微专题2 面量复数
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T1·复数运算
2018·全国卷Ⅰ·T6·面量线性运算
2018·全国卷Ⅱ·T1·复数运算
2018·全国卷Ⅱ·T4·面量数量积运算
2018·全国卷Ⅲ·T2·复数运算
2018·全国卷Ⅲ·T13·面量坐标运算
高考部分容考查方面：①面量运算包括量线性运算意义坐标运算利数量积运算解决模夹角垂直问题常函数等式三角函数解析等知识进行简单结合②复数运算包括复数概念意义四运算考点难度高属送分题掌握基础知识满分
考 面量
微考1：面量线性运算
例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC中ADBC边中线EAD中点＝( )
A－ B－
C＋ D＋
(2)(2018·重庆调研)已知Rt△ABC中AB＝3BC＝4AC＝5I△ABC心P△IBC部(含边界)动点＝λ＋μ(λμ∈R)λ＋μ取值范围( )
A B
C D．(23)
解析 (1)解法：图示＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－选A
解法二：＝－＝－＝－××(＋)＝－选A
(2)B原点BABC直线分xy轴建立图示面直角坐标系B(00)A(30)C(04)设△ABC切圆半径rI△ABC心(5＋3＋4)×r＝4×3解r＝1I(11)设P(xy)点P△IBC部(含边界)0
λ＋μ＝1－x0答案 (1)A (2)A
解决面图形载体量线性运算问题方法
(1)充分利行四边形法三角形法结合面量基定理线定理等知识进行解答
(2)果图形较规量较明确考虑建立面直角坐标系利坐标运算解决
变|式|训|练
1．(2018·陕西检测)已知P△ABC面点＋＋＝0||＝||＝||＝2△ABC面积等( )
A B．2
C．3 D．4
解析 ||＝||△PBC等腰三角形取BC中点DPD⊥BC＋＋＝0＝－(＋)＝－2PD＝AB＝1PD∥ABAB⊥BC△ABC直角三角形||＝2|PD|＝1||＝||＝2△ABC面积×2×2＝2选B
答案 B
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知量a＝(12)b＝(2－2)c＝(1λ)c∥(2a＋b)λ＝________
解析 题2a＋b＝(42)c∥(2a＋b)c＝(1λ)4λ－2＝0λ＝
答案
微考2：面量数量积运算
例2 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知量ab满足|a|＝1a·b＝－1a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
(2)圆O△ABC外接圆半径2＋＝2||＝||量量方投影________
(3)图示行四边形ABCD中AD＝1∠BAD＝60°ECD中点·＝1AB长______
解析 (1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3选B
(2)＋＝2OBC中点△ABC直角三角形△AOC中||＝||∠B＝30°定义量量方投影||cosB＝2×＝3
(3)解法：题意知＝＋＝－＋·＝1(＋)·＝12＋·－2＝1 ①
||＝1∠BAD＝60°·＝||①式化1＋||－2＝1解||＝0(舍)||＝AB长
解法二：A原点AB直线x轴建立图示面直角坐标系点D作DM⊥AB点MAD＝1∠BAD＝60°知AM＝DM＝设|AB|＝m(m>0)B(m0)CDECD中点E＝＝·＝1＋＝12m2－m＝0m＝0(舍)m＝AB长
答案 (1)B (2)3 (3)
解决面图形载体量数量积问题方法
(1)选择面图形中模夹角确定量作组基底该基底表示构成数量积两量结合量数量积运算律求解
(2)已知图形中明显适合建立直角坐标系条件建立直角坐标系量数量积运算转化代数运算解决
变|式|训|练
1．面量ab夹角45°a＝(11)|b|＝2|3a＋b|＝( )
A．13＋6 B．2
C D
解析 题意|a|＝a·b＝×2×cos45°＝2|3a＋b|＝＝＝＝选D
答案 D
2．已知菱形ABCD边长2∠BAD＝120°点EF 分边BCDCBC＝3BEDC＝λDF ·＝1λ值________
解析 解法：图题意·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2菱形ABCD中易知＝＝＝＋＝＋＝＋＝＋·＝·＝＋－2＝1解λ＝2
解法二：A原点建立直角坐标系图A(00)B(20)C(1)D(－1)E设F (x0)·＝·(x0)＝1x0＋1＝1x0＝0F DC中点DC＝2DF λ＝2
答案 2
微考3：面量值问题
例3 (2018·浙江高考)已知abe面量e单位量非零量ae夹角量b满足b2－4e·b＋3＝0|a－b|值( )
A．－1 B．＋1
C．2 D．2－
解析 解法：设O坐标原点a＝b＝＝(xy)e＝(10)b2－4e·b＋3＝0x2＋y2－4x＋3＝0(x－2)2＋y2＝1点B轨迹C(20)圆心1半径圆ae夹角妨令点A射线y＝x(x>0)图数形结合知|a－b|min＝||－||＝－1选A
解法二：b2－4e·b＋3＝0b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0设b＝e＝3e＝b－e＝b－3e＝·＝0取EF 中点CBC圆心EF 直径圆图设a＝作射线OA∠AOE＝|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1选A
答案 A
面量值问题两种解法
(1)坐标法：建立面直角坐标系计算关量坐标利量坐标计算
(2)法：根量意义构造图形通分析图形出结
变|式|训|练
已知ABC圆O：x2＋y2＝1动点AC⊥BC点M坐标(11)|＋＋|值( )
A．3 B．4
C．3－1 D．3＋1
解析 解法：ABC圆O：x2＋y2＝1动点AC⊥BC设A(cosθsinθ)B(－cosθ－sinθ)C(cosαsinα)中0≤θ<2π0≤α<2πM(11)＋＋＝(cosθ－1sinθ－1)＋(－cosθ－1－sinθ－1)＋(cosα－1sinα－1)＝(cosα－3sinα－3)|＋＋|
＝
＝
＝仅sin＝－1时|＋＋|取值值＝3＋1选D
解法二：连接ABAC⊥BCAB圆O直径＋＝2|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||易知点M圆动点C距离值＋1||≤＋1|＋＋|≤3＋1选D
答案 D
考二 复数运算
例4 (1)(2018·全国卷Ⅱ)＝( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
(2)(2018·北京高考)复面复数轭复数应点位( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 (1)＝＝＝－＋i选D
(2)＝＝＋i轭复数－i应点选D
答案 (1)D (2)D
复数问题解题思路
(1)复数基概念意义相等条件基础结合四运算利复数代数形式列方程方程组解决问题
(2)知识结合考查助相关知识解决问题
变|式|训|练
1．设i虚数单位复数a＋(a∈R)纯虚数a＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析 a＋＝a＋＝a－2＋i纯虚数a－2＝0a＝2选D
答案 D
2．复数z＝(i虚数单位)复面应点坐标( )
A．(33) B．(－13)
C．(3－1) D．(24)
解析 z＝＝＝＝－1＋3i复面应点坐标(－13)选B
答案 B
3．复数z满足＝i(i虚数单位)＝( )
A．1＋i B．1－i C D
解析 ＝iz＝(z－i)i＝zi＋1z＝＝＝选D
答案 D
1．(考)(2018·河北河南山西联考)图等边△ABC中O△ABC重心点DBC边B点四等分点＝x＋yx＋y＝( )
A B
C D
解析 设点EBC中点连接AE知OAE＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－x＝y＝－x＋y＝选B
答案 B
2．(考)(2018·天津高考)图面四边形ABCD中AB⊥BCAD⊥CD∠BAD＝120°AB＝AD＝1点E边CD动点·值( )
A． B．
C． D．3
解析 解法：图D原点DA直线x轴DC直线y轴建立面直角坐标系A(10)BC(0)令E(0t)t∈[0]·＝(－1t)·＝t2－t＋t∈[0]t＝－＝时·取值(·)min＝－×＋＝选A
解法二：令＝λ(0≤λ≤1)已知DC＝＝＋λ＝＋＝＋＋λ·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋2＋λ·＋2＝3λ2－λ＋λ＝－＝时·取值选A
答案 A
3．(考二)(2018·株洲二模)设i虚数单位1－i＝实数a＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析 1－i＝2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2a＝0选C
答案 C
4．(考二)已知复数z轭复数(1－2i)＝5－i(i虚数单位)复面复数z应点位( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 题意设z＝a＋bi(ab∈R)＋＝2a＋bi2a＋bi＝＝1＋ia＝b＝复面复数z应点位第象限选A
答案 A
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命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T1·复数运算
2018·全国卷Ⅰ·T6·面量线性运算
2018·全国卷Ⅱ·T1·复数运算
2018·全国卷Ⅱ·T4·面量数量积运算
2018·全国卷Ⅲ·T2·复数运算
2018·全国卷Ⅲ·T13·面量坐标运算
高考部分容考查方面：①面量运算包括量线性运算意义坐标运算利数量积运算解决模夹角垂直问题常函数等式三角函数解析等知识进行简单结合②复数运算包括复数概念意义四运算考点难度高属送分题掌握基础知识满分
考 面量
微考1：面量线性运算
例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC中ADBC边中线EAD中点＝( )
A－ B－
C＋ D＋
(2)(2018·重庆调研)已知Rt△ABC中AB＝3BC＝4AC＝5I△ABC心P△IBC部(含边界)动点＝λ＋μ(λμ∈R)λ＋μ取值范围( )
A B
C D．(23)
解析 (1)解法：图示＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－选A
解法二：＝－＝－＝－××(＋)＝－选A
(2)B原点BABC直线分xy轴建立图示面直角坐标系B(00)A(30)C(04)设△ABC切圆半径rI△ABC心(5＋3＋4)×r＝4×3解r＝1I(11)设P(xy)点P△IBC部(含边界)0
λ＋μ＝1－x0
解决面图形载体量线性运算问题方法
(1)充分利行四边形法三角形法结合面量基定理线定理等知识进行解答
(2)果图形较规量较明确考虑建立面直角坐标系利坐标运算解决
变|式|训|练
1．(2018·陕西检测)已知P△ABC面点＋＋＝0||＝||＝||＝2△ABC面积等( )
A B．2
C．3 D．4
解析 ||＝||△PBC等腰三角形取BC中点DPD⊥BC＋＋＝0＝－(＋)＝－2PD＝AB＝1PD∥ABAB⊥BC△ABC直角三角形||＝2|PD|＝1||＝||＝2△ABC面积×2×2＝2选B
答案 B
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知量a＝(12)b＝(2－2)c＝(1λ)c∥(2a＋b)λ＝________
解析 题2a＋b＝(42)c∥(2a＋b)c＝(1λ)4λ－2＝0λ＝
答案
微考2：面量数量积运算
例2 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知量ab满足|a|＝1a·b＝－1a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
(2)圆O△ABC外接圆半径2＋＝2||＝||量量方投影________
(3)图示行四边形ABCD中AD＝1∠BAD＝60°ECD中点·＝1AB长______
解析 (1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3选B
(2)＋＝2OBC中点△ABC直角三角形△AOC中||＝||∠B＝30°定义量量方投影||cosB＝2×＝3
(3)解法：题意知＝＋＝－＋·＝1(＋)·＝12＋·－2＝1 ①
||＝1∠BAD＝60°·＝||①式化1＋||－2＝1解||＝0(舍)||＝AB长
解法二：A原点AB直线x轴建立图示面直角坐标系点D作DM⊥AB点MAD＝1∠BAD＝60°知AM＝DM＝设|AB|＝m(m>0)B(m0)CDECD中点E＝＝·＝1＋＝12m2－m＝0m＝0(舍)m＝AB长
答案 (1)B (2)3 (3)
解决面图形载体量数量积问题方法
(1)选择面图形中模夹角确定量作组基底该基底表示构成数量积两量结合量数量积运算律求解
(2)已知图形中明显适合建立直角坐标系条件建立直角坐标系量数量积运算转化代数运算解决
变|式|训|练
1．面量ab夹角45°a＝(11)|b|＝2|3a＋b|＝( )
A．13＋6 B．2
C D
解析 题意|a|＝a·b＝×2×cos45°＝2|3a＋b|＝＝＝＝选D
答案 D
2．已知菱形ABCD边长2∠BAD＝120°点EF 分边BCDCBC＝3BEDC＝λDF ·＝1λ值________
解析 解法：图题意·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2菱形ABCD中易知＝＝＝＋＝＋＝＋＝＋·＝·＝＋－2＝1解λ＝2
解法二：A原点建立直角坐标系图A(00)B(20)C(1)D(－1)E设F (x0)·＝·(x0)＝1x0＋1＝1x0＝0F DC中点DC＝2DF λ＝2
答案 2
微考3：面量值问题
例3 (2018·浙江高考)已知abe面量e单位量非零量ae夹角量b满足b2－4e·b＋3＝0|a－b|值( )
A．－1 B．＋1
C．2 D．2－
解析 解法：设O坐标原点a＝b＝＝(xy)e＝(10)b2－4e·b＋3＝0x2＋y2－4x＋3＝0(x－2)2＋y2＝1点B轨迹C(20)圆心1半径圆ae夹角妨令点A射线y＝x(x>0)图数形结合知|a－b|min＝||－||＝－1选A
解法二：b2－4e·b＋3＝0b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0设b＝e＝3e＝b－e＝b－3e＝·＝0取EF 中点CBC圆心EF 直径圆图设a＝作射线OA∠AOE＝|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1选A
答案 A
面量值问题两种解法
(1)坐标法：建立面直角坐标系计算关量坐标利量坐标计算
(2)法：根量意义构造图形通分析图形出结
变|式|训|练
已知ABC圆O：x2＋y2＝1动点AC⊥BC点M坐标(11)|＋＋|值( )
A．3 B．4
C．3－1 D．3＋1
解析 解法：ABC圆O：x2＋y2＝1动点AC⊥BC设A(cosθsinθ)B(－cosθ－sinθ)C(cosαsinα)中0≤θ<2π0≤α<2πM(11)＋＋＝(cosθ－1sinθ－1)＋(－cosθ－1－sinθ－1)＋(cosα－1sinα－1)＝(cosα－3sinα－3)|＋＋|
＝
＝
＝仅sin＝－1时|＋＋|取值值＝3＋1选D
解法二：连接ABAC⊥BCAB圆O直径＋＝2|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||易知点M圆动点C距离值＋1||≤＋1|＋＋|≤3＋1选D
答案 D
考二 复数运算
例4 (1)(2018·全国卷Ⅱ)＝( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
(2)(2018·北京高考)复面复数轭复数应点位( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 (1)＝＝＝－＋i选D
(2)＝＝＋i轭复数－i应点选D
答案 (1)D (2)D
复数问题解题思路
(1)复数基概念意义相等条件基础结合四运算利复数代数形式列方程方程组解决问题
(2)知识结合考查助相关知识解决问题
变|式|训|练
1．设i虚数单位复数a＋(a∈R)纯虚数a＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析 a＋＝a＋＝a－2＋i纯虚数a－2＝0a＝2选D
答案 D
2．复数z＝(i虚数单位)复面应点坐标( )
A．(33) B．(－13)
C．(3－1) D．(24)
解析 z＝＝＝＝－1＋3i复面应点坐标(－13)选B
答案 B
3．复数z满足＝i(i虚数单位)＝( )
A．1＋i B．1－i C D
解析 ＝iz＝(z－i)i＝zi＋1z＝＝＝选D
答案 D
1．(考)(2018·河北河南山西联考)图等边△ABC中O△ABC重心点DBC边B点四等分点＝x＋yx＋y＝( )
A B
C D
解析 设点EBC中点连接AE知OAE＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－x＝y＝－x＋y＝选B
答案 B
2．(考)(2018·天津高考)图面四边形ABCD中AB⊥BCAD⊥CD∠BAD＝120°AB＝AD＝1点E边CD动点·值( )
A． B．
C． D．3
解析 解法：图D原点DA直线x轴DC直线y轴建立面直角坐标系A(10)BC(0)令E(0t)t∈[0]·＝(－1t)·＝t2－t＋t∈[0]t＝－＝时·取值(·)min＝－×＋＝选A
解法二：令＝λ(0≤λ≤1)已知DC＝＝＋λ＝＋＝＋＋λ·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋2＋λ·＋2＝3λ2－λ＋λ＝－＝时·取值选A
答案 A
3．(考二)(2018·株洲二模)设i虚数单位1－i＝实数a＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析 1－i＝2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2a＝0选C
答案 C
4．(考二)已知复数z轭复数(1－2i)＝5－i(i虚数单位)复面复数z应点位( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 题意设z＝a＋bi(ab∈R)＋＝2a＋bi2a＋bi＝＝1＋ia＝b＝复面复数z应点位第象限选A
答案 A
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