数学
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题号 二 三 总分
分
选择题（题 12 题 600 分）
1 已知集合 A{123}B{x|x2＜9} A∩B（）
A {−2 −10123} B{−2 −1012}
C{123} D {12}
答案D
解析分析
题考查交集求法基础题解题时注意交集定义合理运．
先求出集合 A B利交集定义求出 A∩B 值．
解答
解：∵集合 A{123}B{x|x2＜9}{x|3＜x＜3}
∴A∩B{12}．
选 D．
2 函数푓(푥) 1
푥2−4 − √1 − 푥 定义域
A (−∞ −2) ∪ (−21) B(−∞ −2) ∪ (−21]
C(12) ∪ (2+∞) D [12) ∪ (2 +∞)
答案B
解析略
3 已知角 α 终边点 P 坐标（sin2휋
3 cos2휋
3 ） sinα 值（ ）
A 1
2 B − 1
2 C √3
2 D − √3
2
答案B
解析分析
题考查意角三角函数定义涉诱导公式考查学生分析计算
力属基础题
利诱导公式求 P 坐标具体值条件利意角三角函数定义求 sinα
值．
解答
解：∵角 α 终边点 P 坐标（sin2휋
3 cos2휋
3 ）
∴
r|OP|√(√3
2 )
2
+ (− 1
2)
2
1第 2 页 10 页
∴sinα푦
푟− 1
2．
选 B．
4 函数푦 1
푥+2 (푥 ≥ −1)值域
A (01] B[10) C[1 +∞) D (−∞ 1]
答案A
解析略
5 sinα＞0 tanα＜0훼
2终边( )
A 第象限 B 第二象限
C 第象限第三象限 D 第三象限第四象限
答案C
解析分析
题考查象限角中三角函数符号属基础题．
利象限角三角函数符号 sinα＞0 tanα＜0 出 α 象限进出훼
2
象限
解答
解∵sinα＞0 tanα＜0
∴α 位第二象限
∴휋
2+2kπ＜α＜2kπ+πk∈
∴휋
4+kπ＜훼
2＜kπ+휋
2 k∈
k 奇数时第三象限角
k 偶数时第象限角
∴角훼
2终边第象限第三象限
选 C．
6 列四函数中（0+∞）增函数（ ）
A 푓(푥) 3 − 푥 B 푓(푥) 푥2 − 3푥 C 푓(푥) − 1
푥+1 D 푓(푥) −|푥|
答案C
解析分析
题考查函数单调性单调区间属基础题
根选项逐分析函数单调性出答案．
解答
解：A∵f（x）3x （0+∞）减函数 A 正确
B∵f（x）x23x 开口称轴 x3
2抛物线（0+∞）先减增
B 正确
C∵f（x） 1
푥+1（0+∞） y x 增增增函数 C 正确 第 3 页 10 页
D∵f（x）|x|（0+∞） y x 增减减函数 D 正确
选 C
7 已知 a2 −1
3 c （ ）
A B C D
答案C
解析分析
题考查指数函数数函数性质属基础题
解题关键助指数函数数函数单调性出푎 푏 푐 0 1 样特殊值
关系 出答案
解答
解 ∵0 < 푎 2−1
3 < 20 1
∴푐 > 푎 > 푏
选 C
8 已知偶函数푓(푥)区间(−∞0]单调递减满足푓(2푥 − 1) < 푓(1
3)푥取值范
围
A (− 1
2 2
3) B (− 1
3 2
3) C (1
3 2
3) D (1
2 2
3)
答案C
解析略
9 已知扇形半径 2面积 4扇形圆心角弧度数( )
A √3 B 2√3 C 2√2 D 2
答案D
解析分析
题已知扇形面积半径情况求该扇形圆心角弧度数着重考查扇形
面积公式属基础题．
半径 r 扇形圆心角弧度数 α面积 S1
2αr2结合题中数建立
关圆心角弧度数 α 方程．
解答
解：设扇形圆心角弧度数 α
扇形面积 S1
2αr21
2α×224
解 α2
选 D．
10 已知 cos（60°α）值( )
A 1
2 B − 1
2 C √3
2 D √3
2
答案C 第 4 页 10 页
解析分析
题考查利诱导公式求三角函数值属基础题．
利诱导公式求式子化 sin（30°+α）利条件求结果．
解答
解：cos（60°α）sin[90°（60°α）]
sin（30°+α）√3
2
选 C．
11 函数 f（x）푒푥
푥
图象致（ ）
A B
C D
答案B
解析分析
题考查函数定义域值域函数图象判断属基础题
先求出函数定义域分讨 x＞0x＜0 时函数范围判断函数图象
．
解答
解：函数 f（x）푒푥
푥
定义域：(−∞0) ∪ (0 +∞)排选项 A．
x＞0 时函数 f（x）푒푥
푥
＞0选项 C 满足题意．
x＜0 时函数 f（x）푒푥
푥
＜0选项 D 正确
选 B．
12 已知函数 f（x）{|푙푔푥| 푥 > 0
−푥(푥 + 4) 푥 ≤ 0函数 yf（x）3 零点数（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
答案D
解析分析
题考查函数零点数判断利函数零点定义直接求解利
数形结合求解利分段函数分解方程 f（x）3函数零点数
解答
解： yf（x）30 f（x）3 第 5 页 10 页
x＞0 时 f（x）|lgx|3解 lgx3 3 x1000 x 1
1000
x≤0 时 f（x）x（x+4）3 x2+4x+30解 x3 1
综函数 yf（x）3 零点数 4
选 D
二填空题（题 4 题 200 分）
13 计算： 值______．
答案5
解析分析
题考查数式指数式化简求值属基础题
利指数数运算法求解．
解答
解：
1+3×2
3+lg100
1+2+2
5
答案 5
14 已知点 P（12） α 终边 ______ ．
答案5
解析分析
题考查意角三角函数定义角三角函数基关系式属基础题
先意角三角函数定义求出正切值．代数式分子分母余弦转化关
正切代数式求解．
解答
解：∵点 P（12） α 终边
∴tanα2
答案 5
15 已知函数푓(푥)定义 R 奇函数푥 > 0时푓(푥) 2푥 − 1 푓(푓(−1))
值______．
答案1
解析分析
题考查函数奇偶性应求函数值属基础题．
利条件求 f（1）1利函数奇偶性求 f（f（1））值．
解答
解：∵函数 f（x）定义 R 奇函数 x＞0 时f（x）2x1
∴f（1）1
f（f（1））f（f（1））f（1）f（1）1 第 6 页 10 页
答案1．
16 已知函数푦 sin(2푥 − 휋
3)푥 ∈ [0 휋
2]单调递增区间______．
答案[05휋
12]
解析分析
题考查三角函数单调性考查推理力计算力属中等题．先求出函数 R
单调递增区间然定义域[0 휋
2]取交集求出答案．
解答
解：令− 휋
2 + 2푘휋 ≤ 2푥 − 휋
3 ≤ 휋
2 + 2푘휋(푘 ∈ 푍)解− 휋
12 + 푘휋 ≤ 푥 ≤ 5휋
12 + 푘휋(푘 ∈ 푍)
令퐴 {푥| − 휋
12 + 푘휋 ≤ 푥 ≤ 5휋
12 + 푘휋푘 ∈ 푍}퐴 ∩ [0 휋
2] [0 5휋
12]
函数푦 푠푖푛(2푥 − 휋
3)푥 ∈ [0 휋
2]单调递增区间[0 5휋
12]．
答案[0 5휋
12]．
三解答题（题 6 题 700 分）
17 设全集 UR集合 A{x|1≤x＜4}B{x|2a≤x＜3a}．
（1） a2求 B∩AB∩∁UA
（2） A∪BA求实数 a 取值范围．
答案解：（1）集合 A{x|1≤x＜4}∁UA{x|x＜1 x≥4}
a2 时B{4≤x＜5}
B∩A[14）B∩∁UA{x|4≤x＜1 4≤x＜5}
（2） A∪BA B⊆A分两种情形：
①B∅时 2a≥3a
∴a≥1
②B≠∅时{
2푎＜3 − 푎
2푎 ≥ 1
3 − 푎 ≤ 4
解1
2 ≤ 푎＜1
综合述求 a 取值范围푎 ≥ 1
2
解析题考查集合基运算补集集求法考查分类讨思想应
基础题．
（1）利已知条件求出 A 补集然直接求解
（2）分类讨 B 否空集列出等式组求解．
18 已知휋
2＜x＜0sinx+cosx1
5．
（1）sinxcosx 值．
（2）求 tanx 值．
答案解：（1）∵휋
2
＜푥＜0
∴푠푖푛푥 − 푐표푠푥 −√(푠푖푛푥 − 푐표푠푥)2 −√1 − 2푠푖푛푥푐표푠푥 第 7 页 10 页
−√1 − [(푠푖푛푥 + 푐표푠푥)2 − 1] −√1 + 24
25 − 7
5
（2）∵푠푖푛푥+푐표푠푥
푠푖푛푥−푐표푠푥 푡푎푛푥+1
푡푎푛푥−1 − 1
7
∴푡푎푛푥 − 3
4．
解析题考查角三角函数间基关系系基础题．解题时认真审题注意
三角函数符号．
（1）先利角三角函数间关系 sinxcosx 等价转化√1 − 2푠푖푛푥푐표푠푥求
出 sinxcosx 值
（2）先푠푖푛푥+푐표푠푥
푠푖푛푥−푐표푠푥分子分母时 cosx푡푎푛푥+1
푡푎푛푥−1 − 1
7求出 tanx 值．
19 已知푓(훼) 푠푖푛(훼−휋
2)푐표푠(3휋
2 −훼)푡푎푛(휋+훼)푐표푠(휋
2+훼)
푠푖푛(2휋−훼)푡푎푛(−훼−휋)푠푖푛(−훼−휋)
．
（1）化简 f（α）
（2）훼 − 31휋
3 求 f（α）值．
答案解：（1）푓(훼) −푐표푠훼(−푠푖푛훼)푡푎푛훼(−푠푖푛훼)
−푠푖푛훼(−푡푎푛훼)푠푖푛훼 −푐표푠훼．
（2）− 31휋
3 −5 × 2휋 − 휋
3
∴푓(− 31휋
3 ) −푐표푠(− 31휋
3 ) −푐표푠(−5 × 2휋 − 휋
3) −푐표푠 휋
3 − 1
2
푓(훼) − 1
2
解析题考查利诱导公式进行化简求值考查学生分析计算力
属基础题
（1）条件利诱导公式化简三角函数式结果
（2）条件利诱导公式化简三角函数式 f（α）值
20 已知函数푓(푥) 푎−2푥
1+2푥 (푎 ∈ 푅)푥 ∈ 푅时总푓(−푥) −푓(푥)成立．
(1)求 a 值
(2)判断证明函数푓(푥)单调性
(3)求푓(푥)[02]值域．
答案解：（1）∵f（x）f（x）
∴푎−2−푥
1+2−푥푎−2푥
1+2푥
푎⋅2푥−1
1+2푥 2푥−푎
1+2푥
∴a1
∴f（x）1−2푥
1+2푥
（2）函数 f（x） R 减函数理
∵f（x）定义域 R
∴取 x1x2∈R x2＞x1 第 8 页 10 页
∴f（x2）f（x1）1−2푥2
1+2푥2 − 1−2푥1
1+2푥1
2(2푥1−2푥2)
(1+2푥1)(1+2푥2)
∵x2＞x1
∴2푥2 > 2푥1＞0
∴푓(푥2) − 푓(푥1) < 0 f（x2）＜f（x1）
∴函数 f（x） R 减函数
（3）（2）知函数 f（x）[02]减函数
∴f（2）≤f（x）≤f（0）
− 3
5≤f（x）≤0
函数值域[3
50]
解析题考查函数奇偶性应函数单调性值域求解利定义法
解决题关键属中档题
（1）根条件建立方程关系求 a 值
（2）根函数单调性定义判断证明函数 f（x）单调性
（3）结合函数单调性求 f（x）[02]值域
21 年雾霾日趋严重工作生活受严重影响改善空气质量
已成热点问题．某空气净化器制造厂决定投入生产某型号空气净化器
根生产销售验面关生产销售统计规律：生产该型号空气净
化器 x（百台）总成 P（x）（万元）中固定成 12 万元
生产 1 百台生产成 10 万元（总成固定成+生产成）．销售收入 Q（x）
（万元）满足 Q（x）{−05푥2 + 22푥(0 ≤ 푥 ≤ 16)
224(푥 > 16) 假定该产品产销衡（生产
产品卖掉）根述统计规律请完成列问题：
（1）求利润函数 yf（x）解析式（利润销售收入总成）
（2）工厂生产少百台产品时利润？
答案解：（1）题意 P（x）12+10x
f（x）Q（x）P（x）
{−05푥2 + 22푥 − 12 − 10푥 0 ≤ 푥 ≤ 16
224 − 12 − 10푥 푥 > 16
f（x）{−05푥2 + 12푥 − 120 ≤ 푥 ≤ 16
212 − 10푥 푥 > 16
（2） x＞16 时函数 f（x）递减
f（x）＜f（16）21216052
0≤x≤16 时函数 f（x）05x2+12x1205（x12）2+60
x12 时f（x）值 f(12)60
综知工厂生产 12 百台时利润 60 万元．
解析题考查函数模型实际问题中应考查函数值问题正确求出分段
函数式求出段值解题关键属中档题．
（1）先求 P（x） f（x）Q（x）P（x）分段函数式求
（2）分求出段值注意运次函数二次函数值求法．
22 已知函数 f（x）3sin（푥
2+휋
6）+3
（1）五点法画出周期闭区间图象指出 f（x）周期称
轴第 9 页 10 页
（2）求函数值值相应变量 x 集合
（3）说明函数图象 ysinx 图象样变换．
答案解：（1）列表：
x − 휋
3
2휋
3
5휋
3
8휋
3
11휋
3
푥
2 + 휋
6 0 휋
2 π 3휋
2 2π
y 3 6 3 0 3
∴周期 T2휋
1
2
4휋（푥
2+휋
6）kπ+휋
2（k∈Z） x2kπ+2휋
3 （k∈Z）称轴
（2） sin（푥
2+휋
6）1 时函数值 3+36时（푥
2+휋
6）2kπ+휋
2（k∈Z）解 x
集合{x|x4kπ+2휋
3 k∈Z}
sin（푥
2+휋
6）1 时函数值3+30时（푥
2+휋
6）2kπ휋
2（k∈Z）解 x
集合{x|x4kπ4휋
3 k∈Z}
（3）① ysinx 图象点左移 ϕ휋
6长度单位 ysin（x+휋
6）图象
② ysin（x+휋
6）图象点横坐标伸长原 2 倍（坐标变） ysin
（푥
2+휋
6）图象
③ y3sin（푥
2+휋
6）图象点坐标伸长原 3 倍（横坐标变） y3sin第 10 页 10 页
（푥
2+휋
6）图象
④ y3sin（푥
2+휋
6）图象点移 3 长度单位 y3sin（푥
2+휋
6）+3 图象．
解析题考查五点法作图着重考查正弦函数性质作图力考查三角函数
图象性质考查学生分析解决问题力属中档题．
（1）利五点法函数图象
（2）利函数解析式知周期振幅初相称轴
（3）利函数图象 f（x）值 x 集合．
（4）利三角函数图象变换规律结
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题号 二 三 总分
分
选择题（题 12 题 600 分）
1 已知集合 A{123}B{x|x2＜9} A∩B（）
A {−2 −10123} B{−2 −1012}
C{123} D {12}
答案D
解析分析
题考查交集求法基础题解题时注意交集定义合理运．
先求出集合 A B利交集定义求出 A∩B 值．
解答
解：∵集合 A{123}B{x|x2＜9}{x|3＜x＜3}
∴A∩B{12}．
选 D．
2 函数푓(푥) 1
푥2−4 − √1 − 푥 定义域
A (−∞ −2) ∪ (−21) B(−∞ −2) ∪ (−21]
C(12) ∪ (2+∞) D [12) ∪ (2 +∞)
答案B
解析略
3 已知角 α 终边点 P 坐标（sin2휋
3 cos2휋
3 ） sinα 值（ ）
A 1
2 B − 1
2 C √3
2 D − √3
2
答案B
解析分析
题考查意角三角函数定义涉诱导公式考查学生分析计算
力属基础题
利诱导公式求 P 坐标具体值条件利意角三角函数定义求 sinα
值．
解答
解：∵角 α 终边点 P 坐标（sin2휋
3 cos2휋
3 ）
∴
r|OP|√(√3
2 )
2
+ (− 1
2)
2
1第 2 页 10 页
∴sinα푦
푟− 1
2．
选 B．
4 函数푦 1
푥+2 (푥 ≥ −1)值域
A (01] B[10) C[1 +∞) D (−∞ 1]
答案A
解析略
5 sinα＞0 tanα＜0훼
2终边( )
A 第象限 B 第二象限
C 第象限第三象限 D 第三象限第四象限
答案C
解析分析
题考查象限角中三角函数符号属基础题．
利象限角三角函数符号 sinα＞0 tanα＜0 出 α 象限进出훼
2
象限
解答
解∵sinα＞0 tanα＜0
∴α 位第二象限
∴휋
2+2kπ＜α＜2kπ+πk∈
∴휋
4+kπ＜훼
2＜kπ+휋
2 k∈
k 奇数时第三象限角
k 偶数时第象限角
∴角훼
2终边第象限第三象限
选 C．
6 列四函数中（0+∞）增函数（ ）
A 푓(푥) 3 − 푥 B 푓(푥) 푥2 − 3푥 C 푓(푥) − 1
푥+1 D 푓(푥) −|푥|
答案C
解析分析
题考查函数单调性单调区间属基础题
根选项逐分析函数单调性出答案．
解答
解：A∵f（x）3x （0+∞）减函数 A 正确
B∵f（x）x23x 开口称轴 x3
2抛物线（0+∞）先减增
B 正确
C∵f（x） 1
푥+1（0+∞） y x 增增增函数 C 正确 第 3 页 10 页
D∵f（x）|x|（0+∞） y x 增减减函数 D 正确
选 C
7 已知 a2 −1
3 c （ ）
A B C D
答案C
解析分析
题考查指数函数数函数性质属基础题
解题关键助指数函数数函数单调性出푎 푏 푐 0 1 样特殊值
关系 出答案
解答
解 ∵0 < 푎 2−1
3 < 20 1
∴푐 > 푎 > 푏
选 C
8 已知偶函数푓(푥)区间(−∞0]单调递减满足푓(2푥 − 1) < 푓(1
3)푥取值范
围
A (− 1
2 2
3) B (− 1
3 2
3) C (1
3 2
3) D (1
2 2
3)
答案C
解析略
9 已知扇形半径 2面积 4扇形圆心角弧度数( )
A √3 B 2√3 C 2√2 D 2
答案D
解析分析
题已知扇形面积半径情况求该扇形圆心角弧度数着重考查扇形
面积公式属基础题．
半径 r 扇形圆心角弧度数 α面积 S1
2αr2结合题中数建立
关圆心角弧度数 α 方程．
解答
解：设扇形圆心角弧度数 α
扇形面积 S1
2αr21
2α×224
解 α2
选 D．
10 已知 cos（60°α）值( )
A 1
2 B − 1
2 C √3
2 D √3
2
答案C 第 4 页 10 页
解析分析
题考查利诱导公式求三角函数值属基础题．
利诱导公式求式子化 sin（30°+α）利条件求结果．
解答
解：cos（60°α）sin[90°（60°α）]
sin（30°+α）√3
2
选 C．
11 函数 f（x）푒푥
푥
图象致（ ）
A B
C D
答案B
解析分析
题考查函数定义域值域函数图象判断属基础题
先求出函数定义域分讨 x＞0x＜0 时函数范围判断函数图象
．
解答
解：函数 f（x）푒푥
푥
定义域：(−∞0) ∪ (0 +∞)排选项 A．
x＞0 时函数 f（x）푒푥
푥
＞0选项 C 满足题意．
x＜0 时函数 f（x）푒푥
푥
＜0选项 D 正确
选 B．
12 已知函数 f（x）{|푙푔푥| 푥 > 0
−푥(푥 + 4) 푥 ≤ 0函数 yf（x）3 零点数（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
答案D
解析分析
题考查函数零点数判断利函数零点定义直接求解利
数形结合求解利分段函数分解方程 f（x）3函数零点数
解答
解： yf（x）30 f（x）3 第 5 页 10 页
x＞0 时 f（x）|lgx|3解 lgx3 3 x1000 x 1
1000
x≤0 时 f（x）x（x+4）3 x2+4x+30解 x3 1
综函数 yf（x）3 零点数 4
选 D
二填空题（题 4 题 200 分）
13 计算： 值______．
答案5
解析分析
题考查数式指数式化简求值属基础题
利指数数运算法求解．
解答
解：
1+3×2
3+lg100
1+2+2
5
答案 5
14 已知点 P（12） α 终边 ______ ．
答案5
解析分析
题考查意角三角函数定义角三角函数基关系式属基础题
先意角三角函数定义求出正切值．代数式分子分母余弦转化关
正切代数式求解．
解答
解：∵点 P（12） α 终边
∴tanα2
答案 5
15 已知函数푓(푥)定义 R 奇函数푥 > 0时푓(푥) 2푥 − 1 푓(푓(−1))
值______．
答案1
解析分析
题考查函数奇偶性应求函数值属基础题．
利条件求 f（1）1利函数奇偶性求 f（f（1））值．
解答
解：∵函数 f（x）定义 R 奇函数 x＞0 时f（x）2x1
∴f（1）1
f（f（1））f（f（1））f（1）f（1）1 第 6 页 10 页
答案1．
16 已知函数푦 sin(2푥 − 휋
3)푥 ∈ [0 휋
2]单调递增区间______．
答案[05휋
12]
解析分析
题考查三角函数单调性考查推理力计算力属中等题．先求出函数 R
单调递增区间然定义域[0 휋
2]取交集求出答案．
解答
解：令− 휋
2 + 2푘휋 ≤ 2푥 − 휋
3 ≤ 휋
2 + 2푘휋(푘 ∈ 푍)解− 휋
12 + 푘휋 ≤ 푥 ≤ 5휋
12 + 푘휋(푘 ∈ 푍)
令퐴 {푥| − 휋
12 + 푘휋 ≤ 푥 ≤ 5휋
12 + 푘휋푘 ∈ 푍}퐴 ∩ [0 휋
2] [0 5휋
12]
函数푦 푠푖푛(2푥 − 휋
3)푥 ∈ [0 휋
2]单调递增区间[0 5휋
12]．
答案[0 5휋
12]．
三解答题（题 6 题 700 分）
17 设全集 UR集合 A{x|1≤x＜4}B{x|2a≤x＜3a}．
（1） a2求 B∩AB∩∁UA
（2） A∪BA求实数 a 取值范围．
答案解：（1）集合 A{x|1≤x＜4}∁UA{x|x＜1 x≥4}
a2 时B{4≤x＜5}
B∩A[14）B∩∁UA{x|4≤x＜1 4≤x＜5}
（2） A∪BA B⊆A分两种情形：
①B∅时 2a≥3a
∴a≥1
②B≠∅时{
2푎＜3 − 푎
2푎 ≥ 1
3 − 푎 ≤ 4
解1
2 ≤ 푎＜1
综合述求 a 取值范围푎 ≥ 1
2
解析题考查集合基运算补集集求法考查分类讨思想应
基础题．
（1）利已知条件求出 A 补集然直接求解
（2）分类讨 B 否空集列出等式组求解．
18 已知휋
2＜x＜0sinx+cosx1
5．
（1）sinxcosx 值．
（2）求 tanx 值．
答案解：（1）∵휋
2
＜푥＜0
∴푠푖푛푥 − 푐표푠푥 −√(푠푖푛푥 − 푐표푠푥)2 −√1 − 2푠푖푛푥푐표푠푥 第 7 页 10 页
−√1 − [(푠푖푛푥 + 푐표푠푥)2 − 1] −√1 + 24
25 − 7
5
（2）∵푠푖푛푥+푐표푠푥
푠푖푛푥−푐표푠푥 푡푎푛푥+1
푡푎푛푥−1 − 1
7
∴푡푎푛푥 − 3
4．
解析题考查角三角函数间基关系系基础题．解题时认真审题注意
三角函数符号．
（1）先利角三角函数间关系 sinxcosx 等价转化√1 − 2푠푖푛푥푐표푠푥求
出 sinxcosx 值
（2）先푠푖푛푥+푐표푠푥
푠푖푛푥−푐표푠푥分子分母时 cosx푡푎푛푥+1
푡푎푛푥−1 − 1
7求出 tanx 值．
19 已知푓(훼) 푠푖푛(훼−휋
2)푐표푠(3휋
2 −훼)푡푎푛(휋+훼)푐표푠(휋
2+훼)
푠푖푛(2휋−훼)푡푎푛(−훼−휋)푠푖푛(−훼−휋)
．
（1）化简 f（α）
（2）훼 − 31휋
3 求 f（α）值．
答案解：（1）푓(훼) −푐표푠훼(−푠푖푛훼)푡푎푛훼(−푠푖푛훼)
−푠푖푛훼(−푡푎푛훼)푠푖푛훼 −푐표푠훼．
（2）− 31휋
3 −5 × 2휋 − 휋
3
∴푓(− 31휋
3 ) −푐표푠(− 31휋
3 ) −푐표푠(−5 × 2휋 − 휋
3) −푐표푠 휋
3 − 1
2
푓(훼) − 1
2
解析题考查利诱导公式进行化简求值考查学生分析计算力
属基础题
（1）条件利诱导公式化简三角函数式结果
（2）条件利诱导公式化简三角函数式 f（α）值
20 已知函数푓(푥) 푎−2푥
1+2푥 (푎 ∈ 푅)푥 ∈ 푅时总푓(−푥) −푓(푥)成立．
(1)求 a 值
(2)判断证明函数푓(푥)单调性
(3)求푓(푥)[02]值域．
答案解：（1）∵f（x）f（x）
∴푎−2−푥
1+2−푥푎−2푥
1+2푥
푎⋅2푥−1
1+2푥 2푥−푎
1+2푥
∴a1
∴f（x）1−2푥
1+2푥
（2）函数 f（x） R 减函数理
∵f（x）定义域 R
∴取 x1x2∈R x2＞x1 第 8 页 10 页
∴f（x2）f（x1）1−2푥2
1+2푥2 − 1−2푥1
1+2푥1
2(2푥1−2푥2)
(1+2푥1)(1+2푥2)
∵x2＞x1
∴2푥2 > 2푥1＞0
∴푓(푥2) − 푓(푥1) < 0 f（x2）＜f（x1）
∴函数 f（x） R 减函数
（3）（2）知函数 f（x）[02]减函数
∴f（2）≤f（x）≤f（0）
− 3
5≤f（x）≤0
函数值域[3
50]
解析题考查函数奇偶性应函数单调性值域求解利定义法
解决题关键属中档题
（1）根条件建立方程关系求 a 值
（2）根函数单调性定义判断证明函数 f（x）单调性
（3）结合函数单调性求 f（x）[02]值域
21 年雾霾日趋严重工作生活受严重影响改善空气质量
已成热点问题．某空气净化器制造厂决定投入生产某型号空气净化器
根生产销售验面关生产销售统计规律：生产该型号空气净
化器 x（百台）总成 P（x）（万元）中固定成 12 万元
生产 1 百台生产成 10 万元（总成固定成+生产成）．销售收入 Q（x）
（万元）满足 Q（x）{−05푥2 + 22푥(0 ≤ 푥 ≤ 16)
224(푥 > 16) 假定该产品产销衡（生产
产品卖掉）根述统计规律请完成列问题：
（1）求利润函数 yf（x）解析式（利润销售收入总成）
（2）工厂生产少百台产品时利润？
答案解：（1）题意 P（x）12+10x
f（x）Q（x）P（x）
{−05푥2 + 22푥 − 12 − 10푥 0 ≤ 푥 ≤ 16
224 − 12 − 10푥 푥 > 16
f（x）{−05푥2 + 12푥 − 120 ≤ 푥 ≤ 16
212 − 10푥 푥 > 16
（2） x＞16 时函数 f（x）递减
f（x）＜f（16）21216052
0≤x≤16 时函数 f（x）05x2+12x1205（x12）2+60
x12 时f（x）值 f(12)60
综知工厂生产 12 百台时利润 60 万元．
解析题考查函数模型实际问题中应考查函数值问题正确求出分段
函数式求出段值解题关键属中档题．
（1）先求 P（x） f（x）Q（x）P（x）分段函数式求
（2）分求出段值注意运次函数二次函数值求法．
22 已知函数 f（x）3sin（푥
2+휋
6）+3
（1）五点法画出周期闭区间图象指出 f（x）周期称
轴第 9 页 10 页
（2）求函数值值相应变量 x 集合
（3）说明函数图象 ysinx 图象样变换．
答案解：（1）列表：
x − 휋
3
2휋
3
5휋
3
8휋
3
11휋
3
푥
2 + 휋
6 0 휋
2 π 3휋
2 2π
y 3 6 3 0 3
∴周期 T2휋
1
2
4휋（푥
2+휋
6）kπ+휋
2（k∈Z） x2kπ+2휋
3 （k∈Z）称轴
（2） sin（푥
2+휋
6）1 时函数值 3+36时（푥
2+휋
6）2kπ+휋
2（k∈Z）解 x
集合{x|x4kπ+2휋
3 k∈Z}
sin（푥
2+휋
6）1 时函数值3+30时（푥
2+휋
6）2kπ휋
2（k∈Z）解 x
集合{x|x4kπ4휋
3 k∈Z}
（3）① ysinx 图象点左移 ϕ휋
6长度单位 ysin（x+휋
6）图象
② ysin（x+휋
6）图象点横坐标伸长原 2 倍（坐标变） ysin
（푥
2+휋
6）图象
③ y3sin（푥
2+휋
6）图象点坐标伸长原 3 倍（横坐标变） y3sin第 10 页 10 页
（푥
2+휋
6）图象
④ y3sin（푥
2+휋
6）图象点移 3 长度单位 y3sin（푥
2+휋
6）+3 图象．
解析题考查五点法作图着重考查正弦函数性质作图力考查三角函数
图象性质考查学生分析解决问题力属中档题．
（1）利五点法函数图象
（2）利函数解析式知周期振幅初相称轴
（3）利函数图象 f（x）值 x 集合．
（4）利三角函数图象变换规律结
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