矩阵分析机械振动中应
摘：着科学技术迅速发展古典线性代数知识已满足现代科技需矩阵理方法业已成现代科技领域必少工具诸数值分析优化理微分方程概率统计控制力学电子学网络等学科领域矩阵理着密切联系甚济理金融保险社会科学等领域矩阵理方法着十分重应文采矩阵中学矩阵相似变换矩阵正交化特征方程等相关知识度系统振动运动微分方程进行研究分析引入正坐标采坐标变化法求振动系统响应
关键词：度系统正坐标响应
引言
20世纪60年代着计算机技术进步航空航天技术综合动化发展需复杂机械结构特性分析越越重航天器等复杂机械结构需更度描述度系统振动方程式二阶常微分方程组建立系统方程振动分析前提着度增建立系统运动微分方程越越复杂离散系统运牛顿第二定律方式方程进行求解越越困难发展柔度系数法刚度系数法拉尔朗日方程建立系统控制方程通方法功广义力等物理量完全刻画系统少方程文考虑阻尼矩阵够阻尼振形矩阵角化情形分析基理方程实例进行证求解
二度系统振动理
文度系统振动进行求解介绍度系统振动前先介绍单度阻尼振动便解机械振动理基原理
1单度阻尼系统振动
图1 单度阻尼系统
单度系统言系统受激励时根牛顿第二定律列出运动微分方程：
(11)
中m物体质量k弹簧刚度物体加速度x弹簧伸缩量该方程二阶齐次线性常系数微分方程度系统运动分析提供理基础
2度阻尼系统振动
度系统单度系统振动特性区单度系统受初始扰动系统固频率作简谐振动度系统固频率系统某固频率作振动时独立坐标振动程中相互关系固定关系振幅作振型模态振型度系统弹性体振动重特征文目通阻尼振动系统介绍系统固频率振型振动系统重特征
阻尼情况系统振动微分方程表达：
(12)
单度系统中阻尼振动解正弦函数余弦函数失般性度系统振动解设：
(13)
列量ω均定复常数系统振动解必实数式(13)代入(12)列代数齐次方程组：
(14)
面方程组存非零解充分必条件系数行列式零：
(15)
式(15)系统特征方程具体写出：
(16)
式左端行列式展开关n次代数项式：
(17)
称特征项式式(16)(17)解出n称特征值特征根升序排列：
显然特征值仅取决系统身刚度质量参数n特征值数情况互相等零重根零根说明系统刚体运动零根情况书讨兴趣读者参考相关线性代数振动理书籍
求特征值．某代回式(14)求应列量式(14)系数矩阵满秩没重根零根情况(n1)独立求出列量中元素…例关系
掉中独立某式(例式)剩n1方程式中某相项(项)移等式右边代数方程组：
掉中独立某式(例式)剩n1方程式中某相项(项)移等式右边代数方程组：
(18)
解面方程表达解…显然值成例例常数表示补充列量：
(19)
列量确定常数反映列量中数例关系作特征量例放减特征量改变例关系应时常根需放减特征量失般性式(19)中定复常数取代式(19)写：
(110)
样成例变化时相应变化应特征值特征量应n特征值n特征量… 特征量满足式(14)
振动系统特征值系统固频率特征值相应特征量系统振形显然应n固频率n振形…面述
显然代入式(13)n组满足方程(12)解解相加度系统振动般解：
(111)
中2n定常数系统运动初始位移初始速度确定
果系统某特殊初始条件定常数中≠0式(111)表示系统运动方程保留第k项
(112)
度系统振动般解方程表达：
(113)
时整系统圆频率振幅作步简谐运动振幅分振幅间保持固定变值特征量完全确定系统固频率振动时形态特征量相应固频率振动时振型量应特征量称第阶振型模态相应振动振动振动程中般会产生阶振动
n度系统般找n固频率相应n振型阶振型组成矩阵做振型矩阵：
(114)
三三度系统响应求解
三度弹簧质量系统图11示设t0时求振系响应
图2 三度阻尼系统
解：第步建立振动微分方程刚度法建立该振系微分方程
第二步求固频率振型系统系统矩阵
[S]代入振型方程
频率方程
式解三特征值
应固频率
代入振型方程a消公子令1
式解
做样处理相应振型
第三步求振型矩阵正矩阵振型知振型矩阵确定
求正振型矩阵需先求出阶质量
求出阶正振型
正振型构成正振型矩阵
第四步正坐标变换
正坐标表示独立方程
(i1 2 3)
第五步初始条件变换正坐标式子两端左
第六步求振系正坐标响应方程般解
代入正坐标表示初始条件
第七步正坐标响应变回物理坐标系利坐标变换式
四结
文研究度系统振动时模型简化成阻尼系统特征方程矩阵逆变换等相关知识进行求解出系统激励响应实实际问题中系统阻尼时列出运动微分方程更加复杂需矩阵知识更计算机发展普前提矩阵理重性越越明显应越越广泛然研究梁单元振动情况矩阵理应领域方面足说明矩阵力量方法方便解决现代工程技术中种问题表述简洁便进行研究已越越成事科学研究工程设计科技员首选工具
参考文献
[1]李新传江矩阵理应[M]重庆学出版社2005年8月
[2]李堂机械系统动力学[M]国防工业出版社2010
[3]陈天福冯贤贵材料力学[M]重庆学出版社2006
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摘：着科学技术迅速发展古典线性代数知识已满足现代科技需矩阵理方法业已成现代科技领域必少工具诸数值分析优化理微分方程概率统计控制力学电子学网络等学科领域矩阵理着密切联系甚济理金融保险社会科学等领域矩阵理方法着十分重应文采矩阵中学矩阵相似变换矩阵正交化特征方程等相关知识度系统振动运动微分方程进行研究分析引入正坐标采坐标变化法求振动系统响应
关键词：度系统正坐标响应
引言
20世纪60年代着计算机技术进步航空航天技术综合动化发展需复杂机械结构特性分析越越重航天器等复杂机械结构需更度描述度系统振动方程式二阶常微分方程组建立系统方程振动分析前提着度增建立系统运动微分方程越越复杂离散系统运牛顿第二定律方式方程进行求解越越困难发展柔度系数法刚度系数法拉尔朗日方程建立系统控制方程通方法功广义力等物理量完全刻画系统少方程文考虑阻尼矩阵够阻尼振形矩阵角化情形分析基理方程实例进行证求解
二度系统振动理
文度系统振动进行求解介绍度系统振动前先介绍单度阻尼振动便解机械振动理基原理
1单度阻尼系统振动
图1 单度阻尼系统
单度系统言系统受激励时根牛顿第二定律列出运动微分方程：
(11)
中m物体质量k弹簧刚度物体加速度x弹簧伸缩量该方程二阶齐次线性常系数微分方程度系统运动分析提供理基础
2度阻尼系统振动
度系统单度系统振动特性区单度系统受初始扰动系统固频率作简谐振动度系统固频率系统某固频率作振动时独立坐标振动程中相互关系固定关系振幅作振型模态振型度系统弹性体振动重特征文目通阻尼振动系统介绍系统固频率振型振动系统重特征
阻尼情况系统振动微分方程表达：
(12)
单度系统中阻尼振动解正弦函数余弦函数失般性度系统振动解设：
(13)
列量ω均定复常数系统振动解必实数式(13)代入(12)列代数齐次方程组：
(14)
面方程组存非零解充分必条件系数行列式零：
(15)
式(15)系统特征方程具体写出：
(16)
式左端行列式展开关n次代数项式：
(17)
称特征项式式(16)(17)解出n称特征值特征根升序排列：
显然特征值仅取决系统身刚度质量参数n特征值数情况互相等零重根零根说明系统刚体运动零根情况书讨兴趣读者参考相关线性代数振动理书籍
求特征值．某代回式(14)求应列量式(14)系数矩阵满秩没重根零根情况(n1)独立求出列量中元素…例关系
掉中独立某式(例式)剩n1方程式中某相项(项)移等式右边代数方程组：
掉中独立某式(例式)剩n1方程式中某相项(项)移等式右边代数方程组：
(18)
解面方程表达解…显然值成例例常数表示补充列量：
(19)
列量确定常数反映列量中数例关系作特征量例放减特征量改变例关系应时常根需放减特征量失般性式(19)中定复常数取代式(19)写：
(110)
样成例变化时相应变化应特征值特征量应n特征值n特征量… 特征量满足式(14)
振动系统特征值系统固频率特征值相应特征量系统振形显然应n固频率n振形…面述
显然代入式(13)n组满足方程(12)解解相加度系统振动般解：
(111)
中2n定常数系统运动初始位移初始速度确定
果系统某特殊初始条件定常数中≠0式(111)表示系统运动方程保留第k项
(112)
度系统振动般解方程表达：
(113)
时整系统圆频率振幅作步简谐运动振幅分振幅间保持固定变值特征量完全确定系统固频率振动时形态特征量相应固频率振动时振型量应特征量称第阶振型模态相应振动振动振动程中般会产生阶振动
n度系统般找n固频率相应n振型阶振型组成矩阵做振型矩阵：
(114)
三三度系统响应求解
三度弹簧质量系统图11示设t0时求振系响应
图2 三度阻尼系统
解：第步建立振动微分方程刚度法建立该振系微分方程
第二步求固频率振型系统系统矩阵
[S]代入振型方程
频率方程
式解三特征值
应固频率
代入振型方程a消公子令1
式解
做样处理相应振型
第三步求振型矩阵正矩阵振型知振型矩阵确定
求正振型矩阵需先求出阶质量
求出阶正振型
正振型构成正振型矩阵
第四步正坐标变换
正坐标表示独立方程
(i1 2 3)
第五步初始条件变换正坐标式子两端左
第六步求振系正坐标响应方程般解
代入正坐标表示初始条件
第七步正坐标响应变回物理坐标系利坐标变换式
四结
文研究度系统振动时模型简化成阻尼系统特征方程矩阵逆变换等相关知识进行求解出系统激励响应实实际问题中系统阻尼时列出运动微分方程更加复杂需矩阵知识更计算机发展普前提矩阵理重性越越明显应越越广泛然研究梁单元振动情况矩阵理应领域方面足说明矩阵力量方法方便解决现代工程技术中种问题表述简洁便进行研究已越越成事科学研究工程设计科技员首选工具
参考文献
[1]李新传江矩阵理应[M]重庆学出版社2005年8月
[2]李堂机械系统动力学[M]国防工业出版社2010
[3]陈天福冯贤贵材料力学[M]重庆学出版社2006
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