数值计算方法试题
填空题（空1分17分）
1果二分法求方程区间根精确三位数需分( ）次
2迭代格式局部收敛充分条件取值（ )
3已知三次样条函数
（ )（ )( )
4整数点节点Lagrange插值基函数
（ )（ ）时( ）
5设节点
65节点牛顿柯特斯求积公式代数精度 5节点求积公式高代数精度
7区间权函数高项系数1正交项式族中
8定方程组实数满足 时SOR迭代法收敛
9解初值问题改进欧拉法
阶方法
10设( ）时必分解式中三角阵角线元素满足( ）条件时种分解唯
二 二选择题（题2分）
1解方程组简单迭代格式收敛充条件( ）
（1） （2） (3） （4）
2牛顿—柯特斯求积公式：中系数负值时公式稳定性保证实际应中（ )时牛顿—柯特斯求积公式
（1) （2） （3） （4）
3列数表
x
0
05
1
15
2
25
f（x)
—2
—175
—1
025
2
425
确定插值项式次数( )
（1）二次 （2)三次 （3）四次 （4)五次
4二阶中点公式求解初值问题试问保证该公式绝稳定步长取值范围（ ）
(1） (2） (3) （4)
三1（8分）二法求形验公式拟合数
19
25
30
38
190
323
490
733
2（15分)复化梯形公式(复化 Simpson公式）计算时
(1) (1） 试余项估计误差
（2）复化梯形公式(复化 Simpson公式）计算出该积分似值
四1（15分）方程附根方程写成三种等价形式（1)应迭代格式(2)应迭代格式（3）应迭代格式判断迭代格式收敛性选种收敛格式计算附根精确数点第三位选种迭代格式建立Steffensen迭代法进行计算前种结果较说明否加速效果
2（8分）已知方程组中
（1） （1） 列出Jacobi迭代法GaussSeidel迭代法分量形式
（2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵谱半径写出SOR迭代法
五1（15分)取步长求解初值问题改进欧拉法求值典四阶龙格—库塔法求值
2（8分）求次数高4次项式满足
六(列2题选题4分）
1 1 数值积分公式形
（1） （1) 试确定参数公式代数精度量高（2）设推导余项公式估计误差
2 2 二步法
求解常微分方程初值问题时选择参数方法阶数高求局部截断误差项时该方法阶
数值计算方法试题二
判断题：（16分题２分）
１阶非奇异阵必存单位三角阵三角阵唯成立 （ ）
２时Newton－cotes型求积公式会产生数值稳定性（ ）
3形高斯（Gauss)型求积公式具高代数精确度次数 （ ）
４矩阵２－范数＝９（ ）
5设意实数方程组病态（） ( ）
6设(单位阵）（ ）
7区间关权函数直交项式存唯( )
8矩阵A作Doolittle分解：
值分22（ ）
二填空题（20分题2分）
1设均差
____________________
2设函数区间足够阶连续导数重零点Newton迭代公式收敛阶少 __________阶
３区间三次样条插值函数具直__________阶连续导数
4量矩阵
____________________
5两点数值求积公式：具高代数精确度求积基点应____________________
6设（谱半径）__________（处填等）
7设__________
三简答题：（9分）
1 1 方程区间唯根迭代公式： 产生序列否收敛说明理
2 2 高斯消法解线性代数方程组般什选元技术？
3 3 设试选择较算法计算函数值
四（10分）已知数值积分公式：
试确定积分公式中参数代数精确度量高指出代数精确度次数
五（8分）已知求迭代公式：
证明：切序列单调递减
迭代程收敛
六（9分）数值求积公式否插值型求积公式什？代数精度少？
七(9分)设线性代数方程组中系数矩阵非奇异精确解量似解残量证明估计式：(假定矩阵范数量范数相容)
八（10分)设函数区间具四阶连续导数试求满足
列插值条件次数超3插值项式导出余项
0
1
2
0
1
2
1
1
3
3
九（9分）设区间关权函数直交项式序列零点
基点拉格朗日(Lagrange）插值基函数高斯型求积公式证明
（1） （1)时
（2）
（3）
十（选做题8分)
互异求值中
数值计算方法试题三
（24分）填空题
(1) （1） (2分）改变函数 （)形式计算结果较精确
(2) （2） （2分)二分法求方程区间［12］根求精确第3位数需分 次
(3) （3) （2分）设
(4) (4） (3分）设3次样条函数
a b c
(5) (5) (3分)复化梯形公式计算求误差超利余项公式估计少 求积节点
(6) （6) (6分）写出求解方程组Gauss—Seidel迭代公式
迭代矩阵
迭代法否收敛
(7) (7) （4分）设
(8) （8） (2分）Euler法求解初值问题保证算法绝稳定步长h取值范围
二 (64分)
(1) (1） (6分)写出求方程区间［01］根收敛迭代公式证明收敛性
(2) （2） (12分）100121144插值节点插值法计算似值利余项估计误差
(3) （3） (10分）求区间［01］1次佳方逼项式
(4) (4） (10分）复化Simpson公式计算积分似值求误差限
(5) (5) (10分）Gauss列元消法解方程组
(6) （6） (8分)求方程组 二解
(7) (7) （8分)已知常微分方程初值问题：
改进Euler方法计算似值取步长
三．(12分列5题中选做3题）
(1) （1) (6分）求次数超4次项式p(x）满足：
(2) (2) (6分）构造代数精度高形式求积公式求出代数精度：
(3) (3) （6分)幂法求矩阵模特征值相应单位特征量迭代特征值相邻两次似值距离005取特征量初始似值
(4) (4) （6分）推导求解常微分方程初值问题
形式 i12…N
公式精度量高中 i01…N
(5) (5) (6分）求出差分方法求解常微分方程边值问题
三角线性方程组
数值计算方法试题三
（24分）填空题
(9) （1) （2分)改变函数 （)形式计算结果较精确
(10) (2) （2分)二分法求方程区间［12]根求精确第3位数需分 次
(11) (3) （2分)设
(12) (4） (3分）设3次样条函数
a b c
(13) (5) （3分）复化梯形公式计算求误差超利余项公式估计少 求积节点
(14) (6） （6分）写出求解方程组Gauss—Seidel迭代公式
迭代矩阵
迭代法否收敛
(15) （7) （4分）设
(16) (8) (2分)Euler法求解初值问题保证算法绝稳定步长h取值范围
二 （64分)
(8) (1） (6分）写出求方程区间［01］根收敛迭代公式证明收敛性
(9) （2） （12分）100121144插值节点插值法计算似值利余项估计误差
(10) （3) （10分）求区间［01]1次佳方逼项式
(11) (4) (10分)复化Simpson公式计算积分似值求误差限
(12) （5） （10分)Gauss列元消法解方程组：
(13) （6） （8分）求方程组 二解
(14) （7) (8分）已知常微分方程初值问题
改进Euler方法计算似值取步长
三．(12分列5题中选做3题）
(6) （1) (6分）求次数超4次项式p(x)满足
(7) （2) (6分)构造代数精度高形式求积公式求出代数精度：
(8) (3) （6分)幂法求矩阵模特征值相应单位特征量迭代特征值相邻两次似值距离005取特征量初始似值
(9) (4） （6分）推导求解常微分方程初值问题
形式 i12…N
公式精度量高中 i01…N
(10) （5） (6分）求出差分方法求解常微分方程边值问题
三角线性方程组
数值计算方法试题答案
填空题（空1分17分)
1（ 10 ） 2（） 3（ 3 ）（ 3 ）( 1 )
4( 1 ） ( ）（ ) 5 6 6 9
7 0 89 2 10（ ）（ ）
二 选择题（题2分）
1（（2)） 2（(1)） 3（（1）） 4((3)）
三1（8分）解：
解方程组
中
解
2（15分）解：
四1（15分）解：（1)收敛
(2)收敛
（3）发散
选择（1）：
Steffensen迭代：
计算结果： 加速效果
2（8分）解：Jacobi迭代法：
Gauss—Seidel迭代法：
SOR迭代法：
五1（15分）解：改进欧拉法：
典四阶龙格—库塔法：
2（8分）解：设满足条件Hermite插值项式
代入条件：
六（列2题选题4分）
1解：分布代入公式：
构造Hermite插值项式满足中
：
2解
项： 该方法二阶
数值计算方法试题二答案
判断题：（10分题２分)
1( Ⅹ ） 2（ ∨ ) 3( Ⅹ ) 4( ∨ ) 5（ Ⅹ ) 6（ ∨ )7（ Ⅹ ) 8( Ⅹ ）
二 填空题：(10分题2分）
10 2__二___ 3__二___4_16 90__56
70
三 简答题：（15分）
1 解迭代函数
2 答：Gauss消法进行底条件步消元元素全0果消元程中发现某元素0消元程法进行次元素0元素绝值作数该步消元数绝值势必造成舍入误差严重扩散致方程组解精确程度受严重影响采选元技术避免元素0情况发生会计算中断误差扩太计算稳定
3 解：
四 解显然精确成立
时
时
时
时
代数精确度3
五 证明
切
序列单调递减界
迭代程收敛
六 解：基点12处插值项式
代数精度1
七 证明题意知：
八解设
：
令作辅助函数
具4阶连续导数少4零点：
反复利罗尔定理：
九 证明：形高斯(Gauss）型求积公式具
高代数精度2n+1次取次数超2n+1次项式均精确成立
1）
2）n次项式
（）
3）取代入求积公式：2n次项式
结成立
十 解
数值计算方法试题三答案
(24分)
（1） （2分） （2) （2分） 10
(3） （2分） （4) （3分） 3 —3 1 (5) (3分) 477
（6） （6分) 收敛
(7） (4分） 9 91 (8) (2分) h〈02
二 (64分）
（1) （6分）n012…
∴ 意初值迭代公式收敛
(2） （12分) Newton插值方法差分表：
100
121
144
10
11
12
00476190
00434783
00000941136
10+00476190（115—100)—00000941136(115—100)（115121)
107227555
（3) （10分)设
0873127+169031x
(4） (10分)
利余项：
(5) （10分）
30000 10000 50000 340000
00000 36667 03333 126667
00000 53333 23333 43333
30000 10000 50000 340000
00000 53333 —23333 43333
00000 00000 19375 96875
(6) (8分)
Householder变换：
二解： (—133333200000）T
(7) （8分)
三 (12分)
（1） 差分表：
1
1
1
2
2
15
15
15
57
57
20
20
42
72
15
22
30
7
8
1
方法设
令求出ab
(2) 取f(x)1x令公式准确成立：
f（x)x2时公式左右14 f（x)x3时公式左15 公式右524
∴ 公式代数精度2
(3) ①
②
③
∴
（4） 局部截断误差
令
计算公式i012…
( 局部截断误差 ）
（5） 记
i0N
i1N—1
i1N—1 （1）
(1)取i1方程联立消y2
（2)
（1）取iN1方程联立消yN
（3）
求三角方程组：方程(2)方程组(1)（i1N2)方程(3）
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填空题（空1分17分）
1果二分法求方程区间根精确三位数需分( ）次
2迭代格式局部收敛充分条件取值（ )
3已知三次样条函数
（ )（ )( )
4整数点节点Lagrange插值基函数
（ )（ ）时( ）
5设节点
65节点牛顿柯特斯求积公式代数精度 5节点求积公式高代数精度
7区间权函数高项系数1正交项式族中
8定方程组实数满足 时SOR迭代法收敛
9解初值问题改进欧拉法
阶方法
10设( ）时必分解式中三角阵角线元素满足( ）条件时种分解唯
二 二选择题（题2分）
1解方程组简单迭代格式收敛充条件( ）
（1） （2） (3） （4）
2牛顿—柯特斯求积公式：中系数负值时公式稳定性保证实际应中（ )时牛顿—柯特斯求积公式
（1) （2） （3） （4）
3列数表
x
0
05
1
15
2
25
f（x)
—2
—175
—1
025
2
425
确定插值项式次数( )
（1）二次 （2)三次 （3）四次 （4)五次
4二阶中点公式求解初值问题试问保证该公式绝稳定步长取值范围（ ）
(1） (2） (3) （4)
三1（8分）二法求形验公式拟合数
19
25
30
38
190
323
490
733
2（15分)复化梯形公式(复化 Simpson公式）计算时
(1) (1） 试余项估计误差
（2）复化梯形公式(复化 Simpson公式）计算出该积分似值
四1（15分）方程附根方程写成三种等价形式（1)应迭代格式(2)应迭代格式（3）应迭代格式判断迭代格式收敛性选种收敛格式计算附根精确数点第三位选种迭代格式建立Steffensen迭代法进行计算前种结果较说明否加速效果
2（8分）已知方程组中
（1） （1） 列出Jacobi迭代法GaussSeidel迭代法分量形式
（2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵谱半径写出SOR迭代法
五1（15分)取步长求解初值问题改进欧拉法求值典四阶龙格—库塔法求值
2（8分）求次数高4次项式满足
六(列2题选题4分）
1 1 数值积分公式形
（1） （1) 试确定参数公式代数精度量高（2）设推导余项公式估计误差
2 2 二步法
求解常微分方程初值问题时选择参数方法阶数高求局部截断误差项时该方法阶
数值计算方法试题二
判断题：（16分题２分）
１阶非奇异阵必存单位三角阵三角阵唯成立 （ ）
２时Newton－cotes型求积公式会产生数值稳定性（ ）
3形高斯（Gauss)型求积公式具高代数精确度次数 （ ）
４矩阵２－范数＝９（ ）
5设意实数方程组病态（） ( ）
6设(单位阵）（ ）
7区间关权函数直交项式存唯( )
8矩阵A作Doolittle分解：
值分22（ ）
二填空题（20分题2分）
1设均差
____________________
2设函数区间足够阶连续导数重零点Newton迭代公式收敛阶少 __________阶
３区间三次样条插值函数具直__________阶连续导数
4量矩阵
____________________
5两点数值求积公式：具高代数精确度求积基点应____________________
6设（谱半径）__________（处填等）
7设__________
三简答题：（9分）
1 1 方程区间唯根迭代公式： 产生序列否收敛说明理
2 2 高斯消法解线性代数方程组般什选元技术？
3 3 设试选择较算法计算函数值
四（10分）已知数值积分公式：
试确定积分公式中参数代数精确度量高指出代数精确度次数
五（8分）已知求迭代公式：
证明：切序列单调递减
迭代程收敛
六（9分）数值求积公式否插值型求积公式什？代数精度少？
七(9分)设线性代数方程组中系数矩阵非奇异精确解量似解残量证明估计式：(假定矩阵范数量范数相容)
八（10分)设函数区间具四阶连续导数试求满足
列插值条件次数超3插值项式导出余项
0
1
2
0
1
2
1
1
3
3
九（9分）设区间关权函数直交项式序列零点
基点拉格朗日(Lagrange）插值基函数高斯型求积公式证明
（1） （1)时
（2）
（3）
十（选做题8分)
互异求值中
数值计算方法试题三
（24分）填空题
(1) （1） (2分）改变函数 （)形式计算结果较精确
(2) （2） （2分)二分法求方程区间［12］根求精确第3位数需分 次
(3) （3) （2分）设
(4) (4） (3分）设3次样条函数
a b c
(5) (5) (3分)复化梯形公式计算求误差超利余项公式估计少 求积节点
(6) （6) (6分）写出求解方程组Gauss—Seidel迭代公式
迭代矩阵
迭代法否收敛
(7) (7) （4分）设
(8) （8） (2分）Euler法求解初值问题保证算法绝稳定步长h取值范围
二 (64分)
(1) (1） (6分)写出求方程区间［01］根收敛迭代公式证明收敛性
(2) （2） (12分）100121144插值节点插值法计算似值利余项估计误差
(3) （3） (10分）求区间［01］1次佳方逼项式
(4) (4） (10分）复化Simpson公式计算积分似值求误差限
(5) (5) (10分）Gauss列元消法解方程组
(6) （6） (8分)求方程组 二解
(7) (7) （8分)已知常微分方程初值问题：
改进Euler方法计算似值取步长
三．(12分列5题中选做3题）
(1) （1) (6分）求次数超4次项式p(x）满足：
(2) (2) (6分）构造代数精度高形式求积公式求出代数精度：
(3) (3) （6分)幂法求矩阵模特征值相应单位特征量迭代特征值相邻两次似值距离005取特征量初始似值
(4) (4) （6分）推导求解常微分方程初值问题
形式 i12…N
公式精度量高中 i01…N
(5) (5) (6分）求出差分方法求解常微分方程边值问题
三角线性方程组
数值计算方法试题三
（24分）填空题
(9) （1) （2分)改变函数 （)形式计算结果较精确
(10) (2) （2分)二分法求方程区间［12]根求精确第3位数需分 次
(11) (3) （2分)设
(12) (4） (3分）设3次样条函数
a b c
(13) (5) （3分）复化梯形公式计算求误差超利余项公式估计少 求积节点
(14) (6） （6分）写出求解方程组Gauss—Seidel迭代公式
迭代矩阵
迭代法否收敛
(15) （7) （4分）设
(16) (8) (2分)Euler法求解初值问题保证算法绝稳定步长h取值范围
二 （64分)
(8) (1） (6分）写出求方程区间［01］根收敛迭代公式证明收敛性
(9) （2） （12分）100121144插值节点插值法计算似值利余项估计误差
(10) （3) （10分）求区间［01]1次佳方逼项式
(11) (4) (10分)复化Simpson公式计算积分似值求误差限
(12) （5） （10分)Gauss列元消法解方程组：
(13) （6） （8分）求方程组 二解
(14) （7) (8分）已知常微分方程初值问题
改进Euler方法计算似值取步长
三．(12分列5题中选做3题）
(6) （1) (6分）求次数超4次项式p(x)满足
(7) （2) (6分)构造代数精度高形式求积公式求出代数精度：
(8) (3) （6分)幂法求矩阵模特征值相应单位特征量迭代特征值相邻两次似值距离005取特征量初始似值
(9) (4） （6分）推导求解常微分方程初值问题
形式 i12…N
公式精度量高中 i01…N
(10) （5） (6分）求出差分方法求解常微分方程边值问题
三角线性方程组
数值计算方法试题答案
填空题（空1分17分)
1（ 10 ） 2（） 3（ 3 ）（ 3 ）( 1 )
4( 1 ） ( ）（ ) 5 6 6 9
7 0 89 2 10（ ）（ ）
二 选择题（题2分）
1（（2)） 2（(1)） 3（（1）） 4((3)）
三1（8分）解：
解方程组
中
解
2（15分）解：
四1（15分）解：（1)收敛
(2)收敛
（3）发散
选择（1）：
Steffensen迭代：
计算结果： 加速效果
2（8分）解：Jacobi迭代法：
Gauss—Seidel迭代法：
SOR迭代法：
五1（15分）解：改进欧拉法：
典四阶龙格—库塔法：
2（8分）解：设满足条件Hermite插值项式
代入条件：
六（列2题选题4分）
1解：分布代入公式：
构造Hermite插值项式满足中
：
2解
项： 该方法二阶
数值计算方法试题二答案
判断题：（10分题２分)
1( Ⅹ ） 2（ ∨ ) 3( Ⅹ ) 4( ∨ ) 5（ Ⅹ ) 6（ ∨ )7（ Ⅹ ) 8( Ⅹ ）
二 填空题：(10分题2分）
10 2__二___ 3__二___4_16 90__56
70
三 简答题：（15分）
1 解迭代函数
2 答：Gauss消法进行底条件步消元元素全0果消元程中发现某元素0消元程法进行次元素0元素绝值作数该步消元数绝值势必造成舍入误差严重扩散致方程组解精确程度受严重影响采选元技术避免元素0情况发生会计算中断误差扩太计算稳定
3 解：
四 解显然精确成立
时
时
时
时
代数精确度3
五 证明
切
序列单调递减界
迭代程收敛
六 解：基点12处插值项式
代数精度1
七 证明题意知：
八解设
：
令作辅助函数
具4阶连续导数少4零点：
反复利罗尔定理：
九 证明：形高斯(Gauss）型求积公式具
高代数精度2n+1次取次数超2n+1次项式均精确成立
1）
2）n次项式
（）
3）取代入求积公式：2n次项式
结成立
十 解
数值计算方法试题三答案
(24分)
（1） （2分） （2) （2分） 10
(3） （2分） （4) （3分） 3 —3 1 (5) (3分) 477
（6） （6分) 收敛
(7） (4分） 9 91 (8) (2分) h〈02
二 (64分）
（1) （6分）n012…
∴ 意初值迭代公式收敛
(2） （12分) Newton插值方法差分表：
100
121
144
10
11
12
00476190
00434783
00000941136
10+00476190（115—100)—00000941136(115—100)（115121)
107227555
（3) （10分)设
0873127+169031x
(4） (10分)
利余项：
(5) （10分）
30000 10000 50000 340000
00000 36667 03333 126667
00000 53333 23333 43333
30000 10000 50000 340000
00000 53333 —23333 43333
00000 00000 19375 96875
(6) (8分)
Householder变换：
二解： (—133333200000）T
(7) （8分)
三 (12分)
（1） 差分表：
1
1
1
2
2
15
15
15
57
57
20
20
42
72
15
22
30
7
8
1
方法设
令求出ab
(2) 取f(x)1x令公式准确成立：
f（x)x2时公式左右14 f（x)x3时公式左15 公式右524
∴ 公式代数精度2
(3) ①
②
③
∴
（4） 局部截断误差
令
计算公式i012…
( 局部截断误差 ）
（5） 记
i0N
i1N—1
i1N—1 （1）
(1)取i1方程联立消y2
（2)
（1）取iN1方程联立消yN
（3）
求三角方程组：方程(2)方程组(1)（i1N2)方程(3）
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