232 全称量词命题存量词命题否定
学目标 1通实例总结含量词命题否定形式变化规律2正确含量词命题进行否定．
导语
学知道家生活中没样历说某天惹父母生气父母会说：天天惹生气气死算实际许父母高兴时刻者说某次成绩考父母会说：宝贝总优秀许忽略前某次考时候数学神奇总符号语言描述生活中实例开始天探究旅
全称量词命题否定
问题1 写出列命题否定？原命题形式什变化？
(1)矩形行四边形
(2)素数奇数
(3)∀x∈Rx＋|x|≥0
提示 面三命题全称量词命题具∀x∈Mp(x)形式．中命题(1)否定非矩形行四边形说存矩形行四边形
命题(2)否定非素数奇数说存素数奇数
命题(3)否定非x∈Rx＋|x|≥0说∃x∈Rx＋|x|<0
命题形式三全称量词命题否定变成存量词命题．
知识梳理
p
綈p
结
全称量词命题∀x∈Mp(x)
∃x∈M綈p(x)
全称量词命题否定存量词命题
注意点：
(1)含全称量词命题否定总结起八字改变量词否定结集合角度x范围没变结进行否定．
(2)命题否定时真时假真假．
例1 写出列命题否定．
(1)分数理数
(2)5整整数奇数
(3)∀x∈Rx2－2x＋1≥0
解 (1)该命题否定：存分数理数．
(2)该命题否定：存5整整数奇数．
(3)该命题否定：∃x∈Rx2－2x＋1<0
反思感悟 全称量词命题否定关注点
(1)全称量词命题p：∀x∈Mp(x)否定綈p：∃x∈M綈p(x)．
(2)全称量词命题否定存量词命题省略全称量词全称量词命题补量词进行否定．
踪训练1 写出列全称量词命题否定：
(1)然数方正数
(2)实数x方程5x－12＝0根
(3)意实数xx2＋1≥0
解 (1)綈p：然数方正数．
(2)綈p：存实数x方程5x－12＝0根．
(3)綈p：存实数xx2＋1<0
二存量词命题否定
问题2 写出列命题否定？原命题形式什变化？
(1)存实数绝值正数
(2)行四边形菱形
(3)∃x∈Rx2－2x＋3＝0
提示 三命题存量词命题具∃x∈Mp(x)形式．中命题(1)否定存实数绝值正数说实数绝值正数
命题(2)否定没行四边形菱形说行四边形菱形
命题(3)否定存x∈Rx2－2x＋3＝0说∀x∈Rx2－2x＋3≠0
命题形式三存量词命题否定变成全称量词命题．
知识梳理
p
綈p
结
存量词命题∃x∈Mp(x)
∀x∈M綈p(x)
存量词命题否定全称量词命题
注意点：
(1)全称量词命题类似含存量词命题否定总结起八字改变量词否定结．
(2)常见词语否定形式
原词语
否定词语
原词语
否定词语
少
没
少两
少n
(n－1)
n
少(n＋1)
意
某
某
等
等
例2 写出列存量词命题否定判断否定真假．
(1)某梯形角线互相分
(2)存k∈R函数y＝kx＋bx值增减
(3)∃xy∈Zx＋y＝3
解 (1)该命题否定：意梯形角线互相分．命题否定真命题．
(2)该命题否定：意k∈R函数y＝kx＋bx值增减．命题否定假命题．
(3)该命题否定：∀xy∈Zx＋y≠3
x＝0y＝3时x＋y＝3命题否定假命题．
反思感悟 存量词命题否定关注点
(1)存量词命题否定全称量词命题写命题否定时分改变中量词判断词．∃x∈Mp(x)否定：∀x∈M綈p(x)．
(2)存量词命题否定全称量词命题省略存量词存量词命题补量词进行否定．
踪训练2 写出列存量词命题否定判断否定真假．
(1)素数偶数
(2)∃ab∈Ra2＋b2≤0
解 (1)命题否定：素数偶数．
2素数偶数命题否定假命题．
(2)命题否定：∀ab∈Ra2＋b2>0
∵a＝b＝0时a2＋b2＝0
∴命题否定假命题．
三全称量词命题存量词命题综合应
例3 已知命题p：∀x∈R等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m取值范围．
解 令y＝x2＋4x－1x∈Ry＝(x＋2)2－5≥－5
∀x∈R等式x2＋4x－1>m恒成立
m<－5．
求m取值范围{m|m<－5}．
延伸探究
1．例中条件改存实数x等式－x2＋4x－1>m解求实数m取值范围．
解 令y＝－x2＋4x－1
y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3
∃x∈R－x2＋4x－1>m解
m函数值
求m 取值范围{m|m<3}．
2．例中条件∀x∈R改∀x≥1求实数m取值范围．
解 令y＝x2＋4x－1x≥1
y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4
∀x≥1等式x2＋4x－1>m恒成立
m<4．
求m取值范围{m|m<4}．
反思感悟 求解含量词命题中参数范围策略
(1)全称量词命题∀x∈Ma>y(aymax(a(2)存量词命题∃x∈Ma>y(aymin(a踪训练3 已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}x∈{x|a－4≤x≤a＋5}綈p假命题求实数a取值范围．
解 綈p假命题p真命题
∀x∈{x|－3≤x≤2}x∈{x|a－4≤x≤a＋5}
{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}
解－3≤a≤1
实数a取值范围－3≤a≤1
1．知识清单：
(1)全称量词命题存量词命题否定．
(2)命题真假判断．
(3)全称量词命题存量词命题综合应．
2．方法纳：转化思想．
3．常见误区：否定唯命题否定真假性相反．
1．命题∃x>02x2＝5x－1否定( )
A．∀x>02x2≠5x－1
B．∀x≤02x2＝5x－1
C．∃x>02x2≠5x－1
D．∃x≤02x2＝5x－1
答案 A
解析 存量词命题否定全称量词命题．
2．命题∀x∈[0＋∞)2x2－x≥0否定( )
A．∀x∉[0＋∞)2x2－x<0
B．∀x∉[0＋∞)2x2－x≥0
C．∃x∈[0＋∞)2x2－x<0
D．∃x∈[0＋∞)2x2－x≥0
答案 C
解析 命题全称量词命题命题否定存量词命题命题∀x∈[0＋∞)2x2－x≥0否定∃x∈[0＋∞)2x2－x<0．
3．命题：三角形直角三角形否定______________________________．
答案 三角形直角三角形
解析 命题：三角形直角三角形存量词命题否定全称量词命题三角形直角三角形．
4．命题∀x∈Rx2－4x＋a≠0假命题实数a取值范围________．
答案 {a|a≤4}
解析 ∵命题：∀x∈Rx2－4x＋a≠0假命题
∴∃x∈Rx2－4x＋a＝0真命题
∴方程x2－4x＋a＝0实数根Δ＝(－4)2－4a≥0解a≤4
1．命题p：存实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根p否定( )
A．存实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根
B．存实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根
C．意实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根
D．实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根
答案 C
解析 命题p存量词命题否定形式全称量词命题意实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根．
2．已知命题p：实数方非负数列结正确( )
A．命题綈p真命题
B．命题p存量词命题
C．命题p全称量词命题
D．命题p全称量词命题存量词命题
答案 C
解析 命题p：实数方非负数真命题綈p假命题命题p全称量词命题．
3．命题存实数xx>1否定( )
A．意实数xx>1
B．存实数xx≤1
C．意实数xx≤1
D．存实数xx≤1
答案 C
解析 利存量词命题否定全称量词命题求解．存实数xx>1否定意实数xx≤1．
4．某次考试命题p：学生会做第1题命题p否定( )
A．学生会做第1题
B．存学生会做第1题
C．存学生会做第1题
D．少学生会做第1题
答案 B
解析 根全称量词命题否定存量词命题命题p：学生会做第1题否定存学生会做第1题．
5．(选)关命题p：∀x∈Rx2＋1≠0叙述正确( )
A．綈p：∃x∈Rx2＋1＝0
B．綈p：∀x∈Rx2＋1＝0
C．p真命题綈p假命题
D．p假命题綈p真命题
答案 AC
解析 命题p：∀x∈Rx2＋1≠0否定∃x∈Rx2＋1＝0．p真命题綈p假命题．
6．(选)列命题否定说法正确( )
A．p：2整数偶数p否定：存2整数偶数
B．p：矩形正方形p否定：矩形正方形
C．p：三角形正三角形p否定：三角形正三角形
D．p：∀n∈N2n≤100p否定：∃n∈N2n>100
答案 ABD
解析 三角形正三角形存量词命题否定全称量词命题三角形正三角形选项C错误．
7．命题∃xy∈Zx2>y否定__________．
答案 ∀xy∈Zx2≤y
解析 存量词命题否定全称量词命题．
8．已知命题p：存x∈Rx2＋2x＋a＝0命题綈p假命题实数a取值范围________．
答案 {a|a≤1}
解析 ∵命题綈p假命题
∴p真命题
存x∈Rx2＋2x＋a＝0真命题
∴Δ＝4－4a≥0∴a≤1
9．写出列命题否定．
(1)四边形外接圆
(2)末位数字9整数3整
(3)∃x∈Rx2＋1<0
解 (1)四边形没外接圆．
(2)存末位数字9整数3整．
(3)∀x∈Rx2＋1≥0
10．写出列命题否定判断否定真假．
(1)p：m取实数方程x2＋mx－1＝0必实根
(2)p：∀xy∈Rx2＋y2＋2x－4y＋5＝0
解 (1)綈p：存实数m方程x2＋mx－1＝0没实数根．
∵该方程判式Δ＝m2＋4>0恒成立
∴綈p假命题．
(2)綈p：∃xy∈Rx2＋y2＋2x－4y＋5≠0
∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2
x＝0y＝0时x2＋y2＋2x－4y＋5≠0
∴綈p真命题．
11．列命题否定真命题( )
A．p1：合数偶数
B．p2：两条行线第三条直线截错角相等
C．p3：全等三角形周长相等
D．p4：理数实数
答案 A
解析 判断某命题否定真假判断出原命题真假真假性始终相反．p1全称量词命题假命题綈p1真命题．命题p2p3p4均真命题綈p2綈p3綈p4均假命题．
12．(选)列命题否定假命题( )
A．等圆面积相等周长相等
B．∀x∈Nx2≥1
C．意两等边三角形相似
D．3方程x2－9＝0根
答案 ACD
解析 A否定：存等圆面积相等周长相等假命题
B否定：∃x∈Nx2<1真命题
C否定：等边三角形相似假命题
D否定：3方程x2－9＝0根假命题．
13．已知命题p：∃x∈{x|1A．a<1 B．a>3
C．a≤3 D．a≥3
答案 D
解析 綈p真命题∀x∈{x|1x恒成立a≥3
14．已知命题：∃x∈{x|1≤x≤2}x2＋2x＋a≥0真命题实数a取值范围______．
答案 a≥－8
解析 x∈{x|1≤x≤2}时
x2＋2x＝(x＋1)2－1
3≤x2＋2x≤8
题意a＋8≥0∴a≥－8
15．命题∀x∈R∃n∈N*n≥2x＋1否定形式( )
A．∀x∈R∃n∈N*n<2x＋1
B．∀x∈R∀n∈N*n<2x＋1
C．∃x∈R∃n∈N*n<2x＋1
D．∃x∈R∀n∈N*n<2x＋1
答案 D
解析 题意知全称量词命题∀x∈R∃n∈N*n≥2x＋1否定形式存量词命题∃x∈R∀n∈N*n<2x＋1．
16．已知命题p：∀1≤x≤3m≥x命题q：∃1≤x≤3m≥x命题p真命题綈q假命题求实数m取值范围．
解 题意知命题pq真命题．
∀1≤x≤3m≥x成立需m等x值m≥3
∃1≤x≤3m≥x成立需m等x值m≥1
两者时成立实数m取值范围{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．
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学目标 1通实例总结含量词命题否定形式变化规律2正确含量词命题进行否定．
导语
学知道家生活中没样历说某天惹父母生气父母会说：天天惹生气气死算实际许父母高兴时刻者说某次成绩考父母会说：宝贝总优秀许忽略前某次考时候数学神奇总符号语言描述生活中实例开始天探究旅
全称量词命题否定
问题1 写出列命题否定？原命题形式什变化？
(1)矩形行四边形
(2)素数奇数
(3)∀x∈Rx＋|x|≥0
提示 面三命题全称量词命题具∀x∈Mp(x)形式．中命题(1)否定非矩形行四边形说存矩形行四边形
命题(2)否定非素数奇数说存素数奇数
命题(3)否定非x∈Rx＋|x|≥0说∃x∈Rx＋|x|<0
命题形式三全称量词命题否定变成存量词命题．
知识梳理
p
綈p
结
全称量词命题∀x∈Mp(x)
∃x∈M綈p(x)
全称量词命题否定存量词命题
注意点：
(1)含全称量词命题否定总结起八字改变量词否定结集合角度x范围没变结进行否定．
(2)命题否定时真时假真假．
例1 写出列命题否定．
(1)分数理数
(2)5整整数奇数
(3)∀x∈Rx2－2x＋1≥0
解 (1)该命题否定：存分数理数．
(2)该命题否定：存5整整数奇数．
(3)该命题否定：∃x∈Rx2－2x＋1<0
反思感悟 全称量词命题否定关注点
(1)全称量词命题p：∀x∈Mp(x)否定綈p：∃x∈M綈p(x)．
(2)全称量词命题否定存量词命题省略全称量词全称量词命题补量词进行否定．
踪训练1 写出列全称量词命题否定：
(1)然数方正数
(2)实数x方程5x－12＝0根
(3)意实数xx2＋1≥0
解 (1)綈p：然数方正数．
(2)綈p：存实数x方程5x－12＝0根．
(3)綈p：存实数xx2＋1<0
二存量词命题否定
问题2 写出列命题否定？原命题形式什变化？
(1)存实数绝值正数
(2)行四边形菱形
(3)∃x∈Rx2－2x＋3＝0
提示 三命题存量词命题具∃x∈Mp(x)形式．中命题(1)否定存实数绝值正数说实数绝值正数
命题(2)否定没行四边形菱形说行四边形菱形
命题(3)否定存x∈Rx2－2x＋3＝0说∀x∈Rx2－2x＋3≠0
命题形式三存量词命题否定变成全称量词命题．
知识梳理
p
綈p
结
存量词命题∃x∈Mp(x)
∀x∈M綈p(x)
存量词命题否定全称量词命题
注意点：
(1)全称量词命题类似含存量词命题否定总结起八字改变量词否定结．
(2)常见词语否定形式
原词语
否定词语
原词语
否定词语
少
没
少两
少n
(n－1)
n
少(n＋1)
意
某
某
等
等
例2 写出列存量词命题否定判断否定真假．
(1)某梯形角线互相分
(2)存k∈R函数y＝kx＋bx值增减
(3)∃xy∈Zx＋y＝3
解 (1)该命题否定：意梯形角线互相分．命题否定真命题．
(2)该命题否定：意k∈R函数y＝kx＋bx值增减．命题否定假命题．
(3)该命题否定：∀xy∈Zx＋y≠3
x＝0y＝3时x＋y＝3命题否定假命题．
反思感悟 存量词命题否定关注点
(1)存量词命题否定全称量词命题写命题否定时分改变中量词判断词．∃x∈Mp(x)否定：∀x∈M綈p(x)．
(2)存量词命题否定全称量词命题省略存量词存量词命题补量词进行否定．
踪训练2 写出列存量词命题否定判断否定真假．
(1)素数偶数
(2)∃ab∈Ra2＋b2≤0
解 (1)命题否定：素数偶数．
2素数偶数命题否定假命题．
(2)命题否定：∀ab∈Ra2＋b2>0
∵a＝b＝0时a2＋b2＝0
∴命题否定假命题．
三全称量词命题存量词命题综合应
例3 已知命题p：∀x∈R等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m取值范围．
解 令y＝x2＋4x－1x∈Ry＝(x＋2)2－5≥－5
∀x∈R等式x2＋4x－1>m恒成立
m<－5．
求m取值范围{m|m<－5}．
延伸探究
1．例中条件改存实数x等式－x2＋4x－1>m解求实数m取值范围．
解 令y＝－x2＋4x－1
y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3
∃x∈R－x2＋4x－1>m解
m函数值
求m 取值范围{m|m<3}．
2．例中条件∀x∈R改∀x≥1求实数m取值范围．
解 令y＝x2＋4x－1x≥1
y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4
∀x≥1等式x2＋4x－1>m恒成立
m<4．
求m取值范围{m|m<4}．
反思感悟 求解含量词命题中参数范围策略
(1)全称量词命题∀x∈Ma>y(a
解 綈p假命题p真命题
∀x∈{x|－3≤x≤2}x∈{x|a－4≤x≤a＋5}
{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}
解－3≤a≤1
实数a取值范围－3≤a≤1
1．知识清单：
(1)全称量词命题存量词命题否定．
(2)命题真假判断．
(3)全称量词命题存量词命题综合应．
2．方法纳：转化思想．
3．常见误区：否定唯命题否定真假性相反．
1．命题∃x>02x2＝5x－1否定( )
A．∀x>02x2≠5x－1
B．∀x≤02x2＝5x－1
C．∃x>02x2≠5x－1
D．∃x≤02x2＝5x－1
答案 A
解析 存量词命题否定全称量词命题．
2．命题∀x∈[0＋∞)2x2－x≥0否定( )
A．∀x∉[0＋∞)2x2－x<0
B．∀x∉[0＋∞)2x2－x≥0
C．∃x∈[0＋∞)2x2－x<0
D．∃x∈[0＋∞)2x2－x≥0
答案 C
解析 命题全称量词命题命题否定存量词命题命题∀x∈[0＋∞)2x2－x≥0否定∃x∈[0＋∞)2x2－x<0．
3．命题：三角形直角三角形否定______________________________．
答案 三角形直角三角形
解析 命题：三角形直角三角形存量词命题否定全称量词命题三角形直角三角形．
4．命题∀x∈Rx2－4x＋a≠0假命题实数a取值范围________．
答案 {a|a≤4}
解析 ∵命题：∀x∈Rx2－4x＋a≠0假命题
∴∃x∈Rx2－4x＋a＝0真命题
∴方程x2－4x＋a＝0实数根Δ＝(－4)2－4a≥0解a≤4
1．命题p：存实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根p否定( )
A．存实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根
B．存实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根
C．意实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根
D．实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根
答案 C
解析 命题p存量词命题否定形式全称量词命题意实数m方程x2＋mx＋1＝0实数根．
2．已知命题p：实数方非负数列结正确( )
A．命题綈p真命题
B．命题p存量词命题
C．命题p全称量词命题
D．命题p全称量词命题存量词命题
答案 C
解析 命题p：实数方非负数真命题綈p假命题命题p全称量词命题．
3．命题存实数xx>1否定( )
A．意实数xx>1
B．存实数xx≤1
C．意实数xx≤1
D．存实数xx≤1
答案 C
解析 利存量词命题否定全称量词命题求解．存实数xx>1否定意实数xx≤1．
4．某次考试命题p：学生会做第1题命题p否定( )
A．学生会做第1题
B．存学生会做第1题
C．存学生会做第1题
D．少学生会做第1题
答案 B
解析 根全称量词命题否定存量词命题命题p：学生会做第1题否定存学生会做第1题．
5．(选)关命题p：∀x∈Rx2＋1≠0叙述正确( )
A．綈p：∃x∈Rx2＋1＝0
B．綈p：∀x∈Rx2＋1＝0
C．p真命题綈p假命题
D．p假命题綈p真命题
答案 AC
解析 命题p：∀x∈Rx2＋1≠0否定∃x∈Rx2＋1＝0．p真命题綈p假命题．
6．(选)列命题否定说法正确( )
A．p：2整数偶数p否定：存2整数偶数
B．p：矩形正方形p否定：矩形正方形
C．p：三角形正三角形p否定：三角形正三角形
D．p：∀n∈N2n≤100p否定：∃n∈N2n>100
答案 ABD
解析 三角形正三角形存量词命题否定全称量词命题三角形正三角形选项C错误．
7．命题∃xy∈Zx2>y否定__________．
答案 ∀xy∈Zx2≤y
解析 存量词命题否定全称量词命题．
8．已知命题p：存x∈Rx2＋2x＋a＝0命题綈p假命题实数a取值范围________．
答案 {a|a≤1}
解析 ∵命题綈p假命题
∴p真命题
存x∈Rx2＋2x＋a＝0真命题
∴Δ＝4－4a≥0∴a≤1
9．写出列命题否定．
(1)四边形外接圆
(2)末位数字9整数3整
(3)∃x∈Rx2＋1<0
解 (1)四边形没外接圆．
(2)存末位数字9整数3整．
(3)∀x∈Rx2＋1≥0
10．写出列命题否定判断否定真假．
(1)p：m取实数方程x2＋mx－1＝0必实根
(2)p：∀xy∈Rx2＋y2＋2x－4y＋5＝0
解 (1)綈p：存实数m方程x2＋mx－1＝0没实数根．
∵该方程判式Δ＝m2＋4>0恒成立
∴綈p假命题．
(2)綈p：∃xy∈Rx2＋y2＋2x－4y＋5≠0
∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2
x＝0y＝0时x2＋y2＋2x－4y＋5≠0
∴綈p真命题．
11．列命题否定真命题( )
A．p1：合数偶数
B．p2：两条行线第三条直线截错角相等
C．p3：全等三角形周长相等
D．p4：理数实数
答案 A
解析 判断某命题否定真假判断出原命题真假真假性始终相反．p1全称量词命题假命题綈p1真命题．命题p2p3p4均真命题綈p2綈p3綈p4均假命题．
12．(选)列命题否定假命题( )
A．等圆面积相等周长相等
B．∀x∈Nx2≥1
C．意两等边三角形相似
D．3方程x2－9＝0根
答案 ACD
解析 A否定：存等圆面积相等周长相等假命题
B否定：∃x∈Nx2<1真命题
C否定：等边三角形相似假命题
D否定：3方程x2－9＝0根假命题．
13．已知命题p：∃x∈{x|1
C．a≤3 D．a≥3
答案 D
解析 綈p真命题∀x∈{x|1
14．已知命题：∃x∈{x|1≤x≤2}x2＋2x＋a≥0真命题实数a取值范围______．
答案 a≥－8
解析 x∈{x|1≤x≤2}时
x2＋2x＝(x＋1)2－1
3≤x2＋2x≤8
题意a＋8≥0∴a≥－8
15．命题∀x∈R∃n∈N*n≥2x＋1否定形式( )
A．∀x∈R∃n∈N*n<2x＋1
B．∀x∈R∀n∈N*n<2x＋1
C．∃x∈R∃n∈N*n<2x＋1
D．∃x∈R∀n∈N*n<2x＋1
答案 D
解析 题意知全称量词命题∀x∈R∃n∈N*n≥2x＋1否定形式存量词命题∃x∈R∀n∈N*n<2x＋1．
16．已知命题p：∀1≤x≤3m≥x命题q：∃1≤x≤3m≥x命题p真命题綈q假命题求实数m取值范围．
解 题意知命题pq真命题．
∀1≤x≤3m≥x成立需m等x值m≥3
∃1≤x≤3m≥x成立需m等x值m≥1
两者时成立实数m取值范围{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．
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