狄利克雷（Dirichlet）函数性质应
作 者
指导教师
摘 ：狄利克雷函数作分析学中种构造性函数着许特殊性质数学分析实变函数泛函分析复合函数等诸领域均十分广泛应数学发展程中起重作文性质应两方面狄利克雷函数进行讨
关键词：狄利克雷函数性质应反例
函数概念早出现世纪英国数学家格雷戈里文章圆双曲线求积(年)中定义函数样量：量系列代数运算者想象运算世纪德国著名数学家莱布尼茨年篇手稿里函数概念 莱布尼茨引进常量变量参变量概念数学史 进步 数量描述运动时函数指解析式表示函数种概念数学科学进步发展说实太狭隘
历史第出函数般定义世纪德国数学家狄利克雷（）促成微积分严格性开始事实果严格性没进入定义法推理中体现严格性
时 数学家处理部分数学象没完全严格定义数学家惯助直觉想象描述数学象
狄利克雷年出面著名函数（称狄利克雷函数）
函数具三特点
(1)没解析式函数概念解析式中解放出
(2)没图形函数概念直观中解放出
(3)没实际背景函数概念客观世界束缚中解放出
狄利克雷函数出现表示数学家数学理解发生深刻变化数学造特征开始展现出种思想标志着数学研究算转变研究概念性质结构
1 狄利克雷函数性质
狄利克雷( [德])函数数学分析实变函数泛函分析等研究领域中起着十分重作
11 狄利克雷函数相应定义
（1）意令称定义实数狄利克雷函数．
（2）意令称定义实数狄利克雷拓展函数．
（3）般广义狄利克雷函数定义：
中实数．
12 狄利克雷函数狄利克雷拓展函数性质
1．周期性
定理11 意非零理数周期理数周期．
证
意理数
意理数周期．
意理数
理数．
2界性
定理12 界函数．
证
知界函数．
3奇偶性
定理13 偶函数．
证
知负号改变数理性理性
偶函数．
4单调性
定理14 实数集区间具单调性．
证 区间实数稠密性知区间存数理数数理数．
妨设理数理数
知实数集区间具单调性．
5连续性
定理15 存．
证 意实数稠密性知
存组递增理数组
存组递增理数组
．
易
知存存
定理16 处处连续．
证：定理15知存．
知处处连续．
6积性
定理17 区间非积．
证
分割取点作式：
实数稠密性知取理数时取理数时区间非积．
分割取点作式：
分取理数理数时值互相反数零．区间非积．
综知 区间非积．
2 狄利克雷函数应
数学中反例否定错误命题举例子反例作致分三类：（1）说明定理条件结更改性（2）否定似非命题（3）纠正直观产生错觉命题
利狄利克雷函数独特性质构造许数学反例数学分析教学中发挥着重作
21 利狄利克雷函数构造反例说明数学命题成立
命题211 存函数某点连续点连续．
证 设．连续（） 时连续．
命题212 存函数意点连续 意点连续．
证 设
定理15知存极限知点连续意点连续．
命题213 存函数仅点导连续．
证 设
仅点处导连续
命题214 存函数定义域界积．
证 令
显然界．
分割取点作式：
实数稠密性知分割存理数存理数．
取理数时
取理数时
存积．
界积
命题215 存恒零函数意成立．
证 令
知恒零．
取值肯定总
．
命题216 某连续函数列致收敛某连续函数．
证 令中狄利克雷函数（般意义广义定义）．点均连续．
致收敛零
连续函数．
22 利狄利克雷函数构造反例否定错误数学命题
（1） 说明定理条件结更改性
定理21（）设测集非负测函数积分单调增加收敛
命题221 定理积分成立．
例1 设中全体理数令中
知非负递增积函数列．
非积．定理21积分成立．
定理22(） 设列单调增加函数 函数项级数处处收敛．成立
命题222 定理22中函数列中诸函数单调性条件少．
例2 设中全体理数定义
方面函数点外恒等零单调函数．方面易知
处处连续处处导更谈逐项求导．
（2）否定似非命题
命题223 函数连续连续．（否）
例3 令．易知实数处处连续函数均常函数然连续函数．
命题224 函数积积．（否）
例4 定义
函数常数函数积．
处处连续．
非积．
命题225 非界变差函数绝值函数方函数非界变差函数（否）
例5 设非界变差函数．
设分划
中取偶数时理数取奇数时理数．时
着分划细分界集 界变差函数常数函数切分划均
界变差函数
（3）纠正直观产生错觉命题
命题226 函数项级数收敛域必区间．（否）
例6 令知
理点时
理点时
收敛区域集合
命题227 存函数仅点连续．（否）
例7 令．处连续．时连续
命题228 积积等价．（否）
例8 定义
测集界函数分划满足理数集理数集
知积
非积
3 致谢
四年读书生活季节划句号生逗号面次征程开始四年求学生涯师长亲友力支持走辛苦收获满囊文付梓际思绪万千心情久久静敬意赞美献位导师——马永传副教授文题目选定文写作指导悉心点拨思考领悟常常山重水复疑路柳暗花明村
时感谢学院提供良做毕业设计环境
次感谢毕业设计中帮助良师益友学设计中引参考著作者
4 参考文献：
[1] 程襄等实变函数泛函分析基础高等教育出版社1983
[2] 华东师范学数学系数学分析高等教育出版社1981
[3] 匡继昌实分析泛函分析．高等教育出版社2001．
[4] 朱时分析提纲命题证明宇航出版社1986
[5] 邓东皋尹玲 数学分析简明教程(册)高等教育出版社1999
[6] 邓东皋尹玲 数学分析简明教程(册)高等教育出版社1999
[7] 林艺数学百科机械工业出版社1999
课题
作者
指导老师
Abstract：Dirichlet function as one of analytics tectonic sexual functionIt has many special propertiesDirichlet function in mathematical analysis realvariable function and functional analysis composite function and so on many domains are very widely Dirichlet function in process of math development played an important role This paper will be a properties and application two aspects to discuss dirichlet function
Key words：Dirichlet function properties application counterexamples
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作 者
指导教师
摘 ：狄利克雷函数作分析学中种构造性函数着许特殊性质数学分析实变函数泛函分析复合函数等诸领域均十分广泛应数学发展程中起重作文性质应两方面狄利克雷函数进行讨
关键词：狄利克雷函数性质应反例
函数概念早出现世纪英国数学家格雷戈里文章圆双曲线求积(年)中定义函数样量：量系列代数运算者想象运算世纪德国著名数学家莱布尼茨年篇手稿里函数概念 莱布尼茨引进常量变量参变量概念数学史 进步 数量描述运动时函数指解析式表示函数种概念数学科学进步发展说实太狭隘
历史第出函数般定义世纪德国数学家狄利克雷（）促成微积分严格性开始事实果严格性没进入定义法推理中体现严格性
时 数学家处理部分数学象没完全严格定义数学家惯助直觉想象描述数学象
狄利克雷年出面著名函数（称狄利克雷函数）
函数具三特点
(1)没解析式函数概念解析式中解放出
(2)没图形函数概念直观中解放出
(3)没实际背景函数概念客观世界束缚中解放出
狄利克雷函数出现表示数学家数学理解发生深刻变化数学造特征开始展现出种思想标志着数学研究算转变研究概念性质结构
1 狄利克雷函数性质
狄利克雷( [德])函数数学分析实变函数泛函分析等研究领域中起着十分重作
11 狄利克雷函数相应定义
（1）意令称定义实数狄利克雷函数．
（2）意令称定义实数狄利克雷拓展函数．
（3）般广义狄利克雷函数定义：
中实数．
12 狄利克雷函数狄利克雷拓展函数性质
1．周期性
定理11 意非零理数周期理数周期．
证
意理数
意理数周期．
意理数
理数．
2界性
定理12 界函数．
证
知界函数．
3奇偶性
定理13 偶函数．
证
知负号改变数理性理性
偶函数．
4单调性
定理14 实数集区间具单调性．
证 区间实数稠密性知区间存数理数数理数．
妨设理数理数
知实数集区间具单调性．
5连续性
定理15 存．
证 意实数稠密性知
存组递增理数组
存组递增理数组
．
易
知存存
定理16 处处连续．
证：定理15知存．
知处处连续．
6积性
定理17 区间非积．
证
分割取点作式：
实数稠密性知取理数时取理数时区间非积．
分割取点作式：
分取理数理数时值互相反数零．区间非积．
综知 区间非积．
2 狄利克雷函数应
数学中反例否定错误命题举例子反例作致分三类：（1）说明定理条件结更改性（2）否定似非命题（3）纠正直观产生错觉命题
利狄利克雷函数独特性质构造许数学反例数学分析教学中发挥着重作
21 利狄利克雷函数构造反例说明数学命题成立
命题211 存函数某点连续点连续．
证 设．连续（） 时连续．
命题212 存函数意点连续 意点连续．
证 设
定理15知存极限知点连续意点连续．
命题213 存函数仅点导连续．
证 设
仅点处导连续
命题214 存函数定义域界积．
证 令
显然界．
分割取点作式：
实数稠密性知分割存理数存理数．
取理数时
取理数时
存积．
界积
命题215 存恒零函数意成立．
证 令
知恒零．
取值肯定总
．
命题216 某连续函数列致收敛某连续函数．
证 令中狄利克雷函数（般意义广义定义）．点均连续．
致收敛零
连续函数．
22 利狄利克雷函数构造反例否定错误数学命题
（1） 说明定理条件结更改性
定理21（）设测集非负测函数积分单调增加收敛
命题221 定理积分成立．
例1 设中全体理数令中
知非负递增积函数列．
非积．定理21积分成立．
定理22(） 设列单调增加函数 函数项级数处处收敛．成立
命题222 定理22中函数列中诸函数单调性条件少．
例2 设中全体理数定义
方面函数点外恒等零单调函数．方面易知
处处连续处处导更谈逐项求导．
（2）否定似非命题
命题223 函数连续连续．（否）
例3 令．易知实数处处连续函数均常函数然连续函数．
命题224 函数积积．（否）
例4 定义
函数常数函数积．
处处连续．
非积．
命题225 非界变差函数绝值函数方函数非界变差函数（否）
例5 设非界变差函数．
设分划
中取偶数时理数取奇数时理数．时
着分划细分界集 界变差函数常数函数切分划均
界变差函数
（3）纠正直观产生错觉命题
命题226 函数项级数收敛域必区间．（否）
例6 令知
理点时
理点时
收敛区域集合
命题227 存函数仅点连续．（否）
例7 令．处连续．时连续
命题228 积积等价．（否）
例8 定义
测集界函数分划满足理数集理数集
知积
非积
3 致谢
四年读书生活季节划句号生逗号面次征程开始四年求学生涯师长亲友力支持走辛苦收获满囊文付梓际思绪万千心情久久静敬意赞美献位导师——马永传副教授文题目选定文写作指导悉心点拨思考领悟常常山重水复疑路柳暗花明村
时感谢学院提供良做毕业设计环境
次感谢毕业设计中帮助良师益友学设计中引参考著作者
4 参考文献：
[1] 程襄等实变函数泛函分析基础高等教育出版社1983
[2] 华东师范学数学系数学分析高等教育出版社1981
[3] 匡继昌实分析泛函分析．高等教育出版社2001．
[4] 朱时分析提纲命题证明宇航出版社1986
[5] 邓东皋尹玲 数学分析简明教程(册)高等教育出版社1999
[6] 邓东皋尹玲 数学分析简明教程(册)高等教育出版社1999
[7] 林艺数学百科机械工业出版社1999
课题
作者
指导老师
Abstract：Dirichlet function as one of analytics tectonic sexual functionIt has many special propertiesDirichlet function in mathematical analysis realvariable function and functional analysis composite function and so on many domains are very widely Dirichlet function in process of math development played an important role This paper will be a properties and application two aspects to discuss dirichlet function
Key words：Dirichlet function properties application counterexamples
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