概率数理统计复
概率基概念：
1事件运算律：
交换律：
结合律：
分配律：
德·摩根法：
减法运算：
2概率性质：
性质1
性质2 （限加性）事件两两互相容时
性质3 意事件
性质4 事件满足时
性质5 意两机事件
性质6 意事件
性质7 （广义加法法）意两事件
3条件概率：
已知发生条件事件概率：
（）
注意：概率性质条件概率然适公式必须条件进行
4全概率公式贝叶斯公式：
设事件构成样空间划分事件（）时
全概率公式：
贝叶斯公式：时
应全概率公式贝叶斯公式计算事件概率已知条件条件概率时关键问题找完备事件组仅时发生然运古典概型概率加法法法计算出套全概率公式贝叶斯公式较复杂事件种原产生样点构成时考虑全概率公式样点构成完备事件组已知试验结果追查原时贝叶斯公式原全体求完备事件组
5机事件独立性：
事件独立性结：
（1）事件独立
（2）事件独立中事件相互独立
（3）事件独立
（4）事件相互独立
（5）事件相互独立
注意：
（1）事件相互独立求满足事件互斥（互相容）求两概念前事件概率关事件关两者间没必然联系
（2）果事件相互独立相关反般成立
（3）意机事件相互独立两两独立反未必
（4）意相互独立机事件中意部分事件运算结果（差积逆等）部分事件运算结果相互独立：相互独立
6贝努利概型二项概率公式：
设次试验中事件发生概率重贝努利试验中事件恰发生次概率
贝努利试验次试验相互独立关心某次试验中事件否发生次事件发生概率相
二机变量分布：
（）离散型机变量分布：
1分布律（概率函数）性质：
离散型机变量分布律（概率函数）：
分布律写成表格形式列表法求解离散型机变量问题常方法
离散型机变量分布律（概率函数）性质：
（1）
（2）
注意：确定分布律中未知常数考虑机变量分布律性质
2离散型机变量分布律分布函数事件概率关系：
果已知分布律分布函数
事件概率
3离散型机变量函数分布：
果已知分布律取值（）时机变量分布律
注意：
（1）均限列离散型机变量需注意函数关系转化求分布律：已知求分布律
（2）求离散型机变量函数分布时注意应时值没重复值重复
（二）连续型机变量概率密度：
1连续型机变量概率密度函数性质：
（1）
（2）
（3）
2连续性机变量概率密度分布函数事件概率间关系：
（1）概率密度分布函数
分段函数时分布函数做分段讨
（2）
（3）分布函数连续点处
3连续性机变量函数分布：
方法：
设机变量概率密度函数分布函数
概率密度函数
方法二：
设机变量概率密度函数概率密度
中反函数
三维机变量分布：
（）二维离散型机变量：
1联合分布律（概率函数）：
二维离散型机变量联合分布律：
联合概率函数计算概率：面意集合
2边缘分布律：
二维离散型机变量关边缘分布律分：
注意：
（1）求离散型机变量边缘分布函数常先求出边缘分布律化求元离散型机变量分布函数
（2）列表法解决联合分布边缘分布问题常方法
3条件分布律：
二维离散型机变量
条件机变量条件分布律：
条件机变量条件分布律：
4机变量独立性：
离散型机变量相互独立条件
5机变量函数分布律：
已知离散型机变量分布律分布：
（二）二维连续型机变量：
1联合概率密度：
联合概率密度分布函数
联合概率函数计算概率：面意区域
2边缘概率密度：
二维连续型机变量关边缘概率密度分：
3条件概率密度：
二维连续型机变量
条件机变量条件概率密度：
条件机变量条件概率密度：
4机变量独立性：
连续型机变量相互独立充条件
5机变量函数分布：
设连续型机变量概率密度分布函数：
概率密度
注意：
种特殊类型分布函数：
（1）
特相互独立时
实际运算时通常变形：
中通求导
计算略微复杂时类似方法关键确定重积分积分区域
（2）
设相互独立分布函数分
结推广事件情况
四机变量数字特征：
（）数学期：
1数学期计算公式：
离散型机变量分布律
连续型机变量概率密度
2数学期性质：
设常数
（1）
（2）
（3）
（4）相互独立时
3机变量函数数学期：
（1）连续函数
离散型机变量分布律
连续型机变量概率密度
（2）连续函数
离散型二维机变量分布律
连续型二维机变量概率密度
4易求分布律机变量计算数学期分解数机变量然利数学期性质求：书例题48
（二）方差：
1方差定义式：
方差计算公式：
注意：
公式变换：
2方差性质：
设常数
（1）
（2）
结合性质（1）（2）
（3）相互独立时
（4）反果某机变量方差
3切雪夫等式：
假设机变量具数学期方差意
者
（三）协方差：
1协方差定义式：
协方差计算公式：
注意：
协方差定义计算公式出推：
（1）
（2）相互独立时
（3）
2协方差性质：
设常数
（1）
（2）
（3）
（4）
注意：性质（4）应
（四）相关系数：
1相关系数计算公式：
注意：
相关系数计算公式变换：
2相关系数性质：
设
（1）
（2）
（3）设间线性关系存零常数常数时时
3相关性独立性：
时相关等价表示
说相关数字特征相关性质成立充分必条件
时相互独立果相互独立相关反般成立说相互独立述四性质成立充分条件
服二维正态分布时相关独立等价
（五）矩协方差矩阵：
1原点矩中心矩：
阶原点矩 阶中心矩阶原点矩二阶中心矩
注意：
原点矩中心矩相
2协方差矩阵：
协方差矩阵：
3柯西—许瓦兹等式：
设意二维机变量
柯西—许瓦兹等式高阶矩存保证低阶矩定存反未必
五种重分布：
（）二项分布：
记作机变量表示次试验中事件发生次数事件次试验中出现概率
1二项分布概率函数：
注意：
事件发生次概率：
事件发生次数少概率：
2二项分布数字特征：
3二项分布性质：
（分布加性）设相互独立时
（二）0—1分布：
记作表示事件发生概率样空间仅两样点构成贝努利试验服0—1分布机变量刻画
10—1分布概率函数：
20—1分布数字特征：
30—1分布性质：
设独立分布机变量记
（三）泊松分布：
记作中
1泊松分布概率函数：
2泊松分布数字特征：
3泊松分布性质：
（1）（分布加性）设相互独立时
（2）（泊松定理）设意非负整数
泊松定理知利二项分布求概率时果遇概率式易求利泊松分布求似值较较（）时似服时般考虑中心极限定理
（四）均匀分布：
记作表示服区间均匀分布
1 均匀分布概率密度函数：
均匀分布分布函数：
2 均匀分布数字特征：
（五）指数分布：
记作中
1指数分布概率密度函数：
指数分布分布函数：
注意：
积分计算中出现形时变形指数分布概率密度函数通常简化运算
2 指数分布数字特征：
3 指数分布性质：
（记忆性）时
（六）正态分布：
记作中变量受量微独立机素影响时变量般服似服正态分布
1 正态分布概率密度函数性质：
正态分布概率密度函数：
具性质：
（1）关称
（2）处值
（3）时
2标准正态分布：
正态分布称标准正态分布概率密度函数：
（1）标准正态分布分布函数性质：
标准正态分布分布函数记作
具性质：
①
②时
注意：性质①时
（2）般正态分布标准正态分布关系：
时
正态概率计算公式：
注意：
积分计算中出现形时通令变形标准正态分布概率密度函数
通常简化运算
（3）标准正态分布分位数性质：
标准正态分布分位数
注意：
时
3正态分布数字特征：
标准正态分布阶原点矩：
注意：标准正态分布阶原点矩常简化积分运算
4正态分布性质：
（1）（正态机变量线性函数分布）时
中常数特
（2）（正态分布加性）设相互独立时
注意：
（1）
（2）性质（2）推：时
六数定律中心极限定理：
1概率收敛：
设机变量序列果存常数意总
称机变量序列概率收敛记作
2数定律：
数定律注意针成立条件结
（1）切雪夫数定律：
设两两相关机变量序列存常数意定
切雪夫数定律成立条件：机变量序列两两相关方差界
（2）辛钦数定律（独立分布情形数定律）：
设独立分布机变量序列意定
辛钦数定律切雪夫数定律特例辛钦数定律成立条件：机变量序列独立分布数学期存独立分布机变量序列验证数学期否存判定否服数定律方差存结然成立
（3）贝努利数定律：
设独立分布机变量序列服0—1分布意定
贝努利数定律辛钦数定律特例
3中心极限定理：
（1）列维—林德伯格中心极限定理（独立分布情形中心极限定理）：
设独立分布机变量序列意实数
者
列维—林德伯格中心极限定理成立条件：机变量序列独立分布机变量数学期方差存
列维—林德伯格中心极限定理说明独立分布机变量序列（）原服什分布足够总似认
者
者
似计算求解步骤：
①求出原分布数学期方差
②根求解机变量函数式均值选取合适似正态分布
③似正态分布标准化标准正态分布根标准正态分布分布函数进行求解中心极限定理公式中实际般正态分布标准化程
（2）德莫弗—拉普拉斯中心极限定理：
设独立分布机变量序列服0—1分布意实数
德莫弗—拉普拉斯中心极限定理列维—林德伯格中心极限定理特例果较时
果求解机变量服二项分布0—1分布考虑德莫弗—拉普拉斯中心极限定理
七数理统计基概念：
1样特性：
（1）代表性：应该总体相分布
（2）独立性：应该相互独立机变量
说总体密度函数样联合密度函数：
2统计量：
设样
样均值：
样方差：
阶原点矩：
阶中心矩：
次序统计量：
次序统计量：
特记
注意：常公式：
3统计量数字特征：
设取总体样记
（1）
（2）
（3）时
4服重分布时总体样：
总体分布
样联合概率函数
样统计量特征值
5数理统计常分布：
确定机变量服种分布度分布参数等利定义然结合分布性质分布间推导关系求解熟悉分布定义性质
分布：
（1）分布定义：
设独立分布机变量服称机变量
服分布度分布记作
（2）分布性质：
①时
②（分布加性）设相互独立
注意：性质②推广相互独立机变量
（3）分布分位数：
分布分位数记作时
分布：
（1）分布定义：
设机变量相互独立称机变量
服分布度分布记作
（2）分布性质：
①时
②足够时分布似
③
注意：时存
（3）分布分位数：
分布分位数记作
分布：
（1）分布定义：
设机变量相互独立称机变量
服分布度分布记作
（2）分布性质：
时
（3）分布分位数：
分布分位数记作
6正态总体抽样分布：
设取正态总体样
（1）等价表示
（2）
（3）
（4）
（5）相互独立
八参数估计：
1矩估计：
求矩估计量基思想换样原点矩换相应总体原点矩
设取总体样未知参数求解矩估计量般步骤：
（1）样阶原点矩（）开始计算求出参数间关系
（2）求反函数
（3）样均值换参数矩估计
（4）存次取阶原点矩直阶原点矩（）求参数矩估计止
注意：
（1）未知参数需联立方程组解方程组
（2）参数矩估计矩估计已知参数矩估计需代入求矩估计量
2极似然估计：
（1）似然函数：
设取总体样密度（概率）函数似然函数非负函数
离散型机变量时
（2）设取总体样未知参数求解极似然估计量般步骤：
①求出似然函数
②解方程极似然估计值
③似然函数驻点者倒数存需通参数取值范围求般者关代数式
注意：
（1）未知参数需联立方程组解方程组
（2）参数极似然估计极似然估计已知参数极似然估计需代入求极似然估计量
3估计量评选标准：
（1）偏性：
①定义：
果未知参数估计量满足
称偏估计果满足
称渐偏估计
②偏估计修正：
果必定偏估计
注意：般求导方法求极似然估计值偏估计方法求极似然估计（尤者关代数式）偏估计
（2）效性：
设未知参数偏估计果
称效
（3）相合性：
果未知参数估计量满足意
相合估计
果已知未知参数偏估计量满足
相合估计
4正态总体未知参数置信区间：
未知参数
双侧置信区间限
单侧置信限
单侧置信限
已知
未知
已知
未知
注意：未知参数置信区间求置信区间时需考虑函数关系转化置信区间置信区间
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概率基概念：
1事件运算律：
交换律：
结合律：
分配律：
德·摩根法：
减法运算：
2概率性质：
性质1
性质2 （限加性）事件两两互相容时
性质3 意事件
性质4 事件满足时
性质5 意两机事件
性质6 意事件
性质7 （广义加法法）意两事件
3条件概率：
已知发生条件事件概率：
（）
注意：概率性质条件概率然适公式必须条件进行
4全概率公式贝叶斯公式：
设事件构成样空间划分事件（）时
全概率公式：
贝叶斯公式：时
应全概率公式贝叶斯公式计算事件概率已知条件条件概率时关键问题找完备事件组仅时发生然运古典概型概率加法法法计算出套全概率公式贝叶斯公式较复杂事件种原产生样点构成时考虑全概率公式样点构成完备事件组已知试验结果追查原时贝叶斯公式原全体求完备事件组
5机事件独立性：
事件独立性结：
（1）事件独立
（2）事件独立中事件相互独立
（3）事件独立
（4）事件相互独立
（5）事件相互独立
注意：
（1）事件相互独立求满足事件互斥（互相容）求两概念前事件概率关事件关两者间没必然联系
（2）果事件相互独立相关反般成立
（3）意机事件相互独立两两独立反未必
（4）意相互独立机事件中意部分事件运算结果（差积逆等）部分事件运算结果相互独立：相互独立
6贝努利概型二项概率公式：
设次试验中事件发生概率重贝努利试验中事件恰发生次概率
贝努利试验次试验相互独立关心某次试验中事件否发生次事件发生概率相
二机变量分布：
（）离散型机变量分布：
1分布律（概率函数）性质：
离散型机变量分布律（概率函数）：
分布律写成表格形式列表法求解离散型机变量问题常方法
离散型机变量分布律（概率函数）性质：
（1）
（2）
注意：确定分布律中未知常数考虑机变量分布律性质
2离散型机变量分布律分布函数事件概率关系：
果已知分布律分布函数
事件概率
3离散型机变量函数分布：
果已知分布律取值（）时机变量分布律
注意：
（1）均限列离散型机变量需注意函数关系转化求分布律：已知求分布律
（2）求离散型机变量函数分布时注意应时值没重复值重复
（二）连续型机变量概率密度：
1连续型机变量概率密度函数性质：
（1）
（2）
（3）
2连续性机变量概率密度分布函数事件概率间关系：
（1）概率密度分布函数
分段函数时分布函数做分段讨
（2）
（3）分布函数连续点处
3连续性机变量函数分布：
方法：
设机变量概率密度函数分布函数
概率密度函数
方法二：
设机变量概率密度函数概率密度
中反函数
三维机变量分布：
（）二维离散型机变量：
1联合分布律（概率函数）：
二维离散型机变量联合分布律：
联合概率函数计算概率：面意集合
2边缘分布律：
二维离散型机变量关边缘分布律分：
注意：
（1）求离散型机变量边缘分布函数常先求出边缘分布律化求元离散型机变量分布函数
（2）列表法解决联合分布边缘分布问题常方法
3条件分布律：
二维离散型机变量
条件机变量条件分布律：
条件机变量条件分布律：
4机变量独立性：
离散型机变量相互独立条件
5机变量函数分布律：
已知离散型机变量分布律分布：
（二）二维连续型机变量：
1联合概率密度：
联合概率密度分布函数
联合概率函数计算概率：面意区域
2边缘概率密度：
二维连续型机变量关边缘概率密度分：
3条件概率密度：
二维连续型机变量
条件机变量条件概率密度：
条件机变量条件概率密度：
4机变量独立性：
连续型机变量相互独立充条件
5机变量函数分布：
设连续型机变量概率密度分布函数：
概率密度
注意：
种特殊类型分布函数：
（1）
特相互独立时
实际运算时通常变形：
中通求导
计算略微复杂时类似方法关键确定重积分积分区域
（2）
设相互独立分布函数分
结推广事件情况
四机变量数字特征：
（）数学期：
1数学期计算公式：
离散型机变量分布律
连续型机变量概率密度
2数学期性质：
设常数
（1）
（2）
（3）
（4）相互独立时
3机变量函数数学期：
（1）连续函数
离散型机变量分布律
连续型机变量概率密度
（2）连续函数
离散型二维机变量分布律
连续型二维机变量概率密度
4易求分布律机变量计算数学期分解数机变量然利数学期性质求：书例题48
（二）方差：
1方差定义式：
方差计算公式：
注意：
公式变换：
2方差性质：
设常数
（1）
（2）
结合性质（1）（2）
（3）相互独立时
（4）反果某机变量方差
3切雪夫等式：
假设机变量具数学期方差意
者
（三）协方差：
1协方差定义式：
协方差计算公式：
注意：
协方差定义计算公式出推：
（1）
（2）相互独立时
（3）
2协方差性质：
设常数
（1）
（2）
（3）
（4）
注意：性质（4）应
（四）相关系数：
1相关系数计算公式：
注意：
相关系数计算公式变换：
2相关系数性质：
设
（1）
（2）
（3）设间线性关系存零常数常数时时
3相关性独立性：
时相关等价表示
说相关数字特征相关性质成立充分必条件
时相互独立果相互独立相关反般成立说相互独立述四性质成立充分条件
服二维正态分布时相关独立等价
（五）矩协方差矩阵：
1原点矩中心矩：
阶原点矩 阶中心矩阶原点矩二阶中心矩
注意：
原点矩中心矩相
2协方差矩阵：
协方差矩阵：
3柯西—许瓦兹等式：
设意二维机变量
柯西—许瓦兹等式高阶矩存保证低阶矩定存反未必
五种重分布：
（）二项分布：
记作机变量表示次试验中事件发生次数事件次试验中出现概率
1二项分布概率函数：
注意：
事件发生次概率：
事件发生次数少概率：
2二项分布数字特征：
3二项分布性质：
（分布加性）设相互独立时
（二）0—1分布：
记作表示事件发生概率样空间仅两样点构成贝努利试验服0—1分布机变量刻画
10—1分布概率函数：
20—1分布数字特征：
30—1分布性质：
设独立分布机变量记
（三）泊松分布：
记作中
1泊松分布概率函数：
2泊松分布数字特征：
3泊松分布性质：
（1）（分布加性）设相互独立时
（2）（泊松定理）设意非负整数
泊松定理知利二项分布求概率时果遇概率式易求利泊松分布求似值较较（）时似服时般考虑中心极限定理
（四）均匀分布：
记作表示服区间均匀分布
1 均匀分布概率密度函数：
均匀分布分布函数：
2 均匀分布数字特征：
（五）指数分布：
记作中
1指数分布概率密度函数：
指数分布分布函数：
注意：
积分计算中出现形时变形指数分布概率密度函数通常简化运算
2 指数分布数字特征：
3 指数分布性质：
（记忆性）时
（六）正态分布：
记作中变量受量微独立机素影响时变量般服似服正态分布
1 正态分布概率密度函数性质：
正态分布概率密度函数：
具性质：
（1）关称
（2）处值
（3）时
2标准正态分布：
正态分布称标准正态分布概率密度函数：
（1）标准正态分布分布函数性质：
标准正态分布分布函数记作
具性质：
①
②时
注意：性质①时
（2）般正态分布标准正态分布关系：
时
正态概率计算公式：
注意：
积分计算中出现形时通令变形标准正态分布概率密度函数
通常简化运算
（3）标准正态分布分位数性质：
标准正态分布分位数
注意：
时
3正态分布数字特征：
标准正态分布阶原点矩：
注意：标准正态分布阶原点矩常简化积分运算
4正态分布性质：
（1）（正态机变量线性函数分布）时
中常数特
（2）（正态分布加性）设相互独立时
注意：
（1）
（2）性质（2）推：时
六数定律中心极限定理：
1概率收敛：
设机变量序列果存常数意总
称机变量序列概率收敛记作
2数定律：
数定律注意针成立条件结
（1）切雪夫数定律：
设两两相关机变量序列存常数意定
切雪夫数定律成立条件：机变量序列两两相关方差界
（2）辛钦数定律（独立分布情形数定律）：
设独立分布机变量序列意定
辛钦数定律切雪夫数定律特例辛钦数定律成立条件：机变量序列独立分布数学期存独立分布机变量序列验证数学期否存判定否服数定律方差存结然成立
（3）贝努利数定律：
设独立分布机变量序列服0—1分布意定
贝努利数定律辛钦数定律特例
3中心极限定理：
（1）列维—林德伯格中心极限定理（独立分布情形中心极限定理）：
设独立分布机变量序列意实数
者
列维—林德伯格中心极限定理成立条件：机变量序列独立分布机变量数学期方差存
列维—林德伯格中心极限定理说明独立分布机变量序列（）原服什分布足够总似认
者
者
似计算求解步骤：
①求出原分布数学期方差
②根求解机变量函数式均值选取合适似正态分布
③似正态分布标准化标准正态分布根标准正态分布分布函数进行求解中心极限定理公式中实际般正态分布标准化程
（2）德莫弗—拉普拉斯中心极限定理：
设独立分布机变量序列服0—1分布意实数
德莫弗—拉普拉斯中心极限定理列维—林德伯格中心极限定理特例果较时
果求解机变量服二项分布0—1分布考虑德莫弗—拉普拉斯中心极限定理
七数理统计基概念：
1样特性：
（1）代表性：应该总体相分布
（2）独立性：应该相互独立机变量
说总体密度函数样联合密度函数：
2统计量：
设样
样均值：
样方差：
阶原点矩：
阶中心矩：
次序统计量：
次序统计量：
特记
注意：常公式：
3统计量数字特征：
设取总体样记
（1）
（2）
（3）时
4服重分布时总体样：
总体分布
样联合概率函数
样统计量特征值
5数理统计常分布：
确定机变量服种分布度分布参数等利定义然结合分布性质分布间推导关系求解熟悉分布定义性质
分布：
（1）分布定义：
设独立分布机变量服称机变量
服分布度分布记作
（2）分布性质：
①时
②（分布加性）设相互独立
注意：性质②推广相互独立机变量
（3）分布分位数：
分布分位数记作时
分布：
（1）分布定义：
设机变量相互独立称机变量
服分布度分布记作
（2）分布性质：
①时
②足够时分布似
③
注意：时存
（3）分布分位数：
分布分位数记作
分布：
（1）分布定义：
设机变量相互独立称机变量
服分布度分布记作
（2）分布性质：
时
（3）分布分位数：
分布分位数记作
6正态总体抽样分布：
设取正态总体样
（1）等价表示
（2）
（3）
（4）
（5）相互独立
八参数估计：
1矩估计：
求矩估计量基思想换样原点矩换相应总体原点矩
设取总体样未知参数求解矩估计量般步骤：
（1）样阶原点矩（）开始计算求出参数间关系
（2）求反函数
（3）样均值换参数矩估计
（4）存次取阶原点矩直阶原点矩（）求参数矩估计止
注意：
（1）未知参数需联立方程组解方程组
（2）参数矩估计矩估计已知参数矩估计需代入求矩估计量
2极似然估计：
（1）似然函数：
设取总体样密度（概率）函数似然函数非负函数
离散型机变量时
（2）设取总体样未知参数求解极似然估计量般步骤：
①求出似然函数
②解方程极似然估计值
③似然函数驻点者倒数存需通参数取值范围求般者关代数式
注意：
（1）未知参数需联立方程组解方程组
（2）参数极似然估计极似然估计已知参数极似然估计需代入求极似然估计量
3估计量评选标准：
（1）偏性：
①定义：
果未知参数估计量满足
称偏估计果满足
称渐偏估计
②偏估计修正：
果必定偏估计
注意：般求导方法求极似然估计值偏估计方法求极似然估计（尤者关代数式）偏估计
（2）效性：
设未知参数偏估计果
称效
（3）相合性：
果未知参数估计量满足意
相合估计
果已知未知参数偏估计量满足
相合估计
4正态总体未知参数置信区间：
未知参数
双侧置信区间限
单侧置信限
单侧置信限
已知
未知
已知
未知
注意：未知参数置信区间求置信区间时需考虑函数关系转化置信区间置信区间
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