- 1. 当 R3,有 X=(x, y, z) , d = dv则三重积分1. 直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下,记体积元素dv=dxdydzdzdydxyxz0则三重积分
- 2. xyz0z=z2(x, y)z=z1(x, y)D(1) 化成一个定积分和一个二重积分设 D 为 在 xy 平面上投影区域.y=y1(x)bay=y2(x)
- 3. zxyx+y+z=10例1. 计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解: D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1 11Dx+y=1 xy
- 4. 例2. 计算其中 是由抛物柱面及平面y=0, z=0, 解: D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤yxz0D0yx
- 5. y=y1(x, z)z0y=y2(x, z)Dxzyx
- 6. x=x2(y, z)z0x=x1(y, z)Dyzyx
- 7. 例3. 将化为三次定积分,其中 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.解:先对 z 积分,将 向 xy 平面投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2
- 8. xyz01Dxyz=1z= x2+y2
- 9. 解2:先对 y 积分,将 向 xz 平面投影:z= x2+y2 Dxy: x2 ≤z ≤ 1,z=1 1 ≤x≤1z= x2+y2 xyz0Dxz11
- 10. (2) 化为一个二重积分和一个定积分 :(x, y)D(z), z1≤z≤z20xzyz2zz2D(z)
- 11. 例4. 计算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解:D(z): x2+y2≤zz[0, 1]
- 12. 例5. 计算解: D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xyzxy0111x : 0 ≤ x ≤ 1 其中 是由平面 x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D(x)z=1xy xy01x1x
- 13. 2. 利用柱面坐标计算三重积分M (r, , z)x=rcosy=rsinz=z(0≤r<+, 0≤≤2, <z<+)rzM•0xzyyx
- 14. 柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数=常数z=常数xyzo
- 15. = r故 dxdydz=rdrddz
- 16. 例1. 计算其中 由与 z=1 所围闭区域.解: D: x2+y2≤1z =1 z =rz =0xyz0Dz=rz=1
- 17. xyz0z=rz=11D
- 18. 例2. 计算 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解:D: x2+y2≤1xyz01
- 19. 例3. 再解例1其中是 由与 z=1 所围闭区域.解:用 = 截 得 D()而 0≤ ≤2 故原积分=xyz
- 20. xzyD( )z1r0z= r1
- 21. 例4. 再解例2其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解:用 = 截 得 D()而 0≤ ≤2 故原积分 =xyz0
- 22. xyz0011rz
- 23. 3. 利用球面坐标计算三重积分M (r, ,)x=OPcos z= r cos(0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)y= OPsin •M0zxyrPxyz= r sin cos= rsin sin
- 24. 球面坐标的三组坐标面: r =常数 =常数 =常数dxdydz= r2sin drddzxy
- 25. 例5. 计算其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解:x2+y2+z2=1 r=1而 0≤ ≤2 故用 = 截 得 D()原积分xyz0
- 26. xyz0z011r=1
- 27. 例6.和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域.解: x2+y2+z2=a2 r=a原积分zyxa
- 28. zyxar=az
- 29. 例7. 计算次积分,其中 为x2+y2+(z1)2≤1. 解:x2+y2+(z1)2≤1 r=2cosxyz0表为球坐标系中的三zy