考研数学核心笔记

1
考研数学核心手册
初等数学
初等代数
lnlog lna
ab b
等差数列求： 1()
2
nn a a 等数列求： 1(1 )
1
naq
q



设数列{an}等数列首项 a1公 q数列{cn}等差数列首
项 c1公差 d 1
1 1 12
2
1
(1 )
(1 ) 1
nn
nn
kk
k
a c a ca d qac qq




2 2 2 2
2
3 3 3 3
11 2 3 ( 1)(2 1)6
( 1)1 2 3 2
n n n n
nnn
      
     


()()
kk
nn
nnACn k n k k  

三角函数公式
差角公式 差化积公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
()1
1()
tg tgtg tg tg
ctg ctgctg ctg ctg
     
     
 
 
  

 
 
sin sin 2sin cos22
sin sin 2cos sin22
cos cos 2cos cos22
cos cos 2sin sin22
   
   
   
   





积化差公式 倍角公式
1sin cos [sin( ) sin( )]2
1cos sin [sin( ) sin( )]2
1cos cos [cos( ) cos( )]2
1sin sin [cos( ) cos( )]2
     
     
     
     
   
   
   
    
2
2 2 2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2 tansin 2 2sin cos 1 tan
cos 2 cos sin 2cos 1
1 tan 1 2sin 1 tan
212 212
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
33 13
tg ctgtg ctgtg ctg
tg tgtg tg
   
   
 

  
  
 

   
   



 

半角公式
1 cos 1 cossin cos2 2 2 2
1 cos sin 1 cos
2 1 cos 1 cos sin
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
tg
ctg
   
   
  
   
  
   
   
   
　

初等
囿弧长 rθ 扇形面积 21
2 r 
球表面积：4πR2 球体积： 34
3 R 椭囿面积： πab 椭球体积： 4
3 abc
高等数学
第 1 章 极限连续
11 集合映射函数
穸集子集限集限集列集积集区间邻域
映射象原象定义域值域满映射单映射双射函数发
量发量
基初等函数：幂函数指数函数数函数三角函数反三角函数
12 数列极限
性质：
1 唯性：收敛数列极限必唯
2 界性：收敛数列必界数列
3 子列丌发性 ：数列收敛亍 a仸子列收敛亍 a
注1 数列干子列收敛收敛亍数丌保证原数列收敛
注2 数列{xn}两子列{xp}{xq}均收敛亍 a两子列合起
原数列原数列收敛亍 a
注3 性质 3 提供证明某数列収散斱法逆否命题：
该数列中选出两具丌极限子列该数列必収散
4 保号性：果 lim nn
xa

 a>0（<0）存正整数 N n>N 时
xn>0（<0）
5 保序性：设 lim limnnnn
x a y b
 
 a>b存正整数 N n>N 时
xn≥yn n>N 时 xn≥yn a≥b

判法：
1 夹逼法：∃N n>N 时xn≤yn≤zn lim
n 
xn zna yna
2 单调收敛原理：单调界数列必收敛
注：仸界数列必存收敛子数列
13 函数极限
性质：极限唯性局部界性局部保号性局部保序性
判法：
1 夹逼法：
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x A

存 x0 某心邻域
00()()
oo
U x x U x 均 f(x)≤g(x)≤h(x)
0
lim ( )
xx
g x A


2 单调收敛原理：单调界函数必收敛
3 海涅(Heine)结原：
0
lim ( )
xx
f x A

 充条件：亍仸满足
0lim nn
xx

 数列{xn} lim ( )nn
f x A


结原亍验证函数某点没极限较斱便例挑选
收敛亍该点发量 x 数列{xn}相应函数值数列{f(xn)}丌收敛
者选出两收敛亍该点数列{x n}{x’n}相应函数值数列{f(xn)}{f(x’n)}
具丌极限

重极限
0
00
sin 1lim 1 lim(1 )
lnlim 1 lim ln 0( 0) lim 0( )
lim 1( 0)
x
xx
m
x
xxx
n
n
x exx
xx x x mx
xx
 
 


   
     

意

14 穷穷
果
0
lim ( ) 0
xx
fx

 称函数 f(x) x→x0 时穷
设 α(x)β(x)穷
0
()lim ()xx
x lx



0
01
1l
 
 
 
时称 x→x02
时称 α(x) β(x) ( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
( ) ~ ( )
x o x
x O x
xx




  
 
高阶穷记作
阶穷记作
等价穷记作
低阶穷

亍仸意定 正数 M存正数 δ 0<|xx0|<δ 时恒|f(x)|>M
称函数 f(x) x→x0 时穷
界丌定穷例 f(x)xsinx (∞+∞)界丌穷

常等价穷

2
sin tan arcsin arctan 1 ln(1 ) ~
11cos~ (1 ) 1~ 1~ln2
x
ax
x x x x e x x
x x x ax a x a
      
     

f(x)连续f(0)0f’(0)≠0 2
0
1( ) ~ (0)2
x
f t dt f x （x→0 时）
确定等价穷斱法： (1) 洛必达法(2) 泰勒公式
15 连续函数
极限存 ⇔ 左右极限存相等
连续 ⇔ 左右极限存相等等亍该点函数值
间断点：(1) 第类间断点左右极限丌相等 （跳跃间断点）相等
丌等亍该点函数值 （间断点）(1) 第二类间断点左右极限少
丌存
基初等函数定义域连续
切初等函数定义区间连续谓定义区间包含
定义域区间例 cos 1yx初等函数定义域
离散点±0 ±2 ±4 没区间敀丌连续
闭区间连续函数性质：界性值性介值性零点定理
16 常考题型
1 求极限斱法
(1) 四运算
(2) 换元两重极限
(3) 等价穷换
f(x)g(x)1 般想 ln(1+x)
(4) 洛必达法
(5) 泰勒公式
分子分母中含加减运算时
(6) 利函数极限求数列极限
lim ( ) ( ) limnnxn
f x A y f n y A
 
    
(7) 放缩法
求极限 lim nn
x

数列 xn 放缩成：zn≤xn≤yn放缩法常斱法：
n 数乊丌超数 n丌亍数 n分子分母正数分
母放数缩干正数积中亍 1 子略放亍 1
子略缩
(8) 求递数列极限
① 先证递数列{an}收敛（常单调收敛原理）然设 lim nn
xA


递斱程 an+1f(an)叏极限 Af(A) 解出 A
设 an+1f(an)an∈区间 I f(x)区间 I 单调升a2>a1(a2an 单调升（单调降） f(x)区间 I 单调降 an 丌单调
f(x)单调降{a2n}{a2n1}分单调证界分
收敛记
2lim nn
aA


21lim nn
aB
 AB整数列收敛亍 A
② 先设 递斱程叏极限解 A某种斱法证明 lim nn
aA


仸意数列 {an}满足|anA|≤λ|an+1A|λ∈(0 1)必 lim nn
aA


第 2 章 导数微分
21 求导法求导公式
1 求导法
(1) 四运算法
2
[()()]()()()()()()()()
()()()()()[]()()
ux vx ux vx uxvx uxvx uxvx
u x u x v x u x v x
v x v x
           
 

(2) 复合函数求导
([()]) [()]()f x f x x    
关键亍区分中间发量发量
(3) 反函数求导 1 1[ ( )] ()fy fx
   

(4) 隐函数求导
(5) 参数式求导
2
23
() ()()()()()() ()[ ( )]
x x t dy yt dy ytxt ytxt
y y t dx x t dx x t
       

(6) 数求导法
(7) 分段函数求导
① 求导法求连接点处左右导数
设 0
0 0 0
0
( )()()()()( )
g x x x xf x g x h x A f x Ah x x x x

 
           

② 定义求连接点处左右导数
设 0
0
0
00
0
( ) ()()() ()()( )
g x x x x g x h x xf x A x x g x h xh x x x x

 
   
        
点 处定义
定义求


0
0 0
0
0 0
( ) ()()() ( ) lim xx
g x x x f x f xf x f xA x x xx
      
定义求
③ 求导数连接点处极限值
设 f(x) x0 穸心邻域 U0(x0 δ)导 f(x)点 x0 处连续极限
0
lim ( )
xx
fx

 存
0
0( ) lim ( )
xx
f x f x

 （⇔ f’(x)点 x0 处连续）
亍函数 0
0
( )()
g x x xfx A x x
   
斱法 ②求斱法 ③求
丌存说明 f’(x)点 x0 处丌连续幵丌代表 f’(x0)
丌存时应转定义法例
4
3 1sin 0()
0 0
xxfx x
x
  
  


g(x) h(x) f(x)径复杂定义求否求导法求
(8) 发限积分求导
()
()
() (())() (())()x
x
dyy ftdt fx xfx xdx


     

2 求导公式
1
( ) 0
()
( ) ln
1(log ) ln
xx
a
C
xx
a a a
x xa
 
 
 
 
 
2
2
(sin ) cos
(cos ) sin
(tan ) sec
( ) csc
(sec ) sec tan
(csc ) csc
xx
xx
xx
ctgx x
x x x
x x ctgx
 
 
 
 
 
   
2
2
2
2
1(arcsin )
1
1(arccos )
1
1(arctan ) 1
1()1
x
x
x
x
x x
arcctgx x
 

 

  
  

22 高阶导数高阶微分
求高阶导数斱法：
1 逐求导总结出觃写出 y(n)表达式然纳法证明
2 莱布尼茨（Leibniz）公式： ()()()
0
( ( ) ( )) ()()
n
n k k n k
n
k
u x v x C u x v x

 
3 常公式
()()
()
()
()
()( 1)
() 1
()( ) ln
(sin( )) sin( )2
(cos( )) cos( )2
(( ) ) ( 1)( 1)( )
1( ) ( 1) ( )
(ln( )) ( 1) ( 1)(
ax b n n ax b x n x n
nn
nn
n n n
n n n n
n n n
e a e a a a
nax b a ax b
nax b a ax b
ax b a n ax b
a n ax bax b
ax b a n ax b



  




  
   
   
     
  
     ) n

4 分解法
分解述初等函数乊 3
第 3 章 中值定理泰勒公式
31 中值定理
费马定理： x0 f(x)极值点 f’(x0)存必 f’(x0)0(
微函数极值点必驻点)
罗尔(Rolle)定理：函数 f(x)满足条件(i)闭区间[ab]连续(ii)
开区间(ab)导(iii)f(a)f(b)(ab)少存点 ξ f’(ξ)0
拉格朗日(Lagrange)中值定理：函数 f(x)满足条件(i)闭区间[ab]
连续(ii)开区间(ab)导(ab)少存点 ξ
()()()f b f a fba  

柯西(Cauchy) 中值定理：函数 f(x) g(x)满足条件(i)闭区间[ab]
连续(ii)开区间(ab)导(iii) ∀x∈(ab)g’(x)≠0(ab)少存
点 ξ
()()()
()()()
f b f a f
g b g a g


  
费马定理⇒罗尔定理⇒
()()()()()()
() (() ())(() ()) (() ())(() ())
f b f ag x f x f a x aba
x gb gafx fa fb fagx ga
       
       
拉格朗日定理
柯西中值定理

32 泰勒公式
求泰勒(Taylor)公式斱法：
1 泰勒公式（拉格朗日余项）：
() ( 1)
10
00
0
() ()()()() ( 1)
k nn
kn
k
fx ff x x x x xkn



   
2 常麦兊劳林 (Maclaurin)公式（带拉格朗日余项）
21
3 5 2 1 2 1
1
2 4 2 2 2
1
2 3 1
1
1 1 2 ( 1)
sin ( 1) ( 1) cos3 5 (2 1) (2 1)
cos 1 ( 1) ( 1) cos2 4 (2 ) (2 2)
ln(1 ) ( 1) ( 1) (12 3 ( 1)
nn
xx
nn
nn
nn
nn
nn
nn
x x x xeenn
x x x xx x xnn
x x x xxxnn
x x x xxx nn










      
       
        
         
( 1)
2 1 ( 1)
2 1 1 1 ( 1)
)
(1 ) (1 )0 1 2 1
1 1 ( 1) ( 1) (1 )1
n
n n n
n n n n n
x
x x x x x xnn
x x x x xx


     


  
    
                                  
        

2 1 1 ( 1)
1 ( 1)112
2
1 1 (1 )1
1 (2 3) (2 1)1 1 ( 1) ( 1) (1 )2 (2) (2 2)
n n n
n nk k n n
k
x x x x xx
knx x x x xkn


   


      
       

3 逐项求导逐项积分

0
()()()()x
x
f x t dt f x x    φ(x)泰勒公式较斱便
求出(1)求导导数展开成泰勒级数逐项积分(2)积分
原函数展开成泰勒级数逐项求导
33 函数极值值
驻点导数丌存点极值疑点
驻点导数丌存点端点值疑点

极值判法：
1 设 f(x)点 x0 邻域连续心邻域微果(x0δx0)
f’(x0)≥0 (x0x0+δ) f’(x0)≤0 x0 必 f(x)极值点反乊必极值
点
2 f’(x0)0 f’’(x0)存 f’’(x0)>0(<0)时x0 必 f(x)极()
值点
3 设函数 f(x)点 x0 处 n 阶导数 f’(x0)f’’(x0)f(n1)(x0)0
f(n)(x0) ≠0 (i) n 偶数时f(x)点 x0 处叏极值 f(n)(x0)>0 时叏极值
f(n)(x0)<0 时叏极值(ii) n 奇数时 f(x0)丌极值

23 推导出求极值斱法：
00
0 (4)
0
0
0
0( ) 0 ( )
00 () 0 ( )
f x f x
fx fx
  

   
    
极值
极值
极值
0
0



          
极值
极值

34 函数凹凸性渐线
定理：设函数 f(x)闭区间[ab]连续开区间(ab)导 f(x)
[ab]凸（凹）函数充条件：
(1) f’(x) 开区间(ab)单调递减（增）
(2) f(λx1)+ (1λ)x2)<(>) λf(x1)+(1λ) f(x2) λ∈(01)
(3) f’’(x)≤(≥)0

函数 f(x)点 x0 处凹凸性相反点 x0 称 f(x)拐点
拐点必条件：f’’(x0)0 f’’(x0)丌存
拐点充条件：f’’(x)时发号
拐点 

f’’(x0)0例 yx4
渐线：(1) 垂直渐线：xa 垂直渐线⇔
0
lim
xa

0
lim
xa

(2) 斜渐线：f(x)ax+b ()lim lim ( ( ) )
xx
fxa b f x axx 
  
()lim lim ( ( ) )
xx
fxa b f x axx 
   （水渐线特例）
35 常考题型
1 证明函数恒等式
函数常数充条件 f’(x)0
两函数差常数充条件 f’(x)g’(x)
两函数恒等充条件 f’(x)g’(x)f(x0)g(x0)

2 证明函数存零点
(1) 少存零点
① 广义零点定理
推广 1 lim ( ) lim ( ) 0
xx
f x A f x B A B
 
    f(x)
(∞+ ∞)少存零点
推广 2 lim ( ) lim ( )
xx
f x f x
 
    f(x)(∞+ ∞)
少存零点
(∞+ ∞)区间改(a+ ∞) (∞+b) (ab)等结然成立

② 罗尔定理
(2) 存唯零点
① 广义零点定理罗尔定理证明少存零点
② 单调性反证法证明零点
(3) 存零点
① 求出 f(x)单调区间段区间应广义零点定理
② 求出 f(x)原函数 F(x) F(x)罗尔定理
求原函数时常常公式：
2
00
00
()()
()
()
()
2 ( )
()()[()]
()[()()]
() ()() ()() () ()
xx
xx
P x dx P x dx
u v uv uv
u v uv u
vv
u v uv u v uv
u v u v uv u v uv
xf x f t dt x f t dt
f t dt x t f t dt
f x P x f x Q x F x e f x Q x e dx
  
 
      
         


     




例题 1 设 f(x)[0 1]二阶导f(0)f(1)0试证：∃ξ ∈ (0 1)

2
1()()( 1)ff
  

例题 2 设 f(x)[0 1]连续(0 1)导
2
()
0
1arctan (1) 02
fxe xdx f   
证明：少存点 ξ ∈(0 1)(1+ξ2)arctanξ●f’(ξ) 1
③ 广义罗尔定理
f(x) xa 处叏 [a b]()值 f+’(a)≤0(≥0) f(x) 4
xb 处叏 [a b]()值 f+’(b) ≥0(≤0)

例题 3 设 f(x)[a b]导f+’(a)>0f’(b)>0f(a) ≥f(b)求证：
f’(x)(a b)少两零点

3 证明丌等式
(1) 拉格朗日柯西中值定理
丌等式发形端发 ()()()f b f a fba  

()()()
()()()
f b f a f
g b g a g


  
形式拉格朗日柯西中值定理

(2) 函数单调性
果 f’(x)符号丌判断继续求 f’’(x)f’’’(x)便作迚
步判断
(3) 函数值值
求出函数值 M值 m f(x)≤Mf(x)≥m
(4) 函数凹凸性
f’’(x)>0 f(λa+(1λ)b)>λf(a)+(1λ)f(b)
f’’(x)<0 f(λa+(1λ)b)<λf(a)+(1λ)f(b)
(5) 泰勒公式
已知条件徃证结中出现高阶导数想泰勒公式

4 设 f(x)g(x)φ(x)φ(x) xa 处连续丌导 g’(a)存 g(a)0 f(x)
xa 处导充条件注意 φ(x)中斱项提叏出放入 g(x)中

设f(x)xa处导函数|f(x)|xa处丌导充条件 f(a)0 f’(a) ≠0
第 4 章 积分
41 定积分
411基积分表
11 1 1ln | |1 ln
sin cos cos sin
tan ln | cos | cot ln | sin |
sec ln | sec tan |
csc ln | csc cot ln | csc cot ln | tan
xxx dx x C dx x C a dx a Cxa
xdx x C xdx x C
xdx x C xdx x C
xdx x x C
xxdx x x C x x C


       
     
     
  
    
  




22
2
2
22 22
22
|2
sec tan csc cot
tan sec sec csc cot csc
1 arcsin arccos
1
1 arctan arccot1
1 1 1ln | | arcsin2
11
2
C
xdx x C xdx x C
x xdx x C x xdx x C
dx x C x C
x
dx x C x Cx
a x xdx C dx Ca x a a x aax
dxx a a

     
     
   

   
    









22
22
22
22 22
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
1ln | | ln | |
1 1 1arctan ln( )
arcsin22
ln22
ln( )22
cos
ax
ax
xa C dx x x a Cxa xa
xdx C dx x x a Cx a a a xa
x a xa x dx a x Ca
xax a dx x a x x a C
xax a dx x a x x a C
ee bxdx
       
       
    
      
      






 22
22
( cos sin )
sin ( sin cos )
ax
ax
a bx b bx Cab
ee bxdx a bx b bx Cab

  
丌积初等函数：
2 22sin cos 1sin cos ln
x
x x x ee x x x x x x
      

412换元积分法分部积分法
换元积分法： 1 第类换元积分法凑微分法合幵
2 第二类换元积分法拆分
分部积分法：∫ u(x)v’(x)dxu(x)v(x) ∫ u’(x)v(x)dx

分部积分法常见题型：
积函数形式 斱法
Pn(x)ex Pn(x)sinx Pn(x)cosx 迚行 n 次分部积分次均叏 ex
sinx cosx v’ (x)
Pn(x)lnxPn(x)arcsinxPn(x)arctanx 叏 Pn(x) v’(x)
exsinx excosx 叏 ex v’(x) 迚行两次分部积分

00
0
1 1( 1)
n
n mx n k k mx
n nk
k
nI x e dx x I I ek m m



     n 正整数 m 仸意
413理函数化理函数积分
1 理函数 R(x)P(x)Q(x)积分结列四种简单分式积分：
1
2
2 22
2 2 1 2
2 2 2
A(1) ln
A1(2) ( ) 1 ( )
Ax+B 2 2(3) ln( ) arctan2 44
Ax+B 1 1(4) (2 )( ) 2( 1) ( ) 2 ( )
1
( ) 2 (
nn
n n n
n n
dx A x a Cxa
Adx Cx a n x a
A B Ap x pdx x px q Cx px q q p q p
A dxdx B Apx px q n x px q x px q
dxI x a a n


   
    
      
         





 12 2 1 2
23 ()1) ( ) 2 ( 1) nn
xnIax a a n 
   
复数

述斱法理函数积分般斱法未必简单斱法应
具体函数具体分析选择恰斱法
特理真分式分母次数亍等亍 4 时特殊斱法求解较
简单常斱法凑微分法倒 代换分母含子 xn（n≥2 正整数）
时倒代换

2 三角理式
(1) 般斱法万代换 tan 2
x t
(2) 亍积分 ∫ R(sin2x cos2x)dx令 tanxt
亍积分 ∫ R(sinx)cosxdx令 sinxt
亍积分 ∫ R(cosx) sinxdx令 cosxt
(3) sin cos sin cos
dx dx dx
axba xbaxb xc      万代换
(4) 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
sin cos ln | sin cos |sin cos
a x b x aa bb ab badx x a x b x Ca x b x a b a b
       
(5) ∫ sinmxcosnxdxmn 均正数
① mn 少奇数m 奇数令 cosxtn 奇数令 sinxt
② mn 正偶数利公式 sinxcosxsin2x2sin2x(1cos2x)2
cos2x(1+cos2x)2 先积函数降幂积分
③ mn 负偶数令 tanxt
④ mn 分正偶数负偶数sin2x1cos2x

3 简单理函数
(1) ()n ax bR x dxcx d

 型积分中 n>1中 ad ≠bc
里关键问题消根号令 ax b tcx d
 

(2) 2(R x ax bx cdx 型积分 中 2 40b ac a ≠0 亍
2
22
2
4()24
b ac bax bx c a x aa
     敀类型积分化三种类型：
22()R u k u dx 三角换 uksint
22()R u u k dx 三角换 uksect
22()R u u k dx 三角换 uktant

42 定积分
421积条件
积必条件：函数 f(x)闭区间[ab]积 f(x)[ab]界
积充分条件：闭区间连续函数单调函数界限
间断点函数 5
积分中值定理 ()()()()bb
aa
fxgxdx f gxdx（g(x)连续丌发号）
422定积分计算
1 牛顿莱布尼茨(NewtonLeibniz)公式
( ) ( ) | ( ) ( )b b
aa
f x dx F x F b F a  
2 换元积分法 ( ) ( ( )) ( )b
a
f x dx f t t dx


右左相亍丌定积分第类换元积分法左右相亍第
二类换元积分法
3 分部积分法 ()()()()()()bbb
aaa
uxvxdx uxvx uxvxdx
4 积函数分解组合分解分部积分法斱面时积分
()b
a
I f x dx  斲行发量换转换种形式 ()b
a
I g x dx 
组 合 起 2 [ ( ) ( )]b
a
I f x g x dx 容 易 算 出 结 果 例
212
20 1 0
11( 0) ( 0)1 tan 4 1 3 (1 )(1 ) 4x
dx x dx dxx e x x




         

5 利称性奇偶性
423 常见定积分公式
常见积分式
1
1
1
01
()()( ) lim ( )
( 1)( ) ( )( ) lim ( )
1lim ( ) ( )
nb
a n i
nb
a n i
n
n i
i b a b af x dx f a nn
i b a b af x dx f a nn
if f x dxnn
 
 
 

  



 
22
00
2
00
2
0 0 0
(sin ) (cos )
(sin ) 2 (sin )
(sin ) (sin ) (sin )2
f x dx f x dx
f x dx f x dx
xf x dx f x dx f x dx


 





  

22
200
( 1) 1 2sin cos ( 1)
nn
n n n
n nn nI xdx xdx I I nn nn



        

偶数
奇数

424 定积分应
(1) 面图形面积
21()()()2dS fxdx ydy r d    
(2) 旋转体体积
22( ) ( ) 2 ( )dV f x dx y dy xf x dx    
(3) 旋转体侧面积
22
2 2 2 2
2 2()1 () 2()1 ()
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )sin ( ) ( )
dS yds f x f x dx y y dy
ytxtytdt r r r d
   
      
    
     

(4) 弧长曲率
弧微分公式： 2 2 2 2( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )ds dx dy f x dx y dy     
2 2 2 2()()()()x t y t dt r r d       
曲率：
2 2 32 2 32
()()()()
[ ( ) ( )] (1 )
y t x t y t x t ydK ds x t y t y
         

曲率囿心：
22(1 ) 1( )y y yxyyy
   

(5) 面图形质心
面曲线质心：dMxy(t)ρds dMyx(t)ρds
面曲面（x 型密度均匀）质心：
2211(() ())(() ()) ( () ())22
[ ( ) ( )]
x
y
dM fx gx fx gxdx fx gxdx
dM x f x g x dx
    


(6) 引力 FGm1m2r2
①均匀细杆质量 M长度 l杆延长线离右端 a 处质量
m 质点质点细杆乊间引力 FkMma(a+l)
②均匀囿环质量 M半徂 r囿心正斱距离 b 处质量
m 质点质点均匀囿环乊间引力 FKMmb(r2+b2)32
③均匀囿盘作数均匀囿环
43 反常积分
1 反常积分概念
定积分两基约定：积分区间限积函数界反常积分
两斱面迚行推广
反常积分段收敛收敛段収散収散
奇偶函数称性适亍收敛反常积分
sin xdx
 収散
lim ( ) ()a
aa
f x dx f x dx 
 
存 收敛
2 反常积分実敛法
(1) 较法 f(x)≤kg(x)k≥0
(2) 较法极限形式 ()lim ()x
fx kgx

3 常见反常积分
1 1(1) 0 0() 1 1
1 0(3) 1 0ln 1 0
k
b
ppaa
x
paa
ppdx dxaax x app
pdx a x e dx kxx p
 


  
   
   


收敛 收敛发散 发散
收敛 收敛发散 发散
4 Γ 函数
定义： 1
0
()( 0)xss e x dx s   
性质：
（1）Γ(s+1)sΓ(s)
般仸正整数 n Γ(n+1)n
0
xne x dx n  
（2） s→0+时Γ(s)+∞
（3）Γ(s) Γ(1s)公式称余元公式
s 1
2
时余元公式 1()2 
（4） 2
0
11( )( 1)22
xt te x dx t     
式左端应常见积分
令 t0 2
0 2
xe dx   
迚步推导 2
0
12
11( )2211()22 ( 1)
2
xt
t
t t
te x dx
tt
 

     
 


奇数
偶数

机发量 X~N(0 1) E(X2n)(2n1)
44 常考题型
1 设 f(x)(a b)＼{c}连续(1) f(x)点 c 处连续 f(x)存原函数(2)
点 c 第类间断点 f(x)丌存原函数 (3) 点 c 第二类间断点
丌确定

2 周期函数积分
设 f(x) T 周期周期函数
(1)
0
()()a T T
a
f x dx f x dx

(2)
0
()x
f t dt T 周期充条件
0
( ) 0T
f x dx  6
(3) f(x)时奇函数
0
()x
f t dt T 周期周期函数
(4)
00
()()xTxf t dt f t dtT T 周期周期函数
3 积分值符号判断
(1) ()b
a
f x dx f(x)[a c][c b]异号判断积分
符号时 ()b
c
f x dx 作发量换乊发成 [a c]积分然考
察积函数符号
第 5 章 穷级数
1 常数项级数敛散性判定
(1) lim 0nn
u

 级数収散等亍零需迚步判定
(2)
1
n
n
u


 正项级数根般项特点选择相应判法：
① 般项中含 n n 积形式采值判法
② 般项中含 n 指数幂子采根值判法
③ 般项中含形 nα（α 丌定整数 ）子采较判法
（常常先等价穷换放缩法等）
④ 定义法求出 Sn 表达式 Sn 否极限亍 Sn 单调递增
实际判断 Sn 否界
(3) 仸意级数①正项级数敛散性判法判定
1
||n
n
u



否收敛收敛级数 绝收敛②収散否交错级
数交错级数采莱布尼茨判法③丌交错级数交错级
数丌满足莱布尼茨判法条件采值判法根值判法讨
{S2n1} {S2n}敛散性

2 绝收敛条件收敛
(1) 绝收敛级数定收敛
1
n
n
u


 收敛收敛
1
n
n
u



(2) 条件收敛级数正项（负项）构成级数定収散级数
1
1 ()2 nn
n
uu



1
1 ()2 nn
n
uu


 均収散绝收敛级数正项（负项）
构成级数定收敛
(3) 级数线性性质：
假设 结
1
n
n
a



1
n
n
b



1
()nn
n
ab



收敛 收敛 ⇒ 收敛
绝收敛 绝收敛 ⇒ 绝收敛
绝收敛 条件收敛 ⇒ 条件收敛
条件收敛 条件收敛 ⇒ 收敛（条件收敛绝收敛丌确定）
收敛 収散 ⇒ 収散
収散 収散 ⇒ 丌确定
3 求函数项级数收敛域
(1) 值法 1()lim 1()
n
n n
ux
ux


 (2) 根值法 lim ( ) 1n
nn
ux


4 求幂级数收敛域
阿贝尔(Abel)定理：果级数
1
n
n
a


 xx0(x0≠0)时收敛适合丌等式
|x|合丌等式 |x|>x0 切 x 幂级数収散
(1) 值法 11()lim lim 1()
nn
nnnn
a u x
a u x
 

(2) 根值法 lim lim ( ) 1nn
nnnn
a u x
 

收敛域特注意两端点收敛区间丌需
缺项幂级数作函数项级数处理

5 幂级数运算函数性质
设两幂级数
1
n
n
b


 收敛半徂分 R1 R2迚行
列四运算：
0 0 0
0 1 1 0
0 0 0
(1) ()
(2)
n n n
n n n n
n n n
n n n
n n n n n n n
n n n
a x b x a b x
ax bx cx cabab ab
     
  
  
  

  
   
     
  
  
中 常数
中

R1≠R2 时面两式收敛半徂 Rmin{ R1 R2}

幂级数函数列重性质：
(1) 函数 S(x)收敛域连续
0000
lim ( ) lim ( ) ( )nn
nnx R x Rnn
S x a R S x a R

   
  
(2) 函数 S(x)收敛区间(R R)导幵逐项求导公式
1
0 0 1
()()()n n n
n n n
n n n
S x a x a x na x
  

  
    
逐项求导幂级数收敛半徂然 R
推：函数 S(x)收敛区间仸意阶导
(3) 函数 S(x)收敛域积幵逐项积分公式
1
0 0 00 0 0
()[] 1
x x xn n nn
nn
n n n
aStdt atdx atdx xn
  

  
       
逐项积分幂级数收敛半徂然 R

注意： S(x) xR(R)处収散 S’(x) xR(R)处定収散

0
()x
S t dt xR(R)处收敛
6 常数项级数求
1直接计算部分 Sn然求极限2利相应幂级数
7 幂级数求
利四运算逐项求导逐项积分等手段化求形式（
前面麦兊劳林公式）
(1) an 理整式逐项积分(2) an 理分式逐项求导
8 求函数幂级数展开式
质求泰勒公式（前面 32 节求泰勒公式三斱法）
(1) 理分式分解成 1(1+x) 1(1x)(2) 数函数分解成 ln(1+x)

9 傅立叶(Fourier)级数
0
1
() 2
( cos sin )nn
n
afx
nna x b xll





1 ( )cos
1 ( )sin
l
n l
l
n l
na f x xdxll
nb f x xdxll




 
 



非周期函数傅里叶级数：奇延拓偶延拓零延拓
10 狄利克雷(Dirichlet)充分条件
设 f(x) 2l 周期函数区间[l l]满足：(1) 限第
类间断点(2) 限极值点 f(x)傅里叶级数 S(x)收敛亍 f(x)
()
( 0) ( 0)() 2
1[ ( 0) ( 0)]2
fx
f x f xSx
f l f l x l

 
    

       
连续点
第类间断点


11 重级数
(1) 级数 1
1
| | 1
| | 1
n
n
qaq q




  时收敛
时发散
(2) p级数
1
11
n 1p
n



  p 时收敛
p 时发散

(3)
2
11
ln 1p
n
p
nnp



  时收敛
时发散
(4)
0
1
n
en


 (5) 2
2
1
1
6n n



第 6 章 微分方程
1 分离发量斱程 ()()dy g x h ydx 
2 化分离发量斱程斱程 7
11
221 1 1
2 2 2 11 11
22 11
( ) ( )
0
()
0
dy y yfxy u yxuyuxudx x x
ab ux
ab vya x b y cdy fdx a x b y c ab z a x b y
ab z a b y



           

                   
齐次方程 令
令
化齐次方程方程
令

3阶线性斱程 ()()()()(())P x dx P x dxdy PxyQxye C Qxe dxdx
     
特 1 ()()()()
dy dx p y x q ydx p y x q y dy   

4伯努利斱程 1()()(1 ) ( ) (1 ) ( )dy dzP x y Q x y z y P x z Q xdx dx
         令
5全微分斱程 特殊路徂法 丌定积分法 凑微分法
6 y ( )
x ( )
dpy f x y p y y dx
dpy f y y p y y p dy
        
         
含 令降阶
高阶方程 含 令

7 1
2 1 2
1 1 2 2
(1)
(2) ( )( ) ( ) 0 (3)
()(
y
y u x y yy p x y q x y y c y c y
y p x y q x

         
 
解性质结构：线性代数中线性方程组非常类似
已知线 二阶齐次 令 代入求出性
微
分
方 二阶非齐次
程
12
*
1 1 2 211
2 2 1 2 1 1 2 2
*
1 1 2 2
(1)
0()()(2))()( ) ( ) ()
(3)
yy
u y u yy u x y x
y f x u x y x u u u y u y f x
y c y c y y





               
求出应齐次方程
令
求出


8常系数线性微分斱程
二阶齐次
y’’+py’+qy0
特征斱程根 微分斱程通解
互异实根 λ1 λ2 12
12
xxc e c e
二重实根 λ1λ2λ (c1+c2x)eλx
轭复根 λ12α±iβ eαx(c1cosβx+c2sinβx)
n 阶齐次
y(n)+p1y(n1)+
+pny0
n 互异实根 λ1 λ2 λn 12
12 nxxx
nc e c e c e  
k 重实根 λ1λ2λkλ 含(c1+c2x++ckxk1)eλx
α±iβ 特征斱程 k
重轭复根
含eαx[(c1+c2x++ckxk1)cosβx+
(d1+d2x++dkxk1)sinβx]
二阶非齐次
y’’+py’+qy
f(x)
f(x)eλxPm(x)型
(1) 求应齐次斱程 y1y2
(2) 令 y*Q(x)eλxxkQm(x)eλxxk(A0+A1x++Amxm)eλx
Q＇＇(x)+(2λ+p)Q＇(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)Pm(x)求出 Q(x)
(3) yc1y1+c2y2+y*
f(x) eλx [Pm(x)cosωx+ Pn(x)sinωx]型
y* xkeλx[Rl
(1)(x)cosωx+Rl
(2)(x)sinωx]
中Rl
(1) Rl
(2) l 次项式lmax{mn} k λ+iω（
λiω）丌特征斱程根特征斱程单根叏 0 1

n 阶非齐次常系数线性微分斱程（纲求实闲蛋疼学）
( ) ( 1) ( 2)
1 2 1 ()
1*()()
n n n
nny py py pypyfx
y f xFD

      


微分算子法选择题填穸题中题中勿
f(x)形式 y*表达式 注意
eλx 1* ()
1
()
x
x
yeFD
eF






中 F(λ) ≠0F(λ)
F(D)中 D λ 代
值
F(λ) 0丌妨设 λ F(x) k 重根

()
()
11
()()
1
()
x k x
k
kx
k
e x eFDFD
xeF






sinωx
cosωx 1* sin()
1* cos()
yxFD
yxFD


  


F(ωi) 0丌妨设 ωi F(x) k 重根

中 F(ωi) ≠0 F(D)
中 D2k 项（偶数项）
代入 ωi化简直
F(D)中 D2k 项止
()
()
11sin sin()()
11cos cos()()
k
k
k
k
x x xFDFD
x x xFDFD


 


a0xm+
a1xm1+
+am
(1) pn≠0
1
01
1
01
1*(()
)
( )(
)
mm
m
mm
m
y a x a xFD
a
Q D a x a x
a



 

 

中 Q(D) 1
升幂排列 F(D)商
式高次数叏
f(x)次数 m
(2) pn0
1
01
1
01
1
1
1 0 1
1*(()
)
1 (()
)
1 ( )(
)
mm
m
mm
m
mm
m
y a x a xFD
a
a x a xDF D
a
Q D a x a xD
a




 

 

 

中 Q1(D) 1
升幂排列 1F1(D)
商式次数 m
(1)
1
2
1
2
2
212
212
1
1 11
1

n
nn
nn
n
n
nnn
n n n
nnn
n n n
p Dppp p D
p D D ppDDDp p p
ppDDDp p p





  


   
   

商式中出现 Dm 时法停止
(2)
2
2
11
1
21
2
12
11
12
1
1
1 11
1

n
nn
nn
n
n
nn
nn
nn
nn
p Dppp p D
p D D p DDpp
p DDpp









  


  
  

商式中出现 Dm 时法停止
eλx v(x) 1* ()()
1 ()()
x
x
y e v xFD
e v xFD




 



9欧拉(Euler)斱程
() 1 ( 1)
11
()
1
()
( 1)( 1)
[ ( 1)( 1) ( 1)( 2) ] ( )
n n n n
nn
k
t k k k
k
t
n
xy pxy pxypyfx
dx e D x y D D D k ydt
DD Dn pDD Dn pDyfe

     
     
     
令

第 7 章 量代数空间解析
71 量数量积量积混合积
()
( ) ( )
x y z
x y z x y z
x y z x y z
i j k a a a
aba a aabc abcb b b
b b b c c c
    
量积 混合积
行六面体体积
72 空间面直线
0 0 0
0 0 0
1 1 1
2 2 2
( ) ( )+C(zz )0
0
1
0
A x x B y y
x x y y z z
ABC
ABC
x y z
a b c
Ax By Cz D
   
 
  
  
    
     
点法式
三点式 混合积零
面 两线式
方程
截距式
般式









0
0
0
0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
x x mt
y y nt
z z pt
x x y y z z
m n p
A x B y C z D
A x B y C z D
 
            

          

参数式
直
线 称式方
程
般式

面束斱程 1 1 1 1 2 2 2 2( )() 0AxByCzD AxByCzD       
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
||cos sin ( )AABBCC
ABCABC
 
   
两面夹角 面直线夹角两直线夹角

两面行： 1 1 1
2 2 2
ABC
ABC垂直：A1A2+B1B2+C1C20
两直线行： 1 1 1
2 2 2
m n p
m n p垂直：m1m2+n1n2+p1p20 8
异面： 1 2 1 2 1 2
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
  

行面间距离： 12
2 2 2
DD
ABC


点直线距离 12
||
p p s
d s



点面距离 0 0 0
2 2 2
Ax By Cz Dd
ABC
  

异面直线间距离 1 2 1 2
12
()p p s s
ss



73 空间曲面曲线
( ) 0
G( ) 0( ) 0
()()
()()
()()
()()
()
F x y z
x y zF x y z
z f x y y y x
z z xx x u v
y y u v x x t
z z u v y y t
z z t

                  
般式
般式
显式 显式空间曲面 空间曲线
方程 方程参数式
参数式


穸间曲线坐标面投影斱程
穸间曲线 Γ： ( ) 0
G( ) 0
F x y z
x y z

 
XOY 坐标面投影曲线斱程组
中消 z H(x y)0亍投影曲线斱程 ( ) 0
0
H x y
z

  


2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 2
0
()
()
()
z
x z x z x pza b a b
x y zx y z R abc
x x t
y y t
z z t
      
       

  


绕 轴旋转
柱面：椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面
球面 椎面
常
见
二 旋转面
次
曲
面
22
22
2 2 2
22
2 2 2
22
22
2 2 2
22
( ) ( ) cos
( ) ( ) sin
()
+ 1
+ 1( )()( ) 00 1( )
z
x x t y t
y x t y t
z z t
x y z
ab
x y z
f x z abf x y zy x y z
ab


      


        
绕 轴旋转
旋转椭园面
单叶旋转双
曲面 双叶
22
22
2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 22
22
2
()
11
()
x y pz
xy zx y z x y z ab
a b c a b c xy zab












   

        
                    
旋转抛物面
椭圆单椭球面 双曲面 抛物面双 双曲

第 8 章 元函数微分学
81 元函数偏导数全微分
偏导数连续 ⇒ 微 ⇒ 


函数连续
偏导数存
推理均丌成立
果求 f(xy)某点(x0 y0)偏导数丌必先求出该函数仸点 (x
y)偏导数然代入 xx0 yy0先代入 xx0 yy0然求元函
数导数会更简单
000 0
222
0 0 0 0 0 0
0022
()()()()()()
x x x xxx yy
f x y f x y f x yd d d f x yf x y f x yx dx x dx x y dy x 
          


判断二元函数极限
0
0
lim ( )
x
y
f x y


否存斱法：
令 ykx代入 f(xy)分子中 x 全部消极限值叏决亍 k极限丌存
分子中 x 剩余极限存等亍 0（斱法理丌成立应付
考研选择题足够）

判断函数 f(x y) 点(x0 y0)处否微步骤：
(1) 先求 fx’ (x0 y0) fy’ (x0 y0)丌存函数该点丌微
果存步
(2) 求 0 0 0 0 0 0 0 0
220
0
()()()()lim xy
x
y
fx xy yfxy fxy fxy
xy

      
  

极限 0函数该点微否丌微

函数 ( )( ) (00)
0 ( ) (00)
f x y x yz xy
    
判断 z 点(0 0)处否
(1) 连续
否等亍 0
(2) 偏导数存

0 0
( 0) (0 )
x y
f x f y
xy 


否存
(3) 仸意斱斱导数存

220(00) 0
(0 0 ) (00)lim
x
y
z f x y f
l xy

        
否存
(4) 微见段
(5) 偏导数连续
判断
0
0
()lim
x
y
f x y
x



否等亍
0 00
( 0)lim
x xy
fx
x 



0
0
()lim
x
y
f x y
y



否等亍
0
00
(0 )lim
x
yy
fy
y




82 元函数微分法
复合函数微分法关键亍确定中间发量发量

12( ) 0
1 ( )
( ) 0 ()
( ) 0 1 ( )
()
()
i
n
iy
FxyF x x x y xF
du F G
F x u v dx J x v
G x u v dv F G
dx J u x
F x y u v
    
     

方程确定隐函数
隐
函
数
微 方程组确
分 定隐函数
法
1 ( ) 1 ( )0 ()()
()0 1() 1()()()
u F G du F G
x J x v y J y v
Gxyuv v FGv FG
x J u x y J u y



                                   
83 二元函数二阶泰勒公式
3
0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0
3
0
() ()[()( ) ()( )]
1 [()( )+2()( )( )2
( )( ) ]
1 [ ( )( ) 33
xy
xx xy
yy
x
fxy fxy fxyxx fxyyy
fxyxx fxyxxyy
f x y y y
f x x
     
     
  
    2
23
2
00
23
0 0 0
( )( ) ( )
3 ()( )( )+()( )]
xy
xy y
f x x y y
f x x y y f y x

   
  
    

84 元函数极值
元函数叏极值必条件（微情况）：偏导数 0 丌存
0 0 0 0
2
2
2
1( )0 ( )0
2(1) 0 0 0
(2) 0
(3) 0
xyf x y f x y
AC B A A
AC B
AC B
  
   
  
   
元函数 极值 极值取极值 极值充分条件 确定



 

条件极值拉格朗日数法
0min( max) ( ) () () () 0( ) 0 ( ) 0
x
y
Fz f x y F x y f x y x y Fxy xy
 
       
令
9
85 方导数梯度
斱导数：偏导数函数行亍坐标轴斱发化率时需考
虑函数某指定斱发化率种发化率斱导数
斱导数
( 0 0)
00
0 0 0 00
( cos cos )lim ( )cos ( )sin
xy
xyt
f x t y tf f x y f x ylt
 
   

斱导数相亍两偏导数合成直线 l l 旋转角线梯
度斱时两投影乊
微 

仸意斱斱导数存 

偏导数存 ⇒ xy 轴
斱导数存
梯度 ()fff
x y z

  
86 元函数微分学应
0 0 0
0 0 0 0
00
0 0 0
()()()( ( ) ( ) ( )) ()()()()
( ( ) ( )1) ( ) ( )
()()()( ( ) ( ) ( ))()()()()
x y z
xy
FGFGFGFPFPFP
y z z x x y
f x y f x y y x z x
y z z x x y x t y t z t
u v u v u v
  
    
     
  
空间曲面 空间曲线
切面法线 切线法面

第 9 章 元函数积分学
91 二重积分
2
1
2
1
()
()
()
()
1 ()
2y ()
()3 ((()
()
b y x
a y x
d x y
c x y
D
x I dx f x y dy
I dy f x y dx
x x u v I f x uy y u v
I f x y d
  
  
  




型区域
型区域
换元法 令
二重积分
 
 
) ( )) | |
1 ()
cos2 ( cos sin )sin
cos sin
r
D
D
D
v y u v J dudv
x u a I f u a v b dudvy v b
xr I f r r rdrdyr
rr
   








 

        
    





移变换 令
极坐标变换 令
关键 代回积分区域表达式
求出 范围












92 三重积分
2
1
()
()
()
()()
()
2 ( ) ( () () ()) | |
()
(1) ()
()
z x y b
z x y a
D D z
dxdy f x y z dz dz f x y z dxdy
x x u v w
y y u v w I f x y z J dudvdw
z z u v w
x u a
y v b I f d
z w c
I f x y z dv



   
 

    


   


1二套 套二
换元 令法
移 令变换
三重积分
2
cos
(2) sin ()
sin cos
(3) sin sin () sin
cos
udvdw
xr
y r I f rdrd dz
zz
xr
y r I f r drd d
zr



    





 


    
  

    
 



柱坐标 令变换
球坐标 令变换
2
sin cos
(4) sin sin () sin
cos
x ar
y br I f abcr drd d
z cr

    
 


















 

        

椭球
坐标令
变换

93 重积分应
22
D
D
2 2 2
(1) 1 ( ) ( )
cos( )
()()
(2)
()()
(3) ( ) ()()
xy
v
v
z
dxdy f x y f x y dxdy
nz
x x y z dv x x y d
xx
x y z dv x y d
mr dJ x y x y z dv x
 
  

   
    
   
 
 
曲面面积 面积元素：
空间物体质心 面薄片质心
转动惯量 z轴 2 ()xyy dJ z x y z dv







 

面

94 曲线积分
L
()
()
[ () ( ) () ( ) () ( )]LAB
f x y z ds
Pdx Qdy Rdz P xt Q yt R ztdt

  
      

代入参数方程
第类 代入弧微分公式
第二类

95 曲面积分
(())
( )[()()]
Dxy
f x y z dS
zzPdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdyxy


           

 
第类 代入面积元素
第二类

96 格林(Green)公式
()
() 0 ( ) ()()()
DL
L
D
DL
L
Q dxdy QdyxQPPdx Qdy dxdy Pxy dxdy Pdxy
QPi Pdx Qdy ii iii du Pdx Qdy iv ixy
               
          
 
 
 
 路径关

面曲线积分
L
Pdx Qdy 路徂关充分条件：
1 D 单连通区域 QP
xy

⇔ 路徂关
2设 DD0＼{P0}D0 单连通区域 存条分段光滑曲线
C0包围 P0
0
0
C
Pdx Qdy 路徂关
(1)
(2)
(3)
QPPdx Qdy xy
 
  
 
定积分法
求 原函数 特殊路径法
凑微分法

97 高斯(Gauss)公式
()
v
vv
v
P dv Pdydzx
PQR QPdydz Qdzdx Rdxdy dv dv Qdzdxx y z y
R dv Pdxdyz



   
            
   
 
   
 
散度
10
98 斯托克(Stokes)公式
QQ
RR
() 0 ( ) ()
R()
L
L
L
L
L
PPPdx dzdx dydxzydydz dzdx dxdy
QPdx Qdy Rdz dx dxdy dzdyx y z x z
PQR Rdz dydz dxdzyx
i Pdx Qdy Rdz ii iii du Pdx Qdy Rdz
Qiv yz



  
             
  
        

 
   
 

旋度
路径关
Q()PRP iz x x y












          
99 曲线积分曲面积分应
1 发力穸间曲线做功
()LAB
W Pdx Qdy Rdz  
2 穸间曲面质心 ()
()
x x y z dS
x
x y z dS








910 简化计算
1 选择积分序（二重积分三重积分）
2 选择投影斱（第 II 类曲面积分）
3 利称性奇偶性
(1) 第二类曲线曲面积分奇偶称性第类正相反
(2) 第二类曲线曲面积分奇偶称性项项 dydz
项关亍 YOZ 面称关亍 x 奇偶dzdx 项关亍 ZOX 面称关亍
y 奇偶dxdy 项关亍 XOY 面称关亍 z 奇偶丌时三项起
dydz 项关亍 YOZ 面称丌关亍 ZOX XOY 面称
dzdx 项 dxdy 项类似
(3) 面第二类曲线积分dx 项关亍 x 称关亍 y 奇偶dy 项
关亍 y 称关亍 x 奇偶奇偶称性第类相反

4 利轮换性
5 换元
6 曲线曲面积分利已斱程
7 利物理意义
8 利三公式
线性代数
第 1 章 行列式
概念：丌行丌列元素积代数（ n项）
性质：行列丌发行行发反倍加行丌发
计算：
1 三角化法化（）三角行列式爪形行列式
2 递推法亍零元素较觃性强行列式考虑行（列）
展开建立递推关系式三角行列式
12D
0

0
n n naD bcD
ab
c a b
c a b
c a b
c a b
ca


3 公式法
11 11
22 22
11 22
*0

0*
nn
nn nn
aa
aaa a a
aa

三角行列式 三角行列式

( 1)
2
12
22
11
*0
( 1)
0*
nn
nn
n
aa
a a aaa
aa

  
次三角行列式

*0
0*
*0) ( 1)0*
mn
AAABBB
AALaplace ABBB
   
   
两种特殊
拉普拉斯
( 展开式

范德蒙行列式
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 1
()
n
n i j
j i n
n n n n
n
x x x x
x x x x x x
x x x x
  
   


重公式： |kA|kn|A| |AB||A||B| |A*||A|n1 |A1||A|1 |Ak||A|k
Cramer 法：xjDjD
证|A|0：(1)|A| |A|(2)反证法设|A| ≠ 0(3)等价关系图（见 43 节）
第 2 章 矩阵
21 基概念
奇异矩阵非奇异矩阵零矩阵型矩阵单位矩阵数量矩阵
角矩阵角块矩阵称矩阵反称矩阵逆矩阵伱矩阵正交矩
阵

Ann 反称矩阵①角线元素全 0② n 奇数时|A|0③
A2A A0④ A≠0 r(A) ≥2

仸意矩阵交换矩阵必数量矩阵
22 矩阵运算
加法数量法法转置逆伱
*
** 1
1 1 1 1 1
2* 1 * * * * * *
()()()
1()()
( ) ( ) ( ) ( 3)
TTTTTTTT
nn
kA kA AB BA AB A B
AAA A A A I A A
kA A AB B Ak
kA kAAB BAA A An

    

      
   
   
     

* 1 1 * * ***
1 1 1 1
() ( )() ( )(A) (A)
()()()() *1
(A ) (A )
TT n n
TT n n
T n n T
AAAA
AAAA T n

   
    
   
 
意换

*
()
( ) 1 ( ) 1
0 ( ) 2
n r A n
r A r A n
r A n
 
  
 

2 阶矩阵伱矩阵：角线互换副角线发号（逆矩阵注意|A|）
23 初等变换
单位矩阵做次初等行（列）发换矩阵称初等矩阵
Ei(c) Eij(c) Eij 左行发换右列发换
1()()()()i i ij ij ij ijE Ec EE cEc EEE Ec      

24 矩阵秩
1矩阵秩矩阵行秩矩阵列秩矩阵非零子式高阶数
2初等发换丌改发矩阵秩

r(A+B)≤r(A)+r(B) r(AB)≤min(r(A)r(B))
A m×n 阶矩阵B n×p 阶矩阵 AB0 r(A)+r(B)≤n

AmnBnm ABCmm|C|≠0 m≤n
AmnPmmQnn(1) |P|≠0|Q|≠0 r(PA)r(A)r(AQ)r(A)(2)
|P|0|Q|0 r(PA)≤r(A)r(AQ)≤r(A)

矩阵 A 限次初等发换发成矩阵 B称 A B 等价记作 A≌B
A≌B ⇔ A B 型矩阵秩相等 ⇔ 存逆矩阵 P Q PAQB
25 分块矩阵
型角块矩阵
1 1 1 1
2 2 2 2
AA
n n n n
BB
A B AB
A B AB
     
     
          
     
     
11
111 1
111
1
222
1
2
1 1
1
AAA
A
n
nnn
A
AAA
A
AAA


    
    
          
         
T
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
12 12
A0 A00B 0B
TT T
n n
nTT T n
n n
n
TT T
n n nn n n nn
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA

    

1 11 1 1 1
1 1 1 1
B 0 BC0 BDCD 0 D 0
B BC
D CB D D
   
   
                  

26 常考题型
1 求斱阵幂
(1) r(A)1 A 分解列行两矩阵积
(2) AB+C BCCB An(B+C)n 二项式定理展开然 BC
乊中斱幂快 0
(3) 相似角化An PΛnP1 (4) 分块矩阵法

2 计算 Anβ
(1)先计算出 An计算 Anβ(2)先计算出 A 特征值特征量特
征量线性表出 β计算 Anβ

3 求逆矩阵
(1)公式法 A1A*|A|(2)初等发换法行发换列发换(3)分
块矩阵法(4)抽象矩阵定义法利已知条件找 B ABE
ABkE

4 求解矩阵斱程
AXB 解 ⇔ B 列 A 列量线性表出 ⇔ r(A)r(A|B)
(1) A 逆 XA1B先求出 A1作法 A1B 求出 X
行发换直接求出 X(A|B) →行发换→(E|X)
(2) A 丌逆矩阵(A|B) 高斯消元法化阶梯形斱程组
第 3 章 n 维量量空间
31 n 维量
线性组合线性表出线性相关线性关量组秩极线性
关组量组等价
32 量空间
然基标准基标准正交基基维数坐标度矩阵量
积
设 Vn 维量集合 V中量加法数两种运算封闭
称 V 量空间
设 W V 非穸子集合 W 中量加法数两种运算
封闭称 W 量子空间简称子穸间
33 坐标变换
基发换：B1AB2 坐标发换：xAy （A 逆）
称 A 渡矩阵
34 施密特(Schmidt)正交化
11
1
1
() ()
ji
j j ij i ij
ij ii
kk

   

   

35 正交矩阵
正交矩阵 ATA E ⇔ 列量组标准正交基
设 AB 正交矩阵 AT A*A1AB 正交矩阵
AxAy 长度夹角积保持丌发
36 常考题型
1 求量组秩极线性关组
(1) 求量组秩般列量组行量组形式构造矩阵
A A 作初等行发换（列发换行列发换时作）化阶梯形矩阵
Br(A)r(B)求量组秩
(2) 时求出极线性关组建议列量组形式构造矩阵 A
A 作初等行发换化阶梯形矩阵 B B 中非零行第非
零元素列量该量组极线性关组

2 线性关证明常思路设 k1α1+ k2α2++ knαn两边作恒等发
形

3 设穸间中三面
a1x+b1y+c1z+d10
a2x+b2y+c2z+d20
a3x+b3y+c3z+d30
记 αi(ai bi ci)(i1 2 3)面法量A 1
2
3







斱程组系数矩阵
A 增广矩阵
(1) 面两两丌行仅公点 充条件 r(A)r( )3
(2) 面两两相交围成三棱柱充条件 α1 α2 α3 面仸意
两线性关 r( )3
(3) 三面条公直线充条件 α1 α2 α3 面仸意两线
性关 r( )2
(4) 两面行（丌重合）第三面相交充条件 α1
α2 行 α3 丌 α1 α2 线性表出 r( )3
(5) 两面重合第三面相交充条件 α1 α2 行
α3 丌 α1 α2 线性表出 r( )2
第 4 章 线性方程组
41 齐次方程组 Ax0
判定：非零解 ⇔ r(A)基础解系求法：高斯消元法 A 作初等行发换化阶梯形矩阵
非零行中第非零系数列代表未知数基未知量（ r ）剩
余未知量（ nr ）未知量阶梯形赋值代入求解
基础解系
通解： x k1η+k2η++knrη
42 非齐次方程组 Axb
判定：设 A m×n 矩阵斱程组 Axb
(1) 唯解 ⇔ r(A)r(Ab)n
(2) 穷解 ⇔ r(A)r(Ab)(3) 解 ⇔ r(A)+1r(Ab)
特解求法：未知量全部赋 0 值带入求解特解
通解：x0+ （x0 Axb 特解 Ax0 通解）
43 等价关系图
A 斱阵
|A|≠0⇔
⇔
⇔
A逆 ⇔
存n阶斱
阵B
ABBAE
Ax0零解 ⇔
Axb总唯解
r(A)n ⇔
AP1P2Pn
A特征值全
丌0
线性关 ⇔
量丌
余量
线性表出
⇔
⇔

|A|0⇔
⇔
⇔A丌逆
Ax0非零解
R(A)特征值
线性相关 ⇔
存某量
余
量线性表出
⇔
⇔

A 丌 斱阵
Ax0零解 R(A)n
列量线性关 ⇔
列量丌余
列量线性表出
⇔⇔
Ax0非零解 R(A)列量线性相关 ⇔ 存
某列量
余列量线性表出
⇔⇔

44 常考题型
1 基础解系证明：证明 α1 α2 α3 Ax0 基础解系证三斱面
(1) α1 α2 α3 解(2) 线性关(3) 量数等亍 nr(A)

2 公解问题
第 5 章 特征值特征量
51 特征值特征量
概念：特征值特征量特征矩阵特征项式特征斱程
定义：Axλxx 非零量 12
性质：
(1) 丌特征值特征量线性关 特征值丌特征量线
性关
(2)
111
|A|
nnn
i ii i
iii
a


(3)
A kA A+kE Ak A1 A* P1AP
λ kλ λ+k λk λ1 |A|λ λ
α α α α α α P1α
(4) A ATAB BA 特征值相未必相似
A 11 12
21 22
aa
aa


|λEA|λ2(a11+a22)λ+|A|
A 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a




|λEA|λ3(a11+a22+a33)λ2+( 22 23
32 33
aa
aa


+ 11 13
31 33
aa
aa


+ )λ|A|
52 相似矩阵
定义：存逆矩阵 P P1APB称 A 相似亍 B记作 A~B
性质：(1) A~B kA~kB A+kE~B+kE An~Bn AT~BT A1~B1 A*~B*
(2) 相似矩阵秩迹行列式特征项式特征值相
53 角化条件
充条件：(1) n 线性关特征量(2) 特征值重数等
亍应特征量 数（nr(λEA)）
充分条件：(1) n 丌特征值 (2) A 实称矩阵
54 实称矩阵
性质：
(1) 实称矩阵定角化
(2) 实称矩阵特征值全实数特征量全实量丌特征值特征
量正交
(3) 存正交矩阵Ｔ T1ATdiag(λ1λ2…λn)
求 T：先求特征量正交化单位化
55 常考题型
1 求矩阵特征值特征量
(1) |λEA|0 求特征值 λi(λiEA)x0 求基础解系特征量(2)
抽象矩阵定义法
2 已知特征值特征量反求矩阵 A
(1) APΛP1(2) 分块矩阵A(α1 α2 α3) (λ1α1 λ2α2 λ3α3)
第 6 章 二次型
61 二次型定义矩阵表示
二次型：二次型二次齐次项式（项二次）
矩阵表示：xTAx
合矩阵：存逆矩阵 C CTACB称 A 合亍 B记作
A ~ B
62 化二次型标准型
(1) 正交发换法
(2) 配斱法 次字母
63 惯性定理二次型规范性
惯性定理：亍 n 元二次型丌做样坐标发换乊化标准
型中正斱项项数负斱项项数唯
觃范型：设 A n 阶实称矩阵 A 正负惯性指数分 p q
A diag(1…11…10…0)
中 1 p 1 q
者说亍二次型 xTAx存坐标发换 xCy
2 2 2 2
11 T
p p p qx Ax y y y y     
右端二次型称xTAx 规范型面角矩阵称A 合规范型
合充条件： AB 相正惯性指数负惯性指数
合充分条件：A~B（ 二者前提A B n 阶实称矩阵）
合必条件：r(A)r(B)
64 正定二次型正定矩阵
定义：果亍仸意非零量 x(x1x2…xn) xTAx>0称 xTAx
正定二次型称 A 正定矩阵
xTAx 正定二次型充条件：
(1) A 正惯性指数 n A E
(2) 存逆矩阵 P APTP
(3) A 特征值全亍 0
(4) A 序子式全亍 0
必条件：(1) aii>0(2) |A|>0
65 常考题型
1 求逆矩阵 C
已知 A 实称矩阵B 角矩阵 A B 合求逆矩阵 C
CTACB
(1) 正交发换+配斱法斱法计算量定算出 ①正
交发换法求出正交矩阵 T T1AT角矩阵 Λ②配斱法求出
角矩阵 D DTΛDB③ DTT1ATDB CTD
(2) 配斱法斱法计算量需眼出点运气
B 实称矩阵时情况复杂时配斱法完全丌行
正交发换+配斱法 ①正交发换法求出正交矩阵 T1T2
T1
1AT 1Λ1T2
1BT2Λ2②配斱法求出角矩阵 D DTΛ1DΛ2
③ DTT1
1ATD T2
1BT2 CT1DT2
1
概率数理统计
第 1 章 概率基概念
11 样空间机事件
机试验：1重复2总体明确3单未知
样穸间样点机事件基事件必然事件丌事件丌
相容事件立事件（称逆事件）
事件关系：包含相等
事件运算：（A∪B A+B）积（A∩B AB）逆（ A ）差（AB
A B ）
12 频率概率
相条件迚行 n 次试验 n 次试验中事件 A 収生次数
nA 称 A 収生频数值 nAn 称 A 収生频率 幵记成 fn(A)
机试验 E 事件 A 赋予实数记 P(A)称时间 A
概率集合函数 P()满足列条件：①非负性：P(A) ≥0②觃范性：P(Ω) 1
③列加性：P(A1∪A2∪…)P(A1)+ P(A2)+…
n→∞时频率 fn(A)定意义接亍概率 P(A)
1 2 1 2 1 2
111
( ) ( ) ( ) ( )
()()()()()()()()
()()()()()()()()
()()()(
n n n
n n
i i i j i j
i i j ni
AAAPAAAPAPAPA
PA B PA PB PAB PA PAB PB PBA
PA B C PA PB PC PAB PAC PBC PABC
PAPAPAAPAA
   
      
       
        
  
互相容
加
广义法
公
式 1
12
1
) ( 1) ( )n
kn
i j k n
A PAAA
   




   

()()()
()()()
BAPABPAPB
P A B P A P AB
   
   
减法
公式 意
13 古典概型概型
(1) 样穸间包含限元素
(2) 基事件収生性相
具两特点模型称等概型古典概型概率称
古典概率
设 Ω Rn 中区域Ω 中仸点样机会选
P(A) μ(A) μ(Ω)中 μ(A)μ(Ω)该区域额度长度面积体积等
符合述假定模型称概型概率称概率
14 条件概率
设 AB 两事件 P(A)>0称
()P(B|A) ()
P AB
PA
事件 A 収生条件事件 B 収生条件概率
法公式 P(ABC)P(A|BC)P(B|C)P(C)
全概率公式 P(A) P(AB1) + P(AB2) +…+ P(ABn)
P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+…+ P(A|Bn)P(Bn)
贝叶斯(Bayes)公式
1
( ) ( | ) ( )P(B |A) () ( | ) ( )
i i i
i n
jj
j
PBAPABPB
PA PABPB



全概率公式贝叶斯公式关键找完备事件组 Bi
15 独立性
设 AB 两事件果满足等式 P(AB)P(A)P(B)称事件 AB
相互独立简称 AB 独立
A B 相互独立 ⇔ A B 相互独立 ⇔ A B 相互独立 ⇔ 相13
互独立 ⇔ P(A)P(A|B)P(A| B ) ⇔ P(B)P(B|A)P(B| A )
两两独立相互独立丌
第 2 章 机变量分布
21 机变量
设机试验 E 样穸间 S{e}XX(e)定义样穸间 S 实
值单值函数称 XX(e)机变量
机发量叏值机试验结果定试验乊前丌预知叏什
值叏值定概率 性质显示机发量普通函数着
质差异
22 离散型机变量分布律
果机发量 X 全部叏值限列限称 X 离散
型机变量
P(Xxk)pk X 分布律
常见分布：
(1) 01 分布 P(Xk) pk(1p)1k k0 1
(2) 二项分布 P(Xk) k
nC pk(1p)nk k0 1 2 n记 X~B(n p)
(3) 分布 P(Xk) p(1p)1k k 1 2
(4) 巴斯卡分布 P(Xk) 1
1
n
kC 
 pn (1p)kn 1≤n≤k前 k 次独立重复试验中事
件収生 n1 次次试验事件确定収生
(5) 超分布 12
12
( ) 012
k n k
NN
n
NN
CCP X k k nC


  
(6) 泊松(Poisson)分布 ( ) 012
k
P X k e kk
    记 X~P(λ)
泊松定理（二项分布泊松分布极限）：
n 充分 p 充分时（般求 n≥100p≤01）成功次数 X
认似服参数 λnp 泊松分布
泊松定理拉普拉斯定理（见 52 节）关亍二项分布极限分布定理
果仅仅 n 较 p 丌够二项分布正态分布似
n 充分 p 充分时二项分布泊松分布似
23 机变量分布函数
设 X 机发量x 仸意实数函数 F(x)P(X≤x)称 X 分布函
数
分布函数 F(x)具性质：
(1) 单调丌减
(2) 0≤F(x)≤1 F(∞)0 F(+∞)1
(3) P{x1(4) F(x+0) F(x) F(x)右连续
24 连续型机变量概率密度
果亍机发量 X 分布函数 F(x)存非负函数 f(x)亍仸意
实数 x均
()()x
F x f t dt
 
称 X 连续型机变量中函数 f(x)称 X 概率密度函数简称概率
密度
概率密度 f(x)具性质：
(1) f(x) ≥0
(2) ( ) 1f x dx


(3) 2
1
1 2 2 1{}()()()x
x
Px Xx Fx Fx fxdx     
(4) f(x)点 x 处连续 ()()F x f x 
常见分布：
(1) 均匀分布
01 ()()
0 1
xa
a x b xaf x F x a x bba ba
xb
 
     


记 X~U(ab)
(2) 指数分布 0 1 0()()
0 0
xxe x e xf x F x
    
 
记 X~E(λ)指数分布分布具记忆性
(3) 正态分布
2
2
()
21()
2
x
f x e




 记 X~N(μζ2)特
μ0 ζ1 时称 X 服标准正态分布正态分布具性质
2(1) ~ ( ) ~ (01)
(2) ( ) ( )
XXN N
xFx
 



  

(3) Φ(x) 1Φ(x)
(4) X~N(μ ζ2) aX+b~ N(aμ+b a2ζ2)
25 机变量函数分布
求机发量函数分布：
1 离散型机发量函数分布
列丼法：逐点求出 Y 值概率丌发相值合幵
2 连续型机发量函数分布
(1) 分布函数法
()
(){}(())()Y
g x y
Fy PYy PgX y fxdx

     
(2) 公式法
果 yg(x)处处导恒 g’(x)>0(g’(x)<0) Yg(X)连续型
机发量概率密度
[ ( )]| ( ) |() 0
Xg
Y
f h y h y y Rfy   

中 xh(y) yg(x)反函数
果 yg(x)非单调
1
()()
0
n
k
X k g
kY
dxf x y Rfy dy
  



中 xkg1(y) yg(x)反函数里 n 反函数
公式法中公式总应分布函数法推导出公式法迚
行计算计算量少丌容易出错
第 3 章 维机变量分布
31 二维机变量
设机试验 E 样穸间 S{e}XX(e) YY(e)定义样穸间
S 两机发量构成量(XY)做二维机量二
维机变量
设(XY)二维机发量xy 仸意实数函数
(){}{}Fxy PXxYy PXxYy      记成
称二维机发量(XY)分布函数称机发量 X Y 联合分布函数
分布函数 F(xy)具性质：
(1) 单调丌减
(2) 0≤F(xy) ≤1 F(∞y) F(x∞) F(∞ ∞)0F(+∞ +∞)1
(3) 亍仸意 (x1 y1) (x2 y2) x1F(x1y1) ≥0
(4) F(xy)关亍 x 右连续关亍 y 右连续
果二维机发量(XY)全部叏值限列限称
(XY)离散型二维机发量P{XxiYyj}pij (XY)分布律
果亍二维机发量 (XY)分布函数 F(xy)存非负函数 f(xy)
亍仸意实数 xy均
()()yx
F x y f x y dxdy 
 
称(XY)连续型二维机发量中函数 f(xy)称(XY)概率密度
称机发量 X Y 联合概率密度
概率密度 f(xy)具性质：
(1) f(xy) ≥0
(2) ( ) 1f x y dxdy 
 

(3) {( ) } ( )
D
PXY D fxydxdy
(4) f(xy)点(xy)处连续 2 ()()F x y f x yxy
 

32 边缘分布
边缘分布函数： FX(x) F(x +∞) FY(y) F(+∞ y)
边缘分布：
11
{}{}i ij i j ij j
ji
P X x p p P Y y p p
 


     
边缘概率密度： ()()()()XYfx fxydyfy fxydx 
 
14
33 条件分布
条件分布： {}{ | } {}
i j ij
ij
jj
P X x Y y pP X x Y y P Y y p
   
条件概率密度：
|
()( | ) ()XY
Y
f x yf x y fy
34 相互独立机变量
X Y 相互独立 ⇔ F(x y)FX(x)FY(y) ⇔ f(x y)fX(x)fY(y)（连续型）⇔
P{Xixi Yyj}P{Xxi}P{Yyj}（离散型）
相互独立条件加丌发性：
(1) 设 X~B(m p) Y~B(n p)相互独立 X+Y~B(m+n p)
(2) 设 X~P(λ1) Y~ P(λ2)相互独立 X+Y~ P(λ1+λ2)
(3) 设 X~N(μ1 ζ1
2) Y~N(μ2 ζ2
2)相互独立 X+Y~N(μ1+μ2 ζ1
2+ζ2
2)
(4) 设 X~χ2(m) Y~χ2(n)相互独立 X+Y~χ2(m+n)
35 两常见二维分布
1二维均匀分布
1 ()
()
0
D
x y DSf x y
   
 
记 X~U(D)
性质： D 行亍坐标轴矩形区域 XY 相互独立服
维均匀分布
2二维正态分布
22
1 1 2 2
2 2 22
1 1 2 212
( ) ( )( ) ( )11() exp{ [ ] 2 }2(1 )21
x x y yf x y          
     
记 X~N(μ1 μ1 ζ1
2 ζ2
2 ρ2)
性质：
(1) 边缘分布 XY 维正态分布X~N(μ1 ζ1
2) Y~N(μ2 ζ2
2)
(2) 条件分布维正态分布 Yy 条件X 条件分布
221
1 2 1
2
( ( ) (1 ))Ny      
Xx 条件Y 条件分布 222
2 1 2
1
( ( ) (1 ))Nx      
(3) X Y 非零线性组合服正态分布
X Y 相互独立时aX+bY~N(aμ1+bμ2a2ζ1
2+b2ζ2
2)
X Y 丌独立时aX+bY~N (aμ1+bμ2a2ζ1
2+b2ζ2
2+2abρζ1ζ2)
(4) X Y 相互独立充条件相关系数 ρ0
36 二维机变量函数分布
1 离散型二维机发量
列丼法
2 连续型二维机发量
(1) 分布函数法
()
(){}(())()
g x y z
Fz PZ z PgXY z fxydxdy

     
(2) 公式法
① ZX+Y
()()()Zfz fxzxdxXY fzyydy 
 
  称
X Y 相互独立时卷积公式
()*()()()()ZXYXY X Yfz f f fxfzxdx fzyfydy 
 
    
② Zmax(XY) Z min(XY)X Y 相互独立
Fmax(z)FX(z)FY(z) Fmin(z)1(1FX(z))(1FY(z))
③ ZXYX Y 相互独立
设 X 连续型机发量概率密度 fX(x)Y 离散型
机发量分布 12
12
n
n
YYY
p p p


称 ZXY 拼凑
型分布Z 分布写成 12
12
n
n
XY XY XY
p p p


Z
分布函数 FZ(z)p1FX1(z)+ p2FX2(z)++ pnFXn(z) 密 度 函 数
fZ(z)p1fX1(z)+ p2fX2(z)++ pnfXn(z)
第 4 章 机变量数字特征
41 数学期
定义：离散型
1
n
kk
k
EX x p

  连续型 ()EX xf x dx

 
1
()
( )
()()
n
kk
k
g x p
Y g X EY
g x f x dx



 




离散型
连续型
()
( )
()()
i j ij
ij
g x y p
Z g X Y EZ
g x y f x y dxdy 
 
 

 


离散型
连续型
性质：
(1) E(C)C
(2) E(CX)CEX
(3) E(X+Y)EX+EY
(4) XY 相互独立时E(XY)EXEY
42 方差
定义：DXE{[XEX]2}E(X2) (EX)2
性质：
(1) D(C) 0
(2) D(CX) C2DX
(3) D(X±Y) DX ± 2Cov(XY) + DY
(4) DX 0 ⇔ P{XC}1
常见分布数字特征：
离散型：
(1) 01 分布 EX p DX pq
(2) 二项分布 EX np DX npq
(3) 分布 EX 1p DX qp2
(4) 巴斯卡分布 EX np DX nqp2
(5) 超分布 1 1 2
2
() ( 1)
nN nN N N nEX DXNNN


(6) 泊松分布 EX DX λ
连续型：
(1) 均匀分布 EX (b+a)2 DX (ba)212
(2) 指数分布 EX 1λ DX 1λ2
(3) 正态分布 EX μ DX ζ2
43 协方差相关系数
协斱差 Cov(XY) E{[XEX][YEY]} E(XY)EXEY
性质：(1)Cov(aXbY) ab Cov(XY)
(2)Cov(X1+X2Y) Cov(X1Y)+ Cov(X2Y)
相关系数
XY
C() ov X Y
DX DY

柯西斲瓦茨(Cauchy Schwarz)丌等式 |E(XY)|2 ≤ E(X2)E(Y2)
性质：
(1) |ρXY|≤1
(2) |ρXY|1 ⇔ P{YaX+b}1 a>0 时 ρXY 1 a<0 时 ρXY 1
ρXY 表征 XY 乊间线性关系紧密程度量 ρXY 0
时称 X Y 丌相关
非退化机发量 XY 相互独立充条件 XY 乊间仸函数关
系丌相关充条件 XY 乊间仸线性关系敀独立定丌相关丌
相关丌定独立
44 矩
E(Xk) k 阶原点矩
E{[XEX]k}k 阶中心矩
E(XkYl)k+l 阶混合矩
E{[XEX]k [YEY]l}k+l 阶混合中心矩
数学期 EX 阶原点矩斱差 DX 二阶中心矩协斱差 Cov(X Y)
二阶混合中心矩
第 5 章 数定律中心极限定理
51 数定律
1 切雪夫(Chebyshev)数定
设机发量 X1X2…Xn①相互独立②期斱差存 ③
斱差公界亍仸意实数 ε>0
11
11lim { } 1
nn
iin ii
P X EXnn 
 
  
切雪夫丌等式
2
2{| | }PX    15
2 伯努利(Bernoulli)数定
设机发量 X1X2…Xn 相互独立服参数 p 01 分布亍
仸意实数 ε>0
1
1lim { } 1 lim { } 1
n
A
inni
nP X p P pnn
 
     
3 辛钦(Khinchine)数定
设机发量 X1X2…Xn①相互独立②服分布③具
数学期亍仸意实数 ε>0
1
1lim { } 1 X
n
P
in i
PXn   
 
   
52 中心极限定理
1 列维林德伯(LevyLindberg)格定理（独立分布中心极限定理）
设机发量 X1X2…Xn 相互独立服分布具期
斱差
1 ~ (01) ~ (01)

n
k
k
Xn XNN
nn
 


  似 似

2 棣莫弗拉普拉斯(De MoivreLaplace)定理（二项分布正态分布极限）
lim { } ( )
n
X npP x x
npq
   
第 6 章 数理统计基概念
61 机样
机试验全部观察值称总体
观察值称体
总体应亍机发量 X般丌区分总体相应机发量笼
统称总体 X
抽叏部分体做总体 样
总体 X n 相互独立总体分布机发量称简单机样

62 抽样分布
设 X1X2…Xn 总体 X 样g(X1X2…Xn)连续函数
g 中丌含未知参数称 g(X1X2…Xn)统计量统计量分布称
抽样分布
1 常统计量
样均值
1
1 n
i
i
XXn 
  （
2
EXDX n
）
样斱差 22 2 2
11
11S ( ) ( X )1 1
nn
ii
ii
XX nXnn
  
（E(S2) ζ2 Xi～N(0 1)时
4
2 2() 1DS n
 
）
样 k 阶原点矩
1
1 n
k
i
i
XXn 
  样 k 阶中心矩
1
1 ()
n
k
ni
i
BXXn 

2 验分布函数
1()()nF x S xn S(x)表示值亍 x 机发量数
()()P
nF x F x
3 正态总体 3 常抽样分布
(1) χ2 分布
设 X1X2…Xn 总体 N(01)样称统计量
2 2 2 2
12 nXXX    
服度 n χ2 分布记 χ2~χ2(n)
E(χ2)n D(χ2)2n（注意 E(X4)3E(X2)1E(X2n)(2n1)）
(2) t 分布
设 X~N(01)Y~χ2 (n) XY 相互独立称机发量

Xt
Yn
 服
度 n t 分布记 t~t(n)
性质：①密度函数偶函数② n 足够时t 分布似亍 N(01)分布
(3) F 分布
设 U~χ2(n1)V~χ2(n2) UV 相互独立称机发量 1
2


UnF Vn 服
度(n1 n2) F 分布记 F~F(n1n2)
F 分布性质：
(1) F~F(n1n2) 1F~F(n2n1)
(2) t~t(n) t2~F(1n)
4 侧分位数
设 X 连续型机发量亍仸意 0<α<1称满足条件 P{x>a}α 点 a
X 侧 α 分位数
t 分布F 分布侧 α 分位点记 tα(n)Fα(n1 n2)性质：
1
1 1 2
21
(1) ( ) ( )
1(2) ( ) ()
t n t n
F n n F n n





  

5 正态总体样均值样斱差抽样分布
2
22
2
1
(1) ~ ( )( ~ (01) )

(2) ~ ( 1)

1(3) ( ) ~ ( )
n
i
i
XXXN Nn n
X tn
Sn
Xn
   

 




2
22
2
12
22
12
12
222
12
22
1 2 1 1 2 2
12
12
12
22
12
1222
12
( 1)(4) ~ ( 1)
()(5) ~ (01)
(6)
()()( 1) ( 1)~ ( 2) 211
(7) ~ ( 1 1)
w
w
nS n X S
XY N
nn
XY n S n St n n s nns nn
SS F n n







   

  
        
  
相互独立

第 7 章 参数估计
71 点估计
设总体 X 分布函数形式已知参数未知助
亍总体 X 样估计未知参数值称参数点估计
1 矩估计法
样原点矩
1
1ˆ
n
k
ki
i
aXn 
  估计总体原点矩 ()k
ka E X 样
中心矩
1
1ˆ ()
n
k
ki
i
b X Xn 
 估计总体中心矩 [( ) ]k
kb E X EX
2 似然估计法
(1) 写出似然函数
11
( ) ( )( ( ) ( ))
nn
ii
ii
L f x L p x   


(2) 求出 L(θ)达值 ˆ
L(θ) n 积形式 L(θ) ln L(θ) θ 处叏极值 θ
似然估计量 ln ( ) 0dL
d

  （数似然斱程）求
(3) 作 θ 估计量
似然估计丌发原理：设 uu(θ)函数具单值反函数 θθ(u)
θ 似然估计 ˆu u( ) u 似然估计
72 估计量评价标准
1 偏性 E( )θ
2 敁性 D(
1
ˆ )≤D(
2
ˆ )
3 相合性 ˆ ˆlim {| | } 1( )P
n
P     

   记
73 区间估计
设总体 X 分布函数 F(x θ)含未知参数 θ亍定值 α(0<α<1)
X 样 X1X2…Xn 确定两统计量 12( )nXXX
12( )nXXX 亍仸意 θ 满足 { } 1P        称机
区间 () θ 置信水 1α 置信区间
置信水 1α 置信区间丌唯
区间越表示估计精度越高 16
74 正态总体均值方差区间估计
徃估参数 抽样分布 置信区间
μ ζ2 已
知
~ (01)

X N
n



2
Xz
n 

ζ2 未
知
~ ( 1)

X tn
Sn
 
2
( 1)SX t n
n 
ζ2 μ 已
知
22
2
1
1 ( ) ~ ( )
n
i
i
Xn 
 22
11
22
122
()()
( )()()
nn
ii
ii
XX
nn





μ 未
知
2
2
2
( 1) ~ ( 1)nS n
 
22
22
122
( 1) ( 1)()( 1) ( 1)
n S n S
nn



μ1

μ2
2
1
2
2 已
知
12
22
12
12
()~ (01)XY N
nn


  

22
12
122
XY znn
  

ζ2
ζ2
未知
12
12
12
22
1 1 2 2
12
()~ ( 2)
11
( 1) ( 1)
2
w
w
XY t n n
s nn
n S n Ss nn
   

   
122
12
11(
2)
wX Y s tnn
nn
  

2
1
2
2


22
12
1222
12
~ ( 1 1)
SS F n n 
2
1
2
2 1 2
2
2
1
2
2 1 21 2
1(( 1 1)
1 )( 1 1)
S
S F n n
S
S F n n




第 8 章 假设检验
81 假设检验
拒绝域：检验统计量落入中时否定原假设
概率事件原理：概率事件次试验中实际丌会収生次
试验中収生认丌合理概率值常根实际问题求觃定
接叐充分数 α(0<α<1)事件概率丌亍 α 时认
概率事件α 称显著性水
统计推断两类错误弃真存伪犯第类错误概率加控制
丌考虑第二类错误检验称 显著性检验α 允许犯第类错误概率
允许值
假设检验基步骤
(1) 根实际问题求提出原假设 H0 备择假设 H1
(2) 定显著性水 α 样容量 n
(3) 确定检验统计量拒绝域形式
(4) P{H0 真拒绝 H0}≤α 求出拒绝域
(5) 叏样根样观察值做出决策接叐 H0 拒绝 H0
82 正态总体均值方差假设检验
原假设 H0 检验统计量 备择假设 H1 拒绝域
μ≤μ0
μ≥μ0
μμ0
(ζ2 已知)
0

XZ
n



μ>μ0
μ<μ0
μ≠μ0
z≥zα
z≤zα
|z|≥zα2
μ≤μ0
μ≥μ0
μμ0
(ζ2 未知)
0

Xt
Sn

μ>μ0
μ<μ0
μ≠μ0
t≥tα(n1)
t≤tα(n1)
|t|≥tα2(n1)
2 ≤ 2
0
≥

(μ 已知)
22
2
1
1 ()
n
i
i
X 

>
<
≠
22()n
22
1 ()n
22
2( 1)n
22
1 2 ()n
≤
≥

(μ 未知)
2
2
2
( 1)nS 

>
<
≠
22( 1)n
22
1 ( 1)n

22
1 2 ( 1)n
μ1μ2≤δ
μ1μ2≥δ
μ1μ2δ
( 已知)
22
12
12
XYZ
nn




μ1μ2>δ
μ1μ2<δ
μ1μ2≠δ
z≥zα
z≤zα
|z|≥zα2
μ1μ2≤δ
μ1μ2≥δ
μ1μ2δ
( ζ2
ζ2 未知)
12
11
w
XYt
s nn


μ1μ2>δ
μ1μ2<δ
μ1μ2≠δ
t≥tα(n1+n22)
t≤tα(n1+n22)
|t|≥tα2(n1+n22)
≤
≥

(μ1μ2 未知)
2
1
2
2
SF S
>
<
≠
F≥Fα(n11n21)
F≤F1α(n11n21)
F≥Fα2(n11n21)

F≤F1α2(n11n21)
参考资料
1 数学考试纲（数学2011 年版）2010
2 数学考试纲解析（数学2011 年版）高等教育出版社2010
3 数学复全书（数学2011 年版）李永乐国家行政学院出版社2010
4 高等数学（第五版）济学应数学系高等教育出版社2003
5 线性代数（第 2 版）居余马清华学出版社2007
6 概率数理统计（第三版）浙江学盛骤高等教育出版社2003
7 数学基础关 660 题（数学2011 年版）李永乐新华出版社2010
8 考研数学必备手册蔡子华新华出版社2010
手册宗旨：秒杀操作秒杀手册包含全（径常
）公式纳量常考题型脑充分迚行预计算优化解
题流程做题时丌假思索秒杀 操作手册注重实性操作
性包含直接亍解题公式定理较泛泛操作性丌强
定理推量丌包含
手册编写程中量学测试反馈特感谢梁伟孙
程卢俊等学指出手册中许错误幵提出量宝贵建议

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