中学高考——2014·全国（理科数学）解析版

2014·全国卷(理科数学)
1．[2014·全国卷] 设z＝z轭复数(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
1．D　[解析] z＝＝＝＝1＋3i根轭复数定义轭复数1－3i
2．[2014·全国卷] 设集合M＝{x|x2－3x－4<0}N＝{x|0≤x≤5}M∩N＝(　　)
A．(04] B．[04)
C．[－10) D．(－10]
2．B　[解析] M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－13．[2014·全国卷] 设a＝sin 33°b＝cos 55°c＝tan 35°(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
3．C　[解析] b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°b＞acos 35°<1>1>sin 35°c＝tan 35°＝>sin 35°c>bc>b>a
4．[2014·全国卷] 量ab满足：|a|＝1(a＋b)⊥a(2a＋b)⊥b|b|＝(　　)
A．2 B
C．1 D
4．B　[解析] (a＋b)⊥a(a＋b)·a＝0|a|2＋b·a＝0(2a＋b)⊥b(2a＋b)·b＝02a·b＋|b|2＝0|a|2＋b·a＝0联立2|a|2－|b|2＝0|b|＝|a|＝
5．[2014·全国卷] 6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法(　　)
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
5．C　[解析] 题意6名男医生中选2名5名女医生中选1名组成医疗组选法CC＝75(种)．
6．[2014·全国卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点．△AF1B周长4C方程(　　)
A＋＝1 B＋y2＝1
C＋＝1 D＋＝1
6．A　[解析] 根题意△AF1B周长4|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4a＝椭圆离心率e＝＝c＝1b2＝a2－c2＝3－1＝
2椭圆C方程＋＝1
7．[2014·全国卷] 曲线y＝xex－1点(11)处切线斜率等(　　)
A．2e B．e
C．2 D．1
7．C　[解析] y′＝(xex－1)′＝ex－1＋xex－1y＝xex－1点(11)处导数y′|x＝1＝e1－1＋e1－1＝2曲线y＝xex－1点(11)处切线斜率2
8．[2014·全国卷] 正四棱锥顶点球面．该棱锥高4底面边长2该球表面积(　　)
A B．16π C．9π D

8．A　[解析] 图示正四棱锥底面边长2AE＝AC＝设球心O球半径ROE＝4－ROA＝R知△AOE直角三角形根勾股定理OA2＝OE2＋AE2R2＝(4－R)2＋2解R＝球表面积S＝4πR2＝4π×＝
9．[2014·全国卷] 已知双曲线C离心率2焦点F1F2点AC．|F1A|＝2|F2A|cos∠AF2F1＝(　　)
A B C D
9．A　[解析] 根题意|F1A|－|F2A|＝2a|F1A|＝2|F2A||F2A|＝2a|F1A|＝4a双曲线离心率e＝＝2c＝2a|F1F2|＝2c＝4a△AF1F2中根余弦定理cos∠AF2F1＝＝
＝
10．[2014·全国卷] 等数列{an}中a4＝2a5＝5数列{lg an}前8项等(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
10．C　[解析] 设数列{an}首项a1公q根题意解an＝a1qn－1＝×＝2×lg an＝lg 2＋(n－4)lg前8项
8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg＝8lg 2＋4lg＝4lg＝4
11．[2014·全国卷] 已知二面角α­l­β60°AB⊂αAB⊥lA垂足CD⊂βC∈l∠ACD＝135°异面直线ABCD成角余弦值(　　)
A B
C D
11．B　[解析] 图示面α点C作CF∥AB点F作FE⊥β垂足点E连接CECE⊥l∠ECF＝60°点E作DE⊥CE交CD点D1连接FD1妨设FC＝2aCE＝aEF＝a∠ACD＝135°∠DCE＝45°Rt△DCE中D1E＝CE＝aCD1＝a∴FD1＝2a∴cos∠DCF＝＝

12．[2014·全国卷] 函数y＝f(x)图函数y＝g(x)图关直线x＋y＝0称y＝f(x)反函数(　　)
A．y＝g(x) B．y＝g(－x)
C．y＝－g(x) D．y＝－g(－x)
12．D　[解析] 设(x0y0)函数y＝f(x)图意点关直线x＋y＝0称点(－y0－x0)．根题意点(－y0－x0)函数y＝g(x)图点(x0y0)关直线y＝x称点(y0x0)(y0x0)(－y0－x0)关原点称函数y＝f(x)反函数图函数y＝g(x)图关原点称－y＝g(－x)y＝－g(－x)．
13．[2014·全国卷] 展开式中x2y2系数________．(数字作答)
13．70　[解析] 易知二项展开式通项Tr＋1＝C＝(－1)rCx8－y－4求x2y2系数需满足8－＝2－4＝2解r＝4T5＝(－1)4Cx2y2＝70x2y2x2y2系数70
14．[2014·全国卷] 设xy满足约束条件z＝x＋4y值________．

14．5　[解析] 图示满足约束条件行域△ABC部(包括边界) z＝x＋4y值直线y＝－x＋z截距时z值．结合题意y＝－x＋z点A时z取值．
点A坐标(11)
zmax＝1＋4＝5
15．[2014·全国卷] 直线l1l2圆x2＋y2＝2两条切线．l1l2交点(13)l1l2夹角正切值等________．

15　[解析] 图示根题意OA⊥PAOA＝OP＝PA＝＝2 tan∠OPA＝＝＝tan∠APB＝＝
l1l2夹角正切值等
16．[2014·全国卷] 函数f(x)＝cos 2x＋asin x区间减函数a取值范围________．
16．(－∞2]　[解析] f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1令sin x＝tf(x)＝－2t2＋at＋1x∈t∈f(x)＝－2t2＋at＋1t∈f(x)＝cos 2x＋asin x区间减函数f(x)＝－2t2＋at＋1区间减函数称轴x＝∴≤a∈(－∞2]．
17．[2014·全国卷] △ABC角ABC边分abc已知3acos C＝2ccos Atan A＝求B
17．解：题设正弦定理
3sin Acos C＝2sin Ccos A
3tan Acos C＝2sin C
tan A＝cos C＝2sin C
tan C＝
tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1
B＝135°
18．[2014·全国卷] 等差数列{an}前n项Sn已知a1＝10a2整数Sn≤S4
(1)求{an}通项公式
(2)设bn＝求数列{bn}前n项Tn
18．解：(1)a1＝10a2整数知等差数列{an}公差d整数．
Sn≤S4a4≥0a5≤0
10＋3d≥010＋4d≤0
解－≤d≤－
d＝－3
数列{an}通项公式an＝13－3n
(2)bn＝＝Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝
19．[2014·全国卷] 图1­1示三棱柱ABC ­ A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB＝90°BC＝1AC＝CC1＝2
(1)证明：AC1⊥A1B
(2)设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1 ­ AB ­ C．


19．解：方法：(1)证明：A1D⊥面ABCA1D⊂面AA1C1C面AA1C1C⊥面ABC
BC⊥ACBC⊥面AA1C1C
连接A1C侧面AA1C1C菱形AC1⊥A1C
三垂线定理AC1⊥A1B
(2)BC⊥面AA1C1CBC⊂面BCC1B1面AA1C1C⊥面BCC1B1
作A1E⊥CC1E垂足A1E⊥面BCC1B1
直线AA1∥面BCC1B1A1E直线AA1面BCC1B1距离
A1E＝
A1C∠ACC1分线
A1D＝A1E＝
作DF⊥ABF垂足连接A1F
三垂线定理A1F⊥AB∠A1FD二面角A1 ­ AB ­ C面角．
AD＝＝1DAC中点
DF＝tan∠A1FD＝＝cos∠A1FD＝
二面角A1 ­ AB ­ Carccos
方法二：C坐标原点射线CAx轴正半轴CB长单位长建立图示空间直角坐标系C ­ xyz题设知A1Dz轴行z轴面AA1C1C．

(1)证明：设A1(a0c)．题设a≤2A(200)B(010)＝(－210)＝(－200)＝(a－20c)＝＋＝(a－40c)＝(a－1c)．||＝2＝2a2－4a＋c2＝0①
·＝a2－4a＋c2＝0AC1⊥A1B
(2)设面BCC1B1法量m＝(xyz)m⊥m⊥m·＝0m·＝0＝(010)＝＝(a－20c)y＝0(a－2)x＋cz＝0
令x＝cz＝2－am＝(c02－a)点A面BCC1B1距离||·|cos〈m〉|＝＝＝c
题设A面BCC1B1距离
c＝
代入①解a＝3(舍)a＝1
＝(－10)．
设面ABA1法量n＝(pqr)
n⊥n⊥n·＝0n·＝0
－p＋r＝0－2p＋q＝0
令p＝q＝2 r＝1n＝(2 1)．
p＝(001)面ABC法量
cos〈np〉＝＝
二面角A1 ­ AB ­ Carccos
20．[2014·全国卷] 设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
(1)求工作日少3需设备概率
(2)X表示工作日需设备数求X数学期．
20．解：记A1表示事件：工作日乙丙中恰i需设备i＝012
B表示事件：甲需设备．
C表示事件：丁需设备．
D表示事件：工作日少3需设备．
(1)P(B)＝06P(C)＝04P(Ai)＝C×052i＝012
P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝
P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝
P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝
0．31
(2)X取值01234分布列
P(X＝0)＝P(B·A0·C)
＝P(B)P(A0)P(C)
＝(1－06)×052×(1－04)
＝006
P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝
P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝06×052×(1－04)＋(1－06)×052×04＋(1－06)×2×052×(1－04)＝025
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝052×06×04＝006
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝025
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－006－025－025－006＝038
EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝025＋2×038＋3×025＋4×006＝2
21．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F直线y＝4y轴交点PC交点Q|QF|＝|PQ|
(1)求C方程
(2)F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
21．解：(1)设Q(x04)代入y2＝2pxx0＝
|PQ|＝|QF|＝＋x0＝＋
题设＋＝×解p＝－2(舍)p＝2
C方程y2＝4x
(2)题意知l坐标轴垂直设l方程x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4xy2－4my－4＝0
设A(x1y1)B(x2y2)
y1＋y2＝4my1y2＝－4
线段AB中点D(2m2＋12m)
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
直线l ′斜率－m
l ′方程x＝－y＋2m2＋3
式代入y2＝4x
整理y2＋y－4(2m2＋3)＝0
设M(x3y3)N(x4y4)
y3＋y4＝－y3y4＝－4(2m2＋3)．
线段MN中点E
|MN|＝|y3－y4|＝
线段MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE|＝|BE|＝|MN|
|AB|2＋|DE|2＝|MN|2
4(m2＋1)2＋＋＝

化简m2－1＝0解m＝1m＝－1
求直线l方程x－y－1＝0x＋y－1＝0
22．[2014·全国卷] 函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．
(1)讨f(x)单调性
(2)设a1＝1an＋1＝ln(an＋1)证明：22．解：(1)易知f(x)定义域(－1＋∞)f′(x)＝
(i)10f(x)(－1a2－2a)增函数
x∈(a2－2a0)f′(x)<0f(x)(a2－2a0)减函数
x∈(0＋∞)f′(x)>0f(x)(0＋∞)增函数．
(ii)a＝2时f′(x)≥0f′(x)＝0成立仅x＝0f(x)(－1＋∞)增函数
(iii)a>2时x∈(－10)f′(x)>0f(x)(－10)增函数
x∈(0a2－2a)f′(x)<0
f(x)(0a2－2a)减函数
x∈(a2－2a＋∞)f′(x)>0f(x)(a2－2a＋∞)增函数．
(2)(1)知a＝2时f(x)(－1＋∞)增函数．
x∈(0＋∞)时f(x)>f(0)＝0ln(x＋1)>(x>0)．
(1)知a＝3时f(x)[03)减函数．
x∈(03)时f(x)面数学纳法证明(i)n＝1时已知(ii)假设n＝k时结成立n＝k＋1时
ak＋1＝ln(ak＋1)>ln>＝
ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln<＝
n＝k＋1时 根(i)(ii)知n∈N*结成立．


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