2019年普通高等学校招生全国统考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅰ卷
注意事项：
1题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号
2卷8题
参考公式：
·果事件互斥
·果事件相互独立
·圆柱体积公式中表示圆柱底面面积表示圆柱高
·棱锥体积公式中表示棱锥底面面积表示棱锥高
选择题：题出四选项中项符合题目求
1设集合
A {2} B {23} C {123} D {1234}
答案D
解析
分析
先求求
详解
选D
点睛集合运算问题般先研究集合中元素构成化简先化简时注意数形结合助数轴坐标系韦恩图等进行运算．
2设变量满足约束条件目标函数值
A 2 B 3 C 5 D 6
答案D
解析
分析
画出行域截距模型求值
详解已知等式组表示面区域图中阴影部分
目标函数意义直线轴截距
目标函数点处取值
选C
点睛线性规划问题首先明确行域应封闭区域开放区域分界线实线虚线次确定目标函数意义求直线截距两点间距离方直线斜率点直线距离等等结合图形确定目标函数值范围．：画二移三求．
3设( )
A 充分必条件
B 必充分条件
C 充条件
D 充分必条件
答案B
解析
分析
分求出两等式解集根两解集包含关系确定
详解化简等式知 推出
推出
必充分条件
选B
点睛题考查充分必条件解题关键化简等式集合关系判断条件
4阅读右边程序框图运行相应程序输出值
A 5 B 8 C 24 D 29
答案B
解析
分析
根程序框图逐步写出运算结果
详解
结束循环输出
选B
点睛解答题注意明确循环体终止条件什会判断什时候终止循环体．
5已知抛物线焦点准线双曲线两条渐线分交点A点B（原点）双曲线离心率
A B C 2 D
答案D
解析
分析
需表示出根双曲线离心率定义求离心率
详解抛物线准线方程
双曲线渐线方程
∴
∴
选D
点睛题考查抛物线双曲线性质离心率求解解题关键求出AB长度
6已知关系（ ）
A B
C D
答案A
解析
分析
利等中间值区分数值
详解
选A
点睛题考查较问题关键选择中间量函数单调性进行较
7已知函数奇函数图点横坐标伸长原2倍（坐标变）图应函数正周期（ ）
A B C D
答案C
解析
分析
需根函数性质逐步出值
详解奇函数∴
∴
选C
点睛题考查函数性质函数求值问题解题关键求出函数
8已知设函数关等式恒成立取值范围（ ）
A B C D
答案C
解析
分析
先判断时恒成立恒成立转化恒成立
详解∵
（1）时
时
时恒成立
恒成立恒成立
令
函数单增函数单减
时恒成立
综知取值范围
选C
点睛题考查分段函数值问题关键利求导方法研究函数单调性进行综合分析
第Ⅱ卷
二填空题：题6题
9虚数单位值__________
答案
解析
分析
先化简复数利复数模定义求复数模
详解
点睛题考查复数模运算基础题
10展开式中常数项________
答案
解析
分析
根二项展开式通项公式出通项根方程思想出值求出常数项
详解
常数项
点睛题考查二项式定理应牢记常数项指数幂0求
11已知四棱锥底面边长正方形侧棱长均圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点底面圆心四棱锥底面中心该圆柱体积__________
答案
解析
分析
根棱锥结构特点确定求圆柱高底面半径
详解题意四棱锥底面边长正方形侧棱长均助勾股定理知四棱锥高圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点圆柱高底面圆心四棱锥底面中心圆柱底面半径圆柱体积
点睛圆柱底面半径棱锥底面角线长度半底边棱长半
12设直线圆（参数）相切值____
答案
解析
分析
根圆参数方程确定圆半径圆心坐标根直线圆相切条件出满足方程解解
详解圆化普通方程
圆心坐标圆半径
直线圆相切解
点睛直线圆位置关系判式法般根圆心直线距离圆半径作出判断
13设值______
答案
解析
分析
分子展开化利基等式求值
详解
仅时成立
求值
点睛基等式求值时定验证等号否够成立
14 四边形中 点线段延长线__________
答案
解析
分析
建立坐标系利量坐标运算分写出量求解
详解建立图示直角坐标系
∥
直线斜率方程
直线斜率方程
点睛面量问题两类解法：基量法坐标法便建立坐标系问题中坐标方法更方便
三解答题解答应写出文字说明证明程演算步骤
15 中角边分已知
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求值
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
分析
(Ⅰ)题意结合正弦定理例关系然利余弦定理值
(Ⅱ)利二倍角公式首先求值然利两角正弦公式值
详解(Ⅰ)中正弦定理
余弦定理
(Ⅱ)(Ⅰ)
点睛题考查角三角函数基关系两角正弦公式二倍角正弦余弦公式正弦定理､余弦定理等基础知识考查计算求解力
16设甲乙两位学学期间天7：30前校概率均假定甲乙两位学校情况互影响学天校情况相互独立
（Ⅰ）表示甲学学期间三天中7：30前校天数求机变量分布列数学期
（Ⅱ）设事件学期间三天中甲学7：30前校天数乙学7：30前校天数恰2求事件发生概率
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
解析
分析
(Ⅰ)题意知分布列二项分布结合二项分布公式求概率分布列然利二项分布期公式求解数学期
(Ⅱ)题意结合独立事件概率公式计算满足题意概率值
详解(Ⅰ)甲学学期间三天中校情况相互独立天730前校概率均
面
机变量分布列：
0
1
2
3
机变量数学期
(Ⅱ)设乙学学期间三天中730前校天数
题意知事件互斥
事件事件均相互独立
(Ⅰ)知：
点睛题考查离散型机变量分布列数学期互斥事件相互独立事件概率计算公式等基础知识考查运概率知识解决简单实际问题力
17图面
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值
（Ⅲ）二面角余弦值求线段长
答案（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）
解析
分析
首先利体特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利直线BF方量面ADE法量关系证明线面行
(Ⅱ)分求直线CE方量面BDE法量然求解线面角正弦值
(Ⅲ)首先确定两半面法量然利二面角余弦值计算公式关CF长度方程解方程CF长度
详解题意建立A原点分方x轴y轴z轴正方空间直角坐标系(图)
设
(Ⅰ)题意面ADE法量
直线面面
(Ⅱ)题意
设面BDE法量
妨令z1
直线面成角正弦值
(Ⅲ)设面BDF法量
妨令y1
题意解
检验符合题意｡
线段长
点睛题考查直线面行二面角直线面成角等基础知识考查空间量解决立体问题方法考查空间想象力运算求解力推理证力
18设椭圆左焦点顶点已知椭圆短轴长4离心率
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设点椭圆异椭圆顶点点直线轴交点点轴负半轴（原点）求直线斜率
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
分析
(Ⅰ)题意关abc方程解方程椭圆方程
(Ⅱ)联立直线方程椭圆方程确定点P坐标OP斜率然利斜率公式MN斜率表达式利直线垂直充分必条件关斜率方程解方程直线斜率
详解(Ⅰ) 设椭圆半焦距题意b2c1
椭圆方程
(Ⅱ)题意设设直线斜率
直线方程椭圆方程联立
整理
代入
进直线斜率
中令
题意直线斜率
化简
直线斜率
点睛题考查椭圆标准方程性质､直线方程等基础知识考查代数方法研究圆锥曲线性质考查运算求解力方程思想解决问题力
19设等差数列等数列已知
（Ⅰ）求通项公式
（Ⅱ）设数列满足中
（i）求数列通项公式
（ii）求
答案（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）
解析
分析
(Ⅰ)题意首先求公公差然确定数列通项公式
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中结数列通项公式结合通项公式求数列通项公式进行等价变形结合等数列前n项公式值
详解(Ⅰ)设等差数列公差等数列公
题意解
通项公式通项公式
(Ⅱ)(i)
数列通项公式
(ii)
点睛题考查等差数列､等数列通项公式前n项公式等基础知识考查化转化思想数列求基方法运算求解力
20设函数导函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）时证明
（Ⅲ）设函数区间零点中证明
答案（Ⅰ）单调递增区间单调递减区间（Ⅱ）见证明（Ⅲ）见证明
解析
分析
(Ⅰ)题意求导函数解析式然导函数符号确定函数单调区间
(Ⅱ)构造函数结合(Ⅰ)结果导函数符号求解函数值证题中结
(Ⅲ)令结合(Ⅰ)(Ⅱ)结函数单调性零点性质放缩等式证题中结果
详解(Ⅰ)已知
时单调递减
时单调递增
单调递增区间
单调递减区间
(Ⅱ)记题意(Ⅰ)：
时
区间单调递减进
时
(Ⅲ)题意
记
(Ⅰ)
(Ⅱ)知时减函数
(Ⅱ)知：
点睛题考查导数运算､等式证明､运导数研究函数性质等基础知识方法考查函数思想化转化思想考查抽象概括力､综合分析问题解决问题力
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数学（理工类）
第Ⅰ卷
注意事项：
1题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号
2卷8题
参考公式：
·果事件互斥
·果事件相互独立
·圆柱体积公式中表示圆柱底面面积表示圆柱高
·棱锥体积公式中表示棱锥底面面积表示棱锥高
选择题：题出四选项中项符合题目求
1设集合
A {2} B {23} C {123} D {1234}
答案D
解析
分析
先求求
详解
选D
点睛集合运算问题般先研究集合中元素构成化简先化简时注意数形结合助数轴坐标系韦恩图等进行运算．
2设变量满足约束条件目标函数值
A 2 B 3 C 5 D 6
答案D
解析
分析
画出行域截距模型求值
详解已知等式组表示面区域图中阴影部分
目标函数意义直线轴截距
目标函数点处取值
选C
点睛线性规划问题首先明确行域应封闭区域开放区域分界线实线虚线次确定目标函数意义求直线截距两点间距离方直线斜率点直线距离等等结合图形确定目标函数值范围．：画二移三求．
3设( )
A 充分必条件
B 必充分条件
C 充条件
D 充分必条件
答案B
解析
分析
分求出两等式解集根两解集包含关系确定
详解化简等式知 推出
推出
必充分条件
选B
点睛题考查充分必条件解题关键化简等式集合关系判断条件
4阅读右边程序框图运行相应程序输出值
A 5 B 8 C 24 D 29
答案B
解析
分析
根程序框图逐步写出运算结果
详解
结束循环输出
选B
点睛解答题注意明确循环体终止条件什会判断什时候终止循环体．
5已知抛物线焦点准线双曲线两条渐线分交点A点B（原点）双曲线离心率
A B C 2 D
答案D
解析
分析
需表示出根双曲线离心率定义求离心率
详解抛物线准线方程
双曲线渐线方程
∴
∴
选D
点睛题考查抛物线双曲线性质离心率求解解题关键求出AB长度
6已知关系（ ）
A B
C D
答案A
解析
分析
利等中间值区分数值
详解
选A
点睛题考查较问题关键选择中间量函数单调性进行较
7已知函数奇函数图点横坐标伸长原2倍（坐标变）图应函数正周期（ ）
A B C D
答案C
解析
分析
需根函数性质逐步出值
详解奇函数∴
∴
选C
点睛题考查函数性质函数求值问题解题关键求出函数
8已知设函数关等式恒成立取值范围（ ）
A B C D
答案C
解析
分析
先判断时恒成立恒成立转化恒成立
详解∵
（1）时
时
时恒成立
恒成立恒成立
令
函数单增函数单减
时恒成立
综知取值范围
选C
点睛题考查分段函数值问题关键利求导方法研究函数单调性进行综合分析
第Ⅱ卷
二填空题：题6题
9虚数单位值__________
答案
解析
分析
先化简复数利复数模定义求复数模
详解
点睛题考查复数模运算基础题
10展开式中常数项________
答案
解析
分析
根二项展开式通项公式出通项根方程思想出值求出常数项
详解
常数项
点睛题考查二项式定理应牢记常数项指数幂0求
11已知四棱锥底面边长正方形侧棱长均圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点底面圆心四棱锥底面中心该圆柱体积__________
答案
解析
分析
根棱锥结构特点确定求圆柱高底面半径
详解题意四棱锥底面边长正方形侧棱长均助勾股定理知四棱锥高圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点圆柱高底面圆心四棱锥底面中心圆柱底面半径圆柱体积
点睛圆柱底面半径棱锥底面角线长度半底边棱长半
12设直线圆（参数）相切值____
答案
解析
分析
根圆参数方程确定圆半径圆心坐标根直线圆相切条件出满足方程解解
详解圆化普通方程
圆心坐标圆半径
直线圆相切解
点睛直线圆位置关系判式法般根圆心直线距离圆半径作出判断
13设值______
答案
解析
分析
分子展开化利基等式求值
详解
仅时成立
求值
点睛基等式求值时定验证等号否够成立
14 四边形中 点线段延长线__________
答案
解析
分析
建立坐标系利量坐标运算分写出量求解
详解建立图示直角坐标系
∥
直线斜率方程
直线斜率方程
点睛面量问题两类解法：基量法坐标法便建立坐标系问题中坐标方法更方便
三解答题解答应写出文字说明证明程演算步骤
15 中角边分已知
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求值
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
分析
(Ⅰ)题意结合正弦定理例关系然利余弦定理值
(Ⅱ)利二倍角公式首先求值然利两角正弦公式值
详解(Ⅰ)中正弦定理
余弦定理
(Ⅱ)(Ⅰ)
点睛题考查角三角函数基关系两角正弦公式二倍角正弦余弦公式正弦定理､余弦定理等基础知识考查计算求解力
16设甲乙两位学学期间天7：30前校概率均假定甲乙两位学校情况互影响学天校情况相互独立
（Ⅰ）表示甲学学期间三天中7：30前校天数求机变量分布列数学期
（Ⅱ）设事件学期间三天中甲学7：30前校天数乙学7：30前校天数恰2求事件发生概率
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
解析
分析
(Ⅰ)题意知分布列二项分布结合二项分布公式求概率分布列然利二项分布期公式求解数学期
(Ⅱ)题意结合独立事件概率公式计算满足题意概率值
详解(Ⅰ)甲学学期间三天中校情况相互独立天730前校概率均
面
机变量分布列：
0
1
2
3
机变量数学期
(Ⅱ)设乙学学期间三天中730前校天数
题意知事件互斥
事件事件均相互独立
(Ⅰ)知：
点睛题考查离散型机变量分布列数学期互斥事件相互独立事件概率计算公式等基础知识考查运概率知识解决简单实际问题力
17图面
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值
（Ⅲ）二面角余弦值求线段长
答案（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）
解析
分析
首先利体特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利直线BF方量面ADE法量关系证明线面行
(Ⅱ)分求直线CE方量面BDE法量然求解线面角正弦值
(Ⅲ)首先确定两半面法量然利二面角余弦值计算公式关CF长度方程解方程CF长度
详解题意建立A原点分方x轴y轴z轴正方空间直角坐标系(图)
设
(Ⅰ)题意面ADE法量
直线面面
(Ⅱ)题意
设面BDE法量
妨令z1
直线面成角正弦值
(Ⅲ)设面BDF法量
妨令y1
题意解
检验符合题意｡
线段长
点睛题考查直线面行二面角直线面成角等基础知识考查空间量解决立体问题方法考查空间想象力运算求解力推理证力
18设椭圆左焦点顶点已知椭圆短轴长4离心率
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设点椭圆异椭圆顶点点直线轴交点点轴负半轴（原点）求直线斜率
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
分析
(Ⅰ)题意关abc方程解方程椭圆方程
(Ⅱ)联立直线方程椭圆方程确定点P坐标OP斜率然利斜率公式MN斜率表达式利直线垂直充分必条件关斜率方程解方程直线斜率
详解(Ⅰ) 设椭圆半焦距题意b2c1
椭圆方程
(Ⅱ)题意设设直线斜率
直线方程椭圆方程联立
整理
代入
进直线斜率
中令
题意直线斜率
化简
直线斜率
点睛题考查椭圆标准方程性质､直线方程等基础知识考查代数方法研究圆锥曲线性质考查运算求解力方程思想解决问题力
19设等差数列等数列已知
（Ⅰ）求通项公式
（Ⅱ）设数列满足中
（i）求数列通项公式
（ii）求
答案（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）
解析
分析
(Ⅰ)题意首先求公公差然确定数列通项公式
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中结数列通项公式结合通项公式求数列通项公式进行等价变形结合等数列前n项公式值
详解(Ⅰ)设等差数列公差等数列公
题意解
通项公式通项公式
(Ⅱ)(i)
数列通项公式
(ii)
点睛题考查等差数列､等数列通项公式前n项公式等基础知识考查化转化思想数列求基方法运算求解力
20设函数导函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）时证明
（Ⅲ）设函数区间零点中证明
答案（Ⅰ）单调递增区间单调递减区间（Ⅱ）见证明（Ⅲ）见证明
解析
分析
(Ⅰ)题意求导函数解析式然导函数符号确定函数单调区间
(Ⅱ)构造函数结合(Ⅰ)结果导函数符号求解函数值证题中结
(Ⅲ)令结合(Ⅰ)(Ⅱ)结函数单调性零点性质放缩等式证题中结果
详解(Ⅰ)已知
时单调递减
时单调递增
单调递增区间
单调递减区间
(Ⅱ)记题意(Ⅰ)：
时
区间单调递减进
时
(Ⅲ)题意
记
(Ⅰ)
(Ⅱ)知时减函数
(Ⅱ)知：
点睛题考查导数运算､等式证明､运导数研究函数性质等基础知识方法考查函数思想化转化思想考查抽象概括力､综合分析问题解决问题力
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