题目： 贝塞尔函数应
摘
贝塞尔方程柱坐标球坐标分离变量法求解拉普拉斯方程时波动问题种涉势场问题研究中占非常重位贝塞尔函数贝塞尔方程解物理工程中着十分广泛应
文首先通物理问题引入贝塞尔方程求出贝塞尔方程解贝塞尔函数次列出贝塞尔函数重结递推公式零点性质等进行深入分析第二部分介绍傅里叶贝塞尔级数通matlab编程函数傅里叶贝塞尔级数展开图进行分析逼情况部分介绍贝塞尔函数重应物理光学中应着重分析贝塞尔函数似公式误差信号处理中调频制应特殊情况公式算法
关键词：贝塞尔函数傅里叶贝塞尔级数渐公式
目 录
起源 1
（） 贝塞尔函数提出 1
（二） 贝塞尔方程引出 1
二 贝塞尔函数基概念 4
（） 贝塞尔函数定义 4
1 第类贝塞尔函数 5
2 第二类贝塞尔函数 7
3 第三类贝塞尔函数 10
4 虚宗量贝塞尔函数 10
（二） 贝塞尔函数递推公式 11
（三） 半奇数阶贝塞尔函数 13
（四） 贝塞尔函数零点 14
（五） 贝塞尔函数振荡特性 16
三 FourierBessel级数 16
（） 傅里叶贝塞尔级数定义 16
（二） 函数傅里叶贝塞尔级数展开 17
四 贝塞尔函数应 24
（） 贝塞尔函数光学中应 24
（二） 贝塞尔函数调频制中应 26
附录 30
起源
（） 贝塞尔函数提出
着科学技术发展数学应更广泛许科技领域中微积分常微分方程已够满足需数学物理方程理已成必须掌握数学工具反映未知函数关时间导数关空间变量导数间制约关系时刻画物理现象程基规律重性早18世纪初认识1715年泰勒弦线横振动问题结著名弦振动方程伯努利弦发出声音事实出该方程三角级数解基础傅里叶理完成解方程方法时欧拉拉格朗日研究流体力学拉普拉斯研究势函数傅里叶研究热传导等物理问题中导出系列重数学物理方程求解方法取重成中18世纪中叶瑞士数学家丹尼尔·伯努利研究悬链振动时提出贝塞尔函数正数阶特例引起数学界兴趣丹尼尔叔叔雅布·伯努利欧拉拉格朗日等数学师贝塞尔函数研究作出重贡献1817年德国数学家贝塞尔研究开普勒提出三体引力系统运动问题时第次系统提出贝塞尔函数总体理框架名字命名种函数
贝塞尔函数类特殊函数总称贝塞尔方程圆柱坐标球坐标分离变量法求解拉普拉斯方程亥姆霍兹方程时（圆柱域问题中整阶形式球形域问题中半奇数阶形式贝塞尔函数波动问题种涉势场问题中占非常重位中典型问题：圆柱形波导中电磁波传播问题圆柱体中热传导问题圆形（环形）薄膜振动模态分析问题等
（二） 贝塞尔方程引出
圆形薄盘两面绝热圆盘边界温度始终保持0初始温度分布已知求圆盘瞬时温度分布规律
设圆形薄盘半径R问题结求解列问题：
应分离变量法求问题解令
第方程非零解代入该方程
化简引入参数
面关函数T（t）V(xy)方程
(11)
(12)
式(11)
方程(12)称Helmholtz方程求出方程满足边界条件
非零解采面极坐标系该定解问题转化
(13)
(14)
令代入方程(13)
引入参数
(15)
(16)
温度函数单值必单值函数极坐标系表示点应该2周期函数决定该方程(15)解
(常数)
代入方程(16)
方程称n阶贝塞尔方程式(14)
圆盘温度限特圆心处应原定解问题解决结求解列问题：
特征值特征函数
令记
(17)
式贝塞尔方程常见形式具变系数二阶线性常微分方程解称贝塞尔函数
二 贝塞尔函数基概念
（） 贝塞尔函数定义
定义满足征方程
(21)
函数贝塞尔函数贝塞尔函数阶征方程表述
圆柱坐标系球坐标系中解波动方程分离变量法径函数满足微分方程正贝塞尔方程
圆柱波径方程
球波径方程
令式写成
半奇数阶贝塞尔方程
方程(21)解决圆盘温度分布具体情况方程中常数般取整数零意实数复数时该方程称贝塞尔方程解做贝塞尔函数
Frobenius方法求解贝塞尔方程注意n阶贝塞尔方程中前系数x0处零该方程x0处退化果x2方程两边y前系数x0处奇性正幂级数方法求解方程(21)时设该方程级数解
(22)
中常数面确定r式(22)
代入方程(21)中关x恒等式
(23)
(24)
(25)
c00rnrn（24）c10
1 第类贝塞尔函数
贝塞尔方程形式级数解中
意实数
展开系数递推公式 实际代入方程(21)
较次项系数
(i)取rn
表示奇数项 偶数项表示
级数解般项
中意常数取定值贝塞尔方程解（值法知级数解收敛半径）
取常数样选取两处：般项系数中次数次数相二运列恒等式
分母简化般项系数变成
贝塞尔方程级数解级数函数称阶第类贝塞尔函数记
(26)
正整数零时 正整数时
显然偶数时偶函数奇数时奇函数
(ii)样贝塞尔方程特解
(27)
式应注意两点：
1) 时项系数0
2) 较(26)(27)两式知实数总(142)式统表示第类贝塞尔函数
2 第二类贝塞尔函数
1) 整数时分析函数附性态（设）知线性关贝塞尔方程通解
中意常数
n整数时线性相关间关系式
事实妨设正整数（失般性负整数时会样结果）式(26)中时负整数零值穷
令
线性相关 时已构成贝塞尔方程通解 求出贝塞尔方程通解需构造线性关解 通常线性组合极限方法作出贝塞尔方程解（记作）
2) 整数时令
整数时取
面两式定义函数阶第二类贝塞尔函数称诺曼(Neumann)函数级数表达式
中时掉第二项限 特邻域似公式
3) n实数贝塞尔方程解线性关x0时限值穷线性关贝塞尔方程通解表示
式中意常数意实数
定解问题中零正整数相应征值问题带然边值条件：界贝塞尔方程通解取式应取式 时中常取条件贝塞尔方程解
中意常数
3 第三类贝塞尔函数
第类第二类贝塞尔函数定义复数型第三类贝塞尔函数称汉克尔(Hankel)函数
中虚数单位实数贝塞尔方程两线性关解实数贝塞尔方程通解表达式
中意常数
时三类贝塞尔函数渐表达式
4 虚宗量贝塞尔函数
圆柱形区域果两底边值条件齐次侧面边值条件非齐次时会遇微分方程：
令贝塞尔方程
解 定义
第类虚宗量贝塞尔函数
第二类虚宗量贝塞尔函数
（二） 贝塞尔函数递推公式
阶贝塞尔函数间存定递推关系
1) 第组微分公式：
(28)
(29)
先讨零阶阶贝塞尔函数间关系
求导数
结果推广现求导
时(28)式化
时(29)式化
四式定积分公式：
2) 第二组高阶低阶表示递推公式：
(210)
(211)
组公式第组公式推出：(28)(29)两式左端导数求出化简相减相加
(28)(29)两式分证明：
(212)
(213)
中记号表示运算
述关递推公式成立
（三） 半奇数阶贝塞尔函数
第类贝塞尔函数诺曼函数般说初等函数半奇数阶第类贝塞尔函数重特点初等函数表示计算
里公式
类似证
般利递推公式(213)证初等函数：
(214)
利(212)式证初等函数：
(215)
纳法分(214)式(215)式证明明显表达式：
（四） 贝塞尔函数零点
贝塞尔函数零点方程根通常表示阶贝塞尔函数第正零点（次编号）表达式知时零点果零点关原点称分布面关零点分布重性质求解定解问题重
1) 穷正零点单重零点设…方程正根
时
函数系区间完备系
零点渐进公式
（愈愈精确）
2) 零点零点彼相间分布意两相邻零点间必存仅存零点反然
3) 正零点正零点
4) 指标较时相邻两零点距离似
表列出前9正根
n
m
0
1
2
3
4
5
1
2405
3832
5136
6380
7588
8771
2
5520
7016
8417
9761
11065
12339
3
8654
10173
11620
13015
14373
15700
4
11792
13324
14796
16223
17616
18980
5
14931
16471
17960
19409
20827
22218
6
18071
19616
21117
22583
24019
25430
7
21212
22760
24270
25748
27199
28627
8
24352
25904
27421
28908
30371
31812
9
27493
29047
30569
32065
33537
34989
（五） 贝塞尔函数振荡特性
衰减振荡函数图中画出时图时图分根称性偶函数奇函数图中出穷实数零点两者零点彼相间分布
通常认贝塞尔函数级数形式收敛速度慢源次幂项函数相互制约关系着求次数增函数项增指数项减指数项增时增速度函数项增速度时该级数快收敛否指数项求次数增急速增函数增速度远远样足够时满足函数增速度远远指数项增速度时级数趋收敛导致误差增甚溢出
三 FourierBessel级数
（） 傅里叶贝塞尔级数定义
应贝塞尔函数求解数学物理方程定解问题时需已知函数贝塞尔函数系展成级数贝塞尔函数系完备证明意具阶连续导数分段连续二阶导数函数处界处等必展开成形式绝致收敛级数
利正交性求展开式系数事实式两边时积分利贝塞尔函数正交性模
式确定成FourierBessel系数级数式称FourierBessel级数
（二） 函数傅里叶贝塞尔级数展开
幂函数贝塞尔函数展开
分取前四项前七项前十项前百项级数matlab画出图然图进行
图前四项逼情况坐标范围截取：
图前七项逼情况坐标范围截取：
图前十项逼情况坐标范围截取：
图前100项逼情况出已十分逼
前四项前七项前十项图放起：
图出着级数项数增加幂函数贝塞尔函数展开式逼情况越越
面函数 展开成贝塞尔函数系级数设
中
令
时需先求贝塞尔函数零点务插法解决分找出时根
matlab编程求
matlab计算
前两项图：
前六项图：
前十项图：
前十四项图：
放起较：
图中出着项数增加级数越越趋级数右端点附误差较时 时级数项数越级数数值越越趋
四 贝塞尔函数应
（） 贝塞尔函数光学中应
圆孔光学物体关光学衍射问题中常低阶第类贝塞尔函数许工程实际应场合需知道衍射物较尺寸范围变化时应贝塞尔函数函数值变量较时贝塞尔函数定义式进行数值计算会出现超界现象表明变量较时候定义式算函数值正确寻求公式算法变量情况求出精确函数值光学技术工程实际中求
时阶贝塞尔函数似公式谓贝塞尔函数渐公式表示：
(41)
式中
(42)
(43)
工程应说(41)式运真需变量取非常相反较值时渐公式算函数值已满足工程实际精度求零阶贝塞尔函数例取式(42) 式(43)前两项
代入公式(41)
(45)
贝塞尔函数级数表达式渐公式分计算求函数值部分结果差列表表见式(45)代级数定义式求出函数值误差显然工程应说样计算精度般说足够样阶贝塞尔函数时式：
计算函数值误差取式(42)(43)中前两项果仅取第项作渐公式时渐公式求出函数值误差
X
7
8
9
10
11
12
级数式
030007927
017165081
9033361E2
024593577
017119030
4768931E2
渐式
030006669
017164510
9033298E2
024593324
017118883
4768924E2
差
1258334E5
5703423E6
6343648E7
2527512E6
1474057E6
6643125E8
X
13
14
15
16
17
18
级数式
020692610
017107348
1422447E2
017489907
016985425
1335581E2
渐式
020690535
017107297
1422450E2
017489880
016985401
1335578E2
差
7478229E7
5363787E7
2492850E8
2750175E7
2379904E7
3471612E8
通计算表明左右时渐公式外果式(42)式(43)中取更项进步提高渐公式数值计算精度采贝塞尔函数渐公式代级数表达式求函数值方法避免变量较时出现错误外提高计算速度点工程问题中实时处理说十分益
（二） 贝塞尔函数调频制中应
通讯讯号中般应进行某定方式调制发送高频电流瞬时值
中改变中包含三量(振幅相角频率)说发送电流振幅相角频率着调制电流变三种方式分称调幅调相调频
调频程中频率周期性改变规律进行：
中调制讯号角频率调频系数决定调制讯号振幅
调频电流
(46)
(46)式中代表调制时频率改变做调频指数频率偏移系数利贝塞尔函数式(46)写：
(47)
处代表频率偏移等载频调制系数积调制讯号振幅变时恒定变量利关系式(47)写成式：
(48)
(48)式见调频电流包含穷旁频第旁频振幅阶第类贝塞尔函数实际通讯系统中需保留限旁频维持完满通讯说明点写成面形式：
中
时贝塞尔函数理知时正降函数时复单调函数知
值
时正降函数减少速度甚实际发送系统中旁频振幅降发送系统旁频宽度需满意通讯
试取贝塞尔方程
中意数取整数值时记作果贝塞尔方程中末项零式变
通解
认
相时保证稍微变动时关系然略贝塞尔方程中项
顾界旁频外旁频振幅变化情况贝塞尔方程
代变量常系数线性微分方程
解
代入
说
处函数果式阶第类贝塞尔函数展开式
相较时式分母中斯特林公式代入展开式中取第项
取
时取形式
附录
n0 ybesselj(0(25525)’)
plot((25525)’y)
n1 ybesselj(1(25525)’)
plot((25525)’y)
n1 ybesselj(0(25525)’)
plot((25525)’y)
ybesselj(2(0525)’)
plot((0525)’y)
hold on
ybesselj(2(2550)’)
plot((2550)’y)
n3 ybesselj(3(25525)’)
plot((25525)’y)
n3 ybesselj(3(25525)’)
plot((25525)’y)
前四项
c0
for j14
abesselj(2*j(200200)＇)
b[(2*j)^2]*a
cc+b
end
cc*2
plot((200200)＇c)
hold on
t2020
yt^2
plot(ty)
axis([10 10 20 100])
前七项
c0
for j17
abesselj(2*j(200200)＇)
b[(2*j)^2]*a
cc+b
end
cc*2
plot((200200)＇c)
hold on
t2020
yt^2
plot(ty)
axis([30 30 30 200])
前十项
c0
for j110
abesselj(2*j(200200)＇)
b[(2*j)^2]*a
cc+b
end
cc*2
plot((200200)＇c)
hold on
t2020
yt^2
plot(ty)
axis([40 40 150 400])
前百项
c0
for j1100
abesselj(2*j(200200)＇)
b[(2*j)^2]*a
cc+b
end
cc*2
plot((200200)＇c)
hold on
t2020
yt^2
plot(ty)
axis([40 40 40 1000])
前两项
a(1)3832
a(2)7016
for i12
mbesselj(1a(i)*c)
nbesselj(2a(i))
bb+(2*m(a(i)*n))
end
plot(cb)
前六项
a(1)3832
a(2)7016
a(3)10173
a(4)13324
a(5)16471
a(6)19616
for i16
mbesselj(1a(i)*c)
nbesselj(2a(i))
bb+(2*m(a(i)*n))
end
plot(cb)
前十项
a(1)3832
a(2)7016
a(3)10173
a(4)13324
a(5)16471
a(6)19616
a(7)22760
a(8)25904
a(9)29047
a(10)32190
b0
c0011
for i110
mbesselj(1a(i)*c)
nbesselj(2a(i))
bb+(2*m(a(i)*n))
end
plot(cb)
前十四项
a(1)3832
a(2)7016
a(3)10173
a(4)13324
a(5)16471
a(6)19616
a(7)22760
a(8)25904
a(9)29047
a(10)32190
b0
c0011
for i110
mbesselj(1a(i)*c)
nbesselj(2a(i))
bb+(2*m(a(i)*n))
end
plot(cb)
插法求零点
x00550
ybesselj(0x)
LD[]
for k11000
if y(k)*y(k+1)<0
hinterp1(y(kk+1)x(kk+1)0)
LD[LDh]
end
end
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题目： 贝塞尔函数应
摘
贝塞尔方程柱坐标球坐标分离变量法求解拉普拉斯方程时波动问题种涉势场问题研究中占非常重位贝塞尔函数贝塞尔方程解物理工程中着十分广泛应
文首先通物理问题引入贝塞尔方程求出贝塞尔方程解贝塞尔函数次列出贝塞尔函数重结递推公式零点性质等进行深入分析第二部分介绍傅里叶贝塞尔级数通matlab编程函数傅里叶贝塞尔级数展开图进行分析逼情况部分介绍贝塞尔函数重应物理光学中应着重分析贝塞尔函数似公式误差信号处理中调频制应特殊情况公式算法
关键词：贝塞尔函数傅里叶贝塞尔级数渐公式
目 录
起源 1
（） 贝塞尔函数提出 1
（二） 贝塞尔方程引出 1
二 贝塞尔函数基概念 4
（） 贝塞尔函数定义 4
1 第类贝塞尔函数 5
2 第二类贝塞尔函数 7
3 第三类贝塞尔函数 10
4 虚宗量贝塞尔函数 10
（二） 贝塞尔函数递推公式 11
（三） 半奇数阶贝塞尔函数 13
（四） 贝塞尔函数零点 14
（五） 贝塞尔函数振荡特性 16
三 FourierBessel级数 16
（） 傅里叶贝塞尔级数定义 16
（二） 函数傅里叶贝塞尔级数展开 17
四 贝塞尔函数应 24
（） 贝塞尔函数光学中应 24
（二） 贝塞尔函数调频制中应 26
附录 30
起源
（） 贝塞尔函数提出
着科学技术发展数学应更广泛许科技领域中微积分常微分方程已够满足需数学物理方程理已成必须掌握数学工具反映未知函数关时间导数关空间变量导数间制约关系时刻画物理现象程基规律重性早18世纪初认识1715年泰勒弦线横振动问题结著名弦振动方程伯努利弦发出声音事实出该方程三角级数解基础傅里叶理完成解方程方法时欧拉拉格朗日研究流体力学拉普拉斯研究势函数傅里叶研究热传导等物理问题中导出系列重数学物理方程求解方法取重成中18世纪中叶瑞士数学家丹尼尔·伯努利研究悬链振动时提出贝塞尔函数正数阶特例引起数学界兴趣丹尼尔叔叔雅布·伯努利欧拉拉格朗日等数学师贝塞尔函数研究作出重贡献1817年德国数学家贝塞尔研究开普勒提出三体引力系统运动问题时第次系统提出贝塞尔函数总体理框架名字命名种函数
贝塞尔函数类特殊函数总称贝塞尔方程圆柱坐标球坐标分离变量法求解拉普拉斯方程亥姆霍兹方程时（圆柱域问题中整阶形式球形域问题中半奇数阶形式贝塞尔函数波动问题种涉势场问题中占非常重位中典型问题：圆柱形波导中电磁波传播问题圆柱体中热传导问题圆形（环形）薄膜振动模态分析问题等
（二） 贝塞尔方程引出
圆形薄盘两面绝热圆盘边界温度始终保持0初始温度分布已知求圆盘瞬时温度分布规律
设圆形薄盘半径R问题结求解列问题：
应分离变量法求问题解令
第方程非零解代入该方程
化简引入参数
面关函数T（t）V(xy)方程
(11)
(12)
式(11)
方程(12)称Helmholtz方程求出方程满足边界条件
非零解采面极坐标系该定解问题转化
(13)
(14)
令代入方程(13)
引入参数
(15)
(16)
温度函数单值必单值函数极坐标系表示点应该2周期函数决定该方程(15)解
(常数)
代入方程(16)
方程称n阶贝塞尔方程式(14)
圆盘温度限特圆心处应原定解问题解决结求解列问题：
特征值特征函数
令记
(17)
式贝塞尔方程常见形式具变系数二阶线性常微分方程解称贝塞尔函数
二 贝塞尔函数基概念
（） 贝塞尔函数定义
定义满足征方程
(21)
函数贝塞尔函数贝塞尔函数阶征方程表述
圆柱坐标系球坐标系中解波动方程分离变量法径函数满足微分方程正贝塞尔方程
圆柱波径方程
球波径方程
令式写成
半奇数阶贝塞尔方程
方程(21)解决圆盘温度分布具体情况方程中常数般取整数零意实数复数时该方程称贝塞尔方程解做贝塞尔函数
Frobenius方法求解贝塞尔方程注意n阶贝塞尔方程中前系数x0处零该方程x0处退化果x2方程两边y前系数x0处奇性正幂级数方法求解方程(21)时设该方程级数解
(22)
中常数面确定r式(22)
代入方程(21)中关x恒等式
(23)
(24)
(25)
c00rnrn（24）c10
1 第类贝塞尔函数
贝塞尔方程形式级数解中
意实数
展开系数递推公式 实际代入方程(21)
较次项系数
(i)取rn
表示奇数项 偶数项表示
级数解般项
中意常数取定值贝塞尔方程解（值法知级数解收敛半径）
取常数样选取两处：般项系数中次数次数相二运列恒等式
分母简化般项系数变成
贝塞尔方程级数解级数函数称阶第类贝塞尔函数记
(26)
正整数零时 正整数时
显然偶数时偶函数奇数时奇函数
(ii)样贝塞尔方程特解
(27)
式应注意两点：
1) 时项系数0
2) 较(26)(27)两式知实数总(142)式统表示第类贝塞尔函数
2 第二类贝塞尔函数
1) 整数时分析函数附性态（设）知线性关贝塞尔方程通解
中意常数
n整数时线性相关间关系式
事实妨设正整数（失般性负整数时会样结果）式(26)中时负整数零值穷
令
线性相关 时已构成贝塞尔方程通解 求出贝塞尔方程通解需构造线性关解 通常线性组合极限方法作出贝塞尔方程解（记作）
2) 整数时令
整数时取
面两式定义函数阶第二类贝塞尔函数称诺曼(Neumann)函数级数表达式
中时掉第二项限 特邻域似公式
3) n实数贝塞尔方程解线性关x0时限值穷线性关贝塞尔方程通解表示
式中意常数意实数
定解问题中零正整数相应征值问题带然边值条件：界贝塞尔方程通解取式应取式 时中常取条件贝塞尔方程解
中意常数
3 第三类贝塞尔函数
第类第二类贝塞尔函数定义复数型第三类贝塞尔函数称汉克尔(Hankel)函数
中虚数单位实数贝塞尔方程两线性关解实数贝塞尔方程通解表达式
中意常数
时三类贝塞尔函数渐表达式
4 虚宗量贝塞尔函数
圆柱形区域果两底边值条件齐次侧面边值条件非齐次时会遇微分方程：
令贝塞尔方程
解 定义
第类虚宗量贝塞尔函数
第二类虚宗量贝塞尔函数
（二） 贝塞尔函数递推公式
阶贝塞尔函数间存定递推关系
1) 第组微分公式：
(28)
(29)
先讨零阶阶贝塞尔函数间关系
求导数
结果推广现求导
时(28)式化
时(29)式化
四式定积分公式：
2) 第二组高阶低阶表示递推公式：
(210)
(211)
组公式第组公式推出：(28)(29)两式左端导数求出化简相减相加
(28)(29)两式分证明：
(212)
(213)
中记号表示运算
述关递推公式成立
（三） 半奇数阶贝塞尔函数
第类贝塞尔函数诺曼函数般说初等函数半奇数阶第类贝塞尔函数重特点初等函数表示计算
里公式
类似证
般利递推公式(213)证初等函数：
(214)
利(212)式证初等函数：
(215)
纳法分(214)式(215)式证明明显表达式：
（四） 贝塞尔函数零点
贝塞尔函数零点方程根通常表示阶贝塞尔函数第正零点（次编号）表达式知时零点果零点关原点称分布面关零点分布重性质求解定解问题重
1) 穷正零点单重零点设…方程正根
时
函数系区间完备系
零点渐进公式
（愈愈精确）
2) 零点零点彼相间分布意两相邻零点间必存仅存零点反然
3) 正零点正零点
4) 指标较时相邻两零点距离似
表列出前9正根
n
m
0
1
2
3
4
5
1
2405
3832
5136
6380
7588
8771
2
5520
7016
8417
9761
11065
12339
3
8654
10173
11620
13015
14373
15700
4
11792
13324
14796
16223
17616
18980
5
14931
16471
17960
19409
20827
22218
6
18071
19616
21117
22583
24019
25430
7
21212
22760
24270
25748
27199
28627
8
24352
25904
27421
28908
30371
31812
9
27493
29047
30569
32065
33537
34989
（五） 贝塞尔函数振荡特性
衰减振荡函数图中画出时图时图分根称性偶函数奇函数图中出穷实数零点两者零点彼相间分布
通常认贝塞尔函数级数形式收敛速度慢源次幂项函数相互制约关系着求次数增函数项增指数项减指数项增时增速度函数项增速度时该级数快收敛否指数项求次数增急速增函数增速度远远样足够时满足函数增速度远远指数项增速度时级数趋收敛导致误差增甚溢出
三 FourierBessel级数
（） 傅里叶贝塞尔级数定义
应贝塞尔函数求解数学物理方程定解问题时需已知函数贝塞尔函数系展成级数贝塞尔函数系完备证明意具阶连续导数分段连续二阶导数函数处界处等必展开成形式绝致收敛级数
利正交性求展开式系数事实式两边时积分利贝塞尔函数正交性模
式确定成FourierBessel系数级数式称FourierBessel级数
（二） 函数傅里叶贝塞尔级数展开
幂函数贝塞尔函数展开
分取前四项前七项前十项前百项级数matlab画出图然图进行
图前四项逼情况坐标范围截取：
图前七项逼情况坐标范围截取：
图前十项逼情况坐标范围截取：
图前100项逼情况出已十分逼
前四项前七项前十项图放起：
图出着级数项数增加幂函数贝塞尔函数展开式逼情况越越
面函数 展开成贝塞尔函数系级数设
中
令
时需先求贝塞尔函数零点务插法解决分找出时根
matlab编程求
matlab计算
前两项图：
前六项图：
前十项图：
前十四项图：
放起较：
图中出着项数增加级数越越趋级数右端点附误差较时 时级数项数越级数数值越越趋
四 贝塞尔函数应
（） 贝塞尔函数光学中应
圆孔光学物体关光学衍射问题中常低阶第类贝塞尔函数许工程实际应场合需知道衍射物较尺寸范围变化时应贝塞尔函数函数值变量较时贝塞尔函数定义式进行数值计算会出现超界现象表明变量较时候定义式算函数值正确寻求公式算法变量情况求出精确函数值光学技术工程实际中求
时阶贝塞尔函数似公式谓贝塞尔函数渐公式表示：
(41)
式中
(42)
(43)
工程应说(41)式运真需变量取非常相反较值时渐公式算函数值已满足工程实际精度求零阶贝塞尔函数例取式(42) 式(43)前两项
代入公式(41)
(45)
贝塞尔函数级数表达式渐公式分计算求函数值部分结果差列表表见式(45)代级数定义式求出函数值误差显然工程应说样计算精度般说足够样阶贝塞尔函数时式：
计算函数值误差取式(42)(43)中前两项果仅取第项作渐公式时渐公式求出函数值误差
X
7
8
9
10
11
12
级数式
030007927
017165081
9033361E2
024593577
017119030
4768931E2
渐式
030006669
017164510
9033298E2
024593324
017118883
4768924E2
差
1258334E5
5703423E6
6343648E7
2527512E6
1474057E6
6643125E8
X
13
14
15
16
17
18
级数式
020692610
017107348
1422447E2
017489907
016985425
1335581E2
渐式
020690535
017107297
1422450E2
017489880
016985401
1335578E2
差
7478229E7
5363787E7
2492850E8
2750175E7
2379904E7
3471612E8
通计算表明左右时渐公式外果式(42)式(43)中取更项进步提高渐公式数值计算精度采贝塞尔函数渐公式代级数表达式求函数值方法避免变量较时出现错误外提高计算速度点工程问题中实时处理说十分益
（二） 贝塞尔函数调频制中应
通讯讯号中般应进行某定方式调制发送高频电流瞬时值
中改变中包含三量(振幅相角频率)说发送电流振幅相角频率着调制电流变三种方式分称调幅调相调频
调频程中频率周期性改变规律进行：
中调制讯号角频率调频系数决定调制讯号振幅
调频电流
(46)
(46)式中代表调制时频率改变做调频指数频率偏移系数利贝塞尔函数式(46)写：
(47)
处代表频率偏移等载频调制系数积调制讯号振幅变时恒定变量利关系式(47)写成式：
(48)
(48)式见调频电流包含穷旁频第旁频振幅阶第类贝塞尔函数实际通讯系统中需保留限旁频维持完满通讯说明点写成面形式：
中
时贝塞尔函数理知时正降函数时复单调函数知
值
时正降函数减少速度甚实际发送系统中旁频振幅降发送系统旁频宽度需满意通讯
试取贝塞尔方程
中意数取整数值时记作果贝塞尔方程中末项零式变
通解
认
相时保证稍微变动时关系然略贝塞尔方程中项
顾界旁频外旁频振幅变化情况贝塞尔方程
代变量常系数线性微分方程
解
代入
说
处函数果式阶第类贝塞尔函数展开式
相较时式分母中斯特林公式代入展开式中取第项
取
时取形式
附录
n0 ybesselj(0(25525)’)
plot((25525)’y)
n1 ybesselj(1(25525)’)
plot((25525)’y)
n1 ybesselj(0(25525)’)
plot((25525)’y)
ybesselj(2(0525)’)
plot((0525)’y)
hold on
ybesselj(2(2550)’)
plot((2550)’y)
n3 ybesselj(3(25525)’)
plot((25525)’y)
n3 ybesselj(3(25525)’)
plot((25525)’y)
前四项
c0
for j14
abesselj(2*j(200200)＇)
b[(2*j)^2]*a
cc+b
end
cc*2
plot((200200)＇c)
hold on
t2020
yt^2
plot(ty)
axis([10 10 20 100])
前七项
c0
for j17
abesselj(2*j(200200)＇)
b[(2*j)^2]*a
cc+b
end
cc*2
plot((200200)＇c)
hold on
t2020
yt^2
plot(ty)
axis([30 30 30 200])
前十项
c0
for j110
abesselj(2*j(200200)＇)
b[(2*j)^2]*a
cc+b
end
cc*2
plot((200200)＇c)
hold on
t2020
yt^2
plot(ty)
axis([40 40 150 400])
前百项
c0
for j1100
abesselj(2*j(200200)＇)
b[(2*j)^2]*a
cc+b
end
cc*2
plot((200200)＇c)
hold on
t2020
yt^2
plot(ty)
axis([40 40 40 1000])
前两项
a(1)3832
a(2)7016
for i12
mbesselj(1a(i)*c)
nbesselj(2a(i))
bb+(2*m(a(i)*n))
end
plot(cb)
前六项
a(1)3832
a(2)7016
a(3)10173
a(4)13324
a(5)16471
a(6)19616
for i16
mbesselj(1a(i)*c)
nbesselj(2a(i))
bb+(2*m(a(i)*n))
end
plot(cb)
前十项
a(1)3832
a(2)7016
a(3)10173
a(4)13324
a(5)16471
a(6)19616
a(7)22760
a(8)25904
a(9)29047
a(10)32190
b0
c0011
for i110
mbesselj(1a(i)*c)
nbesselj(2a(i))
bb+(2*m(a(i)*n))
end
plot(cb)
前十四项
a(1)3832
a(2)7016
a(3)10173
a(4)13324
a(5)16471
a(6)19616
a(7)22760
a(8)25904
a(9)29047
a(10)32190
b0
c0011
for i110
mbesselj(1a(i)*c)
nbesselj(2a(i))
bb+(2*m(a(i)*n))
end
plot(cb)
插法求零点
x00550
ybesselj(0x)
LD[]
for k11000
if y(k)*y(k+1)<0
hinterp1(y(kk+1)x(kk+1)0)
LD[LDh]
end
end
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