第二章 面量
24 面量数量积
241 面量数量积物理背景含义
基础关练
题组 量数量积运算
1a·b<0ab夹角θ取值范围( )
A0°≤θ<90° B90°≤θ<180°
C90°<θ≤180° D90°<θ<180°
2(黑龙江双鸭山中高期末)|a|2|b|12ab夹角60°a·b( )
A2 B12 C1 D14
3(吉林长春外国语学校高期中)已知列四式子①0·a0②0·a0③0ABBA④|a·b||a||b|中正确数( )
A4 B3 C2 D1
题组二 量投影
4(江西玉山中高期中)已知|a|2|b|3|ab|11量ab方投影( )
A2 B13 C43 D1
5设单位量e1e2夹角2π3ae1+2e2b2e13e2量ba方投影( )
A332 B3 C3 D332
6已知量ab满足|a|1|b|2(ab)⊥a求量b量a方投影
题组三 量模
7(安徽高期末)已知量ab夹角60°|a|2|b|1|ab|( )
A5 B3 C23 D7
8已知量ab满足a·b0 |a+b|m|a|a+bab夹角2π3m值( )
A2 B3 C1 D12
9(河南高考模拟)已知量ab满足|a|2|b|2量a量b方投影1|a2b|
题组四 量夹角计算量垂直
10(广西高二期末)ab两非零量|a||b||ab|aa+b夹角( )
A30° B45° C60° D90°
11(2018广西南宁三中高期末)已知量OA⊥AB|OA|3OA·OB( )
A9 B8 C7 D10
12(四川高期末)已知面量ab满足|a|1|b|2(a+b)⊥aab夹角( )
A5π6 Bπ6 C2π3 Dπ3
13(山东枣庄八中高三月考)已知量|ab||b||a2b||b|量ab夹角
14正方形ABCD中EBC边中点量AEBD夹角θcos θ
题组五 数量积简单应
15(蒙古高期末)边长2菱形ABCD中∠BAD60°EBC中点AC·AE( )
A3+33 B92 C3 D9
16
(黑龙江省实验中学高三月考)图示等边△ABC边长2DAC边点ADλAC△ADE等边三角形BE·BD449λ值( )
A23 B33 C34 D13
17(浙江诸暨中学高期中)已知正三角形ABC边长2设AB2aBCb( )
A|a+b|1 Ba⊥b
C(4a+b)⊥b Da·b1
18(海金山中学高期末)图边长1正方形ABCD边BC动点P问AB·AP定值求出该定值请说明理
力提升练
选择题
1(★★☆)AB·BC+AB20△ABC( )
A直角三角形 B钝角三角形
C锐角三角形 D等边三角形
2(黑龙江哈尔滨三中高三期中★★☆)非零量abc列命题正确( )
Aa·cb·cc0
Ba⊥ba·b(a·b)2
Ca∥bab方投影|a|
Dλ1a+λ2b0(λ1λ2∈R)λ1λ20
3(辽宁高期末★★☆)已知ab非零量3|a|2|b|(a+b)⊥bab夹角( )
A30° B60° C120° D150°
4(★★☆)△ABC中|AB+AC||ABAC|AB2AC3EF分BC边三等分点AE·AF( )
A269 B83 C2 D109
5(江西高三月考★★☆)已知△ABC垂心HAB3AC5MBC边中点HM·BC( )
A5 B6 C7 D8
6(辽宁高期末★★☆)△ABC中AB2AC2点EBC边中点O△ABC面点|OA|2|OB|2|OC|2AE·AO值( )
A12 B1 C22 D32
7(黑龙江高三月考★★☆)△ABC中|AB|2|AC|22∠BAC45°P线段AC意点PB·PC取值范围( )
A141 B140
C124 D122
8(安徽芜湖高三模拟★★★)图AB圆O条弦|AB|4OA·AB( )
A4 B4 C8 D8
二填空题
9(2018四川绵阳南山中学高期末★★★)长2a线段PQ直角△ABC直角顶点A中点BC边长aBP·CQ值
10(云南师附中月考★★★)边长23等边△ABC中点O△ABC外接圆圆心OA·(OB+OC)
三解答题
11(湖南长郡中学高期中★★☆)已知△ABC等边三角形AB2点NM满足ANλABAM(1λ)ACλ∈R设ACaABb
(1)试量ab表示BMCN
(2)BM·CN32求λ值
12(辽宁沈阳高期中★★☆)图△OAB中点P直线AB动点满足APλAB
(1)λ13量OAOB表示OP
(2)|OA|4|OB|3∠AOB60°请问λ取值时OP⊥AB
答案全解全析
第二章 面量
24 面量数量积
241 面量数量积
物理背景含义
基础关练
1C a·b|a||b|cos θ<0知cos θ<0夹角θ取值范围90°<θ≤180°
2B ∵|a|2|b|12ab夹角60°∴a·b|a||b|cos 60°2×12×1212选B
3C 量实数然量0·a0①正确②错误
AB+BA00ABBA③正确
|a·b||a||b||cos θ||a·b||a|·|b|定成立④错误选C
4B (ab)24+92a·b11a·b1量ab方投影a·b|b|13选B
5A 题意e1·e21×1×cos 2π312
|a|(e1+2e2)2e12+4e22+4e1·e23
a·b(e1+2e2)·(2e13e2)2e126e22+e1·e292
量ba方投影a·b|a|923332选A
6解析 设量ab夹角θ∵(ab)⊥a∴(ab)·aa2a·b0∴a·ba21∴量b量a方投影|b|·cos θa·b|a|1
7B 量ab夹角60°|a|2|b|1
|ab|(ab)2a22a·b+b2222×2×1×12+123选B
8A ∵|a+b|m|a|>0∴m>0
∵a·b0∴a⊥b|ab||a+b|m|a|∴|a|2+2a·b+|b|2m2|a|2
∴|b|2(m21)|a|2
∴(a+b)·(ab)|a+b||ab|×cos 2π3
∴a2b2|a+b||ab|×cos 2π3
∴[1(m21)]|a|2m|a|×m|a|×1212m22m2
解m2m2(舍)
m值2选A
9答案 23
解析 量a量b方投影1
|a|cosa·b|b|1a·b2
|a2b|(a2b)2
a24a·b+4b2
44×2+16 23
10A ab邻边作行四边形ABCD图
|a||b||ab|知abab形成等边三角形行四边形菱形菱形性质知aa+b夹角30°选A
11A OA⊥ABOA·AB0OA·OBOA·(OA+AB)OA2+OA·ABOA29
12C (a+b)⊥a(a+b)·aa2+a·b1+2cos0cos122π3选C
13答案 π6
解析 根题意设量|a|m量|b|n量ab夹角θ
量|ab||b|(ab)2b2m2+n22mncos θn2整理m22mncos θm2ncos θ①
|a2b||b|(a2b)2b2m2+4n24mncos θn2整理m2+3n24mncos θ0②
①②联立4cos2θ8cos2θ+30
解cos θ±32
m2ncos θcos θ>0
cos θ32θπ6
14答案 1010
解析 设正方形边长a|AE|52a|BD|2aAE·BDAB+12AD·(ADAB)12AD2AB2+12AD·AB12a2cos θAE·BD|AE|·|BD|12a25a2·2a1010
15D 题意∠ABC120°BA·BC2×2×cos 120°2
AC·AE(BCBA)·(BEBA)
(BCBA)·12BCBA
12BC232BA·BC+BA2
12×2232×(2)+229选D
16A 题意BE·BD(BA+AE)·(BA+AE+ED)BA2+BA·AE+BA·ED+AE·BA+AE2+AE·ED22+2·2λcos π32·2λ+2·2λ·cos π3+4λ2+4λ2cos 2π32λ2+4449λ249λ>0λ23选A
17C 图取AB中点DBEADa
∴ADBDBE1∠EBC120°
∴|a+b|12+22+2×1×2×(12)3A错误ab夹角120°B错误(4a+b)·b4a·b+b24×1×2×cos 120°+40∴(4a+b)⊥bC正确a·b1×2×cos 120°1D错误选C
18解析 定值1根题意知AB·APAB·(AB+BP)AB2+AB·BP1+01定值1
力提升练
选择题
1A ∵AB·BC+AB2AB·(BC+AB)AB·AC0∴AB⊥AC∴∠BAC90°∴△ABC直角三角形
2B 选项Aa·cb·c(ab)·c0ab0c0abc垂直A错误选项Ba⊥ba·b0a·b(a·b)2B正确选项Ca∥bab方投影±|a|C错误选项Dλ1a+λ2b0推出λ1λ20例λ10λ2≠0b0时λ1a+λ2b0成立D错误选B
3D ∵(a+b)⊥b∴(a+b)·ba·b+b2a·b+|b|20∴a·b|b|2
∴cosa·b|a||b||b|223|b|·|b|32
∴150°选D
4A ∵|AB+AC||ABAC|
∴两边方整理AB·AC0
∴AB⊥AC
∴|BC|2|AB|2+|AC|213
EFBC边三等分点
妨设点E点C
AE·AF(AC+CE)·(AB+BF)
AC+13CB·AB+13BC
AC13BC·AB+13BC
AC·AB+13AC·BC13AB·BC19BC2
13(ACAB)·BC19BC2
13BC·BC19BC229BC2269
5D H△ABC垂心AH⊥BCHMHA+AM
HM·BC(HA+AM)·BCAM·BC
点MBC边中点
AM·BC12(AB+AC)·(ACAB)
12(AC2AB2)12×(259)8
6D ∵EBC边中点
∴AE12(AB+AC)
∴AE·AO12(AB+AC)·AO12AB·AO+12AC·AO
∵|OA|2|OB|2|OC|2
∴△AOB△AOC等腰三角形
∴AB·AO|AB||AO|cos∠OAB
|AB|·12|AB|12|AB|2
理AC·AO12|AC|2
∴AE·AO14|AB|2+14|AC|212+132选D
7C △ABC中设PAxx∈[022]
PB·PC(PA+AB)·PCPA·PC+AB·PCx(22x)×cos 180°+2(22x)×cos 45°x232x+4x322212
∵x∈[022]
∴二次函数性质知x322时值12x0时值4
PB·PC取值范围124选C
8D 设AB中点M连接OMOM⊥AB
OA·AB2AM·OA
2|AM||OA|cos(π∠OAB)
2×2×|AO|×cos∠OAB
4|AM|8选D
二填空题
9答案 0
解析 BP·CQ(BA+AP)·(CA+AQ)(BA+AP)·(CAAP)AP·(CABA)AP2AP·CBa2≤|AP|·|CB|a2a2a20BP·CQ值0
10答案 4
解析 图等边△ABC中O正△ABC外接圆圆心O正△ABC重心设AO延长线交BC点D
AD垂直分BC
三角形ABC边长23
AD3圆半径OA2
OB+OC2ODOA
OA·(OB+OC)OA24
三解答题
11解析 (1)BMAMAB(1λ)ACAB(1λ)ab
CNANACλABACλba
(2)BM·CN32
BM·CN[(1λ)ab]·(λba)
[λ(1λ)+1]a·bλb2(1λ)a2
(λλ2+1)×2×2×124λ4(1λ)
2λ2+2λ232
整理4λ2+14λ0解λ12
12解析 (1)题意AP13AB
∴OPOA13(OBOA)
∴OP23OA+13OB
(2)题意知OA·OB4×3×cos 60°6
∵APλAB
∴OPOAλ(OBOA)
∴OP(1λ)OA+λOB
∵OP⊥AB
∴OP·AB[(1λ)OA+λOB]·(OBOA)(12λ)OA·OB(1λ)OA2+λOB26(12λ)16(1λ)+9λ0解λ1013
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24 面量数量积
241 面量数量积物理背景含义
基础关练
题组 量数量积运算
1a·b<0ab夹角θ取值范围( )
A0°≤θ<90° B90°≤θ<180°
C90°<θ≤180° D90°<θ<180°
2(黑龙江双鸭山中高期末)|a|2|b|12ab夹角60°a·b( )
A2 B12 C1 D14
3(吉林长春外国语学校高期中)已知列四式子①0·a0②0·a0③0ABBA④|a·b||a||b|中正确数( )
A4 B3 C2 D1
题组二 量投影
4(江西玉山中高期中)已知|a|2|b|3|ab|11量ab方投影( )
A2 B13 C43 D1
5设单位量e1e2夹角2π3ae1+2e2b2e13e2量ba方投影( )
A332 B3 C3 D332
6已知量ab满足|a|1|b|2(ab)⊥a求量b量a方投影
题组三 量模
7(安徽高期末)已知量ab夹角60°|a|2|b|1|ab|( )
A5 B3 C23 D7
8已知量ab满足a·b0 |a+b|m|a|a+bab夹角2π3m值( )
A2 B3 C1 D12
9(河南高考模拟)已知量ab满足|a|2|b|2量a量b方投影1|a2b|
题组四 量夹角计算量垂直
10(广西高二期末)ab两非零量|a||b||ab|aa+b夹角( )
A30° B45° C60° D90°
11(2018广西南宁三中高期末)已知量OA⊥AB|OA|3OA·OB( )
A9 B8 C7 D10
12(四川高期末)已知面量ab满足|a|1|b|2(a+b)⊥aab夹角( )
A5π6 Bπ6 C2π3 Dπ3
13(山东枣庄八中高三月考)已知量|ab||b||a2b||b|量ab夹角
14正方形ABCD中EBC边中点量AEBD夹角θcos θ
题组五 数量积简单应
15(蒙古高期末)边长2菱形ABCD中∠BAD60°EBC中点AC·AE( )
A3+33 B92 C3 D9
16
(黑龙江省实验中学高三月考)图示等边△ABC边长2DAC边点ADλAC△ADE等边三角形BE·BD449λ值( )
A23 B33 C34 D13
17(浙江诸暨中学高期中)已知正三角形ABC边长2设AB2aBCb( )
A|a+b|1 Ba⊥b
C(4a+b)⊥b Da·b1
18(海金山中学高期末)图边长1正方形ABCD边BC动点P问AB·AP定值求出该定值请说明理
力提升练
选择题
1(★★☆)AB·BC+AB20△ABC( )
A直角三角形 B钝角三角形
C锐角三角形 D等边三角形
2(黑龙江哈尔滨三中高三期中★★☆)非零量abc列命题正确( )
Aa·cb·cc0
Ba⊥ba·b(a·b)2
Ca∥bab方投影|a|
Dλ1a+λ2b0(λ1λ2∈R)λ1λ20
3(辽宁高期末★★☆)已知ab非零量3|a|2|b|(a+b)⊥bab夹角( )
A30° B60° C120° D150°
4(★★☆)△ABC中|AB+AC||ABAC|AB2AC3EF分BC边三等分点AE·AF( )
A269 B83 C2 D109
5(江西高三月考★★☆)已知△ABC垂心HAB3AC5MBC边中点HM·BC( )
A5 B6 C7 D8
6(辽宁高期末★★☆)△ABC中AB2AC2点EBC边中点O△ABC面点|OA|2|OB|2|OC|2AE·AO值( )
A12 B1 C22 D32
7(黑龙江高三月考★★☆)△ABC中|AB|2|AC|22∠BAC45°P线段AC意点PB·PC取值范围( )
A141 B140
C124 D122
8(安徽芜湖高三模拟★★★)图AB圆O条弦|AB|4OA·AB( )
A4 B4 C8 D8
二填空题
9(2018四川绵阳南山中学高期末★★★)长2a线段PQ直角△ABC直角顶点A中点BC边长aBP·CQ值
10(云南师附中月考★★★)边长23等边△ABC中点O△ABC外接圆圆心OA·(OB+OC)
三解答题
11(湖南长郡中学高期中★★☆)已知△ABC等边三角形AB2点NM满足ANλABAM(1λ)ACλ∈R设ACaABb
(1)试量ab表示BMCN
(2)BM·CN32求λ值
12(辽宁沈阳高期中★★☆)图△OAB中点P直线AB动点满足APλAB
(1)λ13量OAOB表示OP
(2)|OA|4|OB|3∠AOB60°请问λ取值时OP⊥AB
答案全解全析
第二章 面量
24 面量数量积
241 面量数量积
物理背景含义
基础关练
1C a·b|a||b|cos θ<0知cos θ<0夹角θ取值范围90°<θ≤180°
2B ∵|a|2|b|12ab夹角60°∴a·b|a||b|cos 60°2×12×1212选B
3C 量实数然量0·a0①正确②错误
AB+BA00ABBA③正确
|a·b||a||b||cos θ||a·b||a|·|b|定成立④错误选C
4B (ab)24+92a·b11a·b1量ab方投影a·b|b|13选B
5A 题意e1·e21×1×cos 2π312
|a|(e1+2e2)2e12+4e22+4e1·e23
a·b(e1+2e2)·(2e13e2)2e126e22+e1·e292
量ba方投影a·b|a|923332选A
6解析 设量ab夹角θ∵(ab)⊥a∴(ab)·aa2a·b0∴a·ba21∴量b量a方投影|b|·cos θa·b|a|1
7B 量ab夹角60°|a|2|b|1
|ab|(ab)2a22a·b+b2222×2×1×12+123选B
8A ∵|a+b|m|a|>0∴m>0
∵a·b0∴a⊥b|ab||a+b|m|a|∴|a|2+2a·b+|b|2m2|a|2
∴|b|2(m21)|a|2
∴(a+b)·(ab)|a+b||ab|×cos 2π3
∴a2b2|a+b||ab|×cos 2π3
∴[1(m21)]|a|2m|a|×m|a|×1212m22m2
解m2m2(舍)
m值2选A
9答案 23
解析 量a量b方投影1
|a|cos
|a2b|(a2b)2
a24a·b+4b2
44×2+16 23
10A ab邻边作行四边形ABCD图
|a||b||ab|知abab形成等边三角形行四边形菱形菱形性质知aa+b夹角30°选A
11A OA⊥ABOA·AB0OA·OBOA·(OA+AB)OA2+OA·ABOA29
12C (a+b)⊥a(a+b)·aa2+a·b1+2cos
13答案 π6
解析 根题意设量|a|m量|b|n量ab夹角θ
量|ab||b|(ab)2b2m2+n22mncos θn2整理m22mncos θm2ncos θ①
|a2b||b|(a2b)2b2m2+4n24mncos θn2整理m2+3n24mncos θ0②
①②联立4cos2θ8cos2θ+30
解cos θ±32
m2ncos θcos θ>0
cos θ32θπ6
14答案 1010
解析 设正方形边长a|AE|52a|BD|2aAE·BDAB+12AD·(ADAB)12AD2AB2+12AD·AB12a2cos θAE·BD|AE|·|BD|12a25a2·2a1010
15D 题意∠ABC120°BA·BC2×2×cos 120°2
AC·AE(BCBA)·(BEBA)
(BCBA)·12BCBA
12BC232BA·BC+BA2
12×2232×(2)+229选D
16A 题意BE·BD(BA+AE)·(BA+AE+ED)BA2+BA·AE+BA·ED+AE·BA+AE2+AE·ED22+2·2λcos π32·2λ+2·2λ·cos π3+4λ2+4λ2cos 2π32λ2+4449λ249λ>0λ23选A
17C 图取AB中点DBEADa
∴ADBDBE1∠EBC120°
∴|a+b|12+22+2×1×2×(12)3A错误ab夹角120°B错误(4a+b)·b4a·b+b24×1×2×cos 120°+40∴(4a+b)⊥bC正确a·b1×2×cos 120°1D错误选C
18解析 定值1根题意知AB·APAB·(AB+BP)AB2+AB·BP1+01定值1
力提升练
选择题
1A ∵AB·BC+AB2AB·(BC+AB)AB·AC0∴AB⊥AC∴∠BAC90°∴△ABC直角三角形
2B 选项Aa·cb·c(ab)·c0ab0c0abc垂直A错误选项Ba⊥ba·b0a·b(a·b)2B正确选项Ca∥bab方投影±|a|C错误选项Dλ1a+λ2b0推出λ1λ20例λ10λ2≠0b0时λ1a+λ2b0成立D错误选B
3D ∵(a+b)⊥b∴(a+b)·ba·b+b2a·b+|b|20∴a·b|b|2
∴cos
∴
4A ∵|AB+AC||ABAC|
∴两边方整理AB·AC0
∴AB⊥AC
∴|BC|2|AB|2+|AC|213
EFBC边三等分点
妨设点E点C
AE·AF(AC+CE)·(AB+BF)
AC+13CB·AB+13BC
AC13BC·AB+13BC
AC·AB+13AC·BC13AB·BC19BC2
13(ACAB)·BC19BC2
13BC·BC19BC229BC2269
5D H△ABC垂心AH⊥BCHMHA+AM
HM·BC(HA+AM)·BCAM·BC
点MBC边中点
AM·BC12(AB+AC)·(ACAB)
12(AC2AB2)12×(259)8
6D ∵EBC边中点
∴AE12(AB+AC)
∴AE·AO12(AB+AC)·AO12AB·AO+12AC·AO
∵|OA|2|OB|2|OC|2
∴△AOB△AOC等腰三角形
∴AB·AO|AB||AO|cos∠OAB
|AB|·12|AB|12|AB|2
理AC·AO12|AC|2
∴AE·AO14|AB|2+14|AC|212+132选D
7C △ABC中设PAxx∈[022]
PB·PC(PA+AB)·PCPA·PC+AB·PCx(22x)×cos 180°+2(22x)×cos 45°x232x+4x322212
∵x∈[022]
∴二次函数性质知x322时值12x0时值4
PB·PC取值范围124选C
8D 设AB中点M连接OMOM⊥AB
OA·AB2AM·OA
2|AM||OA|cos(π∠OAB)
2×2×|AO|×cos∠OAB
4|AM|8选D
二填空题
9答案 0
解析 BP·CQ(BA+AP)·(CA+AQ)(BA+AP)·(CAAP)AP·(CABA)AP2AP·CBa2≤|AP|·|CB|a2a2a20BP·CQ值0
10答案 4
解析 图等边△ABC中O正△ABC外接圆圆心O正△ABC重心设AO延长线交BC点D
AD垂直分BC
三角形ABC边长23
AD3圆半径OA2
OB+OC2ODOA
OA·(OB+OC)OA24
三解答题
11解析 (1)BMAMAB(1λ)ACAB(1λ)ab
CNANACλABACλba
(2)BM·CN32
BM·CN[(1λ)ab]·(λba)
[λ(1λ)+1]a·bλb2(1λ)a2
(λλ2+1)×2×2×124λ4(1λ)
2λ2+2λ232
整理4λ2+14λ0解λ12
12解析 (1)题意AP13AB
∴OPOA13(OBOA)
∴OP23OA+13OB
(2)题意知OA·OB4×3×cos 60°6
∵APλAB
∴OPOAλ(OBOA)
∴OP(1λ)OA+λOB
∵OP⊥AB
∴OP·AB[(1λ)OA+λOB]·(OBOA)(12λ)OA·OB(1λ)OA2+λOB26(12λ)16(1λ)+9λ0解λ1013
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