20202021学 年 高 学 期 空 间 垂 直 问 题 精 编
1三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中侧棱𝐴𝐴1 ⊥底面𝐴1𝐵1𝐶1底面三角形𝐴1𝐵1𝐶1正三角形𝐸𝐵𝐶中
点列叙述正确（ ）．
A 𝐶𝐶1𝐵1𝐸异面直线
B 𝐴𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐵1𝐴1
C 𝐴𝐸𝐵1𝐶1异面直线𝐴𝐸 ⊥ 𝐵1𝐶1
D 𝐴1𝐶1面𝐴𝐵1𝐸
2图△ 𝐴𝐵𝐶等腰直角三角形中∠𝐴 90°𝐷𝐵 ⊥ 𝐵𝐶∠𝐵𝐶𝐷 30°现△
𝐴𝐵𝐶折起二面角𝐴 − 𝐵𝐶 − 𝐷面角直角列叙述正确( ) ① → →
𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶 0
②面𝐵𝐶𝐷法量面𝐴𝐶𝐷法量垂直
③异面直线𝐵𝐶𝐴𝐷成角60°
④直线𝐷𝐶面𝐴𝐵𝐶成角30°．
A ①③ B ①④ C ①③④ D ①②③④
3意直线𝑙面𝛼面𝛼必直线𝑚𝑚𝑙（ ）．
A 行 B 相交 C 垂直 D 互异面直线
4三棱锥𝑉 − 𝐴𝐵𝐶中侧面𝑉𝐵𝐶 ⊥底面𝐴𝐵𝐶∠𝐴𝐵𝐶 45°𝑉𝐴 𝑉𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵（ ）．
A 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶 B 𝑉𝐵 ⊥ 𝐴𝐶 C 𝑉𝐴 ⊥ 𝐵𝐶 D 𝑉𝐶 ⊥ 𝐴𝐵
5图正四面体𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中𝐷𝐸𝐹分棱𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴中点面四结中成立（ ）．
A 𝐵𝐶面𝑃𝐷𝐹 B 𝐷𝐹 ⊥面𝑃𝐴𝐸 C 面𝑃𝐷𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶 D 面𝑃𝐴𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶
6已知𝐴𝐵 ⊥面𝐴𝐶𝐷𝐷𝐸 ⊥面𝐴𝐶𝐷△ 𝐴𝐶𝐷等边三角形边长2𝑎𝐴𝐷 𝐷𝐸 2𝐴𝐵𝐹
𝐶𝐷中点．
(1) 求证：𝐴𝐹面𝐵𝐶𝐸
(2) 求证：面𝐵𝐶 ⊥面𝐶𝐷𝐸．
7列五正方体图形中𝑙正方体条体角线点𝑀𝑁𝑃分棱中点出𝑙 ⊥面𝑀𝑁𝑃图形序号 ．（写出符合求图形序号）．
8正四面体𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中𝐷𝐸𝐹分边𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴中点列四结中成立 （ ）．
A 𝐵𝐶面𝑃𝐷𝐹
B 𝐷𝐹 ⊥面𝑃𝐴𝐸
C 面𝑃𝐷𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶
D 面𝑃𝐴𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶
9图𝐴𝐵⊙ 𝑂直径𝐶圆周𝐴𝐵意点𝑃𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶四面体𝑃 −
𝐴𝐵𝐶四面中直角三角形数( )
A 4 B 3 C 2 D 1
10图𝐷圆锥顶点𝑂圆锥底面圆心𝐴𝐸底面直径𝐴𝐸 𝐴𝐷．△ 𝐴𝐵𝐶底面圆接正三角形𝑃𝐷𝑂点𝑃𝑂 √6 𝐷𝑂．
6
证明：𝑃𝐴 ⊥面𝑃𝐵𝐶．
11图三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐶𝐶1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺分𝐴𝐴1𝐴𝐶𝐴1𝐶1
𝐵𝐵1中点𝐴𝐵 𝐵𝐶 √5𝐴𝐶 𝐴𝐴1 2．
求证：𝐴𝐶 ⊥面𝐵𝐸𝐹．
12图底面菱形四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中∠𝐴𝐵𝐶 60°𝑃𝐴 𝐴𝐶 𝑎𝑃𝐵 𝑃𝐷
√2𝑎点𝐸𝑃𝐷𝑃𝐸 𝐸𝐷 2 1．
(1) 证明：𝑃𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．
(2) 棱𝑃𝐵否存点𝐹三棱锥𝐹 − 𝐴𝐵𝐶正三棱锥？证明结．
13图正方形𝑆𝐺1𝐺2𝐺3中𝐸𝐹分𝐺1𝐺2𝐺2𝐺3中点𝐷𝐸𝐹中点现𝑆𝐸
𝑆𝐹𝐸𝐹正方形折成四面体𝐺1𝐺2𝐺3三点重合重合点记𝐺四面体𝑆 − 𝐸𝐹𝐺中必（ ）．
A 𝑆𝐷 ⊥△ 𝐸𝐹𝐺面
B 𝑆𝐺 ⊥△ 𝐸𝐹𝐺面
C 𝐺𝐷 ⊥△ 𝑆𝐸𝐹面
D 𝐺𝐹 ⊥△ 𝑆𝐸𝐹面
14图梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵 1∠𝐵𝐶𝐷 120°四边形𝐵𝐹𝐸𝐷矩形面𝐵𝐹𝐸𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝐵𝐹 1．
求证：𝐴𝐷 ⊥面𝐵𝐹𝐸𝐷．
15设𝑚𝑛两条直线𝛼𝛽𝛾三面出列四命题：
①𝑚 ⊥ 𝛼𝑛𝛼𝑚 ⊥ 𝑛
②𝛼𝛽𝛽𝛾𝑚 ⊥ 𝛼𝑚 ⊥ 𝛾
③𝑚𝛼𝑛𝛼𝑚𝑛
④𝛼 ⊥ 𝛾𝛽 ⊥ 𝛾𝛼𝛽
中正确命题序号( )
A ①② B ②③ C ③④ D ①④
16图四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1底面𝐴𝐵𝐶𝐷行四边形𝐴𝐶 ⊥ 𝐶𝐵侧面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 ⊥底面
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐹分𝐴𝐵 𝐶1𝐷中点．
(1) 求证：𝐸𝐹面𝐵1𝐵𝐶𝐶1．
(2) 求证：𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶．
(3) 线段𝐸𝐹否存点𝐺𝐴𝐶 ⊥面𝐶1𝐷1𝐺？说明理．
17图三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵1 2𝐴𝐵1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶1 ⊥ 𝐴𝐶𝐷
𝐸分𝐴𝐶𝐵1𝐶1中点．
(1) 证明：𝐴𝐶 ⊥ 𝐵1𝐶1．
(2) 证明：𝐷𝐸面𝐴𝐴1𝐵1𝐵．
18图示体中四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形𝑀𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝑃𝐷MA𝐸𝐺𝐹分𝑀𝐵𝑃𝐵𝑃𝐶中点𝐴𝐷 𝑃𝐷 2𝑀𝐴．
(1) 求证：面𝐸𝐹𝐺 ⊥面𝑃𝐷𝐶．
(2) 求三棱锥𝑃 − 𝑀𝐴𝐵四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷体积．
19已知面𝛼面𝛽相交直线𝑚 ⊥ 𝛼( )
A 𝛽必存直线𝑚行存直线𝑚垂直
B 𝛽定存直线𝑚行定存直线𝑚垂直
C 𝛽定存直线𝑚行必存直线𝑚垂直
D 𝛽必存直线𝑚行定存直线𝑚垂直
20图四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中𝑃𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷底面𝐴𝐵𝐶𝐷矩形𝑃𝐷 𝐷𝐶 4𝐴𝐷
2𝐸𝑃𝐶中点．
(1) 求证：𝐷𝐸 ⊥面𝑃𝐵𝐶．
(2) 求三棱锥𝑃 − 𝐴𝐷𝐸体积．
(3) 线段𝐴𝐶否存点𝑀𝑃𝐴面𝐸𝐷𝑀存求出𝐴𝑀长．存请说明理．（题空间量解题）
21图示四棱锥𝑆 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐵𝐶𝐷𝐵𝐶 ⊥ 𝐶𝐷侧面𝑆𝐴𝐵等边三角形．𝐴𝐵
𝐵𝐶 2𝐶𝐷 𝑆𝐷 1．
(1) 证明：𝑆𝐷 ⊥面𝑆𝐴𝐵．
(2) 求𝐴𝐵面𝑆𝐵𝐶成角正弦值．
22图示正方形𝐴𝐵𝐶𝐷四边形𝐴𝐶𝐸𝐹面互相垂直．𝐸𝐹𝐴𝐶𝐴𝐵 √2
𝐶𝐸 𝐸𝐹 1．
(1) 求证：𝐴𝐹面𝐵𝐷𝐸．
(2) 求证：𝐶𝐹 ⊥面𝐵𝐷𝐸．
23三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶𝐵1𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐸𝐹分𝐴𝐶𝐵1𝐶中点．
(1) 求证：𝐸𝐹面𝐴𝐵1𝐶1．
(2) 求证：面𝐴𝐵1𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐵1．
24图正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中𝑀棱𝐷𝐷1中点𝑂线段𝐴𝐶中点．
(1) 证明：直线𝐵𝐷1面𝑀𝐴𝐶．
(2) 求异面直线𝐴𝑀𝐵𝐷1成角余弦值．
(3) 证明：𝐵1𝑂 ⊥ 𝐴𝐶．（题空间量解题）
25图四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中底面𝐴𝐵𝐶𝐷等腰梯形𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵𝐶 2𝐴𝐷 4𝑃𝐴
𝑃𝐷 𝐴𝐵 √5𝐸𝑃𝐵中点𝑂𝐴𝐷中点．
(1) 求证：𝐴𝐸面𝑃𝐶𝐷．
(2) 面𝑃𝐴𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷求证：𝐵𝑂 ⊥ 𝑃𝐶．
26三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1面𝐴1𝐵1𝐶截部分图示体𝐵𝐵1 ⊥面𝐴𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐶 90°𝐵𝐶 𝐵𝐵1𝐸棱𝐵1𝐶动点(包含端点)面𝐴𝐵𝐸交𝐴1𝐶点𝐹．
(1) 求证：𝐸𝐹𝐴𝐵．
(2) 点𝐸𝐵1𝐶中点求证：面𝐴𝐵𝐸 ⊥面𝐴1𝐵1𝐶．
27图四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷底面行四边形点𝐸𝐹分𝐶𝐷𝐵𝐶𝐺𝑃𝐴中点
𝑃𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．
(1) 𝑃𝐹 ⊥ 𝐵𝐶求证：面𝑃𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐸𝐹
(2) 求证：𝑃𝐶面𝐵𝐷𝐺．
28图𝐷圆锥顶点𝑂圆锥底面圆心△ 𝐴𝐵𝐶底面接正三角形𝑃𝐷𝑂点
∠𝐴𝑃𝐶 90°．
(1) 证明：面𝑃𝐴𝐵 ⊥面𝑃𝐴𝐶．
(2) 设𝐷𝑂 √2圆锥侧面积√3𝜋求三棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶体积．
29图直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐷𝐵𝐶∠𝐵𝐴𝐷 𝜋𝐴𝐵 𝐵𝐶 1 𝐴𝐷 𝑎𝐸𝐴𝐷中点
2 2
𝑂𝐴𝐶𝐵𝐸交点．△ 𝐴𝐵𝐸𝐵𝐸折起图2中△ 𝐴1𝐵𝐸位置四棱锥𝐴1 − 𝐵𝐶𝐷𝐸．
(1) 证明：𝐶𝐷 ⊥面𝐴1𝑂𝐶．
(2) 面𝐴1𝐵𝐸 ⊥面𝐵𝐶𝐷𝐸时四棱锥𝐴1 − 𝐵𝐶𝐷𝐸体积36√2求𝑎值．
30图四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝑃 ⊥面𝑃𝐶𝐷𝐴𝐷𝐵𝐶𝐴𝐵 𝐵𝐶 1 𝐴𝐷𝐸𝐹分线段
2
𝐴𝐷𝑃𝐶中点．
(1) 求证：𝐴𝑃面𝐵𝐸𝐹．
(2) 求证：𝐵𝐸 ⊥面𝑃𝐴𝐶．
2021 春季第 8 讲空间垂直问题姣姐精编题解析
1 C
解析 A 选项 𝐶𝐶1 𝐵1𝐸 面𝐶𝐶1𝐵1𝐵 异面直线A错误
B 选项 𝐴𝐶 ⊥ 面𝐴𝐵𝐵1𝐴1 𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐵1𝐴1∴𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝐵
题干知三角形𝐴1𝐵1𝐶1 正三角形∴𝐴𝐶 𝐴𝐵 成60° 矛盾B 错误
C 选项 题图知𝐴𝐸 𝐵1𝐶1 异面直线
∵𝐸 𝐵𝐶 中点三角形𝐴𝐵𝐶 正三角形∴𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶 𝐵𝐶𝐵1𝐶1 ∴𝐴𝐸 ⊥ 𝐵1𝐶1 C正确
D 选项 𝐴1𝐶1面𝐴𝐵1𝐸 ∵𝐴𝐶𝐴1𝐶1 ∴𝐴𝐶 面𝐴𝐵1𝐸
𝐴𝐶面𝐴𝐵1𝐸相交 矛盾D 错误．
2 B
→ →
解析 ∵面𝐴𝐵𝐶 ∩面𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶𝐵𝐷 ⊥ 𝐵𝐶∴ 𝐵𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶∴ 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶∴
𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶
0①正确∵面𝐵𝐶𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶∴面𝐵𝐶𝐷面𝐴𝐶𝐷垂直∴面𝐵𝐶𝐷法量面
𝐴𝐶𝐷法量垂直②错误分取𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐷中点𝐸𝐹𝐺连接𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺
𝐵𝐹．∵ 𝐸𝐹𝐵𝐶𝐸𝐺𝐴𝐷∴ ∠𝐹𝐸𝐺补角直线𝐵𝐶𝐴𝐷成角．设𝐵𝐷 2𝐵𝐶
2√3𝐴𝐵 𝐴𝐶 √6∴ 𝐸𝐹 √3．∴ 𝐴𝐷 √10∴ 𝐸𝐺 √ 10．∵直角三角形𝐵𝐹𝐺中∠𝐺𝐵𝐹
2
5 17
90°𝐵𝐺 1𝐵𝐹 √ 30∴ 𝐹𝐺 √34∴ cos ∠𝐹𝐸𝐺 3+2− 2 − √30 ∴
𝐵𝐶𝐴𝐷
2 2 2
3×√ 10
异面直线
10
√ 2
成角arccos √ 30③错误∵ 𝐵𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶∴ ∠𝐵𝐶𝐷直线𝐷𝐶面𝐴𝐵𝐶成角∴直
10
线𝐷𝐶面𝐴𝐵𝐶成角30°④正确．综选 B．
3 C
解析 意直线𝑙面𝛼分两种情况：
（1）直线𝑙 ⊂ 𝛼𝑙𝑚面直线存直线𝑚 ⊥ 𝑙𝑚𝑙
（2）𝑙面𝛼𝑙 ⊥ 𝛼面𝛼意条直线垂直𝑙𝑙𝛼垂直射影面𝛼条直线面𝛼必存直线𝑚垂直射影𝑚𝑙垂直𝑙𝛼存直线𝑚 ⊥ 𝑙．
综述意直线𝑙面𝛼面𝛼必直线𝑚𝑚𝑙垂直．选C．
4 C
解析 A 选项 ∵∠𝐴𝐵𝐶 45∘𝐴𝐶 𝐴𝐵∴∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 45∘．A错误．
B 选项 𝑉𝐵 ⊥ 𝐴𝐶𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝑉𝐵 ⊂面𝑉𝐵𝐶面𝑉𝐵𝐶 ⊥ 面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶 ⊥ 面
𝑉𝐵𝐶∠𝐴𝐶𝐵 45∘矛盾B错误．
C 选项 取𝐵𝐶边中点𝐷连接𝐴𝐷𝑉𝐷．
∵𝑉𝐴 𝑉𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵．∴𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶𝑉𝐷 ⊥ 𝐵𝐶． 𝐴𝐷 ⊂面𝐴𝐷𝑉𝑉𝐷 ⊂面𝐴𝐷𝑉𝐴𝐷 ∩ 𝑉𝐷 𝐷
∴𝐵𝐶 ⊥ 面𝐴𝐷𝑉𝑉𝐴 ⊂面𝐴𝐷𝑉∴𝑉𝐴 ⊥ 𝐵𝐶．C正确．
D 选项 𝑉𝐶 ⊥ 𝐴𝐵𝑉𝐶 ⊂面𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐶面𝑉𝐵𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐶． 𝐴𝐵 ⊥ 面𝑉𝐵𝐶∠𝐴𝐵𝐶 45∘矛盾D错误．
5 C
解析 正四面体𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中𝐷𝐹分边𝐴𝐵𝐴𝐶中点显然𝐷𝐹𝐵𝐶𝐵𝐶面
𝑃𝐷𝐹假设𝑃点底面射影点𝑂𝑂𝑃 ⊥ 𝐴𝐸𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶𝐷𝐹 ⊥面𝑃𝐴𝐸𝑂𝑃 ⊥
面𝐴𝐵𝐶𝑂𝑃面𝑃𝐷𝐸相交面𝑃𝐷𝐹面𝐴𝐵𝐶垂直𝑂点直线𝐴𝐸面
𝑃𝐴𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶．
6
解析 (1) 图取𝐶𝐸中点𝐺连接𝐹𝐺𝐵𝐺．
𝐴𝐵 ⊥面𝐴𝐶𝐷𝐷𝐸 ⊥面𝐴𝐶𝐷𝐴𝐵𝐷𝐸．
1
𝐹𝐶𝐷中点𝐺𝐹𝐷𝐸𝐺𝐹
1
𝐷𝐸
2
𝐺𝐹𝐴𝐵．𝐴𝐵
𝐷𝐸𝐺𝐹 𝐴𝐵．
2
四边形𝐺𝐹𝐴𝐵行四边形𝐴𝐹𝐵𝐺．
𝐴𝐹 ⊄面𝐵𝐶𝐸𝐵𝐺 ⊂面𝐵𝐶𝐸𝐴𝐹面𝐵𝐶𝐸．
(2) ∵△ 𝐴𝐶𝐷正三角形∴𝐴𝐹 ⊥ 𝐶𝐷．
∵𝐷𝐸 ⊥面𝐴𝐶𝐷
𝐴𝐹 ⊂面𝐴𝐶𝐷∴𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐹．
𝐴𝐹 ⊥ 𝐶𝐷𝐶𝐷 ∩ 𝐷𝐸 𝐷∴𝐴𝐹 ⊥面𝐶𝐷𝐸． 𝐵𝐺AF∴𝐵𝐺 ⊥面𝐶𝐷𝐸．
∵𝐵𝐺 ⊂面𝐵𝐶𝐸∴面𝐵𝐶𝐸 ⊥面𝐶𝐷𝐸．
7 ①④⑤
解析
设定正方体顶点图连接𝐷𝐵𝐴𝐶
∵ 𝑀𝑁分𝐴𝐷𝐶𝐷中点
∴ 𝑀𝑁AC
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形
∴ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷
∵ 𝐵𝐵′ ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴ 𝐵𝐵′ ⊥ 𝐴𝐶
∵ 𝐵𝐵′ ∩ 𝐷𝐵 𝐵𝐵𝐵′ ⊂面𝐷𝐵𝐵′𝐵𝐷 ⊂面𝐷𝐵𝐵′
∴ 𝐴𝐶 ⊥面𝐷𝐵𝐵′
∵ 𝐷𝐵′ ⊂面𝐷𝐵𝐵′
∴ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐷𝐵′
∵ 𝑀𝑁AC
∴ 𝐷𝐵′ ⊥ 𝑀𝑁
理证𝐷𝐵′ ⊥ 𝑀𝑃𝐷𝐵′ ⊥ 𝑁𝐹
∵ 𝑀𝑃 ∩ 𝑁𝑃 𝑃𝑀𝐹 ⊂面𝑀𝑁𝑃𝑁𝐹 ⊂面𝑀𝑁𝑃
∴ 𝐷𝐵′ ⊥面𝑀𝑁𝑃𝑙垂直面𝑀𝑁𝑃①正确
④中①中证明知𝑙 ⊥ 𝑀𝑃
∵ 𝑀𝑁AC
𝐴𝐶 ⊥ 𝑙
∴ 𝑙 ⊥ 𝑀𝑁
∴ 𝑙 ⊥面𝑀𝑁𝑃
理证明⑤中𝑙 ⊥面𝑀𝑁𝑃．
8 C
解析 A选项图示
点𝐷𝐹分线段𝐴𝐵𝐴𝐶中点 𝐷𝐹𝐵𝐶𝐵𝐶 ⊄面𝑃𝐷𝐹
𝐵𝐶面𝑃𝐷𝐹A项符合题意
B选项图示
𝑃 − 𝐴𝐵𝐶正四面体
△ 𝐴𝐵𝐶△ 𝑃𝐵𝐶正三角形点𝐸𝐵𝐶中点𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶 A选项知𝐷𝐹𝐵𝐶𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐸𝐷𝐹 ⊥ 𝑃𝐸𝑃𝐸 ∩ 𝐴𝐸 𝐸
𝐷𝐹 ⊥面𝑃𝐴𝐸B项合题意 C选项图示
点𝑃作底面𝐴𝐵𝐶垂线
根正四面体性质知垂足𝐺△ 𝐴𝐵𝐶重心𝑃𝐺 ⊥面𝐴𝐵𝐶 根三角形重心性质知𝐺点𝐷𝐹
直线𝑃𝐺面𝑃𝐷𝐹相交𝑃点
面𝑃𝐷𝐹面𝐴𝐵𝐶垂直选项C符合题意
D选项图示
C项正三角形性质知点𝐺线段𝐴𝐸𝑃𝐺 ⊥面𝐴𝐵𝐶． 𝑃𝐺 ⊂面𝑃𝐴𝐸𝑃𝐺 ⊄面𝐴𝐵𝐶
面𝑃𝐴𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶D项合题意．
9 A
解析 ∵ 𝐴𝐵圆𝑂直径 ∴ ∠𝐴𝐶𝐵 90°𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐶三角形𝐴𝐵𝐶直角三角形 ∵
𝑃𝐴 ⊥圆𝑂面 ∴△ 𝑃𝐴𝐶△ 𝑃𝐴𝐵直角三角形． 𝐵𝐶面 ∴ 𝑃𝐴 ⊥ 𝐵𝐶
𝐵𝐶垂直面𝑃𝐴𝐶中两条相交直线 ∴ 𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐴𝐶 ∴△ 𝑃𝐵𝐶直角三角形 △ 𝑃𝐴𝐵△
𝑃𝐴𝐶△ 𝐴𝐵𝐶△ 𝑃𝐵𝐶直角三角形∴四面体𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中直角三角形数4． 选：A．
10
解析 设𝐷𝑂 𝑎题设𝑃𝑂 √ 6 𝑎𝐴𝑂 √ 3 𝑎𝐴𝐵 𝑎𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 √ 2 𝑎
6 3 2
𝑃𝐴2 + 𝑃𝐵2 𝐴𝐵2𝑃𝐴 ⊥ 𝑃𝐵
𝑃𝐴2 + 𝑃𝐶2 𝐴𝐶2𝑃𝐴 ⊥ 𝑃𝐶 𝑃𝐴 ⊥面𝑃𝐵𝐶．
11
解析 ∵𝐴𝐵 𝐵𝐶𝐸𝐴𝐶中点
∴𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐸
∵三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐸𝐹分𝐴𝐶𝐴1𝐶1中点
∴𝐸𝐹𝐶𝐶1
∵𝐶𝐶1 ⊥面𝐴𝐵𝐶
∴𝐸𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶
∵𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶
∴𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶
∵𝐸𝐹𝐵𝐸 ⊂面𝐵𝐸𝐹𝐸𝐹 ∩ 𝐵𝐸 𝐸
∴𝐴𝐶 ⊥面𝐵𝐸𝐹．
12
解析 (1) ∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷菱形∠𝐴𝐵𝐶 60°
∴𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝑎．
△ 𝑃𝐴𝐵中𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝑎知𝑃𝐴2 + 𝐴𝐵2 2𝑎2 𝑃𝐵2𝑃𝐴 ⊥ 𝐴𝐵． 理𝑃𝐴 ⊥ 𝐴𝐷．
𝐴𝐵 ∩ 𝐴𝐷 𝐴
∴𝑃𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．
(2) 棱𝑃𝐵存点𝐹三棱锥𝐹 − 𝐴𝐵𝐶正三棱锥．
事实假设棱𝑃𝐵存点𝐹三棱锥𝐹 − 𝐴𝐵𝐶正三棱锥． 𝐹作底面𝐴𝐵𝐶垂线垂直𝑂𝑂△ 𝐴𝐵𝐶中心
面𝑃𝐴𝐵𝐹作𝐹𝑀𝑃𝐴交𝐴𝐵𝑀𝐹𝑀 ⊥面𝑃𝐴𝐵
样面𝐴𝐵𝐶外点𝐹两条直线𝐹𝑂𝐹𝑀面𝐴𝐵𝐶垂直错误． 假设成立棱𝑃𝐵存点𝐹三棱锥𝐹 − 𝐴𝐵𝐶正三棱锥． 13 B
解析 ∵折叠程中始终𝑆𝐺1 ⊥ 𝐺1𝐸𝑆𝐺3 ⊥ 𝐺3𝐹 𝑆𝐺 ⊥ 𝐺𝐸𝑆𝐺 ⊥ 𝐺
∴𝑆𝐺 ⊥面𝐸𝐹𝐺．选B．
14
解析 梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中
∵𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵 1∠𝐵𝐶𝐷 120°∴𝐴𝐵 2．
∴𝐵𝐷2 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 − 2𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐷 ⋅ cos 60° 3
∴𝐴𝐵2 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2∴𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐷．
∵面𝐵𝐹𝐸𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷面𝐵𝐹𝐸𝐷 ∩面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷𝐷𝐸 ⊂面𝐵𝐹𝐸𝐷𝐷𝐸 ⊥ 𝐷𝐵
∴𝐷𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐷𝐷𝐸 ∩ 𝐵𝐷 𝐷
∴𝐴𝐷 ⊥面𝐵𝐹𝐸𝐷．
15 A
解析 ①𝑛𝛼𝑛作面𝛽𝛽 ∩ 𝛼 𝑙𝑛𝑙 𝑚 ⊥ 𝛼𝑙 ⊂ 𝛼𝑚 ⊥ 𝑙结合𝑛𝑙𝑚 ⊥ 𝑛．①真命题
②𝛼𝛽𝛽𝛾𝛼𝛾结合𝑚 ⊥ 𝛼𝑚 ⊥ 𝛾②真命题 ③设直线𝑚𝑛位正方体底面面相交直线
面𝛼正方体底面面
𝑚𝛼𝑛𝛼成立推出𝑚𝑛③正确
④设面𝛼𝛽𝛾位正方体顶点三面 𝛼 ⊥ 𝛾𝛽 ⊥ 𝛾𝛼 ⊥ 𝛽推出𝛼𝛽④正确．
综述中正确命题序号①② 选：A．
16
解析 (1) 方法：
取𝐶𝐶1中点𝑀连接𝐹𝑀𝐵𝑀． △ 𝐶𝐶1𝐷中
𝐹 𝑀分𝐶1𝐷 𝐶1𝐶中点
1
𝐹𝑀𝐶𝐷𝐹𝑀
𝐶𝐷．
2
行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐶𝐷𝐴𝐵𝐸𝐴𝐵中点
𝐹𝑀𝐸𝐵𝐹𝑀 𝐸𝐵．
四边形𝐹𝑀𝐵𝐸行四边形． 𝐸𝐹𝐵𝑀．
𝐵𝑀 ⊂面𝐵1𝐵𝐶𝐶1𝐸𝐹 ⊄面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 𝐸𝐹面1𝐵𝐶𝐶1．
方法二：
取𝐶𝐷中点𝑀连接𝐹𝑀𝐸𝑀． △ 𝐶𝐶1𝐷中
𝐹 𝑀分𝐶1𝐷 𝐶𝐷中点
𝐹𝑀𝐶𝐶1．
行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐸 𝑀分𝐴𝐵 𝐶𝐷中点 𝐸𝑀𝐶𝐵．
𝐸𝑀 ∩ 𝐹𝑀 𝑀𝐸𝑀 𝐹𝑀 ⊂面𝐸𝐹𝑀𝐶𝐶1 ∩ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐶1 𝐶𝐵 ⊂面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 面𝐸𝐹𝑀面𝐵1𝐵𝐶𝐶1．
𝐸𝐹 ⊂面𝐸𝐹𝑀
𝐸𝐹面𝐵1𝐵𝐶𝐶1．
(2) 面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷 面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 ∩面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶
𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 ⊥面𝐵1𝐵𝐶𝐶1．
(1)知𝐸𝐹面𝐵1𝐵𝐶𝐶1𝐸𝐹 ⊄面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶．
(3) 线段𝐸𝐹存点𝐺𝐴𝐶 ⊥面𝐶1𝐷1𝐺． 假设存点𝐺𝐴𝐶 ⊥面𝐶1𝐷1𝐺
𝐶1𝐷1 ⊂面𝐶1𝐷1𝐺 𝐴𝐶 ⊥ 𝐶1𝐷1．
𝐴𝐶𝐶1𝐷1垂直矛盾．
线段𝐸𝐹存点𝐺𝐴𝐶 ⊥面𝐶1𝐷1𝐺．
17
解析 (1) 𝐴𝐵1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵1 ⊥ 𝐴𝐶．
𝐴𝐶1 ⊥ 𝐴𝐶𝐴𝐵1 ∩ 𝐴𝐶1 𝐴𝐴𝐵1𝐴𝐶1 ⊂面𝐴𝐵1𝐶1 𝐴𝐶 ⊥面𝐴𝐵1𝐶1．
𝐵1𝐶1 ⊂面𝐴𝐵1𝐶1 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵1𝐶1．
(2) 取𝐴1𝐵1中点𝑀连接𝑀𝐴𝑀𝐸．
1
𝐸𝑀分𝐵1𝐶1𝐴1𝐵1中点 𝑀𝐸𝐴1𝐶1𝑀𝐸 2 𝐴1𝐶1．
1
三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐴𝐷𝐴1𝐶1𝐴𝐷 2 𝐴1𝐶1
𝑀𝐸𝐴𝐷𝑀𝐸 𝐴𝐷
四边形𝐴𝐷𝐸𝑀行四边形 𝐷𝐸𝐴𝑀．
𝐴𝑀 ⊂面𝐴𝐴1𝐵1𝐵𝐷𝐸 ⊄面𝐴𝐴1𝐵1𝐵
𝐷𝐸面𝐴𝐴1𝐵1𝐵．
18
解析 (1) 𝑀𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝑃𝐷MA 𝑃𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．
𝐵𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐷 ⊥ 𝐵𝐶．
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形𝐵𝐶 ⊥ 𝐷𝐶． 𝑃𝐷 ∩ 𝐷𝐶 𝐷
𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐷𝐶
△ 𝑃𝐵𝐶中𝐺𝐹分𝑃𝐵𝑃𝐶中点𝐺𝐹BC𝐺𝐹 ⊥面𝑃𝐷𝐶． 𝐺𝐹 ⊂面𝐸𝐹𝐺面𝐸𝐹𝐺 ⊥面𝑃𝐷𝐶．
(2) 𝑃𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形妨设𝑀𝐴 1𝑃𝐷 𝐴𝐷 2
𝑉 1 8
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 3 𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 ⋅ 𝑃𝐷 3．
𝐷𝐴 ⊥面𝑀𝐴𝐵𝑃𝐷MA
𝐷𝐴点𝑃面𝑀𝐴𝐵距离
𝑉 1
𝑃−𝑀𝐴𝐵 3 𝑆△𝑀𝐴𝐵 ⋅ 𝐷𝐴
1 ×
3
1 × 1 × 2 × 2 2．
2 3
𝑉𝑃−𝑀𝐴𝐵 𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 1 4．
19 C
解析 𝛽存直线𝑛𝑚行𝑚 ⊥ 𝛼知𝑛 ⊥ 𝛼𝛼 ⊥ 𝛽𝛼𝛽相交定垂直 矛盾．设𝛼 ∩ 𝛽 𝑎𝑚 ⊥ 𝛼知𝑚 ⊥ 𝑎𝛽必直线𝑚垂直．
20
解析 (1) 𝑃𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑃𝐷 ⊥ 𝐵𝐶
∵𝐴𝐵𝐶𝐷矩形
∴𝐵𝐶 ⊥ 𝐶𝐷
∵𝑃𝐷 ∩ 𝐶𝐷 𝐷
∴𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐷𝐶
∴𝐵𝐶 ⊥ 𝐷𝐸．
∵𝑃𝐷 𝐷𝐶𝐸𝑃𝐶中点
∴𝐷𝐸 ⊥ 𝑃𝐶
∵𝐵 ∩ 𝑃𝐶 𝐶
∴𝐷𝐸 ⊥面𝑃𝐵𝐶．
(2) 𝑉
𝑉 1
1 1 1
1 1 1 8．
𝑃−𝐴𝐷𝐸
𝐸−𝑃𝐴𝐷 2 𝑉𝐶−𝑃𝐴𝐷 2 𝑉𝑃−𝐷𝐴𝐶 2 × 3 ⋅ 𝑆△𝐷𝐴𝐶 ⋅ |𝑃𝐷| 2 × 2 × 4 × 2 × 4 × 3 3
(3) 存𝑀𝐴𝐶中点时𝑃𝐴面𝐸𝐷𝑀
时𝐴𝑀
1 𝐴𝐶
2
1 √42
2
+ 22
√5．
证明：∵𝐸𝑀分𝑃𝐶𝐴𝐶中点
∴𝐸𝑀𝑃𝐴
∵𝑃𝐴 ⊄面𝐸𝐷𝑀
𝐸𝑀 ⊂面𝐸𝐷𝑀
∴𝑃𝐴面𝐸𝐷𝑀．
21
解析 (1) 证明：图示取𝐴𝐵中点𝐸连接𝐷𝐸四边形𝐵𝐶𝐷𝐸矩形
𝐷𝐸 𝐶𝐵 2．
连接𝑆𝐸𝑆𝐸 ⊥ 𝐴𝐵𝑆𝐸 √3．
𝑆𝐷 1𝐸𝐷2 𝑆𝐸2 + 𝑆𝐷2∠𝐷𝑆𝐸直角．
𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐸𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐸𝐷𝐸 ∩ 𝑆𝐸 𝐸𝐴𝐵 ⊥面𝑆𝐷𝐸𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐷． 𝐴𝐵 ∩ 𝑆𝐸 𝐸𝑆𝐷 ⊥面𝑆𝐴𝐵．
(2) 𝐴𝐵 ⊥面𝑆𝐷𝐸𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷面𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊥面𝑆𝐷𝐸 作𝑆𝐹 ⊥ 𝐷𝐸垂足𝐹𝑆𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆𝐹 𝑆𝐷×𝑆𝐸 √3
𝐷𝐸 2
作𝐹𝐺 ⊥ 𝐵𝐶垂足𝐺𝐹𝐺 𝐷𝐶 1． 连接𝑆𝐺𝑆𝐺 ⊥ 𝐵𝐶
𝐹𝐺 ⊥ 𝐵𝐶𝑆𝐺 ∩ 𝐹𝐺 𝐺𝐵𝐶 ⊥面𝑆𝐹𝐺面𝑆𝐵𝐶 ⊥面𝑆𝐹𝐺 作𝐹𝐻 ⊥ 𝑆𝐺𝐻垂足𝐹𝐻 ⊥面𝑆𝐵𝐶．
𝐹𝐻 𝑆𝐹×𝐹𝐺 √3 √21𝐹面𝑆𝐵𝐶距离𝑑√21
𝑆𝐺 √7 7 7
𝐸𝐷𝐵𝐶𝐸𝐷面𝑆𝐵𝐶𝐸面𝑆𝐵𝐶距离𝑑√21．
设𝐴𝐵面𝑆𝐵𝐶成角𝛼sin 𝛼 𝑑
𝐸𝐵
7
√21． 7
22
解析 (1) 证明：图示设𝐴𝐶𝐵𝐷交点𝐺．
1
𝐸𝐹𝐴𝐺𝐸𝐹 1𝐴𝐺
𝐴𝐶 1四边形𝐴𝐺𝐸𝐹行四边形𝐴𝐹𝐸𝐺．
2
𝐸𝐺 ⊂面𝐵𝐷𝐸𝐴𝐹 ⊄面𝐵𝐷𝐸𝐴𝐹面𝐵𝐷𝐸．
(2) 证明：图连接𝐹𝐺．
𝐸𝐹𝐶𝐺𝐸𝐹 𝐶𝐺 1𝐶𝐸 1行四边形𝐶𝐸𝐹𝐺菱形𝐶𝐹 ⊥ 𝐸𝐺． 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶．
面𝐴𝐶𝐸𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷面𝐴𝐶𝐸𝐹 ∩面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶𝐵𝐷 ⊥面𝐴𝐶𝐸𝐹． 𝐶𝐹 ⊥ 𝐵𝐷．
𝐵𝐷 ∩ 𝐸𝐺 𝐺𝐶𝐹 ⊥面𝐵𝐷𝐸．
23
解析 (1) 证明：𝐸𝐹分𝐴𝐶𝐵1𝐶中点． 𝐸𝐹𝐴𝐵1
𝐸𝐹 ⊄面𝐴𝐵1𝐶1𝐴𝐵1 ⊂面𝐴𝐵1𝐶1 𝐸𝐹面𝐴𝐵1𝐶1．
(2) 证明：𝐵1𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐶 𝐵1𝐶 ⊥ 𝐴𝐵
𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶𝐴𝐶 ∩ 𝐵1𝐶 𝐶𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵1𝐶𝐵1𝐶 ⊂面𝐴𝐵1𝐶 𝐴𝐵 ⊥面𝐴𝐵1𝐶
𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐵1
面𝐴𝐵1𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐵1．
24
解析 (1) 连接𝑀𝑂∵𝑀𝑂分𝐷𝐷1𝐷𝐵中点
∴𝑀𝑂𝐷1𝐵
∵𝑀𝑂 ⊂面𝑀𝐴𝐶
𝐷1𝐵 ⊄面𝑀𝐴𝐶
∴𝐵𝐷1面𝑀𝐴𝐶．
(2) 取𝐶𝐶1中点𝑄连接𝐵𝑄 𝐴𝑀𝐵𝑄
∴∠1𝐵𝑄𝐴𝑀𝐵𝐷1成角 设正方体棱长2𝑎：
𝐷1𝐵 2√3𝑎𝐵𝑄 √5𝑎𝐷1𝑄 √5𝑎
cos ∠𝐷 𝐵𝑄 |12𝑎2+5𝑎2−5𝑎2| √15．
1 2⋅2√3𝑎⋅√5𝑎 5
(3) 设正方体棱长2𝑎
𝐵 𝑂 √𝐵 𝐵2 + 𝐵𝑂2 √(2𝑎)2 + (√2𝑎)2 √6𝑎
1 1
𝑂𝐶 √2𝑎
𝐵1𝑂2 + 𝑂𝐶2 𝐵1𝐶2
∴𝐵1𝑂 ⊥ 𝐴𝐶．
25
解析 (1) 证明：图取𝑃𝐶中点𝐹连接𝐸𝐹𝐷𝐹
∵ 𝐸𝑃𝐵中点
∴ 𝐸𝐹𝐵𝐶𝐸𝐹
∵ 𝐴𝐷𝐵𝐶𝐴𝐷
1 𝐵𝐶
2
1 𝐵𝐶
2
∴ 𝐸𝐹𝐴𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐷
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝐷行四边形
∴ 𝐴𝐸𝐷𝐹
𝐴𝐸 ⊄面𝑃𝐶𝐷𝐷𝐹 ⊂面𝑃𝐶𝐷
∴ 𝐴𝐸面𝑃𝐶𝐷．
(2) 证明：连接𝑂𝑃𝑂𝐶
∵ 𝑃𝐴 𝑃𝐷𝑂𝐴𝐷中点
∴ 𝑃𝑂 ⊥ 𝐴𝐷
∵面𝑃𝐴𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴ 𝑃𝑂 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴ 𝑃𝑂 ⊥ 𝑂𝐵
等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中利𝐵𝐶 2𝐴𝐷 4𝐴𝐵 √5 求𝑂𝐵 𝑂𝐶 2√2
∴ 𝑂𝐵2 + 𝑂𝐶2 𝐵𝐶2
∴ 𝑂𝐵 ⊥ 𝑂𝐶
∴ 𝑂𝐵 ⊥面𝑃𝑂𝐶
∴ 𝐵𝑂 ⊥ 𝑃𝐶．
26
解析 (1) 三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐴𝐴1𝐵𝐵1𝐴𝐴1 𝐵𝐵1
∴四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1行四边形
∴ 𝐴𝐵𝐴1𝐵1
∵ 𝐴𝐵 ⊄面𝐴1𝐵1𝐶𝐴1𝐵1 ⊂面𝐴1𝐵1𝐶
∴ 𝐴𝐵面𝐴1𝐵1𝐶
𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐸𝐹面𝐴𝐵𝐸𝐹 ∩面𝐴1𝐵1𝐶 𝐸𝐹
∴ 𝐸𝐹𝐴𝐵．
(2) ∵ 𝐵𝐵1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐶
∴ 𝐵𝐵1 ⊥ 𝐴𝐵
∵ ∠𝐴𝐵𝐶 90°𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶
𝐵𝐶 ∩ 𝐵𝐵1 𝐵𝐵𝐶𝐵𝐵1 ⊂面𝐵𝐵1𝐶
∴ 𝐴𝐵 ⊥面𝐵𝐵1𝐶 𝐵𝐸 ⊂面𝐵𝐵1𝐶
∴ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐸
(1)知𝐴𝐵𝐴1𝐵1
∴ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴1𝐵1
∵ 𝐵𝐶 𝐵𝐵1点𝐸𝐵1𝐶中点
∴ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐵1𝐶
𝐵1𝐶 ∩ 𝐴1𝐵1 𝐵1𝐵1𝐶𝐴1𝐵1 ⊂面𝐴1𝐵1𝐶
∴ 𝐵𝐸 ⊥面𝐴1𝐵1𝐶∵ 𝐵𝐸 ⊂面𝐴𝐵𝐸．
∴面𝐴𝐵𝐸 ⊥面𝐴1𝐵1𝐶．
27
解析 (1) 𝑃𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶
𝑃𝐹 ⊥ 𝐵𝐶𝑃𝐸 ∩ 𝑃𝐹 𝑃
𝑃𝐸 ⊂面𝑃𝐸𝐹
𝑃𝐹 ⊂面𝑃𝐸𝐹
𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐸𝐹． 𝐵𝐶 ⊂面𝑃𝐵𝐶
面𝑃𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐸𝐹．
(2) 连接𝐴𝐶交𝐵𝐷𝑂连接𝑂𝐺
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷行四边形 𝑂𝐴 𝑂𝐶
𝐺𝑃𝐴中点 𝑂𝐺PC
𝑂𝐺 ⊂面𝐵𝐷𝐺
𝑃𝐶 ⊄面𝐵𝐷𝐺
𝑃𝐶面𝐵𝐷𝐺．
28
解析 (1) 证明：题设知𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶．
△ 𝐴𝐵𝐶正三角形△ 𝑃𝐴𝐶 ≅△ 𝑃𝐴𝐵△ 𝑃𝐴𝐶 ≅△ 𝑃𝐵𝐶． ∠𝐴𝑃𝐶 90°∠𝐴𝑃𝐵 90°∠𝐵𝑃𝐶 90°．
𝑃𝐵 ⊥ 𝑃𝐴𝑃𝐵 ⊥ 𝑃𝐶𝑃𝐵 ⊥面𝑃𝐴𝐶 面𝑃𝐴𝐵 ⊥面𝑃𝐴𝐶．
(2) 设圆锥底面半径𝑟母线长𝑙． 题设𝑟𝑙 √3𝑙2 − 𝑟2 2．
解𝑟 1𝑙 √3． 𝐴𝐵 √3．
(1)𝑃𝐴2 + 𝑃𝐵2 𝐴𝐵2𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 √6．
2
三棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶体积
1 × 1
3 2
⋅ 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 ⋅ 𝑃𝐶
1 × 1
3 2
3
× (√6)
2
√6． 8
29
解析 (1) 图1中
1
𝐴𝐵 𝐵𝐶
∠𝐵𝐴𝐷 𝜋
2
𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐶
𝐴𝐷 𝑎𝐸𝐴𝐷中点
2
图2中𝐵𝐸 ⊥ 𝐴1𝑂𝐵𝐸 ⊥ 𝑂𝐶 𝐵𝐸 ⊥面𝐴1𝑂𝐶
𝐶𝐷𝐵𝐸
𝐶𝐷 ⊥面𝐴1𝑂𝐶．
(2) 面𝐴1𝐵𝐸 ⊥面𝐵𝐶𝐷𝐸𝑂𝐴1 ⊥ 𝐵𝐸 𝑂𝐴1 ⊥面𝐵𝐶𝐷𝐸
𝐴1𝑂四棱锥𝐴1 − 𝐵𝐶𝐷𝐸高
根图1出𝐴 𝑂 √ 2 𝐴𝐵 √2 𝑎
1 2 2
∴行四边形𝐵𝐶𝐷𝐸面积𝑆 𝐵𝐶 ⋅ 𝐴𝐵 𝑎2
1 1 2 √2
√2 3
𝑉 3 × 𝑆 × 𝐴1𝑂 3 × 𝑎
× 𝑎 𝑎
2 6
√2 𝑎3 36√2出𝑎 6．
6
30
解析 (1) 证明：图连接𝐶𝐸
1
∵ 𝐴𝐷𝐵𝐶𝐵𝐶
𝐴𝐷𝐸线段𝐴𝐷中点
2
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐸行四边形四边形𝐵𝐶𝐷𝐸行四边形
设𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐸 𝑂连接𝑂𝐹𝑂𝐴𝐶中点
∵ 𝐹线段𝑃𝐶中点
∴ 𝑃𝐴𝑂𝐹
∵ 𝑃𝐴 ⊄面𝐵𝐸𝐹𝑂𝐹 ⊂面𝐵𝐸𝐹
∴ 𝐴𝑃面𝐵𝐸𝐹．
(2) ∵四边形𝐵𝐶𝐷𝐸行四边形
∴ 𝐵𝐸𝐶𝐷
∵ 𝐴𝑃 ⊥面𝑃𝐶𝐷𝐶𝐷 ⊂面𝑃𝐶𝐷
∴ 𝐴𝑃 ⊥ 𝐶𝐷
∴ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝑃
∵ 𝐴𝐵 𝐵𝐶四边形𝐴𝐵𝐶𝐸行四边形
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐸菱形
∴ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐶
∵ 𝐴𝑃 ∩ 𝐴𝐶 𝐴
∴ 𝐵𝐸 ⊥面𝑃𝐴𝐶．
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1三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中侧棱𝐴𝐴1 ⊥底面𝐴1𝐵1𝐶1底面三角形𝐴1𝐵1𝐶1正三角形𝐸𝐵𝐶中
点列叙述正确（ ）．
A 𝐶𝐶1𝐵1𝐸异面直线
B 𝐴𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐵1𝐴1
C 𝐴𝐸𝐵1𝐶1异面直线𝐴𝐸 ⊥ 𝐵1𝐶1
D 𝐴1𝐶1面𝐴𝐵1𝐸
2图△ 𝐴𝐵𝐶等腰直角三角形中∠𝐴 90°𝐷𝐵 ⊥ 𝐵𝐶∠𝐵𝐶𝐷 30°现△
𝐴𝐵𝐶折起二面角𝐴 − 𝐵𝐶 − 𝐷面角直角列叙述正确( ) ① → →
𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶 0
②面𝐵𝐶𝐷法量面𝐴𝐶𝐷法量垂直
③异面直线𝐵𝐶𝐴𝐷成角60°
④直线𝐷𝐶面𝐴𝐵𝐶成角30°．
A ①③ B ①④ C ①③④ D ①②③④
3意直线𝑙面𝛼面𝛼必直线𝑚𝑚𝑙（ ）．
A 行 B 相交 C 垂直 D 互异面直线
4三棱锥𝑉 − 𝐴𝐵𝐶中侧面𝑉𝐵𝐶 ⊥底面𝐴𝐵𝐶∠𝐴𝐵𝐶 45°𝑉𝐴 𝑉𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵（ ）．
A 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶 B 𝑉𝐵 ⊥ 𝐴𝐶 C 𝑉𝐴 ⊥ 𝐵𝐶 D 𝑉𝐶 ⊥ 𝐴𝐵
5图正四面体𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中𝐷𝐸𝐹分棱𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴中点面四结中成立（ ）．
A 𝐵𝐶面𝑃𝐷𝐹 B 𝐷𝐹 ⊥面𝑃𝐴𝐸 C 面𝑃𝐷𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶 D 面𝑃𝐴𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶
6已知𝐴𝐵 ⊥面𝐴𝐶𝐷𝐷𝐸 ⊥面𝐴𝐶𝐷△ 𝐴𝐶𝐷等边三角形边长2𝑎𝐴𝐷 𝐷𝐸 2𝐴𝐵𝐹
𝐶𝐷中点．
(1) 求证：𝐴𝐹面𝐵𝐶𝐸
(2) 求证：面𝐵𝐶 ⊥面𝐶𝐷𝐸．
7列五正方体图形中𝑙正方体条体角线点𝑀𝑁𝑃分棱中点出𝑙 ⊥面𝑀𝑁𝑃图形序号 ．（写出符合求图形序号）．
8正四面体𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中𝐷𝐸𝐹分边𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴中点列四结中成立 （ ）．
A 𝐵𝐶面𝑃𝐷𝐹
B 𝐷𝐹 ⊥面𝑃𝐴𝐸
C 面𝑃𝐷𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶
D 面𝑃𝐴𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶
9图𝐴𝐵⊙ 𝑂直径𝐶圆周𝐴𝐵意点𝑃𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶四面体𝑃 −
𝐴𝐵𝐶四面中直角三角形数( )
A 4 B 3 C 2 D 1
10图𝐷圆锥顶点𝑂圆锥底面圆心𝐴𝐸底面直径𝐴𝐸 𝐴𝐷．△ 𝐴𝐵𝐶底面圆接正三角形𝑃𝐷𝑂点𝑃𝑂 √6 𝐷𝑂．
6
证明：𝑃𝐴 ⊥面𝑃𝐵𝐶．
11图三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐶𝐶1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺分𝐴𝐴1𝐴𝐶𝐴1𝐶1
𝐵𝐵1中点𝐴𝐵 𝐵𝐶 √5𝐴𝐶 𝐴𝐴1 2．
求证：𝐴𝐶 ⊥面𝐵𝐸𝐹．
12图底面菱形四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中∠𝐴𝐵𝐶 60°𝑃𝐴 𝐴𝐶 𝑎𝑃𝐵 𝑃𝐷
√2𝑎点𝐸𝑃𝐷𝑃𝐸 𝐸𝐷 2 1．
(1) 证明：𝑃𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．
(2) 棱𝑃𝐵否存点𝐹三棱锥𝐹 − 𝐴𝐵𝐶正三棱锥？证明结．
13图正方形𝑆𝐺1𝐺2𝐺3中𝐸𝐹分𝐺1𝐺2𝐺2𝐺3中点𝐷𝐸𝐹中点现𝑆𝐸
𝑆𝐹𝐸𝐹正方形折成四面体𝐺1𝐺2𝐺3三点重合重合点记𝐺四面体𝑆 − 𝐸𝐹𝐺中必（ ）．
A 𝑆𝐷 ⊥△ 𝐸𝐹𝐺面
B 𝑆𝐺 ⊥△ 𝐸𝐹𝐺面
C 𝐺𝐷 ⊥△ 𝑆𝐸𝐹面
D 𝐺𝐹 ⊥△ 𝑆𝐸𝐹面
14图梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵 1∠𝐵𝐶𝐷 120°四边形𝐵𝐹𝐸𝐷矩形面𝐵𝐹𝐸𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝐵𝐹 1．
求证：𝐴𝐷 ⊥面𝐵𝐹𝐸𝐷．
15设𝑚𝑛两条直线𝛼𝛽𝛾三面出列四命题：
①𝑚 ⊥ 𝛼𝑛𝛼𝑚 ⊥ 𝑛
②𝛼𝛽𝛽𝛾𝑚 ⊥ 𝛼𝑚 ⊥ 𝛾
③𝑚𝛼𝑛𝛼𝑚𝑛
④𝛼 ⊥ 𝛾𝛽 ⊥ 𝛾𝛼𝛽
中正确命题序号( )
A ①② B ②③ C ③④ D ①④
16图四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1底面𝐴𝐵𝐶𝐷行四边形𝐴𝐶 ⊥ 𝐶𝐵侧面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 ⊥底面
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐹分𝐴𝐵 𝐶1𝐷中点．
(1) 求证：𝐸𝐹面𝐵1𝐵𝐶𝐶1．
(2) 求证：𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶．
(3) 线段𝐸𝐹否存点𝐺𝐴𝐶 ⊥面𝐶1𝐷1𝐺？说明理．
17图三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵1 2𝐴𝐵1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶1 ⊥ 𝐴𝐶𝐷
𝐸分𝐴𝐶𝐵1𝐶1中点．
(1) 证明：𝐴𝐶 ⊥ 𝐵1𝐶1．
(2) 证明：𝐷𝐸面𝐴𝐴1𝐵1𝐵．
18图示体中四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形𝑀𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝑃𝐷MA𝐸𝐺𝐹分𝑀𝐵𝑃𝐵𝑃𝐶中点𝐴𝐷 𝑃𝐷 2𝑀𝐴．
(1) 求证：面𝐸𝐹𝐺 ⊥面𝑃𝐷𝐶．
(2) 求三棱锥𝑃 − 𝑀𝐴𝐵四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷体积．
19已知面𝛼面𝛽相交直线𝑚 ⊥ 𝛼( )
A 𝛽必存直线𝑚行存直线𝑚垂直
B 𝛽定存直线𝑚行定存直线𝑚垂直
C 𝛽定存直线𝑚行必存直线𝑚垂直
D 𝛽必存直线𝑚行定存直线𝑚垂直
20图四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中𝑃𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷底面𝐴𝐵𝐶𝐷矩形𝑃𝐷 𝐷𝐶 4𝐴𝐷
2𝐸𝑃𝐶中点．
(1) 求证：𝐷𝐸 ⊥面𝑃𝐵𝐶．
(2) 求三棱锥𝑃 − 𝐴𝐷𝐸体积．
(3) 线段𝐴𝐶否存点𝑀𝑃𝐴面𝐸𝐷𝑀存求出𝐴𝑀长．存请说明理．（题空间量解题）
21图示四棱锥𝑆 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐵𝐶𝐷𝐵𝐶 ⊥ 𝐶𝐷侧面𝑆𝐴𝐵等边三角形．𝐴𝐵
𝐵𝐶 2𝐶𝐷 𝑆𝐷 1．
(1) 证明：𝑆𝐷 ⊥面𝑆𝐴𝐵．
(2) 求𝐴𝐵面𝑆𝐵𝐶成角正弦值．
22图示正方形𝐴𝐵𝐶𝐷四边形𝐴𝐶𝐸𝐹面互相垂直．𝐸𝐹𝐴𝐶𝐴𝐵 √2
𝐶𝐸 𝐸𝐹 1．
(1) 求证：𝐴𝐹面𝐵𝐷𝐸．
(2) 求证：𝐶𝐹 ⊥面𝐵𝐷𝐸．
23三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶𝐵1𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐸𝐹分𝐴𝐶𝐵1𝐶中点．
(1) 求证：𝐸𝐹面𝐴𝐵1𝐶1．
(2) 求证：面𝐴𝐵1𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐵1．
24图正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中𝑀棱𝐷𝐷1中点𝑂线段𝐴𝐶中点．
(1) 证明：直线𝐵𝐷1面𝑀𝐴𝐶．
(2) 求异面直线𝐴𝑀𝐵𝐷1成角余弦值．
(3) 证明：𝐵1𝑂 ⊥ 𝐴𝐶．（题空间量解题）
25图四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中底面𝐴𝐵𝐶𝐷等腰梯形𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵𝐶 2𝐴𝐷 4𝑃𝐴
𝑃𝐷 𝐴𝐵 √5𝐸𝑃𝐵中点𝑂𝐴𝐷中点．
(1) 求证：𝐴𝐸面𝑃𝐶𝐷．
(2) 面𝑃𝐴𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷求证：𝐵𝑂 ⊥ 𝑃𝐶．
26三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1面𝐴1𝐵1𝐶截部分图示体𝐵𝐵1 ⊥面𝐴𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐶 90°𝐵𝐶 𝐵𝐵1𝐸棱𝐵1𝐶动点(包含端点)面𝐴𝐵𝐸交𝐴1𝐶点𝐹．
(1) 求证：𝐸𝐹𝐴𝐵．
(2) 点𝐸𝐵1𝐶中点求证：面𝐴𝐵𝐸 ⊥面𝐴1𝐵1𝐶．
27图四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷底面行四边形点𝐸𝐹分𝐶𝐷𝐵𝐶𝐺𝑃𝐴中点
𝑃𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．
(1) 𝑃𝐹 ⊥ 𝐵𝐶求证：面𝑃𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐸𝐹
(2) 求证：𝑃𝐶面𝐵𝐷𝐺．
28图𝐷圆锥顶点𝑂圆锥底面圆心△ 𝐴𝐵𝐶底面接正三角形𝑃𝐷𝑂点
∠𝐴𝑃𝐶 90°．
(1) 证明：面𝑃𝐴𝐵 ⊥面𝑃𝐴𝐶．
(2) 设𝐷𝑂 √2圆锥侧面积√3𝜋求三棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶体积．
29图直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐷𝐵𝐶∠𝐵𝐴𝐷 𝜋𝐴𝐵 𝐵𝐶 1 𝐴𝐷 𝑎𝐸𝐴𝐷中点
2 2
𝑂𝐴𝐶𝐵𝐸交点．△ 𝐴𝐵𝐸𝐵𝐸折起图2中△ 𝐴1𝐵𝐸位置四棱锥𝐴1 − 𝐵𝐶𝐷𝐸．
(1) 证明：𝐶𝐷 ⊥面𝐴1𝑂𝐶．
(2) 面𝐴1𝐵𝐸 ⊥面𝐵𝐶𝐷𝐸时四棱锥𝐴1 − 𝐵𝐶𝐷𝐸体积36√2求𝑎值．
30图四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝑃 ⊥面𝑃𝐶𝐷𝐴𝐷𝐵𝐶𝐴𝐵 𝐵𝐶 1 𝐴𝐷𝐸𝐹分线段
2
𝐴𝐷𝑃𝐶中点．
(1) 求证：𝐴𝑃面𝐵𝐸𝐹．
(2) 求证：𝐵𝐸 ⊥面𝑃𝐴𝐶．
2021 春季第 8 讲空间垂直问题姣姐精编题解析
1 C
解析 A 选项 𝐶𝐶1 𝐵1𝐸 面𝐶𝐶1𝐵1𝐵 异面直线A错误
B 选项 𝐴𝐶 ⊥ 面𝐴𝐵𝐵1𝐴1 𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐵1𝐴1∴𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝐵
题干知三角形𝐴1𝐵1𝐶1 正三角形∴𝐴𝐶 𝐴𝐵 成60° 矛盾B 错误
C 选项 题图知𝐴𝐸 𝐵1𝐶1 异面直线
∵𝐸 𝐵𝐶 中点三角形𝐴𝐵𝐶 正三角形∴𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶 𝐵𝐶𝐵1𝐶1 ∴𝐴𝐸 ⊥ 𝐵1𝐶1 C正确
D 选项 𝐴1𝐶1面𝐴𝐵1𝐸 ∵𝐴𝐶𝐴1𝐶1 ∴𝐴𝐶 面𝐴𝐵1𝐸
𝐴𝐶面𝐴𝐵1𝐸相交 矛盾D 错误．
2 B
→ →
解析 ∵面𝐴𝐵𝐶 ∩面𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶𝐵𝐷 ⊥ 𝐵𝐶∴ 𝐵𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶∴ 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶∴
𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶
0①正确∵面𝐵𝐶𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶∴面𝐵𝐶𝐷面𝐴𝐶𝐷垂直∴面𝐵𝐶𝐷法量面
𝐴𝐶𝐷法量垂直②错误分取𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐷中点𝐸𝐹𝐺连接𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺
𝐵𝐹．∵ 𝐸𝐹𝐵𝐶𝐸𝐺𝐴𝐷∴ ∠𝐹𝐸𝐺补角直线𝐵𝐶𝐴𝐷成角．设𝐵𝐷 2𝐵𝐶
2√3𝐴𝐵 𝐴𝐶 √6∴ 𝐸𝐹 √3．∴ 𝐴𝐷 √10∴ 𝐸𝐺 √ 10．∵直角三角形𝐵𝐹𝐺中∠𝐺𝐵𝐹
2
5 17
90°𝐵𝐺 1𝐵𝐹 √ 30∴ 𝐹𝐺 √34∴ cos ∠𝐹𝐸𝐺 3+2− 2 − √30 ∴
𝐵𝐶𝐴𝐷
2 2 2
3×√ 10
异面直线
10
√ 2
成角arccos √ 30③错误∵ 𝐵𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶∴ ∠𝐵𝐶𝐷直线𝐷𝐶面𝐴𝐵𝐶成角∴直
10
线𝐷𝐶面𝐴𝐵𝐶成角30°④正确．综选 B．
3 C
解析 意直线𝑙面𝛼分两种情况：
（1）直线𝑙 ⊂ 𝛼𝑙𝑚面直线存直线𝑚 ⊥ 𝑙𝑚𝑙
（2）𝑙面𝛼𝑙 ⊥ 𝛼面𝛼意条直线垂直𝑙𝑙𝛼垂直射影面𝛼条直线面𝛼必存直线𝑚垂直射影𝑚𝑙垂直𝑙𝛼存直线𝑚 ⊥ 𝑙．
综述意直线𝑙面𝛼面𝛼必直线𝑚𝑚𝑙垂直．选C．
4 C
解析 A 选项 ∵∠𝐴𝐵𝐶 45∘𝐴𝐶 𝐴𝐵∴∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 45∘．A错误．
B 选项 𝑉𝐵 ⊥ 𝐴𝐶𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝑉𝐵 ⊂面𝑉𝐵𝐶面𝑉𝐵𝐶 ⊥ 面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶 ⊥ 面
𝑉𝐵𝐶∠𝐴𝐶𝐵 45∘矛盾B错误．
C 选项 取𝐵𝐶边中点𝐷连接𝐴𝐷𝑉𝐷．
∵𝑉𝐴 𝑉𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵．∴𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶𝑉𝐷 ⊥ 𝐵𝐶． 𝐴𝐷 ⊂面𝐴𝐷𝑉𝑉𝐷 ⊂面𝐴𝐷𝑉𝐴𝐷 ∩ 𝑉𝐷 𝐷
∴𝐵𝐶 ⊥ 面𝐴𝐷𝑉𝑉𝐴 ⊂面𝐴𝐷𝑉∴𝑉𝐴 ⊥ 𝐵𝐶．C正确．
D 选项 𝑉𝐶 ⊥ 𝐴𝐵𝑉𝐶 ⊂面𝑉𝐵𝐶𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐶面𝑉𝐵𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐶． 𝐴𝐵 ⊥ 面𝑉𝐵𝐶∠𝐴𝐵𝐶 45∘矛盾D错误．
5 C
解析 正四面体𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中𝐷𝐹分边𝐴𝐵𝐴𝐶中点显然𝐷𝐹𝐵𝐶𝐵𝐶面
𝑃𝐷𝐹假设𝑃点底面射影点𝑂𝑂𝑃 ⊥ 𝐴𝐸𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶𝐷𝐹 ⊥面𝑃𝐴𝐸𝑂𝑃 ⊥
面𝐴𝐵𝐶𝑂𝑃面𝑃𝐷𝐸相交面𝑃𝐷𝐹面𝐴𝐵𝐶垂直𝑂点直线𝐴𝐸面
𝑃𝐴𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶．
6
解析 (1) 图取𝐶𝐸中点𝐺连接𝐹𝐺𝐵𝐺．
𝐴𝐵 ⊥面𝐴𝐶𝐷𝐷𝐸 ⊥面𝐴𝐶𝐷𝐴𝐵𝐷𝐸．
1
𝐹𝐶𝐷中点𝐺𝐹𝐷𝐸𝐺𝐹
1
𝐷𝐸
2
𝐺𝐹𝐴𝐵．𝐴𝐵
𝐷𝐸𝐺𝐹 𝐴𝐵．
2
四边形𝐺𝐹𝐴𝐵行四边形𝐴𝐹𝐵𝐺．
𝐴𝐹 ⊄面𝐵𝐶𝐸𝐵𝐺 ⊂面𝐵𝐶𝐸𝐴𝐹面𝐵𝐶𝐸．
(2) ∵△ 𝐴𝐶𝐷正三角形∴𝐴𝐹 ⊥ 𝐶𝐷．
∵𝐷𝐸 ⊥面𝐴𝐶𝐷
𝐴𝐹 ⊂面𝐴𝐶𝐷∴𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐹．
𝐴𝐹 ⊥ 𝐶𝐷𝐶𝐷 ∩ 𝐷𝐸 𝐷∴𝐴𝐹 ⊥面𝐶𝐷𝐸． 𝐵𝐺AF∴𝐵𝐺 ⊥面𝐶𝐷𝐸．
∵𝐵𝐺 ⊂面𝐵𝐶𝐸∴面𝐵𝐶𝐸 ⊥面𝐶𝐷𝐸．
7 ①④⑤
解析
设定正方体顶点图连接𝐷𝐵𝐴𝐶
∵ 𝑀𝑁分𝐴𝐷𝐶𝐷中点
∴ 𝑀𝑁AC
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形
∴ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷
∵ 𝐵𝐵′ ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴ 𝐵𝐵′ ⊥ 𝐴𝐶
∵ 𝐵𝐵′ ∩ 𝐷𝐵 𝐵𝐵𝐵′ ⊂面𝐷𝐵𝐵′𝐵𝐷 ⊂面𝐷𝐵𝐵′
∴ 𝐴𝐶 ⊥面𝐷𝐵𝐵′
∵ 𝐷𝐵′ ⊂面𝐷𝐵𝐵′
∴ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐷𝐵′
∵ 𝑀𝑁AC
∴ 𝐷𝐵′ ⊥ 𝑀𝑁
理证𝐷𝐵′ ⊥ 𝑀𝑃𝐷𝐵′ ⊥ 𝑁𝐹
∵ 𝑀𝑃 ∩ 𝑁𝑃 𝑃𝑀𝐹 ⊂面𝑀𝑁𝑃𝑁𝐹 ⊂面𝑀𝑁𝑃
∴ 𝐷𝐵′ ⊥面𝑀𝑁𝑃𝑙垂直面𝑀𝑁𝑃①正确
④中①中证明知𝑙 ⊥ 𝑀𝑃
∵ 𝑀𝑁AC
𝐴𝐶 ⊥ 𝑙
∴ 𝑙 ⊥ 𝑀𝑁
∴ 𝑙 ⊥面𝑀𝑁𝑃
理证明⑤中𝑙 ⊥面𝑀𝑁𝑃．
8 C
解析 A选项图示
点𝐷𝐹分线段𝐴𝐵𝐴𝐶中点 𝐷𝐹𝐵𝐶𝐵𝐶 ⊄面𝑃𝐷𝐹
𝐵𝐶面𝑃𝐷𝐹A项符合题意
B选项图示
𝑃 − 𝐴𝐵𝐶正四面体
△ 𝐴𝐵𝐶△ 𝑃𝐵𝐶正三角形点𝐸𝐵𝐶中点𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶 A选项知𝐷𝐹𝐵𝐶𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐸𝐷𝐹 ⊥ 𝑃𝐸𝑃𝐸 ∩ 𝐴𝐸 𝐸
𝐷𝐹 ⊥面𝑃𝐴𝐸B项合题意 C选项图示
点𝑃作底面𝐴𝐵𝐶垂线
根正四面体性质知垂足𝐺△ 𝐴𝐵𝐶重心𝑃𝐺 ⊥面𝐴𝐵𝐶 根三角形重心性质知𝐺点𝐷𝐹
直线𝑃𝐺面𝑃𝐷𝐹相交𝑃点
面𝑃𝐷𝐹面𝐴𝐵𝐶垂直选项C符合题意
D选项图示
C项正三角形性质知点𝐺线段𝐴𝐸𝑃𝐺 ⊥面𝐴𝐵𝐶． 𝑃𝐺 ⊂面𝑃𝐴𝐸𝑃𝐺 ⊄面𝐴𝐵𝐶
面𝑃𝐴𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶D项合题意．
9 A
解析 ∵ 𝐴𝐵圆𝑂直径 ∴ ∠𝐴𝐶𝐵 90°𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐶三角形𝐴𝐵𝐶直角三角形 ∵
𝑃𝐴 ⊥圆𝑂面 ∴△ 𝑃𝐴𝐶△ 𝑃𝐴𝐵直角三角形． 𝐵𝐶面 ∴ 𝑃𝐴 ⊥ 𝐵𝐶
𝐵𝐶垂直面𝑃𝐴𝐶中两条相交直线 ∴ 𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐴𝐶 ∴△ 𝑃𝐵𝐶直角三角形 △ 𝑃𝐴𝐵△
𝑃𝐴𝐶△ 𝐴𝐵𝐶△ 𝑃𝐵𝐶直角三角形∴四面体𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中直角三角形数4． 选：A．
10
解析 设𝐷𝑂 𝑎题设𝑃𝑂 √ 6 𝑎𝐴𝑂 √ 3 𝑎𝐴𝐵 𝑎𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 √ 2 𝑎
6 3 2
𝑃𝐴2 + 𝑃𝐵2 𝐴𝐵2𝑃𝐴 ⊥ 𝑃𝐵
𝑃𝐴2 + 𝑃𝐶2 𝐴𝐶2𝑃𝐴 ⊥ 𝑃𝐶 𝑃𝐴 ⊥面𝑃𝐵𝐶．
11
解析 ∵𝐴𝐵 𝐵𝐶𝐸𝐴𝐶中点
∴𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐸
∵三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐸𝐹分𝐴𝐶𝐴1𝐶1中点
∴𝐸𝐹𝐶𝐶1
∵𝐶𝐶1 ⊥面𝐴𝐵𝐶
∴𝐸𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶
∵𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶
∴𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶
∵𝐸𝐹𝐵𝐸 ⊂面𝐵𝐸𝐹𝐸𝐹 ∩ 𝐵𝐸 𝐸
∴𝐴𝐶 ⊥面𝐵𝐸𝐹．
12
解析 (1) ∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷菱形∠𝐴𝐵𝐶 60°
∴𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝑎．
△ 𝑃𝐴𝐵中𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝑎知𝑃𝐴2 + 𝐴𝐵2 2𝑎2 𝑃𝐵2𝑃𝐴 ⊥ 𝐴𝐵． 理𝑃𝐴 ⊥ 𝐴𝐷．
𝐴𝐵 ∩ 𝐴𝐷 𝐴
∴𝑃𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．
(2) 棱𝑃𝐵存点𝐹三棱锥𝐹 − 𝐴𝐵𝐶正三棱锥．
事实假设棱𝑃𝐵存点𝐹三棱锥𝐹 − 𝐴𝐵𝐶正三棱锥． 𝐹作底面𝐴𝐵𝐶垂线垂直𝑂𝑂△ 𝐴𝐵𝐶中心
面𝑃𝐴𝐵𝐹作𝐹𝑀𝑃𝐴交𝐴𝐵𝑀𝐹𝑀 ⊥面𝑃𝐴𝐵
样面𝐴𝐵𝐶外点𝐹两条直线𝐹𝑂𝐹𝑀面𝐴𝐵𝐶垂直错误． 假设成立棱𝑃𝐵存点𝐹三棱锥𝐹 − 𝐴𝐵𝐶正三棱锥． 13 B
解析 ∵折叠程中始终𝑆𝐺1 ⊥ 𝐺1𝐸𝑆𝐺3 ⊥ 𝐺3𝐹 𝑆𝐺 ⊥ 𝐺𝐸𝑆𝐺 ⊥ 𝐺
∴𝑆𝐺 ⊥面𝐸𝐹𝐺．选B．
14
解析 梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中
∵𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵 1∠𝐵𝐶𝐷 120°∴𝐴𝐵 2．
∴𝐵𝐷2 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 − 2𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐷 ⋅ cos 60° 3
∴𝐴𝐵2 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2∴𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐷．
∵面𝐵𝐹𝐸𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷面𝐵𝐹𝐸𝐷 ∩面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷𝐷𝐸 ⊂面𝐵𝐹𝐸𝐷𝐷𝐸 ⊥ 𝐷𝐵
∴𝐷𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐷𝐷𝐸 ∩ 𝐵𝐷 𝐷
∴𝐴𝐷 ⊥面𝐵𝐹𝐸𝐷．
15 A
解析 ①𝑛𝛼𝑛作面𝛽𝛽 ∩ 𝛼 𝑙𝑛𝑙 𝑚 ⊥ 𝛼𝑙 ⊂ 𝛼𝑚 ⊥ 𝑙结合𝑛𝑙𝑚 ⊥ 𝑛．①真命题
②𝛼𝛽𝛽𝛾𝛼𝛾结合𝑚 ⊥ 𝛼𝑚 ⊥ 𝛾②真命题 ③设直线𝑚𝑛位正方体底面面相交直线
面𝛼正方体底面面
𝑚𝛼𝑛𝛼成立推出𝑚𝑛③正确
④设面𝛼𝛽𝛾位正方体顶点三面 𝛼 ⊥ 𝛾𝛽 ⊥ 𝛾𝛼 ⊥ 𝛽推出𝛼𝛽④正确．
综述中正确命题序号①② 选：A．
16
解析 (1) 方法：
取𝐶𝐶1中点𝑀连接𝐹𝑀𝐵𝑀． △ 𝐶𝐶1𝐷中
𝐹 𝑀分𝐶1𝐷 𝐶1𝐶中点
1
𝐹𝑀𝐶𝐷𝐹𝑀
𝐶𝐷．
2
行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐶𝐷𝐴𝐵𝐸𝐴𝐵中点
𝐹𝑀𝐸𝐵𝐹𝑀 𝐸𝐵．
四边形𝐹𝑀𝐵𝐸行四边形． 𝐸𝐹𝐵𝑀．
𝐵𝑀 ⊂面𝐵1𝐵𝐶𝐶1𝐸𝐹 ⊄面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 𝐸𝐹面1𝐵𝐶𝐶1．
方法二：
取𝐶𝐷中点𝑀连接𝐹𝑀𝐸𝑀． △ 𝐶𝐶1𝐷中
𝐹 𝑀分𝐶1𝐷 𝐶𝐷中点
𝐹𝑀𝐶𝐶1．
行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐸 𝑀分𝐴𝐵 𝐶𝐷中点 𝐸𝑀𝐶𝐵．
𝐸𝑀 ∩ 𝐹𝑀 𝑀𝐸𝑀 𝐹𝑀 ⊂面𝐸𝐹𝑀𝐶𝐶1 ∩ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐶1 𝐶𝐵 ⊂面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 面𝐸𝐹𝑀面𝐵1𝐵𝐶𝐶1．
𝐸𝐹 ⊂面𝐸𝐹𝑀
𝐸𝐹面𝐵1𝐵𝐶𝐶1．
(2) 面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷 面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 ∩面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶
𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 ⊥面𝐵1𝐵𝐶𝐶1．
(1)知𝐸𝐹面𝐵1𝐵𝐶𝐶1𝐸𝐹 ⊄面𝐵1𝐵𝐶𝐶1 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶．
(3) 线段𝐸𝐹存点𝐺𝐴𝐶 ⊥面𝐶1𝐷1𝐺． 假设存点𝐺𝐴𝐶 ⊥面𝐶1𝐷1𝐺
𝐶1𝐷1 ⊂面𝐶1𝐷1𝐺 𝐴𝐶 ⊥ 𝐶1𝐷1．
𝐴𝐶𝐶1𝐷1垂直矛盾．
线段𝐸𝐹存点𝐺𝐴𝐶 ⊥面𝐶1𝐷1𝐺．
17
解析 (1) 𝐴𝐵1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵1 ⊥ 𝐴𝐶．
𝐴𝐶1 ⊥ 𝐴𝐶𝐴𝐵1 ∩ 𝐴𝐶1 𝐴𝐴𝐵1𝐴𝐶1 ⊂面𝐴𝐵1𝐶1 𝐴𝐶 ⊥面𝐴𝐵1𝐶1．
𝐵1𝐶1 ⊂面𝐴𝐵1𝐶1 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵1𝐶1．
(2) 取𝐴1𝐵1中点𝑀连接𝑀𝐴𝑀𝐸．
1
𝐸𝑀分𝐵1𝐶1𝐴1𝐵1中点 𝑀𝐸𝐴1𝐶1𝑀𝐸 2 𝐴1𝐶1．
1
三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐴𝐷𝐴1𝐶1𝐴𝐷 2 𝐴1𝐶1
𝑀𝐸𝐴𝐷𝑀𝐸 𝐴𝐷
四边形𝐴𝐷𝐸𝑀行四边形 𝐷𝐸𝐴𝑀．
𝐴𝑀 ⊂面𝐴𝐴1𝐵1𝐵𝐷𝐸 ⊄面𝐴𝐴1𝐵1𝐵
𝐷𝐸面𝐴𝐴1𝐵1𝐵．
18
解析 (1) 𝑀𝐴 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝑃𝐷MA 𝑃𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷．
𝐵𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐷 ⊥ 𝐵𝐶．
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形𝐵𝐶 ⊥ 𝐷𝐶． 𝑃𝐷 ∩ 𝐷𝐶 𝐷
𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐷𝐶
△ 𝑃𝐵𝐶中𝐺𝐹分𝑃𝐵𝑃𝐶中点𝐺𝐹BC𝐺𝐹 ⊥面𝑃𝐷𝐶． 𝐺𝐹 ⊂面𝐸𝐹𝐺面𝐸𝐹𝐺 ⊥面𝑃𝐷𝐶．
(2) 𝑃𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形妨设𝑀𝐴 1𝑃𝐷 𝐴𝐷 2
𝑉 1 8
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 3 𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 ⋅ 𝑃𝐷 3．
𝐷𝐴 ⊥面𝑀𝐴𝐵𝑃𝐷MA
𝐷𝐴点𝑃面𝑀𝐴𝐵距离
𝑉 1
𝑃−𝑀𝐴𝐵 3 𝑆△𝑀𝐴𝐵 ⋅ 𝐷𝐴
1 ×
3
1 × 1 × 2 × 2 2．
2 3
𝑉𝑃−𝑀𝐴𝐵 𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 1 4．
19 C
解析 𝛽存直线𝑛𝑚行𝑚 ⊥ 𝛼知𝑛 ⊥ 𝛼𝛼 ⊥ 𝛽𝛼𝛽相交定垂直 矛盾．设𝛼 ∩ 𝛽 𝑎𝑚 ⊥ 𝛼知𝑚 ⊥ 𝑎𝛽必直线𝑚垂直．
20
解析 (1) 𝑃𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑃𝐷 ⊥ 𝐵𝐶
∵𝐴𝐵𝐶𝐷矩形
∴𝐵𝐶 ⊥ 𝐶𝐷
∵𝑃𝐷 ∩ 𝐶𝐷 𝐷
∴𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐷𝐶
∴𝐵𝐶 ⊥ 𝐷𝐸．
∵𝑃𝐷 𝐷𝐶𝐸𝑃𝐶中点
∴𝐷𝐸 ⊥ 𝑃𝐶
∵𝐵 ∩ 𝑃𝐶 𝐶
∴𝐷𝐸 ⊥面𝑃𝐵𝐶．
(2) 𝑉
𝑉 1
1 1 1
1 1 1 8．
𝑃−𝐴𝐷𝐸
𝐸−𝑃𝐴𝐷 2 𝑉𝐶−𝑃𝐴𝐷 2 𝑉𝑃−𝐷𝐴𝐶 2 × 3 ⋅ 𝑆△𝐷𝐴𝐶 ⋅ |𝑃𝐷| 2 × 2 × 4 × 2 × 4 × 3 3
(3) 存𝑀𝐴𝐶中点时𝑃𝐴面𝐸𝐷𝑀
时𝐴𝑀
1 𝐴𝐶
2
1 √42
2
+ 22
√5．
证明：∵𝐸𝑀分𝑃𝐶𝐴𝐶中点
∴𝐸𝑀𝑃𝐴
∵𝑃𝐴 ⊄面𝐸𝐷𝑀
𝐸𝑀 ⊂面𝐸𝐷𝑀
∴𝑃𝐴面𝐸𝐷𝑀．
21
解析 (1) 证明：图示取𝐴𝐵中点𝐸连接𝐷𝐸四边形𝐵𝐶𝐷𝐸矩形
𝐷𝐸 𝐶𝐵 2．
连接𝑆𝐸𝑆𝐸 ⊥ 𝐴𝐵𝑆𝐸 √3．
𝑆𝐷 1𝐸𝐷2 𝑆𝐸2 + 𝑆𝐷2∠𝐷𝑆𝐸直角．
𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐸𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐸𝐷𝐸 ∩ 𝑆𝐸 𝐸𝐴𝐵 ⊥面𝑆𝐷𝐸𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐷． 𝐴𝐵 ∩ 𝑆𝐸 𝐸𝑆𝐷 ⊥面𝑆𝐴𝐵．
(2) 𝐴𝐵 ⊥面𝑆𝐷𝐸𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷面𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊥面𝑆𝐷𝐸 作𝑆𝐹 ⊥ 𝐷𝐸垂足𝐹𝑆𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆𝐹 𝑆𝐷×𝑆𝐸 √3
𝐷𝐸 2
作𝐹𝐺 ⊥ 𝐵𝐶垂足𝐺𝐹𝐺 𝐷𝐶 1． 连接𝑆𝐺𝑆𝐺 ⊥ 𝐵𝐶
𝐹𝐺 ⊥ 𝐵𝐶𝑆𝐺 ∩ 𝐹𝐺 𝐺𝐵𝐶 ⊥面𝑆𝐹𝐺面𝑆𝐵𝐶 ⊥面𝑆𝐹𝐺 作𝐹𝐻 ⊥ 𝑆𝐺𝐻垂足𝐹𝐻 ⊥面𝑆𝐵𝐶．
𝐹𝐻 𝑆𝐹×𝐹𝐺 √3 √21𝐹面𝑆𝐵𝐶距离𝑑√21
𝑆𝐺 √7 7 7
𝐸𝐷𝐵𝐶𝐸𝐷面𝑆𝐵𝐶𝐸面𝑆𝐵𝐶距离𝑑√21．
设𝐴𝐵面𝑆𝐵𝐶成角𝛼sin 𝛼 𝑑
𝐸𝐵
7
√21． 7
22
解析 (1) 证明：图示设𝐴𝐶𝐵𝐷交点𝐺．
1
𝐸𝐹𝐴𝐺𝐸𝐹 1𝐴𝐺
𝐴𝐶 1四边形𝐴𝐺𝐸𝐹行四边形𝐴𝐹𝐸𝐺．
2
𝐸𝐺 ⊂面𝐵𝐷𝐸𝐴𝐹 ⊄面𝐵𝐷𝐸𝐴𝐹面𝐵𝐷𝐸．
(2) 证明：图连接𝐹𝐺．
𝐸𝐹𝐶𝐺𝐸𝐹 𝐶𝐺 1𝐶𝐸 1行四边形𝐶𝐸𝐹𝐺菱形𝐶𝐹 ⊥ 𝐸𝐺． 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷正方形𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶．
面𝐴𝐶𝐸𝐹 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷面𝐴𝐶𝐸𝐹 ∩面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶𝐵𝐷 ⊥面𝐴𝐶𝐸𝐹． 𝐶𝐹 ⊥ 𝐵𝐷．
𝐵𝐷 ∩ 𝐸𝐺 𝐺𝐶𝐹 ⊥面𝐵𝐷𝐸．
23
解析 (1) 证明：𝐸𝐹分𝐴𝐶𝐵1𝐶中点． 𝐸𝐹𝐴𝐵1
𝐸𝐹 ⊄面𝐴𝐵1𝐶1𝐴𝐵1 ⊂面𝐴𝐵1𝐶1 𝐸𝐹面𝐴𝐵1𝐶1．
(2) 证明：𝐵1𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐶 𝐵1𝐶 ⊥ 𝐴𝐵
𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶𝐴𝐶 ∩ 𝐵1𝐶 𝐶𝐴𝐶 ⊂面𝐴𝐵1𝐶𝐵1𝐶 ⊂面𝐴𝐵1𝐶 𝐴𝐵 ⊥面𝐴𝐵1𝐶
𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐵1
面𝐴𝐵1𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐵1．
24
解析 (1) 连接𝑀𝑂∵𝑀𝑂分𝐷𝐷1𝐷𝐵中点
∴𝑀𝑂𝐷1𝐵
∵𝑀𝑂 ⊂面𝑀𝐴𝐶
𝐷1𝐵 ⊄面𝑀𝐴𝐶
∴𝐵𝐷1面𝑀𝐴𝐶．
(2) 取𝐶𝐶1中点𝑄连接𝐵𝑄 𝐴𝑀𝐵𝑄
∴∠1𝐵𝑄𝐴𝑀𝐵𝐷1成角 设正方体棱长2𝑎：
𝐷1𝐵 2√3𝑎𝐵𝑄 √5𝑎𝐷1𝑄 √5𝑎
cos ∠𝐷 𝐵𝑄 |12𝑎2+5𝑎2−5𝑎2| √15．
1 2⋅2√3𝑎⋅√5𝑎 5
(3) 设正方体棱长2𝑎
𝐵 𝑂 √𝐵 𝐵2 + 𝐵𝑂2 √(2𝑎)2 + (√2𝑎)2 √6𝑎
1 1
𝑂𝐶 √2𝑎
𝐵1𝑂2 + 𝑂𝐶2 𝐵1𝐶2
∴𝐵1𝑂 ⊥ 𝐴𝐶．
25
解析 (1) 证明：图取𝑃𝐶中点𝐹连接𝐸𝐹𝐷𝐹
∵ 𝐸𝑃𝐵中点
∴ 𝐸𝐹𝐵𝐶𝐸𝐹
∵ 𝐴𝐷𝐵𝐶𝐴𝐷
1 𝐵𝐶
2
1 𝐵𝐶
2
∴ 𝐸𝐹𝐴𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐷
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝐷行四边形
∴ 𝐴𝐸𝐷𝐹
𝐴𝐸 ⊄面𝑃𝐶𝐷𝐷𝐹 ⊂面𝑃𝐶𝐷
∴ 𝐴𝐸面𝑃𝐶𝐷．
(2) 证明：连接𝑂𝑃𝑂𝐶
∵ 𝑃𝐴 𝑃𝐷𝑂𝐴𝐷中点
∴ 𝑃𝑂 ⊥ 𝐴𝐷
∵面𝑃𝐴𝐷 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴ 𝑃𝑂 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴ 𝑃𝑂 ⊥ 𝑂𝐵
等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中利𝐵𝐶 2𝐴𝐷 4𝐴𝐵 √5 求𝑂𝐵 𝑂𝐶 2√2
∴ 𝑂𝐵2 + 𝑂𝐶2 𝐵𝐶2
∴ 𝑂𝐵 ⊥ 𝑂𝐶
∴ 𝑂𝐵 ⊥面𝑃𝑂𝐶
∴ 𝐵𝑂 ⊥ 𝑃𝐶．
26
解析 (1) 三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中𝐴𝐴1𝐵𝐵1𝐴𝐴1 𝐵𝐵1
∴四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1行四边形
∴ 𝐴𝐵𝐴1𝐵1
∵ 𝐴𝐵 ⊄面𝐴1𝐵1𝐶𝐴1𝐵1 ⊂面𝐴1𝐵1𝐶
∴ 𝐴𝐵面𝐴1𝐵1𝐶
𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐸𝐹面𝐴𝐵𝐸𝐹 ∩面𝐴1𝐵1𝐶 𝐸𝐹
∴ 𝐸𝐹𝐴𝐵．
(2) ∵ 𝐵𝐵1 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵 ⊂面𝐴𝐵𝐶
∴ 𝐵𝐵1 ⊥ 𝐴𝐵
∵ ∠𝐴𝐵𝐶 90°𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶
𝐵𝐶 ∩ 𝐵𝐵1 𝐵𝐵𝐶𝐵𝐵1 ⊂面𝐵𝐵1𝐶
∴ 𝐴𝐵 ⊥面𝐵𝐵1𝐶 𝐵𝐸 ⊂面𝐵𝐵1𝐶
∴ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐸
(1)知𝐴𝐵𝐴1𝐵1
∴ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴1𝐵1
∵ 𝐵𝐶 𝐵𝐵1点𝐸𝐵1𝐶中点
∴ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐵1𝐶
𝐵1𝐶 ∩ 𝐴1𝐵1 𝐵1𝐵1𝐶𝐴1𝐵1 ⊂面𝐴1𝐵1𝐶
∴ 𝐵𝐸 ⊥面𝐴1𝐵1𝐶∵ 𝐵𝐸 ⊂面𝐴𝐵𝐸．
∴面𝐴𝐵𝐸 ⊥面𝐴1𝐵1𝐶．
27
解析 (1) 𝑃𝐸 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐶 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶
𝑃𝐹 ⊥ 𝐵𝐶𝑃𝐸 ∩ 𝑃𝐹 𝑃
𝑃𝐸 ⊂面𝑃𝐸𝐹
𝑃𝐹 ⊂面𝑃𝐸𝐹
𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐸𝐹． 𝐵𝐶 ⊂面𝑃𝐵𝐶
面𝑃𝐵𝐶 ⊥面𝑃𝐸𝐹．
(2) 连接𝐴𝐶交𝐵𝐷𝑂连接𝑂𝐺
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷行四边形 𝑂𝐴 𝑂𝐶
𝐺𝑃𝐴中点 𝑂𝐺PC
𝑂𝐺 ⊂面𝐵𝐷𝐺
𝑃𝐶 ⊄面𝐵𝐷𝐺
𝑃𝐶面𝐵𝐷𝐺．
28
解析 (1) 证明：题设知𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶．
△ 𝐴𝐵𝐶正三角形△ 𝑃𝐴𝐶 ≅△ 𝑃𝐴𝐵△ 𝑃𝐴𝐶 ≅△ 𝑃𝐵𝐶． ∠𝐴𝑃𝐶 90°∠𝐴𝑃𝐵 90°∠𝐵𝑃𝐶 90°．
𝑃𝐵 ⊥ 𝑃𝐴𝑃𝐵 ⊥ 𝑃𝐶𝑃𝐵 ⊥面𝑃𝐴𝐶 面𝑃𝐴𝐵 ⊥面𝑃𝐴𝐶．
(2) 设圆锥底面半径𝑟母线长𝑙． 题设𝑟𝑙 √3𝑙2 − 𝑟2 2．
解𝑟 1𝑙 √3． 𝐴𝐵 √3．
(1)𝑃𝐴2 + 𝑃𝐵2 𝐴𝐵2𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 √6．
2
三棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶体积
1 × 1
3 2
⋅ 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 ⋅ 𝑃𝐶
1 × 1
3 2
3
× (√6)
2
√6． 8
29
解析 (1) 图1中
1
𝐴𝐵 𝐵𝐶
∠𝐵𝐴𝐷 𝜋
2
𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐶
𝐴𝐷 𝑎𝐸𝐴𝐷中点
2
图2中𝐵𝐸 ⊥ 𝐴1𝑂𝐵𝐸 ⊥ 𝑂𝐶 𝐵𝐸 ⊥面𝐴1𝑂𝐶
𝐶𝐷𝐵𝐸
𝐶𝐷 ⊥面𝐴1𝑂𝐶．
(2) 面𝐴1𝐵𝐸 ⊥面𝐵𝐶𝐷𝐸𝑂𝐴1 ⊥ 𝐵𝐸 𝑂𝐴1 ⊥面𝐵𝐶𝐷𝐸
𝐴1𝑂四棱锥𝐴1 − 𝐵𝐶𝐷𝐸高
根图1出𝐴 𝑂 √ 2 𝐴𝐵 √2 𝑎
1 2 2
∴行四边形𝐵𝐶𝐷𝐸面积𝑆 𝐵𝐶 ⋅ 𝐴𝐵 𝑎2
1 1 2 √2
√2 3
𝑉 3 × 𝑆 × 𝐴1𝑂 3 × 𝑎
× 𝑎 𝑎
2 6
√2 𝑎3 36√2出𝑎 6．
6
30
解析 (1) 证明：图连接𝐶𝐸
1
∵ 𝐴𝐷𝐵𝐶𝐵𝐶
𝐴𝐷𝐸线段𝐴𝐷中点
2
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐸行四边形四边形𝐵𝐶𝐷𝐸行四边形
设𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐸 𝑂连接𝑂𝐹𝑂𝐴𝐶中点
∵ 𝐹线段𝑃𝐶中点
∴ 𝑃𝐴𝑂𝐹
∵ 𝑃𝐴 ⊄面𝐵𝐸𝐹𝑂𝐹 ⊂面𝐵𝐸𝐹
∴ 𝐴𝑃面𝐵𝐸𝐹．
(2) ∵四边形𝐵𝐶𝐷𝐸行四边形
∴ 𝐵𝐸𝐶𝐷
∵ 𝐴𝑃 ⊥面𝑃𝐶𝐷𝐶𝐷 ⊂面𝑃𝐶𝐷
∴ 𝐴𝑃 ⊥ 𝐶𝐷
∴ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝑃
∵ 𝐴𝐵 𝐵𝐶四边形𝐴𝐵𝐶𝐸行四边形
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐸菱形
∴ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐶
∵ 𝐴𝑃 ∩ 𝐴𝐶 𝐴
∴ 𝐵𝐸 ⊥面𝑃𝐴𝐶．
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