2010年高考数学试题分类汇编——立体
（2010浙江理数）（6）设两条直线面列命题正确
（A） （B）
（C） （D）
解析：选B选项进行逐检查题考察立体中线面间位置关系中公理判定定理蕴含定理公理综合运力考察属中档题
（2010全国卷2理数）（11）正方体三条棱直线距离相等点
（A）1 （B）2
（C）3 （D）数
答案D
解析直线取点分作垂直分作垂足分MNQ连PMPNPQ三垂线定理PN⊥PM⊥PQ⊥AB正方体中表面等角全等∴PMPNPQP三条棱ABCC1A1D1直线距离相等穷点满足条件选D
（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥中该棱锥体积时高
（A）1 （B） （C）2 （D）3
答案C
命题意图试题考察椎体体积考察告辞函数值问题
解析设底面边长a高体积
设y取值时解a0a4时体积时选C
（2010陕西文数） 8某空间体三视图图示该体体积 [B]
（A）2 （B）1
（C） （D）
解析：题考查立体图形三视图体积公式
图该立体图形直三棱柱
体积
（2010辽宁文数）（11）已知球表面点球表面积等
（A）4 （B）3 （C）2 （D）
解析：选A已知球直径表面积
（2010辽宁理数）(12) (12)四根长2直铁条选两根长a直铁条六根铁条端点处相连够焊接成三棱锥形铁架a取值范围
(A)（0） (B)（1）
(C) (） (D) （0）
答案A
命题立意题考查学生空间想象力灵活运知识解决数学问题力
解析根条件四根长2直铁条两根长a直铁条组成三棱镜形铁架两种情况：（1）面边长2正三角形三条侧棱长2aa图时a取值知ADSD<2+a<
(2)构成三棱锥两条角线长a边长2图示时a>0
综分析知a∈（0）
（2010全国卷2文数）（11）正方体ABCD—A1B1C1D1三条棱ABCC1A1D1直线距离相等点
（A）1 （B）2
（C）3 （D）数
解析D：题考查空间想象力
∵三条两垂直直线距离相等点三条直线轴正方体边长半径圆柱面∴三圆柱面数交点
（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥中底面边长等2等边三角形垂直底面3直线面成角正弦值
（A） (B)
(C) (D)
解析D：题考查立体线面面面位置关系直线面成角
A
B
C
S
E
F
A作AE垂直BC交BCE连结SEA作AF垂直SE交SEF连BF∵正三角形ABC∴ EBC中点∵ BC⊥AESA⊥BC∴ BC⊥面SAE∴ BC⊥AFAF⊥SE∴ AF⊥面SBC∵∠ABF直线AB面SBC成角正三角形边长3∴ AS3∴ SEAF∴
（2010江西理数）10正方体顶点A作直线LL棱成角相等样直线L作
A1条 B2条 C3条 D4条
答案D
解析考查空间感线线夹角计算判断重点考查学生分类划转化力第类：通点A位三条棱间直线条体角线AC1第二类：图形外部条棱外角2条棱夹角相等3条合计4条
（2010安徽文数）（9）体三视图图该体表面积
（A）372 （B）360
（C）292 （D）280
9B
解析该体两长方体组合成表面积等面长方体全面积加面长方体4侧面积
方法技巧三视图转化直观图解决问题关键三视图容易知道两长方体组合体画出直观图出棱长度体表面积转化面长方体全面积加面长方体4侧面积
（2010重庆文数）（9）两互相垂直异面直线距离相等点
（A）1 （B）恰3
（C）恰4 （D）穷
解析：放正方体中研究显然线段EFFGGH
HE中点两垂直异面直线ABCD距离相等
排ABC选D
四条侧棱找四点两垂直异面直线ABCD距离相等
（2010浙江文数）
（8）某体三视图（单位：cm）图示体体积
（A）cm3 （B）cm3
（C）cm3 （D）cm3
解析：选B题考察三视图表达示空间体识体体积计算属容易题
（2010山东文数）(4)空间列命题正确
A行直线行投影重合
B行直线两面行
C垂直面两面行
D垂直面两条直线行
答案：D
（2010北京文数）（8）图正方体棱长2
动点EF棱点QCD中点动点
P棱ADEF1DPxEy(xy零)
三棱锥PEFQ体积：
（A）xy关 （B）xy关
（C）x关y关 （D）y关x关
答案：C
（2010北京理数）(8)图正方体ABCD棱长2动点EF棱动点PQ分棱ADCDEF1ExDQyDＰ＝ｚ（ｘｙｚ零）四面体PEＦＱ体积
（Ａ）ｘｙｚ关
（Ｂ）ｘ关ｙｚ关
（Ｃ）ｙ关ｘｚ关
（Ｄ）ｚ关ｘｙ关
答案：D
（2010北京理数）（3）长方体掉长方体体正（）视图侧（左）视图分右图示该体俯视图
答案：C
（2010广东理数）6图1△ ABC三角形 ⊥面ABC 3 AB面体△ABC 正视图（称视图）
6．D．
（2010福建文数）3．底面正三角形三棱柱正视图图示侧面积等 ( )
A． B．2 C． D．6
答案D
解析正视图知：三棱柱底面边长2高1正三棱柱底面积
侧面积选D．
命题意图题考查立体中三视图考查学识图力空间想象力等基力
（2010全国卷1文数）（12）已知半径2球面ABCD四点ABCD2四面体ABCD体积值
(A) (B) (C) (D)
12B命题意图题考查体体积计算球性质异面直线距离通球载体考查考生空间想象力推理运算力
解析CD作面PCDAB⊥面PCD交ABP设点PCD距离直径通ABCD中点时
（2010全国卷1文数）（9）正方体中面成角余弦值
（A） （B） （C） （D）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
9D 命题意图题考查正方体性质直线面成角点面距离求法利等体积转化求出D面AC距离解决题关键转化思想具体体现
解析1BB1DD1B面AC成角DD1面AC成角相等设DO⊥面AC等体积法设DD1a
记DD1面AC成角
解析2设底面中心分面AC成角B面AC成角
（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱中异面直线
成角等
(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
6C命题意图题考查直三棱柱性质异面直线成角异面直线成角求法
解析延长CAD行四边形异面直线
成角三角形等边三角形
（2010全国卷1理数）（12）已知半径2球面ABCD四点ABCD2四面体ABCD体积值
(A) (B) (C) (D)
（2010全国卷1理数）（7）正方体ABCD中B面AC成角余弦值
（A） （B） （C） （D）
（2010四川文数）（12）半径球直径垂直面垂足面边长正三角形线段分球面交点两点间球面距离
（A） （B）
（C） （D）
解析：已知AB＝2RBC＝Rtan∠BAC＝
cos∠BAC＝
连结OM△OAM等腰三角形
AM＝2AOcos∠BAC＝理AN＝MN∥CD
AC＝RCD＝R
MN：CD＝ANAC
Þ MN＝
连结OMONOM＝ON＝R
cos∠MON＝
MN两点间球面距离
答案：A
（2010湖北文数）4表示三条直线表示面出列命题：
①∥∥∥②⊥⊥⊥
③∥∥∥④⊥⊥∥
A ①② B ②③ C ①④ D③④
（2010山东理数）(3)空间列命题正确
（A）行直线行投影重合
（B）行直线两面行
（C）垂直面两面行
（D）垂直面两条直线行
答案D
解析空间直线面位置关系线面垂直行判定性质定理出答案
命题意图考查空间直线面位置关系线面垂直行判定性质属基础题
（2010福建理数）
∥∥∥选项AC正确面
∥面面 选项B正确选D
命题意图题考查空间中直线面行垂直判定性质考查学空间想象力逻辑推理力
2010年高考数学试题分类汇编——立体
（2010海文数）6已知四棱椎底面边长6 正方形侧棱底面该四棱椎体积 96
解析：考查棱锥体积公式
（2010湖南文数）13图2中三直角三角形体积20cm2体三视图h 4 cm
（2010浙江理数）（12）某体三视图（单位：cm）图示体体积___________
解析：图四棱台长方体组合体三视图卷中公式计算体积144题考察三视图表达示空间体识体体积计算属容易题
（2010辽宁文数）（16）图网格纸正方形边长1粗线画
出某面体三视图面体长条棱
长
解析：填画出直观图：图中四棱锥
长条棱长
（2010江西理数）16图三棱锥中三条棱两两垂直>>分三条棱作截面分三棱锥体积截面面积次关系
答案
解析考查立体图形空间感数学知识运力通补形助长方体验证结特殊化令边长123
（2010北京文数）（14）图放置边长1正方形PABCx轴滚动
设顶点p（xy）坐标横坐标函数关系
正周期
两相邻零点间图x轴
围区域面积
说明：正方形PABCx轴滚动包含x轴正方x轴负方滚动x轴正方滚动指顶点A中心时针旋转顶点B落x轴时顶点B中心时针旋转继续类似正方形PABC着x轴负方滚动
答案：4
（2010北京理数）（14）图放置边长1正方形PABCx轴滚动
设顶点p（xy）轨迹方程正周期 两相邻零点间图x轴围区域面积
说明：正方形PABC轴滚动包括轴正方轴负方滚动轴正方滚动指先顶点A中心时针旋转顶点B落轴时顶点B中心时针旋转继续类似正方形PABC轴负方滚动
答案：4
（2010四川理数）（15）图二面角60°线段
成角30°面成角正弦值
解析：点A作面β垂线垂足CβC作l垂线垂足D
连结AD三垂线定理知AD⊥l
C
D
∠ADC二面角面角60°
已知∠ABD＝30°
连结CB∠ABC面成角
设AD＝2AC＝CD＝1
AB＝＝4
∴sin∠ABC＝答案：
（2010天津文数）（12）体三视图图示体体积
答案3
解析题考查三视图基础知识题体积计算属容易题
俯视图知该体底面直角梯形正视图俯视图知该体高1结合三试图知该体底面直角梯形直四棱柱该题体积
温馨提示正视图侧视图高体高俯视图确定体底面形状题体作底面长3宽2高1长方体半
（2010天津理数）（12）体三视图图示体体积
答案
解析题考查三视图概念柱体椎体体积计算属容易题
三视图知该体底面边长1高2正四棱柱底面边长2高1正四棱锥组成组合体正巳灵珠体积2正四棱锥体积该体体积V2+
温馨提示利俯视图出体底面形状结合正视图侧视图便体形状求锥体体积时丢掉哦
（2010湖北文数）14圆柱形容器盛高度3cm水放入三相珠（球半圆柱底面半径相）水恰淹没面球（图示）球半径____cm
答案4
解析设球半径r解r4
（2010湖南理数）13．图3中三直角三角形体积20体三视图 ．
解析设球半径r解r4
（2010福建理数）
12．底面正三角形三棱柱正视图图示表面积等 ．
答案
解析正视图知：三棱柱底面边长2高1正三棱柱底面积
侧面积表面积
命题意图题考查立体中三视图考查学识图力空间想象力等基力
2010年高考数学试题分类汇编——立体
（2010海文数）20（题满分14分）
图示制作圆柱形灯笼先制作4全等矩形骨架总计耗96米铁丝方米塑料片制成圆柱侧面底面（安装底面）
(1)圆柱底面半径取值时取值？求出该
值（结果精确001方米）
(2)制作图放置底面半径03米灯笼请作出
灯笼三视图（作图时需考虑骨架等素）
解析：(1) 设圆柱形灯笼母线长ll122r(0r04时S取值约151方米
(2) r03时l06作三视图略．
（2010湖南文数）18（题满分12分）
图示长方体中ABAD1AA12M棱CC1中点
（Ⅰ）求异面直线A1MC1D1成角正切值
（Ⅱ）证明：面ABM⊥面A1B1M1
（2010浙江理数）（20）（题满分15分）图 矩形中点分线段直线 翻折成面
（Ⅰ）求二面角余弦值
（Ⅱ）点分线段直线四边形翻折重合求线段长
解析：题考察空间点线面位置关系二面角等基础知识空间量应事考查空间想象力运算求解力
（Ⅰ）解：取线段EF中点H连结HEF中点
面面
图建立空间直角坐标系Axyz
（22）C（1080）
F（400）D（1000）
（222）（600）
设（xyz）面法量
2x+2y+2z0
6x0
取
面法量
二面角余弦值
（Ⅱ）解：设
翻折重合
检验时点线段
方法二：
（Ⅰ）解：取线段中点中点连结
中点
面面
面
面
中点
易知∥
面
二面角面角
中2
二面角余弦值
（Ⅱ）解：设
翻折重合
检验时点线段
（2010全国卷2理数）（19）图直三棱柱中中点
点．
（Ⅰ）证明：异面直线公垂线
（Ⅱ）设异面直线夹角45°求二面角．
命题意图试题考查空间线面关系空间角求解考查考生空间想象推理计算力
参考答案
(19)解法：
（I）连接A1B记A1BAB1交点F
面AA1BB1正方形A1B⊥AB1AFFB1AE3EB1FEEB1DBB1中点DE∥BFDE⊥AB1 ………………3分
作CG⊥ABG垂足ACBC知GAB中点
底面ABC⊥面AA1B1B连接DGDG∥AB1DE⊥DG三垂线定理DE⊥CD
DE异面直线AB1CD公垂线
（II）DG∥AB 1∠CDG异面直线AB 1CD夹角∠CDG45°
设AB2AB1DGCGAC
作B1H⊥A1C1H垂足底面A1B1C1⊥面AA1CC1B1H⊥面AA1C1C作HK⊥AC1K垂足连接B1K三垂线定理B1K⊥AC1∠B1KH二面角A1AC1B1面角
点评三垂线定理立体重定理高考热点处理线线垂直问题效方法时确定二面角面角手段通引入空间量量代数形式处理立体问题淡化传统中形形推理方法降低思维难度解题变程序化量解立体问题独处
（2010陕西文数）18(题满分12分)
图四棱锥P—ABCD中底面ABCD矩形PA⊥面ABCDAPABBPBC2EF分PBPC中点
(Ⅰ)证明：EF∥面PAD
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC体积V
解 (Ⅰ)△PBC中EF分PBPC中点∴EF∥BC
BC∥AD∴EF∥AD
∵AD面PADEF面PAD
∴EF∥面PAD
(Ⅱ)连接AEACECE作EG∥PA交AB点G
BG⊥面ABCDEGPA
△PAB中ADABPAB°BP2∴APABEG
∴S△ABCAB·BC××2
∴VEABCS△ABC·EG××
（2010辽宁文数）（19）（题满分12分）
图棱柱侧面菱形
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）设点面求值
解：（Ⅰ）侧面BCC1B1菱形
已知
面A1BC1面AB1C
面面A1BC1
（Ⅱ）设BC1交B1C点E连结DE
DE面A1BC1面B1CD交线
A1B面B1CDA1BDE
EBC1中点DA1C1中点
A1D：DC11
（2010辽宁理数）（19）（题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中PA⊥ABCAB⊥ACPAAC½ABNAB点AB4ANMS分PBBC中点
（Ⅰ）证明：CM⊥SN
（Ⅱ）求SN面CMN成角
证明：
设PA1A原点射线ABACAP分xyz轴正建立空间直角坐标系图
P（001）C（010）B（200）M（10）N（00）S（10）……4分
（Ⅰ）
CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）
设a（xyz）面CMN法量
……9分
SN片面CMN成角45° ……12分
（2010全国卷2文数）（19）（题满分12分）
图直三棱柱ABCABC 中ACBC AAABDBB中点EAB点AE3 EB
（Ⅰ）证明：DE异面直线ABCD公垂线
（Ⅱ）设异面直线ABCD夹角45°求二面角AACB
解析题考查立体中直线面面面异面直线成角二面角基础知识
（1）证明DEAB1CD公垂线证明DE垂直AE3EB1DEBA1行A1ABB1正方形证证明CDDE垂直取AB中点F连结DFFC证明DE面CFD垂直证明DECD垂直
（2）条件异面直线AB1CD成角找出FDC设出AB连长求出求出边长作出二面角面角根求边长通解三角形求
（2010江西理数）20 （题满分12分）
图△BCD△MCD边长2正三角形面MCD面BCDAB面BCD
（1） 求点A面MBC距离
（2） 求面ACM面BCD成二面角正弦值
解析题图形拼折载体考查考查立体图形空间感点直线距离二面角空间量二面角面角判断关知识时考查空间想象力推理力
解法：（1）取CD中点O连OBOMOB⊥CD
OM⊥CD面面MO⊥面MO∥ABABOM面延长AMBO相交E∠AEBAM面BCD成角OBMOMO∥ABMO面ABCMO面ABC距离相等作OH
BCH连MHMHBC求：
OHOCsin600MH利体积相等：
（2）CE面面交线
（1）知OBE中点BCED菱形
作BF⊥ECF连AFAF⊥EC∠AFB二面角AECB面角设
∠BCE120°∠BCF60°
求二面角正弦值
点评传统方法处理时注意辅助线处理般采射影垂线行线等特殊位置元素解决
解法二：取CD中点O连OBOMOB⊥CDOM⊥CD面面MO⊥面
O原点直线OCBOOMx轴y轴z轴建立空间直角坐标系图
OBOM点坐标分O（000）C（100）M（00）B（00）A（02）
（1）设面MBC法量
取距离
（2）
设面ACM法量解取面BCD法量
设求二面角
点评量方法作沟通代数工具考察中越越常见类方法点建立恰坐标系便计算位置关系明确计算代分析起简化作计算必须慎慎
（2010安徽文数）19(题满分13分)
图面体ABCDEF中四边形ABCD正方形AB2EF2EF∥ABEF⊥FB∠BFC90°BFFCHBC中点
(Ⅰ)求证：FH∥面EDB
（Ⅱ）求证：AC⊥面EDB
（Ⅲ）求四面体B—DEF体积
命题意图题考查空间线面行线面垂直面面垂直判断证明考查体积计算等基础知识时考查空间想象力推理证力运算力
解题指导（1）设底面角线交点G通证明EG∥FH∥面（2）利线线线面行垂直关系证明FH⊥面ABCDFH⊥BCFH⊥AC进EG⊥AC面（3）证明BF⊥面CDEFBF四面体BDEF高进求体积
规律总结题典型空间问题图形规空间体求结线面行垂直体积考查行关系判断性质解决类问题通常利线线行证明线面行利线线垂直证明线面垂直通求高底面积求四面体体积
（2010重庆文数）（20）（题满分12分（Ⅰ）问5分（Ⅱ）问7分 ）
题（20）图四棱锥中底面矩形底面点棱中点
（Ⅰ）证明：面
（Ⅱ）求二面角面角余弦值
（2010浙江文数）（20）（题满分14分）图行四边形ABCD中AB2BC∠ABC120°E线段AB中点△ADE直线DE翻折成△A’DE面A’DE⊥面BCDF线段A’C中点
（Ⅰ）求证：BF∥面A’DE
（Ⅱ）设M线段DE中点求直线FM面A’DE成角余弦值
（2010重庆理数）（19）（题满分12分（I）问5分（II）问7分）
题（19）图四棱锥PABCD中底面ABCD矩形PA底面ABCDPAAB点E棱PB中点
（I） 求直线AD面PBC距离
（II） AD求二面角AECD面角余弦值
（2010山东文数）（20）（题满分12分）
图示体中四边形正方形
面分中点
（I）求证：面面
（II）求三棱锥四棱锥体积
（2010北京文数）（17）（题13分）
图正方形ABCD四边形ACEF面互相垂直
EFACABCEEF1
（Ⅰ）求证：AF面BDE
（Ⅱ）求证：CF⊥面BDF
证明：（Ⅰ）设ACBD交点GEF∥AGEF1AGAG1
四边形AGEF行四边形
AF∥EG
EG面BDEAF面BDE
AF∥面BDE
（Ⅱ）连接FGEF∥CGEFCG1CE1行四边形CEFG菱形CF⊥EG
四边形ABCD正方形BD⊥AC面ACEF⊥面ABCD面ACEF∩面ABCDACBD⊥面ACEFCF⊥BDBD∩EGGCF⊥面BDE
（2010北京文数）(18) （题14分）
设定函数方程两根分14
（Ⅰ）a3曲线原点时求解析式
（Ⅱ）极值点求a取值范围
解：
两根分14 （*）
（Ⅰ）时（*）式
解
曲线原点
（Ⅱ）a>0（∞+∞）极值点等价（∞+∞）恒成立
（*）式
解
取值范围
（2010北京理数）（16）（题14分）
图正方形ABCD四边形ACEF面互相垂直
CE⊥ACEF∥ACABCEEF1
（Ⅰ）求证：AF∥面BDE
（Ⅱ）求证：CF⊥面BDE
（Ⅲ）求二面角ABED
证明：（I） 设ACBD交点G
EFAGEF1AGAC1
四边形AGEF行四边形
AF面EG
面BDEAF面BDE
AF面BDE
（II）正方形ABCD四边形ACEF面
相互垂直CEAC
CE面ABCD
图C原点建立空间直角坐标系C
C（000）A（0）B（00）
BDE
(III) （II）知面BDE法量
设面ABE法量
令
二面角锐角
二面角
（2010四川理数）（18）（题满分12分）
已知正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇棱长1点M棱AA＇中点点O角线BD＇中点
（Ⅰ）求证：OM异面直线AA＇BD＇公垂线
（Ⅱ）求二面角M－BC＇－B＇
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC体积
题考查异面直线直线面垂直二面角正方体三棱锥体积等基础知识考查空间想象力逻辑推理力考查应量知识解决数学问题力
解法：（1）连结AC取AC中点KKBD中点连结OK
M棱AA’中点点OBD’中点
AM
MO
AA’⊥AKMO⊥AA’
AK⊥BDAK⊥BB’AK⊥面BDD’B’
AK⊥BD’
MO⊥BD’
OM异面直线AA’BD’相交
OM异面直线AA＇BD＇公垂线
（2）取BB’中点N连结MNMN⊥面BCC’B’
点N作NH⊥BC’H连结MH
三垂线定理BC’⊥MH
∠MHN二面角MBC’B’面角
MN1NHBnsin45°
Rt△MNH中tan∠MHN
二面角MBC’B’arctan2
(3)易知S△OBCS△OA’D’△OBC△OA’D’面BCD’A’
点O面MA’D’距离h＝
VMOBCVMOA’D’VOMA’D’S△MA’D’h
解法二：
点D坐标原点建立图示空间直角坐标系Dxyz
A(100)B(110)C(010)A’(101)C’(011)D’(001)
(1)点M棱AA’中点点OBD’中点
M(10 )O()
(001)(111)
0 +00
OM⊥AA’OM⊥BD’
OM异面直线AA’BD’相交
OM异面直线AA＇BD＇公垂线………………………………4分
(2)设面BMC＇法量(xyz)
(01) ＝(－101)
取z＝2x＝2y＝1(212)
取面BC＇B＇法量＝(010)
cos
图知二面角MBC＇B＇面角锐角
二面角MBC＇B＇arccos………………………………………………9分
(3)易知S△OBC＝S△BCD＇A＇＝
设面OBC法量＝(x1y1z1)
＝(－1－11) ＝(－100)
取z1＝1y1＝1＝(011)
点M面OBC距离d＝
VM－OBC＝…………………………………………12分
（2010天津文数）（19）（题满分12分）
图五面体ABCDEF中四边形ADEF正方形FA⊥面ABCDBC∥ADCD1AD∠BAD＝∠CDA＝45°
（Ⅰ）求异面直线CEAF成角余弦值
（Ⅱ）证明CD⊥面ABF
（Ⅲ）求二面角BEFA正切值
解析题考查异面直线成角直线面垂直二面角等基础知识考查空间想象力运算力推理证力满分12分
(I)解：四边形ADEF正方形FAED异面直线CEAF成角
FA面ABCDFACDEDCD
Rt△CDE中CD1EDCE3cos
异面直线CEAF成角余弦值
(Ⅱ)证明：点B作BGCD交AD点GBGABCDABCDFAFAABACD面ABF
(Ⅲ)解：（Ⅱ）已知AGGAD中点取EF中点N连接GNGNEFBCADBCEF点N作NMEF交BCM二面角BEFA面角
连接GMAD面GNMADGMBCGM已知GMNGFAFAGMNGGM
Rt△NGM中tan
二面角BEFA正切值
（2010天津理数）（19）（题满分12分）
图长方体中分棱
点
（1） 求异面直线成角余弦值
（2） 证明面
（3） 求二面角正弦值
解析题考查异面直线成角直线面垂直二面角等基础知识考查空间量解决立体问题方法考查空间想象力运算力推理证力满分12分
方法：图示建立空间直角坐标系
点A坐标原点设题意
（1） 解：易
异面直线成角余弦值
（2） 证明：已知
·0·0
面
(3)解：设面法量
妨令X1（2）知面法量
二面角正弦值
方法二：（1）解：设AB1AD2AA14CF1CE
链接B1CBC1设B1CBC1交点M易知A1D∥B1C知EF∥BC1异面直线EFA1D成角易知BMCM 异面直线FEA1D成角余弦值
（2）证明：连接AC设ACDE交点N AC⊥DECC1⊥DEDE⊥面ACFAF⊥DE
连接BF理证B1C⊥面ABFAF⊥B1CAF⊥A1DAF⊥面A1ED
(3)解：连接A1NFN（2）知DE⊥面ACFNF面ACF A1N面ACFDE⊥NFDE⊥A1N二面角A1EDF面角
易知
连接A1C1A1F
二面角A1DEF正弦值
（2010广东理数）18（题满分14分）
图5半径a半圆AC直径点E中点点B点C线段AD三等分点．面AEC外点F满足FEa ．
（1）证明：EB⊥FD
图5
（2）已知点QR分线段FEFB点求面面成二面角正弦值．
（2）设面面RQD交线
BQFEFRFB知
面∴面
面面
∴
（1）知面∴面
面 面
∴
∴面面成二面角面角．
中
．
．
面面成二面角正弦值．
（2010广东文数）18（题满分14分）
图4弧AEC半径半圆AC直径点E弧AC中点点B点C线段AD三等分点面AEC外点F满足FC面BEDFB
（1）证明：EBFD
（2）求点B面FED距离
（1）证明：点E弧AC中点
（2010福建文数）20． （题满分12分）
图长方体ABCD – A1B1C1D1中EH分棱A1B1D1C1点（点EB1重合）EHA1D1EH面棱BB1CC1相交交点分FG
（I）证明：AD面EFGH
（II）设AB2AA12a长方体ABCDA1B1C1D1机选取点记该点取体A1ABFE – D1DCGH概率p点EF分棱A1B1 B1B运动满足EFa时求p值
（2010全国卷1理数）（19）（题满分12分）
图四棱锥SABCD中SD底面ABCDABDCADDCABAD1DCSD2E棱SB点面EDC面SBC
（Ⅰ）证明：SE2EB
（Ⅱ）求二面角ADEC
（2010四川文数）（18）（题满分12分）
正方体ABCD－A′B′C′D′中点M棱AA′中点点O角线BD′中点
（Ⅰ）求证：OM异面直线AA′BD′公垂线
（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′
（2010湖北文数）18（题满分12分）
图四面体ABOC中OC⊥OAOC⊥OB∠AOB120°OAOBOC1
（Ⅰ）设PAC中点QABAB3AQ证明：PQ⊥OA
（Ⅱ）求二面角OACB面角余弦值
（2010山东理数）（19）（题满分12分）
图五棱锥P—ABCDE中PA⊥面ABCDEAB∥CDAC∥EDAE∥BC ABC45°AB2BC2AE4三角形PAB等腰三角形．
（Ⅰ）求证：面PCD⊥面PAC
（Ⅱ）求直线PB面PCD成角
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE体积．
解析（Ⅰ）证明：ABC45°AB2BC4中余弦定理：解
PA⊥面ABCDEPA⊥
PAAB∥CD
面PCD⊥面PAC
（Ⅱ）（Ⅰ）知面PCD⊥面PAC面PAC点A作H
AB∥CDAB面AB行面点A面距离等点B面距离点B作BO⊥面点O求角容易求直线PB面PCD成角
（Ⅲ）（Ⅰ）知AC∥ED四边形ACDE直角梯形容易求AC四边形ACDE面积四棱锥P—ACDE体积
（2010湖南理数）
（2010湖北理数）18． (题满分12分)
图 四面体ABOC中
（Ⅰ）设中点 证明： 存点计算值
（Ⅱ）求二面角面角余弦值
（2010福建理数）
概率
（i）点C圆周运动时求值
（ii）记面面成角取值时求值
命题意图题考查直线直线直线面面面位置关系体体积概型等基础知识考查空间想象力运算求解力推理证力考查数形结合思想化转化思想必然然思想
解析（Ⅰ）面ABC面ABC
AB圆O直径面
面面面
（Ⅱ）（i）设圆柱底面半径AB三棱柱体积
仅时等号成立
圆柱体积
仅时等号成立
值
（ii）（i）知取值时O坐标原点建立空间直角坐标系
（图）C（r00）B（0r0）（0r2r）
面面法量
设面法量
取面法量
（2010安徽理数）18（题满分12分）
图面体中四边形正方形∥中点
(Ⅰ)求证：∥面
(Ⅱ)求证：面
(Ⅲ)求二面角
（2010江苏卷）16（题满分14分）
图四棱锥PABCD中PD⊥面ABCDPDDCBC1AB2AB∥DC∠BCD900
(1) 求证：PC⊥BC
(2) 求点A面PBC距离
[解析] 题考查直线面面面位置关系考查体体积考查空间想象力推理证力运算力满分14分
（1）证明：PD⊥面ABCDBC面ABCDPD⊥BC
∠BCD900CD⊥BC
PDDCDPDDC面PCD
BC⊥面PCD
PC面PCDPC⊥BC
（2）（方法）分取ABPC中点EF连DEDF：
易证DE∥CBDE∥面PBC点DE面PBC距离相等
点A面PBC距离等E面PBC距离2倍
（1）知：BC⊥面PCD面PBC⊥面PCDPC
PDDCPFFCDF⊥PCDF⊥面PBCF
易知DF点A面PBC距离等
（方法二）体积法：连结AC设点A面PBC距离h
AB∥DC∠BCD900∠ABC900
AB2BC1面积
PD⊥面ABCDPD1三棱锥PABC体积
PD⊥面ABCDDC面ABCDPD⊥DC
PDDC1
PC⊥BCBC1面积
点A面PBC距离等
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（2010浙江理数）（6）设两条直线面列命题正确
（A） （B）
（C） （D）
解析：选B选项进行逐检查题考察立体中线面间位置关系中公理判定定理蕴含定理公理综合运力考察属中档题
（2010全国卷2理数）（11）正方体三条棱直线距离相等点
（A）1 （B）2
（C）3 （D）数
答案D
解析直线取点分作垂直分作垂足分MNQ连PMPNPQ三垂线定理PN⊥PM⊥PQ⊥AB正方体中表面等角全等∴PMPNPQP三条棱ABCC1A1D1直线距离相等穷点满足条件选D
（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥中该棱锥体积时高
（A）1 （B） （C）2 （D）3
答案C
命题意图试题考察椎体体积考察告辞函数值问题
解析设底面边长a高体积
设y取值时解a0a4时体积时选C
（2010陕西文数） 8某空间体三视图图示该体体积 [B]
（A）2 （B）1
（C） （D）
解析：题考查立体图形三视图体积公式
图该立体图形直三棱柱
体积
（2010辽宁文数）（11）已知球表面点球表面积等
（A）4 （B）3 （C）2 （D）
解析：选A已知球直径表面积
（2010辽宁理数）(12) (12)四根长2直铁条选两根长a直铁条六根铁条端点处相连够焊接成三棱锥形铁架a取值范围
(A)（0） (B)（1）
(C) (） (D) （0）
答案A
命题立意题考查学生空间想象力灵活运知识解决数学问题力
解析根条件四根长2直铁条两根长a直铁条组成三棱镜形铁架两种情况：（1）面边长2正三角形三条侧棱长2aa图时a取值知ADSD<2+a<
(2)构成三棱锥两条角线长a边长2图示时a>0
综分析知a∈（0）
（2010全国卷2文数）（11）正方体ABCD—A1B1C1D1三条棱ABCC1A1D1直线距离相等点
（A）1 （B）2
（C）3 （D）数
解析D：题考查空间想象力
∵三条两垂直直线距离相等点三条直线轴正方体边长半径圆柱面∴三圆柱面数交点
（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥中底面边长等2等边三角形垂直底面3直线面成角正弦值
（A） (B)
(C) (D)
解析D：题考查立体线面面面位置关系直线面成角
A
B
C
S
E
F
A作AE垂直BC交BCE连结SEA作AF垂直SE交SEF连BF∵正三角形ABC∴ EBC中点∵ BC⊥AESA⊥BC∴ BC⊥面SAE∴ BC⊥AFAF⊥SE∴ AF⊥面SBC∵∠ABF直线AB面SBC成角正三角形边长3∴ AS3∴ SEAF∴
（2010江西理数）10正方体顶点A作直线LL棱成角相等样直线L作
A1条 B2条 C3条 D4条
答案D
解析考查空间感线线夹角计算判断重点考查学生分类划转化力第类：通点A位三条棱间直线条体角线AC1第二类：图形外部条棱外角2条棱夹角相等3条合计4条
（2010安徽文数）（9）体三视图图该体表面积
（A）372 （B）360
（C）292 （D）280
9B
解析该体两长方体组合成表面积等面长方体全面积加面长方体4侧面积
方法技巧三视图转化直观图解决问题关键三视图容易知道两长方体组合体画出直观图出棱长度体表面积转化面长方体全面积加面长方体4侧面积
（2010重庆文数）（9）两互相垂直异面直线距离相等点
（A）1 （B）恰3
（C）恰4 （D）穷
解析：放正方体中研究显然线段EFFGGH
HE中点两垂直异面直线ABCD距离相等
排ABC选D
四条侧棱找四点两垂直异面直线ABCD距离相等
（2010浙江文数）
（8）某体三视图（单位：cm）图示体体积
（A）cm3 （B）cm3
（C）cm3 （D）cm3
解析：选B题考察三视图表达示空间体识体体积计算属容易题
（2010山东文数）(4)空间列命题正确
A行直线行投影重合
B行直线两面行
C垂直面两面行
D垂直面两条直线行
答案：D
（2010北京文数）（8）图正方体棱长2
动点EF棱点QCD中点动点
P棱ADEF1DPxEy(xy零)
三棱锥PEFQ体积：
（A）xy关 （B）xy关
（C）x关y关 （D）y关x关
答案：C
（2010北京理数）(8)图正方体ABCD棱长2动点EF棱动点PQ分棱ADCDEF1ExDQyDＰ＝ｚ（ｘｙｚ零）四面体PEＦＱ体积
（Ａ）ｘｙｚ关
（Ｂ）ｘ关ｙｚ关
（Ｃ）ｙ关ｘｚ关
（Ｄ）ｚ关ｘｙ关
答案：D
（2010北京理数）（3）长方体掉长方体体正（）视图侧（左）视图分右图示该体俯视图
答案：C
（2010广东理数）6图1△ ABC三角形 ⊥面ABC 3 AB面体△ABC 正视图（称视图）
6．D．
（2010福建文数）3．底面正三角形三棱柱正视图图示侧面积等 ( )
A． B．2 C． D．6
答案D
解析正视图知：三棱柱底面边长2高1正三棱柱底面积
侧面积选D．
命题意图题考查立体中三视图考查学识图力空间想象力等基力
（2010全国卷1文数）（12）已知半径2球面ABCD四点ABCD2四面体ABCD体积值
(A) (B) (C) (D)
12B命题意图题考查体体积计算球性质异面直线距离通球载体考查考生空间想象力推理运算力
解析CD作面PCDAB⊥面PCD交ABP设点PCD距离直径通ABCD中点时
（2010全国卷1文数）（9）正方体中面成角余弦值
（A） （B） （C） （D）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
9D 命题意图题考查正方体性质直线面成角点面距离求法利等体积转化求出D面AC距离解决题关键转化思想具体体现
解析1BB1DD1B面AC成角DD1面AC成角相等设DO⊥面AC等体积法设DD1a
记DD1面AC成角
解析2设底面中心分面AC成角B面AC成角
（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱中异面直线
成角等
(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
6C命题意图题考查直三棱柱性质异面直线成角异面直线成角求法
解析延长CAD行四边形异面直线
成角三角形等边三角形
（2010全国卷1理数）（12）已知半径2球面ABCD四点ABCD2四面体ABCD体积值
(A) (B) (C) (D)
（2010全国卷1理数）（7）正方体ABCD中B面AC成角余弦值
（A） （B） （C） （D）
（2010四川文数）（12）半径球直径垂直面垂足面边长正三角形线段分球面交点两点间球面距离
（A） （B）
（C） （D）
解析：已知AB＝2RBC＝Rtan∠BAC＝
cos∠BAC＝
连结OM△OAM等腰三角形
AM＝2AOcos∠BAC＝理AN＝MN∥CD
AC＝RCD＝R
MN：CD＝ANAC
Þ MN＝
连结OMONOM＝ON＝R
cos∠MON＝
MN两点间球面距离
答案：A
（2010湖北文数）4表示三条直线表示面出列命题：
①∥∥∥②⊥⊥⊥
③∥∥∥④⊥⊥∥
A ①② B ②③ C ①④ D③④
（2010山东理数）(3)空间列命题正确
（A）行直线行投影重合
（B）行直线两面行
（C）垂直面两面行
（D）垂直面两条直线行
答案D
解析空间直线面位置关系线面垂直行判定性质定理出答案
命题意图考查空间直线面位置关系线面垂直行判定性质属基础题
（2010福建理数）
∥∥∥选项AC正确面
∥面面 选项B正确选D
命题意图题考查空间中直线面行垂直判定性质考查学空间想象力逻辑推理力
2010年高考数学试题分类汇编——立体
（2010海文数）6已知四棱椎底面边长6 正方形侧棱底面该四棱椎体积 96
解析：考查棱锥体积公式
（2010湖南文数）13图2中三直角三角形体积20cm2体三视图h 4 cm
（2010浙江理数）（12）某体三视图（单位：cm）图示体体积___________
解析：图四棱台长方体组合体三视图卷中公式计算体积144题考察三视图表达示空间体识体体积计算属容易题
（2010辽宁文数）（16）图网格纸正方形边长1粗线画
出某面体三视图面体长条棱
长
解析：填画出直观图：图中四棱锥
长条棱长
（2010江西理数）16图三棱锥中三条棱两两垂直>>分三条棱作截面分三棱锥体积截面面积次关系
答案
解析考查立体图形空间感数学知识运力通补形助长方体验证结特殊化令边长123
（2010北京文数）（14）图放置边长1正方形PABCx轴滚动
设顶点p（xy）坐标横坐标函数关系
正周期
两相邻零点间图x轴
围区域面积
说明：正方形PABCx轴滚动包含x轴正方x轴负方滚动x轴正方滚动指顶点A中心时针旋转顶点B落x轴时顶点B中心时针旋转继续类似正方形PABC着x轴负方滚动
答案：4
（2010北京理数）（14）图放置边长1正方形PABCx轴滚动
设顶点p（xy）轨迹方程正周期 两相邻零点间图x轴围区域面积
说明：正方形PABC轴滚动包括轴正方轴负方滚动轴正方滚动指先顶点A中心时针旋转顶点B落轴时顶点B中心时针旋转继续类似正方形PABC轴负方滚动
答案：4
（2010四川理数）（15）图二面角60°线段
成角30°面成角正弦值
解析：点A作面β垂线垂足CβC作l垂线垂足D
连结AD三垂线定理知AD⊥l
C
D
∠ADC二面角面角60°
已知∠ABD＝30°
连结CB∠ABC面成角
设AD＝2AC＝CD＝1
AB＝＝4
∴sin∠ABC＝答案：
（2010天津文数）（12）体三视图图示体体积
答案3
解析题考查三视图基础知识题体积计算属容易题
俯视图知该体底面直角梯形正视图俯视图知该体高1结合三试图知该体底面直角梯形直四棱柱该题体积
温馨提示正视图侧视图高体高俯视图确定体底面形状题体作底面长3宽2高1长方体半
（2010天津理数）（12）体三视图图示体体积
答案
解析题考查三视图概念柱体椎体体积计算属容易题
三视图知该体底面边长1高2正四棱柱底面边长2高1正四棱锥组成组合体正巳灵珠体积2正四棱锥体积该体体积V2+
温馨提示利俯视图出体底面形状结合正视图侧视图便体形状求锥体体积时丢掉哦
（2010湖北文数）14圆柱形容器盛高度3cm水放入三相珠（球半圆柱底面半径相）水恰淹没面球（图示）球半径____cm
答案4
解析设球半径r解r4
（2010湖南理数）13．图3中三直角三角形体积20体三视图 ．
解析设球半径r解r4
（2010福建理数）
12．底面正三角形三棱柱正视图图示表面积等 ．
答案
解析正视图知：三棱柱底面边长2高1正三棱柱底面积
侧面积表面积
命题意图题考查立体中三视图考查学识图力空间想象力等基力
2010年高考数学试题分类汇编——立体
（2010海文数）20（题满分14分）
图示制作圆柱形灯笼先制作4全等矩形骨架总计耗96米铁丝方米塑料片制成圆柱侧面底面（安装底面）
(1)圆柱底面半径取值时取值？求出该
值（结果精确001方米）
(2)制作图放置底面半径03米灯笼请作出
灯笼三视图（作图时需考虑骨架等素）
解析：(1) 设圆柱形灯笼母线长ll122r(0
(2) r03时l06作三视图略．
（2010湖南文数）18（题满分12分）
图示长方体中ABAD1AA12M棱CC1中点
（Ⅰ）求异面直线A1MC1D1成角正切值
（Ⅱ）证明：面ABM⊥面A1B1M1
（2010浙江理数）（20）（题满分15分）图 矩形中点分线段直线 翻折成面
（Ⅰ）求二面角余弦值
（Ⅱ）点分线段直线四边形翻折重合求线段长
解析：题考察空间点线面位置关系二面角等基础知识空间量应事考查空间想象力运算求解力
（Ⅰ）解：取线段EF中点H连结HEF中点
面面
图建立空间直角坐标系Axyz
（22）C（1080）
F（400）D（1000）
（222）（600）
设（xyz）面法量
2x+2y+2z0
6x0
取
面法量
二面角余弦值
（Ⅱ）解：设
翻折重合
检验时点线段
方法二：
（Ⅰ）解：取线段中点中点连结
中点
面面
面
面
中点
易知∥
面
二面角面角
中2
二面角余弦值
（Ⅱ）解：设
翻折重合
检验时点线段
（2010全国卷2理数）（19）图直三棱柱中中点
点．
（Ⅰ）证明：异面直线公垂线
（Ⅱ）设异面直线夹角45°求二面角．
命题意图试题考查空间线面关系空间角求解考查考生空间想象推理计算力
参考答案
(19)解法：
（I）连接A1B记A1BAB1交点F
面AA1BB1正方形A1B⊥AB1AFFB1AE3EB1FEEB1DBB1中点DE∥BFDE⊥AB1 ………………3分
作CG⊥ABG垂足ACBC知GAB中点
底面ABC⊥面AA1B1B连接DGDG∥AB1DE⊥DG三垂线定理DE⊥CD
DE异面直线AB1CD公垂线
（II）DG∥AB 1∠CDG异面直线AB 1CD夹角∠CDG45°
设AB2AB1DGCGAC
作B1H⊥A1C1H垂足底面A1B1C1⊥面AA1CC1B1H⊥面AA1C1C作HK⊥AC1K垂足连接B1K三垂线定理B1K⊥AC1∠B1KH二面角A1AC1B1面角
点评三垂线定理立体重定理高考热点处理线线垂直问题效方法时确定二面角面角手段通引入空间量量代数形式处理立体问题淡化传统中形形推理方法降低思维难度解题变程序化量解立体问题独处
（2010陕西文数）18(题满分12分)
图四棱锥P—ABCD中底面ABCD矩形PA⊥面ABCDAPABBPBC2EF分PBPC中点
(Ⅰ)证明：EF∥面PAD
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC体积V
解 (Ⅰ)△PBC中EF分PBPC中点∴EF∥BC
BC∥AD∴EF∥AD
∵AD面PADEF面PAD
∴EF∥面PAD
(Ⅱ)连接AEACECE作EG∥PA交AB点G
BG⊥面ABCDEGPA
△PAB中ADABPAB°BP2∴APABEG
∴S△ABCAB·BC××2
∴VEABCS△ABC·EG××
（2010辽宁文数）（19）（题满分12分）
图棱柱侧面菱形
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）设点面求值
解：（Ⅰ）侧面BCC1B1菱形
已知
面A1BC1面AB1C
面面A1BC1
（Ⅱ）设BC1交B1C点E连结DE
DE面A1BC1面B1CD交线
A1B面B1CDA1BDE
EBC1中点DA1C1中点
A1D：DC11
（2010辽宁理数）（19）（题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中PA⊥ABCAB⊥ACPAAC½ABNAB点AB4ANMS分PBBC中点
（Ⅰ）证明：CM⊥SN
（Ⅱ）求SN面CMN成角
证明：
设PA1A原点射线ABACAP分xyz轴正建立空间直角坐标系图
P（001）C（010）B（200）M（10）N（00）S（10）……4分
（Ⅰ）
CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）
设a（xyz）面CMN法量
……9分
SN片面CMN成角45° ……12分
（2010全国卷2文数）（19）（题满分12分）
图直三棱柱ABCABC 中ACBC AAABDBB中点EAB点AE3 EB
（Ⅰ）证明：DE异面直线ABCD公垂线
（Ⅱ）设异面直线ABCD夹角45°求二面角AACB
解析题考查立体中直线面面面异面直线成角二面角基础知识
（1）证明DEAB1CD公垂线证明DE垂直AE3EB1DEBA1行A1ABB1正方形证证明CDDE垂直取AB中点F连结DFFC证明DE面CFD垂直证明DECD垂直
（2）条件异面直线AB1CD成角找出FDC设出AB连长求出求出边长作出二面角面角根求边长通解三角形求
（2010江西理数）20 （题满分12分）
图△BCD△MCD边长2正三角形面MCD面BCDAB面BCD
（1） 求点A面MBC距离
（2） 求面ACM面BCD成二面角正弦值
解析题图形拼折载体考查考查立体图形空间感点直线距离二面角空间量二面角面角判断关知识时考查空间想象力推理力
解法：（1）取CD中点O连OBOMOB⊥CD
OM⊥CD面面MO⊥面MO∥ABABOM面延长AMBO相交E∠AEBAM面BCD成角OBMOMO∥ABMO面ABCMO面ABC距离相等作OH
BCH连MHMHBC求：
OHOCsin600MH利体积相等：
（2）CE面面交线
（1）知OBE中点BCED菱形
作BF⊥ECF连AFAF⊥EC∠AFB二面角AECB面角设
∠BCE120°∠BCF60°
求二面角正弦值
点评传统方法处理时注意辅助线处理般采射影垂线行线等特殊位置元素解决
解法二：取CD中点O连OBOMOB⊥CDOM⊥CD面面MO⊥面
O原点直线OCBOOMx轴y轴z轴建立空间直角坐标系图
OBOM点坐标分O（000）C（100）M（00）B（00）A（02）
（1）设面MBC法量
取距离
（2）
设面ACM法量解取面BCD法量
设求二面角
点评量方法作沟通代数工具考察中越越常见类方法点建立恰坐标系便计算位置关系明确计算代分析起简化作计算必须慎慎
（2010安徽文数）19(题满分13分)
图面体ABCDEF中四边形ABCD正方形AB2EF2EF∥ABEF⊥FB∠BFC90°BFFCHBC中点
(Ⅰ)求证：FH∥面EDB
（Ⅱ）求证：AC⊥面EDB
（Ⅲ）求四面体B—DEF体积
命题意图题考查空间线面行线面垂直面面垂直判断证明考查体积计算等基础知识时考查空间想象力推理证力运算力
解题指导（1）设底面角线交点G通证明EG∥FH∥面（2）利线线线面行垂直关系证明FH⊥面ABCDFH⊥BCFH⊥AC进EG⊥AC面（3）证明BF⊥面CDEFBF四面体BDEF高进求体积
规律总结题典型空间问题图形规空间体求结线面行垂直体积考查行关系判断性质解决类问题通常利线线行证明线面行利线线垂直证明线面垂直通求高底面积求四面体体积
（2010重庆文数）（20）（题满分12分（Ⅰ）问5分（Ⅱ）问7分 ）
题（20）图四棱锥中底面矩形底面点棱中点
（Ⅰ）证明：面
（Ⅱ）求二面角面角余弦值
（2010浙江文数）（20）（题满分14分）图行四边形ABCD中AB2BC∠ABC120°E线段AB中点△ADE直线DE翻折成△A’DE面A’DE⊥面BCDF线段A’C中点
（Ⅰ）求证：BF∥面A’DE
（Ⅱ）设M线段DE中点求直线FM面A’DE成角余弦值
（2010重庆理数）（19）（题满分12分（I）问5分（II）问7分）
题（19）图四棱锥PABCD中底面ABCD矩形PA底面ABCDPAAB点E棱PB中点
（I） 求直线AD面PBC距离
（II） AD求二面角AECD面角余弦值
（2010山东文数）（20）（题满分12分）
图示体中四边形正方形
面分中点
（I）求证：面面
（II）求三棱锥四棱锥体积
（2010北京文数）（17）（题13分）
图正方形ABCD四边形ACEF面互相垂直
EFACABCEEF1
（Ⅰ）求证：AF面BDE
（Ⅱ）求证：CF⊥面BDF
证明：（Ⅰ）设ACBD交点GEF∥AGEF1AGAG1
四边形AGEF行四边形
AF∥EG
EG面BDEAF面BDE
AF∥面BDE
（Ⅱ）连接FGEF∥CGEFCG1CE1行四边形CEFG菱形CF⊥EG
四边形ABCD正方形BD⊥AC面ACEF⊥面ABCD面ACEF∩面ABCDACBD⊥面ACEFCF⊥BDBD∩EGGCF⊥面BDE
（2010北京文数）(18) （题14分）
设定函数方程两根分14
（Ⅰ）a3曲线原点时求解析式
（Ⅱ）极值点求a取值范围
解：
两根分14 （*）
（Ⅰ）时（*）式
解
曲线原点
（Ⅱ）a>0（∞+∞）极值点等价（∞+∞）恒成立
（*）式
解
取值范围
（2010北京理数）（16）（题14分）
图正方形ABCD四边形ACEF面互相垂直
CE⊥ACEF∥ACABCEEF1
（Ⅰ）求证：AF∥面BDE
（Ⅱ）求证：CF⊥面BDE
（Ⅲ）求二面角ABED
证明：（I） 设ACBD交点G
EFAGEF1AGAC1
四边形AGEF行四边形
AF面EG
面BDEAF面BDE
AF面BDE
（II）正方形ABCD四边形ACEF面
相互垂直CEAC
CE面ABCD
图C原点建立空间直角坐标系C
C（000）A（0）B（00）
BDE
(III) （II）知面BDE法量
设面ABE法量
令
二面角锐角
二面角
（2010四川理数）（18）（题满分12分）
已知正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇棱长1点M棱AA＇中点点O角线BD＇中点
（Ⅰ）求证：OM异面直线AA＇BD＇公垂线
（Ⅱ）求二面角M－BC＇－B＇
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC体积
题考查异面直线直线面垂直二面角正方体三棱锥体积等基础知识考查空间想象力逻辑推理力考查应量知识解决数学问题力
解法：（1）连结AC取AC中点KKBD中点连结OK
M棱AA’中点点OBD’中点
AM
MO
AA’⊥AKMO⊥AA’
AK⊥BDAK⊥BB’AK⊥面BDD’B’
AK⊥BD’
MO⊥BD’
OM异面直线AA’BD’相交
OM异面直线AA＇BD＇公垂线
（2）取BB’中点N连结MNMN⊥面BCC’B’
点N作NH⊥BC’H连结MH
三垂线定理BC’⊥MH
∠MHN二面角MBC’B’面角
MN1NHBnsin45°
Rt△MNH中tan∠MHN
二面角MBC’B’arctan2
(3)易知S△OBCS△OA’D’△OBC△OA’D’面BCD’A’
点O面MA’D’距离h＝
VMOBCVMOA’D’VOMA’D’S△MA’D’h
解法二：
点D坐标原点建立图示空间直角坐标系Dxyz
A(100)B(110)C(010)A’(101)C’(011)D’(001)
(1)点M棱AA’中点点OBD’中点
M(10 )O()
(001)(111)
0 +00
OM⊥AA’OM⊥BD’
OM异面直线AA’BD’相交
OM异面直线AA＇BD＇公垂线………………………………4分
(2)设面BMC＇法量(xyz)
(01) ＝(－101)
取z＝2x＝2y＝1(212)
取面BC＇B＇法量＝(010)
cos
图知二面角MBC＇B＇面角锐角
二面角MBC＇B＇arccos………………………………………………9分
(3)易知S△OBC＝S△BCD＇A＇＝
设面OBC法量＝(x1y1z1)
＝(－1－11) ＝(－100)
取z1＝1y1＝1＝(011)
点M面OBC距离d＝
VM－OBC＝…………………………………………12分
（2010天津文数）（19）（题满分12分）
图五面体ABCDEF中四边形ADEF正方形FA⊥面ABCDBC∥ADCD1AD∠BAD＝∠CDA＝45°
（Ⅰ）求异面直线CEAF成角余弦值
（Ⅱ）证明CD⊥面ABF
（Ⅲ）求二面角BEFA正切值
解析题考查异面直线成角直线面垂直二面角等基础知识考查空间想象力运算力推理证力满分12分
(I)解：四边形ADEF正方形FAED异面直线CEAF成角
FA面ABCDFACDEDCD
Rt△CDE中CD1EDCE3cos
异面直线CEAF成角余弦值
(Ⅱ)证明：点B作BGCD交AD点GBGABCDABCDFAFAABACD面ABF
(Ⅲ)解：（Ⅱ）已知AGGAD中点取EF中点N连接GNGNEFBCADBCEF点N作NMEF交BCM二面角BEFA面角
连接GMAD面GNMADGMBCGM已知GMNGFAFAGMNGGM
Rt△NGM中tan
二面角BEFA正切值
（2010天津理数）（19）（题满分12分）
图长方体中分棱
点
（1） 求异面直线成角余弦值
（2） 证明面
（3） 求二面角正弦值
解析题考查异面直线成角直线面垂直二面角等基础知识考查空间量解决立体问题方法考查空间想象力运算力推理证力满分12分
方法：图示建立空间直角坐标系
点A坐标原点设题意
（1） 解：易
异面直线成角余弦值
（2） 证明：已知
·0·0
面
(3)解：设面法量
妨令X1（2）知面法量
二面角正弦值
方法二：（1）解：设AB1AD2AA14CF1CE
链接B1CBC1设B1CBC1交点M易知A1D∥B1C知EF∥BC1异面直线EFA1D成角易知BMCM 异面直线FEA1D成角余弦值
（2）证明：连接AC设ACDE交点N AC⊥DECC1⊥DEDE⊥面ACFAF⊥DE
连接BF理证B1C⊥面ABFAF⊥B1CAF⊥A1DAF⊥面A1ED
(3)解：连接A1NFN（2）知DE⊥面ACFNF面ACF A1N面ACFDE⊥NFDE⊥A1N二面角A1EDF面角
易知
连接A1C1A1F
二面角A1DEF正弦值
（2010广东理数）18（题满分14分）
图5半径a半圆AC直径点E中点点B点C线段AD三等分点．面AEC外点F满足FEa ．
（1）证明：EB⊥FD
图5
（2）已知点QR分线段FEFB点求面面成二面角正弦值．
（2）设面面RQD交线
BQFEFRFB知
面∴面
面面
∴
（1）知面∴面
面 面
∴
∴面面成二面角面角．
中
．
．
面面成二面角正弦值．
（2010广东文数）18（题满分14分）
图4弧AEC半径半圆AC直径点E弧AC中点点B点C线段AD三等分点面AEC外点F满足FC面BEDFB
（1）证明：EBFD
（2）求点B面FED距离
（1）证明：点E弧AC中点
（2010福建文数）20． （题满分12分）
图长方体ABCD – A1B1C1D1中EH分棱A1B1D1C1点（点EB1重合）EHA1D1EH面棱BB1CC1相交交点分FG
（I）证明：AD面EFGH
（II）设AB2AA12a长方体ABCDA1B1C1D1机选取点记该点取体A1ABFE – D1DCGH概率p点EF分棱A1B1 B1B运动满足EFa时求p值
（2010全国卷1理数）（19）（题满分12分）
图四棱锥SABCD中SD底面ABCDABDCADDCABAD1DCSD2E棱SB点面EDC面SBC
（Ⅰ）证明：SE2EB
（Ⅱ）求二面角ADEC
（2010四川文数）（18）（题满分12分）
正方体ABCD－A′B′C′D′中点M棱AA′中点点O角线BD′中点
（Ⅰ）求证：OM异面直线AA′BD′公垂线
（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′
（2010湖北文数）18（题满分12分）
图四面体ABOC中OC⊥OAOC⊥OB∠AOB120°OAOBOC1
（Ⅰ）设PAC中点QABAB3AQ证明：PQ⊥OA
（Ⅱ）求二面角OACB面角余弦值
（2010山东理数）（19）（题满分12分）
图五棱锥P—ABCDE中PA⊥面ABCDEAB∥CDAC∥EDAE∥BC ABC45°AB2BC2AE4三角形PAB等腰三角形．
（Ⅰ）求证：面PCD⊥面PAC
（Ⅱ）求直线PB面PCD成角
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE体积．
解析（Ⅰ）证明：ABC45°AB2BC4中余弦定理：解
PA⊥面ABCDEPA⊥
PAAB∥CD
面PCD⊥面PAC
（Ⅱ）（Ⅰ）知面PCD⊥面PAC面PAC点A作H
AB∥CDAB面AB行面点A面距离等点B面距离点B作BO⊥面点O求角容易求直线PB面PCD成角
（Ⅲ）（Ⅰ）知AC∥ED四边形ACDE直角梯形容易求AC四边形ACDE面积四棱锥P—ACDE体积
（2010湖南理数）
（2010湖北理数）18． (题满分12分)
图 四面体ABOC中
（Ⅰ）设中点 证明： 存点计算值
（Ⅱ）求二面角面角余弦值
（2010福建理数）
概率
（i）点C圆周运动时求值
（ii）记面面成角取值时求值
命题意图题考查直线直线直线面面面位置关系体体积概型等基础知识考查空间想象力运算求解力推理证力考查数形结合思想化转化思想必然然思想
解析（Ⅰ）面ABC面ABC
AB圆O直径面
面面面
（Ⅱ）（i）设圆柱底面半径AB三棱柱体积
仅时等号成立
圆柱体积
仅时等号成立
值
（ii）（i）知取值时O坐标原点建立空间直角坐标系
（图）C（r00）B（0r0）（0r2r）
面面法量
设面法量
取面法量
（2010安徽理数）18（题满分12分）
图面体中四边形正方形∥中点
(Ⅰ)求证：∥面
(Ⅱ)求证：面
(Ⅲ)求二面角
（2010江苏卷）16（题满分14分）
图四棱锥PABCD中PD⊥面ABCDPDDCBC1AB2AB∥DC∠BCD900
(1) 求证：PC⊥BC
(2) 求点A面PBC距离
[解析] 题考查直线面面面位置关系考查体体积考查空间想象力推理证力运算力满分14分
（1）证明：PD⊥面ABCDBC面ABCDPD⊥BC
∠BCD900CD⊥BC
PDDCDPDDC面PCD
BC⊥面PCD
PC面PCDPC⊥BC
（2）（方法）分取ABPC中点EF连DEDF：
易证DE∥CBDE∥面PBC点DE面PBC距离相等
点A面PBC距离等E面PBC距离2倍
（1）知：BC⊥面PCD面PBC⊥面PCDPC
PDDCPFFCDF⊥PCDF⊥面PBCF
易知DF点A面PBC距离等
（方法二）体积法：连结AC设点A面PBC距离h
AB∥DC∠BCD900∠ABC900
AB2BC1面积
PD⊥面ABCDPD1三棱锥PABC体积
PD⊥面ABCDDC面ABCDPD⊥DC
PDDC1
PC⊥BCBC1面积
点A面PBC距离等
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