班级：
授年级+科目： 高数学
授课教师：
课次：第 次
学生：
课时间：
教学目标
教学重难点
指数函数知识点总结
（）指数指数幂运算
1．根式概念：般果做次方根中>1∈*．
u 负数没偶次方根0次方根0记作
奇数时偶数时
2．分数指数幂
正数分数指数幂意义规定：
u 0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义
3．实数指数幂运算性质
（1）· （2）
（3）．
（二）指数函数性质
1指数函数概念：
般函数做指数函数中x变量函数定义域R．
注意：指数函数底数取值范围底数负数零1．
2指数函数图象性质
a>1
0
定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
R单调递增
R单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
图象定点（01）
图象定点（01）
注意：利函数单调性结合图象出：
（1）[ab]值域
（2）取遍正数仅
（3）指数函数总
1．较
例1 已知函数满足关系_____．
分析：先求值较注意取值否单调区间．
解：∵∴函数称轴．
∴．∴函数递减递增．
∴∴．
综．
评注：①较常方法：作差法作商法利函数单调性中间量等．
②含参数较问题时需参数进行讨．
2．求解关指数等式
例2 已知x取值范围___________．
分析：利指数函数单调性求解注意底数取值范围．
解：∵∴函数增函数
∴解．∴x取值范围．
评注：利指数函数单调性解等式需等式两边凑成底数相指数式判断底数1含参数注意参数进行讨．
3．求定义域值域问题
例3 求函数定义域值域．
解：题意∴∴函数定义域．
令∵∴． ∴．
∴∴函数值域．
评注：利指数函数单调性求值域时注意定义域影响．
4．值问题
例4 函数区间值14a值_______．
分析：令问题转化成二次函数值问题需注意换元取值范围．
解：令函数化称轴．
时∵∴．
∴时 解（舍）
时∵∴
∴ 时解（舍）
∴a值3．
评注：利指数函数单调性求值时注意方法运：换元法整体代入等．
5．解指数方程
例5 解方程．
解：原方程化令述方程化解（舍）∴∴检验原方程解．
评注：解指数方程通常通换元转化成二次方程求解注意验根．
6．图象变换应问题
例6 函数图象函数图象（ ）．
A．左移9单位长度移5单位长度
B．右移9单位长度移5单位长度
C．左移2单位长度移5单位长度
D．右移2单位长度移5单位长度
分析：注意先函数转化利图象移规律进行判断．
解：∵∴函数图象左移2单位长度移5单位长度函数图象选（C）．
评注：函数图象解决问题中学数学重方法利直观性实现数形结合解题熟悉基函数图象掌握图象变化规律：移伸缩称等．
综合练
1 较列组数：
（1） 较 （2） 较
（3） 较ab
（4） 较ab．
解：
（1） ． ． ．
（2） ． ． ．
（3）应 ． ． 样 ． ． 已知 矛盾．
（4）应 ． ． 样 ． ． 已知 矛盾．
结：较通常助相应函数单调性奇偶性图象求解．
2 曲线 分指数函数 图象 1关系 ( )
(
分析首先根指数函数单调性确定 轴右侧令 应函数值次 应选
结种类型题目较典型数形结合题目第(1)题数形转化第(2)题图数翻译目提高学生识图图意识
3 已知1≤x≤2求函数f(x)3+2·3x+19x值值
解：设t3x1≤x≤2f(x)g(t)(t3)2+12
t3x1时f(x)取值12t9x2时f(x)取值24
4 已知函数 （ ）
（1）求 值 （2） 求 取值范围．
解：（1）
时 值
（2） 解
时 时 ．
5（1）已知奇函数求常数m值
（2）画出函数图象利图象回答：k值时方程|3Ｘ－１｜＝k解？解？两解？
解： （1）常数m1
（2）k<0时直线yk函数图象交点方程解
k0k1时 直线yk函数图象唯交点方程解
0
6 已知 求函数 值域．
解： 解 求函数值域
7 求函数y＝单调区间
分析 复合函数求单调区间问题
设y＝u＝x23x+2中y＝减函数
∴u＝x23x+2减区间原函数增区间(减减→增)
u＝x23x+2增区间原函数减区间(减增→减)
解：设y＝u＝x23x+2y关u递减
x∈(∞)时u减函数y关x增函数
x∈［+∞)时u增函数y关x减函数
8 已知函数
（1）求证：增函数（2）奇函数时求a值
（1）
a∈Rf（x）增函数．
（2）奇函数
9 定义R奇函数正周期2时
（1）求[－11]解析式（2）判断（01）单调性
（3）值时方程实数解
解（1）∵奇函数∴∵2正周期∴
设 ∴
（2）
∴（01）减函数
（3）∵（01）减函数 ∴
理（－10）时
∴时[－11]实数解
10 函数y＝a｜x｜(a>1)图( )
分析 题考查指数函数图性质函数奇偶性函数图数形结合思想分类讨思想
解法1：(分类讨)：
绝值y＝ a>1指数函数图易知应选B
解法2：y＝a｜x｜偶函数a>1x≥0时y＝ax增函数x＜0时y＝ax减函数
选择题
1．函数f（x）(a21)xR减函数a取值范围（ ）
A B Ca< D1<
2列函数式中满足f(x+1)f(x)( )
A (x+1) Bx+ C 2x D2x
3列f(x)(1+ax)2（ ）
A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D奇偶函数
4．函数y（ ）
A奇函数 B偶函数 C奇偶函数 D非奇非偶函数
5．函数y值域（ ）
A（） B（0）（0+） C（1+） D（1）（0+）
6．列函数中值域R+（ ）
Ay5 By()1x Cy Dy
7．已知0A第象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
二填空题
8．函数y定义域
9．函数y()(3)值域
10．直线xa(a>0)函数y()xy()xy2xy10x图次交ABCD四点四点排列次序
11．函数y3单调递减区间
12．f(52x1)x2f(125)
答案 1D2D3B4A5D6B7A
8(0)(01) (1+ ) 9．[（）939] 10．DCBA 11．（0+） 12．0
三解答题
13已知关x方程2a－7a+30根2 求a值方程余根
解 2a－7a+30 aa3
a时 方程 8·()－14·()+30x2x1－log3
a2时 方程 ·2－·2+30x2x－1－log2
14设a实数试证明意a增函数
证明：设∈R
指数函数 yR增函数<0
>0+1>0 +1>0<0
结a取值关a取意实数增函数
15已知函数f(x)(a－a)(a>0a1)(－ +)增函数 求实数a取值范围
解 f(x)递增 设xf(x)－f(x)[(a－a)－(a－a)]
(a －a)(1+a·a)<0
(a－9)( (a －a)<0
(1) 解a>3 (2) 解0综合(1)(2)a(0 1)(3 +)
16 求列函数定义域值域
(1)y＝2 (2)y＝4x+2x+1+1
解：(1)∵x3≠0∴y＝2定义域｛x｜x∈Rx≠3｝
∵≠0∴2≠1∴y＝2值域｛y｜y>0y≠1｝
(2)y＝4x+2x+1+1定义域R∵2x>0∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1
∴y＝4x+2x+1+1值域｛y｜y>1｝
17 已知9x103x+9≤0求函数y（）x14·（）x+2值值
解：已知（3x）210·3x+9≤0 （3x9）（3x1）≤0 ∴1≤3x≤9 0≤x≤2
y()x14·()x+2 4·（）2x4·（）x+2
令t（）x（）yf（t）4t24t+24（t）2+1
tx1时ymin1 t1x0时ymax2
18 已知函数f(x)＝ (a>0a≠1)
(1)求f(x)定义域值域(2)讨f(x)奇偶性(3)讨f(x)单调性
解：(1)易f(x)定义域｛x｜x∈R｝ 设y＝解ax＝①
∵ax>0仅>0时方程①解解>01∴f(x)值域｛y｜1＜y＜1
(2)∵f(x)＝＝＝f(x)定义域R∴f(x)奇函数
(3)f(x)＝＝1
1°a>1时∵ax+1增函数ax+1>0
∴减函数f(x)＝1＝增函数
2°0
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授年级+科目： 高数学
授课教师：
课次：第 次
学生：
课时间：
教学目标
教学重难点
指数函数知识点总结
（）指数指数幂运算
1．根式概念：般果做次方根中>1∈*．
u 负数没偶次方根0次方根0记作
奇数时偶数时
2．分数指数幂
正数分数指数幂意义规定：
u 0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义
3．实数指数幂运算性质
（1）· （2）
（3）．
（二）指数函数性质
1指数函数概念：
般函数做指数函数中x变量函数定义域R．
注意：指数函数底数取值范围底数负数零1．
2指数函数图象性质
a>1
0
定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
R单调递增
R单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
图象定点（01）
图象定点（01）
注意：利函数单调性结合图象出：
（1）[ab]值域
（2）取遍正数仅
（3）指数函数总
1．较
例1 已知函数满足关系_____．
分析：先求值较注意取值否单调区间．
解：∵∴函数称轴．
∴．∴函数递减递增．
∴∴．
综．
评注：①较常方法：作差法作商法利函数单调性中间量等．
②含参数较问题时需参数进行讨．
2．求解关指数等式
例2 已知x取值范围___________．
分析：利指数函数单调性求解注意底数取值范围．
解：∵∴函数增函数
∴解．∴x取值范围．
评注：利指数函数单调性解等式需等式两边凑成底数相指数式判断底数1含参数注意参数进行讨．
3．求定义域值域问题
例3 求函数定义域值域．
解：题意∴∴函数定义域．
令∵∴． ∴．
∴∴函数值域．
评注：利指数函数单调性求值域时注意定义域影响．
4．值问题
例4 函数区间值14a值_______．
分析：令问题转化成二次函数值问题需注意换元取值范围．
解：令函数化称轴．
时∵∴．
∴时 解（舍）
时∵∴
∴ 时解（舍）
∴a值3．
评注：利指数函数单调性求值时注意方法运：换元法整体代入等．
5．解指数方程
例5 解方程．
解：原方程化令述方程化解（舍）∴∴检验原方程解．
评注：解指数方程通常通换元转化成二次方程求解注意验根．
6．图象变换应问题
例6 函数图象函数图象（ ）．
A．左移9单位长度移5单位长度
B．右移9单位长度移5单位长度
C．左移2单位长度移5单位长度
D．右移2单位长度移5单位长度
分析：注意先函数转化利图象移规律进行判断．
解：∵∴函数图象左移2单位长度移5单位长度函数图象选（C）．
评注：函数图象解决问题中学数学重方法利直观性实现数形结合解题熟悉基函数图象掌握图象变化规律：移伸缩称等．
综合练
1 较列组数：
（1） 较 （2） 较
（3） 较ab
（4） 较ab．
解：
（1） ． ． ．
（2） ． ． ．
（3）应 ． ． 样 ． ． 已知 矛盾．
（4）应 ． ． 样 ． ． 已知 矛盾．
结：较通常助相应函数单调性奇偶性图象求解．
2 曲线 分指数函数 图象 1关系 ( )
(
分析首先根指数函数单调性确定 轴右侧令 应函数值次 应选
结种类型题目较典型数形结合题目第(1)题数形转化第(2)题图数翻译目提高学生识图图意识
3 已知1≤x≤2求函数f(x)3+2·3x+19x值值
解：设t3x1≤x≤2f(x)g(t)(t3)2+12
t3x1时f(x)取值12t9x2时f(x)取值24
4 已知函数 （ ）
（1）求 值 （2） 求 取值范围．
解：（1）
时 值
（2） 解
时 时 ．
5（1）已知奇函数求常数m值
（2）画出函数图象利图象回答：k值时方程|3Ｘ－１｜＝k解？解？两解？
解： （1）常数m1
（2）k<0时直线yk函数图象交点方程解
k0k1时 直线yk函数图象唯交点方程解
0
6 已知 求函数 值域．
解： 解 求函数值域
7 求函数y＝单调区间
分析 复合函数求单调区间问题
设y＝u＝x23x+2中y＝减函数
∴u＝x23x+2减区间原函数增区间(减减→增)
u＝x23x+2增区间原函数减区间(减增→减)
解：设y＝u＝x23x+2y关u递减
x∈(∞)时u减函数y关x增函数
x∈［+∞)时u增函数y关x减函数
8 已知函数
（1）求证：增函数（2）奇函数时求a值
（1）
a∈Rf（x）增函数．
（2）奇函数
9 定义R奇函数正周期2时
（1）求[－11]解析式（2）判断（01）单调性
（3）值时方程实数解
解（1）∵奇函数∴∵2正周期∴
设 ∴
（2）
∴（01）减函数
（3）∵（01）减函数 ∴
理（－10）时
∴时[－11]实数解
10 函数y＝a｜x｜(a>1)图( )
分析 题考查指数函数图性质函数奇偶性函数图数形结合思想分类讨思想
解法1：(分类讨)：
绝值y＝ a>1指数函数图易知应选B
解法2：y＝a｜x｜偶函数a>1x≥0时y＝ax增函数x＜0时y＝ax减函数
选择题
1．函数f（x）(a21)xR减函数a取值范围（ ）
A B Ca< D1<
2列函数式中满足f(x+1)f(x)( )
A (x+1) Bx+ C 2x D2x
3列f(x)(1+ax)2（ ）
A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D奇偶函数
4．函数y（ ）
A奇函数 B偶函数 C奇偶函数 D非奇非偶函数
5．函数y值域（ ）
A（） B（0）（0+） C（1+） D（1）（0+）
6．列函数中值域R+（ ）
Ay5 By()1x Cy Dy
7．已知0
二填空题
8．函数y定义域
9．函数y()(3)值域
10．直线xa(a>0)函数y()xy()xy2xy10x图次交ABCD四点四点排列次序
11．函数y3单调递减区间
12．f(52x1)x2f(125)
答案 1D2D3B4A5D6B7A
8(0)(01) (1+ ) 9．[（）939] 10．DCBA 11．（0+） 12．0
三解答题
13已知关x方程2a－7a+30根2 求a值方程余根
解 2a－7a+30 aa3
a时 方程 8·()－14·()+30x2x1－log3
a2时 方程 ·2－·2+30x2x－1－log2
14设a实数试证明意a增函数
证明：设∈R
指数函数 yR增函数<0
>0+1>0 +1>0<0
结a取值关a取意实数增函数
15已知函数f(x)(a－a)(a>0a1)(－ +)增函数 求实数a取值范围
解 f(x)递增 设x
(a －a)(1+a·a)<0
(a－9)( (a －a)<0
(1) 解a>3 (2) 解0
16 求列函数定义域值域
(1)y＝2 (2)y＝4x+2x+1+1
解：(1)∵x3≠0∴y＝2定义域｛x｜x∈Rx≠3｝
∵≠0∴2≠1∴y＝2值域｛y｜y>0y≠1｝
(2)y＝4x+2x+1+1定义域R∵2x>0∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1
∴y＝4x+2x+1+1值域｛y｜y>1｝
17 已知9x103x+9≤0求函数y（）x14·（）x+2值值
解：已知（3x）210·3x+9≤0 （3x9）（3x1）≤0 ∴1≤3x≤9 0≤x≤2
y()x14·()x+2 4·（）2x4·（）x+2
令t（）x（）yf（t）4t24t+24（t）2+1
tx1时ymin1 t1x0时ymax2
18 已知函数f(x)＝ (a>0a≠1)
(1)求f(x)定义域值域(2)讨f(x)奇偶性(3)讨f(x)单调性
解：(1)易f(x)定义域｛x｜x∈R｝ 设y＝解ax＝①
∵ax>0仅>0时方程①解解>01
(2)∵f(x)＝＝＝f(x)定义域R∴f(x)奇函数
(3)f(x)＝＝1
1°a>1时∵ax+1增函数ax+1>0
∴减函数f(x)＝1＝增函数
2°0
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