章末复课
充分条件必条件充条件判断应
1．p⇒qq⇏ppq充分必条件时qp必充分条件
p⇔qpq充条件时qp充条件．
2．充条件求参数范围常转化集合间关系解决．
例1 (1)设x∈Rx>3x<0x>4( )
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案 B
解析 x>3x<0推出x>4
x>4时等式x>3x<0成立．
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤4ax≥a(a<0)}q：实数x满足B＝{x|－6≤x<－1}qp充分必条件求实数a取值范围．
解 ∵qp充分必条件
∴BA
∴
解a≤－6－≤a＜0
∴a取值范围
反思感悟 充条件常判断方法
(1)定义法：直接判断pqqp真假．
(2)利集合间包含关系判断：设命题p应集合A命题q应集合BA⊆Bpq充分条件qp必条件A＝Bpq充条件．
踪训练1 (1)设x∈R|x－2|<1x>1x<－2( )
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案 A
解析 |x－2|<1⇔1{x|11x<－2}真子集
|x－2|<1x>1x<－2充分必条件．
(2)－a答案 a>2
解析 根充分条件必条件集合间包含关系
应{x|－2－a<－2解a>2
二充条件证明探求
1．原命题进行等价变形转换直获成立充条件探求程时证明程．
2．掌握充条件证明提升逻辑推理数学运算素养．
例2 求证：关x方程ax2＋bx＋c＝0根1充条件a＋b＋c＝0
证明 先证必性：∵方程ax2＋bx＋c＝0根1
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0
a×12＋b×1＋c＝0
a＋b＋c＝0
证充分性：∵a＋b＋c＝0∴c＝－a－b
代入方程ax2＋bx＋c＝0中
ax2＋bx－a－b＝0
(x－1)(ax＋a＋b)＝0
方程ax2＋bx＋c＝0根1关x方程ax2＋bx＋c＝0根1充条件a＋b＋c＝0
反思感悟 充条件证明两思路
(1)直接法：证明pq充条件首先明确p条件q结次推证p⇒q证明充分性推证q⇒p证明必性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}q：B＝{x|q(x)}A＝Bpq互充条件．
踪训练2 已知a＋b≠0求a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立充条件．
解 a2＋b2－a－b＋2ab＝0
a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)
＝(a＋b－1)(a＋b)＝0
∵a＋b≠0
∴a＋b－1＝0a＋b＝1等价a2＋b2－a－b＋2ab＝0
∴a＋b≠0条件a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立充条件a＋b＝1
三全称量词命题存量词命题
1．全称量词命题否定定存量词命题存量词命题否定定全称量词命题．首先改变量词全称量词改存量词存量词改全称量词然判断词加否定．
2．通含量词命题否定培养逻辑推理素养．
例3 已知命题p：∃xy∈Zx2＋y2＝2 022綈p( )
A．∀xy∈Zx2＋y2≠2 022
B．∃xy∈Zx2＋y2≠2 022
C．∀xy∈Zx2＋y2＝2 022
D．存xy∈Zx2＋y2＝2 022
答案 A
解析 含存量词命题否定需存量词改全称量词结否定．綈p∀xy∈Zx2＋y2≠2 022
反思感悟 全称量词命题存量词命题进行否定改变量词二否定结．
踪训练3 命题少正实数x满足方程x2＋2x＋6＝0否定______________．
答案 正实数x满足方程x2＋2x＋6＝0
解析 少改满足改满足命题否定．
四全称(存)量词命题关参数问题
1．命题真假求参数取值范围时首先命题进行化简然命题真假列出含参数等式(组)求解．
2．利命题真假求参数范围等培养逻辑推理转化化思想方法．
例4 命题p：∀x∈Rx2＋1>a命题q：a2－4>0pq真假求实数a取值范围．
解 p真命题a<1
q真命题a2>4
通图象知a>2a<－2
pq真假
p真q假时
－2≤a<1
q真p假时
a>2
综述实数a取值范围[－21)∪(2＋∞)．
反思感悟 (1)全称量词命题真等价恒成立问题存量词命题真等价成立问题．
(2)根全称量词命题存量词命题真假求参数取值范围般问题转化函数等式集合问题解决．
踪训练4 命题p：存实数x∈R方程ax2＋2x－1＝0成立．命题p真命题求实数a取值范围．
解 a＝0时方程2x－1＝0显然实数根满足题意
a≠0时题意ax2＋2x－1＝0实根Δ＝4＋4a≥0解a≥－1a≠0
综a≥－1实数a取值范围{a|a≥－1}．
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充分条件必条件充条件判断应
1．p⇒qq⇏ppq充分必条件时qp必充分条件
p⇔qpq充条件时qp充条件．
2．充条件求参数范围常转化集合间关系解决．
例1 (1)设x∈Rx>3x<0x>4( )
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案 B
解析 x>3x<0推出x>4
x>4时等式x>3x<0成立．
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤4ax≥a(a<0)}q：实数x满足B＝{x|－6≤x<－1}qp充分必条件求实数a取值范围．
解 ∵qp充分必条件
∴BA
∴
解a≤－6－≤a＜0
∴a取值范围
反思感悟 充条件常判断方法
(1)定义法：直接判断pqqp真假．
(2)利集合间包含关系判断：设命题p应集合A命题q应集合BA⊆Bpq充分条件qp必条件A＝Bpq充条件．
踪训练1 (1)设x∈R|x－2|<1x>1x<－2( )
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案 A
解析 |x－2|<1⇔1
|x－2|<1x>1x<－2充分必条件．
(2)－a
解析 根充分条件必条件集合间包含关系
应{x|－2
二充条件证明探求
1．原命题进行等价变形转换直获成立充条件探求程时证明程．
2．掌握充条件证明提升逻辑推理数学运算素养．
例2 求证：关x方程ax2＋bx＋c＝0根1充条件a＋b＋c＝0
证明 先证必性：∵方程ax2＋bx＋c＝0根1
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0
a×12＋b×1＋c＝0
a＋b＋c＝0
证充分性：∵a＋b＋c＝0∴c＝－a－b
代入方程ax2＋bx＋c＝0中
ax2＋bx－a－b＝0
(x－1)(ax＋a＋b)＝0
方程ax2＋bx＋c＝0根1关x方程ax2＋bx＋c＝0根1充条件a＋b＋c＝0
反思感悟 充条件证明两思路
(1)直接法：证明pq充条件首先明确p条件q结次推证p⇒q证明充分性推证q⇒p证明必性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}q：B＝{x|q(x)}A＝Bpq互充条件．
踪训练2 已知a＋b≠0求a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立充条件．
解 a2＋b2－a－b＋2ab＝0
a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)
＝(a＋b－1)(a＋b)＝0
∵a＋b≠0
∴a＋b－1＝0a＋b＝1等价a2＋b2－a－b＋2ab＝0
∴a＋b≠0条件a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立充条件a＋b＝1
三全称量词命题存量词命题
1．全称量词命题否定定存量词命题存量词命题否定定全称量词命题．首先改变量词全称量词改存量词存量词改全称量词然判断词加否定．
2．通含量词命题否定培养逻辑推理素养．
例3 已知命题p：∃xy∈Zx2＋y2＝2 022綈p( )
A．∀xy∈Zx2＋y2≠2 022
B．∃xy∈Zx2＋y2≠2 022
C．∀xy∈Zx2＋y2＝2 022
D．存xy∈Zx2＋y2＝2 022
答案 A
解析 含存量词命题否定需存量词改全称量词结否定．綈p∀xy∈Zx2＋y2≠2 022
反思感悟 全称量词命题存量词命题进行否定改变量词二否定结．
踪训练3 命题少正实数x满足方程x2＋2x＋6＝0否定______________．
答案 正实数x满足方程x2＋2x＋6＝0
解析 少改满足改满足命题否定．
四全称(存)量词命题关参数问题
1．命题真假求参数取值范围时首先命题进行化简然命题真假列出含参数等式(组)求解．
2．利命题真假求参数范围等培养逻辑推理转化化思想方法．
例4 命题p：∀x∈Rx2＋1>a命题q：a2－4>0pq真假求实数a取值范围．
解 p真命题a<1
q真命题a2>4
通图象知a>2a<－2
pq真假
p真q假时
－2≤a<1
q真p假时
a>2
综述实数a取值范围[－21)∪(2＋∞)．
反思感悟 (1)全称量词命题真等价恒成立问题存量词命题真等价成立问题．
(2)根全称量词命题存量词命题真假求参数取值范围般问题转化函数等式集合问题解决．
踪训练4 命题p：存实数x∈R方程ax2＋2x－1＝0成立．命题p真命题求实数a取值范围．
解 a＝0时方程2x－1＝0显然实数根满足题意
a≠0时题意ax2＋2x－1＝0实根Δ＝4＋4a≥0解a≥－1a≠0
综a≥－1实数a取值范围{a|a≥－1}．
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