231 全称量词命题存量词命题
学目标 1理解全称量词全称量词命题定义2理解存量词存量词命题定义3会判断命题全称量词命题存量词命题会判断真假．
导语
学生活中常听全体起立操场集合南孤帆远东风意吹种体现出意句子诗情画意常听学考清华学学没交作业该存种拷问心灵歌词．里出现数学中非常重量词全体意存等天含量词命题展开讨．
全称量词命题存量词命题识
问题 列语句命题？较(1)(3)(2)(4)间什关系？
(1)x>3
(2)2x＋1＝3
(3)x∈Rx>3
(4)存x∈R2x＋1＝3
提示 语句(1)(2)中含变量x知道变量x代表什数法判断真假命题．语句(3)(1)基础短语变量x进行限定语句(4)(2)基础短语存变量x进行限定(3)(4)成判断真假语句语句(3)(4)命题．
知识梳理
全称量词命题
存量词命题
量词
意
存
符号
∀
∃
命题
含全称量词命题称全称量词命题
含存量词命题称存量词命题
般形式
∀x∈Mp(x)
∃x∈Mp(x)
注意点：
(1)集合观点全称量词命题陈述某集合中元素具某种性质命题存量词命题陈述某集合中存少元素具某种性质命题．
(2)全称量词命题中全称量词省略理解时需补充出．
例1 判断列命题全称量词命题存量词命题量词符号∀∃表述列命题．
(1)意x∈{x|x>－1}3x＋4>0成立
(2)实数ab方程ax＋b＝0恰解
(3)整数2整3整
(4)某四边形行四边形．
解 (1)全称量词命题表示∀x∈{x|x>－1}3x＋4>0
(2)全称量词命题表示∀ab∈R方程ax＋b＝0恰解．
(3)存量词命题表示∃x∈Zx2整3整．
(4)存量词命题表示∃x∈{y|y四边形}x行四边形．
反思感悟 判断命题全称量词命题存量词命题方法
判断命题全称量词命题存量词命题关键量词．某全称量词命题量词省略根命题表达意义判断时会相应量词符号正确表达命题．
踪训练1 判断列语句全称量词命题存量词命题．
(1)凸边形外角等360°
(2)矩形角线相等
(3)四边形菱形四边形角线互相垂直
(4)实数ab|a－b|＝|a|＋|b|
(5)方程3x－2y＝10整数解．
解 (1)改凸边形外角等360°
全称量词命题．
(2)改矩形角线相等
全称量词命题．
(3)四边形菱形菱形
全称量词命题．
(4)含存量词存量词命题．
(5)改写存整数xy3x－2y＝10成立存量词命题．
二含量词命题真假判断
例2 判断列命题真假．
(1)∃x∈Zx3<1
(2)面直角坐标系中意序实数(xy)应点P
(3)∀x∈Nx2>0
解 (1)－1∈Z(－1)3＝－1<1
∃x∈Zx3<1真命题．
(2)序实数面直角坐标系中点应关系知真命题．
(3)0∈N02＝0命题∀x∈Nx2>0假命题．
反思感悟 判断命题真命题应出证明判断命题假命题需举出反例具体言：
(1)判定存量词命题真定集合找元素命题真否命题假．
(2)判定全称量词命题真必须定集合中元素命题真判定全称量词命题假定集合中找元素命题假．
踪训练2 试判断列命题真假：
(1)∀x∈Rx2＋1≥2
(2)直角坐标系条直线x轴交点
(3)存整数xy2x＋4y＝6
解 (1)取x＝0x2＋1＝1<2
∀x∈Rx2＋1≥2假命题．
(2)x轴行直线x轴交点
该命题假命题．
(3)取x＝3y＝02x＋4y＝6真命题．
三含量词命题真假求参数范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}B≠∅命题p：∀x∈Bx∈A真命题求m取值范围．
解 命题p：∀x∈Bx∈A真命题
B⊆AB≠∅
解2≤m≤3
延伸探究
1．例中命题p改∃x∈Ax∈B求m取值范围．
解 p真A∩B≠∅
B≠∅m≥2
解2≤m≤4
2．例中命题p改∀x∈Ax∈B否存实数m命题p真命题？存求出实数m取值范围存说明理．
解 命题p：∀x∈Ax∈B真命题
A⊆BB≠∅
解m∈∅
存实数m命题p真命题．
反思感悟 含量词命题真假求参数取值范围问题求解方法
(1)首先根全称量词存量词含义透彻理解题意．
(2)次根含量词命题真假命题真假问题转化集合间关系函数值问题转化关参数等式(组)求参数取值范围．
踪训练3 命题∃x∈Rx2－4x＋a＝0真命题求实数a取值范围．
解 ∵命题∃x∈Rx2－4x＋a＝0真命题∴方程x2－4x＋a＝0存实数根
Δ＝(－4)2－4a≥0解a≤4
1．知识清单：
(1)全称量词命题存量词命题概念．
(2)含量词命题真假判断．
(3)含量词命题真假求参数取值范围．
2．常见误区：命题省略量词全称量词命题强调整体全部存量词命题强调部分．
1．列命题中存量词命题( )
A．实数0等0
B．意负数零
C．正方形矩形
D．存没值二次函数
答案 D
解析 D选项存量词命题．
2．列命题中全称量词命题真命题( )
A．二次函数图象开口
B．存条直线已知直线行
C．意实数aba－b≤0a≤b
D．存实数x等式x2－2x＋1＝0成立
答案 C
解析 BD存量词命题应排A二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象开口应排应选C
3．命题负数满足等式1＋x>0∃写成存量词命题__________________．
答案 ∃x<01＋x>0
解析 存量词命题存集合M中元素xp(x)成立符号简记∃x∈Mp(x)．
4．次函数y＝kx＋2(x∈R)图象恒第三象限实数k取值范围________．
答案 {k|k>0}
解析 次函数y＝kx＋2图象点(02)恒第三象限k>0
1．列命题∀x∈Rx2>3种表述方式( )
A．x∈Rx2>3
B．x∈Rx2>3
C．选x∈Rx2>3
D．少x∈Rx2>3
答案 C
解析 ∀表示意．
2．(选)列命题全称量词命题( )
A．意然数正整数
B．菱形正方形
C．梯形两边行
D．∃x∈Rx2＋1＝0
答案 AC
解析 选项A中命题含全称量词意全称量词命题选项C中梯形两边行全称量词命题．
3．(选)列命题中存量词命题( )
A．然数偶数
B．正方形菱形
C．6整数3整
D．存x∈R|x|≤0
答案 AD
解析 选项A存量词命题选项B叙述正方形菱形全称量词命题选项C叙述切6整数3整全称量词命题选项D存量词命题．
4．列命题中假命题( )
A．∃x∈R|x|＝0 B．∃x∈R2x－10＝1
C．∀x∈Rx3>0 D．∀x∈Rx2＋1>0
答案 C
解析 x＝0时x3＝0选项C假命题．
5．列命题中全称量词命题真命题( )
A．∀x∈R2x＋1>0
B．2x偶数x∈N
C．菱形四条边相等
D．π理数
答案 C
解析 A项全称量词命题真命题
A正确
B项假命题全称量词命题
B正确
C项全称量词命题真命题C正确
D项真命题全称量词命题
D正确．
6．已知命题p：∀x∈Rx2＋2x－a>0p真命题实数a取值范围( )
A．a>－1 B．a<－1
C．a≥－1 D．a≤－1
答案 B
解析 题意等式x2＋2x－a>0x∈R恒成立
必Δ＝4＋4a<0解a<－1
7．列命题全称量词命题________存量词命题________．(填序号)
①正方形四条边相等
②两角45°三角形等腰直角三角形
③正数方根等0
④少正整数偶数．
答案 ①②③ ④
解析 ①②③全称量词命题④存量词命题．
8．∃x∈[12]x－a≤0真命题实数a取值范围________．
答案 (－∞1)
解析 题意命题∃x∈[12]x－a≤0真命题(x－a)min≤0
∴1－a≤0∴a≥1
9．判断列命题真假．
(1)条线段长度正理数表示
(2)存实数x等式x2＋x＋8＝0成立．
解 (1)假命题边长1正方形角线长度 正理数表示．
(2)假命题方程x2＋x＋8＝0判式Δ＝－31<0方程实数解．
10．判断列命题全称量词命题存量词命题判断真假性．
(1)正实数t正(2)存实数xx2－3x－4＝0
(3)存实数(xy)3x－4y－5>0
(4)角分线点角两边距离相等．
解 (1)全称量词命题假命题
取t＝1(2)存量词命题真命题
判式Δ＝b2－4ac＝25>0
(3)存量词命题真命题取实数(20)3x－4y－5>0成立．
(4)全称量词命题真命题．
11．(选)列命题中正确( )
A．∃x∈Rx≤0
B．少整数合数质数
C．∃x∈{x|x理数}x＋5理数
D．存x∈Rx2＋1<2x
答案 ABC
解析 A中∃x∈Rx≤0正确
B中少整数合数质数正确例数1满足条件
C中∃x∈{x|x理数}x＋5理数正确例x＝π
D中x2－2x＋1＝(x－1)2≥0错误．
12．已知命题p：∃x∈Rx2＋4x＋a＝0命题p假命题实数a取值范围( )
A．04
C．a<0 D．a≥4
答案 B
解析 ∵p假命题∴方程x2＋4x＋a＝0没实数根Δ＝16－4a<0a>4
13．够说明存两相等正数aba－b＝ab真命题组序数(ab)________．
答案 (答案唯)
解析 存两相等正数aba＝b＝时a－b＝ab真命题．
14．已知命题p：∃x∈R(a－3)x＋1＝0真命题实数a取值集合________．
答案 {a|a≠3a∈R}
解析 ∃x∈R(a－3)x＋1＝0真命题关x方程(a－3)x＋1＝0实数解a－3≠0a≠3求实数a取值集合{a|a≠3a∈R}．
15．已知A＝{x|1≤x≤2}命题∀x∈Ax2－a≤0真命题充分必条件( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
答案 C
解析 该命题真命题时
需a≥(x2)maxx∈A＝{x|1≤x≤2}．
y＝x21≤x≤2值4
a≥4
a≥4⇏a≥5a≥5⇒a≥4
命题∀x∈Ax2－a≤0真命题充分必条件a≥5
16．∀x∈R函数y＝x2＋mx－1－a图象x轴恒公点求实数a取值范围．
解 函数y＝x2＋mx－1－a图象x轴恒公点
Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立m2＋4a＋4≥0恒成立．
设y1＝x2＋4a＋4转化二次函数图象恒x轴方(图象顶点x轴)充条件Δ1＝02－4(4a＋4)≤0a≥－1
综述实数a取值范围{a|a≥－1}
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231 全称量词命题存量词命题
学目标 1理解全称量词全称量词命题定义2理解存量词存量词命题定义3会判断命题全称量词命题存量词命题会判断真假．
导语
学生活中常听全体起立操场集合南孤帆远东风意吹种体现出意句子诗情画意常听学考清华学学没交作业该存种拷问心灵歌词．里出现数学中非常重量词全体意存等天含量词命题展开讨．
全称量词命题存量词命题识
问题 列语句命题？较(1)(3)(2)(4)间什关系？
(1)x>3
(2)2x＋1＝3
(3)x∈Rx>3
(4)存x∈R2x＋1＝3
提示 语句(1)(2)中含变量x知道变量x代表什数法判断真假命题．语句(3)(1)基础短语变量x进行限定语句(4)(2)基础短语存变量x进行限定(3)(4)成判断真假语句语句(3)(4)命题．
知识梳理
全称量词命题
存量词命题
量词
意
存
符号
∀
∃
命题
含全称量词命题称全称量词命题
含存量词命题称存量词命题
般形式
∀x∈Mp(x)
∃x∈Mp(x)
注意点：
(1)集合观点全称量词命题陈述某集合中元素具某种性质命题存量词命题陈述某集合中存少元素具某种性质命题．
(2)全称量词命题中全称量词省略理解时需补充出．
例1 判断列命题全称量词命题存量词命题量词符号∀∃表述列命题．
(1)意x∈{x|x>－1}3x＋4>0成立
(2)实数ab方程ax＋b＝0恰解
(3)整数2整3整
(4)某四边形行四边形．
解 (1)全称量词命题表示∀x∈{x|x>－1}3x＋4>0
(2)全称量词命题表示∀ab∈R方程ax＋b＝0恰解．
(3)存量词命题表示∃x∈Zx2整3整．
(4)存量词命题表示∃x∈{y|y四边形}x行四边形．
反思感悟 判断命题全称量词命题存量词命题方法
判断命题全称量词命题存量词命题关键量词．某全称量词命题量词省略根命题表达意义判断时会相应量词符号正确表达命题．
踪训练1 判断列语句全称量词命题存量词命题．
(1)凸边形外角等360°
(2)矩形角线相等
(3)四边形菱形四边形角线互相垂直
(4)实数ab|a－b|＝|a|＋|b|
(5)方程3x－2y＝10整数解．
解 (1)改凸边形外角等360°
全称量词命题．
(2)改矩形角线相等
全称量词命题．
(3)四边形菱形菱形
全称量词命题．
(4)含存量词存量词命题．
(5)改写存整数xy3x－2y＝10成立存量词命题．
二含量词命题真假判断
例2 判断列命题真假．
(1)∃x∈Zx3<1
(2)面直角坐标系中意序实数(xy)应点P
(3)∀x∈Nx2>0
解 (1)－1∈Z(－1)3＝－1<1
∃x∈Zx3<1真命题．
(2)序实数面直角坐标系中点应关系知真命题．
(3)0∈N02＝0命题∀x∈Nx2>0假命题．
反思感悟 判断命题真命题应出证明判断命题假命题需举出反例具体言：
(1)判定存量词命题真定集合找元素命题真否命题假．
(2)判定全称量词命题真必须定集合中元素命题真判定全称量词命题假定集合中找元素命题假．
踪训练2 试判断列命题真假：
(1)∀x∈Rx2＋1≥2
(2)直角坐标系条直线x轴交点
(3)存整数xy2x＋4y＝6
解 (1)取x＝0x2＋1＝1<2
∀x∈Rx2＋1≥2假命题．
(2)x轴行直线x轴交点
该命题假命题．
(3)取x＝3y＝02x＋4y＝6真命题．
三含量词命题真假求参数范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}B≠∅命题p：∀x∈Bx∈A真命题求m取值范围．
解 命题p：∀x∈Bx∈A真命题
B⊆AB≠∅
解2≤m≤3
延伸探究
1．例中命题p改∃x∈Ax∈B求m取值范围．
解 p真A∩B≠∅
B≠∅m≥2
解2≤m≤4
2．例中命题p改∀x∈Ax∈B否存实数m命题p真命题？存求出实数m取值范围存说明理．
解 命题p：∀x∈Ax∈B真命题
A⊆BB≠∅
解m∈∅
存实数m命题p真命题．
反思感悟 含量词命题真假求参数取值范围问题求解方法
(1)首先根全称量词存量词含义透彻理解题意．
(2)次根含量词命题真假命题真假问题转化集合间关系函数值问题转化关参数等式(组)求参数取值范围．
踪训练3 命题∃x∈Rx2－4x＋a＝0真命题求实数a取值范围．
解 ∵命题∃x∈Rx2－4x＋a＝0真命题∴方程x2－4x＋a＝0存实数根
Δ＝(－4)2－4a≥0解a≤4
1．知识清单：
(1)全称量词命题存量词命题概念．
(2)含量词命题真假判断．
(3)含量词命题真假求参数取值范围．
2．常见误区：命题省略量词全称量词命题强调整体全部存量词命题强调部分．
1．列命题中存量词命题( )
A．实数0等0
B．意负数零
C．正方形矩形
D．存没值二次函数
答案 D
解析 D选项存量词命题．
2．列命题中全称量词命题真命题( )
A．二次函数图象开口
B．存条直线已知直线行
C．意实数aba－b≤0a≤b
D．存实数x等式x2－2x＋1＝0成立
答案 C
解析 BD存量词命题应排A二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象开口应排应选C
3．命题负数满足等式1＋x>0∃写成存量词命题__________________．
答案 ∃x<01＋x>0
解析 存量词命题存集合M中元素xp(x)成立符号简记∃x∈Mp(x)．
4．次函数y＝kx＋2(x∈R)图象恒第三象限实数k取值范围________．
答案 {k|k>0}
解析 次函数y＝kx＋2图象点(02)恒第三象限k>0
1．列命题∀x∈Rx2>3种表述方式( )
A．x∈Rx2>3
B．x∈Rx2>3
C．选x∈Rx2>3
D．少x∈Rx2>3
答案 C
解析 ∀表示意．
2．(选)列命题全称量词命题( )
A．意然数正整数
B．菱形正方形
C．梯形两边行
D．∃x∈Rx2＋1＝0
答案 AC
解析 选项A中命题含全称量词意全称量词命题选项C中梯形两边行全称量词命题．
3．(选)列命题中存量词命题( )
A．然数偶数
B．正方形菱形
C．6整数3整
D．存x∈R|x|≤0
答案 AD
解析 选项A存量词命题选项B叙述正方形菱形全称量词命题选项C叙述切6整数3整全称量词命题选项D存量词命题．
4．列命题中假命题( )
A．∃x∈R|x|＝0 B．∃x∈R2x－10＝1
C．∀x∈Rx3>0 D．∀x∈Rx2＋1>0
答案 C
解析 x＝0时x3＝0选项C假命题．
5．列命题中全称量词命题真命题( )
A．∀x∈R2x＋1>0
B．2x偶数x∈N
C．菱形四条边相等
D．π理数
答案 C
解析 A项全称量词命题真命题
A正确
B项假命题全称量词命题
B正确
C项全称量词命题真命题C正确
D项真命题全称量词命题
D正确．
6．已知命题p：∀x∈Rx2＋2x－a>0p真命题实数a取值范围( )
A．a>－1 B．a<－1
C．a≥－1 D．a≤－1
答案 B
解析 题意等式x2＋2x－a>0x∈R恒成立
必Δ＝4＋4a<0解a<－1
7．列命题全称量词命题________存量词命题________．(填序号)
①正方形四条边相等
②两角45°三角形等腰直角三角形
③正数方根等0
④少正整数偶数．
答案 ①②③ ④
解析 ①②③全称量词命题④存量词命题．
8．∃x∈[12]x－a≤0真命题实数a取值范围________．
答案 (－∞1)
解析 题意命题∃x∈[12]x－a≤0真命题(x－a)min≤0
∴1－a≤0∴a≥1
9．判断列命题真假．
(1)条线段长度正理数表示
(2)存实数x等式x2＋x＋8＝0成立．
解 (1)假命题边长1正方形角线长度 正理数表示．
(2)假命题方程x2＋x＋8＝0判式Δ＝－31<0方程实数解．
10．判断列命题全称量词命题存量词命题判断真假性．
(1)正实数t正
(3)存实数(xy)3x－4y－5>0
(4)角分线点角两边距离相等．
解 (1)全称量词命题假命题
取t＝1
判式Δ＝b2－4ac＝25>0
(3)存量词命题真命题取实数(20)3x－4y－5>0成立．
(4)全称量词命题真命题．
11．(选)列命题中正确( )
A．∃x∈Rx≤0
B．少整数合数质数
C．∃x∈{x|x理数}x＋5理数
D．存x∈Rx2＋1<2x
答案 ABC
解析 A中∃x∈Rx≤0正确
B中少整数合数质数正确例数1满足条件
C中∃x∈{x|x理数}x＋5理数正确例x＝π
D中x2－2x＋1＝(x－1)2≥0错误．
12．已知命题p：∃x∈Rx2＋4x＋a＝0命题p假命题实数a取值范围( )
A．0
C．a<0 D．a≥4
答案 B
解析 ∵p假命题∴方程x2＋4x＋a＝0没实数根Δ＝16－4a<0a>4
13．够说明存两相等正数aba－b＝ab真命题组序数(ab)________．
答案 (答案唯)
解析 存两相等正数aba＝b＝时a－b＝ab真命题．
14．已知命题p：∃x∈R(a－3)x＋1＝0真命题实数a取值集合________．
答案 {a|a≠3a∈R}
解析 ∃x∈R(a－3)x＋1＝0真命题关x方程(a－3)x＋1＝0实数解a－3≠0a≠3求实数a取值集合{a|a≠3a∈R}．
15．已知A＝{x|1≤x≤2}命题∀x∈Ax2－a≤0真命题充分必条件( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
答案 C
解析 该命题真命题时
需a≥(x2)maxx∈A＝{x|1≤x≤2}．
y＝x21≤x≤2值4
a≥4
a≥4⇏a≥5a≥5⇒a≥4
命题∀x∈Ax2－a≤0真命题充分必条件a≥5
16．∀x∈R函数y＝x2＋mx－1－a图象x轴恒公点求实数a取值范围．
解 函数y＝x2＋mx－1－a图象x轴恒公点
Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立m2＋4a＋4≥0恒成立．
设y1＝x2＋4a＋4转化二次函数图象恒x轴方(图象顶点x轴)充条件Δ1＝02－4(4a＋4)≤0a≥－1
综述实数a取值范围{a|a≥－1}
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