典型例题
例1 椭圆顶点长轴长短轴长2倍求椭圆标准方程．
分析：题目没指出焦点位置考虑两种位置．
解：（1）长轴端点时
椭圆标准方程：
（2）短轴端点时
椭圆标准方程：
说明：椭圆标准方程两出顶点坐标称轴位置确定椭圆横竖考虑两种情况．
典型例题二
例2 椭圆焦点准线间距离三等分求椭圆离心率．
解： ∴
∴．
说明：求椭圆离心率问题通常两种处理方法求求求．二列含齐次方程化含方程解方程．
典型例题三
例3 已知中心原点焦点轴椭圆直线交两点中点斜率025椭圆短轴长2求椭圆方程．
解：题意设椭圆方程
∴
∴
∴求．
说明：（1）题求椭圆方程采定系数法（2）直线曲线综合问题常根系数关系解决弦长弦中点弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆三点焦点距离成等差数列．
（1）求证
（2）线段垂直分线轴交点求直线斜率．
证明：（1）椭圆方程知．
圆锥曲线统定义知：
∴ ．
理 ．
∵
∴
．
（2）线段中点垂直分线方程
．
∵点轴设坐标代入式
∵点椭圆
∴
∴ ．
式代入①利结
∴ ．
典型例题五
例5 已知椭圆两焦点问否椭圆找点左准线距离等中项？存求出点坐标存请说明理．
解：假设存设已知条件
∴．
∵左准线方程
∴．
焦半径公式知：
．
∵
∴．
整理．
解． ①
方面． ②
①②矛盾满足条件点存．
说明：
（1）利焦半径公式解常简化解题程．
（2）例存性问题解决存性问题般分析法假设存根已知条件进行推理运算．进根推理结果作判断．
（3）例设存推出矛盾结（读者完成）．
典型例题六
例6 已知椭圆求点分弦直线方程．
分析：已知点求直线关键求斜率设斜率利条件求．
解法：设求直线斜率直线方程．代入椭圆方程整理
．
韦达定理．
∵弦中点∴．．
求直线方程．
分析二：设弦两端坐标列关方程组求斜率：．
解法二：设直线椭圆交题意
①－②． ⑤
③④代入⑤直线斜率．
求直线方程．
说明：
（1）关弦中点问题三种类型：定点定点分弦行弦中点轨迹定点弦中点轨迹．
（2）解法二点差法解决关弦中点问题题较方便点巧代斜率．
（3）关弦弦中点问题常方法：韦达定理应点差法．关二次曲线问题适．
典型例题七
例7 求适合条件椭圆标准方程．
（1）长轴长短轴长2倍点
（2）轴焦点短轴两端点联机互相垂直焦距6．
分析：方程两种形式时应分求解（1）题中求出方程写出方程．
解：（1）设椭圆标准方程．
已知． ①
点
． ②
①②．求方程
．
（2）设方程．已知．求方程．
说明：根条件求椭圆标准方程思路选标准定参数．关键焦点位置否确定确定应设方程．
典型例题八
例8 椭圆右焦点点点椭圆值时求点坐标．
分析：题关键求出离心率转化右准线距离值．般求均法．
解：已知：．右准线．
作垂足交椭圆．显然值
求点椭圆．．．
说明：题关键未知式中2处理．事实图右准线距离半图中问题转化求椭圆点距离右准线距离取值．
典型例题九
例9 求椭圆点直线距离值．
分析：先写出椭圆参数方程点直线距离建立三角函数关系式求出距离值．
解：椭圆参数方程设椭圆点坐标点直线距离
．
时．
说明：直接设点坐标易解决问题时建立曲线参数方程．
典型例题十
例10 设椭圆中心坐标原点长轴轴离心率已知点椭圆点远距离求椭圆方程求椭圆点距离等点坐标．
分析：题考查椭圆性质距离公式值分析问题力求值时注意讨取值范围．题椭圆标准方程椭圆参数方程善应等式面三角等知识解决综合性问题加强等价转换形数结合思想提高逻辑推理力．
解法：设求椭圆直角坐标方程中定．
．
设椭圆点点距离
中．
果时（）值．
题设矛盾．
必成立时（）值．
题设．
∴求椭圆方程．
求椭圆方程椭圆点点点距离．
解法二：根题设条件取椭圆参数方程中定参数．
．
设椭圆点点距离
果时（）值．
题设矛盾必成立．
时（）值．
题设知∴．
∴求椭圆参数方程．
椭圆．
典型例题十
例11 设求值值．
分析：题关键利形数结合观察方程椭圆方程结构致．设显然表示圆画出图形考虑椭圆圆位置关系求值．
解：
见表示椭圆中心点焦点轴（00）点（30）点．
设
表示圆圆心（－10）半径．
坐标系中作出椭圆圆图示．观察图形知圆（00）点时半径时圆（30）点时半径∴．
∴值0值15．
典型例题十二
例12 已知椭圆长轴两端点．
（1）焦点作垂直长轴弦求证：变化．
（2）果椭圆存点求离心率取值范围．
分析：题已知条件出发两问应正切值出发做出估计点坐标斜率入手．题第（2）问中关键根什列出离心率
满足等式椭圆固性质：根代入消表示便利列出等式．里求思路清楚计算准确气呵成．
解：（1）设．
．
∵角．
∴
∵
∴
∴．
（2）设．
称性妨设角．
∴
∵ ∴
整理
∵
∴
∵ ∴
∵ ∴
∴
∴（舍）∴．
典型例题十三
例13 已知椭圆离心率求值．
分析：分两种情况进行讨．
解：椭圆焦点轴时．．
椭圆焦点轴时．
．
∴满足条件．
说明：题易出现漏解．排错误办法：9关系定椭圆焦点轴轴．必须进行讨．
典型例题十四
例14 已知椭圆点右焦点距离求左准线距离．
分析：利椭圆两定义利第二定义椭圆两准线距离求解．
解法：．
椭圆定义
．
椭圆第二定义左准线距离
∴
左准线距离．
解法二：∵右准线距离
∴．
椭圆两准线距离．
∴左准线距离．
说明：运椭圆第二定义时注意焦点准线侧性．否会产生误解．
椭圆两定义角度反映椭圆特征解题时灵活选择运．般遇动点两定点问题椭圆第定义果遇动点定直线距离问题椭圆第二定义．
典型例题十五
例15 设椭圆(参数)点轴正成角求点坐标．
分析：利参数间关系求解．
解：设轴正成角
∴．
∴点坐标．
典型例题十六
例16 设离心率椭圆 点左焦点右焦点距离分求证：．
分析：题考查椭圆两定义利椭圆第二定义椭圆点焦点距离转化点相应准线距离．
解：点椭圆左准线距离
椭圆第二定义
∴椭圆第定义．
说明：题求证椭圆焦半径公式解决椭圆焦半径（焦点弦）关问题时着广泛应．请写出椭圆焦点轴焦半径公式．
典型例题十七
例17 已知椭圆点分椭圆左右焦点点椭圆点．
(1) 求值值应点坐标
(2) 求值应点坐标．
分析：题考查椭圆中值问题通常探求变量值两种方法：目标函数代数方法．二数形结合方法．题先建立目标函数求值易解决抓住椭圆定义转化目标运数形结合简捷求解．
解：
(1)图设椭圆点∴等号仅时成立时线．
∴等号仅时成立时线．
建立直线方程解方程组两交点
．
综述点重合时取值点重合时取值．
(2)图设椭圆点作垂直椭圆右准线垂足∴．椭圆第二定义知∴∴需线求右准线距离．右准线方程
．
∴右准线距离．时点坐标点坐标相1代入椭圆满足条件点坐标．
说明：求值第二定义转化相应准线作垂线段．巧焦点半径点准距互化解决关问题重手段．
典型例题十八
例18 (1)写出椭圆参数方程
(2)求椭圆接矩形面积．
分析：题考查椭圆参数方程应．简化运算减少未知数数常椭圆参数方程表示曲线点坐标求问题便化三角问题．
解：(1) ．
(2)设椭圆接矩形面积称性知矩形邻边分行轴轴设矩形第象限顶点
椭圆接矩形面积12．
说明：通椭圆参数方程转化三角函数值问题般圆锥曲线关值问题参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知椭圆两焦点椭圆点．
(1)求椭圆离心率取值范围
(2)求证面积椭圆短轴长关．
分析：失般性设椭圆方程
（）（）．
思路：根题设容易想两条直线夹角公式设化简．两方程联立消确定离心率取值范围解出求出面积程繁．
思路二：利焦半径公式中运余弦定理求利确定离心率取值范围代入椭圆方程中求便求出面积．
思路三：利正弦定理余弦定理结合求解．
解：(法1)设椭圆方程（）
．
中余弦定理
解．
(1)∵
∴．
∴．
椭圆离心率取范围．
(2)代入
．
∴．
面积椭圆短轴长关．
(法2)设
．
(1)中正弦定理
．
∴
∵
∴
∴
．
仅时等号成立．
椭圆离心率取值范围．
(2)中余弦定理：
∵
∴．
∴．
面积椭圆短轴长关．
说明：椭圆点两焦点构成三角形椭圆焦点三角形涉关焦点三角形问题通常运三角形边角关系定理．解题中通变形出现结构样应椭圆定义关关系式问题找解决思路．
典型例题二十
例20 椭圆轴正交点椭圆总存点(坐标原点)求离心率取值范围．
分析：∵定点动点点坐标作参数转化点坐标等量关系利坐标范围建立关等式转化关等式．减少参数易考虑运椭圆参数方程．
解：设椭圆参数方程
椭圆点
∵∴
解
∵ ∴（舍）
∴
∴∴．
说明：已知椭圆离心率范围求证椭圆总存点．证明？
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例1 椭圆顶点长轴长短轴长2倍求椭圆标准方程．
分析：题目没指出焦点位置考虑两种位置．
解：（1）长轴端点时
椭圆标准方程：
（2）短轴端点时
椭圆标准方程：
说明：椭圆标准方程两出顶点坐标称轴位置确定椭圆横竖考虑两种情况．
典型例题二
例2 椭圆焦点准线间距离三等分求椭圆离心率．
解： ∴
∴．
说明：求椭圆离心率问题通常两种处理方法求求求．二列含齐次方程化含方程解方程．
典型例题三
例3 已知中心原点焦点轴椭圆直线交两点中点斜率025椭圆短轴长2求椭圆方程．
解：题意设椭圆方程
∴
∴
∴求．
说明：（1）题求椭圆方程采定系数法（2）直线曲线综合问题常根系数关系解决弦长弦中点弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆三点焦点距离成等差数列．
（1）求证
（2）线段垂直分线轴交点求直线斜率．
证明：（1）椭圆方程知．
圆锥曲线统定义知：
∴ ．
理 ．
∵
∴
．
（2）线段中点垂直分线方程
．
∵点轴设坐标代入式
∵点椭圆
∴
∴ ．
式代入①利结
∴ ．
典型例题五
例5 已知椭圆两焦点问否椭圆找点左准线距离等中项？存求出点坐标存请说明理．
解：假设存设已知条件
∴．
∵左准线方程
∴．
焦半径公式知：
．
∵
∴．
整理．
解． ①
方面． ②
①②矛盾满足条件点存．
说明：
（1）利焦半径公式解常简化解题程．
（2）例存性问题解决存性问题般分析法假设存根已知条件进行推理运算．进根推理结果作判断．
（3）例设存推出矛盾结（读者完成）．
典型例题六
例6 已知椭圆求点分弦直线方程．
分析：已知点求直线关键求斜率设斜率利条件求．
解法：设求直线斜率直线方程．代入椭圆方程整理
．
韦达定理．
∵弦中点∴．．
求直线方程．
分析二：设弦两端坐标列关方程组求斜率：．
解法二：设直线椭圆交题意
①－②． ⑤
③④代入⑤直线斜率．
求直线方程．
说明：
（1）关弦中点问题三种类型：定点定点分弦行弦中点轨迹定点弦中点轨迹．
（2）解法二点差法解决关弦中点问题题较方便点巧代斜率．
（3）关弦弦中点问题常方法：韦达定理应点差法．关二次曲线问题适．
典型例题七
例7 求适合条件椭圆标准方程．
（1）长轴长短轴长2倍点
（2）轴焦点短轴两端点联机互相垂直焦距6．
分析：方程两种形式时应分求解（1）题中求出方程写出方程．
解：（1）设椭圆标准方程．
已知． ①
点
． ②
①②．求方程
．
（2）设方程．已知．求方程．
说明：根条件求椭圆标准方程思路选标准定参数．关键焦点位置否确定确定应设方程．
典型例题八
例8 椭圆右焦点点点椭圆值时求点坐标．
分析：题关键求出离心率转化右准线距离值．般求均法．
解：已知：．右准线．
作垂足交椭圆．显然值
求点椭圆．．．
说明：题关键未知式中2处理．事实图右准线距离半图中问题转化求椭圆点距离右准线距离取值．
典型例题九
例9 求椭圆点直线距离值．
分析：先写出椭圆参数方程点直线距离建立三角函数关系式求出距离值．
解：椭圆参数方程设椭圆点坐标点直线距离
．
时．
说明：直接设点坐标易解决问题时建立曲线参数方程．
典型例题十
例10 设椭圆中心坐标原点长轴轴离心率已知点椭圆点远距离求椭圆方程求椭圆点距离等点坐标．
分析：题考查椭圆性质距离公式值分析问题力求值时注意讨取值范围．题椭圆标准方程椭圆参数方程善应等式面三角等知识解决综合性问题加强等价转换形数结合思想提高逻辑推理力．
解法：设求椭圆直角坐标方程中定．
．
设椭圆点点距离
中．
果时（）值．
题设矛盾．
必成立时（）值．
题设．
∴求椭圆方程．
求椭圆方程椭圆点点点距离．
解法二：根题设条件取椭圆参数方程中定参数．
．
设椭圆点点距离
果时（）值．
题设矛盾必成立．
时（）值．
题设知∴．
∴求椭圆参数方程．
椭圆．
典型例题十
例11 设求值值．
分析：题关键利形数结合观察方程椭圆方程结构致．设显然表示圆画出图形考虑椭圆圆位置关系求值．
解：
见表示椭圆中心点焦点轴（00）点（30）点．
设
表示圆圆心（－10）半径．
坐标系中作出椭圆圆图示．观察图形知圆（00）点时半径时圆（30）点时半径∴．
∴值0值15．
典型例题十二
例12 已知椭圆长轴两端点．
（1）焦点作垂直长轴弦求证：变化．
（2）果椭圆存点求离心率取值范围．
分析：题已知条件出发两问应正切值出发做出估计点坐标斜率入手．题第（2）问中关键根什列出离心率
满足等式椭圆固性质：根代入消表示便利列出等式．里求思路清楚计算准确气呵成．
解：（1）设．
．
∵角．
∴
∵
∴
∴．
（2）设．
称性妨设角．
∴
∵ ∴
整理
∵
∴
∵ ∴
∵ ∴
∴
∴（舍）∴．
典型例题十三
例13 已知椭圆离心率求值．
分析：分两种情况进行讨．
解：椭圆焦点轴时．．
椭圆焦点轴时．
．
∴满足条件．
说明：题易出现漏解．排错误办法：9关系定椭圆焦点轴轴．必须进行讨．
典型例题十四
例14 已知椭圆点右焦点距离求左准线距离．
分析：利椭圆两定义利第二定义椭圆两准线距离求解．
解法：．
椭圆定义
．
椭圆第二定义左准线距离
∴
左准线距离．
解法二：∵右准线距离
∴．
椭圆两准线距离．
∴左准线距离．
说明：运椭圆第二定义时注意焦点准线侧性．否会产生误解．
椭圆两定义角度反映椭圆特征解题时灵活选择运．般遇动点两定点问题椭圆第定义果遇动点定直线距离问题椭圆第二定义．
典型例题十五
例15 设椭圆(参数)点轴正成角求点坐标．
分析：利参数间关系求解．
解：设轴正成角
∴．
∴点坐标．
典型例题十六
例16 设离心率椭圆 点左焦点右焦点距离分求证：．
分析：题考查椭圆两定义利椭圆第二定义椭圆点焦点距离转化点相应准线距离．
解：点椭圆左准线距离
椭圆第二定义
∴椭圆第定义．
说明：题求证椭圆焦半径公式解决椭圆焦半径（焦点弦）关问题时着广泛应．请写出椭圆焦点轴焦半径公式．
典型例题十七
例17 已知椭圆点分椭圆左右焦点点椭圆点．
(1) 求值值应点坐标
(2) 求值应点坐标．
分析：题考查椭圆中值问题通常探求变量值两种方法：目标函数代数方法．二数形结合方法．题先建立目标函数求值易解决抓住椭圆定义转化目标运数形结合简捷求解．
解：
(1)图设椭圆点∴等号仅时成立时线．
∴等号仅时成立时线．
建立直线方程解方程组两交点
．
综述点重合时取值点重合时取值．
(2)图设椭圆点作垂直椭圆右准线垂足∴．椭圆第二定义知∴∴需线求右准线距离．右准线方程
．
∴右准线距离．时点坐标点坐标相1代入椭圆满足条件点坐标．
说明：求值第二定义转化相应准线作垂线段．巧焦点半径点准距互化解决关问题重手段．
典型例题十八
例18 (1)写出椭圆参数方程
(2)求椭圆接矩形面积．
分析：题考查椭圆参数方程应．简化运算减少未知数数常椭圆参数方程表示曲线点坐标求问题便化三角问题．
解：(1) ．
(2)设椭圆接矩形面积称性知矩形邻边分行轴轴设矩形第象限顶点
椭圆接矩形面积12．
说明：通椭圆参数方程转化三角函数值问题般圆锥曲线关值问题参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知椭圆两焦点椭圆点．
(1)求椭圆离心率取值范围
(2)求证面积椭圆短轴长关．
分析：失般性设椭圆方程
（）（）．
思路：根题设容易想两条直线夹角公式设化简．两方程联立消确定离心率取值范围解出求出面积程繁．
思路二：利焦半径公式中运余弦定理求利确定离心率取值范围代入椭圆方程中求便求出面积．
思路三：利正弦定理余弦定理结合求解．
解：(法1)设椭圆方程（）
．
中余弦定理
解．
(1)∵
∴．
∴．
椭圆离心率取范围．
(2)代入
．
∴．
面积椭圆短轴长关．
(法2)设
．
(1)中正弦定理
．
∴
∵
∴
∴
．
仅时等号成立．
椭圆离心率取值范围．
(2)中余弦定理：
∵
∴．
∴．
面积椭圆短轴长关．
说明：椭圆点两焦点构成三角形椭圆焦点三角形涉关焦点三角形问题通常运三角形边角关系定理．解题中通变形出现结构样应椭圆定义关关系式问题找解决思路．
典型例题二十
例20 椭圆轴正交点椭圆总存点(坐标原点)求离心率取值范围．
分析：∵定点动点点坐标作参数转化点坐标等量关系利坐标范围建立关等式转化关等式．减少参数易考虑运椭圆参数方程．
解：设椭圆参数方程
椭圆点
∵∴
解
∵ ∴（舍）
∴
∴∴．
说明：已知椭圆离心率范围求证椭圆总存点．证明？
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