椭圆
1 2标准方程 3
4．点P处切线PT分△PF1F2点P处外角
5．PT分△PF1F2点P处外角焦点直线PT射影H点轨迹长轴直径圆长轴两端点
6．焦点弦PQ直径圆必应准线相离
7．焦点半径PF1直径圆必长轴直径圆切
8．设A1A2椭圆左右顶点△PF1F2边PF2（PF1）旁切圆必A1A2直线切A2（A1）
9．椭圆（a＞b＞0）两顶点y轴行直线交椭圆P1P2时A1P1A2P2交点轨迹方程
10．椭圆椭圆切线方程
11．椭圆外 Po作椭圆两条切线切点P1P2切点弦P1P2直线方程
12．AB椭圆行称轴弦MAB中点
13．椭圆Po分中点弦方程
14．椭圆Po弦中点轨迹方程
15．PQ椭圆（a＞b＞0）中心张直角弦
16．椭圆（a＞b＞0）中心张直角弦L直线方程(1) (2)
17．定椭圆：（a＞b＞0） ：(i)意定点直角弦必须定点M
(ii)点存唯点直角弦点
18．设椭圆（圆）C (a＞0 b＞0)点P1P2曲线C动弦弦PP1 PP2斜率存记k1 k 2 直线P1P2通定点充条件
19．椭圆 (a＞0 b＞0)点意作两条倾斜角互补直线交椭圆BC两点直线BC定（常数）
20．椭圆 (a＞b＞0)左右焦点分F1F 2点P椭圆意点椭圆焦点三角形面积
21．P椭圆（a＞b＞0）异长轴端点点F1 F 2焦点
22．椭圆（a＞b＞0）焦半径公式：( )
23．椭圆（a＞b＞0）左右焦点分F1F2左准线L
时椭圆求点PPF1P应准线距离dPF2例中项
24．P椭圆（a＞b＞0）点F1F2二焦点A椭圆定点仅三点线时等号成立
25．椭圆（a＞b＞0）存两点关直线：称充条件
26．椭圆焦半径端点作椭圆切线长轴直径圆相交相应交点相应焦点连线必切线垂直
27．椭圆焦半径端点作椭圆切线交相应准线点该点焦点连线必焦半径互相垂直
28．P椭圆（a＞b＞0）点点P椭圆两焦点张直角充条件
29．设AB椭圆两点直线AB椭圆相交
30．椭圆中定长2m（o＜m≤a）弦中点轨迹方程中时
31．设S椭圆（a＞b＞0）通径定长线段L两端点AB椭圆移动记|AB|AB中点时)时
32．椭圆直线公点充条件
33．椭圆直线公点充条件
34．设椭圆（a＞b＞0）两焦点F1F2P（异长轴端点）椭圆意点△PF1F2中记
35．椭圆（a＞b＞0）长轴两端点A1A2切线椭圆点切线相交P1P2
36．已知椭圆（a＞b＞0）O坐标原点PQ椭圆两动点（1）（2）|OP|2+|OQ|2值（3）值
37．MN椭圆（a＞b＞0）焦点弦AB椭圆中心O行MN弦
38．MN椭圆（a＞b＞0）焦点弦椭圆中心O半弦
39．设椭圆（a＞b＞0）M(mo) (o m)称轴中心顶点外点M引条直线椭圆相交PQ两点直线A1PA2Q(A1 A2称轴两顶点)交点N直线：()
40．设椭圆焦点F作直线椭圆相交 PQ两点A椭圆长轴顶点连结AP AQ分交相应焦点F椭圆准线MN两点MF⊥NF
41．椭圆焦点F直线椭圆交两点PQ A1A2椭圆长轴顶点A1PA2Q交点MA2PA1Q交点NMF⊥NF
42．设椭圆方程斜率k(k≠0)行弦中点必直线：轭直线
43．设ABCD椭圆四点ABCD直线倾斜角分直线ABCD相交PP椭圆
44．已知椭圆（a＞b＞0）点P点F1 F 2椭圆焦点外（）角分线作F1F2分垂直RSP跑遍整椭圆时RS形成轨迹方程()
45．设△ABC接椭圆AB直径AB轭直径直线分交直线ACBCEFD点CD椭圆相切充条件DEF中点
46．椭圆（a＞b＞0）右焦点F作直线交该椭圆右支MN两点弦MN垂直分线交x轴P
47．设A（x1 y1）椭圆（a＞b＞0）点A作条斜率直线L设d原点直线 L距离 分A椭圆两焦点距离
48．已知椭圆（ a＞b＞0）（ ）直线次相交ABCD四点│AB│|CD│
49．已知椭圆（ a＞b＞0） AB椭圆两点线段AB垂直分线x轴相交点
50．设P点椭圆（ a＞b＞0）异长轴端点点F1F2焦点记(1)(2)
51．设椭圆长轴点B（mo）作直线椭圆相交PQ两点A椭圆长轴左顶点连结APAQ分交相应H点直线MN：MN两点
52．L椭圆（ a＞b＞0）长轴顶点A长轴垂直直线EF椭圆两焦点e离心率点锐角（仅时取等号）
53．L椭圆（ a＞b＞0）准线AB椭圆长轴两顶点点e离心率HLX轴交点c半焦距锐角（仅时取等号）
54．L椭圆（ a＞b＞0）准线EF两焦点HLx轴交点点离心率e半焦距c锐角（仅时取等号）
55．已知椭圆（ a＞b＞0）直线L通右焦点F2椭圆相交AB两点AB椭圆左焦点F1连结起（仅AB⊥x轴时右边等式取等号仅AF1B三点线时左边等式取等号）
56．设AB椭圆（ a＞b＞0）长轴两端点P椭圆点 ce分椭圆半焦距离心率(1)(2) (3)
57．设AB椭圆（ a＞b＞0）长轴分位椭圆（异原点）外部两点横坐标（1）A点引直线椭圆相交PQ两点（2）B引直线椭圆相交PQ两点
58．设AB椭圆（ a＞b＞0）长轴分位椭圆（异原点）外部两点（1）A点引直线椭圆相交PQ两点（B P交椭圆两点PQ关x轴称）点AB横坐标满足（2）B点引直线椭圆相交PQ两点点AB横坐标满足
59．设椭圆长轴两端点垂直弦直线交点P轨迹双曲线
60．椭圆（ a＞b＞0）左焦点作互相垂直两条弦ABCD
61．椭圆（ a＞b＞0）两焦点距离等（c半焦距）动点M轨迹姊妹圆
62．椭圆（ a＞b＞0）长轴两端点距离等（c半焦距）动点M轨迹姊妹圆
63．椭圆（ a＞b＞0）两准线x轴交点距离（c半焦距）动点轨迹姊妹圆（e离心率）
64．已知P椭圆（ a＞b＞0）动点长轴两端点Q点轨迹方程
65．椭圆条直径(中心弦)长通焦点直径行弦长长轴长例中项
66．设椭圆（ a＞b＞0）长轴端点椭圆点P作斜率直线分作垂直长轴直线交（1）（2）四边形面积值
67．已知椭圆（ a＞b＞0）右准线x轴相交点椭圆右焦点直线椭圆相交AB两点点右准线轴直线AC线段EF 中点
68．OAOB椭圆（ a＞0b＞0）两条互相垂直弦O坐标原点（1）直线AB必定点(2) O AO B直径两圆交点Q轨迹方程
69．椭圆（a＞b＞0）定点P AP B互相垂直弦（1）直线AB必定点（2）P AP B直径两圆交点Q轨迹方程
()
70．果椭圆短半轴长b焦点F1F2直线距离分d1d2（1）F1F 2 侧直线L椭圆相切（2）F1F2L侧直线 椭圆相离（3）F1F2L异侧直线L椭圆相交
71．AB椭圆（a＞b＞0）长轴椭圆动点切线AB切线交两点梯形ABDC角线交点M轨迹方程
72．设点椭圆（ a＞b＞0）部定点AB椭圆定点弦弦AB行（重合）椭圆长轴直线时弦AB垂直长轴直线时
73．椭圆焦三角形中焦半径直径圆必椭圆长轴直径圆相切
74．椭圆焦三角形旁切圆必切长轴非焦顶点侧长轴端点
75．椭圆两焦点椭圆焦三角形旁切圆切线长定值a+cac
76．椭圆焦三角形非焦顶点切圆切线长定值ac
77．椭圆焦三角形中点焦点距离该焦点端点焦半径常数e(离心率) (注椭圆焦三角形中非焦顶点外角分线长轴交点分称外点)
78．椭圆焦三角形中心点非焦顶点连线段分成定e
79．椭圆焦三角形中半焦距必外点椭圆中心例中项
80．椭圆焦三角形中椭圆中心点距离点侧焦点距离半焦距外点侧焦点距离成例
81．椭圆焦三角形中半焦距外点椭圆中心连线段点侧焦点连线段外点侧焦点连线段成例
82．椭圆焦三角形中焦点非焦顶点外角分线引垂线椭圆中心垂足连线必焦半径直线行
83．椭圆焦三角形中焦点非焦顶点外角分线引垂线椭圆中心垂足距离椭圆长半轴长
84．椭圆焦三角形中焦点非焦顶点外角分线引垂线垂足垂足侧焦半径直径圆椭圆长轴直径圆切点
85．椭圆焦三角形中非焦顶点外角分线焦半径长轴直线夹角余弦定值e
86．椭圆焦三角形中非焦顶点法线该顶角角分线
87．椭圆焦三角形中非焦顶点切线该顶角外角分线
88．椭圆焦三角形中非焦顶点切线椭圆长轴两端点处切线相交两交点直径圆必两焦点
89 已知椭圆(包括圆)点点分作直线行线轴轴交原点：（1）（2）
90 面点作直线行线分交轴交轴（1）轨迹方程(2)轨迹方程
91 点椭圆(包括圆)第象限弧意点引轴轴行线交轴轴交直线记 面积：
92 点第象限点引轴轴行线交轴轴交直线记 面积已知轨迹方程
椭圆性质92条证明
1椭圆第定义2定义椭圆标准方程3椭圆第二定义
4 图设切线PT（）斜率k直线斜率直线斜率
4图 5图
两直线夹角公式：
理证情况切线PT分点P处外角
5图延长F1PAPAPF2等腰三角形AF2中点射影H2理射影H1H2轨迹长轴直径圆两端点
6设PQ两点焦点应准线距离分PQ中点准线距离PQ直径圆半径rPQ直径圆应准线相离
7图 8图
7图两圆圆心距两圆切
8图切线长定理：
重合旁切圆x轴切右顶点理证P位置情况
9
10 椭圆求导：
切线方程
11设10：点直线时满足方程
12作差：
1312：
14 12：
15设
16直线AB代入椭圆方程中：
设
17设椭圆直角弦AB方程：
斜率k存时代入椭圆C1方程中：
设
直线AB定点点C2直线斜率存时直线ABC2定点
知C1C2点建立起种应关系证
18必性：设P1P2：k存时代入椭圆方程中：
设
k存时P1P2：xmx0
必性证
充分性：设P1P2定点P1P2：代入椭圆方程：
设
注意m≠1解（1）（3）代入（2）式成立
验证k存情况结定点充分性证
19 设AB：
20余弦定理：
2134：
22第二定义：
23
24
25设椭圆点关称
12：
椭圆
265证
27设P切线A
27图 30图
28
29设联立：
韦达定理：
理APBQ
符号定相反0APBQ
30设AB中点
设
解代入m2：
令：
定长2m（0＜m≤a）弦中点轨迹方程
中时
31 设AB中点：
二次函数ye2x2mx+a2交点x0值图易知ye2x2mx+a2左交点x0值m增时x0减x0m
时等号成立时
31图 35图
式成立时
时：
时：时
时AB垂直x轴时x0
考虑称性意情况均成立
32
33
时32：
34正弦定理
35 设P点处切线
：
36（1）15
（2）1536（3）：
（3）设
37设椭圆
37图 38图
AB方程代入椭圆标准方程中：参数t意义知：
38作半弦OQ⊥OP37：15：
39设方程代入椭圆：
韦达定理：直线A1P方程直线A2Q方程联立A1PA2Q交点N横坐标代入化简：
交点定直线理证My轴情况
引理（张角定理）：ACB三点序排列条直线直线外点PAC张角αCB张角β
：
40图 41图
40图A左顶点时设
FAPM张角定理：
FM分理FN分MF⊥NF
A右顶点时39知左顶点A’PMQN分线回种情况
41图设
FQA2MFA1PM张角定理：
两式相减化简：
FM分理FN分MF⊥NF
4212证
43设AB：CD：AB方程代入椭圆：
参数t意义知：理
44 外角分线情况5证仅证角分线情况
设P
分联立：
点：
代回式：
理点点点轨迹方程
45伸缩变换椭圆（左图）变圆（右图）椭圆中轭直径变圆中相互垂直直径证命题变证CD圆O相切充条件DEF中点
充分性：DEF中点 ∵C圆AB⊥OE ∴FC⊥CEOF⊥OB ∴CDDEDF ∴∠DCF∠OFB∠OAC∠OCA
∴∠OCD∠OCA+∠ECD∠ECD+∠DCF∠ECF90°∴OC⊥CD ∴CD圆相切
必性：CD圆相切∠OCD∠ACB∠FOB90°∴∠DCF∠OCA∠OAC∠CFD ∴DFDC ∵∠ECF90°
∴∠DEC90°－∠CFD90°－∠DCF∠DCE ∴CDDEDF DEF中点
46设椭圆极坐标方程：
4710知切线 22
4829
49
5020
51设代入椭圆方程：
韦达定理：
APM三点线理
525354类题（佳观画位置问题）现出公式：两定点AB点P直线xm（m>k）时∠APB正弦值
52kcma ∴sinα≤e仅PHb时取等号 53 kam ∴sinα≤e仅PH时取等号
54 kcm ∴sinα≤e2仅PH时取等号
55设∠AF2x
∴0°时90°时 ∴
56（1）设代入椭圆方程： ∵AP≠0
∴AP
（2）设
（3）
（2）：
5758证
58（1）易知PQ斜率0斜率存时意x轴点A成立设A（m0）
代入椭圆方程：
（2）作P关x轴称点（1）证
599
60设椭圆
时值时值
616263类问题现出公式：点P两定点AB距离P点轨迹圆圆心坐标圆半径
三题值均代入述公式：圆心坐标圆半径
61mc圆心坐标圆半径轨迹方程姊妹圆
62ma圆心坐标圆半径轨迹方程姊妹圆
63m圆心坐标圆半径轨迹方程姊妹圆
64设
消参数Q点轨迹方程：
6537 66（1）35（2）基等式梯形面积值
67设AC交x轴MAD⊥D椭圆第二定义：
∴ACEF中点
68（1）17知椭圆方程时AB定点椭圆方程变
时椭圆右移单位定点应右移单位时AB定点
（2）69（2）P原点mn0时Q点轨迹方程
69（1）17知椭圆方程时AB定点椭圆方程变
时椭圆右移单位定点应右移单位时AB定点
（2）先证椭圆中心原点情况椭圆方程：AB斜率
17（1）：AB定点设AB：PQ：
两者联立
椭圆方程变时椭圆右移单位圆心应右移单位半径变时圆心坐标半径方
∴Q点轨迹方程
70设LAx+By+C0
L代入椭圆方程：
直线 椭圆相离F1F2L侧 直线L椭圆相切F1F 2 侧
直线L椭圆相交F1F2L异侧
7135：
消参数M点轨迹方程：
7243：AB椭圆长轴行时
AB椭圆短轴行时
737 748 758知处切线长理证P位置情况
76 图切线长定理PSPTPS+PTPF1+PF2F1SF2T PF1+PF2F1QF2Q 2a2cPSPTac
76图 77图
77 设P79中点坐标22中焦半径公式：
78
79 设P外角分线（切线）外点
理角分线（法线）点
8079中外点坐标：证
8179中外点坐标：证
825 835 8457证
85 设P外角分线（切线）
50：
864证 874
8871：
理：
两焦点两交点直径圆
89 设P
理 ∴
理
理
90设P
理：
均推出P点轨迹方程
91
92 设P P点轨迹方程
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1 2标准方程 3
4．点P处切线PT分△PF1F2点P处外角
5．PT分△PF1F2点P处外角焦点直线PT射影H点轨迹长轴直径圆长轴两端点
6．焦点弦PQ直径圆必应准线相离
7．焦点半径PF1直径圆必长轴直径圆切
8．设A1A2椭圆左右顶点△PF1F2边PF2（PF1）旁切圆必A1A2直线切A2（A1）
9．椭圆（a＞b＞0）两顶点y轴行直线交椭圆P1P2时A1P1A2P2交点轨迹方程
10．椭圆椭圆切线方程
11．椭圆外 Po作椭圆两条切线切点P1P2切点弦P1P2直线方程
12．AB椭圆行称轴弦MAB中点
13．椭圆Po分中点弦方程
14．椭圆Po弦中点轨迹方程
15．PQ椭圆（a＞b＞0）中心张直角弦
16．椭圆（a＞b＞0）中心张直角弦L直线方程(1) (2)
17．定椭圆：（a＞b＞0） ：(i)意定点直角弦必须定点M
(ii)点存唯点直角弦点
18．设椭圆（圆）C (a＞0 b＞0)点P1P2曲线C动弦弦PP1 PP2斜率存记k1 k 2 直线P1P2通定点充条件
19．椭圆 (a＞0 b＞0)点意作两条倾斜角互补直线交椭圆BC两点直线BC定（常数）
20．椭圆 (a＞b＞0)左右焦点分F1F 2点P椭圆意点椭圆焦点三角形面积
21．P椭圆（a＞b＞0）异长轴端点点F1 F 2焦点
22．椭圆（a＞b＞0）焦半径公式：( )
23．椭圆（a＞b＞0）左右焦点分F1F2左准线L
时椭圆求点PPF1P应准线距离dPF2例中项
24．P椭圆（a＞b＞0）点F1F2二焦点A椭圆定点仅三点线时等号成立
25．椭圆（a＞b＞0）存两点关直线：称充条件
26．椭圆焦半径端点作椭圆切线长轴直径圆相交相应交点相应焦点连线必切线垂直
27．椭圆焦半径端点作椭圆切线交相应准线点该点焦点连线必焦半径互相垂直
28．P椭圆（a＞b＞0）点点P椭圆两焦点张直角充条件
29．设AB椭圆两点直线AB椭圆相交
30．椭圆中定长2m（o＜m≤a）弦中点轨迹方程中时
31．设S椭圆（a＞b＞0）通径定长线段L两端点AB椭圆移动记|AB|AB中点时)时
32．椭圆直线公点充条件
33．椭圆直线公点充条件
34．设椭圆（a＞b＞0）两焦点F1F2P（异长轴端点）椭圆意点△PF1F2中记
35．椭圆（a＞b＞0）长轴两端点A1A2切线椭圆点切线相交P1P2
36．已知椭圆（a＞b＞0）O坐标原点PQ椭圆两动点（1）（2）|OP|2+|OQ|2值（3）值
37．MN椭圆（a＞b＞0）焦点弦AB椭圆中心O行MN弦
38．MN椭圆（a＞b＞0）焦点弦椭圆中心O半弦
39．设椭圆（a＞b＞0）M(mo) (o m)称轴中心顶点外点M引条直线椭圆相交PQ两点直线A1PA2Q(A1 A2称轴两顶点)交点N直线：()
40．设椭圆焦点F作直线椭圆相交 PQ两点A椭圆长轴顶点连结AP AQ分交相应焦点F椭圆准线MN两点MF⊥NF
41．椭圆焦点F直线椭圆交两点PQ A1A2椭圆长轴顶点A1PA2Q交点MA2PA1Q交点NMF⊥NF
42．设椭圆方程斜率k(k≠0)行弦中点必直线：轭直线
43．设ABCD椭圆四点ABCD直线倾斜角分直线ABCD相交PP椭圆
44．已知椭圆（a＞b＞0）点P点F1 F 2椭圆焦点外（）角分线作F1F2分垂直RSP跑遍整椭圆时RS形成轨迹方程()
45．设△ABC接椭圆AB直径AB轭直径直线分交直线ACBCEFD点CD椭圆相切充条件DEF中点
46．椭圆（a＞b＞0）右焦点F作直线交该椭圆右支MN两点弦MN垂直分线交x轴P
47．设A（x1 y1）椭圆（a＞b＞0）点A作条斜率直线L设d原点直线 L距离 分A椭圆两焦点距离
48．已知椭圆（ a＞b＞0）（ ）直线次相交ABCD四点│AB│|CD│
49．已知椭圆（ a＞b＞0） AB椭圆两点线段AB垂直分线x轴相交点
50．设P点椭圆（ a＞b＞0）异长轴端点点F1F2焦点记(1)(2)
51．设椭圆长轴点B（mo）作直线椭圆相交PQ两点A椭圆长轴左顶点连结APAQ分交相应H点直线MN：MN两点
52．L椭圆（ a＞b＞0）长轴顶点A长轴垂直直线EF椭圆两焦点e离心率点锐角（仅时取等号）
53．L椭圆（ a＞b＞0）准线AB椭圆长轴两顶点点e离心率HLX轴交点c半焦距锐角（仅时取等号）
54．L椭圆（ a＞b＞0）准线EF两焦点HLx轴交点点离心率e半焦距c锐角（仅时取等号）
55．已知椭圆（ a＞b＞0）直线L通右焦点F2椭圆相交AB两点AB椭圆左焦点F1连结起（仅AB⊥x轴时右边等式取等号仅AF1B三点线时左边等式取等号）
56．设AB椭圆（ a＞b＞0）长轴两端点P椭圆点 ce分椭圆半焦距离心率(1)(2) (3)
57．设AB椭圆（ a＞b＞0）长轴分位椭圆（异原点）外部两点横坐标（1）A点引直线椭圆相交PQ两点（2）B引直线椭圆相交PQ两点
58．设AB椭圆（ a＞b＞0）长轴分位椭圆（异原点）外部两点（1）A点引直线椭圆相交PQ两点（B P交椭圆两点PQ关x轴称）点AB横坐标满足（2）B点引直线椭圆相交PQ两点点AB横坐标满足
59．设椭圆长轴两端点垂直弦直线交点P轨迹双曲线
60．椭圆（ a＞b＞0）左焦点作互相垂直两条弦ABCD
61．椭圆（ a＞b＞0）两焦点距离等（c半焦距）动点M轨迹姊妹圆
62．椭圆（ a＞b＞0）长轴两端点距离等（c半焦距）动点M轨迹姊妹圆
63．椭圆（ a＞b＞0）两准线x轴交点距离（c半焦距）动点轨迹姊妹圆（e离心率）
64．已知P椭圆（ a＞b＞0）动点长轴两端点Q点轨迹方程
65．椭圆条直径(中心弦)长通焦点直径行弦长长轴长例中项
66．设椭圆（ a＞b＞0）长轴端点椭圆点P作斜率直线分作垂直长轴直线交（1）（2）四边形面积值
67．已知椭圆（ a＞b＞0）右准线x轴相交点椭圆右焦点直线椭圆相交AB两点点右准线轴直线AC线段EF 中点
68．OAOB椭圆（ a＞0b＞0）两条互相垂直弦O坐标原点（1）直线AB必定点(2) O AO B直径两圆交点Q轨迹方程
69．椭圆（a＞b＞0）定点P AP B互相垂直弦（1）直线AB必定点（2）P AP B直径两圆交点Q轨迹方程
()
70．果椭圆短半轴长b焦点F1F2直线距离分d1d2（1）F1F 2 侧直线L椭圆相切（2）F1F2L侧直线 椭圆相离（3）F1F2L异侧直线L椭圆相交
71．AB椭圆（a＞b＞0）长轴椭圆动点切线AB切线交两点梯形ABDC角线交点M轨迹方程
72．设点椭圆（ a＞b＞0）部定点AB椭圆定点弦弦AB行（重合）椭圆长轴直线时弦AB垂直长轴直线时
73．椭圆焦三角形中焦半径直径圆必椭圆长轴直径圆相切
74．椭圆焦三角形旁切圆必切长轴非焦顶点侧长轴端点
75．椭圆两焦点椭圆焦三角形旁切圆切线长定值a+cac
76．椭圆焦三角形非焦顶点切圆切线长定值ac
77．椭圆焦三角形中点焦点距离该焦点端点焦半径常数e(离心率) (注椭圆焦三角形中非焦顶点外角分线长轴交点分称外点)
78．椭圆焦三角形中心点非焦顶点连线段分成定e
79．椭圆焦三角形中半焦距必外点椭圆中心例中项
80．椭圆焦三角形中椭圆中心点距离点侧焦点距离半焦距外点侧焦点距离成例
81．椭圆焦三角形中半焦距外点椭圆中心连线段点侧焦点连线段外点侧焦点连线段成例
82．椭圆焦三角形中焦点非焦顶点外角分线引垂线椭圆中心垂足连线必焦半径直线行
83．椭圆焦三角形中焦点非焦顶点外角分线引垂线椭圆中心垂足距离椭圆长半轴长
84．椭圆焦三角形中焦点非焦顶点外角分线引垂线垂足垂足侧焦半径直径圆椭圆长轴直径圆切点
85．椭圆焦三角形中非焦顶点外角分线焦半径长轴直线夹角余弦定值e
86．椭圆焦三角形中非焦顶点法线该顶角角分线
87．椭圆焦三角形中非焦顶点切线该顶角外角分线
88．椭圆焦三角形中非焦顶点切线椭圆长轴两端点处切线相交两交点直径圆必两焦点
89 已知椭圆(包括圆)点点分作直线行线轴轴交原点：（1）（2）
90 面点作直线行线分交轴交轴（1）轨迹方程(2)轨迹方程
91 点椭圆(包括圆)第象限弧意点引轴轴行线交轴轴交直线记 面积：
92 点第象限点引轴轴行线交轴轴交直线记 面积已知轨迹方程
椭圆性质92条证明
1椭圆第定义2定义椭圆标准方程3椭圆第二定义
4 图设切线PT（）斜率k直线斜率直线斜率
4图 5图
两直线夹角公式：
理证情况切线PT分点P处外角
5图延长F1PAPAPF2等腰三角形AF2中点射影H2理射影H1H2轨迹长轴直径圆两端点
6设PQ两点焦点应准线距离分PQ中点准线距离PQ直径圆半径rPQ直径圆应准线相离
7图 8图
7图两圆圆心距两圆切
8图切线长定理：
重合旁切圆x轴切右顶点理证P位置情况
9
10 椭圆求导：
切线方程
11设10：点直线时满足方程
12作差：
1312：
14 12：
15设
16直线AB代入椭圆方程中：
设
17设椭圆直角弦AB方程：
斜率k存时代入椭圆C1方程中：
设
直线AB定点点C2直线斜率存时直线ABC2定点
知C1C2点建立起种应关系证
18必性：设P1P2：k存时代入椭圆方程中：
设
k存时P1P2：xmx0
必性证
充分性：设P1P2定点P1P2：代入椭圆方程：
设
注意m≠1解（1）（3）代入（2）式成立
验证k存情况结定点充分性证
19 设AB：
20余弦定理：
2134：
22第二定义：
23
24
25设椭圆点关称
12：
椭圆
265证
27设P切线A
27图 30图
28
29设联立：
韦达定理：
理APBQ
符号定相反0APBQ
30设AB中点
设
解代入m2：
令：
定长2m（0＜m≤a）弦中点轨迹方程
中时
31 设AB中点：
二次函数ye2x2mx+a2交点x0值图易知ye2x2mx+a2左交点x0值m增时x0减x0m
时等号成立时
31图 35图
式成立时
时：
时：时
时AB垂直x轴时x0
考虑称性意情况均成立
32
33
时32：
34正弦定理
35 设P点处切线
：
36（1）15
（2）1536（3）：
（3）设
37设椭圆
37图 38图
AB方程代入椭圆标准方程中：参数t意义知：
38作半弦OQ⊥OP37：15：
39设方程代入椭圆：
韦达定理：直线A1P方程直线A2Q方程联立A1PA2Q交点N横坐标代入化简：
交点定直线理证My轴情况
引理（张角定理）：ACB三点序排列条直线直线外点PAC张角αCB张角β
：
40图 41图
40图A左顶点时设
FAPM张角定理：
FM分理FN分MF⊥NF
A右顶点时39知左顶点A’PMQN分线回种情况
41图设
FQA2MFA1PM张角定理：
两式相减化简：
FM分理FN分MF⊥NF
4212证
43设AB：CD：AB方程代入椭圆：
参数t意义知：理
44 外角分线情况5证仅证角分线情况
设P
分联立：
点：
代回式：
理点点点轨迹方程
45伸缩变换椭圆（左图）变圆（右图）椭圆中轭直径变圆中相互垂直直径证命题变证CD圆O相切充条件DEF中点
充分性：DEF中点 ∵C圆AB⊥OE ∴FC⊥CEOF⊥OB ∴CDDEDF ∴∠DCF∠OFB∠OAC∠OCA
∴∠OCD∠OCA+∠ECD∠ECD+∠DCF∠ECF90°∴OC⊥CD ∴CD圆相切
必性：CD圆相切∠OCD∠ACB∠FOB90°∴∠DCF∠OCA∠OAC∠CFD ∴DFDC ∵∠ECF90°
∴∠DEC90°－∠CFD90°－∠DCF∠DCE ∴CDDEDF DEF中点
46设椭圆极坐标方程：
4710知切线 22
4829
49
5020
51设代入椭圆方程：
韦达定理：
APM三点线理
525354类题（佳观画位置问题）现出公式：两定点AB点P直线xm（m>k）时∠APB正弦值
52kcma ∴sinα≤e仅PHb时取等号 53 kam ∴sinα≤e仅PH时取等号
54 kcm ∴sinα≤e2仅PH时取等号
55设∠AF2x
∴0°时90°时 ∴
56（1）设代入椭圆方程： ∵AP≠0
∴AP
（2）设
（3）
（2）：
5758证
58（1）易知PQ斜率0斜率存时意x轴点A成立设A（m0）
代入椭圆方程：
（2）作P关x轴称点（1）证
599
60设椭圆
时值时值
616263类问题现出公式：点P两定点AB距离P点轨迹圆圆心坐标圆半径
三题值均代入述公式：圆心坐标圆半径
61mc圆心坐标圆半径轨迹方程姊妹圆
62ma圆心坐标圆半径轨迹方程姊妹圆
63m圆心坐标圆半径轨迹方程姊妹圆
64设
消参数Q点轨迹方程：
6537 66（1）35（2）基等式梯形面积值
67设AC交x轴MAD⊥D椭圆第二定义：
∴ACEF中点
68（1）17知椭圆方程时AB定点椭圆方程变
时椭圆右移单位定点应右移单位时AB定点
（2）69（2）P原点mn0时Q点轨迹方程
69（1）17知椭圆方程时AB定点椭圆方程变
时椭圆右移单位定点应右移单位时AB定点
（2）先证椭圆中心原点情况椭圆方程：AB斜率
17（1）：AB定点设AB：PQ：
两者联立
椭圆方程变时椭圆右移单位圆心应右移单位半径变时圆心坐标半径方
∴Q点轨迹方程
70设LAx+By+C0
L代入椭圆方程：
直线 椭圆相离F1F2L侧 直线L椭圆相切F1F 2 侧
直线L椭圆相交F1F2L异侧
7135：
消参数M点轨迹方程：
7243：AB椭圆长轴行时
AB椭圆短轴行时
737 748 758知处切线长理证P位置情况
76 图切线长定理PSPTPS+PTPF1+PF2F1SF2T PF1+PF2F1QF2Q 2a2cPSPTac
76图 77图
77 设P79中点坐标22中焦半径公式：
78
79 设P外角分线（切线）外点
理角分线（法线）点
8079中外点坐标：证
8179中外点坐标：证
825 835 8457证
85 设P外角分线（切线）
50：
864证 874
8871：
理：
两焦点两交点直径圆
89 设P
理 ∴
理
理
90设P
理：
均推出P点轨迹方程
91
92 设P P点轨迹方程
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