高三学期期末教学质量检测
数学试题
选择题：题 4 分 40 分
1 设集合 2A x x 1 3 0B x x x AB （ ）
A． 1xx B． 23xx C． 13xx D． 21x x x
2 双曲线
2
2 14
x y离心率等（ ）
A． 5
2 B． 5 C． 3
2 D． 3
3 已知非零量 a b 0ab 量 a b 夹角锐角（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
4 实数 x y 满足等式组
0
1
0
xy
x
xy
（ ）
A． 1y B． 2x C． 20xy D． 2 1 0xy
5 设正实数 x y 满足 e e e yx y x xy 取值时 x （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6 已知机变量 取值i （ 012i ）． 10 5P 1E （ ）
A． 1PD B． 1PD C． 1PD
D． 11 5PD
7 列．．．函数 22a x xf x x a Z 图象（ ）
DCBA
x xx
yy yy
x
OOOO
8 函数 y f x y g x 定义域 R恒零（ ）
A． y f g x 周期函数 y g x 周期函数
B． 偶函数 偶函数
C． 均单调递增函数 y f x g x单调递增函数
D． y f x y g x 均奇函数 y f g x 奇函数
9 已知椭圆
22
221xy
ab（ 0ab）左右焦点分 1F 2F抛物线 2 2y px （ 0p ）焦
点 2F．设两曲线交点 P 2
2 1 2
1
6PF F F p椭圆离心率（ ）
A． 1
2
B． 2
2
C． 3
4
D． 3
2
10 已知非常数数列 na 满足 1
2
nn
n
aaa
（*nN 非零常数）． 0（ ）
A．存 意 1a 2a 数列 等数列
B．存 意 数列 等差数列
C．存 意 数列 等差数列
D．存 意 数列 等数列
二填空题：单空题题 4 分空题题 6 分 36 分
11 设复数 z 满足 1 i 2iz （i 虚数单位） z z ．
12 已知二项式
6
0axax
展开式中含 2x 项系数 15 a 展开式中项系
数等 ．
13 ABC△ 中 BAC 分线 BC 边交点 D sin 2sinCB BD
CD
1AD AC BC ．
14 已知函数
210
cos 0
xx
fx
xx
2019ff 关 x 方程 0f x a
0 唯实根实数 a 取值范围 ．
15 杭州亚运会启动志愿者招募工作甲乙等 5 报名参加 ABC 三项目志愿者工作
工作需项目仅需 1 名志愿者．甲参加 AB 项目乙参加 BC 项目
种选拔志愿者方案．（数字作答）
16 已知函数 3 9f x x x 23g x x a a R．方程 f x g x 三实数解 1x
2x 3x 构成等差数列 a ．
17 面凸四边形 ABCD 中 2AB 点 MN 分边 ADBC 中点 3
2MN
3
2MN AD BC AB CD ．
三解答题：5 题 74 分
18 （题满分 14 分）已知函数 22sin cos 3f x x x
（ xR）．
（1）求 fx正周期
（2）求 fx区间 34
值域．
19 （题满分 15 分）已知函数 2 12f x x k x ．
（1） 1k 时求函数 fx单调递增区间．
（2） 2k 试判断方程 1fx 根数．
20 （题满分 15 分）图 ABC△ 中 2
3BAC ∠ 3AD DB P CD 点满足
1
2AP mAC AB 面积 23．
（1）求 m 值
（2）求 AP 值．
P
BDA
C
21 （题满分 15 分）设公差 0 等差数列 na 前 n 项 nS等数列 nb 前 项
nT 2a 1a 4a 等中项 6 12a 1 1 2 2 1a b a b．
（1）求 na nS nT
（2） n n nc S T求证： 12
( 2)
2n
nnc c c ．
22 （题满分 15 分）设函数 exf x ax aR．
（1） fx两零点求 a 取值范围
（2）意 0x 均 2223f x x a 求 a 取值范围．
数学试题参考答案评分标准
选择题：题 10 题题 4 分 40 分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A B D B C C D A B
二填空题：题 7 题空题题 6 分单空题题 4 分 36 分．
11．1＋i 2 12．164 13．2 32
2
14．0 11 2
15．21 16． 11 17．－2
三解答题：题 5 题 74 分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
18．（1）푓(푥)＝sin2푥 − cos2 (푥 + π
3)＝sin2푥 − (√3
2 sin푥 − 1
2 cos푥)
2
＝sin2푥 − 3
4 sin2푥 + √3
2 sin푥cos푥 − 1
4 cos2푥
＝ − 1
4 (cos2푥 − sin2푥) + √3
4 ⋅ 2sin푥cos푥
＝ √3
4 sin2푥 − 1
4 cos2푥
＝ 1
2 sin (2푥 − π
6)
푇＝ 2π
휔
＝π． …………7 分
（2） 푥 ∈ [− π
3 π
4] 2푥 − π
6 ∈ [− 5π
6 π
3]
2푥 − π
6
＝ − π
2
푥＝ − π
6 时푓min＝ − 1
2
2푥 − π
6
＝ π
3
푥＝ π
4 时푓max＝ √3
4 ．
푓(푥)区间[− π
3 π
4]值域[− 1
2
√3
4 ]． …………7 分
19．（1）
2
2
3 1()
1 1
x x xfx
x x x
单调递增区间 1()2 ．
…………7 分
（2） x>1 ( 1)( 1 ) 0x x k 1xk
x<1 ( 1)( 1 ) 0x x k 1xk 2k 时 11
11
k
k
方程三等根
2k 时 11
1 3 1
k
k
方程两等根…………8 分
20．（1）设 A B c A C b
12πsin 2 323ABCS bc
解 8bc
12
23APmACABmACAD CPD 三点线
2 13m 1
3m ． …………7 分
（2）（1）知 11
32APACAB
2 222
94
111
323APACABACA b Bc
2πcos43ACAB bc
222 4
9
44
634 233
bc bcAP
23
3AP 仅 4323 3bc时取等号．
综 AP 值 23
3
． …………8 分
21．（1）题意： 2
2 1 4a a a 2
1dad 0d
1da
6 12a 1 2 2ad
2 ( 1)nna n S n n
1 1 2 2 1a b a b 12
11
24bb
11 2
n
nT
…………8 分
AB
C
D
P（2） 1+11() 2
n
nnncSTnn
10 1 ( ) 1 2
n 恒成立 11(+1)(+1)+ 42kckkkkk
12
31
(2)22+ 22n
nnnnccc
……． …………7 分
22．解：(1) f ′(x)＝ex＋a
① a≥0 时f ′(x)＞0时 f (x) R 单调递增
② a＜0 时f ′(x)＝0x＝ln(－a)f (x)(－∞ln(－a))单调递减
(ln(－a)＋∞)单调递增 f (x)两零点需 f (ln(－a))＜0
解 a＜－e． …………8 分
(2)解法：令 g(x)＝2f (x)＋3－x2－a2＝2ex－(x－a)2＋3x≥0
g′(x)＝2(ex－x＋a)令 h(x)＝2(ex－x＋a) h′(x)＝2(ex－1)≥0
∴ h(x)[0＋∞)单调递增 h(0)＝2(a＋1)．
① a≥－1 时g′(x)≥0 恒成立函数 g(x)[0＋∞)单调递增
必须满足 g(0)＝5－a2≥0解－ 5≤a≤ 5
a≥－1∴－1≤a≤ 5．
② a＜－1 时存 x0>0 h(x0)＝0
x∈(0x0)时h(x)＜0 g′(x)＜0 g(x)单调递减
x∈(x0＋∞)时h(x)>0 g′(x)>0 g(x)单调递增．
∴ g(x)min＝g(x0)＝2ex0－(x0－a)2＋3≥0 h(x0)＝2(ex0－x0＋a)＝0
2ex0－(ex0)2＋3≥0 解 0＜x0≤ln 3．
ex0＝x0－a⇒a＝x0－ex0
令 M(x)＝x－ex0＜x≤ln3
M′(x)＝1－ex＜0
∴ M(x)(0ln 3]单调递减
M(x)≥M(ln 3)＝ln 3－3 M(x)＜M(0)＝－1
ln 3－3≤a＜－1．
综ln 3－3≤a≤ 5． …………7 分
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