2020届市高三学期第次诊断性检测数学（理）试题
单选题
1．复数（虚数单位）复面应点关实轴称( )
A． B．
C． D．
答案B
解析题意复数z1实部相等虚部互相反数z1求．
详解
∵复数z1（i虚数单位）复面应点关实轴称
∴复数z1（i虚数单位）实部相等虚部互相反数z1＝．
选：B．
点睛
题考查复数代数表示法意义属基础题．
2．已知集合实数值( )
A． B．
C． D．
答案D
解析根集合集定义答案
详解
集合
选：D
点睛
题考查集合集基运算属基础题．
3．( )
A． B． C． D．
答案C
解析题意利角三角函数基关系诱导公式求利倍角公式求值．
详解
选：C
点睛
题考查角三角函数基关系诱导公式倍角公式应属基础题．
4．某校机抽取100名学进行垃圾分类问卷测试测试结果发现100名学分[50100]分分成5组：[5060）[6070）[7080）[8090）[90100]图示频率分布直方图100名学分中位数( )
A． B．
C． D．
答案A
解析根频率分布直方图求中位数
详解
频率分步直方图中正方形面积表示组数频率中位数：
选：A
点评
题考查频率分布直方图相关知识直方图中矩形面积代表频率矩形面积1考查中位数属基础题．
5．设等差数列前项( )
A． B．
C． D．
答案D
解析S9S5转化a5a3表达算式结
详解
等差数列前项＝＝∴＝×3＝
选：D．
点睛
题考查等差数列前n项等差中项性质考查计算力属基础题．
6．已知空间中两面空间中两条直线列说法正确( )
A．
B．
C．
D．
答案C
解析空间中直线直线直线面面面位置关系逐核四选项答案．
详解
m∥αn∥βα∥βm∥nmn异面A错误
m∥αn∥βα⊥βm∥nmn相交mn异面B错误
m⊥αα∥βm⊥βn∥βm⊥nC正确
m⊥αn∥βα⊥βm∥nmn相交mn异面D错误．
选：C．
点睛
题考查命题真假判断应考查空间中直线直线直线面面面位置关系判定应考查空间想象力思维力属中档题．
7．展开式常数项( )
A． B． C． D．
答案B
解析利二项式定理通项公式计算出．
详解
展开式通项公式：Tr+1＝（）6﹣r（）6﹣r ．
令6﹣2r＝﹣26﹣2r＝0分解r＝4r＝3．
展开式常数项+2×＝
选：B
点睛
题考查二项式定理应方程思想方法考查推理力计算力属基础题．
8．函数图象点横坐标伸长原倍（坐标变）图象左移单位长度函数图象函数解析式( )
A． B．
C． D．
答案A
解析利函数图象移变换伸缩变换应求出结果
详解
函数图象点横坐标伸长原2倍（坐标变）图象
图象左移单位长度函数f（x）＝图象
选：A．
点睛
题考查函数图象移伸缩变换应考查学生运算力转换力思维力属基础题．
9．已知抛物线焦点抛物线两点线段中点轴距离( )
A． B．
C． D．
答案B
解析抛物线焦点距离转化准线距离求出横坐标进求出中点横坐标求出结果
详解
抛物线方程准线方程：设
抛物线性质中点横坐标
线段中点轴距离：
选：B．
点睛
题考查抛物线定义应属基础题．
10．已知( )
A． B．
C． D．
答案C
解析利根式运算性质幂函数单调性ab关系利数函数单调性出c＜1．
详解
∵＝＝∴．∴．
选：C．
点睛
题考查根式运算性质幂函数单调性数函数单调性属基础题．
11．已知定义数满足时关方程三相等实数根实数取值范围( )
A． B．
C． D．
答案D
解析根f（2﹣x）＝f（2+x）知函数f（x）关x＝2称利时画出函数y＝f（x）致图象．题意转化y＝k（x﹣2）+e﹣1f（x）三交点直线恒定点（2e﹣1）根数形结合法k取值范围．
详解
题意x≤2时f（x）＝（x﹣1）ex﹣1．f′（x）＝xex．
①令f′（x）＝0解x＝0②令f′（x）＜0解x＜0③令f′（x）＞0解0＜x≤2．
∴f（x）（﹣∞0）单调递减（02]单调递增
x＝0处取极值f（0）＝﹣2．f（1）＝﹣1x→﹣∞f（x）→0．
∵函数f（x）R满足f（2﹣x）＝f（2+x）∴函数f（x）图象关x＝2称．
∴函数y＝f（x）致图象图示：
关x方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0转化f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．
次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1明显恒定点（2e﹣1）．结合图象k＝0时两交点符合题意
k＝e时两交点中（1﹣1）．时y＝f（x）y＝k（x﹣2）+e﹣1正相切．
∴0＜k＜e时三交点．理﹣e＜k＜0时三交点．
实数k取值范围：（﹣e0）∪（0e）．
选：D．
点睛
题考查数形结合法应利导数分析函数单调性画出函数图象根直线定点斜率变动分析出斜率取值范围属中档题．
12．图边长正方形中线段BC端点分边滑动现分ABAC折起点重合重合记点三锥现结：
①面
②分中点时三棱锥外接球表面积
③取值范围
④三棱锥体积值
正确结数( )
A． B． C． D．
答案C
解析根题意折叠成三棱锥P﹣ABC三条侧棱满足PAPBPAPC线面垂直判断定理①正确三棱锥P﹣ABC外接球直径等PAPBPC长宽高长方体角线长结合AP＝2BP＝CP＝1外接球半径R＝三棱锥P﹣ABC外接球体积②正确题意中边长关系③正确等体积转化计算④错误
详解
题意折叠成三棱锥P﹣ABC三条侧棱满足PAPBPAPC
①中PAPBPAPCPB PC面成立①正确
②中分中点时三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直三棱锥P﹣ABC外接球直径等PAPBPC长宽高长方体角线长结合AP＝2BP＝CP＝
外接球半径R＝外接球表面积②正确
③中正方形边长2中边长关系+解③正确
④中正方形边长2
递减值④错误
选：C
点睛
题正方形折叠成三棱锥求三棱锥外接球表面积．着重考查长方体角线长公式等体积转化求三棱锥体积值等知识属中档题．
二填空题
13．已知实数满足约束条件值_______
答案6
解析作出等式应面区域利线性规划知识通移求z值．
详解
作出实数xy满足约束条件应面区域图：（阴影部分）
y＝﹣x+z移直线y＝﹣x+z
图象知直线y＝﹣x+z点A时直线y＝﹣x+z截距时z．
解A（22）代入目标函数z＝x+2yz＝2×2+2＝6
答案：6．
点睛
题考查线性规划应利图象行求目标函数值值利数形结合解决线性规划问题中基方法属基础题．
14．设正项等数列满足_______
答案
解析已知条件转化基量a1q方程组解方程组a1q进an．
详解
正项等数列中
解∴an＝＝3•3n﹣1＝3n
答案：3n
点睛
题考查等数列通项公式考查计算力属基础题．
15．已知面量满足量夹角_______
答案
解析利两量垂直性质两量数量积定义求出量夹角．
详解
∵面量满足∴∴．
设量夹角θ 2••cosθ＝求 cosθ＝∵ θ＝
答案：．
点睛
题考查两量垂直性质两量数量积定义属基础题．
16．已知直线双曲线相交两点双曲线左焦点满足（坐标原点）双曲线离心率_______
答案
解析取双曲线右焦点连接AB四边形ABF行四边形运双曲线定义行四边形角线方等四条边方离心率公式求值．
详解
设|BF|＝m|取双曲线右焦点连接AB四边形ABF行四边形
|A|＝|BF|＝m设A第象限3m﹣m＝2am＝a
行四边形角线方等四条边方（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2）化c2＝3a2e＝＝．
答案：．
点睛
题考查双曲线定义方程性质考查行四边形性质化简运算力属中档题．
三解答题
17．中角边分
（1）求值
（2）面积求周长
答案（1）（2）
解析（1）已知条件结合余弦定理求cosA值进根角三角函数基关系式求sinA值．
（2）利三角形面积公式求bc值正弦定理化简已知等式b＝3c解bc值根余弦定理求a值求解三角形周长．
详解
（1）∵∴余弦定理2bccosA＝bc∴cosA＝
∴△ABC中sinA＝＝．
（2）∵△ABC面积bcsinA＝bc＝∴bc＝6
∵sinB＝3sinC正弦定理b＝3c∴b＝3c＝2a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6
周长
点睛
题考查余弦定理角三角函数基关系式三角形面积公式正弦定理解三角形中综合应考查计算力转化思想属中档题．
18．某公司1000名员工中男性员工400名采分层抽样方法机抽取100名员工进行5G手机购买意调查计划年购买5G手机员工称追光族计划明年明年购买5G手机员工称观者调查结果发现抽取100名员工中属追光族女性员工男性员工20
（1）完成列列联表判断否95握认该公司员工属追光族性关
属追光族
属观者
合计
女性员工
男性员工
合计
100
（2）已知抽取100名员工中10名事部员工10名中3名属追光族现10名中机抽取3名记抽取3名中属追光族数机变量X求分布列数学期
附中
015
010
005
0025
0010
0005
0001
2072
2706
3841
5024
6635
7879
10828
答案（1）表见解析没95握认该公司员工属追光族性关（2）分布列见解析
解析（1）根题意列出列联表计算K2查表判断
（2）机变量X取值0123分布求出应概率列出分布列求期．
详解
（1）题意2×2列联表：
属追光族
属观者
合计
女性员工
20
40
60
男性员工
20
20
40
合计
40
60
100
没95握认该公司员工属追光族性关
（2）题意机变量X取值0123
分布列
X
0
1
2
3
P
点睛
题考查独立性检验考查超分布考查分析解决问题力计算力属中档题．
19．图四棱锥 中面底面菱形中点
（1）证明：面
（2）求面面成锐二面角余弦值
答案（1）见解析（2）
解析（1）根菱形基性质BC⊥AE线面垂直BC⊥APBC⊥面PAE
（2）P坐标原点方分xyz轴建立空间直角坐标系分求出面BAP面CDP法量计算
详解
（1）连接AC底面ABCD菱形∠ABC＝60°△ABC正三角形
EBC中点BC⊥AEAP⊥面PBCBC⊂面PBC
BC⊥APAP∩AE＝AAPAE⊂面PAEBC⊥面PAE
（2）AP⊥面PBCPB⊂面PBCAP⊥PBAB＝2PA＝1PB＝
（1）BC⊥PEEBC中点PB＝PC＝EC＝1PE＝
图点P作BC行线PQPQPEPA两两互相垂直
P坐标原点方分xyz轴建立图示空间直角坐标系
P（000）A（001）B（﹣10）C（10）D（021）
设面BAP法量＝（xyz）＝（001）＝（﹣10）
x﹣y＝0z＝0令x＝1＝（10）
设面CDP法量＝（abc）＝（10）＝（021）
a+b＝02y+z＝0令a＝1＝（1﹣2）
面ABP面CDP成锐二面角余弦值．
点睛
题考查空间面二面角问题涉证明线面垂直等知识点建系解决该类问题常方法属中档题．
20．已知函数
（1）讨函数单调性
（2）时证明：
答案（1）答案唯见解析（2）见解析
解析（1）求出导数讨a取值范围求出单调区间
（2）（1）函数函数值根题意转化恒成立
详解
（1）
时函数（01）单调递减单调递增
时函数单调递增单调递减单调递增
时函数单调递增
时函数（01）单调递增单调递减单调递增
综：时（01）单调递减单调递增
时单调递增单调递减单调递增
时单调递增
时（01）单调递增单调递减单调递增
（2）时（1）函数单调递减单调递增
函数值
证：等式成立
证：
证：
证：
令
函数单调递减
时成立
时成立
点睛
题考查利导数求函数单调性运分类讨思想关键涉构造新函数求区间等问题属中档题．
21．已知椭圆右焦点点直线（轴重合）椭圆相交两点直线：轴相交点点作垂足D．
（1）求四边形（坐标原点）面积取值范围
（2）证明直线定点求出点坐标
答案（1）（2）证明见解析
解析（1）题意设直线AB方程代入椭圆整理坐标积四边形面积分成2三角形根底相列出关面积函数式结合均值等式面积取值范围
（2）（1）BD坐标设直线BD 方程令坐标零横坐标定值直线BD定点．
详解
（1）题F（10）设直线AB：
联立消x
四边形OAHB面积
令
（仅t1m0时取等号）
四边形OAHB面积取值范围
（2）直线BD斜率直线BD方程
令y0①
（1）
化简①
直线BD定点
点睛
题考查直线椭圆位置关系四边形面积取值范围求直线方程证明直线定点等问题考查运算力属中档题．
22．面直角坐标系中已知曲线：动点绕点时针旋转设点轨迹曲线坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系
（1）求曲线极坐标方程
（2）极坐标系中点射线曲线分相交异极点两点求面积
答案（1）曲线：曲线：（2）
解析（1）题意点Q轨迹（20）圆心2半径圆写出普通方程结合ρ2＝x2+y2x＝ρcosθy＝ρsinθ曲线C1C2极坐标方程
（2）极坐标系中设AB极径分ρ1ρ2求|AB|＝|ρ1﹣ρ2|求出M（3）射线距离h＝求△MAB面积．
详解
（1）题意点Q轨迹（20）圆心2半径圆曲线C2：
∵ρ2＝x2+y2x＝ρcosθy＝ρsinθ∴曲线C1极坐标方程ρ＝4sinθ曲线C2极坐标方程ρ＝4cosθ
（2）极坐标系中设AB极径分ρ1ρ2
点射线距离
面积
点睛
题考查简单曲线极坐标方程考查参数方程化普通方程考查计算力属中档题．
23．已知函数
（1）解等式
（2）求证：
答案（1）（2）见解析
解析（1）原等式化：|x﹣3|≥4﹣|2x+1||2x+1|+|x﹣3|≥4分段讨求出
（2）基等式值转化|x+|﹣f（x）≤恒成立．
详解
（1）原等式化
①时等式化解
②时等式化解
③时等式化解
综：原等式解集
（2）
仅时取等号
仅时取等号
点睛
考查绝值等式解法绝值等式性质利分类讨思想结合绝值性质基等式应属中档题．
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单选题
1．复数（虚数单位）复面应点关实轴称( )
A． B．
C． D．
答案B
解析题意复数z1实部相等虚部互相反数z1求．
详解
∵复数z1（i虚数单位）复面应点关实轴称
∴复数z1（i虚数单位）实部相等虚部互相反数z1＝．
选：B．
点睛
题考查复数代数表示法意义属基础题．
2．已知集合实数值( )
A． B．
C． D．
答案D
解析根集合集定义答案
详解
集合
选：D
点睛
题考查集合集基运算属基础题．
3．( )
A． B． C． D．
答案C
解析题意利角三角函数基关系诱导公式求利倍角公式求值．
详解
选：C
点睛
题考查角三角函数基关系诱导公式倍角公式应属基础题．
4．某校机抽取100名学进行垃圾分类问卷测试测试结果发现100名学分[50100]分分成5组：[5060）[6070）[7080）[8090）[90100]图示频率分布直方图100名学分中位数( )
A． B．
C． D．
答案A
解析根频率分布直方图求中位数
详解
频率分步直方图中正方形面积表示组数频率中位数：
选：A
点评
题考查频率分布直方图相关知识直方图中矩形面积代表频率矩形面积1考查中位数属基础题．
5．设等差数列前项( )
A． B．
C． D．
答案D
解析S9S5转化a5a3表达算式结
详解
等差数列前项＝＝∴＝×3＝
选：D．
点睛
题考查等差数列前n项等差中项性质考查计算力属基础题．
6．已知空间中两面空间中两条直线列说法正确( )
A．
B．
C．
D．
答案C
解析空间中直线直线直线面面面位置关系逐核四选项答案．
详解
m∥αn∥βα∥βm∥nmn异面A错误
m∥αn∥βα⊥βm∥nmn相交mn异面B错误
m⊥αα∥βm⊥βn∥βm⊥nC正确
m⊥αn∥βα⊥βm∥nmn相交mn异面D错误．
选：C．
点睛
题考查命题真假判断应考查空间中直线直线直线面面面位置关系判定应考查空间想象力思维力属中档题．
7．展开式常数项( )
A． B． C． D．
答案B
解析利二项式定理通项公式计算出．
详解
展开式通项公式：Tr+1＝（）6﹣r（）6﹣r ．
令6﹣2r＝﹣26﹣2r＝0分解r＝4r＝3．
展开式常数项+2×＝
选：B
点睛
题考查二项式定理应方程思想方法考查推理力计算力属基础题．
8．函数图象点横坐标伸长原倍（坐标变）图象左移单位长度函数图象函数解析式( )
A． B．
C． D．
答案A
解析利函数图象移变换伸缩变换应求出结果
详解
函数图象点横坐标伸长原2倍（坐标变）图象
图象左移单位长度函数f（x）＝图象
选：A．
点睛
题考查函数图象移伸缩变换应考查学生运算力转换力思维力属基础题．
9．已知抛物线焦点抛物线两点线段中点轴距离( )
A． B．
C． D．
答案B
解析抛物线焦点距离转化准线距离求出横坐标进求出中点横坐标求出结果
详解
抛物线方程准线方程：设
抛物线性质中点横坐标
线段中点轴距离：
选：B．
点睛
题考查抛物线定义应属基础题．
10．已知( )
A． B．
C． D．
答案C
解析利根式运算性质幂函数单调性ab关系利数函数单调性出c＜1．
详解
∵＝＝∴．∴．
选：C．
点睛
题考查根式运算性质幂函数单调性数函数单调性属基础题．
11．已知定义数满足时关方程三相等实数根实数取值范围( )
A． B．
C． D．
答案D
解析根f（2﹣x）＝f（2+x）知函数f（x）关x＝2称利时画出函数y＝f（x）致图象．题意转化y＝k（x﹣2）+e﹣1f（x）三交点直线恒定点（2e﹣1）根数形结合法k取值范围．
详解
题意x≤2时f（x）＝（x﹣1）ex﹣1．f′（x）＝xex．
①令f′（x）＝0解x＝0②令f′（x）＜0解x＜0③令f′（x）＞0解0＜x≤2．
∴f（x）（﹣∞0）单调递减（02]单调递增
x＝0处取极值f（0）＝﹣2．f（1）＝﹣1x→﹣∞f（x）→0．
∵函数f（x）R满足f（2﹣x）＝f（2+x）∴函数f（x）图象关x＝2称．
∴函数y＝f（x）致图象图示：
关x方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0转化f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．
次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1明显恒定点（2e﹣1）．结合图象k＝0时两交点符合题意
k＝e时两交点中（1﹣1）．时y＝f（x）y＝k（x﹣2）+e﹣1正相切．
∴0＜k＜e时三交点．理﹣e＜k＜0时三交点．
实数k取值范围：（﹣e0）∪（0e）．
选：D．
点睛
题考查数形结合法应利导数分析函数单调性画出函数图象根直线定点斜率变动分析出斜率取值范围属中档题．
12．图边长正方形中线段BC端点分边滑动现分ABAC折起点重合重合记点三锥现结：
①面
②分中点时三棱锥外接球表面积
③取值范围
④三棱锥体积值
正确结数( )
A． B． C． D．
答案C
解析根题意折叠成三棱锥P﹣ABC三条侧棱满足PAPBPAPC线面垂直判断定理①正确三棱锥P﹣ABC外接球直径等PAPBPC长宽高长方体角线长结合AP＝2BP＝CP＝1外接球半径R＝三棱锥P﹣ABC外接球体积②正确题意中边长关系③正确等体积转化计算④错误
详解
题意折叠成三棱锥P﹣ABC三条侧棱满足PAPBPAPC
①中PAPBPAPCPB PC面成立①正确
②中分中点时三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直三棱锥P﹣ABC外接球直径等PAPBPC长宽高长方体角线长结合AP＝2BP＝CP＝
外接球半径R＝外接球表面积②正确
③中正方形边长2中边长关系+解③正确
④中正方形边长2
递减值④错误
选：C
点睛
题正方形折叠成三棱锥求三棱锥外接球表面积．着重考查长方体角线长公式等体积转化求三棱锥体积值等知识属中档题．
二填空题
13．已知实数满足约束条件值_______
答案6
解析作出等式应面区域利线性规划知识通移求z值．
详解
作出实数xy满足约束条件应面区域图：（阴影部分）
y＝﹣x+z移直线y＝﹣x+z
图象知直线y＝﹣x+z点A时直线y＝﹣x+z截距时z．
解A（22）代入目标函数z＝x+2yz＝2×2+2＝6
答案：6．
点睛
题考查线性规划应利图象行求目标函数值值利数形结合解决线性规划问题中基方法属基础题．
14．设正项等数列满足_______
答案
解析已知条件转化基量a1q方程组解方程组a1q进an．
详解
正项等数列中
解∴an＝＝3•3n﹣1＝3n
答案：3n
点睛
题考查等数列通项公式考查计算力属基础题．
15．已知面量满足量夹角_______
答案
解析利两量垂直性质两量数量积定义求出量夹角．
详解
∵面量满足∴∴．
设量夹角θ 2••cosθ＝求 cosθ＝∵ θ＝
答案：．
点睛
题考查两量垂直性质两量数量积定义属基础题．
16．已知直线双曲线相交两点双曲线左焦点满足（坐标原点）双曲线离心率_______
答案
解析取双曲线右焦点连接AB四边形ABF行四边形运双曲线定义行四边形角线方等四条边方离心率公式求值．
详解
设|BF|＝m|取双曲线右焦点连接AB四边形ABF行四边形
|A|＝|BF|＝m设A第象限3m﹣m＝2am＝a
行四边形角线方等四条边方（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2）化c2＝3a2e＝＝．
答案：．
点睛
题考查双曲线定义方程性质考查行四边形性质化简运算力属中档题．
三解答题
17．中角边分
（1）求值
（2）面积求周长
答案（1）（2）
解析（1）已知条件结合余弦定理求cosA值进根角三角函数基关系式求sinA值．
（2）利三角形面积公式求bc值正弦定理化简已知等式b＝3c解bc值根余弦定理求a值求解三角形周长．
详解
（1）∵∴余弦定理2bccosA＝bc∴cosA＝
∴△ABC中sinA＝＝．
（2）∵△ABC面积bcsinA＝bc＝∴bc＝6
∵sinB＝3sinC正弦定理b＝3c∴b＝3c＝2a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6
周长
点睛
题考查余弦定理角三角函数基关系式三角形面积公式正弦定理解三角形中综合应考查计算力转化思想属中档题．
18．某公司1000名员工中男性员工400名采分层抽样方法机抽取100名员工进行5G手机购买意调查计划年购买5G手机员工称追光族计划明年明年购买5G手机员工称观者调查结果发现抽取100名员工中属追光族女性员工男性员工20
（1）完成列列联表判断否95握认该公司员工属追光族性关
属追光族
属观者
合计
女性员工
男性员工
合计
100
（2）已知抽取100名员工中10名事部员工10名中3名属追光族现10名中机抽取3名记抽取3名中属追光族数机变量X求分布列数学期
附中
015
010
005
0025
0010
0005
0001
2072
2706
3841
5024
6635
7879
10828
答案（1）表见解析没95握认该公司员工属追光族性关（2）分布列见解析
解析（1）根题意列出列联表计算K2查表判断
（2）机变量X取值0123分布求出应概率列出分布列求期．
详解
（1）题意2×2列联表：
属追光族
属观者
合计
女性员工
20
40
60
男性员工
20
20
40
合计
40
60
100
没95握认该公司员工属追光族性关
（2）题意机变量X取值0123
分布列
X
0
1
2
3
P
点睛
题考查独立性检验考查超分布考查分析解决问题力计算力属中档题．
19．图四棱锥 中面底面菱形中点
（1）证明：面
（2）求面面成锐二面角余弦值
答案（1）见解析（2）
解析（1）根菱形基性质BC⊥AE线面垂直BC⊥APBC⊥面PAE
（2）P坐标原点方分xyz轴建立空间直角坐标系分求出面BAP面CDP法量计算
详解
（1）连接AC底面ABCD菱形∠ABC＝60°△ABC正三角形
EBC中点BC⊥AEAP⊥面PBCBC⊂面PBC
BC⊥APAP∩AE＝AAPAE⊂面PAEBC⊥面PAE
（2）AP⊥面PBCPB⊂面PBCAP⊥PBAB＝2PA＝1PB＝
（1）BC⊥PEEBC中点PB＝PC＝EC＝1PE＝
图点P作BC行线PQPQPEPA两两互相垂直
P坐标原点方分xyz轴建立图示空间直角坐标系
P（000）A（001）B（﹣10）C（10）D（021）
设面BAP法量＝（xyz）＝（001）＝（﹣10）
x﹣y＝0z＝0令x＝1＝（10）
设面CDP法量＝（abc）＝（10）＝（021）
a+b＝02y+z＝0令a＝1＝（1﹣2）
面ABP面CDP成锐二面角余弦值．
点睛
题考查空间面二面角问题涉证明线面垂直等知识点建系解决该类问题常方法属中档题．
20．已知函数
（1）讨函数单调性
（2）时证明：
答案（1）答案唯见解析（2）见解析
解析（1）求出导数讨a取值范围求出单调区间
（2）（1）函数函数值根题意转化恒成立
详解
（1）
时函数（01）单调递减单调递增
时函数单调递增单调递减单调递增
时函数单调递增
时函数（01）单调递增单调递减单调递增
综：时（01）单调递减单调递增
时单调递增单调递减单调递增
时单调递增
时（01）单调递增单调递减单调递增
（2）时（1）函数单调递减单调递增
函数值
证：等式成立
证：
证：
证：
令
函数单调递减
时成立
时成立
点睛
题考查利导数求函数单调性运分类讨思想关键涉构造新函数求区间等问题属中档题．
21．已知椭圆右焦点点直线（轴重合）椭圆相交两点直线：轴相交点点作垂足D．
（1）求四边形（坐标原点）面积取值范围
（2）证明直线定点求出点坐标
答案（1）（2）证明见解析
解析（1）题意设直线AB方程代入椭圆整理坐标积四边形面积分成2三角形根底相列出关面积函数式结合均值等式面积取值范围
（2）（1）BD坐标设直线BD 方程令坐标零横坐标定值直线BD定点．
详解
（1）题F（10）设直线AB：
联立消x
四边形OAHB面积
令
（仅t1m0时取等号）
四边形OAHB面积取值范围
（2）直线BD斜率直线BD方程
令y0①
（1）
化简①
直线BD定点
点睛
题考查直线椭圆位置关系四边形面积取值范围求直线方程证明直线定点等问题考查运算力属中档题．
22．面直角坐标系中已知曲线：动点绕点时针旋转设点轨迹曲线坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系
（1）求曲线极坐标方程
（2）极坐标系中点射线曲线分相交异极点两点求面积
答案（1）曲线：曲线：（2）
解析（1）题意点Q轨迹（20）圆心2半径圆写出普通方程结合ρ2＝x2+y2x＝ρcosθy＝ρsinθ曲线C1C2极坐标方程
（2）极坐标系中设AB极径分ρ1ρ2求|AB|＝|ρ1﹣ρ2|求出M（3）射线距离h＝求△MAB面积．
详解
（1）题意点Q轨迹（20）圆心2半径圆曲线C2：
∵ρ2＝x2+y2x＝ρcosθy＝ρsinθ∴曲线C1极坐标方程ρ＝4sinθ曲线C2极坐标方程ρ＝4cosθ
（2）极坐标系中设AB极径分ρ1ρ2
点射线距离
面积
点睛
题考查简单曲线极坐标方程考查参数方程化普通方程考查计算力属中档题．
23．已知函数
（1）解等式
（2）求证：
答案（1）（2）见解析
解析（1）原等式化：|x﹣3|≥4﹣|2x+1||2x+1|+|x﹣3|≥4分段讨求出
（2）基等式值转化|x+|﹣f（x）≤恒成立．
详解
（1）原等式化
①时等式化解
②时等式化解
③时等式化解
综：原等式解集
（2）
仅时取等号
仅时取等号
点睛
考查绝值等式解法绝值等式性质利分类讨思想结合绝值性质基等式应属中档题．
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