高中数学概率统计
求等性事件互斥事件相互独立事件概率
解类题目常应知识
(1)等性事件(古典概型)概率:P(A)= )(
)(
Icard
Acard
= n
m
等事件概率计算步骤:
计算次试验基事件总数 n
设求事件 A计算事件 A 包含基事件数m
公式
() mPA n
求值
答问题明确答复
(2)互斥事件发生概率:P(A+B)=P(A)+P(B)
特例:立事件概率:P(A)+P( A)=P(A+ )=1
(3)相互独立事件时发生概率:P(A·B)=P(A)·P(B)
特例:独立重复试验概率:Pn(k)= knkk
n ppC )1(中 P 事件 A 次试验中发生
概率式二项式[(1P)+P]n 展开第 k+1 项
(4)解决概率问题注意四步骤结合:
求概率步骤:
第步确定事件性质
等事件
互斥事件
独立事件
n次独立重复试验
问题结四类事件中某种
第二步判断事件运算
事件
积事件
少发生时发生分运相加相事件
第三步运公式
()
()()()
()()()
( ) (1 )k k n k
nn
mPA n
PABPAPB
PABPAPB
P k C p p
等事件
互斥事件:
独立事件:
n次独立重复试验 求解
第四步答提出问题明确答复
例1. 五数字1 2 3 4 5 中
例2. 机取出三数字剩两数字奇数概率
(结果数值表示).
[解答程]03 提示
1
3
3
5
C 3354C 10
2
P
例 2.总体含 100 体简单机抽样方式该总体中抽取容量 5 样
指定某体抽概率 .
[解答程]
1 20 提示
51100 20P
例 3接种某疫苗出现发热反应概率 080现 5 接种该疫苗少 3 出现发
热反应概率__________(精确 001)
[考查目] 题考查运组合概率基知识分类计数原理解决问题力
推理运算力
[解答提示]少 3 出现发热反应概率
3 3 2 4 4 5 5
5 5 5080 020 080 020 080 094CCC
填 094
离散型机变量分布列
1机变量相关概念
①机试验结果变量表示样变量做机变量常希腊字母ξη
等表示
②机变量取值定次序列出样机变量做离散型机变量
③机变量取某区间切值样机变量做连续型机变量
2离散型机变量分布列
①离散型机变量分布列概念性质
般设离散型机变量 取值 1x 2x …… ix …… 取值 ix( i 1
2……)概率 P( ix ) iP称表
机变量 概率分布简称 分布列
概率性质知离散型机变量分布列具述两性质:
(1) 0iP i 12…(2) 21 PP…1
②常见离散型机变量分布列:
(1)二项分布
n 次独立重复试验中事件 A 发生次数 机变量取值 012…
n knkk
nk qpCkPP )( 中 nk 0 pq 1 机变量 分布列:
0 1 … k … n
P n
n qpC 00
111 n
n qpC … knkk
n qpC
0qpC nn
n
称 样 机 变 量 服 二 项 分 布 记 作 )(~ pnB 中 n p 参 数 记 :
… …
P P1 P2 … iP …
)( pnkbqpC knkk
n
(2) 分布
独立重复试验中某事件第次发生时作试验次数 取值正整数离散型
机变量 k 表示第 k 次独立重复试验时事件第次发生
机变量 概率分布:
1 2 3 … k …
P p qp 2qp … 1kqp
…
例 1.
厂家产品出厂前需产品做检验厂家批产品发商家时商家合规定需机
抽取定数量产品做检验决定否接收批产品
(Ⅰ)厂家库房中件产品合格概率 08中意取出 4 件进行检验求少 1
件合格概率
(Ⅱ)厂家发商家 20 件产品中中 3 件合格合规定该商家中取 2 件
进行检验 2 件合格时接收批产品否拒收求出该商家检验出合格产品数
分布列期 E求出该商家拒收批产品概率
[解答程](Ⅰ)记厂家取 4 件产品检验中少 1 件合格品事件 A
立事件 A 算 41 1 02 09984PAPA
(Ⅱ) 取值012 .
2
17
2
20
1360 190
CPC
11
3 17
2
20
511 190
CCPC
2
3
2
20
32 190
CPC
136 51 3 30 1 2190 190 190 10E
.
记商家取 2 件产品检验合格事件 B商家拒收批产品概率
136 2711190 95PPB
.
0 1 2
P
136
190
51
190
3
190
商家拒收批产品概率
27
95 .
例 12.
某项选拔三轮考核轮设问题正确回答问题者进入轮考核否
淘汰 已知某选手正确回答第二三轮问题概率分 5
4
5
3
5
2
轮问题
否正确回答互影响
(Ⅰ)求该选手淘汰概率
(Ⅱ)该选手选拔中回答问题数记 求机变量 分布列数学期
(注:题结果分数表示)
[解答程]解法:(Ⅰ)记该选手正确回答第 i 轮问题事件 ( 1 2 3)iAi
1
4()5PA
2
3()5PA
3
2()5PA
该选手淘汰概率
112223 1 12 123()()()()()()()PPAAAAAAPAPAPAPAPAPA
1 4 2 4 3 3 101
5 5 5 5 5 5 125
.
(Ⅱ) 值1 2 3 1
1( 1) ( ) 5PPA
1 2 1 2
4 2 8( 2) ( ) ( ) ( ) 5 5 25PPAAPAPA
1 2 1 2
4 3 12( 3) ( ) ( ) ( ) 5 5 25PPAAPAPA
.
分布列
1 2 3
P
1
5
8
25
12
25
1 8 12 571 2 35 25 25 25E
.
解法二:(Ⅰ)记该选手正确回答第 i 轮问题事件 ( 1 2 3)iAi 1
4()5PA
2
3()5PA
3
2()5PA
.
该选手淘汰概率 1 2 3 1 2 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( )PPAAAPAPAPA
4 3 2 1011 5 5 5 125
.
(Ⅱ)解法.
(3)离散型机变量期方差
机变量数学期方差
(1)离散型机变量数学期: 2211 pxpxE …期反映机变量取值均水
⑵离散型机变量方差: 2
2
21
2
1 )()( pExpExD … nn pEx 2)( …
方差反映机变量取值稳定波动集中离散程度
⑶基性质: baEbaE )( DabaD 2)(
(4) ~B(np) npE D npq(里 q1p)
果机变量 服分布 )()( pkgkP pE 1
D
2p
q
中 q1p
例 1.甲乙两名工加工种零件两天加工零件数相等次品数分ε
ηεη分布列:
ε 0 1 2 η 0 1 2
P 6
10
1
10 10
3
P 5
10
2
10
较两名工技术水高低
思路:较两名工加工零件数相等条件出次品数均值期二
出次品数波动情况方差值
解答程:工甲生产出次品数ε期方差分:
7010
3210
1110
60 E
891010
3)702(10
1)701(10
6)700( 222 D
工乙生产出次品数η期方差分:
7010
2210
3110
50 E
664010
2)702(10
3)701(10
5)700( 222 D
EεEη知两出次品均数相技术水相 Dε>Dη见乙技术较
稳定
结:期反映机变量取值均水方差反映机变量取值稳定波动集中离
散程度
例 2
某商场销某商品根资料统计顾客采付款期数 分布列
1 2 3 4 5
P 04 02 02 01 01
商场销件该商品采 1 期付款利润 200 元分 2 期 3 期付款利润 250
元分 4 期 5 期付款利润 300 元. 表示销件该商品利润.
(Ⅰ)求事件 A:购买该商品 3 位顾客中少 1 位采 1 期付款概率 ()PA
(Ⅱ)求 分布列期 E .
[解答程](Ⅰ) A 表示事件购买该商品 3 位顾客中少 1 位采 1 期付款.
知 A 表示事件购买该商品 3 位顾客中采 1 期付款
2( ) (1 04) 0216PA ( ) 1 ( ) 1 0216 0784PAPA .
(Ⅱ) 取值 200 元 250 元300元.
( 200) ( 1) 04PP
( 250) ( 2) ( 3) 02 02 04PPP
( 300) 1 ( 200) ( 250) 1 04 04 02PPP .
分布列
200 250 300
P 04 04 02
200 04 250 04 300 02E 240 (元).
抽样方法总体分布估计
抽样方法
1.简单机抽样:设总体数 N果通逐抽取方法中抽取样
次抽取时体抽概率相等称样抽样简单机抽样常抽签法
机数表法
2.系统抽样:总体中数较时总体分成均衡部分然预先定出
规部分抽取 1 体需样种抽样做系统抽样(称机
械抽样)
3.分层抽样:已知总体差异明显部分组成时常总体分成部分然
部分占进行抽样种抽样做分层抽样
总体分布估计
总体分布通常易知道样频率分布估计总体分布般样
容量越种估计越精确
总体分布:总体取值概率分布规律通常称总体分布
总体中体取数值少时频率分布表取样数值相应频率表
示表示相应条形图
总体中体取值某区间时频率分布直方图表示相应样频率分布
总体密度曲线:样容量限增分组组距限缩频率分布直方图会限
接条光滑曲线总体密度曲线
典型例题
例 1某工厂生产 ABC 三种型号产品产品数量次 2:3:5现分层抽
样方法抽出容量 n 样样中 A 种型号产品 16 件样容量 n
解答程:A 种型号总体
2
10 样容量 n
1016 802
例 2.总体中 100 体机编号 012…99编号序均分成 10
组组号次 123…10现系统抽样方法抽取容量 10 样规定
果第 1 组机抽取号码 m 第 k 组中抽取号码位数字mk 位数字
相 6m 第 7 组中抽取号码 .
解答程:第 K 组号码( 1)10k ( 1)10 1k …( 1)10 9k m6 时第 k 组抽
取号位数字 m+k 位数字第 7 组中抽取号码位数字 3 抽
取号码 63.
正态分布线性回
1正态分布概念性质
(1)正态分布概念
果连续型机变量 概率密度函数
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
x R 中 常
数 >0称 服正态分布记 ~ N ( 2 )
(2)期 E μ方差 2 D
(3)正态分布性质
正态曲线具列性质
①曲线 x 轴方关直线 x=μ称
②曲线 xμ时处高点点左右两边延伸时曲线逐渐降低
③曲线称轴位置μ确定曲线形状 确定 越曲线越矮胖反越高
瘦
三 σ 原
数值分布(μ—σμ+σ)中概率 06526
数值分布(μ—2σμ+2σ)中概率 09544
数值分布(μ—3σμ+3σ)中概率 09974
(4)标准正态分布
0 1 时 服标准正态分布记作 (01)
(5)两重公式
① ( ) 1 ( )xx ② ()()()P a b b a
(6) 2()N (01)N 二者联系
2~ ( )N
~ (01)N
②
()()()baP a b
2线性回
简单说线性回处理变量变量间线性关系种数学方法
变量变量间关系致分两种类型:确定性函数关系确定函数关系确
定性两变量间规律循回分析处理变量间相关关系种数量
统计方法提供变量间相关关系验公式
具体说 n 样数( 11xy)( 22xy)…( nnxy)回直线方程验公式
: abxy ˆ 中
)(
1
22
1 xbya
xnx
yxnyx
b n
i
i
n
i
ii
中 yx 分| ix || iy |均数
例 1果机变量ξ~N(μσ2) Eξ3Dξ1 P(-1<ξ≤1=等( )
A2Φ(1)-1 BΦ(4)-Φ(2)
CΦ(2)-Φ(4) DΦ(-4)-Φ(-2)
解答程:正态分布μEξ3σ2Dξ1 P(-1<ξ≤1)Φ(1-3)-Φ(-
1-3)Φ(-2)-Φ(-4)Φ(4)-Φ(2)
答案:B
例 2 温度调节器放置贮存着某种液体容器调节器设定 d ℃液体温度ξ(单
位:℃)机变量ξ~N(d052)
(1) d90°ξ<89 概率
(2)保持液体温度少 80 ℃概率低 099 d 少 (中η~
N(01)Φ(2)P(η<2)09772Φ(-2327)P(η<-2327)001)
解答程:(1)P(ξ<89)F(89)Φ( 50
9089
)Φ(-2)1-Φ(2)1-0977200228
(2)已知 d 满足 099≤P(ξ≥80)
1-P(ξ<80)≥1-001∴P(ξ<80)≤001
∴Φ( 50
80 d
)≤001Φ(-2327)
∴ ≤-2327
∴d≤811635
d 少 811635
结:(1)ξ~N(01)η
~N(01)(2)标准正态分布密度函数 f(x)
偶函数x<0 时f(x)增函数x>0 时f(x)减函数
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