概率数理统计
第章 概率基概念
§2．样空间机事件
1．事件间关系 称事件B包含事件A指事件A发生必然导致事件B发生
称事件A事件B事件指仅AB中少发生时事件发生
称事件A事件B积事件指AB时发生时事件发生
称事件A事件B差事件指仅A发生B发生时事件发生
称事件AB互相容互斥指事件A事件B时发生基事件两两互相容
称事件A事件B互逆事件称事件A事件B互立事件
2．运算规 交换律
结合律
分配律
徳摩根律
§3．频率概率
定义 相条件进行n次试验n次试验中事件A发生次数称事件A发生频数值称事件A发生频率
概率：设E机试验S样空间E事件A赋予实数记P（A）称事件概率
1．概率满足列条件：
（1）非负性：事件A
（2）规范性：必然事件S
（3）列加性：设两两互相容事件（取）
2．概率重性质：
（i）
（ii）两两互相容事件（取）
（iii）设AB两事件
（iv）意事件A
（v） （逆事件概率）
（vi）意事件AB
§4等概型（古典概型）
等概型：试验样空间包含限元素试验中事件发生性相
事件A包含k基事件里
§5．条件概率
（1） 定义：设AB两事件称事件A发生条件事件B发生条件概率
（2） 条件概率符合概率定义中三条件
1非负性：某事件B
2规范性：必然事件S
3列加性：设两两互相容事件
（3） 法定理 设称法公式
（4） 全概率公式：
贝叶斯公式：
§6．独立性
定义 设AB两事件果满足等式称事件AB相互独立
定理 设AB两事件AB相互独立
定理二 事件AB相互独立列事件相互独立：A
第二章 机变量分布
§1机变量
定义 设机试验样空间定义样空间S实值单值函数称机变量
§2离散性机变量分布律
1． 离散机变量：机变量全部取值限列限种机变量称离散型机变量
满足两条件（1）（2）1
2． 三种重离散型机变量
（1）01分布
设机变量X取01两值分布律称X服p参数01分布两点分布
（2）伯努利实验二项分布
设实验E两结果：A称E伯努利实验设时E独立重复进行n次称串重复独立实验n重伯努利实验
满足条件（1）（2）1注意
二项式展开式中出现项称机变量X服参数np二项分布
（3）泊松分布
设机变量X取值012…取值概率 中常数称X服参数泊松分布记
§3机变量分布函数
定义 设X机变量x意实数函数
称X分布函数
分布函数具性质(1) 减函数 （2） （3）
§4连续性机变量概率密度
连续机变量：果机变量X分布函数F（x）存非负积函数意函数x称x 连续性机变量中函数f(x)称X概率密度函数简称概率密度
1 概率密度具性质满足（1）
（3）（4）点x处连续
2三种重连续型机变量
(1)均匀分布
连续性机变量X具概率密度成X区间(ab)服均匀分布记
(2)指数分布
连续性机变量X概率密度 中常数称X服参数指数分布
（3）正态分布
连续型机变量X概率密度正态分布高斯分布记
特时称机变量X服标准正态分布
§5机变量函数分布
定理 设机变量X具概率密度设函数处处导恒Y连续型机变量概率密度
第三章 维机变量
§1二维机变量
定义 设E机试验样空间定义S机变量称机变量构成量（XY）做二维机变量
设（XY）二维机变量意实数xy二元函数称二维机变量（XY）分布函数
果二维机变量（XY）全部取值限列限称（XY）离散型机变量
称二维离散型机变量（XY）分布律
二维机变量（XY）分布函数果存非负积函数f（xy）意xy称（XY）连续性机变量函数f（xy）称机变量（XY）概率密度称机变量XY联合概率密度
§2边缘分布
二维机变量（XY）作整体具分布函数XY机变量分布函数分记次称二维机变量（XY）关X关Y
边缘分布函数
分称（XY）关X关Y边缘分布律
分称XY关X关Y边缘概率密度
§3条件分布
定义 设（XY）二维离散型机变量固定j
称条件机变量X条件分布律样条件机变量X条件分布律
设二维离散型机变量（XY）概率密度（XY）关Y边缘概率密度固定y〉0称Yy条件X条件概率密度记
§4相互独立机变量
定义 设分二维离散型机变量（XY）分布函数边缘分布函数xy称机变量XY相互独立
二维正态机变量（XY）XY相互独立充条件参数
§5两机变量函数分布
1ZX+Y分布
设(XY)二维连续型机变量具概率密度ZX+Y连续性机变量概率密度
XY相互独立设（XY）关XY边缘密度分 两公式称卷积公式
限相互独立正态机变量线性组合然服正态分布
2
设(XY)二维连续型机变量具概率密度
连续性机变量概率密度分XY相互独立设（XY）关XY边缘密度分化
3
设XY两相互独立机变量分布函数分z等价XYzXY相互独立分布函数
分布函数
第四章 机变量数字特征
§1．数学期
定义 设离散型机变量X分布律k12…级数绝收敛称级数机变量X数学期记
设连续型机变量X概率密度积分绝收敛称积分
值机变量X数学期记
定理 设Y机变量X函数Y(g连续函数)
（i）果X离散型机变量分布律k12…绝收敛
（ii）果X连续型机变量分概率密度绝收敛
数学期重性质
1设C常数
2设X机变量C常数
3设XY两机变量
4设XY相互独立机变量
§2方差
定义 设X机变量存称X方差记D（x）D（x）应引入量记称标准差均方差
方差重性质
1设C常数
2设X机变量C常数
3设XY两机变量特XY相互独立
4充条件X概率1取常数
切雪夫等式：设机变量X具数学期意正数等式
成立
§3协方差相关系数
定义 量称机变量XY协方差
称机变量XY相关系数
意两机变量X Y
协方差具述性质
1
2
定理 1
2 充条件存常数ab
0时称XY相关
附：种常概率分布表
分布
参数
分布律概率密度
数学期
方差
两点分布
二项式分布
泊松分布
分布
均匀分布
指数分布
正态分布
第五章 数定律中心极限定理
§1． 数定律
弱数定理（辛欣数定理） 设X1X2…相互独立服统分布机变量序列具数学期作前n变量算术均意
定义 设机变量序列a常数意正数称序列概率收敛a记
伯努利数定理 设n次独立重复试验中事件A发生次数p事件A次试验中发生概率意正数〉0
§2中心极限定理
定理（独立分布中心极限定理） 设机变量相互独立服分布具数学期方差（k12…）机变量
定理二（李雅普诺夫定理） 设机变量…相互独立具数学期方差记
定理三（棣莫弗拉普拉斯定理）设机变量）二项分布意
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第章 概率基概念
§2．样空间机事件
1．事件间关系 称事件B包含事件A指事件A发生必然导致事件B发生
称事件A事件B事件指仅AB中少发生时事件发生
称事件A事件B积事件指AB时发生时事件发生
称事件A事件B差事件指仅A发生B发生时事件发生
称事件AB互相容互斥指事件A事件B时发生基事件两两互相容
称事件A事件B互逆事件称事件A事件B互立事件
2．运算规 交换律
结合律
分配律
徳摩根律
§3．频率概率
定义 相条件进行n次试验n次试验中事件A发生次数称事件A发生频数值称事件A发生频率
概率：设E机试验S样空间E事件A赋予实数记P（A）称事件概率
1．概率满足列条件：
（1）非负性：事件A
（2）规范性：必然事件S
（3）列加性：设两两互相容事件（取）
2．概率重性质：
（i）
（ii）两两互相容事件（取）
（iii）设AB两事件
（iv）意事件A
（v） （逆事件概率）
（vi）意事件AB
§4等概型（古典概型）
等概型：试验样空间包含限元素试验中事件发生性相
事件A包含k基事件里
§5．条件概率
（1） 定义：设AB两事件称事件A发生条件事件B发生条件概率
（2） 条件概率符合概率定义中三条件
1非负性：某事件B
2规范性：必然事件S
3列加性：设两两互相容事件
（3） 法定理 设称法公式
（4） 全概率公式：
贝叶斯公式：
§6．独立性
定义 设AB两事件果满足等式称事件AB相互独立
定理 设AB两事件AB相互独立
定理二 事件AB相互独立列事件相互独立：A
第二章 机变量分布
§1机变量
定义 设机试验样空间定义样空间S实值单值函数称机变量
§2离散性机变量分布律
1． 离散机变量：机变量全部取值限列限种机变量称离散型机变量
满足两条件（1）（2）1
2． 三种重离散型机变量
（1）01分布
设机变量X取01两值分布律称X服p参数01分布两点分布
（2）伯努利实验二项分布
设实验E两结果：A称E伯努利实验设时E独立重复进行n次称串重复独立实验n重伯努利实验
满足条件（1）（2）1注意
二项式展开式中出现项称机变量X服参数np二项分布
（3）泊松分布
设机变量X取值012…取值概率 中常数称X服参数泊松分布记
§3机变量分布函数
定义 设X机变量x意实数函数
称X分布函数
分布函数具性质(1) 减函数 （2） （3）
§4连续性机变量概率密度
连续机变量：果机变量X分布函数F（x）存非负积函数意函数x称x 连续性机变量中函数f(x)称X概率密度函数简称概率密度
1 概率密度具性质满足（1）
（3）（4）点x处连续
2三种重连续型机变量
(1)均匀分布
连续性机变量X具概率密度成X区间(ab)服均匀分布记
(2)指数分布
连续性机变量X概率密度 中常数称X服参数指数分布
（3）正态分布
连续型机变量X概率密度正态分布高斯分布记
特时称机变量X服标准正态分布
§5机变量函数分布
定理 设机变量X具概率密度设函数处处导恒Y连续型机变量概率密度
第三章 维机变量
§1二维机变量
定义 设E机试验样空间定义S机变量称机变量构成量（XY）做二维机变量
设（XY）二维机变量意实数xy二元函数称二维机变量（XY）分布函数
果二维机变量（XY）全部取值限列限称（XY）离散型机变量
称二维离散型机变量（XY）分布律
二维机变量（XY）分布函数果存非负积函数f（xy）意xy称（XY）连续性机变量函数f（xy）称机变量（XY）概率密度称机变量XY联合概率密度
§2边缘分布
二维机变量（XY）作整体具分布函数XY机变量分布函数分记次称二维机变量（XY）关X关Y
边缘分布函数
分称（XY）关X关Y边缘分布律
分称XY关X关Y边缘概率密度
§3条件分布
定义 设（XY）二维离散型机变量固定j
称条件机变量X条件分布律样条件机变量X条件分布律
设二维离散型机变量（XY）概率密度（XY）关Y边缘概率密度固定y〉0称Yy条件X条件概率密度记
§4相互独立机变量
定义 设分二维离散型机变量（XY）分布函数边缘分布函数xy称机变量XY相互独立
二维正态机变量（XY）XY相互独立充条件参数
§5两机变量函数分布
1ZX+Y分布
设(XY)二维连续型机变量具概率密度ZX+Y连续性机变量概率密度
XY相互独立设（XY）关XY边缘密度分 两公式称卷积公式
限相互独立正态机变量线性组合然服正态分布
2
设(XY)二维连续型机变量具概率密度
连续性机变量概率密度分XY相互独立设（XY）关XY边缘密度分化
3
设XY两相互独立机变量分布函数分z等价XYzXY相互独立分布函数
分布函数
第四章 机变量数字特征
§1．数学期
定义 设离散型机变量X分布律k12…级数绝收敛称级数机变量X数学期记
设连续型机变量X概率密度积分绝收敛称积分
值机变量X数学期记
定理 设Y机变量X函数Y(g连续函数)
（i）果X离散型机变量分布律k12…绝收敛
（ii）果X连续型机变量分概率密度绝收敛
数学期重性质
1设C常数
2设X机变量C常数
3设XY两机变量
4设XY相互独立机变量
§2方差
定义 设X机变量存称X方差记D（x）D（x）应引入量记称标准差均方差
方差重性质
1设C常数
2设X机变量C常数
3设XY两机变量特XY相互独立
4充条件X概率1取常数
切雪夫等式：设机变量X具数学期意正数等式
成立
§3协方差相关系数
定义 量称机变量XY协方差
称机变量XY相关系数
意两机变量X Y
协方差具述性质
1
2
定理 1
2 充条件存常数ab
0时称XY相关
附：种常概率分布表
分布
参数
分布律概率密度
数学期
方差
两点分布
二项式分布
泊松分布
分布
均匀分布
指数分布
正态分布
第五章 数定律中心极限定理
§1． 数定律
弱数定理（辛欣数定理） 设X1X2…相互独立服统分布机变量序列具数学期作前n变量算术均意
定义 设机变量序列a常数意正数称序列概率收敛a记
伯努利数定理 设n次独立重复试验中事件A发生次数p事件A次试验中发生概率意正数〉0
§2中心极限定理
定理（独立分布中心极限定理） 设机变量相互独立服分布具数学期方差（k12…）机变量
定理二（李雅普诺夫定理） 设机变量…相互独立具数学期方差记
定理三（棣莫弗拉普拉斯定理）设机变量）二项分布意
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