2010年全国高考数学真题分章节分类汇编
立体
选择题
1（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD中B面AC成角余弦值
A B C D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
D 命题意图题考查正方体性质直线面成角点面距离求法利等体积转化求出D面AC距离解决题关键转化思想具体体现
解析BB1DD1B面AC成角DD1面AC成角相等设DO⊥面AC等体积法设DD1a
记DD1面AC成角
2（ 2010年高考全国卷I理科12）已知半径2球面ABCD四点ABCD2四面体ABCD体积值
(A) (B) (C) (D)
B命题意图题考查体体积计算球性质异面直线距离通球载体考查考生
空间想象力推理运算力
解析CD作面PCDAB⊥面PCD交ABP设点PCD距离直径通ABCD中点时
3（2010年高考安徽卷理科8）体三视图图该体表面积
A280 B292 C360 D372
C
解析该体两长方体组合成表面积等面长方体全面积加面长方体4侧面积
方法技巧三视图转化直观图解决问题关键三视图容易知道两长方体组合体画出直观图出棱长度体表面积转化面长方体全面积加面长方体4侧面积
4（2010年高考四川卷理科11）半径球直径垂直面垂足
面边长正三角形线段分
球面交点MNMN两点间球面距离
（A） （B） w_w_wk*s 5*uc o*m
（C） （D）
解析：已知AB＝2RBC＝Rtan∠BAC＝ w_w_wk*s 5*uc o*m
cos∠BAC＝
连结OM△OAM等腰三角形
AM＝2AOcos∠BAC＝理AN＝MN∥CD w_w_wk*s 5*uc o*m
AC＝RCD＝R
MN：CD＝ANAC w_w_wk*s 5*uc o*m
Þ MN＝
连结OMONOM＝ON＝R
cos∠MON＝
MN两点间球面距离 w_w_wk*s 5*uc o*m
答案：A
5(2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱侧棱垂直底面棱长顶点球面该球表面积
(A) (B) (C) (D)
答案B
解析：图P三棱柱底面中心O球心易知
球半径满足：
．
6（2010年高考北京卷理科8）图正方体ABCD棱长2动点EF棱动点PQ分棱ADCDEF1ExDQyDＰ＝ｚ（ｘｙｚ零）四面体PEＦＱ体积
（Ａ）ｘｙｚ关
（Ｂ）ｘ关ｙｚ关
（Ｃ）ｙ关ｘｚ关
（Ｄ）ｚ关ｘｙ关
答案D
解析：道题目延续北京高考年81420风格变化中寻找变图中分析出面积永远变面面积点变化时面距离变化会导致四面体体积变化
7(2010年高考全国2卷理数11）正方体三条棱直线距离相等点
（A）1 （B）2
（C）3 （D）数
8(2010年高考重庆市理科10)两互相垂直异面距离相等点中条直线行条直线面轨迹
（A） 直线 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D） 双曲线
答案D
解析：排法 轨迹轴称图形排AC轨迹已知直线交点排B
9（2010年高考辽宁卷理科12）四根长2直铁条选两根长a直铁条六根铁条端点处相连够焊接成三棱锥形铁架a取值范围
(A)（0） (B)（1）
(C) (） (D) （0）
答案A
二填空题：
10(2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器部盛高度8 cm水放入三相球（球半径圆柱底面半径相）水恰淹没面球（图示)球半径 cm．
答案4
解析设球半径r解r4
11(2010年全国高考宁夏卷14）正视图三角形体______（写出三种）
解析三棱锥三棱柱圆锥等．
12（2010年高考江西卷理科16）图三棱锥中三条棱两两垂直
分三条棱作截面
分三棱锥体积截面面积次
关系 ．
答案
13（2010年高考浙江卷12）某体正视图（单位：cm）图示
体体积_______cm3
答案144
14（2010年高考辽宁卷理科15）图网格纸正方形边长1粗线画出某面体三视图面体长条棱长______
答案
15（2010年高考海市理科12）图示边长4正方形纸片ABCD中ACBD相交O剪剩余部分OCOD折叠OAOB重合A（B）CDO顶点四面体体积
答案
三解答题：
16（2010年高考山东卷理科19）
图五棱锥P—ABCDE中PA⊥面ABCDEAB∥CDAC∥EDAE∥BC ABC45°AB2BC2AE4三角形PAB等腰三角形．
（Ⅰ）求证：面PCD⊥面PAC
（Ⅱ）求直线PB面PCD成角
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE体积．
解析（Ⅰ）证明：ABC45°AB2BC4中余弦定理：解
PA⊥面ABCDEPA⊥
PAAB∥CD
面PCD⊥面PAC
（Ⅱ）（Ⅰ）知面PCD⊥面PAC面PAC点A作H
AB∥CDAB面AB行面点A面距离等点B面距离点B作BO⊥面点O求角容易求直线PB面PCD成角
（Ⅲ）（Ⅰ）知AC∥ED四边形ACDE直角梯形容易求AC四边形ACDE面积
四棱锥P—ACDE体积
命题意图题考查空间体线面面面垂直线面角求解体体积计算问题考查学空间想象力空间思维力
17（2010年高考福建卷理科18）
图圆柱三棱柱三棱柱底面圆柱底面接三角形AB圆O直径
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）设AB圆柱机选取点记该点取三棱柱概率
（i）点C圆周运动时求值
（ii）记面面成角取值时求值
命题意图题考查直线直线直线面面面位置关系体体积概型等基础知识考查空间想象力运算求解力推理证力考查数形结合思想化转化思想必然然思想
解析（Ⅰ）面ABC面ABC
AB圆O直径面
面面面
（Ⅱ）（i）设圆柱底面半径AB三棱柱体积
仅时等号成立
圆柱体积
仅时等号成立
值
（ii）（i）知取值时O坐标原点建立空间直角坐标系（图）C（r00）B（0r0）（0r2r）
面面法量
设面法量
取面法量
18(2010年高考数学湖北卷理科18）
图 四面体ABOC中OC⊥OA OC⊥OB∠AOB120°OAOBOC1
(Ⅰ) 设PAC中点证明：AB存点QPQ⊥OA计算值
(Ⅱ) 求二面角OACB面角余弦值
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19（2010年高考广东卷理科18）
图半径a半圆AC直径点E中点点B点C线段AD三等分点．面AEC外点F满足FEa ．
图
（1）证明：EB⊥FD
（2）已知点QR分线段FEFB点求面面成二面角正弦值．
解析
（2）设面面RQD交线
BQFEFRFB知
面∴面
面面
∴
（1）知面∴面
面面
∴
∴面面成二面角面角．
中
．
．
面面成二面角正弦值．
20（ 2010年高考全国卷I理科19）
图四棱锥SABCD中SD底面ABCDABDCADDCABAD1DCSD2E棱SB点面EDC面SBC
（Ⅰ）证明：SE2EB
（Ⅱ）求二面角ADEC
命题意图题考查空间直线直线直线面面面位置关系二面角等基础知识考查空间想象力推理证力运算力
解析解法：
(Ⅰ)连接BD取DC中点G连接BG
知 直角三角形
作
(Ⅱ) 知
等腰三角形
取中点F连接
连接
二面角面角
连接AGAG
二面角120°
解法二：
D坐标原点射线轴正半轴建立图示直角坐标系
令
22（2010年高考江苏卷试题16）
图四棱锥PABCD中PD⊥面ABCDPDDCBC1AB2AB∥DC∠BCD900
(1) 求证：PC⊥BC
(2) 求点A面PBC距离
[解析] 题考查直线面面面位置关系考查体体积考查空间想象力推理证力运算力满分14分
（1）证明：PD⊥面ABCDBC面ABCDPD⊥BC
∠BCD900CD⊥BC
PDDCDPDDC面PCD
BC⊥面PCD
PC面PCDPC⊥BC
（2）（方法）分取ABPC中点EF连DEDF：
易证DE∥CBDE∥面PBC点DE面PBC距离相等
点A面PBC距离等E面PBC距离2倍
（1）知：BC⊥面PCD面PBC⊥面PCDPC
PDDCPFFCDF⊥PCDF⊥面PBCF
易知DF点A面PBC距离等
（方法二）体积法：连结AC设点A面PBC距离h
AB∥DC∠BCD900∠ABC900
AB2BC1面积
PD⊥面ABCDPD1三棱锥PABC体积
PD⊥面ABCDDC面ABCDPD⊥DC
PDDC1
PC⊥BCBC1面积
点A面PBC距离等
23(2010年高考北京市理科16)
图正方形ABCD四边形ACEF面互相垂直CE⊥ACEF∥ACABCEEF1
（Ⅰ）求证：AF∥面BDE
（Ⅱ）求证：CF⊥面BDE
（Ⅲ）求二面角ABED
证明：（I） 设ACBD交点G
EFAGEF1AGAC1
四边形AGEF行四边形
AF面EG
面BDEAF面BDE
AF面BDE
（II）正方形ABCD四边形ACEF面
相互垂直CEAC
CE面ABCD
图C原点建立空间直角坐标系C
C（000）A（0）B（00）
BDE
(III) （II）知面BDE法量
设面ABE法量
令
二面角锐角
二面角
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立体
选择题
1（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD中B面AC成角余弦值
A B C D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
D 命题意图题考查正方体性质直线面成角点面距离求法利等体积转化求出D面AC距离解决题关键转化思想具体体现
解析BB1DD1B面AC成角DD1面AC成角相等设DO⊥面AC等体积法设DD1a
记DD1面AC成角
2（ 2010年高考全国卷I理科12）已知半径2球面ABCD四点ABCD2四面体ABCD体积值
(A) (B) (C) (D)
B命题意图题考查体体积计算球性质异面直线距离通球载体考查考生
空间想象力推理运算力
解析CD作面PCDAB⊥面PCD交ABP设点PCD距离直径通ABCD中点时
3（2010年高考安徽卷理科8）体三视图图该体表面积
A280 B292 C360 D372
C
解析该体两长方体组合成表面积等面长方体全面积加面长方体4侧面积
方法技巧三视图转化直观图解决问题关键三视图容易知道两长方体组合体画出直观图出棱长度体表面积转化面长方体全面积加面长方体4侧面积
4（2010年高考四川卷理科11）半径球直径垂直面垂足
面边长正三角形线段分
球面交点MNMN两点间球面距离
（A） （B） w_w_wk*s 5*uc o*m
（C） （D）
解析：已知AB＝2RBC＝Rtan∠BAC＝ w_w_wk*s 5*uc o*m
cos∠BAC＝
连结OM△OAM等腰三角形
AM＝2AOcos∠BAC＝理AN＝MN∥CD w_w_wk*s 5*uc o*m
AC＝RCD＝R
MN：CD＝ANAC w_w_wk*s 5*uc o*m
Þ MN＝
连结OMONOM＝ON＝R
cos∠MON＝
MN两点间球面距离 w_w_wk*s 5*uc o*m
答案：A
5(2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱侧棱垂直底面棱长顶点球面该球表面积
(A) (B) (C) (D)
答案B
解析：图P三棱柱底面中心O球心易知
球半径满足：
．
6（2010年高考北京卷理科8）图正方体ABCD棱长2动点EF棱动点PQ分棱ADCDEF1ExDQyDＰ＝ｚ（ｘｙｚ零）四面体PEＦＱ体积
（Ａ）ｘｙｚ关
（Ｂ）ｘ关ｙｚ关
（Ｃ）ｙ关ｘｚ关
（Ｄ）ｚ关ｘｙ关
答案D
解析：道题目延续北京高考年81420风格变化中寻找变图中分析出面积永远变面面积点变化时面距离变化会导致四面体体积变化
7(2010年高考全国2卷理数11）正方体三条棱直线距离相等点
（A）1 （B）2
（C）3 （D）数
8(2010年高考重庆市理科10)两互相垂直异面距离相等点中条直线行条直线面轨迹
（A） 直线 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D） 双曲线
答案D
解析：排法 轨迹轴称图形排AC轨迹已知直线交点排B
9（2010年高考辽宁卷理科12）四根长2直铁条选两根长a直铁条六根铁条端点处相连够焊接成三棱锥形铁架a取值范围
(A)（0） (B)（1）
(C) (） (D) （0）
答案A
二填空题：
10(2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器部盛高度8 cm水放入三相球（球半径圆柱底面半径相）水恰淹没面球（图示)球半径 cm．
答案4
解析设球半径r解r4
11(2010年全国高考宁夏卷14）正视图三角形体______（写出三种）
解析三棱锥三棱柱圆锥等．
12（2010年高考江西卷理科16）图三棱锥中三条棱两两垂直
分三条棱作截面
分三棱锥体积截面面积次
关系 ．
答案
13（2010年高考浙江卷12）某体正视图（单位：cm）图示
体体积_______cm3
答案144
14（2010年高考辽宁卷理科15）图网格纸正方形边长1粗线画出某面体三视图面体长条棱长______
答案
15（2010年高考海市理科12）图示边长4正方形纸片ABCD中ACBD相交O剪剩余部分OCOD折叠OAOB重合A（B）CDO顶点四面体体积
答案
三解答题：
16（2010年高考山东卷理科19）
图五棱锥P—ABCDE中PA⊥面ABCDEAB∥CDAC∥EDAE∥BC ABC45°AB2BC2AE4三角形PAB等腰三角形．
（Ⅰ）求证：面PCD⊥面PAC
（Ⅱ）求直线PB面PCD成角
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE体积．
解析（Ⅰ）证明：ABC45°AB2BC4中余弦定理：解
PA⊥面ABCDEPA⊥
PAAB∥CD
面PCD⊥面PAC
（Ⅱ）（Ⅰ）知面PCD⊥面PAC面PAC点A作H
AB∥CDAB面AB行面点A面距离等点B面距离点B作BO⊥面点O求角容易求直线PB面PCD成角
（Ⅲ）（Ⅰ）知AC∥ED四边形ACDE直角梯形容易求AC四边形ACDE面积
四棱锥P—ACDE体积
命题意图题考查空间体线面面面垂直线面角求解体体积计算问题考查学空间想象力空间思维力
17（2010年高考福建卷理科18）
图圆柱三棱柱三棱柱底面圆柱底面接三角形AB圆O直径
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）设AB圆柱机选取点记该点取三棱柱概率
（i）点C圆周运动时求值
（ii）记面面成角取值时求值
命题意图题考查直线直线直线面面面位置关系体体积概型等基础知识考查空间想象力运算求解力推理证力考查数形结合思想化转化思想必然然思想
解析（Ⅰ）面ABC面ABC
AB圆O直径面
面面面
（Ⅱ）（i）设圆柱底面半径AB三棱柱体积
仅时等号成立
圆柱体积
仅时等号成立
值
（ii）（i）知取值时O坐标原点建立空间直角坐标系（图）C（r00）B（0r0）（0r2r）
面面法量
设面法量
取面法量
18(2010年高考数学湖北卷理科18）
图 四面体ABOC中OC⊥OA OC⊥OB∠AOB120°OAOBOC1
(Ⅰ) 设PAC中点证明：AB存点QPQ⊥OA计算值
(Ⅱ) 求二面角OACB面角余弦值
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19（2010年高考广东卷理科18）
图半径a半圆AC直径点E中点点B点C线段AD三等分点．面AEC外点F满足FEa ．
图
（1）证明：EB⊥FD
（2）已知点QR分线段FEFB点求面面成二面角正弦值．
解析
（2）设面面RQD交线
BQFEFRFB知
面∴面
面面
∴
（1）知面∴面
面面
∴
∴面面成二面角面角．
中
．
．
面面成二面角正弦值．
20（ 2010年高考全国卷I理科19）
图四棱锥SABCD中SD底面ABCDABDCADDCABAD1DCSD2E棱SB点面EDC面SBC
（Ⅰ）证明：SE2EB
（Ⅱ）求二面角ADEC
命题意图题考查空间直线直线直线面面面位置关系二面角等基础知识考查空间想象力推理证力运算力
解析解法：
(Ⅰ)连接BD取DC中点G连接BG
知 直角三角形
作
(Ⅱ) 知
等腰三角形
取中点F连接
连接
二面角面角
连接AGAG
二面角120°
解法二：
D坐标原点射线轴正半轴建立图示直角坐标系
令
22（2010年高考江苏卷试题16）
图四棱锥PABCD中PD⊥面ABCDPDDCBC1AB2AB∥DC∠BCD900
(1) 求证：PC⊥BC
(2) 求点A面PBC距离
[解析] 题考查直线面面面位置关系考查体体积考查空间想象力推理证力运算力满分14分
（1）证明：PD⊥面ABCDBC面ABCDPD⊥BC
∠BCD900CD⊥BC
PDDCDPDDC面PCD
BC⊥面PCD
PC面PCDPC⊥BC
（2）（方法）分取ABPC中点EF连DEDF：
易证DE∥CBDE∥面PBC点DE面PBC距离相等
点A面PBC距离等E面PBC距离2倍
（1）知：BC⊥面PCD面PBC⊥面PCDPC
PDDCPFFCDF⊥PCDF⊥面PBCF
易知DF点A面PBC距离等
（方法二）体积法：连结AC设点A面PBC距离h
AB∥DC∠BCD900∠ABC900
AB2BC1面积
PD⊥面ABCDPD1三棱锥PABC体积
PD⊥面ABCDDC面ABCDPD⊥DC
PDDC1
PC⊥BCBC1面积
点A面PBC距离等
23(2010年高考北京市理科16)
图正方形ABCD四边形ACEF面互相垂直CE⊥ACEF∥ACABCEEF1
（Ⅰ）求证：AF∥面BDE
（Ⅱ）求证：CF⊥面BDE
（Ⅲ）求二面角ABED
证明：（I） 设ACBD交点G
EFAGEF1AGAC1
四边形AGEF行四边形
AF面EG
面BDEAF面BDE
AF面BDE
（II）正方形ABCD四边形ACEF面
相互垂直CEAC
CE面ABCD
图C原点建立空间直角坐标系C
C（000）A（0）B（00）
BDE
(III) （II）知面BDE法量
设面ABE法量
令
二面角锐角
二面角
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