高三数学总复——抽象函数
谓抽象函数指没明确出函数表达式出具某特征性质种符号表示函数抽象源具体抽象函数特殊具体函数抽象高中量抽象函数中学阶学基函数背景抽象解题时研究抽象函数模型入手根题设中抽象函数性质通类猜想出某种基函数变抽象具体变陌生熟知常猜测出抽象函数蕴含重性质作解题突破口必解题提供思路方法
常见抽象函数应初等函数模型
初等函数模型
抽象函数性质
正例函数
次函数
幂函数
二次函数（a≠0）
f（x+y）f（x）+f（y）+2axyc
指数函数
数函数
f(xm)mf(x)
余弦函数
正切函数
面认识出发例谈七种类型抽象函数解法（备注：解题参应具体函数解题赋值草纸助具体函数验证赋值结果否正确抽象函数找中学阶段学初等函数时通赋值解决问题）
．正例函数模型抽象函数
正例函数满足函数恒等式常见模型具体模型出发根解题目标展开联想解题带思路
例1已知函数意实数均时求区间[－21]值域
分析：题设知函数抽象函数求函数
值域关键研究单调性
解：设∵∴
∵
∴∴f（x）增函数
条件中令y＝－x
令x＝y＝0f（0）＝2 f（0）
∴ f（0）＝0f（－x）＝f（x）f（x）奇函数
∴ f（1）＝－f（－1）＝2f（－2）＝2 f（－1）＝－4
∴ f（x）值域［－42］
二次函数模型抽象函数
次函数yax+b满足函数恒等式f（x+y）f（x）+f（y）b常见模型
例2已知函数f（x）意满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y）x＞0时f（x）＞2f（3）＝5求等式解
分析：题设条件猜测：f（x）y＝x＋2抽象函数f（x）单调增函数果猜想正确脱等式中函数符号求等式解
解：设∵∴
∴f（x）单调增函数
∵
∵f（3）＝5∴f（1）＝3∴∴
解等式解－1 < a < 3
三幂函数模型抽象函数
幂函数型抽象函数幂函数抽象函数幂函数运算法知熟悉满足恒等式函数
例3已知函数f（x）意实数xyf（xy）＝f（x）·f（y）f（－1）＝1f（27）＝9时
（1）判断f（x）奇偶性
（2）判断f（x）［0＋∞）单调性出证明
（3）求a取值范围
分析：题设知f（x）幂函数抽象函数猜想f（x）偶函数［0＋∞）增函数
解：（1）令y＝－1f（－x）＝f（x）·f（－1）
∵f（－1）＝1∴f（－x）＝f（x）
∴ f（x）偶函数
（2）设∴
∵时∴∴f（x1）＜f（x2）
f（x）0＋∞）增函数
（3）∵f（27）＝9
∴∴∵∴
∵∴
四二次函数型抽象函数
例4定义函数满足等（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
解：法设函数知
法二：
法三：
5指数函数模型抽象函数
指数函数性质知满足恒等式重函数
例5已知函数切实数满足(0)≠0<0时＞1 （1）＞0时求取值范围（2）判断R单调性
分析：知f（x）指数函数抽象函数猜想
解：（1）切∈R(0)≠0
令0(0)1现设＞0＜0∴f() ＞1
(0)() 1 ∴ ＞1∴0＜＜1
（2）设<∈R－<0(－)＞1
＞1
∴ ∴f(x)R单调减函数
六数函数模型抽象函数
数函数性质知满足恒等式重函数
例6已知函数定义域(0+∞)单调递增满足(4)1
（1）证明：(1)0(2)求(16)（3）+ (3)≤1求范围
（4）试证()（n∈N）
分析： 知f（x）数函数 抽象函数
解（1）令14(4)(1×4)(1)+(4)∴(1)0
（2）(16)(4×4)(4)+(4)2
(3)+(－3)［(－3)］≤1(4)
（0+∞）单调递增
∴
∴ ∈（34]
（4）∵
∴
例7设f (x)定义R+增函数f (x)+ f (y)f (3)1求x取值范围
分析：f (x)+ f (y) 知f（x）数函数抽象函数
解：∵f(3)1 ∴ f (3)+ f (3)2 ∴f ()+f (3) f (9) 2
∵f (x)+ f(y) f (x) f(y) ∴
∴f [x(x5)]> f (9) ∵f (x)定义R+增函数
∴ 解：
七三角函数模型抽象函数
满足f（x+y）+f（xy）2f（x）f（y）f（x）+f（y）函数便余弦函数模型抽象函数满足f（x+y）抽象函数常正切函数模型进行联想
例8设函数满足()0∈R求证：周期函数指出周期
分析：2coscos知题应余弦函数模型函数
解：令+ 0
∴∴周期函数2π周期
例9已知函数满足试求(2005)
分析：(+)知题应正切函模型函数
解∵
∴(+4)
∴4周期周期函数 ∵f(0)2004
∴
∴f(2005)
综述抽象函数问题结构特征联想已学具相相似结构基函数基函数相关结构预测猜想抽象函数具性质 抽象—具体—抽象模型化思考方法帮助学捕捉益解题信息抽象函数问题利获解
练：
1函数f(x)R偶函数成立（ B ） A 2005 B 2 C1 D0
提示：先令
2 f(x)定义域意正实数xyf(xy)f(x)+f(y) f(4)2 （ ） 3 （2000）
4．意整数函数满足：（c ）
A1 B1 C 19 D 43
5定义函数满足（ ） A．2 B．3 C．6 D．9
6．设函数f(x)意实数xyf(x+y)f(x)+f(y)x>0时f(x)<0f(1) 2求f(x)
[33]值值
7已知偶函数f(x)定义域x≠0切实数定义域意x1x2时
（1）f(x)(0+∞)增函数 （2）解等式
高三数学总复——函数周期性称性
（号周期异号称）
编号
周 期 性
称 性
1
→T2
→称轴Û偶函数
→称中心（a0）Û奇函数
2
→T
→称轴
→称中心
3
f(x) f(x+a)→T2
f(x) f(x+a)→称中心
4
→T2
→称中心
5
f(x) +f(x+a) b→称中心
7
→T6
8
→T2
结(1) 函数图象关两条直线xaxb称函数yf(x)周期函数T2|ab|
(2) 函数图象关点M(a0)点N(b0)称函数yf(x)周期函数T2|ab|
(3) 函数图象关直线xa点M(b0)称函数yf(x)周期函数T4|ab|
（4） 应注意区分函数称性两函数称性区
yf(a+x)yf(bx)关称
yf(a+x)yf(bx)关点称
练题
选择题：
1已知增函数令（ ）
A．减函数 B．增函数 C．先减增函数 D．先增减函数
2已知函数定义奇函数函数图象函数 图象关直线称值 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．确定
3定义函数满足时单调递增果值（ ）
A．恒零 B．恒零 C．零 D．正负
4已知函数意值（ ）
A．2 B． C． D．
二填空题：
5函数满足意
6定义函数图象关点中心称意实数值
7函数意实数满足条件__________
8（1）函数周期 （2）函数周期
9函数值
三解答题：
10已知函数意非零实数时 （1）试判断函数奇偶性（2）求函数值域（3）解等式
11设函数定义域满足意时（1）求值（2）判断单调性证明结
（3）设试确定取值范围（4）试举出满足条件函数
12
(2)x∈(10)时f(x)>0
求证(Ⅰ)f(x)奇函数 （Ⅱ）
解(1)易证f(x)奇函数
（2）易证f(x)(10)(01)单调递减函数
参考答案（仅供参考）
选择题：
1 解：（1）特例：满足条件函数
（2）函数图象关轴称右移单位单调递减函数左移动单位关轴称单调递减选
2解：函数定义奇函数
关点（10）称 关（01）称
3解：知中22妨设知称中心时单调递增选
4解：
二填空题：
5解：（1）令 令
（2）令略
6解：函数图象关点中心称
偶函数
令
令
7解：
8解：2x3成函数变量
函数周期9
函数周期
9解：
三解答题：
10解：（1）令 令
令 偶函数
（2）
单调递增函数
解
等式解集
11解：（1）令
（2）取 令
令
（）
函数单调递减
（4）
函 数 图 象 变 换 览 表
移
横
伸缩
横
称
中心 称
两条曲 线
关点称
条曲 线
关点称
轴
称
斜率1
点
点
斜率1
点
点
条曲线
满足关直线称
注求
两条曲线
函数函数关直线称
注解
称
轴
称
两条
曲线
关称
关轴称
关轴称
关称（反函数容酌情）
关原点称
翻 折
保留轴方图轴方图翻折（y≥0）
保留轴右方图左翻折（偶函数）
填空：
1移（）
左移单位函数 右移单位函数
移单位函数 移单位函数
2称
（1）两函数称
关 称 关 称
关 称 关 称
关 称 关 称
（2）函数身称
关 称
关 称
二例题：
1． （1）奇函数时图左移单位求解析式
（2）图右移二单位移单位函数求
2． （1）描述图样变化
（2）描述图样变化求出称中心
（3）描述图样变化
3． （1）函数图移图求
（2）函数图移求
4． 图移翻转图重合 （ ）
A． B C D
5．根作出图
6．（1）求关称函数
（2）求称轴称中心
7．实数成立图 （ ）
A．关直线称 B 关直线称
C．关点称 D 关点称
8 分求(1) (2)单调增区间
9分画出函数图
10 函数反函数图右移2单位曲线函数图曲线C关直线成轴称求
三巩固练
1函数图函数图关原点称表达式
2直线直线关直线称______________
3已知函数称中心
4设函数图关直线称时时解析式
5设函数图象关直线称
6定义函数满足条件：常数函数意成立述命题中：
（1）周期函数（2）图关直线成轴称
（3）图关轴成轴称（4）图关原点成中心称
正确命题序号
7定义函数函数图象特征 （ ）
关原点称 关轴称
关点称 关点称
8函数图象左移单位图象移单位图象关直线称图象解析式 （ ）
9已知图①中图象应函数图②应函数列出四式子中 （ ）
10函数图象致 （ ）
11设函数（1）作出区间画出函数图
12设定义偶函数图关直线称已知时求解析式
13已知函数
（1）求单调区间（2）直线四交点求取值范围
（3）讨关方程解情况
参考答案：
略
二 例题答案
1（1）（2）
2（1）左12右（2）左23（3）左左
3 （1）（2） 4 B 5 略
6（1） （2）
7 C 8 （1） （2）
9 略 10
三巩固练答案
12304
5 6（1）（2）（3） 7D8B9C10A
11略 12
13（1）增减（2）
（3）时解时两解三解四解
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谓抽象函数指没明确出函数表达式出具某特征性质种符号表示函数抽象源具体抽象函数特殊具体函数抽象高中量抽象函数中学阶学基函数背景抽象解题时研究抽象函数模型入手根题设中抽象函数性质通类猜想出某种基函数变抽象具体变陌生熟知常猜测出抽象函数蕴含重性质作解题突破口必解题提供思路方法
常见抽象函数应初等函数模型
初等函数模型
抽象函数性质
正例函数
次函数
幂函数
二次函数（a≠0）
f（x+y）f（x）+f（y）+2axyc
指数函数
数函数
f(xm)mf(x)
余弦函数
正切函数
面认识出发例谈七种类型抽象函数解法（备注：解题参应具体函数解题赋值草纸助具体函数验证赋值结果否正确抽象函数找中学阶段学初等函数时通赋值解决问题）
．正例函数模型抽象函数
正例函数满足函数恒等式常见模型具体模型出发根解题目标展开联想解题带思路
例1已知函数意实数均时求区间[－21]值域
分析：题设知函数抽象函数求函数
值域关键研究单调性
解：设∵∴
∵
∴∴f（x）增函数
条件中令y＝－x
令x＝y＝0f（0）＝2 f（0）
∴ f（0）＝0f（－x）＝f（x）f（x）奇函数
∴ f（1）＝－f（－1）＝2f（－2）＝2 f（－1）＝－4
∴ f（x）值域［－42］
二次函数模型抽象函数
次函数yax+b满足函数恒等式f（x+y）f（x）+f（y）b常见模型
例2已知函数f（x）意满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y）x＞0时f（x）＞2f（3）＝5求等式解
分析：题设条件猜测：f（x）y＝x＋2抽象函数f（x）单调增函数果猜想正确脱等式中函数符号求等式解
解：设∵∴
∴f（x）单调增函数
∵
∵f（3）＝5∴f（1）＝3∴∴
解等式解－1 < a < 3
三幂函数模型抽象函数
幂函数型抽象函数幂函数抽象函数幂函数运算法知熟悉满足恒等式函数
例3已知函数f（x）意实数xyf（xy）＝f（x）·f（y）f（－1）＝1f（27）＝9时
（1）判断f（x）奇偶性
（2）判断f（x）［0＋∞）单调性出证明
（3）求a取值范围
分析：题设知f（x）幂函数抽象函数猜想f（x）偶函数［0＋∞）增函数
解：（1）令y＝－1f（－x）＝f（x）·f（－1）
∵f（－1）＝1∴f（－x）＝f（x）
∴ f（x）偶函数
（2）设∴
∵时∴∴f（x1）＜f（x2）
f（x）0＋∞）增函数
（3）∵f（27）＝9
∴∴∵∴
∵∴
四二次函数型抽象函数
例4定义函数满足等（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
解：法设函数知
法二：
法三：
5指数函数模型抽象函数
指数函数性质知满足恒等式重函数
例5已知函数切实数满足(0)≠0<0时＞1 （1）＞0时求取值范围（2）判断R单调性
分析：知f（x）指数函数抽象函数猜想
解：（1）切∈R(0)≠0
令0(0)1现设＞0＜0∴f() ＞1
(0)() 1 ∴ ＞1∴0＜＜1
（2）设<∈R－<0(－)＞1
＞1
∴ ∴f(x)R单调减函数
六数函数模型抽象函数
数函数性质知满足恒等式重函数
例6已知函数定义域(0+∞)单调递增满足(4)1
（1）证明：(1)0(2)求(16)（3）+ (3)≤1求范围
（4）试证()（n∈N）
分析： 知f（x）数函数 抽象函数
解（1）令14(4)(1×4)(1)+(4)∴(1)0
（2）(16)(4×4)(4)+(4)2
(3)+(－3)［(－3)］≤1(4)
（0+∞）单调递增
∴
∴ ∈（34]
（4）∵
∴
例7设f (x)定义R+增函数f (x)+ f (y)f (3)1求x取值范围
分析：f (x)+ f (y) 知f（x）数函数抽象函数
解：∵f(3)1 ∴ f (3)+ f (3)2 ∴f ()+f (3) f (9) 2
∵f (x)+ f(y) f (x) f(y) ∴
∴f [x(x5)]> f (9) ∵f (x)定义R+增函数
∴ 解：
七三角函数模型抽象函数
满足f（x+y）+f（xy）2f（x）f（y）f（x）+f（y）函数便余弦函数模型抽象函数满足f（x+y）抽象函数常正切函数模型进行联想
例8设函数满足()0∈R求证：周期函数指出周期
分析：2coscos知题应余弦函数模型函数
解：令+ 0
∴∴周期函数2π周期
例9已知函数满足试求(2005)
分析：(+)知题应正切函模型函数
解∵
∴(+4)
∴4周期周期函数 ∵f(0)2004
∴
∴f(2005)
综述抽象函数问题结构特征联想已学具相相似结构基函数基函数相关结构预测猜想抽象函数具性质 抽象—具体—抽象模型化思考方法帮助学捕捉益解题信息抽象函数问题利获解
练：
1函数f(x)R偶函数成立（ B ） A 2005 B 2 C1 D0
提示：先令
2 f(x)定义域意正实数xyf(xy)f(x)+f(y) f(4)2 （ ） 3 （2000）
4．意整数函数满足：（c ）
A1 B1 C 19 D 43
5定义函数满足（ ） A．2 B．3 C．6 D．9
6．设函数f(x)意实数xyf(x+y)f(x)+f(y)x>0时f(x)<0f(1) 2求f(x)
[33]值值
7已知偶函数f(x)定义域x≠0切实数定义域意x1x2时
（1）f(x)(0+∞)增函数 （2）解等式
高三数学总复——函数周期性称性
（号周期异号称）
编号
周 期 性
称 性
1
→T2
→称轴Û偶函数
→称中心（a0）Û奇函数
2
→T
→称轴
→称中心
3
f(x) f(x+a)→T2
f(x) f(x+a)→称中心
4
→T2
→称中心
5
f(x) +f(x+a) b→称中心
7
→T6
8
→T2
结(1) 函数图象关两条直线xaxb称函数yf(x)周期函数T2|ab|
(2) 函数图象关点M(a0)点N(b0)称函数yf(x)周期函数T2|ab|
(3) 函数图象关直线xa点M(b0)称函数yf(x)周期函数T4|ab|
（4） 应注意区分函数称性两函数称性区
yf(a+x)yf(bx)关称
yf(a+x)yf(bx)关点称
练题
选择题：
1已知增函数令（ ）
A．减函数 B．增函数 C．先减增函数 D．先增减函数
2已知函数定义奇函数函数图象函数 图象关直线称值 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．确定
3定义函数满足时单调递增果值（ ）
A．恒零 B．恒零 C．零 D．正负
4已知函数意值（ ）
A．2 B． C． D．
二填空题：
5函数满足意
6定义函数图象关点中心称意实数值
7函数意实数满足条件__________
8（1）函数周期 （2）函数周期
9函数值
三解答题：
10已知函数意非零实数时 （1）试判断函数奇偶性（2）求函数值域（3）解等式
11设函数定义域满足意时（1）求值（2）判断单调性证明结
（3）设试确定取值范围（4）试举出满足条件函数
12
(2)x∈(10)时f(x)>0
求证(Ⅰ)f(x)奇函数 （Ⅱ）
解(1)易证f(x)奇函数
（2）易证f(x)(10)(01)单调递减函数
参考答案（仅供参考）
选择题：
1 解：（1）特例：满足条件函数
（2）函数图象关轴称右移单位单调递减函数左移动单位关轴称单调递减选
2解：函数定义奇函数
关点（10）称 关（01）称
3解：知中22妨设知称中心时单调递增选
4解：
二填空题：
5解：（1）令 令
（2）令略
6解：函数图象关点中心称
偶函数
令
令
7解：
8解：2x3成函数变量
函数周期9
函数周期
9解：
三解答题：
10解：（1）令 令
令 偶函数
（2）
单调递增函数
解
等式解集
11解：（1）令
（2）取 令
令
（）
函数单调递减
（4）
函 数 图 象 变 换 览 表
移
横
伸缩
横
称
中心 称
两条曲 线
关点称
条曲 线
关点称
轴
称
斜率1
点
点
斜率1
点
点
条曲线
满足关直线称
注求
两条曲线
函数函数关直线称
注解
称
轴
称
两条
曲线
关称
关轴称
关轴称
关称（反函数容酌情）
关原点称
翻 折
保留轴方图轴方图翻折（y≥0）
保留轴右方图左翻折（偶函数）
填空：
1移（）
左移单位函数 右移单位函数
移单位函数 移单位函数
2称
（1）两函数称
关 称 关 称
关 称 关 称
关 称 关 称
（2）函数身称
关 称
关 称
二例题：
1． （1）奇函数时图左移单位求解析式
（2）图右移二单位移单位函数求
2． （1）描述图样变化
（2）描述图样变化求出称中心
（3）描述图样变化
3． （1）函数图移图求
（2）函数图移求
4． 图移翻转图重合 （ ）
A． B C D
5．根作出图
6．（1）求关称函数
（2）求称轴称中心
7．实数成立图 （ ）
A．关直线称 B 关直线称
C．关点称 D 关点称
8 分求(1) (2)单调增区间
9分画出函数图
10 函数反函数图右移2单位曲线函数图曲线C关直线成轴称求
三巩固练
1函数图函数图关原点称表达式
2直线直线关直线称______________
3已知函数称中心
4设函数图关直线称时时解析式
5设函数图象关直线称
6定义函数满足条件：常数函数意成立述命题中：
（1）周期函数（2）图关直线成轴称
（3）图关轴成轴称（4）图关原点成中心称
正确命题序号
7定义函数函数图象特征 （ ）
关原点称 关轴称
关点称 关点称
8函数图象左移单位图象移单位图象关直线称图象解析式 （ ）
9已知图①中图象应函数图②应函数列出四式子中 （ ）
10函数图象致 （ ）
11设函数（1）作出区间画出函数图
12设定义偶函数图关直线称已知时求解析式
13已知函数
（1）求单调区间（2）直线四交点求取值范围
（3）讨关方程解情况
参考答案：
略
二 例题答案
1（1）（2）
2（1）左12右（2）左23（3）左左
3 （1）（2） 4 B 5 略
6（1） （2）
7 C 8 （1） （2）
9 略 10
三巩固练答案
12304
5 6（1）（2）（3） 7D8B9C10A
11略 12
13（1）增减（2）
（3）时解时两解三解四解
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