中值定理嫁高考
数学计算机科学学院 数学应数学专业
年高等数学背景高考命题成热点许省市高考试卷关导数题目拉格朗日中值定理解答文先类总结通具体高考试题利拉格朗日中值定理解答参考答案解法作较体现高观点解题处
拉格朗日中值定理：函数满足条件：
（i）闭区间连续
（ii）开区间导
少存点
证明成立（中）
例：（2007年高考全国卷I第20题）
设函数
（Ⅰ）证明：导数
（Ⅱ）证明： 取值范围
（Ⅰ）略
（Ⅱ）证明：（i）时意
(ii)时问题转化恒成立
令拉格朗日中值定理知少存点（）增函数 取值范围
评注：第(2)题提供参考答案初等数学方法令分
两种情况讨中解方程两缺点：首先什取值范围分界展开次方程求解较麻烦拉格朗日中值定理求解避开讨省麻烦
二证明成立
例：（2004年四川卷第22题）
已知函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）设证明：
（Ⅰ）略
（Ⅱ）证明：题意
拉格朗日中值定理存
评注：等式中含形式分两次运拉格朗日中值定理
三证明成立
例： (2OO6年四川卷理第22题)
已知函数导函数意两相等正数
证明：
（１）时
（２）时
证明：（１）妨设证．拉格朗日中值定理知存
时单调递减函数成立命题获证．
（２）令拉格朗日中值定理：
面证明：时意证时恒成立等价证明值
仅时取值时恒成立
拉格朗日定理：
评注：道题初等数学方法证明较冗长技巧性较强思路较突兀数考生难想相拉格朗日中值定理证明思路较然流畅体现高观点解题优越性说明学高等数学重性
四证明成立
例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）果求取值范围
（Ⅰ）略
（Ⅱ）证明：时显然时
拉格朗日中值定理知存（Ⅰ）知令令值 值函数值知时值值恒成立应取值范围
评注：道题参考答案解法令证明函数值述思路样首先参考答案解法中参数参数进行分类讨次判断单调性求解求解涉反余弦较复杂拉格朗日中值定理避开麻烦省讨次体现高观点解题优越性
五证明成立（中）
例：（2007年安徽卷18题）
设
（Ⅰ）令讨单调性求极值
（Ⅱ）求证：时恒
（Ⅰ）略
（Ⅱ）证明：证拉格朗日中值定理存（Ⅰ）解题程知令令值
成立时成立
评注：道题参考答案（Ⅰ）中极值单调递增值果没（Ⅰ）难想利判断单调性拉格朗日中值定理证明存问题
六证明（中）
例：（2009年辽宁卷理21题）
已知函数
（Ⅰ）讨函数单调性
（Ⅱ）证明：意
（Ⅰ）略
（Ⅱ）（Ⅰ）证
成立证面证
令恒成立
评注：道题（Ⅱ）题存两难点：首先两变量次值变化参考答案解法考虑函数什考虑函数？考生子易想放缩易想
拉格朗日中值定理数学分析重定理解决函数某点导数重工具年少高考压轴题导数命题拉格朗日中值定理求解固然压轴题初等数学方法求解初等数学方法计算量较时拉格朗日中值定理交易解决充分体现高等数学优越性力反驳高数错误想法学生感受高等数学初等数学联系增加学兴趣
六道题目参考答案解法中感受高等数学初等数学具居高指导作年高观点高考命题颇受命题者青睐加强高等数学研究显必
参考文献
[1] 华东师范学数学系编数学分析（册）[M]北京：高等教育出版社2007
[2] 陈素贞道高考题解[J]福建中学数学2009（4）
[3] 李惟峰 拉格朗日中值定理中学数学中应[J] 数学教学通讯2008（8）
[4] 雪王颖 站高高考题[J] 高等数学研究2009（1）
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年高等数学背景高考命题成热点许省市高考试卷关导数题目拉格朗日中值定理解答文先类总结通具体高考试题利拉格朗日中值定理解答参考答案解法作较体现高观点解题处
拉格朗日中值定理：函数满足条件：
（i）闭区间连续
（ii）开区间导
少存点
证明成立（中）
例：（2007年高考全国卷I第20题）
设函数
（Ⅰ）证明：导数
（Ⅱ）证明： 取值范围
（Ⅰ）略
（Ⅱ）证明：（i）时意
(ii)时问题转化恒成立
令拉格朗日中值定理知少存点（）增函数 取值范围
评注：第(2)题提供参考答案初等数学方法令分
两种情况讨中解方程两缺点：首先什取值范围分界展开次方程求解较麻烦拉格朗日中值定理求解避开讨省麻烦
二证明成立
例：（2004年四川卷第22题）
已知函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）设证明：
（Ⅰ）略
（Ⅱ）证明：题意
拉格朗日中值定理存
评注：等式中含形式分两次运拉格朗日中值定理
三证明成立
例： (2OO6年四川卷理第22题)
已知函数导函数意两相等正数
证明：
（１）时
（２）时
证明：（１）妨设证．拉格朗日中值定理知存
时单调递减函数成立命题获证．
（２）令拉格朗日中值定理：
面证明：时意证时恒成立等价证明值
仅时取值时恒成立
拉格朗日定理：
评注：道题初等数学方法证明较冗长技巧性较强思路较突兀数考生难想相拉格朗日中值定理证明思路较然流畅体现高观点解题优越性说明学高等数学重性
四证明成立
例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）果求取值范围
（Ⅰ）略
（Ⅱ）证明：时显然时
拉格朗日中值定理知存（Ⅰ）知令令值 值函数值知时值值恒成立应取值范围
评注：道题参考答案解法令证明函数值述思路样首先参考答案解法中参数参数进行分类讨次判断单调性求解求解涉反余弦较复杂拉格朗日中值定理避开麻烦省讨次体现高观点解题优越性
五证明成立（中）
例：（2007年安徽卷18题）
设
（Ⅰ）令讨单调性求极值
（Ⅱ）求证：时恒
（Ⅰ）略
（Ⅱ）证明：证拉格朗日中值定理存（Ⅰ）解题程知令令值
成立时成立
评注：道题参考答案（Ⅰ）中极值单调递增值果没（Ⅰ）难想利判断单调性拉格朗日中值定理证明存问题
六证明（中）
例：（2009年辽宁卷理21题）
已知函数
（Ⅰ）讨函数单调性
（Ⅱ）证明：意
（Ⅰ）略
（Ⅱ）（Ⅰ）证
成立证面证
令恒成立
评注：道题（Ⅱ）题存两难点：首先两变量次值变化参考答案解法考虑函数什考虑函数？考生子易想放缩易想
拉格朗日中值定理数学分析重定理解决函数某点导数重工具年少高考压轴题导数命题拉格朗日中值定理求解固然压轴题初等数学方法求解初等数学方法计算量较时拉格朗日中值定理交易解决充分体现高等数学优越性力反驳高数错误想法学生感受高等数学初等数学联系增加学兴趣
六道题目参考答案解法中感受高等数学初等数学具居高指导作年高观点高考命题颇受命题者青睐加强高等数学研究显必
参考文献
[1] 华东师范学数学系编数学分析（册）[M]北京：高等教育出版社2007
[2] 陈素贞道高考题解[J]福建中学数学2009（4）
[3] 李惟峰 拉格朗日中值定理中学数学中应[J] 数学教学通讯2008（8）
[4] 雪王颖 站高高考题[J] 高等数学研究2009（1）
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