§51 面量概念线性运算
考试求 1通力速度位移等分析解面量实际背景理解面量意义两量相等含义2理解面量表示基素3助实例面量表示掌握面量加减运算运算规理解意义4通实例分析掌握面量数运算运算规理解意义理解两面量线含义5解面量线性运算性质意义．
1．量关概念
(1)量：方量做量量做量模．
(2)零量：长度0量记作0
(3)单位量：长度等1单位量．
(4)行量：方相相反非零量线量规定：0意量行．
(5)相等量：长度相等方相量．
(6)相反量：长度相等方相反量．
2．量线性运算
量运算
定义
法(意义)
运算律
加法
求两量运算
交换律：a＋b＝b＋a
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两量差运算
a－b＝a＋(－b)
数
求实数λ量a积运算
|λ a|＝|λ||a|λ>0时λa方a方相
λ<0时λa方a方相反
λ＝0时λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a
(λ＋μ)a＝λa＋μa
λ(a＋b)＝λa＋λb
3量线定理
量b非零量a线充条件：存唯实数λb＝λa
微思考
1．三角形加法法推什？
提示 般首尾次相接量等第量起点指量终点量＋＋＋…＋＝特 封闭图形首尾连接成量零量．
2．中点公式量形式什？
提示 中点公式量形式：P线段AB中点O面点＝(＋)．
题组 思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)量线段样线段表示量．( × )
(2)两量线方必定相相反．( × )
(3)量量线量ABCD四点条直线．( × )
(4)两非零量ab线时定b＝λa反成立．( √ )
题组二 教材改编
2．出列命题：①ab单位量a＝b②直角坐标面x轴y轴量③线段表示量相等点MN重合④海拔温度角度量正确命题序号( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
答案 D
解析 ①错误然单位量长度相等方确定②错误方没x轴y轴量③正确量起点相长度相等终点④正确海拔温度角度没方量．
3．设M行四边形ABCD角线交点O行四边形ABCD面意点＋＋＋等( )
A B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4
4．已知▱ABCD角线ACBD相交点O＝a＝b＝________＝________(ab表示)
答案 b－a －a－b
解析 图＝＝－＝b－a
＝－＝－－＝－a－b
题组三 易错纠
5．非零量aba＋2b＝0a∥b( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案 A
解析 a＋2b＝0a＝－2ba∥b
a∥ba＋2b＝0定成立
前者者充分必条件．
6．列四命题中正确( )
A．a∥ba＝b B．|a|＝|b|a＝b
C．|a|＝|b|a∥b D．a＝b|a|＝|b|
答案 D
题型 面量概念
1．出列命题正确命题( )
A．量长度量长度相等
B．量ab行ab方相相反
C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔ab方相反
D．非零量a非零量b方相相反a＋bab方相
答案 A
解析 A量量长度相等方相反命题成立Ba＝0时成立Cab零量时成立Da＋b＝0时a＋b方意ab方相．
2．设ab非零量列四条件中＝成立充分条件( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b|a|＝|b|
答案 C
解析 量方量a方相量方量b方相＝量a量b方相排选项ABDa＝2b时＝＝a＝2b＝成立充分条件．
3．列命题中正确( )
A．a∥bab
B．相反量方相反量
C．ab|a|>|b|a>b
D．两量行两量相等必充分条件
答案 D
解析 行量方相反A错误相反量方相反长度相等两量B错误量方量两量较C错误两量行推出两量相等两量相等推出两量行两量行两量相等必充分条件D正确．
4．列命题正确( )
A．方相反两非零量模相
B．单位量相等
C．两量相等起点相终点相
D．ABCD线四点＝⇔四边形ABCD行四边形
答案 D
解析 方相反两非零量方相反长度关系A错误
单位量相等方定相B错误
两量起点相终点相两量相等两量相等定相起点终点C错误
ABCD线四点＝模相等方相四边形ABCD边行相等行四边形反成立D正确．
思维升华 行量关概念四关注点
(1)相等量具传递性非零量行具传递性．
(2)线量行量均起点关．
(3)量移移量原量相等量解题时函数图象移混淆．
(4)非零量a关系：a方单位量．
题型二 面量线性运算
命题点1 量加减法意义
例1 设非零量ab满足|a＋b|＝|a－b|( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案 A
解析 方法 利量加法行四边形法．
▱ABCD中设＝a＝b
|a＋b|＝|a－b|知||＝||
四边形ABCD矩形AB⊥ADa⊥b
方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|
∴|a＋b|2＝|a－b|2
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b
∴a·b＝0∴a⊥b
命题点2 量线性运算
例2 (2020·合肥质检)△ABC中＝＝a＝b等( )
Aa＋b Ba＋b
Ca－b Da－b
答案 A
解析 方法 图点D分作ACAB行线交ABAC点EF四边形AEDF行四边形＝＋＝＝＝＝＋＝a＋b
方法二 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b
方法三 ＝－＝(－)＝＋(－)＝＋＝a＋b选A
命题点3 根量线性运算求参数
例3 (2020·河南八市联考改编)等腰梯形ABCD中＝2点E线段BC中点＝λ＋μλ＋μ＝________
答案
解析 取AB中点F连接CF题意CF∥ADCF＝AD＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋λ＝μ＝λ＋μ＝
思维升华 面量线性运算问题常见类型解题策略
(1)求已知量差．起点量求行四边形法求差量减法意义求首尾相连量三角形法．
(2)求参数问题通研究量间关系通量运算量表示出进行较求参数值．
踪训练1 行四边形ABCD中EF分边BCCD中点＝x＋y(xy∈R)x－y＝______
答案 2
解析 题意＝＋＝＋
＝＋＝＋
＝x＋y
＝＋
解
x－y＝2
题型三 线定理应
例4 设两量ab线．
(1)＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)．求证：ABD三点线
(2)试确定实数kka＋ba＋kb线．
(1)证明 ∵＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)．
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5∴线
公点B
∴ABD三点线．
(2)解 ∵ka＋ba＋kb线∴存实数λ
ka＋b＝λ(a＋kb)ka＋b＝λa＋λkb
∴(k－λ)a＝(λk－1)b
∵ab线两量
∴k－λ＝λk－1＝0∴k2－1＝0∴k＝±1
思维升华 利线量定理解题策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)判断两量线．注意定系数法方程思想运．
(2)两量线公点时出三点线ABC三点线⇔线．
(3)ab线λa＝μbλ＝μ＝0
(4)＝λ＋μ(λμ实数)ABC三点线λ＋μ＝1
踪训练2 (1)(2020·南昌质检)已知ab线量＝λa＋b＝a＋μb(λμ∈R)ABC三点线λμ关系定成立( )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
答案 A
解析 ∵公点A∴ABC三点线存实数t＝tλa＋b＝ta＋μtb消参数tλμ＝1反λμ＝1时＝a＋b时存实数＝线．∵公点A∴ABC三点线选A
(2)(2020·郑州模拟)设e1e2两线量＝3e1＋2e2＝ke1＋e2＝3e1－2ke2ABD三点线k值________．
答案 －
解析 题意知ABD三点线存实数λ＝λ
＝3e1＋2e2＝ke1＋e2＝3e1－2ke2
∴＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2
∴3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2
∴解k＝－
课时精练
1．(2020·湖北宜昌中月考)已知ab两非零量|a＋b|＝|a|＋|b|列说法正确( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．ab线反
D．存正实数λa＝λb
答案 D
解析 ab两非零量|a＋b|＝|a|＋|b|
ab线D正确．
2图示正六边形ABCDEF中＋＋等( )
A．0 B C D
答案 D
解析 根正六边形性质
易＋＋
＝＋＋
＝＋＝
3．已知面点P△ABC＋＋＝点P△ABC位置关系( )
A．点P线段AB
B．点P线段BC
C．点P线段AC
D．点P△ABC外部
答案 C
解析 ＋＋＝＋＋＝－＝－2点P线段AC．
4．(2020·唐山模拟)已知O正方形ABCD中心．＝λ＋μ中λμ∈R等( )
A．－2 B．－ C．－ D
答案 A
解析 ＝＋＝＋＝－＋＝－λ＝1μ＝－＝－2
5．(2020·郑州模拟)已知量ab线c＝λa＋bd＝a＋(2λ－1)bcd线反实数λ值( )
A．1 B．－ C D．－2
答案 B
解析 cd线反存实数kc＝kd(k<0)
λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]
整理λa＋b＝ka＋(2λk－k)b
ab线
整理2λ2－λ－1＝0
解λ＝1λ＝－
k<0λ<0λ＝－
6庄严美丽国旗国徽五角星革命光明象征．正五角星非常优美图形黄金分割着密切联系图示正五角星中ABCDE顶点边形正五边形＝列关系中正确( )
A－＝ B＋＝
C－＝ D＋＝
答案 A
解析 题意－＝－＝＝＝A正确＋＝＋＝＝B错误－＝－＝＝C错误＋＝＋＝＝－＋＝＝0符合题意D错误．
7．||＝||＝|－|＝2|＋|＝________
答案 2
解析 ||＝||＝|－|＝2
△ABC边长2正三角形
|＋|△ABC边BC高2倍
|＋|＝2
8．设量ab行量λa＋ba＋2b行实数λ＝____________
答案
解析 ∵量ab行∴a＋2b≠0量λa＋ba＋2b行存唯实数μλa＋b＝μ(a＋2b)成立λa＋b＝μa＋2μb解λ＝μ＝
9．设M△ABC面点＋＋＝0DAC中点＝________
答案
解析 ∵DAC中点∴＋＝2
∵＋＋＝0
∴＝－(＋)＝－×2
＝3＝
∴＝
10．已知DEF分△ABC边BCCAAB中点＝a＝b出列命题：①＝a－b②＝a＋b③＝－a＋b④＋＋＝0
中正确命题________．(填序号)
答案 ②③④
解析 ＝a＝b＝＋＝(＋)＋＝＋＝－a－b①错
＝＋＝a＋b②正确
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b③正确
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0④正确．
正确命题序号②③④
11．已知ab线＝a＝b＝c＝d＝e设t∈R果3a＝c2b＝de＝t(a＋b)否存实数tCDE三点条直线？存求出实数t值存请说明理．
解 题设知＝d－c＝2b－3a＝e－c＝(t－3)a＋tb
CDE三点条直线充条件存实数k＝k
(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb
整理(t－3＋3k)a＝(2k－t)b
ab线
解t＝
存实数t＝CDE三点条直线．
12图△ABC中DBC四等分点B点EF分ACAD三等分点分AD两点设＝a＝b
(1)试ab表示
(2)证明：BEF三点线．
(1)解 △ABC中＝a＝b
＝－＝b－a
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b
＝＋＝－＋＝－a＋b
(2)证明 ＝－a＋b
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝
＝线公点B
BEF三点线．
13．设O△ABC部DAB中点＋＋2＝0△ABC面积△AOC面积值( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 图∵DAB中点
＝(＋)
＋＋2＝0
∴＝－∴OCD中点
∵DAB中点
∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC＝4
14．(2020·广东六校联考)图△ABC中＝PBN点＝t＋实数t值( )
A B C D
答案 C
解析 方法 ＝＝
设＝λ＝＋＝＋λ
＝＋λ(＋)＝＋λ
＝λ＋(1－λ)
＝t＋
t＋＝λ＋(1－λ)
解t＝λ＝
方法二 ＝＝
＝t＋＝t＋
BPN三点线
t＋＝1t＝
15．(2020·滁州模拟)已知A1A2A3面三线定点面点M满足＝λ(＋)(λ实数)＋＋单位量样点M( )
A．0 B．1 C．2 D．数
答案 C
解析 方法 题意＝－λ(＋)＝＋ ＝＋
∴＋＋＝(1－3λ)·(＋)图示设DA2A3中点
∴(1－3λ)(＋)起点线量显然直线A1DA1圆心单位圆两交点λ两值符合题意点M两选C
方法二 A1原点建立面直角坐标系(图略)
设A2(ab)A3(mn)
＋＝(a＋mb＋n)
∴M(λ(a＋m)λ(b＋n))
∴＝(－λ(a＋m)－λ(b＋n))
＝(a－λ(a＋m)b－λ(b＋n))
＝(m－λ(a＋m)n－λ(b＋n))
∴＋＋＝((1－3λ)(a＋m)(1－3λ)(b＋n))．
∵＋＋单位量
∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1
∵A1A2A3面三线定点
∴(a＋m)2＋(b＋n)2>0关λ方程两解
满足条件M两选C
16．△OAB重心G直线OAOB分交点PQ设＝m＝n(m>0n>0)．
(1)证明：＋定值
(2)求m＋n值．
(1)证明 设＝a＝b
题意知＝×(＋)＝(a＋b)
＝－＝nb－ma
＝－＝a＋b
PGQ三点线
存实数λ＝λ
nb－ma＝λa＋λb
消λ＋＝3
(2)解 (1)知＋＝3
m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝
仅m＝n＝时m＋n取值值
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§51 面量概念线性运算
考试求 1通力速度位移等分析解面量实际背景理解面量意义两量相等含义2理解面量表示基素3助实例面量表示掌握面量加减运算运算规理解意义4通实例分析掌握面量数运算运算规理解意义理解两面量线含义5解面量线性运算性质意义．
1．量关概念
(1)量：方量做量量做量模．
(2)零量：长度0量记作0
(3)单位量：长度等1单位量．
(4)行量：方相相反非零量线量规定：0意量行．
(5)相等量：长度相等方相量．
(6)相反量：长度相等方相反量．
2．量线性运算
量运算
定义
法(意义)
运算律
加法
求两量运算
交换律：a＋b＝b＋a
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两量差运算
a－b＝a＋(－b)
数
求实数λ量a积运算
|λ a|＝|λ||a|λ>0时λa方a方相
λ<0时λa方a方相反
λ＝0时λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a
(λ＋μ)a＝λa＋μa
λ(a＋b)＝λa＋λb
3量线定理
量b非零量a线充条件：存唯实数λb＝λa
微思考
1．三角形加法法推什？
提示 般首尾次相接量等第量起点指量终点量＋＋＋…＋＝特 封闭图形首尾连接成量零量．
2．中点公式量形式什？
提示 中点公式量形式：P线段AB中点O面点＝(＋)．
题组 思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)量线段样线段表示量．( × )
(2)两量线方必定相相反．( × )
(3)量量线量ABCD四点条直线．( × )
(4)两非零量ab线时定b＝λa反成立．( √ )
题组二 教材改编
2．出列命题：①ab单位量a＝b②直角坐标面x轴y轴量③线段表示量相等点MN重合④海拔温度角度量正确命题序号( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
答案 D
解析 ①错误然单位量长度相等方确定②错误方没x轴y轴量③正确量起点相长度相等终点④正确海拔温度角度没方量．
3．设M行四边形ABCD角线交点O行四边形ABCD面意点＋＋＋等( )
A B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4
4．已知▱ABCD角线ACBD相交点O＝a＝b＝________＝________(ab表示)
答案 b－a －a－b
解析 图＝＝－＝b－a
＝－＝－－＝－a－b
题组三 易错纠
5．非零量aba＋2b＝0a∥b( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案 A
解析 a＋2b＝0a＝－2ba∥b
a∥ba＋2b＝0定成立
前者者充分必条件．
6．列四命题中正确( )
A．a∥ba＝b B．|a|＝|b|a＝b
C．|a|＝|b|a∥b D．a＝b|a|＝|b|
答案 D
题型 面量概念
1．出列命题正确命题( )
A．量长度量长度相等
B．量ab行ab方相相反
C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔ab方相反
D．非零量a非零量b方相相反a＋bab方相
答案 A
解析 A量量长度相等方相反命题成立Ba＝0时成立Cab零量时成立Da＋b＝0时a＋b方意ab方相．
2．设ab非零量列四条件中＝成立充分条件( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b|a|＝|b|
答案 C
解析 量方量a方相量方量b方相＝量a量b方相排选项ABDa＝2b时＝＝a＝2b＝成立充分条件．
3．列命题中正确( )
A．a∥bab
B．相反量方相反量
C．ab|a|>|b|a>b
D．两量行两量相等必充分条件
答案 D
解析 行量方相反A错误相反量方相反长度相等两量B错误量方量两量较C错误两量行推出两量相等两量相等推出两量行两量行两量相等必充分条件D正确．
4．列命题正确( )
A．方相反两非零量模相
B．单位量相等
C．两量相等起点相终点相
D．ABCD线四点＝⇔四边形ABCD行四边形
答案 D
解析 方相反两非零量方相反长度关系A错误
单位量相等方定相B错误
两量起点相终点相两量相等两量相等定相起点终点C错误
ABCD线四点＝模相等方相四边形ABCD边行相等行四边形反成立D正确．
思维升华 行量关概念四关注点
(1)相等量具传递性非零量行具传递性．
(2)线量行量均起点关．
(3)量移移量原量相等量解题时函数图象移混淆．
(4)非零量a关系：a方单位量．
题型二 面量线性运算
命题点1 量加减法意义
例1 设非零量ab满足|a＋b|＝|a－b|( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案 A
解析 方法 利量加法行四边形法．
▱ABCD中设＝a＝b
|a＋b|＝|a－b|知||＝||
四边形ABCD矩形AB⊥ADa⊥b
方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|
∴|a＋b|2＝|a－b|2
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b
∴a·b＝0∴a⊥b
命题点2 量线性运算
例2 (2020·合肥质检)△ABC中＝＝a＝b等( )
Aa＋b Ba＋b
Ca－b Da－b
答案 A
解析 方法 图点D分作ACAB行线交ABAC点EF四边形AEDF行四边形＝＋＝＝＝＝＋＝a＋b
方法二 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b
方法三 ＝－＝(－)＝＋(－)＝＋＝a＋b选A
命题点3 根量线性运算求参数
例3 (2020·河南八市联考改编)等腰梯形ABCD中＝2点E线段BC中点＝λ＋μλ＋μ＝________
答案
解析 取AB中点F连接CF题意CF∥ADCF＝AD＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋λ＝μ＝λ＋μ＝
思维升华 面量线性运算问题常见类型解题策略
(1)求已知量差．起点量求行四边形法求差量减法意义求首尾相连量三角形法．
(2)求参数问题通研究量间关系通量运算量表示出进行较求参数值．
踪训练1 行四边形ABCD中EF分边BCCD中点＝x＋y(xy∈R)x－y＝______
答案 2
解析 题意＝＋＝＋
＝＋＝＋
＝x＋y
＝＋
解
x－y＝2
题型三 线定理应
例4 设两量ab线．
(1)＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)．求证：ABD三点线
(2)试确定实数kka＋ba＋kb线．
(1)证明 ∵＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)．
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5∴线
公点B
∴ABD三点线．
(2)解 ∵ka＋ba＋kb线∴存实数λ
ka＋b＝λ(a＋kb)ka＋b＝λa＋λkb
∴(k－λ)a＝(λk－1)b
∵ab线两量
∴k－λ＝λk－1＝0∴k2－1＝0∴k＝±1
思维升华 利线量定理解题策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)判断两量线．注意定系数法方程思想运．
(2)两量线公点时出三点线ABC三点线⇔线．
(3)ab线λa＝μbλ＝μ＝0
(4)＝λ＋μ(λμ实数)ABC三点线λ＋μ＝1
踪训练2 (1)(2020·南昌质检)已知ab线量＝λa＋b＝a＋μb(λμ∈R)ABC三点线λμ关系定成立( )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
答案 A
解析 ∵公点A∴ABC三点线存实数t＝tλa＋b＝ta＋μtb消参数tλμ＝1反λμ＝1时＝a＋b时存实数＝线．∵公点A∴ABC三点线选A
(2)(2020·郑州模拟)设e1e2两线量＝3e1＋2e2＝ke1＋e2＝3e1－2ke2ABD三点线k值________．
答案 －
解析 题意知ABD三点线存实数λ＝λ
＝3e1＋2e2＝ke1＋e2＝3e1－2ke2
∴＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2
∴3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2
∴解k＝－
课时精练
1．(2020·湖北宜昌中月考)已知ab两非零量|a＋b|＝|a|＋|b|列说法正确( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．ab线反
D．存正实数λa＝λb
答案 D
解析 ab两非零量|a＋b|＝|a|＋|b|
ab线D正确．
2图示正六边形ABCDEF中＋＋等( )
A．0 B C D
答案 D
解析 根正六边形性质
易＋＋
＝＋＋
＝＋＝
3．已知面点P△ABC＋＋＝点P△ABC位置关系( )
A．点P线段AB
B．点P线段BC
C．点P线段AC
D．点P△ABC外部
答案 C
解析 ＋＋＝＋＋＝－＝－2点P线段AC．
4．(2020·唐山模拟)已知O正方形ABCD中心．＝λ＋μ中λμ∈R等( )
A．－2 B．－ C．－ D
答案 A
解析 ＝＋＝＋＝－＋＝－λ＝1μ＝－＝－2
5．(2020·郑州模拟)已知量ab线c＝λa＋bd＝a＋(2λ－1)bcd线反实数λ值( )
A．1 B．－ C D．－2
答案 B
解析 cd线反存实数kc＝kd(k<0)
λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]
整理λa＋b＝ka＋(2λk－k)b
ab线
整理2λ2－λ－1＝0
解λ＝1λ＝－
k<0λ<0λ＝－
6庄严美丽国旗国徽五角星革命光明象征．正五角星非常优美图形黄金分割着密切联系图示正五角星中ABCDE顶点边形正五边形＝列关系中正确( )
A－＝ B＋＝
C－＝ D＋＝
答案 A
解析 题意－＝－＝＝＝A正确＋＝＋＝＝B错误－＝－＝＝C错误＋＝＋＝＝－＋＝＝0符合题意D错误．
7．||＝||＝|－|＝2|＋|＝________
答案 2
解析 ||＝||＝|－|＝2
△ABC边长2正三角形
|＋|△ABC边BC高2倍
|＋|＝2
8．设量ab行量λa＋ba＋2b行实数λ＝____________
答案
解析 ∵量ab行∴a＋2b≠0量λa＋ba＋2b行存唯实数μλa＋b＝μ(a＋2b)成立λa＋b＝μa＋2μb解λ＝μ＝
9．设M△ABC面点＋＋＝0DAC中点＝________
答案
解析 ∵DAC中点∴＋＝2
∵＋＋＝0
∴＝－(＋)＝－×2
＝3＝
∴＝
10．已知DEF分△ABC边BCCAAB中点＝a＝b出列命题：①＝a－b②＝a＋b③＝－a＋b④＋＋＝0
中正确命题________．(填序号)
答案 ②③④
解析 ＝a＝b＝＋＝(＋)＋＝＋＝－a－b①错
＝＋＝a＋b②正确
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b③正确
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0④正确．
正确命题序号②③④
11．已知ab线＝a＝b＝c＝d＝e设t∈R果3a＝c2b＝de＝t(a＋b)否存实数tCDE三点条直线？存求出实数t值存请说明理．
解 题设知＝d－c＝2b－3a＝e－c＝(t－3)a＋tb
CDE三点条直线充条件存实数k＝k
(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb
整理(t－3＋3k)a＝(2k－t)b
ab线
解t＝
存实数t＝CDE三点条直线．
12图△ABC中DBC四等分点B点EF分ACAD三等分点分AD两点设＝a＝b
(1)试ab表示
(2)证明：BEF三点线．
(1)解 △ABC中＝a＝b
＝－＝b－a
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b
＝＋＝－＋＝－a＋b
(2)证明 ＝－a＋b
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝
＝线公点B
BEF三点线．
13．设O△ABC部DAB中点＋＋2＝0△ABC面积△AOC面积值( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 图∵DAB中点
＝(＋)
＋＋2＝0
∴＝－∴OCD中点
∵DAB中点
∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC＝4
14．(2020·广东六校联考)图△ABC中＝PBN点＝t＋实数t值( )
A B C D
答案 C
解析 方法 ＝＝
设＝λ＝＋＝＋λ
＝＋λ(＋)＝＋λ
＝λ＋(1－λ)
＝t＋
t＋＝λ＋(1－λ)
解t＝λ＝
方法二 ＝＝
＝t＋＝t＋
BPN三点线
t＋＝1t＝
15．(2020·滁州模拟)已知A1A2A3面三线定点面点M满足＝λ(＋)(λ实数)＋＋单位量样点M( )
A．0 B．1 C．2 D．数
答案 C
解析 方法 题意＝－λ(＋)＝＋ ＝＋
∴＋＋＝(1－3λ)·(＋)图示设DA2A3中点
∴(1－3λ)(＋)起点线量显然直线A1DA1圆心单位圆两交点λ两值符合题意点M两选C
方法二 A1原点建立面直角坐标系(图略)
设A2(ab)A3(mn)
＋＝(a＋mb＋n)
∴M(λ(a＋m)λ(b＋n))
∴＝(－λ(a＋m)－λ(b＋n))
＝(a－λ(a＋m)b－λ(b＋n))
＝(m－λ(a＋m)n－λ(b＋n))
∴＋＋＝((1－3λ)(a＋m)(1－3λ)(b＋n))．
∵＋＋单位量
∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1
∵A1A2A3面三线定点
∴(a＋m)2＋(b＋n)2>0关λ方程两解
满足条件M两选C
16．△OAB重心G直线OAOB分交点PQ设＝m＝n(m>0n>0)．
(1)证明：＋定值
(2)求m＋n值．
(1)证明 设＝a＝b
题意知＝×(＋)＝(a＋b)
＝－＝nb－ma
＝－＝a＋b
PGQ三点线
存实数λ＝λ
nb－ma＝λa＋λb
消λ＋＝3
(2)解 (1)知＋＝3
m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝
仅m＝n＝时m＋n取值值
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