1 面量基概念
1 已知
中出命题：
（1）（2）（3）（4）
中正确命题________（写出正确命题序号） 124
2 满足_________时分夹角 模相等线
（）相反量
1 已知量(sin2xf(x))(mcos2x+m)(mÎR) 互相反量
(1) 求f(x)表达式
(2) xÎ[0)f2(x)lf(x)+1值2求实数l值
（二）面量基定理
1 已知点EF正△ABC边BC两三等分点AB 3 ▲ ．
2 A
B
C
D
M
P
Q
（第16题）
图□ABCD中已知M边CD中点PQ分边ABCD动点．
（1）ab表示量
（2）求x + y值．
（1） ．
（2）设 ．
．
分解惟性定理x + y 1．
3 正三角形边长15
（1）求证：四边形梯形
（2）求梯形面积
解：（1）略
（2）量线性分解：
4 △ABC中角边长分．
（1）求
（2）边中点试判断△形状．
解（1）（方法1）
……………………… 4分
． ……………………… 8分
（方法2）条件． ……………………… 4分
两式相加． …………… 8分
（方法3）设ABC边次abc
条件． …………………………… 4分
余弦定理
两式相加． …………………………… 8分
（2）知． ………………… 11分
边中点
． …………………………… 13分
线．
△等边三角形． …………………………… 16分
2 面量坐标运算
1 梯形ABCD中ADBCÐABCAD1BC2P腰AB直线动点
|3+2|值
方法：特殊化思想考虑直角梯形
2 直角坐标系中分轴轴正方行单位量直角三角形中实数 ．
3 面直角坐标系中已知点中
（1）求证：（2）∥求值
解：（1）2分
5分
∴∴∴7分
（2） （1）∥
10分
∴ ∴ 12分
∴14分
4 已知量abc正方形网格中位置图示．
．答案：．
变式：设正方形单位正方形数量积_________
3 面量数量积
（）面量数量积射影解释
A
B
C
E
F
D
（第9题）
1 已知正方形边长1点边动点值 __________1
变式：（20129）图矩形ABCD中
点EBC中点点F边CD
值 ____
（二）面量数量积
引例1：已知椭圆C标准方程点E（30）设点PQ椭圆C两动点满足EP⊥EQ取值范围________________
∵∴ ∴
设
∴
∵ ∴ 取值范围
引例2：已知椭圆两焦点点P椭圆满足Q轴动点 ．20
优化方法：关注求值暗示常数Q点位置关系关取特殊点Q位坐标原点时时计算结果
优化：
评注：求量数量积值者取值范围时时需量进行线性分解时否利垂直关系？
练：
1 行四边形ABCD中 AP⊥BD垂足P _____
答：18 提示设ACBD相交点O
2 两半径分圆公弦9
连接圆心交点公弦中点设线段中点
3 已知外心8
4（2013年南京高三数学二模）中已知AB2BC3BDACD垂足值____
5 图正六边形边长______
6 已知面线三点设线段垂直分线意点
引例3 已知量满足切实数恒成立
夹角_________ 思考：否数形两角度分出解法？
类题较：（2006年全国联赛）已知意 _________ 三角形（锐角直角钝角中选择填写）
已知量量垂直单位量
（1）求量
（2）量量夹角锐角量垂直求
值
@ 已知面四点OABC满足 ．5
（三点线）已知行四边形中角线交点．动点满足值 ．
（2014年高考江苏卷 第12题）A
B
D
C
P
图行四边形中已知
值 ▲
思路探究量高中阶段数形结合完美典范量教学中引导学生代数两角度审视考查量问题数般指量坐标法形般指量基底法
解法探究
解法1：基底法考虑条件中涉量基底表示实施计算
解法2：坐标法妨点坐标原点直线作轴建立面直角坐标系设
求
（三）面量数量积应
1 已知O△ABC外心AB 2aAC ∠BAC 120° x＋y
x＋y值 ．2
2 △ABC中角A值_________．
解：转化边关系（余弦定理）余弦定理结合基等式
３ 等腰直角两腰中点____________
4 变式1：Rt△ABC中∠A＝90°AB＝AC＝2点D
AC中点点E满足＝______．
变式2：点
．
1 已知点EF正△ABC边BC两三等分点AB 3 ．
2 行四边形ABCD中 AP⊥BD垂足P _____
变式：两半径分圆公弦
3 已知外心
4 图正六边形边长______
5 面四边形中
6 量满足切实数恒成立
夹角_________
7 已知量满足值 ．
变式：已知ab面两互相垂直单位量量c满足(a+c)·(b+c)＝0|c|
值
8 两量夹角钝角实数取值范围_______
9 已知重心
10 已知面线三点设线段垂直分线意点
11 函数图量移函数图量______
12 直角三角形中斜边长2面点点满足
13 等边△ABC中P线段AB实数值 ．
14 三角形ABC中APBC边中线3||
15扇形半径圆心角∠AOB＝60°点弧中点点线段．值 ．
16 量设量
17 图中已知线段点
（1）求值
（2）夹角时求值
18 已知．（1）求Ks5
（2）夹角60°求（3）求夹角．
19 已知
(1) 试求值时点第三象限(2)求余弦值
(3) 作交点求点坐标(4)求
20 已知直角坐标系中（O坐标原点）
(Ⅰ) 点ABC三角形三顶点求x取值范围
（Ⅱ）x6时直线OC存点M求点M坐标
21 图行四边形中
（1）表示
（2）分求值
解（1）： (2)：
（1）
22 图 等腰三角形中 底边
_____
（方法：坐标法基底法）
23 已知两单位量夹角60° t+（1 t）．· 0实数t值 ．（量等式转化数量等式）
24 面四边形中已知点分边
．量夹角值 ．
解： ①
②
①*2+②：
原型题：面四边形中已知点分线段
中点量夹角值 ．
D
C
B
A
25 图AB⊥ACAC 2 ．
26 △ABC中已知BC 2 1△ABC面积值 ．
27 正△ABC中点D边ABAD 1点E边BCCE 2点MN分线段DEAC中点MN _____．
（四）面量模问题应
1 已知量满足值
．
坐标法特殊化量方程转化
2 已知abc面三量中a（12）
（1） ca求c坐标
（2） a+2b2ab垂直 求ab夹角
3 集合D｛面量｝定义D映射f满足意x∈D均
（1） ab线试证明：
（2） A（12）B（36）C（48）求
4 已知面量 3
5 已知量 ． 2
6 （2012年华约）量意________（填满足条件序号）（1）（2）（3）
（4） 3
4 量基概念量线性运算
（）量基概念考察
1 已知量线存
2 量满足取值范围_________
3 已知点点点_______心
4 单位量表示___________线单位量表示__________
研究：已知面定点动点P满足：
（1）点形成图形定通 心
（填外心心重心垂心） 心
（2）点形成图形定通 ______ 心 重心
（3）点形成图形定通 ______ 心 垂心
5 表述证明量线定理（存性唯性）
6 证明量三角等式：交等号成立条件
（号相等异号相等反）
7 三重量模型：
（1）三角形中线模型：
（2）三点线模型：面意点
三点线（证明充条件）
（3）重心模型：重心结：
（1）
（2）（3）
（4）结合中线模型：等价变形：
变式：重心中点分
8 行四边形中设
量基运算抓住两条线：形数基形通作出量运行四边形法三角形法求（差）二基数述操作概括（称形式化）量边形法注意形数结合印证
9 面点满足形状______________ 直角三角形
10 点点形状___________ 正三角形
11 图示已知面积分边点面积________
12 已知点分重心
解：量进行算三次利重心模型结
13 面点线段中点分边中点分设
（1）试表示量
（2）证明：线段交点互相分
（二）线性运算问题考察
1 已知线非零量线
变式1：已知线非零量
三点线 8
变式2：已知线非零量
证明：三点线
变式3：已知量中线非零量量问否存实数线
2 已知面三点直线点满足（表示） 插点法
3 已知量满足
行四边形角线方等四边方
4 中点中点
5 面意点三点线
变式1：面意点试确定点位置
解：线段延长线线段反延长线
时点点重合
变式2：已知面点（）
（1）点直线应满足什条件？
（2）证明：点必
优化类问题：
引例1 图正方形中中点
圆心半径圆弧意点设量值
引例2 圆三点延长线线段延长线交圆外点
取值范围_______
1（2009年全国高中数学联赛湖北省预赛题）已知锐角三角形外心
2梯形ABCD中DAABBCCD1点P阴影区域（含边界）中运动取值范围
3 面直角坐标系中O坐标原点设C点位置区域面积 ．
4 接圆心1半径圆该面积
5 中已知线段点值_________． 3
题易：求值（考虑三角换元直接基等式）
6 中设中点面点值______1
解1：坐标法
解2：加量完成
解3：者三量时插入点
6 意四边形中分中点求证：
（算两次数学思想教材题三种方法）
7 已知线段外点
（1）点线段三等分点试量表示
（2）果线段干等分点什结？请证明结
教材题倒序求方法思路源
8 已知单位量量模2实数值______
9 中点中点
10 已知面点（点点重合）面积________ 作图发现规律：2
变式1 点 ．
变式2 已知两点面积________
变式3 设__________
变式4 接圆心1半径圆该面积
变式5 △ABC面积1三角形点P满足△PAC面积
11 中两条角线交点面意点求证：
12 已知O△ABC外心AB AC 2x + 2y 1
△ABC面积等 ．
变式：已知O锐角△ABC外心AB 6AC 10 x＋y2x＋10y 5cos∠BAC值 ．
13 图△ABC中BO边AC中线
设∥值 ．
（三）算两次思想量问题中应
1 中角分线点中点交点表示出
解：角角分线定理
量三角形中线模型：
：
2 中点分边交点求值
3 中交点设试基底表示（）
变式：中边中点点边交点中点
函数图量移函数图量等_____________
1 图面三量中夹角夹角
(1)求角度
(2)设
①求实数值
②求实数值
面直角坐标系xOy中已知量e 设量
．
（1）求量夹角
（2） 意实数成立求实数取值范围．
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1 已知
中出命题：
（1）（2）（3）（4）
中正确命题________（写出正确命题序号） 124
2 满足_________时分夹角 模相等线
（）相反量
1 已知量(sin2xf(x))(mcos2x+m)(mÎR) 互相反量
(1) 求f(x)表达式
(2) xÎ[0)f2(x)lf(x)+1值2求实数l值
（二）面量基定理
1 已知点EF正△ABC边BC两三等分点AB 3 ▲ ．
2 A
B
C
D
M
P
Q
（第16题）
图□ABCD中已知M边CD中点PQ分边ABCD动点．
（1）ab表示量
（2）求x + y值．
（1） ．
（2）设 ．
．
分解惟性定理x + y 1．
3 正三角形边长15
（1）求证：四边形梯形
（2）求梯形面积
解：（1）略
（2）量线性分解：
4 △ABC中角边长分．
（1）求
（2）边中点试判断△形状．
解（1）（方法1）
……………………… 4分
． ……………………… 8分
（方法2）条件． ……………………… 4分
两式相加． …………… 8分
（方法3）设ABC边次abc
条件． …………………………… 4分
余弦定理
两式相加． …………………………… 8分
（2）知． ………………… 11分
边中点
． …………………………… 13分
线．
△等边三角形． …………………………… 16分
2 面量坐标运算
1 梯形ABCD中ADBCÐABCAD1BC2P腰AB直线动点
|3+2|值
方法：特殊化思想考虑直角梯形
2 直角坐标系中分轴轴正方行单位量直角三角形中实数 ．
3 面直角坐标系中已知点中
（1）求证：（2）∥求值
解：（1）2分
5分
∴∴∴7分
（2） （1）∥
10分
∴ ∴ 12分
∴14分
4 已知量abc正方形网格中位置图示．
．答案：．
变式：设正方形单位正方形数量积_________
3 面量数量积
（）面量数量积射影解释
A
B
C
E
F
D
（第9题）
1 已知正方形边长1点边动点值 __________1
变式：（20129）图矩形ABCD中
点EBC中点点F边CD
值 ____
（二）面量数量积
引例1：已知椭圆C标准方程点E（30）设点PQ椭圆C两动点满足EP⊥EQ取值范围________________
∵∴ ∴
设
∴
∵ ∴ 取值范围
引例2：已知椭圆两焦点点P椭圆满足Q轴动点 ．20
优化方法：关注求值暗示常数Q点位置关系关取特殊点Q位坐标原点时时计算结果
优化：
评注：求量数量积值者取值范围时时需量进行线性分解时否利垂直关系？
练：
1 行四边形ABCD中 AP⊥BD垂足P _____
答：18 提示设ACBD相交点O
2 两半径分圆公弦9
连接圆心交点公弦中点设线段中点
3 已知外心8
4（2013年南京高三数学二模）中已知AB2BC3BDACD垂足值____
5 图正六边形边长______
6 已知面线三点设线段垂直分线意点
引例3 已知量满足切实数恒成立
夹角_________ 思考：否数形两角度分出解法？
类题较：（2006年全国联赛）已知意 _________ 三角形（锐角直角钝角中选择填写）
已知量量垂直单位量
（1）求量
（2）量量夹角锐角量垂直求
值
@ 已知面四点OABC满足 ．5
（三点线）已知行四边形中角线交点．动点满足值 ．
（2014年高考江苏卷 第12题）A
B
D
C
P
图行四边形中已知
值 ▲
思路探究量高中阶段数形结合完美典范量教学中引导学生代数两角度审视考查量问题数般指量坐标法形般指量基底法
解法探究
解法1：基底法考虑条件中涉量基底表示实施计算
解法2：坐标法妨点坐标原点直线作轴建立面直角坐标系设
求
（三）面量数量积应
1 已知O△ABC外心AB 2aAC ∠BAC 120° x＋y
x＋y值 ．2
2 △ABC中角A值_________．
解：转化边关系（余弦定理）余弦定理结合基等式
３ 等腰直角两腰中点____________
4 变式1：Rt△ABC中∠A＝90°AB＝AC＝2点D
AC中点点E满足＝______．
变式2：点
．
1 已知点EF正△ABC边BC两三等分点AB 3 ．
2 行四边形ABCD中 AP⊥BD垂足P _____
变式：两半径分圆公弦
3 已知外心
4 图正六边形边长______
5 面四边形中
6 量满足切实数恒成立
夹角_________
7 已知量满足值 ．
变式：已知ab面两互相垂直单位量量c满足(a+c)·(b+c)＝0|c|
值
8 两量夹角钝角实数取值范围_______
9 已知重心
10 已知面线三点设线段垂直分线意点
11 函数图量移函数图量______
12 直角三角形中斜边长2面点点满足
13 等边△ABC中P线段AB实数值 ．
14 三角形ABC中APBC边中线3||
15扇形半径圆心角∠AOB＝60°点弧中点点线段．值 ．
16 量设量
17 图中已知线段点
（1）求值
（2）夹角时求值
18 已知．（1）求Ks5
（2）夹角60°求（3）求夹角．
19 已知
(1) 试求值时点第三象限(2)求余弦值
(3) 作交点求点坐标(4)求
20 已知直角坐标系中（O坐标原点）
(Ⅰ) 点ABC三角形三顶点求x取值范围
（Ⅱ）x6时直线OC存点M求点M坐标
21 图行四边形中
（1）表示
（2）分求值
解（1）： (2)：
（1）
22 图 等腰三角形中 底边
_____
（方法：坐标法基底法）
23 已知两单位量夹角60° t+（1 t）．· 0实数t值 ．（量等式转化数量等式）
24 面四边形中已知点分边
．量夹角值 ．
解： ①
②
①*2+②：
原型题：面四边形中已知点分线段
中点量夹角值 ．
D
C
B
A
25 图AB⊥ACAC 2 ．
26 △ABC中已知BC 2 1△ABC面积值 ．
27 正△ABC中点D边ABAD 1点E边BCCE 2点MN分线段DEAC中点MN _____．
（四）面量模问题应
1 已知量满足值
．
坐标法特殊化量方程转化
2 已知abc面三量中a（12）
（1） ca求c坐标
（2） a+2b2ab垂直 求ab夹角
3 集合D｛面量｝定义D映射f满足意x∈D均
（1） ab线试证明：
（2） A（12）B（36）C（48）求
4 已知面量 3
5 已知量 ． 2
6 （2012年华约）量意________（填满足条件序号）（1）（2）（3）
（4） 3
4 量基概念量线性运算
（）量基概念考察
1 已知量线存
2 量满足取值范围_________
3 已知点点点_______心
4 单位量表示___________线单位量表示__________
研究：已知面定点动点P满足：
（1）点形成图形定通 心
（填外心心重心垂心） 心
（2）点形成图形定通 ______ 心 重心
（3）点形成图形定通 ______ 心 垂心
5 表述证明量线定理（存性唯性）
6 证明量三角等式：交等号成立条件
（号相等异号相等反）
7 三重量模型：
（1）三角形中线模型：
（2）三点线模型：面意点
三点线（证明充条件）
（3）重心模型：重心结：
（1）
（2）（3）
（4）结合中线模型：等价变形：
变式：重心中点分
8 行四边形中设
量基运算抓住两条线：形数基形通作出量运行四边形法三角形法求（差）二基数述操作概括（称形式化）量边形法注意形数结合印证
9 面点满足形状______________ 直角三角形
10 点点形状___________ 正三角形
11 图示已知面积分边点面积________
12 已知点分重心
解：量进行算三次利重心模型结
13 面点线段中点分边中点分设
（1）试表示量
（2）证明：线段交点互相分
（二）线性运算问题考察
1 已知线非零量线
变式1：已知线非零量
三点线 8
变式2：已知线非零量
证明：三点线
变式3：已知量中线非零量量问否存实数线
2 已知面三点直线点满足（表示） 插点法
3 已知量满足
行四边形角线方等四边方
4 中点中点
5 面意点三点线
变式1：面意点试确定点位置
解：线段延长线线段反延长线
时点点重合
变式2：已知面点（）
（1）点直线应满足什条件？
（2）证明：点必
优化类问题：
引例1 图正方形中中点
圆心半径圆弧意点设量值
引例2 圆三点延长线线段延长线交圆外点
取值范围_______
1（2009年全国高中数学联赛湖北省预赛题）已知锐角三角形外心
2梯形ABCD中DAABBCCD1点P阴影区域（含边界）中运动取值范围
3 面直角坐标系中O坐标原点设C点位置区域面积 ．
4 接圆心1半径圆该面积
5 中已知线段点值_________． 3
题易：求值（考虑三角换元直接基等式）
6 中设中点面点值______1
解1：坐标法
解2：加量完成
解3：者三量时插入点
6 意四边形中分中点求证：
（算两次数学思想教材题三种方法）
7 已知线段外点
（1）点线段三等分点试量表示
（2）果线段干等分点什结？请证明结
教材题倒序求方法思路源
8 已知单位量量模2实数值______
9 中点中点
10 已知面点（点点重合）面积________ 作图发现规律：2
变式1 点 ．
变式2 已知两点面积________
变式3 设__________
变式4 接圆心1半径圆该面积
变式5 △ABC面积1三角形点P满足△PAC面积
11 中两条角线交点面意点求证：
12 已知O△ABC外心AB AC 2x + 2y 1
△ABC面积等 ．
变式：已知O锐角△ABC外心AB 6AC 10 x＋y2x＋10y 5cos∠BAC值 ．
13 图△ABC中BO边AC中线
设∥值 ．
（三）算两次思想量问题中应
1 中角分线点中点交点表示出
解：角角分线定理
量三角形中线模型：
：
2 中点分边交点求值
3 中交点设试基底表示（）
变式：中边中点点边交点中点
函数图量移函数图量等_____________
1 图面三量中夹角夹角
(1)求角度
(2)设
①求实数值
②求实数值
面直角坐标系xOy中已知量e 设量
．
（1）求量夹角
（2） 意实数成立求实数取值范围．
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