22 基等式
第1课时 基等式
学 目 标
核 心 素 养
1解基等式证明程．(重点)
2．利基等式证明简单等式较代数式
1通等式证明培养逻辑推理素养．
2．助基等式形式求简单值问题提升数学运算素养
1．重等式
∀ab∈Ra2＋b2≥2ab仅a＝b时等号成立．
2．基等式
(1)关概念：ab均正数时做正数ab算术均数做正数ab均数．
(2)等式：ab意正实数时ab均数算术均数≤仅a＝b时等号成立．
1．等式a2＋1≥2a中等号成立条件( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B [a2＋1＝2a(a－1)2＝0a＝1时＝成立．]
2．已知ab∈(01)a≠b列式中( )
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
D [∵ab∈(01)∴a2＜ab2＜b
∴a2＋b2＜a＋ba2＋b2＞2ab(∵a≠b)
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b
∵a＋b＞2(∵a≠b)∴a＋b．]
3．已知ab＝1a>0b>0a＋b值( )
A．1 B．2 C．4 D．8
B [∵a>0b>0∴a＋b≥2＝2仅a＝b＝1时取等号a＋b值2]
4．ab∈R时列等关系成立________．
①≥②a－b≥2③a2＋b2≥2ab④a2－b2≥2ab
③ [根≥xy≥成立条件判断知①②④错③正确．]
基等式理解
例1 出面四推导程：
①∵ab正实数∴＋≥2＝2
②∵a∈Ra≠0∴＋a≥2＝4
③∵xy∈Rxy＜0∴＋＝－≤－2＝－2
中正确推导( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B [①∵ab正实数∴正实数符合基等式条件①推导正确．
②∵a∈Ra≠0符合基等式条件
∴＋a≥2＝4错误．
③xy＜0均负数推导程中整体＋提出负号均变正数符合均值等式条件③正确．]
1．基等式≤ (a＞0b＞0)反映两正数积间关系．
2．基等式准确掌握抓住两方面：(1)定理成立条件ab正数．(2)仅含义：a＝b时≤等号成立a＝b⇒＝仅a＝b时≥等号成立＝⇒a＝b
1．列等式推导程正确________．
①x＞1x＋≥2＝2
②x＜0x＋＝－
≤－2＝－4
③ab∈R＋≥2＝2
② [ ①中忽视基等式等号成立条件x＝时x＝1时x＋≥2等号成立x＞1x＋＞2③中忽视利基等式时项必须正数条件．]
利基等式较
例2 (1)已知ab∈R＋列式中定成立( )
A．a＋b≥2 B＋≥2
C≥2 D≥
(2)已知abc两两等实数p＝a2＋b2＋c2q＝ab＋bc＋ca关系________．
(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)≥a＋b＝2
∴A成立
∵＋≥2＝2∴B成立
∵≥＝2∴C成立
∵≤＝∴D定成立．
(2)∵abc互相等
∴a2＋b2＞2abb2＋c2>2aca2＋c2>2ac
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac]
1．理解基等式时形式含中理解特关注条件．
2．运基等式较时应注意成立条件a＋b≥2成立条件a>0b>0等号成立条件a＝ba2＋b2≥2ab成立条件ab∈R等号成立条件a＝b
2．果0＜a＜b＜1P＝Q＝M＝PQM序( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
B [显然＞＜(a＋b＞＜1)＞＞M＞P＞Q]
利基等式证明等式
例3 已知abc互相等正数a＋b＋c＝1求证：＋＋>9
[思路点拨] ＋＋>9想1换成a＋b＋c裂项构造基等式形式基等式证明．
[证明] ∵abc∈R＋a＋b＋c＝1
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9
仅a＝b＝c时取等号
∴＋＋>9
例条件变求证：>8
[证明] ∵abc∈R＋
a＋b＋c＝1
∴－1＝>0－1＝>0－1＝>0
∴
＝··
≥＝8
仅a＝b＝c时取等号
∴＞8
1．条件等式证明证等式已知条件结合起考虑题通1代换等式左边化成齐次式方面基等式创造条件方面实现约分等式右边建立联系．
2．先局部运基等式利等式性质(注意限制条件)通相加()合成证等式运基等式时种重技证明等式时种常方法．
3．已知abc∈R求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2
[证明] 基等式
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2
理b4＋c4≥2b2c2
c4＋a4≥2a2c2
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2
a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2
4．已知a＞1b＞0＋＝1求证：a＋2b≥2＋7
[证明] ＋＝1b＝(a＞1)
a＋2b＝a＋＝a＋
＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7
≥2＋7
a－1＝时a＝1＋时取等号．
1．应基等式时时刻注意成立条件a>0b>0时会≤仅……时＝’成立…句话两方面理解：方面a＝b时＝方面：＝时a＝b
2．应基等式证明等式关键进行拼凑拆合放缩等变形构造出符合基等式条件结构
1．思考辨析
(1)意ab∈Ra2＋b2≥2aba＋b≥2均成立．( )
(2)a≠0a＋≥2＝2( )
(3)a>0b>0ab≤2( )
[提示] (1)意ab∈Ra2＋b2≥2ab成立ab正数时等式a＋b≥2成立．
(2)a>0时根基等式等式a＋≥2＝2成立．
(3)≤ab≤2
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．设a>b>0列等式中定成立( )
A．a－b<0 B．0<<1
C< D．ab>a＋b
C [∵a>b>0基等式知<定成立．]
3．等式＋(x－2)≥6(中x＞2)中等号成立条件( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
C [基等式知等号成立条件＝x－2x＝5(x＝－1舍)．]
4．设a>0b>0证明：＋≥a＋b
[证明] ∵a>0b>0
∴＋a≥2b＋b≥2a
∴＋≥a＋b
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第1课时 基等式
学 目 标
核 心 素 养
1解基等式证明程．(重点)
2．利基等式证明简单等式较代数式
1通等式证明培养逻辑推理素养．
2．助基等式形式求简单值问题提升数学运算素养
1．重等式
∀ab∈Ra2＋b2≥2ab仅a＝b时等号成立．
2．基等式
(1)关概念：ab均正数时做正数ab算术均数做正数ab均数．
(2)等式：ab意正实数时ab均数算术均数≤仅a＝b时等号成立．
1．等式a2＋1≥2a中等号成立条件( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B [a2＋1＝2a(a－1)2＝0a＝1时＝成立．]
2．已知ab∈(01)a≠b列式中( )
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
D [∵ab∈(01)∴a2＜ab2＜b
∴a2＋b2＜a＋ba2＋b2＞2ab(∵a≠b)
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b
∵a＋b＞2(∵a≠b)∴a＋b．]
3．已知ab＝1a>0b>0a＋b值( )
A．1 B．2 C．4 D．8
B [∵a>0b>0∴a＋b≥2＝2仅a＝b＝1时取等号a＋b值2]
4．ab∈R时列等关系成立________．
①≥②a－b≥2③a2＋b2≥2ab④a2－b2≥2ab
③ [根≥xy≥成立条件判断知①②④错③正确．]
基等式理解
例1 出面四推导程：
①∵ab正实数∴＋≥2＝2
②∵a∈Ra≠0∴＋a≥2＝4
③∵xy∈Rxy＜0∴＋＝－≤－2＝－2
中正确推导( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B [①∵ab正实数∴正实数符合基等式条件①推导正确．
②∵a∈Ra≠0符合基等式条件
∴＋a≥2＝4错误．
③xy＜0均负数推导程中整体＋提出负号均变正数符合均值等式条件③正确．]
1．基等式≤ (a＞0b＞0)反映两正数积间关系．
2．基等式准确掌握抓住两方面：(1)定理成立条件ab正数．(2)仅含义：a＝b时≤等号成立a＝b⇒＝仅a＝b时≥等号成立＝⇒a＝b
1．列等式推导程正确________．
①x＞1x＋≥2＝2
②x＜0x＋＝－
≤－2＝－4
③ab∈R＋≥2＝2
② [ ①中忽视基等式等号成立条件x＝时x＝1时x＋≥2等号成立x＞1x＋＞2③中忽视利基等式时项必须正数条件．]
利基等式较
例2 (1)已知ab∈R＋列式中定成立( )
A．a＋b≥2 B＋≥2
C≥2 D≥
(2)已知abc两两等实数p＝a2＋b2＋c2q＝ab＋bc＋ca关系________．
(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)≥a＋b＝2
∴A成立
∵＋≥2＝2∴B成立
∵≥＝2∴C成立
∵≤＝∴D定成立．
(2)∵abc互相等
∴a2＋b2＞2abb2＋c2>2aca2＋c2>2ac
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac]
1．理解基等式时形式含中理解特关注条件．
2．运基等式较时应注意成立条件a＋b≥2成立条件a>0b>0等号成立条件a＝ba2＋b2≥2ab成立条件ab∈R等号成立条件a＝b
2．果0＜a＜b＜1P＝Q＝M＝PQM序( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
B [显然＞＜(a＋b＞＜1)＞＞M＞P＞Q]
利基等式证明等式
例3 已知abc互相等正数a＋b＋c＝1求证：＋＋>9
[思路点拨] ＋＋>9想1换成a＋b＋c裂项构造基等式形式基等式证明．
[证明] ∵abc∈R＋a＋b＋c＝1
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9
仅a＝b＝c时取等号
∴＋＋>9
例条件变求证：>8
[证明] ∵abc∈R＋
a＋b＋c＝1
∴－1＝>0－1＝>0－1＝>0
∴
＝··
≥＝8
仅a＝b＝c时取等号
∴＞8
1．条件等式证明证等式已知条件结合起考虑题通1代换等式左边化成齐次式方面基等式创造条件方面实现约分等式右边建立联系．
2．先局部运基等式利等式性质(注意限制条件)通相加()合成证等式运基等式时种重技证明等式时种常方法．
3．已知abc∈R求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2
[证明] 基等式
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2
理b4＋c4≥2b2c2
c4＋a4≥2a2c2
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2
a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2
4．已知a＞1b＞0＋＝1求证：a＋2b≥2＋7
[证明] ＋＝1b＝(a＞1)
a＋2b＝a＋＝a＋
＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7
≥2＋7
a－1＝时a＝1＋时取等号．
1．应基等式时时刻注意成立条件a>0b>0时会≤仅……时＝’成立…句话两方面理解：方面a＝b时＝方面：＝时a＝b
2．应基等式证明等式关键进行拼凑拆合放缩等变形构造出符合基等式条件结构
1．思考辨析
(1)意ab∈Ra2＋b2≥2aba＋b≥2均成立．( )
(2)a≠0a＋≥2＝2( )
(3)a>0b>0ab≤2( )
[提示] (1)意ab∈Ra2＋b2≥2ab成立ab正数时等式a＋b≥2成立．
(2)a>0时根基等式等式a＋≥2＝2成立．
(3)≤ab≤2
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．设a>b>0列等式中定成立( )
A．a－b<0 B．0<<1
C< D．ab>a＋b
C [∵a>b>0基等式知<定成立．]
3．等式＋(x－2)≥6(中x＞2)中等号成立条件( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
C [基等式知等号成立条件＝x－2x＝5(x＝－1舍)．]
4．设a>0b>0证明：＋≥a＋b
[证明] ∵a>0b>0
∴＋a≥2b＋b≥2a
∴＋≥a＋b
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