中考数学 辅助圆思想


辅助圆思想

题型：顶点等线段





例1 中中点线段动点线段绕点时针旋转线段．
⑴ 点点重合（图1）线段延长线交射线点请补全图形写出度数
⑵ 图2中点点重合线段延长线射线交点猜想（含代数式表示）加证明

（2012年北京中考节选）
解析 ⑴ 图略．
⑵ 图连接
根称性知
圆心长半径作

∴．


例2 已知：中中．连接点分中点．

⑴ 图1三点直线形状
___________时________
⑵ 图2三点直线证明计算值（含式子表示）
（海淀模）
解析 ⑴ 等边三角形1
⑵ 证明：连接．
题意．
∵三点直线∴三点直线．
∴．
∵中点∴中．
中．
∴．
∴四点圆心半径圆．
∴．
∵∴．
∴．∴．
题意．
∴．∴．
Rt中．
题型二： 斜边直角三角形


∵ ∴．∴．




例3 已知分线．直角直角顶点射线移动点点重合．图直角两边分射线交点时请判断数量关系证明结

解析 数量关系相等 ．
常规证法：点作垂足分点．
∵易∴
∴．
∵分线∴
∵∴．∴．

辅助圆证法：∵∴四点圆
∵分∴
∴．


例4 图四边形正方形点交外角分线求证：．

解析 连接
∵四边形正方形∴
∵外角分线∴∴
∵∴四点圆
∴∴∴．




例5 矩形ABCD中点PADAB2AP1三角板直角顶点放点P处三角板两直角边分ABBC边相交点EF连接EF．
⑴ 图点E点B重合时点F恰点C重合求时PC长
⑵ 三角板⑴中位置开始绕点P时针旋转点E点A重合时停止程中请观察探究解答：
① ∠PEF否发生变化？请说明理
② 直接写出开始停止线段EF中点路线长．





备图
（阳模）
解析 ⑴ 矩形ABCD中AP1CDAB2
∴PB ．
∵
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴．
∴PC2．
⑵ ① ∠PEF变．
理：点F作FG⊥AD点G．
∴四边形ABFG矩形．
∴．
∴GFAB2．
∵
∴．
∴．
∴ △APE∽△GFP
∴．
∴Rt△EPF中tan∠PEF． tan∠PEF值变．
∴∠PEF变．
②
辅助圆证法：
连接
∵∴四点圆
∴∴会发生变化．
题型三： 四点圆简单应






例6 图四边形中分线求证：．

解析 ∵∴圆接四边形
∵分∴
∴．



例7 已知：图正方形中角线绕顶点逆时针旋转（）旋转角两边分交点点交点点联结．旋转程中否改变？变写出度数改变写出变化范围．

解析 ∵角线∴
∵∴四点圆
∴
∴发生改变．



例8 （海淀区20102011学年度第学期初三期末25）图△ABC中分ABAC直径△ABC外作半圆半圆中分两半圆圆心 F边BC中点点D点E分两半圆圆弧中点
⑴ 连结证明：
⑵ 图二点A分作半圆半圆切线交BD延长线CE延长线点P点Q连结PQ∠ACB90°DB5CE3求线段PQ长
⑶ 图三点A作半圆切线交CE延长线点Q点Q作直线FA垂线交BD延长线点P连结PA 证明：PA半圆切线
















解析 ⑴ 图∵F分ABACBC边中点
∴F∥ACF AF∥ABF A
∴∠BF∠BAC∠CF∠BAC∴∠BF∠CF
∵点D点E分两半圆圆弧中点
∴F AEF AD∠BD 90°∠CE 90°
∴∠BD∠CE∴∠DF∠FE∴
⑵ 图二延长CAGAGAQ连接BGAE
∵点E半圆圆弧中点∴AECE3
∵AC直径∴∠AEC90°
∴∠ACE∠EAC 45°AC
∵AQ半圆切线∴CA⊥AQ∴∠CAQ90°
∴∠ACE∠AQE45°∠GAQ90°
∴AQACAG
理：∠BAP90°ABAP
∴CG∠GAB∠QAP
∴∴PQBG
∵∠ACB90°∴BC
∴BG∴PQ
⑶ 证法：图三设直线FAPQ垂足MC作CS⊥MFSB作BR⊥MFR连接DRADDM
∵FBC边中点∴∴BRCS
⑵已证∠CAQ90° ACAQ∴∠2+∠390°
∵FM⊥PQ ∴∠2+∠190°∴∠1∠3
理：∠2∠4
∴∴AMCS∴AMBR
⑵证ADBD∠ADB∠ADP90°
∴∠ADB∠ARB90° ∠ADP∠AMP90°
∴ADBR四点AB直径圆
ADPM四点AP直径圆
∠DBR+∠DAR180°∴∠5∠8 ∠6∠7
∵∠DAM+∠DAR180°∴∠DBR∠DAM
∴∴∠5∠9∴∠RDM90°
∴∠5+∠790°∴∠6+∠890°∴∠PAB90°
∴PA⊥ABAB半圆直径
∴PA半圆切线









训练1 图分切两点满足求度数．
解析 ∵切线∴
∵
∴
∴∴三点圆心半径圆．
设∴
∵∴
中

∴∴．

训练2 图分正方形边中点相交求证：．

解析 连接
∵中点∴
∴
∴
∴四点圆
∴
明显∴
∴．

训练3 图已知五边形中
．求证：．

解析 连接
∵
∴∴
∴∴四点圆．
理四点圆
∴五点圆
∵∴．

题型 顶点等线段

练1 图面直角坐标系中次函数图象轴交点轴交点点坐标连结．
⑴ 求证：等边三角形
⑵ 点线段延长线连结作垂直分线垂足点轴交点分连结．
①直接写出度数
②点线段延长线运动（点重合）度数否变化？变化请说明理变求出度数
解析 ⑴ 证明：图
∵次函数图象x轴交点A（－30）B（0）．
∵C（30）．∴OA＝OC．
y轴⊥AC∴AB＝BC．
x
O
A
B
C
1
P
E

y
1
Rt△AOB中 ．∴∠BAC60°
∴△ABC等边三角形
⑵ ①答：∠AEP120°．
　　 ②解：图作EH⊥CP点H
∵y轴垂直分AC△ABC等边三角形
∴EAEC∠BEA＝∠BEC＝∠DEP30°．
∴∠BEH60°．
∵ED垂直分AP∴ EAEP．
∴ EA＝EC＝EP∴EH垂直分CP
△CEP中∠CEH∠PEH＝
∵∠BEH∠BEC＋∠CEH＝＋60°．
∴∠AEP∠AEC＋∠PEC＝120°．

辅助圆证法：
∵点轴∴
∵∴圆心长半径作圆该圆
∴．



题型二 斜边直角三角形

练2 图正方形中心面积正方形点求长．

解析 连接
∵正方形∴
∵∴四点圆
∴．
中
∴
设

解∴
∴．


题型三 四点圆简单应
练3 设等腰底边中点两点（点）作圆交直线点连接交圆点．求证：．
解析 连接
题意知四点圆
⑴ 线段
∵∴四点圆
∴∴．
⑵ 延长线
∵∴四点圆
∴∴．
⑶ 延长线
∵∴四点圆
∴∴
∴．
综述命题成立．






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