立体专题 练题
1．图正方体中EF分D1C1B1C1中点
PQ分A1C1EFACBD交点
（1）求证：DBFE四点面
（2）A1C面DBFE交点R求证：PQR三点线
2．已知直线异面面行面行求证∥．
F
E
C
B
y
Z
x
G
D
A
3 图示面体底面长方体截面截中
图示建立空间直角坐标系．
①求点坐标
②求异面直线成角
③求点C截面距离．
4 图三棱锥P—ABC中 PC面ABCPCAC2ABBCDPB点CD面PAB．
(I) 求证：AB面PCB
(II) 求异面直线APBC成角
（III）求二面角CPAB余弦值．
5 图直二面角D—AB—E中四边形ABCD边长2正方形AEEBFCE点BF⊥面ACE
(1)求证AE⊥面BCE
(2)求二面角B—AC—E余弦值．
6 已知正三棱柱底面边长2点M侧棱
（Ⅰ）PAC中点MBB1中点求证BP面AMC1
（Ⅱ）AM面成角试求BM长
P
A
B
C
D
E
7 图底面矩形四棱锥P—ABCD中PA⊥底面ABCDPA＝AB＝1BC＝2．
（1）求证：面PDC⊥面PAD
（2）EPD中点求异面直线AE
PC成角余弦值
8 已知：正三棱柱ABC—A1B1C1中AB aAA1 2a D侧棱BB1中点求证：
（Ⅰ）求证：面ADC1⊥面ACC1A1
（Ⅱ）求面ADC1面ABC成二面角余弦值．
9 已知直四棱柱底面菱形
棱中点线段中点．
（Ⅰ）求证：直线面
（Ⅱ）求证：直线面
（Ⅲ）求面面成二面角
10 棱长1正方体PQ分棱ABCC1分点满足
（1）求证：A1P⊥面AQD
（2）求直线PQ面AQD成角正弦值
Q
P
D1 C1
A1 B1
D C
A B
11 图长方体ABCD－A1B1C1D1中 EF分线段B1D1A1B点D1E2EB1BF2FA1．
（1）求证EF∥AC1
（2）EF两异面直线B1D1A1B公垂线段求证该长方体正方体．
D1 C1
A1 B1
E
F
D C
A B
12 图正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中AA1AB点EM分A1BC1C中点点A1BM三点面A1BMN交C1D1点N
（Ⅰ）求证：EM∥面A1B1C1D1
（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1正切值
参考答案
1．（1）证明：EF分D1C1B1C1中点
四边形行四边形
EFDB四点面
（2）确定面
面PQR三点线
2．证明作面
∵∥⊂∴∥
∵⊄⊂∴∥∥
异面∴必相交∴∥
F
E
C
B
y
Z
x
G
D
A
3解（1）
（2）
（3）
4（I）证明：(I) ∵PC面ABC面ABC
∴PCAB
∵CD面PAB面PAB
∴CDAB．
∴AB面PCB．
（II）(I) AB面PCB∵PCAC2∵ABBC求BC．
B原点图建立坐标系．
Ａ（００）Ｂ（000）C（０0）P（０2）．
．+0+02．
．
∴异面直线APBC成角．
（III）设面PAB法量m (xyz)．
解
令 1 m (01)．
设面PAC法量n()．
解 令1 n (110)．
．
∴二面角CPAB余弦值
5 (1)证明面ACE
∵二面角D—AB—E直二面角
面ABE
（Ⅱ）线段AB中点原点OOE直线x轴
AB直线y轴O点行AD直线z轴建立
空间直角坐标系O—xyz图
面BCEBE面BCE
中点
设面AEC法量
解
令面AEC法量
面BAC法量
∴二面角B—AC—E余弦值
6（Ⅰ）证明：连AC1MC1
取AC1中点G连MG
PGBMPGBM
四边形PGMB行四边形BP MG
BP面AMC1
（II）建立图空间直角坐标系
设
点M坐标
面法量．
题意
7解：A原点AB直线x轴AD直线y轴
P
A
B
C
D
E
AP直线z轴建立空间直角坐标系A(000)
B(100)C(120)D(020)P(001)
E(01)．
∴＝(－100)＝(020)＝(001)
＝(01) ＝(12－1)
(1) 面PDC⊥面PAD．
(2)∵cos＝＝
∴求角余弦值．
8
解（Ⅰ）A点原点AA1z轴ABy轴A点AB垂直直线x轴图建立空间直角坐标系
A（000） B（0a0）C（）
D（0aa）C1（）
取AC1中点MM点坐标（aaa）
(0aa)
（0a0）
∴AC1⊥DMAC⊥DM
∴DM⊥面ACC1A1
DM面ADC1
∴面ADC1⊥面ACC1A1
（Ⅱ）设面ADC1法量（xyz）
·(xyz) 0 （0aa）·（xyz） 0
妨取 面ABC法量（002a）
面ABC面ADC1夹角
∴cos
9 解：设ACBDOMO分C1ACA中点
MOC1C直四棱柱知C1C⊥面ABCD
MO⊥面ABCD菱形ABCD中BD⊥AC
OBOCOM两两垂直O原点OB
OCOM直线分轴轴轴图
建立空间直角坐标系设|OB|1B（100）
B1（102）A（00）C（00）
C1（02）
（I）FM分B1BC1A中点知：F（101）
M（001）（100）
线MF∥OB
面ABCDOB面ABCD
∥面ABCD
（II）（100）（100）面（面ACC1A1）法量
面MF⊥面ACC1A1
（III）面ABCD法量
设法量
设面AFC1面ABCD成二面角
30° 面AFC1面ABCD成二面角30°
10 解（1）D原点DADCDD1直线分
xyz轴建立空间直角坐标系0－xyzD（000）A（100） B（110）
A1（101）C1（011）P（1）Q（01）
．
（2）设PQ面AQD成角θ
直线PQ面AQD成角正弦值
11 D C
A B
D1 C1
A1 B1
E
F
x
y
z
(1)图D原点DADCDD1直线x轴y轴z轴
建立空间直角坐标系设DAa DCbDD1c
E(a b c)F(a b c)A(a00)C1(0bc)
∵FEAC1线∴FE∥AC1
(2)∵D1(00c)B1(a b c) A1(a 0 c)B(a b0)
∴
∵EF两异面直线B1D1A1B公垂线段∴EF⊥B1D1EF⊥A1B
∴－a2＋b20b2－c20∴abc
∴该长方体正方体
12 （Ⅰ）建立图示空间直角坐标系设AB2aAA1a(a>0)
A1（2a0a）B（2a 2a 0） C（02a0）C1（02aa）
∵EA1B中点MCC1中点 ∴E（2a a ）M（02a ）
∴EM A1B1C1D1
（Ⅱ）设面A1BM法量（x y z ）
（02a －a ）
面A1B1C1D1法量设二面角
：二面角锐二面角
．
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1．图正方体中EF分D1C1B1C1中点
PQ分A1C1EFACBD交点
（1）求证：DBFE四点面
（2）A1C面DBFE交点R求证：PQR三点线
2．已知直线异面面行面行求证∥．
F
E
C
B
y
Z
x
G
D
A
3 图示面体底面长方体截面截中
图示建立空间直角坐标系．
①求点坐标
②求异面直线成角
③求点C截面距离．
4 图三棱锥P—ABC中 PC面ABCPCAC2ABBCDPB点CD面PAB．
(I) 求证：AB面PCB
(II) 求异面直线APBC成角
（III）求二面角CPAB余弦值．
5 图直二面角D—AB—E中四边形ABCD边长2正方形AEEBFCE点BF⊥面ACE
(1)求证AE⊥面BCE
(2)求二面角B—AC—E余弦值．
6 已知正三棱柱底面边长2点M侧棱
（Ⅰ）PAC中点MBB1中点求证BP面AMC1
（Ⅱ）AM面成角试求BM长
P
A
B
C
D
E
7 图底面矩形四棱锥P—ABCD中PA⊥底面ABCDPA＝AB＝1BC＝2．
（1）求证：面PDC⊥面PAD
（2）EPD中点求异面直线AE
PC成角余弦值
8 已知：正三棱柱ABC—A1B1C1中AB aAA1 2a D侧棱BB1中点求证：
（Ⅰ）求证：面ADC1⊥面ACC1A1
（Ⅱ）求面ADC1面ABC成二面角余弦值．
9 已知直四棱柱底面菱形
棱中点线段中点．
（Ⅰ）求证：直线面
（Ⅱ）求证：直线面
（Ⅲ）求面面成二面角
10 棱长1正方体PQ分棱ABCC1分点满足
（1）求证：A1P⊥面AQD
（2）求直线PQ面AQD成角正弦值
Q
P
D1 C1
A1 B1
D C
A B
11 图长方体ABCD－A1B1C1D1中 EF分线段B1D1A1B点D1E2EB1BF2FA1．
（1）求证EF∥AC1
（2）EF两异面直线B1D1A1B公垂线段求证该长方体正方体．
D1 C1
A1 B1
E
F
D C
A B
12 图正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中AA1AB点EM分A1BC1C中点点A1BM三点面A1BMN交C1D1点N
（Ⅰ）求证：EM∥面A1B1C1D1
（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1正切值
参考答案
1．（1）证明：EF分D1C1B1C1中点
四边形行四边形
EFDB四点面
（2）确定面
面PQR三点线
2．证明作面
∵∥⊂∴∥
∵⊄⊂∴∥∥
异面∴必相交∴∥
F
E
C
B
y
Z
x
G
D
A
3解（1）
（2）
（3）
4（I）证明：(I) ∵PC面ABC面ABC
∴PCAB
∵CD面PAB面PAB
∴CDAB．
∴AB面PCB．
（II）(I) AB面PCB∵PCAC2∵ABBC求BC．
B原点图建立坐标系．
Ａ（００）Ｂ（000）C（０0）P（０2）．
．+0+02．
．
∴异面直线APBC成角．
（III）设面PAB法量m (xyz)．
解
令 1 m (01)．
设面PAC法量n()．
解 令1 n (110)．
．
∴二面角CPAB余弦值
5 (1)证明面ACE
∵二面角D—AB—E直二面角
面ABE
（Ⅱ）线段AB中点原点OOE直线x轴
AB直线y轴O点行AD直线z轴建立
空间直角坐标系O—xyz图
面BCEBE面BCE
中点
设面AEC法量
解
令面AEC法量
面BAC法量
∴二面角B—AC—E余弦值
6（Ⅰ）证明：连AC1MC1
取AC1中点G连MG
PGBMPGBM
四边形PGMB行四边形BP MG
BP面AMC1
（II）建立图空间直角坐标系
设
点M坐标
面法量．
题意
7解：A原点AB直线x轴AD直线y轴
P
A
B
C
D
E
AP直线z轴建立空间直角坐标系A(000)
B(100)C(120)D(020)P(001)
E(01)．
∴＝(－100)＝(020)＝(001)
＝(01) ＝(12－1)
(1) 面PDC⊥面PAD．
(2)∵cos＝＝
∴求角余弦值．
8
解（Ⅰ）A点原点AA1z轴ABy轴A点AB垂直直线x轴图建立空间直角坐标系
A（000） B（0a0）C（）
D（0aa）C1（）
取AC1中点MM点坐标（aaa）
(0aa)
（0a0）
∴AC1⊥DMAC⊥DM
∴DM⊥面ACC1A1
DM面ADC1
∴面ADC1⊥面ACC1A1
（Ⅱ）设面ADC1法量（xyz）
·(xyz) 0 （0aa）·（xyz） 0
妨取 面ABC法量（002a）
面ABC面ADC1夹角
∴cos
9 解：设ACBDOMO分C1ACA中点
MOC1C直四棱柱知C1C⊥面ABCD
MO⊥面ABCD菱形ABCD中BD⊥AC
OBOCOM两两垂直O原点OB
OCOM直线分轴轴轴图
建立空间直角坐标系设|OB|1B（100）
B1（102）A（00）C（00）
C1（02）
（I）FM分B1BC1A中点知：F（101）
M（001）（100）
线MF∥OB
面ABCDOB面ABCD
∥面ABCD
（II）（100）（100）面（面ACC1A1）法量
面MF⊥面ACC1A1
（III）面ABCD法量
设法量
设面AFC1面ABCD成二面角
30° 面AFC1面ABCD成二面角30°
10 解（1）D原点DADCDD1直线分
xyz轴建立空间直角坐标系0－xyzD（000）A（100） B（110）
A1（101）C1（011）P（1）Q（01）
．
（2）设PQ面AQD成角θ
直线PQ面AQD成角正弦值
11 D C
A B
D1 C1
A1 B1
E
F
x
y
z
(1)图D原点DADCDD1直线x轴y轴z轴
建立空间直角坐标系设DAa DCbDD1c
E(a b c)F(a b c)A(a00)C1(0bc)
∵FEAC1线∴FE∥AC1
(2)∵D1(00c)B1(a b c) A1(a 0 c)B(a b0)
∴
∵EF两异面直线B1D1A1B公垂线段∴EF⊥B1D1EF⊥A1B
∴－a2＋b20b2－c20∴abc
∴该长方体正方体
12 （Ⅰ）建立图示空间直角坐标系设AB2aAA1a(a>0)
A1（2a0a）B（2a 2a 0） C（02a0）C1（02aa）
∵EA1B中点MCC1中点 ∴E（2a a ）M（02a ）
∴EM A1B1C1D1
（Ⅱ）设面A1BM法量（x y z ）
（02a －a ）
面A1B1C1D1法量设二面角
：二面角锐二面角
．
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