增加越少总车班次数越求解越优极值优化问题
解决难点建立线性规划模型Maple优化软件求解设某j时间段发车数X车站车辆总数C
i m总配置数 z总班次
min z
st C+Cm
XC X0
XC X0
X C+0
X C+0
1） 60分—120调度方案模型
考虑站点客车时间相等总行程总需耗时60分辆车载120初步解模型中配置车辆60Maple软件包开始搜索优化选择j23…18
搜索出整体优解：C62C4m66z476
2）44分— 120调度方案模型
考虑客车瞬间完成公交车驶完全程需44分辆车均载120模型中步长44分钟考虑时段客数均拟合函数出初始值43辆Maple软件包优化选择：C42C6m48z590
模型推广改进
设计公交车调度方案时未充分考虑客利益进行改进时试着想办法找更规进行评价更加优化方案双方利益达充分均衡模型改进方外模型求数相精确度较高现实生活中太实
问题关键数太少调度方案稳定性差灵敏度较高试着找方法解决求解
建立调度方案般模型提出较普遍实方法模型现实生活中运输业调配类似交通运输类调配问题达资源优化配置
模型评价：
通合理假设针公交车调度问题建立般模型先模型进行简化采简单复杂逐步深入方法充分利Maple优化软件包进行搜索优化求解整体优解求解（2）题时提出方法次段时间起点均车发出班车持续等时段发出剩余段时间丢予考虑
列出时段公交车调度时刻表时引入概率刻划顾客利益抽象概念定性分析定量化模型优点
题中某工作日数样具典型性出结果长时间行性较差次设计调度方案时着重考虑公司利益部分顾客利益双方利益趋均衡未时达双方满意模型缺点
参考文献：
［1］ 姜启源 数学模型［M］北京：高等教育出版社
［2］ 叶孝 学生数学建模竞赛辅导教材［M］长沙：湖南教育出版社
［3］ 王渌然 科学计算［M］北京：清华学出版社
［4］ 费培程中瑗 数学模型实教程［M］成：四川学出版社
附录
表格 1 行方前五站时段车数
站名
A13
A12
A11
A10
A9
500600
371
60
52
43
76
600700
1990
376
333
256
589
700800
3626
634
528
447
948
800900
2064
322
305
235
477
9001000
1186
205
166
147
281
10001100
923
151
120
108
215
11001200
957
181
157
133
254
12001300
873
141
140
108
215
13001400
779
141
103
84
186
14001500
625
104
108
82
162
15001600
635
124
98
82
152
16001700
1493
299
240
199
396
17001800
2011
379
311
230
497
18001900
691
124
107
89
167
19002000
350
64
55
46
91
20002100
304
50
43
36
72
21002200
209
37
32
26
53
22002300
19
3
3
2
5
程序1 行方 A13车站全天车客数拟合关t五次项式
a[37119903626206411869239578377796256354493201169135030420919]
for i118
b(i)sum(a(1i))
end
x118
aapolyfit(xb5)
ypolyval(aax)
plot(xbxy)
图 行方 A13车站全天车客数
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摘 ：文研究公交车调度优策略问题建立公交车利益目标函数优化模型时保证等车时间超10分钟（者超5分钟）客数总等车客数占重事先定较值首先利二法拟合出站（）车数非参数分布函数求解时先种简单方法估算出配车数43 辆然参值利Maple优化工具整体优解：配车数 48 辆出公交车载客量条件优车辆调度方案公司收益客等车时间宜长整模型进行推广评价指出效改进方
关键词：公交车调度优化模型二法
问题重述：公交通城市交通重组成部分作公交车调度完善城市交通环境改进市民出行状况提高公交公司济社会效益具重意义面考虑条公交线路公交车调度问题数国座特城市某条公交线路客流调查运营资料
该条公交线路行方14站行方13站第34页出典型工作日两运行方站车客数量统计公交公司配该线路型号客车辆标准载客100 统计客车该线路运行均速度20公里时运营调度求客候车时间般超10分钟早高峰时般超5分钟车辆满载率应超 120般低50
试根资料求该线路设计便操作全天（工作日）公交车调度方案包括两起点站发车时刻表需少辆车方案样程度顾客公交公司双方利益等等
调度问题抽象成明确完整数学模型指出求解模型方法根实际问题求果设计更调度方案应采集运营数
基假设
1） 该公交路线存堵塞现象公汽车间次行进存超车现象
2） 公汽车满载客等辆车
3） 行行方头班车时起始站出发
4） 该公交路线行方 14站行方 13站
5） 公交车均型号辆标准载客 100名车辆满载率应超 120般低 50
6） 客车该路线运行均速度 20公里时考虑客车时间
7） 客侯车时间般超 10分钟早高峰时般超 5分钟
8） 开始A出发车辆开始 A出发车辆发生交两循环独立
9) 题目数具定代表性做种计算
符号说明
N：总站A 始发出公交车总次数（行方）
N：总站A 始发出公交车总次数（行方）
T：行方早高峰发车间隔时间
T：行方时发车间隔时间
T：行方晚高峰发车间隔时间
T：行方早高峰发车间隔时间
T：行方时发车间隔时间
T：行方晚高峰发车间隔时间
T（ij）：第i 辆车达第j 站时刻
N（i j）： j站离开第 i辆车客数
N（i j）： j站第i 辆车客数
D（ jj1 ）：第j 站第（j1 ）站间距
f（j ）：行方第j 站车客密度函数
g（ j）：行方第 j站车客密度函数
f（ j）：行方第 j站车客密度函数
g（ j）：行方第j 站车客密度函数
G：天公交公司总收入
A：公交车出车次支出定值
B：公交公司天固定支出定值
：i123概率事件概率
N（t ）：某车站全天（）车客数
q：第t 时间段站（）车数
Q（i j）：第i 辆车达第 j站时车数
建模前准备：
1） 问题初步分析
考虑三组相关素：公汽车汽车站客模型影响
ⅰ） 公汽车关素：离开公汽车总站时间达站时间站
车客数站停留时间载客总数行进速度等
ⅱ） 车站关素：线路汽车位置车站间距客函数表示等车
客数辆车离开车站时间等
ⅲ） 客关素：达某车站时间车距离（站数）侯车时间等
2） 曲线拟合
分析样数知某车站全天（）车客数 N（t ）时间t 递增函数N（t ）N（t1）+ q中q 第t 时间站（）车数拟合分布函数样数知车站天两次波峰根二法分布函数拟合关t五次项式
分析建模
分析样数行方 22：00 — 23：00 行方5 ：00 — 6：00 车数较时段偏模型更体现普遍性单独讨面两时段易知站需辆车满足需求
题设求知求方案须兼顾客公交公司利益实际时双方
达优值公司利益作目标函数客利益作约束条件
公司利益ZG( N+N)*AB（中G总收入样数典型工作日作定值( N+N)*A+B 支出）
N[+++]
N[+++]
客利益处侯车时间客侯车时间带机性总（）某定值概率描述客利益模型：
I：maxZ G( N+N)*AB
st P{等时间t>10分钟}<
P{ Q（i j）+ N（i j）— N（i j）>120}<
P{ Q（i j）+ N（i j）— N（i j）<50}<
P{等时间t>5分钟}<
P{ Q（i j）+ N（i j）— N（i j）>120}<
P{ Q（i j）+ N（i j）— N（i j）<50}<
模型简化求解：
原模型约束条件难表示明确函数表达式实际求解程中带相困难简化
1） 发生间距时间求解
分析原目标值 Z易知maxZ ómaxT中T 发车间距时间时间段面时时间段求解假设客车瞬间完成考虑车时间应题设求客侯车时间般超 10分钟早高峰时般超5 分钟引进概率参数控制侯车时间超10分钟（5分钟）数总侯车数重满载率低50 目标值maxZ 忽略考虑模型：
Ⅱ maxTt
st
Q(ij)+ 120
Q(ij)+ 120
t>0 i12
分析样数发现：
ⅰ） 行车道AAAAA车数>车数余站点相反
ⅱ） 行车道AAAA车数>车数余站点相反
约束条件需取前5（4）模型Ⅱ根拟合分布函数FG约束条件转化T函数利Matlab软件容易求解
分析Ⅱ结果易知高峰时间段中结果T较误差拟合函数误差引起减误差分段拟合分布函数FG 计算方便认时站达数时间成正站车数时间成正F（t）k*t G（t）p*t k p斜率令5 模型简化：
Ⅲ：maxTt
st 19t2000(19t1000)
k*t1200
k*t+ k*t p*t 1200
k*t+ k*t p*t + k*t p*t 1200
k*t+ k*t p*t + k*t p*t +k*t p*t 1200
k*t+ k*t p*t + k*t p*t +k*t p*t+ k*t p*t 1200
t>0
（时晚高峰取19t2000早高峰取19t1000）
行时取约束条件行时取前5约束条件模型Ⅲ线性规划利Matlab求解结果：
发车间距时间表（单位皆分钟）
时段
5~6
6~7
7~8
8~9
9~10
10~11
11~12
12~13
13~14
行
1052
245
1434
2848
54962
60352
53137
56479
69231
行
6929
2616
22339
3951
65874
73022
86747
808
时段
14~15
15~16
16~17
17~18
18~19
19~20
20~21
21~22
22~23
行
81725
82664
33755
25974
80268
10526
10526
10526
行
7079
553
32787
19934
29789
65995
9219
93023
105263
模型ⅡⅢ进行误差分析
文中已提模型Ⅱ误差究原拟合函数误差引起行方A站7：00—8：00 发车间距T526分显然时T法3626名客正常运行时拟合函数算出客总数2023误差△362620231603(）
误差减函数进行分段拟合模型Ⅲ中时段时求解结果样数客正常运行然时解误差 T波动范围
解情况容易知道客车满载率120（约束条件）客等时间长概率5空载情形部分站方出现空载情形（满载率50 ）
2） 滞留客条件配车数初步求解
数作进步处理估算出段行需配车数出天需配备车辆数配车数求解找参值
首先考虑时时间间距考查天配车数（设公交车车站停时间定值）分析数知满足站均滞留客发车时刻均车发配车数应65辆车初步解进步精确解考虑44分时间间距通拟合分布函数车满载时时段需配车数满足站滞留客发车时刻均车发配车数43辆
3） 公交公司调度方案模型建立求解
ⅰ） 制订调度方案应公交公司客双方利益达均衡方面公交公司希配置少汽车降低固定成保证接送全部客前提减出车次数降低变成方面应实现客满意规定发车时段必定车缩短等车时间
ⅱ)制订调度方案时发现难点：
A）方车站发车时间没车发方面囤积问题两种解法：购置新车二调节班次前者成变高者引起连锁反应整计算量变求出优解
B） 迫已改变总车配置数必须调动时间间隔车优化配置全局优化优问题
C） 总配置数定调节总车班次总车次数增加越少总车班次数越求解越优极值优化问题
解决难点建立线性规划模型Maple优化软件求解设某j时间段发车数X车站车辆总数C
i m总配置数 z总班次
min z
st C+Cm
XC X0
XC X0
X C+0
X C+0
1） 60分—120调度方案模型
考虑站点客车时间相等总行程总需耗时60分辆车载120初步解模型中配置车辆60Maple软件包开始搜索优化选择j23…18
搜索出整体优解：C62C4m66z476
2）44分— 120调度方案模型
考虑客车瞬间完成公交车驶完全程需44分辆车均载120模型中步长44分钟考虑时段客数均拟合函数出初始值43辆Maple软件包优化选择：C42C6m48z590
模型推广改进
设计公交车调度方案时未充分考虑客利益进行改进时试着想办法找更规进行评价更加优化方案双方利益达充分均衡模型改进方外模型求数相精确度较高现实生活中太实
问题关键数太少调度方案稳定性差灵敏度较高试着找方法解决求解
建立调度方案般模型提出较普遍实方法模型现实生活中运输业调配类似交通运输类调配问题达资源优化配置
模型评价：
通合理假设针公交车调度问题建立般模型先模型进行简化采简单复杂逐步深入方法充分利Maple优化软件包进行搜索优化求解整体优解求解（2）题时提出方法次段时间起点均车发出班车持续等时段发出剩余段时间丢予考虑
列出时段公交车调度时刻表时引入概率刻划顾客利益抽象概念定性分析定量化模型优点
题中某工作日数样具典型性出结果长时间行性较差次设计调度方案时着重考虑公司利益部分顾客利益双方利益趋均衡未时达双方满意模型缺点
参考文献：
［1］ 姜启源 数学模型［M］北京：高等教育出版社
［2］ 叶孝 学生数学建模竞赛辅导教材［M］长沙：湖南教育出版社
［3］ 王渌然 科学计算［M］北京：清华学出版社
［4］ 费培程中瑗 数学模型实教程［M］成：四川学出版社
附录
表格 1 行方前五站时段车数
站名
A13
A12
A11
A10
A9
500600
371
60
52
43
76
600700
1990
376
333
256
589
700800
3626
634
528
447
948
800900
2064
322
305
235
477
9001000
1186
205
166
147
281
10001100
923
151
120
108
215
11001200
957
181
157
133
254
12001300
873
141
140
108
215
13001400
779
141
103
84
186
14001500
625
104
108
82
162
15001600
635
124
98
82
152
16001700
1493
299
240
199
396
17001800
2011
379
311
230
497
18001900
691
124
107
89
167
19002000
350
64
55
46
91
20002100
304
50
43
36
72
21002200
209
37
32
26
53
22002300
19
3
3
2
5
程序1 行方 A13车站全天车客数拟合关t五次项式
a[37119903626206411869239578377796256354493201169135030420919]
for i118
b(i)sum(a(1i))
end
x118
aapolyfit(xb5)
ypolyval(aax)
plot(xbxy)
图 行方 A13车站全天车客数
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